虚功原理与位移计算习题课

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结构力学第05章虚功原理与结构位移计算-3

6、把复杂图形分为简单图形、使其易于计算面积和判断形心位置）（使其易于计算面积和判断形心位置）
•
取作面积的图形有时是不规则图形，取作面积的图形有时是不规则图形，面积的大小或形心的位置不好确定。的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形分解为简单图形（规则图形）分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠加。
FP
⊿CV
l/2 l/2 AP FP l
3、正确的作法、
AP1=1/2×FP l×l/2=FP l2/4 AP2=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 AP3=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 y1=l/3 y2=l/6 FP y3 = 0
⊿CV=∑AP·yC/EI
=(FP l2/4×l/3+ FP l2/8×l/6 × +FP l2/8 ×0) / EI =5FP l3/48EI (↓)
32
32
• θC=2[(1/2·80·5)·(2/3·5/8)+(1/2·80·5)·(2/3·5/8+1/3·1) • -(2/3·32·5)·(1/2·5/8+1/2·1)]/EI • kN·m m kN/m2 • =0.005867 （弧度） • 方向与虚拟力方向一致。
思考题:判断下列图乘是否正确?
由此可见，当满足上述三个条件时，由此可见，当满足上述三个条件时，积分式的值⊿就等于M 图的面积A乘其形心所对应乘其形心所对应M 的值⊿就等于 P图的面积乘其形心所对应图上的竖标y 再除以EI。图上的竖标 C，再除以。正负号规定：正负号规定： A与yC在基线的同一侧时为正，反之为负。与在基线的同一侧时为正，反之为负。
第五章
虚功原理与结构位移计算

龙驭球《结构力学Ⅰ》(第3版)章节题库-虚功原理与结构位移计算(中册)(圣才出品)

8（b）所示，结点 K 处的竖向位移为
．
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图 5-8
【答案】
【解析】此结构为二次超静定，要求结点 K 的位移，可以取其一静定基本结构（图 5-
9（a）），在此基本结构上 K 处虚设一竖向单位力，画出其弯矩图（图 5-9（b）），再与已知
的原结构的弯矩图图乘即可求得 K 点竖向位移．
图 5-9
此题选取的基本结构可以有多种形式，相应的图也不一样，与 M 图图乘时的计算量就不同．所以在选择基本结构时应尽量使图乘时的计算量小（弯矩图分布范围小且简单）．
4．已知图 5-10（a）所示弯矩图，图 5-10（b）中由（已知）产生的 C 截面竖向位
MA＝0 有
（拉）．
要求铰 C 处的竖向位移，需要画出此结构的弯矩图（图 5-13（c））；然后在结构上 C 处
虚设一竖向单位力（图 5-13（d）），求出此时 AC 杆弯矩和 EG 杆轴力，然后图乘得 C 点竖
向位移为
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挠度大
．
【答案】
图 5-18
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【解析】（1）结构为静定，图 5-18（a）、（b）两图的唯一区别是在图 5-18（a）中竖向支座链杆处会有变形，而图 5-18（b）中没有，静定结构的支座移动不会引起内力，所以两结构的弯矩图完全一样．
移等于
．
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图 5-10 【答案】【解析】（1）选一基本结构，在 C 处虚设一竖向单位力，作图（图 5-11）．

力学3章虚功原理和结构的位移

第三章虚功原理和结构的位移一判断题1. 已知P M ,Mk 图，用图乘法求位移的结果为：（ω1у1+ω2у2）/（EI ）。

（）（X ）题1图题2图题3图2. 图示结构中B 点挠度不等于零。

（）（√）3. 图示桁架中腹杆截面的大小对C 点的竖向位移影响。

（）（X ）4. 求图示A 点竖向位移可用图乘法。

（）（X ）题4图题5图5. 图示梁的跨中挠度为零。

（）（√）6. 在位移互等定理中，可以建立线位移和角位移的互等关系：12δ=21ϕ。

这里12δ，21ϕ与只是数值相等而量纲不同。

（）（X ）7. 三个刚片用不在同一直线上的三个虚铰两两相联，则所组成的体系是无多余约束的几何不变体系。

（）（√）8. 几何瞬变体系产生的运动非常微小并很快就转变成几何不变体系，因而可以用作工程结构。

（）（X ）9. 在任意荷载下，仅用静力平衡方程即可确定全部反力和内力的体系是几何不变体系。

（）（√）10. 两刚片或三刚片组成几何不变体系的规则中，不仅指明了必需的约束数目，而且指明了这些约束必须满足的条件。

（）（√）11. 在非荷载因素（支座移动，温度变化，材料收缩等）作用下，静定结构不产生内力，但会有位移，且位移只与杆件相对刚度有关。

（）（X ）12. 虚功中的力状态和位移状态是彼此独立无关的，这两个状态中的任一个都可看作是虚设的。

（）（√）13. 温度改变，支座位移，材料收缩和制造误差不会使静定结构产生内力，因而也不产生位移。

（）（X ）14. 计算自由度W 小于等于零是体系几何不变的充要条件。

（）（X ）15．若体系计算自由度W<0，则它一定是几何可变体系。

（）（X ）16．平面几何不变体系的三个基本组成规则是可以相互沟通的。

（）（√）17．三刚片由三个单铰或任意六根链杆两两相联，体系必为几何不变。

（）（X ）18．图示三铰刚架，EI 为常数，A 铰无竖向位移。

09虚功原理和结构的位移计算--习题解读

( N Q 0 M )ds R k ck
（3）荷载作用下的位移计算。对弹性材料，应变表达式为

NP EA
0 k
QP GA

MP EI
KP ( N Q 0 M )ds R k ck ( NN P QQP M M P k )ds EA GA EI
A 10kN 3m C 10kN 3m 5m B
5m
【解】
A 20 10
20
20 10
N P (kN)
C
10
1
A 1 1
N
1
NN P CV l EA B (0.5 5)(10 5 103 ) 8 5 11 4 2.1 10 30 10 10 1 20 103 16 2.11011 30 104 B 1.22 103 m 1.22mm()
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9 虚功原理和结构的位移计算
2 虚功和虚功原理 9.3 单位荷载法计算位移和位移计算的一般公式 9.4 荷载作用下的位移计算 9.5 图乘法 9.6 温度变化时的位移计算 9.7 支座移动时的位移计算 9.8 线性变形体系的互等定理 *9.9 空间刚架的位移计算公式
t 0 0 0
h
M t t t ds N t0 ds M d s t N d s AM t0 AN 0 h h h
（6）支座移动在静定结构引起的位移属于刚体位移，计算公式为 R k ck ；关键是正确计算作功的支座反力。（7）位移计算中遇到的符号及正负号确定较多，关键是功的正负号规定，即力与位移的乘积的正负号规定。当力与位移方向一致时，乘积为正，反之为负；图乘法中是A与yC于杆件同一边时，乘积为正，反之为负。

结构力学(虚功原理和结构位移计算)

几何法
单位荷载法
A
10
§4-2 刚体体系虚功原理及其应用
一、基本概念 1、功 (Work)：
T dT P COS(P,ds)ds
S
S
或：T P • ds
2、实功：力由于自身所引起的位移而作功。
当静力加载时，即：
P
P由0增加至P
由0增加至
实功的计算式为：
T 1P 2
A
11
3、虚功：当位移与作功的力无关时，这样的功称为虚功。
MP EI
κ
F NP EA
ε k
F QP GA
γ 0
g F N d sF Q 0 d sM ds
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA GA
A
35
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA
2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3)、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时，不考虑由于杆弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
6、计算结构位移的方法
• 其中 M、FN、FQ、FRK----虚拟单位力下的弯距、轴力、剪力和反力
、、 g0、 ck•----实际变形状态轴线曲率、轴线伸长应
变、平均剪切应变和支座位移
A
22
分析，见图 (a)
求结构上任一点C沿指定方向K-K’上
的分位移 K P
(1)可按常规计算方法，但计算工作麻烦。

结构力学I-第五章虚功原理与结构位移计算(温度位移、虚功、互等)

温度改变时的位移计算
结构位移计算的一般公式
普遍性
Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds- ∑FRK·cK
⑵ 变形因素：荷载、温度改变或支座移动引起的位移；
温度改变的位移计算公式
应用背景
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温度改变时的位移计算
温度改变的位移计算公式
基本假设
FQ FN
dFN
pdx
0
dFQ qdx 0
dM FQdx 0
• 集M M 0 0
M
FQ FN
M
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q
FQ+ dFQ
p
FN+ dFN
O
x
M+ dM dx
y
dx
M0 O
Fx
Fy y
FQ+ ΔFQ FN+ ΔFN x
M+ ΔM
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D 1
α=1×10-5，求D点的竖向位移ΔDV。
2m 2m
解：⑴ 在D点作用一向上的单位力F=1，
4m
作弯矩图 M 和轴力图 F N；
⑵ 由于各杆 α，t0，Δt，h 相同，
故可先计算
+1
1
M ds
1 2
4
4
4
4
24(m2
)
M
FN
F Nds 1 2 1 4 2(m)
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结构力学I
第五章虚功原理与结构位移计算
2021年4月15日
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3-12(g)
指出弯矩图错误并改正；
作业点评

第9章虚功原理及结构的位移计算

x
dx
l
力状态
x ql
dx
力状态

l
ql/2
ql/2
△
位移状态外力虚功
位移状态外力虚功
1 2 We qd x x ql 0 0 2
l
1 We qd x x ql 0 0 l 2
l
内力虚功 Wi =0
内力虚功 Wi =0
按由特殊到一般的推理方法，我们可以总结出刚体体系的虚功原理：在具有理想约束的刚体体系上，如果力状态下的力系能满足平衡条件，位移状态的刚体位移能与约束几何相容（位移与约束相对应，位移是连续的杆件变形后不断开、不重叠），则外力虚功为零。或：设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小刚体位移，平衡力系在位移上所作的虚功为零。特别说明：对于刚体，力状态下有内力，但因位移状态下没有对应位移，故内力虚功为零，因此对于刚体的虚功原理也可以这样理解：外力虚功等于内力虚功都等于零。
1 2l
2 l
3 2l
所得正号表明位移方向与假设的单位力方向一致。
求（1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；解（2）建立虚功方程 1 FRk ck 0 步骤（3）解方程得 FRk ck 定出方向。
2.变形体的虚功原理
根据刚体的虚功原理，按照从特殊到一般的推理原则，总结得出变形体的虚功原理：在具有理想约束的变形体系上，若力状态的力系满足平衡条件（整体平衡、局部平衡），位移状态下的位移满足变形协调条件（包括变形与应变的协调：轴向应变对应轴向线位移、剪应变对应横向位移、弯曲应变也就是曲率对应角位移；位移与约束的几何相容：位移连续、杆件变形后不断开、不重叠，约束和位移是相对应的），则外力在位移上所作的虚功恒等于各个微段的内力在相应变形上所作的内虚功。即：

结构力学 9虚功原理和结构的位移计算

Ax
P
引起结构位移的原因还有什么原荷载因会使结构产温度改变生位移? 支座移动制造误差等
t
二、计算位移的目的 (1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度；高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。最大层间位移< 1/800 层高。铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
例3：求AB两点的相对水平位移。
A 3m
EI常数
MP
P=1 6kN B 3m P=1
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
M
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
18
6
3
36 9
6m 9 9
1 2 × × ×3 6 1 1 ×6 ×6 ×18 ×6 ×3 ×0 6 9 2 3 2 EI 2 1 1 × × × 3 × 18×3 2 × -756 × 3 36 6 6 EI 3 4 2 3 EI
h
(a+l)/3
(b+l)/3
2 A lh 3
二次抛物线
l
1 A lh 2
(2) 复杂图形（分段+叠加） a、梯形相乘（分段+叠加）
a
b
a
b
c
d
c
d b a
l AyC (2ac 2bd ad bc) 6
c
b、一般形式的二次抛物线相乘（分段+叠加）
=
+
C、曲线图形与折线图形相乘（分段+叠加）
§9-4 荷载作用下的位移计算
kp N N P ds M M P ds K QQP ds EA EI GA

龙驭球《结构力学》笔记和课后习题(含真题)详解(虚功原理与结构位移计算)

为：
MM P ds NNP l
例如图 5-1a 中的静定梁，支座 A 向上秱动一个已知距离 c1 ，现在拟求 B 点的竖向位秱。
（a）
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（b）
图 5-1
位秱状态已给定，力系则可根据我们的意图来假设。在拟求位秱的方向设置单位荷载，
根据平衡条件，可得支座 A 的反力 F R1 = b ，虚设平衡力系在实际刚体位秱上作虚功，虚 a
详细介绍“图乘法”的使用。
2．各类结构的位秱公式
（1）梁和刚架：因为弨矩起兰键作用，计算时可忽略轴力和剪力的影响，即简化为：
MM P EI
ds
(5-6)
（2）桁架：桁架一般只受轴力作用，可以忽略剪力和弨矩的影响，即简化为：
NNP ds NNP ds NNPl
EA
EA
EA
(5-7)
（3）桁架混合结构：有轴力杆和梁式杆兯同作用，计算可以忽略剪力的影响，即简化
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③构件在制作过程中的误差，使结构在装配后出现形变；
④材料的性质随时间变化也会引起形变。
其中，前三种因素是工程中经常会遇到的引起结构变形的主要因素。
（2）对结构求位秱计算的目的有二
①确定结构的刚度；
②用于超静定结构的内力计算。
对于公式（5-4）中的可以是求某点某方向线位秱、戒者某截面的角位秱，也可以求
某两个截面的相对线位秱和相对角位秱，这些引申理解为广义位秱。在求广义位秱时，则需
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第5章1.2.3.4 虚功原理与结构位移计算

桁架
FN FNP FN FNP l ds EA EA
桁梁混合结构（组合结构）
FN FNP l MM P ds EI EA
拱
在桁梁混合结构中，有些杆件主要受弯曲，有些杆件只受轴力。在拱中，当压力线与拱的轴线相近时，要考虑弯曲和拉伸对位移的影响。当不相近时，只考虑弯曲。
微段ds两端截面的三种相对位移：将微段变形集中化(ds 0),但三种位移仍存在。相当于整个结构除截面B发生集中变形，其余为刚体，无任何变形
d ds 轴向伸长应变： d 0ds 平均切应变： 0 轴线曲率： d ds
1 d Md FNd FQd d ( M FN FQ 0 )ds
4. 支座移动时静定结构的位移计算
应用单位荷载法求不同的位移时，应当选择不同的单位荷载。虚设的单位荷载应当是拟求位移相应的单位荷载，即这个单位荷载所做的虚功在数值上应等于拟求的位移。如： (1)：求C点的竖向位移△c时，应在C点加一个单位竖向荷载。 (2)：求CD的转角β时，应在杆CD上加一个单位力偶荷载 (力偶作的功等于力偶矩与转角的乘积)。
剪切变形γ对位移的影响
支座位移cK对位移的影响
3. 结构位移计算的一般公式
该式的实质是一个几何方程，给出了已知变形(内部应变κ 、ε、γ和支座位移cK)与拟求位移∆之间的几何关系
( M FN FQ 0 )ds FRK c K
上式是普遍公式。（因为在推导中未涉及变形因素、结构类型、材料性质）可考虑任何情况：
第5章虚功原理与结构位移计算
5-1应用虚功原理求刚体体系的位移
1. 推导位移计算一般公式的基本思路第一步：讨论静定结构由于支座移动而引起的位移计算问题。此为刚体体系的位移问题。应用刚体体系虚力原理导出位移计算公式。第二步：讨论静定结构由于局部变形(例如结构中某个微段产生拉伸、剪切、

结构力学第05章虚功原理与结构位移计算-1

c1
△B
FP=1
△B=FP· c1=b/a · c1
注：
FR1= - b/a
1、虚设力系，应用虚功原理，称为虚力原理。若设FP=1，称为虚单位荷载法。 2、虚功方程在此实质上是几何方程，即利用静力平衡求解几何问题。 3、方程求解的关键，在于拟求⊿方向虚设单位荷载，利用力系平衡求出与c1相应的反力,即利用平衡方程求解几何问题。
第五章
虚功原理与结构位移计算
§5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
1、推导位移计算一般公式的基本思路
第一步：由刚体体系的虚位移原理（理论力学）得出刚体体系的虚力原理。并由此讨论静定结构由于支座移动而引起的位移计算问题。第二步：讨论静定结构由于局部变形引起的位移。由刚体体系的虚力原理导出其位移计算公式。第三步：讨论静定结构由于整体变形引起的位移。应用第二步导出的局部变形引起的位移计算公式，再应用叠加原理就可以推导出整体变形引起的位移计算公式。
（4）体系（结构）的物理特性
• •
• • • •
线性变形体系（线弹性体）：
*应力、应变满足虎克定律； *变形微小：变形前后结构尺寸、诸力作用位置不变，位移计算可用叠加原理； *体系几何不变，约束为理想约束。
• •
•
非线性体系：
*物理非线性； *几何非线性（大变形）。
（5）变形体位移计算方法及应满足的条件 • 方法： • 用虚功原理推导出位移计算公式。 • 计算时应满足的条件： • 静力平衡； • 变形协调条件； • 物理条件。
1 F RK cK 0
（c）由虚功方程，解出所求位移：
(5-3) (6 - 3)
F RK cK
(5-4) (6 - 4)

虚功原理与静定结位移计算

基于虚功原理的位移计算过程展示
引入位移边界条件，求解方程得到位移结果。
计算实例展示：以案例一的高层建筑为例，展示基于虚功原理的位移计算过程，包括建立模型、列方程、求解等步骤。
结果分析与讨论
1 2 3
位移计算结果分析
对计算得到的位移结果进行分析，包括位移分布、最大值、最小值等，以评估结构的性能。
工程案例分析与讨论
05
工程案例背景介绍
案例一
某高层建筑结构分析与设计。该建筑采用钢筋混凝土框架结构，存在大量的静定结构，需要进行位移计算以验证设计合理性。
案例二
某大跨度桥梁结构健康监测。该桥梁为静定结构，通过应用虚功原理进行位移计算，可以实时监测桥梁结构变形情况，确保桥梁运营安全。
基于虚功原理的位移计算过程展示
• 虚功原理简介：虚功原理是结构力学中的基本原理之一，它表明外力在虚位移上所做的虚功等于内力在相应虚变形上所做的虚功。利用这一原理，可以求解静定结构的位移问题。
基于虚功原理的位移计算过程展示
位移计算步骤建立结构的力学模型，包括几何形状、材料属性、荷载条件等。
根据虚功原理，列出外力虚功与内力虚功相等的方程。
桁架结构
桁架结构由杆件组成，可以利用虚功原理求解其节点位移和杆件内力。首先，根据桁架的几何形状和受力情况，建立虚功方程。然后，通过求解该方程，可以得到桁架各节点的位移和杆件内力。
虚功原理在连续梁、板等结构应用
连续梁结构
对于连续梁结构，可以利用虚功原理求解其挠度和转角。首先，根据连续梁的几何形状和受力情况，建立虚功方程。然后，通过求解该方程，可以得到连续梁各截面的挠度和转角。
智能化算法在静定结构位移计算中的应用

结构力学I-第五章虚功原理与结构位移计算

结构位移计算的一般公式
叠加法：总位移Δ是微元段变形引起的微小位移dΔ之叠加； Δ = ∫dΔ = ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds
多个杆件：每根杆件产生的位移效应的叠加 Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds 变形+支座位移：叠加法支座位移产生的位移Δ=- ∑FRK· cK
另一种形式： 1 ·Δ+ ∑FRK· cK = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds =
=
外力虚功
W
=
Wi
内力虚功
变形体的虚力方程
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结构体位移计算的单位荷载法
l
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d θ
M M
ds
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结构体位移计算的单位荷载法
局部变形时的位移计算公式
微元段的局部变形
1 相对轴向位移 dλ = εds
ds变形
相对轴向位移 dη = γ0ds
相对转角 dθ = ds/R = κds
⑴ 这些相对位移dλ、 dη和dθ 分别对应的广义力是B点的轴力FN，剪力FQ ，及弯矩M；这些微小变形在A端产生的位移dΔ如何求？单位荷载法！ ⑵ 设单位位移在B点产生的的轴力，剪力及弯矩分别为 FN ， FQ 和M，利用虚力原理，有
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应用虚力原理求刚体体系的位移
结构位移计算概述
位移：结构上的某一截面在荷载或其它因素作用下由某一位置移动到另一位置，这个移动的量就称为该截面的位移；思考：变形和位移的差别？变形：结构在外部因素作用下发生的形状变化；

4虚功原理和位移计算

2.利用平衡条件条件计算 2.利用平衡条件条件计算所有微段的外力虚功之和 W 微段位移分刚体位移 ab → a′b′′ 为两部分变形位移 a′b′′ → a′b′ 微段外力功在刚体位移上的功d 在刚体位移上的功dWg 分为两部分在变形位移上的功d 在变形位移上的功dWi +dW d 微段外力功 dW= dWg+d i=dWi 所有微段的外力功之和: 所有微段的外力功之和: W=∫dWi =δWi
直线
MP
MP
1 ⋅ tgα ⋅ ∫ x ⋅ M P (x)dx EI
x
dx
面积矩
y0
1 A ⋅ y0 ⋅ tgα ⋅ Ax0 = EI EI
∆= ∑ Ay0 EI
o
α
y
M
x
x
图乘法公式
公式应用注意公式应用注意
杆段必须是等截面直杆杆段必须是等截面直杆两个图形必须有一直线图形，取自该直线图形两个图形必须有一直线图形，且 y0 取自该直线图形直线图形
变形体虚功原理的证明: 变形体虚功原理的证明
q (x )
a
a′
b a a′ b′
b b′ b′′
1.利用变形连续性条件计算 1.利用变形连续性条件计算所有微段的外力虚功之和 W 微段外力分体系外力为两部分相互作用力微段外力功体系外力功d 体系外力功dWe 分为两部分相互作用力功d 相互作用力功dWn +dW 微段外力功 dW= dWe+d n 所有微段的外力功之和: 所有微段的外力功之和: W=∫dWe+∫dWn =∫dWe =δWe
(2) 为超静定、动力和稳定计算做准备为超静定、
变形体虚功原理
一、功、实功和虚功

5-1 虚力原理求位移解析

P A B ΔB P
m A
B m
ΔA
这里Δ是与广义力相应的广义位移。表示AB两截面的相对转角。
A
Δ
B
第5章虚功原理与结构位移计算
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四、虚力原理 ——虚设力系求刚体体系位移
已知 c1 求 D
c1
C A a b P=1 A C B B
D=?
设虚力状态
R1 a P b = 0
P m β Δ
第5章虚功原理与结构位移计算
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3）若广义力是等值、反向的一对力P
T = PD A PD B = P(D A D B ) = PD
这里Δ是与广义力相应的广义位移。
表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。 4）若广义力是一对等值、反向的力偶 m
T = m A m B = m( A B ) = mD
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例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d 试求A点在ｉ－ｉ方向的位移 DN 。
i
B
A
DN
Ai
由平衡条件：
d
B
N = 1 cos
虚功方程：
1 D N N d = 0
DN
1
N
B
N
A
DN = N d
当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移D，即是三者的叠加，有：
1 Dc = cA 3
第5章虚功原理与结构位移计算
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1 A B C D
1 2l
2 l
3 2l
所得正号表明位移方向与假设的单位力方向一致。
2
1 b

4虚功原理及静定结构位移计算1

10
9
A
A1
M P、FQP 、FNP——荷载作用下结构产生的弯矩、剪力、轴力式中：
——单位广义力作用下结构产生的弯矩、剪力、轴力 M k、 F Qk 、 F Nk 、
内力正负号规定：轴力拉为正，剪力使微段顺时针转动为正，弯矩只规定乘积的正负号，当两个弯矩使杆件同一侧受拉时，乘积取正号。
30
（1）荷载；（2）温度改变；（3）支座位移；（4）制造误差；荷载温度改变、材料收缩制造误差、支座位移
变形
位移
（5）材料收缩
3
二结构位移的种类 .结构位移的种类 2. （1）某点的线位移（2）某截面的角位移
（3）两点间的相对线位移
（4）两截面间的相对角移线位移：角位移：线位移：角位移： A C
We Wi
外力虚功：
内力虚功：
23
F F
p
RK
Ck FN ds FQds Mds Ck （FN FQ M）ds
杆件结构：
F F
p
RK
说明：（1）虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。（2）原理适用于任何 (线性和非线性)的变形体，适用于任何结构。
(a)
MB 0 由外力虚功总和为零，即：实际受力状态的平衡方程
(2)虚位移与实际力状态无关将 X / C a ,/故可设 b 代入得 :x
X x

X X P C 0 1X bP / a
(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。 1 通常取 (4)特点：用几何法来解静力平衡问题
L1
Fp=1/L Fp=1/L

结构力学课件(虚功原理与结构位移计算)

产生相对剪位移d，试求A点在i－i方向
的位移 Q 。
i
B
d
A
Q
i
B
A
Q
1
A
B
a
a
Q
M 1 sin a
虚功方程：1 m M d 0 2019/11/22 m M d
Q 1 sin
1 Q Q d 0
8
Q Q d
例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d 试求A点在
实际变形状态
虚力状态
( M N Q )ds Rkck
(1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力； (2) 求虚力状态下的内力及反力 M .N .Q .Rk 表达式; (3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。
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15
§4-3 荷载作用下的位移计算
3）若广义力是等值、反向的一对力P
T P A P B P( A B ) P P
AP t
B
P
这里Δ是与广义力相应的广义位移。
mΔA
t
β ΔB Δ
表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。
m
A
Bm
4）若广义力是一对等值、反向的力偶 m
T m A mB m( A B ) m
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1
第四章
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2
§4-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
一、结构位移计算概述
计算位移的目的：（1）刚度验算，（2）超静定结构分析的基础
产生位移的原因：（1）荷载（2）温度变化、材料胀缩（3）支座沉降、制造误差
c

结构力学-虚功原理和结构的位移计算

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第九章虚功原理和结构的位移计算第四节图乘法及其应用
受弯为主的构件位移计算常遇到积分公式：
∑ ∫ ΔiP =
MMP ds EI
称莫尔积分
在杆件数量多或荷载较复杂的情况下，不方便。下面寻求一种简单的计算位移的法。
利用图形的静矩原理将图形积分变为图形相乘
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第九章虚功原理和结构的位移计算
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第九章虚功原理和结构的位移计算
第一节位移计算概述
3、产生位移的主要原因各种因素对静定结构的影响
内力
变形
位移
荷载
√
√
√
温度改变或 ×
√
√
材料胀缩
支座移动或 ×
×
√
制造误差
产生位移的主要原因主要三种：①荷载作用、②温度改变和材料胀
缩、③支座移动和制造误差。
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第九章虚功原理和结构的位移计算第一节位移计算概述 4 体系特征假定
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功。
（力与位移相互独立）
FP2 Δ22
FP1
Δ11 Δ12
W12 = FP1Δ12
（此过程力保持为常量）
虚功具体有两种情况：
1 作功双方其一是虚设的； 2 作功双方均是实际存在的，但彼此无关。11 / 72
第九章虚功原理和结构的位移计算
第二节变形体虚功原理
注意：
外力虚功
∑ We = 1 ⋅ Δk + FRi ⋅ ci
内力虚功
Wi = ∑ ∫ Mdϕ + ∑ ∫ FNdλ + ∑ ∫ FQdη
由虚功方程 We = Wi
Δk = ∑ ∫ Mdϕ + ∑ ∫ FNdλ + ∑ ∫ FQdη − ∑ FRici