图论与网络流第六章答案蒋长浩

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图论期末考试试题和答案

图论期末考试试题和答案****一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 图论中，图的基本元素不包括以下哪一项？A. 顶点B. 边C. 权重D. 节点答案：D2. 在图论中，一个图的路径是指什么？A. 一系列顶点B. 一系列边C. 一系列顶点和边的序列D. 一系列权重答案：C3. 有向图和无向图的主要区别是什么？A. 边的方向B. 顶点的数量C. 边的数量D. 图的颜色答案：A4. 在图论中，一个完全图是指什么？A. 所有顶点都相连的图B. 所有边都相连的图C. 所有顶点和边都相连的图D. 所有权重都相同的图答案：A5. 图论中的欧拉路径是指什么？A. 经过每条边恰好一次的路径B. 经过每个顶点恰好一次的路径C. 经过每条边恰好一次的回路D. 经过每个顶点恰好一次的回路答案：C6. 图论中的哈密顿路径是指什么？A. 经过每条边恰好一次的路径B. 经过每个顶点恰好一次的路径C. 经过每条边恰好一次的回路D. 经过每个顶点恰好一次的回路答案：B7. 在图论中，二分图是指什么？A. 图的顶点可以被分成两个不相交的集合B. 图的边可以被分成两个不相交的集合C. 图的顶点和边可以被分成两个不相交的集合D. 图的权重可以被分成两个不相交的集合答案：A8. 图论中的最短路径问题是指什么？A. 寻找从一个顶点到另一个顶点的最短路径B. 寻找从一个顶点到所有其他顶点的最短路径C. 寻找所有顶点之间的最短路径D. 寻找所有边之间的最短路径答案：A9. 图论中的最小生成树问题是指什么？A. 寻找一个图中所有顶点的最小生成树B. 寻找一个图中所有边的最小生成树C. 寻找一个连通图中所有顶点的最小生成树D. 寻找一个连通图中所有边的最小生成树答案：C10. 图论中的网络流问题是指什么？A. 在图中寻找最大流量B. 在图中寻找最小流量C. 在图中寻找最大流和最小割D. 在图中寻找最小流和最大割答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 在图论中，如果一个图的任意两个顶点都由一条边连接，则称这个图为______图。

图论基础与网络流习题集锦

图论简介
平行边：即重边。环：即自环。简单图：不含平行边且不含环的图。度：无向图中，与某点关联的边的数量。入度，出度：有向图中，与某点关联的入边和出边的数量。 K-正则图：无向简单图中所有点的度数都为K。握手定理：所有点度数之和等于2*|E|。
同构：两个无向图<V1,E1>与<V2,E2>，若存在双射函数f:V1->V2，使得对于任意vi,vj ∈ V1,f(vi),f(vj) ∈ V2时， <vi,vj> ∈ E1当且仅当<f(vi),f(vj)> ∈ E2，则称这两个无向图同构。
网络流习题集锦：闭合子图
最大权闭合子图类问题：
给定一些事件。
事件之间有依赖关系，比如若选了A就一定要选B。
建图的经典思想： S->(pA S->B->T A->(c)B 用c作为最小割
网络流习题集锦：加工顺序
有N个工作，M种机器，每种机器你可以租或者买过来. 每个工作包括若干道工序，每道工序需要某种机器来完成,你可以通过购买或租用机器来完成。现在给出这些参数，求最大利润。 N<=1200,M<=1200
解答：将所有工人看做一个点排成一排在左边，所有产品看做一个点排成一排在右边，若某个工人会制造某个产品，则在相应的两个点上连容量为1的边。
此时，我们考虑到对这个图做网络流，源向左边每个点都连一条容量为K的边，右边每个点向终点连一条容量为K的边，如果没有流满，那么显然是不可能有解的。而如果流满，则根据Hall定理，我们也可以知道它是有解的，然后一遍一遍进行二分图匹配即可。
网络流习题集锦：路径覆盖
路径覆盖类题目，主要是指这样一类问题：给定一个图以及一系列行走规则，问如何使用最小的代价将用一系列按照行走规则的路径覆盖住。下面我们就来具体问题具体反分析。

图论讲义1图路树

这便证明了 G 是一个二部图。证毕。
7. 连通性图中两点的连通：如果在图 G 中 u，v 两点有路相通，则称顶点 u，v 在图 G 中连通。连通图（connected graph）：图 G 中任二顶点都连通。图的连通分支（connected branch, component）：若图 G 的顶点集 V(G)可划分为若干非空子集
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
3
（8）完全图(complete graph)
（9）图的顶点数（图的阶）ν 、边数 ε
（10）顶点 v 的度(degree)：d(v) = 顶点 v 所关联的边的数目（环边计两次）。
（11）图 G 的最大度： ∆(G) = max{dG (v) | v ∈V (G)}
图 G 的最小度：δ (G) = min{dG (v) | v ∈V (G)}
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。

第6章-图习题参考答案

习题六参考答案一、选择题1.在一个有个顶点的有向图中，若所有顶点的出度之和为，则所有顶点的入度之和为（A）。

A. B. C. D.2.一个有向图有个顶点，则每个顶点的度可能的最大值是（B）。

A. B. C. D.3.具有6个顶点的无向图至少应有（A）条边才能确保是一个连通图。

A.5B.6C.7D.84.一个有n个顶点的无向图最多有（C）条边。

A. B. C. D.5.对某个无向图的邻接矩阵来说，下列叙述正确的是（A）。

A.第行上的非零元素个数和第列上的非零元素个数一定相等B.矩阵中的非零元素个数等于图中的边数C.第行与第列上的非零元素的总数等于顶点的度数D.矩阵中非全零行的行数等于图中的顶点数6.已知一个有向图的邻接矩阵，要删除所有以第个顶点为孤尾的边，应该（B）。

A.将邻接矩阵的第行删除B.将邻接矩阵的第行元素全部置为0C.将邻接矩阵的第列删除D.将邻接矩阵的第列元素全部置为07.下面关于图的存储的叙述中，哪一个是正确的？……（A）A．用邻接矩阵存储图，占用的存储空间只与图中顶点数有关，而与边数无关B．用邻接矩阵存储图，占用的存储空间只与图中边数有关，而与顶点数无关C．用邻接表存储图，占用的存储空间只与图中顶点数有关，而与边数无关D．用邻接表存储图，占用的存储空间只与图中边数有关，而与顶点数无关8.对图的深度优先遍历，类似于对树的哪种遍历？……（A）A.先根遍历B.中根遍历C．后根遍历D．层次遍历9.任何一个无向连通图的最小生成树（B）。

A.只有一棵B.有一棵或多棵C.一定有多棵D.可能不存在10.下面是三个关于有向图运算的叙述：（1）求两个指向结点间的最短路径，其结果必定是唯一的（2）求有向图结点的拓扑序列，其结果必定是唯一的（3）求AOE网的关键路径，其结果必定是唯一的其中哪个（些）是正确的？……（D）A.只有（1）B.（1）和（2）C.都正确D.都不正确二、填空题1.若用表示图中顶点数，则有条边的无向图称为完全图。

国科大中科院图论与网络流理论第6章答案

,Vk 是 G I 的一个正常 k -点染色，即 V1 ,V2 ,
V j ,
k i 1
,Vk 是 V (G I ) 的
一个划分，每个 Vi 非空， Vi
Vi V (G I ) 。从而
k i 1
Vi
I V (G ) ，且是
V1 ,V2 ,
因此构成 G 的一个 k 1 正常点染色，故 (G) k 1 ， ,Vk , I 互不相交的独立集。
(G) (G I ) 1，即 (G) 1 (G I ) 。
结合式（1）得 (G I)
(G) 1 。
证明 2： G 是 k 色临界的，则 (G) k ，且 (G I ) k 1 。另一方面，若 (G I ) r k 1，无妨设 G I 的一个 r 正常染色为 V1 ,V2 , 则 V1 ,V2 ,
即 (G I ) (G) 1 ，结合（2）式，得 (G I)
(G) 1 。
ห้องสมุดไป่ตู้
证明 4：因 G 是色临界图，故 (G I ) (G) 1 ，另一方面，假如 (G I ) (G) 2 ，则 G I 是 (G) 2 色可染的，因 G I 是 G 的子图，对 G I 进行 (G) 2 色正常染色后，再用第 (G) 1种色对 I 中的点染色，可得 G 的 (G) 1正常点染色，这与 G 的色数
证法 3：假如 (G) ，则由正则性， G 的每个点都与种颜色的边相关联，从而去掉一种颜色的边后所得之图 G 是个顶点的 k 1 正则图。在 G 中看， 2
d (v )
vG

图论习题答案

图论习题答案
《图论习题答案》
图论作为数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

在学习
图论的过程中，我们常常会遇到各种各样的习题，通过解答这些习题可以帮助
我们更好地理解图论的知识。

下面就让我们来看一些图论习题的答案吧。

1. 问：一个图中有多少条边？
答：一个图中的边数可以通过计算每个顶点的度数之和再除以2来得到。

2. 问：一个图中有多少个连通分量？
答：一个图中的连通分量可以通过使用深度优先搜索或广度优先搜索来求得。

3. 问：一个图中是否存在欧拉回路？
答：一个图中存在欧拉回路的充分必要条件是每个顶点的度数都是偶数。

4. 问：一个图中是否存在哈密顿回路？
答：一个图中存在哈密顿回路的判定是一个NP难题，目前还没有有效的多项式时间算法。

5. 问：一个图中的最小生成树有多少条边？
答：一个图中的最小生成树的边数恰好等于顶点数减一。

通过解答这些图论习题，我们可以更好地掌握图论的基本概念和算法。

图论不
仅在数学领域有着重要的应用，而且在计算机科学、电信网络等领域也有着广
泛的应用。

因此，熟练掌握图论知识对我们的学习和工作都有着重要的意义。

希望通过本文的分享，能够帮助大家更好地理解图论知识，提高解决问题的能力。

同时也希望大家在学习图论的过程中能够多多练习，勇于挑战各种各样的
图论习题，不断提升自己的图论水平。

祝大家在图论的学习道路上取得更大的
进步！。

图论-图的基本概念

若 i, j 中有奇数，比如 i 是奇数，则路 P 上 v0 到 vi 的一段与边 v0vi 构成一个偶圈；若 i, j 都是偶数，则路 P 上 vi 到 v j 的一段与边 v0vi 及 v0v j 构成一个偶圈。证毕。例 1.1.4 设 G 是简单图，若δ (G) ≥ 3 ,则 G 中各个圈长的最大公因数是 1 或 2。证明：由上例知，G 中有长分别为 i + 1, j + 1和 j − i + 2 的圈。若 i + 1, j + 1， j − i + 2 三数有公因数 m > 2 ，则 m | ( j − i) ，于是 m | 2 ，这是不可能的。因此 i + 1, j + 1， j − i + 2
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果 V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。

网络流习题答案

网络流习题答案网络流是图论中一个重要的概念，它在计算机科学和运筹学等领域有着广泛的应用。

网络流问题可以抽象为在一个有向图中找到从源点到汇点的最大流量或最小割问题。

解决网络流问题的算法有很多种，其中最著名的是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。

在解决网络流问题时，我们首先需要定义图的结构。

一个网络流图由一组节点和一组有向边组成。

每条边都有一个容量，表示该边上最大可以通过的流量。

图中有一个特殊的源点和一个汇点，源点是流量的起点，汇点是流量的终点。

我们的目标是找到从源点到汇点的最大流量。

Ford-Fulkerson算法是一种经典的解决网络流问题的方法。

它的基本思想是不断寻找增广路径，即从源点到汇点的一条路径，沿途每条边上的流量都小于等于该边的容量。

通过增加这条路径上的流量，我们可以逐步增大整个网络的流量。

当无法找到增广路径时，算法终止，此时的流量即为最大流量。

Edmonds-Karp算法是Ford-Fulkerson算法的一个改进版本。

它通过使用广度优先搜索来寻找增广路径，从而保证每次找到的路径都是最短的。

这样可以大大提高算法的效率，尤其是在图中边的容量差异较大时。

Edmonds-Karp算法的时间复杂度为O(V*E^2)，其中V是节点数，E是边数。

除了上述两种算法外，还有其他一些解决网络流问题的方法，如Dinic算法和Push-Relabel算法等。

这些算法在不同的应用场景下有各自的优势，选择适合的算法可以提高问题的求解效率。

网络流问题的应用非常广泛。

在运输领域，网络流可以用来优化货物的运输方案，使得总运输成本最小。

在通信网络中，网络流可以用来优化数据的传输路径，提高网络的吞吐量。

在社交网络中，网络流可以用来分析信息的传播过程，预测病毒传播的路径等。

总之，网络流是图论中一个重要的概念，它在计算机科学和运筹学等领域有广泛的应用。

解决网络流问题的算法有很多种，每种算法都有其适用的场景。

第六章运筹学图与网络

A
7
2
2
5
S
4
B
5
D
5
1
C
3
4
E
1
7
T
第三节最短路(Shortest path)问题最短路问题是指在给定的网络(有向图和无向图) 中,找出任意两点间距离最短的一条路,这里的距离是权值的代表.最短路问题可应用于选址,管道铺设时的选线,设备更新,投资等方面. 本节介绍从某一点到其他各点之间最短距离的 Dijkstra算法和网络图上任意两点的最短距离的矩阵算法.
对起点和终点相重合的链称为圈.起点和终点重合的路称为回路.在一个图中,如果任意两点间至少存在一条链,则称该图为连通图,否则为不连通的.
1 v5 , e8 , v3 , e3 , v1 , e2 , v2 , e4 , v3 , e7 , v4 2 v5 , e8 , v3 , e7 , v4
图的最小部分树(最小生成树):设 G2 是一个图,如果 G1 是 G2 的支撑子图(部分图),且 G1 是一个树, 则称 G1 是 G2 的部分树.树的各条边称为树枝.在图的每条边上赋予权值的图称为赋权图. 在 G2 中一般含有许多部分树,其中树枝总长为最小的部分树,称为该图的最小部分树.
部分树
min2 7,4 5,4 3,4 4 7 LSE , 对E标号, 将边[ B, E ]改
与已标号点相邻的未标号点是D, T .计算 LSP minLSA d AD , LSB d BD , LSE d ED , LSE d ET [ E , D]改为红色; 只有T未标号, 计算LSP minLSD d DT , LSE d ET min8 5,7 7 13 LST , 对T标号, 将边[ D, T ] 改为红色, 计算结束.图中红线为S到T的最短路, T点旁的数值 13为最短路的长度 .

第六章图与网络分析习题及参考答案案

第六章图与网络分析习题及参考答案案习题六图与网络分析习题及参考答案.1 十名学生参加六门课程的考试。

由于选修内容不同，考试门数也不一样。

下表给出了每个学生应参加考试的课程（打⊙的）：学生考试课程 A B C D E F1 ⊙⊙⊙2 ⊙⊙3 ⊙⊙4⊙⊙⊙5⊙⊙⊙6 ⊙⊙7⊙⊙⊙8 ⊙⊙9 ⊙⊙⊙10⊙⊙⊙规定考试在三天内结束，每天上下午各安排一门。

学生希望每人每天最多考一门，又课程A必须安排在第一天上午考，课程F安排在最后一门，课程B只能安排在下午考，试列出一张满足各方面要求的考试日程表。

参考答案把同一个研究生参加的考试课程用边连接，得图如下。

由图看出，课程A只能同E排在一天，B同C排在一天，D同F在一天。

再据题意，考试日程表只能是下表：B E 上午下午第一天 A EA F 第二天 C B第三天 D FD C2 求下图的最小生成树和最大生成树：V6 3需参考答案将每小块稻田及水源地各用一个点表示，连接这些点的树图的边数即为至少要挖开的堤埂数。

（至少挖开11条）4. 请用标号法求下图所示的最短路问题，弧上数字为距离：参考答案路线为1－2－4－6，距离为9个单位5 用Dijkstra标号法求下图中始点到各顶点的最短路，弧上数字为距离：v3 3 v51 5 4v1 24v2 2 v4参考答案1－2，3，4，5最短路：3*,1*,5*,4*6最短路问题：某公司使用一种设备，此设备在一定年限内随着时间的推移逐渐损坏。

每年购买价格和不同年限的维修使用费如下表所示。

假定公司在第一年开始时必须购买一台此设备，请建立此问题的网络图，确定设备更新方案，使维修费和新设备购置费的总数最小。

说明解决思路和方法，不必求解。

年份 1 2 3 4 5价格20 21 23 24 26使用年限0－1 1－2 2－3 3－4 4－5费用8 13 19 23 30参考答案弧（i，j）的费用或“长度”等于j－i年里的设备维修费加上第i 年购买的新设备的价格。

计算机网络分章节习题答案

各章习题各章习题 .................................................................................................................................................................1 答案 . (1)第一章绪论（7） .........................................................................................................................................1 第二章线性表（6） .....................................................................................................................................1 第三章栈和队列（5） .................................................................................................................................2 第四章串（3） .............................................................................................................................................2 第五章数组（3） .........................................................................................................................................2 第六章二叉树（20） ...................................................................................................................................2 第七章图（5） .............................................................................................................................................5 第九章查找（5） .........................................................................................................................................5 第十章排序（8） .. (6)答案第一章绪论（7）1．集合、线性结构、树形结构、网（图）状结构 2．C 3．B 4．A 5．6．7．n第二章线性表（6）1. n/22. H->next=H3. A4.A B6.(a) 5, 8, 9(b) 4,2,14,5,8,9(c) (4,2,14,1,8,9) (5,2,14,5,8,9)(d) (2,5,8,9) (2,4,3,9)(e) (10,5,8,9) (4,12,8,9) (2,4,12,8,9) (2,10,5,8,9)第三章栈和队列（5）1.线性任意栈顶队头队尾2. A3. B4. D5. A第四章串（3）1．长度相同对应位值的字符相同2．C3．B第五章数组（3）1．11002．A3．三元组转置后三元组第六章二叉树（20）1．2n-13．684．2 n-1 1 n 1 n-1 5．n+1 6．2k-1 7． B 8． D 9． A 10．A 11．D 12．C 13．14.(1) 设结点所处的层数为L ，则各层的结点数：k L-1 (2) (i-1)/k 下取整 (3) 2*k+m(4) i%k!=0i+1 (5) n0=k h-1nk= k h -1-n0= (k-1)*n0-115.若一棵二叉树的前序序列为ADCBFKHIGJE ，中序序列为BCDKFHAGIJE ，请画出该二叉树。

运筹学第六章网络规划与网络分析

与无向图和有向图相对应，网络又分为无向网络和有向网络。
图的矩阵表示方法：关联矩阵：在图G=(V,E) 中，V=（v1,v2,…,vp),E=(e1,e2 ,…,eq), 构造一个矩阵 A (aij ) pq ，其中
1 当点vi与边e j 关联 aij 否则 0
则称A为G的关联矩阵。关联指顶点与边的关系。
vit
的一条链，简记为
v , v
i1
i2
,, vit 。其中 eik (eik , ei ( k 1) ), k 1, 2,..., t 1 。称 vi1和
1 2 3 2 4 5 1 2 4 5
vit 为链的两个端点。图6-3 中的 v , v , v ,v , v , v ,v , v , v , v
为区别起见，把两点间不带箭头的连线称为边，带箭头的连线称为弧。由此看出，用图来描述事物间的联系，不仅直观清晰，便于统观全局，而且网络图的画法简便，不必拘泥于比例和曲直。总之，这里所讲的图是反映对象之间关系的一种工具。这样的例子也很多，电路网络、城市规划、信息传递、物质结构、物资调配等也都可以用点和线连接起来的图进行模拟。
都是链。两个端点重合的链，称为圈。在一个图中，如果任何两个顶点之间都有一条链，该图称为连通图。
二、有向图
（1）有向图
有向图是一个有序二元组（V,A），记为D（V,A），其中
V (v1 , v2 ,..., vp ) 是p个顶点的集合，A (a1 , a2 ,..., aq ) 是q条弧
ait vi ( t 1) , vit ，则称P是一条链接 vi1 和 vit 的有向路。
三、网络
实际问题中，往往只用图来描述所研究对象之间的关系还不够，如果在图中赋予边一定的数量指标，我们常称之为“权”。依据研究问题的需要，权可以代表距离，也可以代表时间、费用、容量、可靠性等。通常把这种赋权图称为网络。

对_中国邮递员问题_的数理分析

（1）任取起始点 v0，v0 → R （2）设路 R={e1(v0,vi1),e2(vi1,vi2)，…，er(vir- 1,vir)}已选出，则从 E\ {e1, e2，…，er}中选出边 er+1，使 er+1 与 vi 相连，除非没有其它选择，Gr\ {er+1}仍应为连通的．（3）重复步骤（2），直至不能进行下去为止．定理 3 若 G 是欧拉图，则 Fleury 算法终止时得到的是 G 的欧拉环游．
如果图 G 是欧拉图，则 G 的欧拉环游便是最优回路，可用 Fleury 算法求得；若 G 不是欧拉图，则含有所有边的闭途径必须重复经过一些边，最优回路要求重复经过的边的权之和达到最小。闭途径重复经过一些边，实质上可看成给图 G 添加了一些重复边（其权与原边的权相等），最终消除了奇点形成一个欧拉图。因此，在这种情况下求最优回路可分为两步进行：首先给图 G 添加一些重复边得到欧拉图 G*，使得添加边的权之和最小，然后用 Fleury 算法求 G* 的一条欧拉环游。这样便得到 G 的最优回路。问题是如何给图 G 添加重复边得到欧拉图 G*，使得添加边的权之和最小？
的边不重的并．而且 G[F]中各圈均既有 F1 的边又有 F2 的边
（因 F1 的边不会形成圈，F2 的也是）．由条件（2），G[F]中任一个圈 C' 上 F1 的边的权之和与 F2 的边的权之和均不超过 w (C')的一半．于是 F1、F2 在 C' 上边的权之和必都等于 w(C')的一半。这说明 G[F]中属于 F1 的边的权之和＝G[F]中属于 F2 的边的权之和．因此 w(G2*)=w(G1*)，从而 w(C2)=w(C1)。证毕。
定理 4 设 C 是一条经过赋权连通图 G 的每条边至少一次的回路，则 C 是 G 的最优回路，当且仅当 C 对应的欧拉图 G* 满足：

图论试题及答案解析图片

图论试题及答案解析图片一、选择题1. 在图论中，一个图的顶点数为n，那么这个图最多有多少条边？A. nB. n(n-1)/2C. n^2D. 2n答案：B解析：在一个无向图中，每个顶点最多与其他n-1个顶点相连，因此最多有n(n-1)/2条边。

2. 什么是连通图？A. 至少有一个环的图B. 任意两个顶点都可以通过路径相连的图C. 没有孤立顶点的图D. 所有顶点度数都大于0的图答案：B解析：连通图是指图中任意两个顶点都可以通过路径相连的图。

3. 在图论中，什么是哈密顿路径？A. 经过图中所有顶点的路径B. 经过图中所有边的路径C. 经过图中所有顶点的回路D. 经过图中所有边的回路答案：A解析：哈密顿路径是指经过图中所有顶点的路径。

4. 什么是二分图？A. 图的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的顶点不相邻B. 图的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的顶点相邻C. 图的边可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的边不相邻D. 图的边可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的边相邻答案：A解析：二分图是指图的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的顶点不相邻。

5. 在图论中，什么是最小生成树？A. 包含图中所有顶点的最小边数的生成树B. 包含图中所有顶点的最小权重的生成树C. 包含图中所有边的最小权重的生成树D. 包含图中所有边的最小边数的生成树答案：B解析：最小生成树是指包含图中所有顶点的最小权重的生成树。

二、填空题1. 在无向图中，如果一个顶点的度数为n，则该顶点至少有______条边。

答案：n解析：一个顶点的度数是指与该顶点相连的边的数量。

2. 如果一个图是连通的，那么该图至少有______个连通分量。

答案：1解析：连通图的定义是图中任意两个顶点都可以通过路径相连，因此至少有一个连通分量。

3. 在图论中，一个图的色数是指给图的顶点着色，使得相邻顶点颜色不同，所需的最小颜色数。

管理运筹学第6章图与网络模型

表示。
a1
(v2)钱
a7
a2
a8
(赵v1)
a14 a15 a3
(v4) 李
a4
a9
(v3)孙
a5
a6
a12
a11
(v5) 周
a10
(v6)吴 a13
(v7)陈
图3
图（Graph）由点（Vertex）和点之间的连线所构成的集合。不带箭头的连线称为边；带前头的连线称为弧。点和边的集合称为无向图（Undirected graph），如图 (a)，用G={V，E}表示；
,
d (0) SC

d (0) CB
,
d (0) SD

d
(0) DB
,
d (0) SE

d
(0) EB
,
d (0) SF

d
(0) FB
,
d
(0) ST

d (0) TB
}
一般地有：
d (1) ij

min{di(r0)

d (0) rj
}
0 2 4 4 6 1 6

2
Hale Waihona Puke 0224
3
11

v7 v6
v 3
v4 v5
v1,v2 , v4 ,v7,v3, v5,v6 , v8
§6.1 图与网络的基本概念
图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。如物质结构、电路网络、城市规划、交通运输、信息传递、物资调配等都可以用点和线连接起来的图进行模拟。
0sssasbscsdsesfstasaaabacadaeafatbsbabbbcbdbebfbtcscacbcccdcecfctdsdadbdcdddedfdteseaebecedeeefetfsfafbfcfdfefffttstatbtctdtetfttddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd???????????????????????????0212022420312043434071305???????????????????????????????????????6????????????????7d0为对称矩阵50160??????1sb0ss0sb0sa0ab0sb0bb0sc0cb0sd0db0se0eb0sf0fb0st0tbminddddddddddddddddd?????????因为从i到j的最短路不一定是i?j可能是i?l?ji?l?k?j

《图论与网络流》课件

最ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ流最小割定理
总结词
最大流最小割定理是图论中一个重要的定理，它指出在一个有向图中，从源点到汇点的最大流等于最小割的容量。
详细描述
最大流最小割定理是解决网络流问题的重要理论依据，它提供了一种将最大流问题转化为最小割问题的思路。通过求解最小割问题，可以找到一个割点集合，使得从源点到汇点的流量等于该割的容量，从而得到最大流。在实际应用中，最大流最小割定理可以应
感谢您的观看
THANKS
02
图论中的基本问题
欧拉路径与欧拉回路
欧拉路径
一个路径是图中的一条边序列，使得每条边只经过一次，起点和
终点是同一点。
欧拉回路
一个路径是图中的一条边序列，使得每条边只经过一次，起点和终点是同一点，且所有节点均不重复。
总结
欧拉路径和回路是图论中的基本概念，它们在计算机科学、运筹学、电子工程等领域有广泛应用。
最小割算法
01
最小割算法是图论中求解最小割问题的算法，旨在将图划分为两个不相交的子集，使得两个子集之间的边权值之和最小。
02
最小割问题与最大流问题是互补的，一个问题的解可以通过另一个问题的解得到。
03
最小割算法的实现通常基于最大流算法，通过求解一系列最大流问题来逼近最小割问题的解。
04
最小割算法的时间复杂度也取决于所选的算法和图的具体结构，一般在多项式时间内可求解。
最小费用流算法
最小费用流问题考虑了流的代价，即每条边的容量和代价，要求在满足流量限制的前提下，总代价最小。
最小费用流算法的基本思想是通过不断优化流的路径和代价来逼近最小费用流的解。
最小费用流算法是图论中求解最小费用流问题的算法，旨在找到从源点到汇点具有最小费用的流。

第6章参考答案08

练习及参考答案一选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10B A BC BD D B A C B1. n条边的无向图的邻接表的存储中，边结点的个数有（B）。

A. nB. 2nC. n/2D. n×n2. n条边的无向图的邻接多重表的存储中，边结点的个数有（A）。

A. nB. 2nC. n/2D. n×n3.下列哪一种图的邻接矩阵是对称矩阵？（B)。

A.有向图B.无向图C. AOV网D: AOE网4.最短路径的生成算法可用（C）A.普里姆算法B．克普斯卡尔算法G迪杰斯特拉算法 D.哈夫曼算法5．一个无向图的邻接表如图6-41所示。

(1）从顶点V o一出发进行深度优先搜索，经历的结点顺序为（B）。

A.V0,V3,V2,V1B. v0,V1,V2,V3C. V0,V2,V1,V3D.V0,V1,V3,V2;（2）从顶点V0出发进行广度优先搜索，经历的结点顺序为（D)。

A.V0,V3,V2,V1B. v0,V1,V2,V3C. V0,V2,V1,V3D.V0,V1,V3,V2;6.设有向图n个顶点和e条边，进行拓扑排序时，总的计算时间为（D）。

－A. O(alog2e)B. O(e×n）C. O(elog2n)D. O(n+e)7.含有乎个顶点e条边的无向连通图，利用Kniskal算法生成最小生成树，其时间复杂度为（B）。

A. O(alog2e)B. O(e×n）C. O(elog2n)D. O（alog2n)8.关键路径是事件结点网络中（A）。

A.从源点到汇点的最长路径B.从源点到汇点的最短路径C.最长的回路D.最短的回路9.下面关于求关键路径的说法不正确的是（C)。

A.求关键路径是以拓扑排序为基础的B．一个事件的最早开始时间与以该事件为尾的弧的活动最早开始时间相同C.一个事件的最迟开始时间为以该事件为尾的弧的活动最迟开始时间与该活动的持续时间的差D.关键活动一定位于关键路径上10.有10个结点的无向图至少有（B）条边才能确保其是连通图。

一轮复习：第6章章末网络构建ppt课件(含答案)

——————————————— [总揽全局]———————————————
———————————————[精要填充]———————————————
①_发__达__国__家_增__长__慢__，__发__展__中__国__家__增__长__快___ ②_出__生__率__、_死__亡__率__、__自__然__增__长__率___ ③_高__出__生__率__、__高_死__亡__率__、__低__自__然__增__长__率___ ④_高__出__生__率_、__低__死__亡__率__、__高__自__然__增__长__率___ ⑤_低__出__生__率_、__低__死__亡__率__、__低__自__然__增__长__率___
⑥_实__行__计__划__生_育__，__控__制__人__口__增__长___ ⑦_国__内__人__口__迁__移____ ⑧_社__会__经__济__因_素__ ⑨_相__对__确__定__性___ ⑩__资__源__的__丰_富__程__度____
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/312021/8/31Tuesday, August 31, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 1:49:39 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/312021/8/312021/8/31Aug-2131-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/312021/8/312021/8/31Tuesday, August 31, 2021

Chapter6图与网络分析(GraphTheoryandNetworkAnalysis)

证明：设V1和V2分别为图G中奇点与偶点的集合。由定理1可得：
d(v) d(v) d(v) 2m
vV1
vV2
vV
2m为偶数，且偶点的次之和 d(v) 也为偶数，所以 d(v) 必为偶
数，即奇数点的个数必为偶数vV。2
vV1
图的基本概念与模型
Page 21
图的矩阵描述：如何在计算机中存储一个图呢？现在已有很多存储的方法，但最基本的方法就是采用矩阵来表示一个图，图的矩阵表示也根据所关心的问题不同而有：邻接矩阵、关联矩阵、权矩阵等。
次，奇点，偶点，孤立点
e1
与某一个点vi相关联的边的数目称为
e2
e4 v1e3
点vi的次（也叫做度），记作d(vi)。 v2
v3
右图中d(v1)＝４,d(v3)=5,d(v5)=1。次
e5
为奇数的点称作奇点，次为偶数的
e6
e7
e8
点称作偶点，次为1的点称为悬挂点，
次为0的点称作孤立点。
v4
v5
图的次: 一个图的次等于各点的次之和。
图的基本概念与模型
Page 9
链，圈，连通图
图中某些点和边的交替序列，若其中各边互不相同，且对任意vi,t-1和 vit均相邻称为链。用μ表示：
{v0 , e1 , v1 , , ek , vk }
起点与终点重合的链称作圈。如果每一对顶点之间至少存在一条链，称这样的图为连通图，否则称图不连通。
√
√
己
√
√
√
图的基本概念与模型
Page 15
解：用图来建模。把比赛项目作为研究对象，用点表示。如果2个项目有同一名运动员参加，在代表这两个项目的点之间连一条线，可得下图。