虚功原理与位移计算习题课

P 1
B
M
l 3EI
2
ql - 2 M 10
2
A
2l 3
4l 5
l
ql 2 2 2M ql l- 6
l 6
2M
（2）求B铰相对转角位移
2M ql 2 ll 6
M
A
2M/l
q
C
EI
l 2
B
EI
l
1m 1
1 M l 1 B EI 2 2 3
3
A
B
M
1 1 ql2 4 3 1 2Ml 2 3 1 l ( )( ) EI 4 6 5 5 2 3 3
A B 求A点的 水平位移 P=1 求A截面 的转角
m=1
m=1
m=1
P=1 求AB两点 的相对位移
P=1
l
1/l
求AB两截面 的相对转角
1/l
求AB两点 连线的转角
6、 图乘法
w y0 MM P D dx EI EI
①∑表示对各杆和各杆段分别图乘而后相加。 ②图乘法的应用条件： a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。 ③竖标y0 取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 ④面积ω与竖标y0在杆的同侧， ω y0 取正号，否则取负号。 ⑤几种常见图形的面积和形心的位置： ⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理 方法： a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移； b）当EI 分段为常数或M 、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
0
MC 1 H m f 8
0
1/8
5 80 2 5 5 80 2 5 1 2 5 32 1 5 ( 1 ) 2 3 8 2 3 8 3 3 2 8 0.005867 rad 2 5 104
求A点全位移
q ↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓ EI

ql 2 2
A P=1
DA
MP
M
l
EI
l
l
l P=1
1 l 2 ql 2 ql 4 EI 2 2 4 EI 2 2 4 1 1 ql 3 ql 5 ql DVA l l l l EI 3 2 4 2 8EI DH A
M M
i
⑦非标准图形乘直线形： a）直线形乘直线形
k
l a
dx
b
d
l( 2ac 2bd ad bc ) 6
b)非标准抛物线成直线形
c
a
h
b d l
=
a
b
c
d 2 hl c S l (2 ac 2 bd ad bc ) 6 3 2
+
h
判断下列图乘结果正确与否。（ ）
T12 N1 2 ds Q1 2 ds M 1 2 ds
4、结构位移计算的一般公式
D ( N 2 Q 2 M 2 )ds- Ri ci
注:1) 2) 3) 4) 5)
既适用于静定结构,也适用于超静定结构; 既适用于弹性材料,也适用于非弹性材料; 产生位移的原因可以是各种因素; 既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变形和轴 向变形对位移的影响； 右边四项乘积,当力与变形的方向一致时, 乘积取正。
P iP
P iP
EA
5）桁梁混合结构 7）拱
Δ=
MM P NN P ds EI EA l
用于桁架杆
用于梁式杆
MM P NN P D ds ds EI EA
扁平拱中计算水平位移或压力 线与拱轴线比较接近时才考虑
7）该公式既用于静定结构和超静定结构。但必须是弹性体系 8）虚拟力状态：在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应 的广义单位荷载。
(2 Pl(l - x ) Px(l - x )) (l - x ) ( x 2l )
2
it at0w N ±
aDt
h
wM
1） 该公式仅适用于静定结构。并假定温度改变沿 截面高度按线性变化。 2）正负规定:P153 8 静定结构由于支座移动而产生的位移计算
Dic -RK cK
1） 该公式仅适用于静定结构。 2）正负规定： 9 互等定理 •适用条件：弹性体系（小变形，σ=Eε） •内容 W12= W21
例6：求图示简支梁中点的挠度。EI=常数，弹簧的刚度系数为k。
q A
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/8
B
试用单位荷载法求出 梁的挠曲线。 Pl Px
P
MP
A
l
P=1
ql/2
B
MP
l－x
l
P=1
M
DC
l/4 1/2
M
x
MM P NN P dx l-x EI k y ( x) 2 1 2 l ql 5 l 1 ql 6 EI 2 EI 2 2k 3 2 8 8 4 P 4 5ql ql 6 EI 384 EI 4k
d12d 21
r12=r21
P
P
P
例1：求图 示桁架D点 的竖向位移 ΔDV 解:先计算 N 后计算NP
B
C
3m
A
－8P
D
0
4m×3=12m 0
0
0
0
－4/3
P=1
0 0
0
0
0
D DV
1 5 4 280P 3P 1 3 5P 5 8P 4 EA 3 3 3EA
y0 ω y0 ω y0 ω
①S=ωy0（× ）
y1 ω1
②S=ωy0 （×）
ω
③S=ωy0 （ ×）
ω y0
y2
ω2 y0
④S=ω1y1+ω2y2 （ ）
×
⑤S=ωy0 （×）
题3-14图
⑥S=ωy0 （ √ ）
图示虚拟力状态可求出什么位移？
P=1 A A m=1 A m=1 ③ B P=1 P=1
1、计算结构位移主要目的
a）验算结构的刚度； b）为超静定结构的内力分析打基础。 a）荷载作用； b）温度改变和材料胀缩； c）支座沉降和制造误差
2、产生位移的原因主要有三种
3、变形体系的虚功原理: 状态1是满足平衡条件的力状态，状态 2是满足变形连续条件的位移状态，状态1的外力在状态2的位 移上作的外虚功等于状态1的各微段的内力在状态2各微段的 变形上作的内虚功之和
位移。 已知： EI 2 105 kN m2 解：画MP图， 画 M 图
2kN/m 25
C
35
1 1 5 D AH 5 50 10 EI 2 6 1 2 2 25 1 5 50 10 - 5 10 2 3 3 4 2 1 2 5 25 10 2 3
例2：求图示梁在荷载 作用的B截面转角θB
12kN.m
A
4kN 2kN/m
4m
C EI
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4kN.m
B
EI B
4m
4 (-0.5 8 2 12 0.5) 12 6 4 (2 4 1 - 2 8 0.5 - 8 1 4 0.5) 6 2 1 0.5 - 44 M 3 2 40 3
G
E
20 5m
A 5m 10 15kN
10 (2 20 20 - 2 10 10 6 - 20 10 10 20)
10
10
3187.5 1594 . 10 -2 m EI
20
1kN
5m
10kN
5m
D 10
50kN.m B
5m
例5：求图示结构 A点的水平
7kN F
5kN
MP
kN.m 4 1/2
4
kN.m
8
1
例3：求图示梁中 B结 点的竖向位移及 B两 侧截面的相对转角位 移。
2M ql 2 ll 6
M
A
2M/l
q
C
解：（1）求B点竖向位移 先画弯矩 M P 和 M
EI
l 2
B
EI
l
1 1 ql2 4l 2Ml 2l DB l EI 4 6 5 2 3
5、弹性体系荷载作用下的位移计算
Dkp

NNP kQQP MMP ds ds ds GA EA EI


1） NP、QP、MP实际荷载引起的内力，是产生位移的原因； 虚设单位荷载引起的内力是 N ,Q , M
2） 公式右边各项分别表示轴向变形、剪切变形、弯曲 变形对位移的影响。 MM 3）梁和刚架的位移主要是弯矩引起的 D EI dx NN 4）桁架 D l
B
①
P=1
②
B
A
A P=1/l l ④ P=1/l B l ⑤ B P=1/l
P=1/l
P=1/l
B l ⑥
P=1/l
A
P=1/l P=1/l l C
①AB两点相对水平位移；②AB两截面的相对转角； ③AB两点相对竖向位移； ④ AB杆的转角； ⑤ AB连线的转角； ⑥ AB杆和AC杆的相对转角。
7 静定结构由于温度改变而产生的位移计算
DA
2 DH A
M

2 DVA
DH arctan VA arctan0.4 21.8 DA
ql 4 0.673 EI
q ↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓
A

ql 2 2
l cosa
P=1
a
EI
DA
l
EI MP
M
l
l (cosa sin a )
1 1 ql 2 3 l ql 2 l l cosa (l cosa l (cosa sin a ) ) A EI 3 2 4 2 2 ql 4 (5 cosa 2 sin a ) 8EI dDaA ql 4 (- 5sin a 2 cosa ) 0 da 8EI 4 ql tana 0.4,即：a 21.8时DaA max D A 0.873 EI Da
ql 2 2 2M ql 6 ll 6
l 13ql 2 - 270 M 120 EI
(
)
2M
16kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
例4：求图示刚架C铰左右两截 面的相对转动。EI=5×104kN.m 3m
1
80
32
Fra Baidu bibliotek
5/8
m=1
MP
16
16
5m
M
1/8
4m
4m
2
H
D C
M C 168 16kN f 88