自动控制原理作业第七章参考答案

7.1 求下列矩阵的若尔当型及其变换矩阵（1）010001341⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦解：矩阵的特征值为：1230.78,0.11 1.95,0.11 1.95i i λλλ=-=-+=--，因此可化为对角线规范型：0.780.11 1.950.11 1.95ii -⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦变换矩阵为：1232221231111110.780.11 1.950.11 1.950.61-3.8 - 0.42i -3.8 + 0.42i P i i λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）540430461⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦解：矩阵的特征值为：1231λλλ===，()2rank I A -=，表明1λ=的几何重数为3-()rank I A -=1，即该特征值对应一个若尔当块。

所以该矩阵的若尔当型为：11111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，变换矩阵0410404040P ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦（3）421043521⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦解：矩阵的特征值为：1232, 2.21, 6.79λλλ=-==，因此可化为对角线规范型：2 2.21 6.79-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，变换矩阵为00.40.610.410.370.780.810.350.46P ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦（4）010001340⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：矩阵的特征值为：1232.3,1, 1.3λλλ==-=-，因此可化为对角线规范型：2.31 1.3⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，变换矩阵为30.1 2.130.25 2.7530.583.58P -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦7.2已知系统状态方程，求状态变换阵P ，使系统变为对角线型（假设系统的特征值为123,,λλλ）（1）012010001x x a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦解：123222123111P λλλλλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）123100100a x a x a -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦解：系统的特征方程为：32123det()00I A a a a λλλλ-=⇒+++= 设变换矩阵123[,,],i i i i P v v v v Av v λ==满足 设123[,,]Ti i i i v v v v =，则有：11212132313(1)(2)(3)i i i i i i i i i i i a v v v a v v v a v v λλλ-+=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩ 由（1）得211()(4)i i i v a v λ=+由（2）（4）得23121()(5)i i i i v a a v λλ=++ 代入（3）得321123()0i v a a a λλλ+++=所以1i v 是任意常数，取为1，则21i i v a λ=+，2312i i i v a a λλ=++所以112131222111221223132111P a a a a a a a a a λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦7.3证明：对于具有互相不同特征值12,,,n λλλ 的矩阵1211000010000010000n n a a A a a --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦能将其变换为对角矩阵形式的变换矩阵为：11122111212121211111111n n n n n n n n n n n a a P a a a a a a a a λλλλλλλλλλ------⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥=++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦证明：系统的特征方程为：111det()00nn n n I A a a a λλλλ---=⇒++++=设变换矩阵12[,,,],n i i i i P v v v v Av v λ== 满足 设12[,,,]Ti i i in v v v v = ，则有：21111212213231211211111111()()()(1)0(2)i i i i i i i i i i i i i i i n n n i in i in in i i n i n i i in i in n i v a v a v v v a v v v v a a v a v v v v a a v a v v v a v λλλλλλλλλλ-----=+⎧-+=⎧⎪⎪-+==++⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-+==+++⎪⎪-=⎪⎪+=⎩⎩将（1）代入（2）得11110n n i i n i n i a a a v λλλ--++++= 对比系统特征方程可知11i v =满足。

所以可得2123121211)i i i i i n n ini i n v a v a a v a aλλλλλ---=+⎧⎪=++⎪⎨⎪⎪=+++⎩即11122111212121211111111n n n n n n n n n n n a a P a a a a a a a a λλλλλλλλλλ------⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥=++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦7.4写出图示系统的状态方程，是确定此系统是否完全能控和完全能观。

解：由图得：12132312[()()]()3()()2[()()]()(1)U s X s X s s X s s X s X s X s X s s s ⎧-⋅=⎪+⎪⎪⋅=⎨⎪⎪-⋅=+⎪⎩即1321232323223x x x x x u xx x =⎧⎪=---⎨⎪=-⎩ ，所以系统的状态方程为： []001023020230100x x uy x⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=2004261830424rank BABA B rank -⎡⎤⎢⎥⎡⎤=--=⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，所以完全能控。

21000013023C rank CA rank CA ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，所以完全能观7.5 证明状态反馈不会改变系统的能控性。

证明：考虑线性定常系统x Ax Bu y Cx=+= ，设v 为参考输入，加入的状态反馈矩阵为K ，前馈增益矩阵为R ，则状态反馈后闭环系统的状态空间模型为：()xA BK x BRv y Cx=-+=[][][]|0||rank I A BK BR I rank I A B K R rank I A B λλλ-+⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=- 根据PBH 判据可知，状态反馈不会改变系统的能控性。

7.7 证明n 维系统（A 、B ）完全能控的必要条件是[]rank A B n =证明：假设[]rank AB n <，则说明[]A B 的行向量线性相关，故存在非零n R α∈，使得[]0T A B α=，于是0,0T T A B αα==。

进一步可以得到210,0,,0T T T T n AB AAB A B A B αααα-====所以210Tn BAB A B A B α-⎡⎤=⎣⎦ 即21n rank BABA B A B n -⎡⎤<⎣⎦这与系统完全可控矛盾，所以[]rank A B n =是系统完全能控的必要条件7.8 判断下列系统(,,)A B C ∑的能控性和能观性（1）101,,[1,1]020A B C ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 解：10AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[]1rank BAB =，不是完全能控。

[]12CA =，2C rank CA ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，系统完全能观。

（2）11010210010,01,01100210A B C -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 解：110120AB -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2120140A B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦23rank BABA B ⎡⎤=⎣⎦，所以系统完全能控。

22100112103012230014C rank CA rank CA ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，所以完全能观。

（3）[]3410032,0,1010111A B C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦解：201120283113rank BABA B rank ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以完全能控。

2101352392915C rank CA rank CA ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以完全能观（4）2210041120,0,0013111A B C -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦解：20110013114rank BABA B rank -⎡⎤⎢⎥⎡⎤=-=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以完全能控。

204100119133114170494C rank CA rank CA ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，所以完全能观 7.9 考虑系统[]1122331123230100001161160x x x x u x x x y c c c x x ⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎪⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎪⎢⎥⎪=⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎩试问：除1230c c c ===外，123,,c c c 取何值时系统是不能观的。

解：矩阵A 的特征值为1231,2,3λλλ=-=-=-。

若要系统完全能观，则对每个特征值都有3i C rank I A λ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦。

当[]111101,011,26115I A rank I A λλλ--⎡⎤⎢⎥=--=---=⎢⎥⎢⎥⎣⎦此时若使12C rank I A λ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，则系统是不能观的。

所以得213c c c =+。

例如取2132,1,1c c c ===时，212161042243814C rank CA rank CA ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，系统部能观。

同理，对于232,3λλ=-=-用相同的方法可以得到，当213122c c c =+时，或者213133c c c =+时，系统是不能观的。

7.10 设系统的传递函数为32()7148s aG s s s s +=+++，分析当a 为多大时，系统将变为不完全能控或不完全能观。

解：系统的极点为：1231,2,4s s s =-=-=-，即传递函数为：()(1)(2)(4)s aG s s s s +=+++，若a=1或a=2或a=4时，有零极点对消，系统将是不完全能控或不完全能观7.12 将下列系统化为能控规范性：（1）301,021A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦解：系统的特征多项式为：2()det()56s sI A s s α=-=++，因此变换矩阵[]1111312110111041P BAB α-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦11132P --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 11010,651A P AP B P B --⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦（2）101,321A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦解：系统的特征多项式为：2()det()32s sI A s s α=-=++，因此变换矩阵 []1113512110121031P BA B α-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦10.50.521P --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 11010,231A P AP B P B --⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦（3）1011121,02231A B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦解：系统的特征多项式为：32()det()6116s sI A s s s α=-=-+-因此变换矩阵为：122211051161661102961320115191011P BABA B ααα---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤==-=-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1252333121122P -⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦110100001,061161A P AP B P B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦7.13 将下列系统化为能观规范性：（1）[]10,1135A C ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦解：系统的特征方程为：2()det()65s sI A s s α=-=-+变换矩阵116111*********C Q CA α---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦10.1430.1430.1430.143Q ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所以[]105,0116A QAQ C --⎡⎤===⎢⎥⎣⎦（2）[]11,1102A C -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦解： 系统不完全能观。