债券价格的利率敏感性
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债券价格
0
图4-1：债券价格曲线图
市场利率
凸性
例子---某债券票息率 7.25% ,当前价格 100.40695, 当前 YTM is是7.216%. 试比较发生以下 两种情况时,债券实际价格与由久期预计的价格变动 的差别: (1) 收益率增加 1 basis point (2) 收益率增加 200 basis points
T
t
dB 1 1 n c(1 i) t 1 t D di B 1 i t 1 B 1 i
1 i dB D B di
1 dB Dm B di
久期 久期的定义(第二种含义)
久期是债券价格(针对利率的)变化率乘以1加上利率
1 i dB D B di
所以由修正久期预测的新价格是 100.40695*(1-24.24%)=76.06831
凸性
凸性
我们用新的收益率(9.216%)算出的实际价格是 80.16387.所以,实际价格变化是 100.4069580.16387=20.24308 而由久期预测的变化是 100.40695*0.2424=24.33865 差别由债券价格曲线的凸性造成,这个差别是 24.33865-20.24308=4.09557
久期与凸性的简单应用 解决资产与负债的期限匹配
某一金融机构未来有一系列债务Lt，同时也有一系列的资 产收入At，这些债务或者资产可以看作是一系列的零息债 券。如果所有期限的利率水平为i，资产与债务的当前价值 A0和L0是相同的，把它们放在一起就是一个投资组合N， 令N=A0-L0，
L0 Lt (1 i)
债券A 债券B
收益率
凸性 凸性的性质
C (1 i) 2 [S D(1 D)] 凸性的大小与利率、久期和债券现金流发生时 间的方差三个因素有关 ； 凸性与利率呈反向关系，与久期与债券现金流 发生时间的方差呈正向关系 ；
长期债券的凸性大于短期债券的凸性，因为前者的 久期比较长； 如果两个债券组合有相同的久期，则常常是由若干 不同的债券组成的债券组合的凸性大于由单一债券 构成的债券组合的凸性，因为前者债券现金流发生 时间的方差往往大于后者
组合的凸性
C p X jC j
j 1
n
凸性 考虑凸性以后债券价格波动的估计
线性一次逼近 二次逼近
价格 B*+Δ B
B 1 Dm di C (di ) 2 B 2
有效的债券价格
B*
1
2
3
i*+Δ i
i*
市场收益率
凸性
债券价格 债券A相对于债券B的凸性大， 所以A的价格往往高于B
第四讲:债券价格的利率敏感性
固定收益证券
李磊宁
中央财经大学金融工程系
主讲教师：李磊宁
单位：中央财经大学金融工程系 主讲课程：《金融工程学》/《固定收益证券》 联系方式： √电子邮件：lileining3631@126.com
内容提要
1 久期 久期的定义与计算 久期与票息率、到期收益率、剩余期限的关系 债券组合的久期 2 凸性 凸性的定义与计算 凸性的性质 3 久期与凸度的简单应用
两边取对数 并对i求导
T (i c / BT ) (1 i) D 1 i T (c / BT )[(1 i) 1] i
1
1 i dB D B di
将该式考虑在内
久期
图 债券久期、修正久期随息票率变动示意图 10 久期 修正久期
9.5
9
8.5
d/md
8
久期与凸性的简单应用 构建对冲债券投资组合
市值相同 组合久期和凸性相同 做空对冲债券投资组合即可完全规避利率风险
构建凸性增强债券投资组合
市值相同 久期相同 用多种债券构造凸性更高的债券投资组合
久期与凸性的简单应用
构建对冲债券投资组合
债券投资组合 （2009年10月29日）
Dp X j D j , X j
j 1
B j (i)
注意：
P(i)
, X j 1
j 1
采用这种简单的方式计算组合的久期必须有严格的 假定前提，那就是利率期限结构是扁平的并且其形 状与位置都保持不变
凸性
凸性的定义与计算
定义：凸性（convexity）即债券价格曲线的曲率，反 映了该曲线的弯曲程度。价格曲线弯曲的程度越大， 凸性就越大。
215.41份“03国债(7)”、677.32份“06国债(3)”以及134.32份“03国债(3)”。
久期与凸性的简单应用 构建凸性增强债券投资组合
增强凸性的重要措施就是尽量用债券组合代替 单一债券，因为债券组合的现金流发生时间的 方差往往大于单个债券，在久期相同的情况下， 现金流发生时间的方差大小对凸性有决定性的 作用，方差越大，凸性越强。
基点价值表示当收益率变动一个基点时， 百万面值(或百元面值)的债券价格的绝对变 动额.
基点价值
基点价值计算的例子--y1 7.4138% p1 106.9914 y 2 7.4238% p 2 106.8651 p /(y ) p1 p 2 0.1263 y one basis po int PVBP p / y 0.1263 10000 1263
图 债券久期、修正久期与距离到期日时间关系示意图 35
30
25
20
d/md
15
10 久期 修正久期
5
0
0
10
20
30
40
50 t (year)
60
70
80
90
100
久期 债券组合的久期
债券组合的久期是构成组合的各个债券久期的 加权平均 权重是各个券种的市值占债券组合总市值的比 重 n n
7.5
“21国债（10）”的 息票率从1%变动到 20%时，该债券的久 期和修正久期如何变 化
7
6.5 0
2
4
6
8
10 c (%)
12
14
16
18
20
久期 久期与收益率的关系
久期对利率的一阶导数小于零，意味着久期与 利率的反向关系：当其他条件不变时，利率上升， 久期缩短；利率下降，久期变长
久期
ct (1 i) t wt B(i)
T dD 1 (1 i ) t 2 wt D 2 di t 1
(1 i ) 1 t 2 wt 2 D twt D 2 wt t 1 t 1 t 1
T T T 1
久期 久期的定义与计算(第一种含义)
久期(duration)是债券现金流发生的加权平均时 间，权重是各次现金流的现值与债券市值的比 重 （麦考利久期）
公式：
ct (1 i) D t B t 1
T
t
久期 久期的计算(第一种含义)
票息率为5%、期满日为3年的国债正在平价交 易，其久期为
国债品种 10年 10年 简称 02国债(3) 05国债(1) 到期收益率 0.02051 0.03255 久期 2.3723 4.7195 凸度 6.9164 26.1699 理论价格 102.4800 106.4836
15年
05国债(12)
0.03866
8.8440
93.7544
99.7264
组合市值10万元。各债券的市值权重相同，即各占债券组合总市值的 1/3 。2009年10月29日这一天组合的久期和凸度分别为5.31和42.28。
t 1
T
t
A0 At (1 i) t
t 1
T
t D A tAt (1 i ) A0 t 1 T D L tLt (1 i ) t L0 t 1
T
资产的 久期 债务的 久期
无论利率如何变化，投资组合N将来的价值变化为零
5(1 5%) 1 5(1 5%) 2 105(1 5%) 3 D 1 2 3 2.859 100 100 100
久期
B ct [1 i]
t 1
T
T
t
dB 1 t 1 (t )ct (1 i) tct (1 i) di t 1 1 i t 1
100.8
96.48 94.16
用于对冲的债券组合的属性 国债品种 7年 10年 20年 简称 03国债(7) 06国债(3) 03国债(3) 到期收益率 0.01641 0.03416 0.03964 久期 0.8032 5.7890 10.5991 凸度 1.0434 38.2386 134.2596 理论价格 101.3101 96.7275 94.2721
dN d di di
( A L )(1 i) 0
t t t
T dN (1 i) 1 t ( Lt At )(1 i) t (1 i) 1 ( DL L0 DA A0 ) 0 di t 1
只有DA=DL，即资产的久期与负债的久期相等， 才能基本保证投资组合在利率变化时价值变 化为零。如果再加上凸性相等，就能够完全 匹配资产与债务。
久期 久期与票息率的关系
如果其他变量保持不变，当票息率（c/BT）增 大时，则债券久期变小；反之，当票息率变小时， 久期增大。
久期
B(i) c / BT BT i 1 1 1 T T ( 1 i ) ( 1 i )
B i 1{(c / BT )[1 (1 i) T ] (1 i) T } BT
修正久期是债券价格(针对利率的)的变化率
1 dB Dm B di
久期 债券价格的变动率
债券价格的变动率是修正久期与利率变动量的 乘积
dB Dm di B
例如,某债券的修正久期是4，表明当利率下降 （上涨）1%时，债券价格将上涨（下降）4%。
dB 4 1% 4% B
久期与凸性的简单应用 构建凸性增强债券投资组合
x、y、z是三个不同的债券，我们希望x、y构成一个组 合来代替z。设Nx、Ny、Nz分别代表这三种债券的数量， Bx、By、Bz分别代表这三种债券的价格，Dx、Dy、Dz 分别代表这三种债券的久期，组合构造的原则就是 “市值相同、久期相同”
现金流的权重
T T 2 2 1 (1 i ) wt (t 2tD D ) (1 i ) wt (t D) 2 t 1 t 1
S wt (t D)
t 1
T
2
债券现金流发生 时间的方差
久期
图 债券久期、修正久期与利率变动关系示意图 9 久期 修正久期
凸性
价格
凸性
差异
100.40695
80.16387
76.0683
收益率
7.216% 9.216%
凸性
凸性的算式
T 1 d dB 1 d 2 B 1 t C 2 t ( 1 t ) c ( 1 i ) t 2 B di di B di B(1 i) t 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu 凸性
凸性
(1)收益率增加一个基点后的新价格是 100.28478.PVBP 是(100.40695100.28478)*10000=1223,MD=12.12
P 0.01 MD y 12.12 0.1212 % P 100
凸性
凸性
(2)收益率增加 200 基点后
P 200 MD y 12.12 24.24% P 100
久期与凸性的简单应用
构建对冲债券投资组合 用于对冲的债券组合 国债品种 简称 息票率 到期日 付息频率 2009-10-29收盘价
7年
10年 20年
03国债(7)
06国债(3) 03国债(3)
2.66
2.8 3.4
2010-8-20
2016-3-27 2023-4-17
1次/年
2次/年 2次/年
收益率从1%变动到20%时， 21国债（10）”的久期和 修正久期如何变化。
8.5
d/md
8
7.5
0
10
20
30
40
50 i (0/oo)
60
70
80
90
100
久期 久期与剩余到期时间的关系
对于零息债券而言， 久期就是其剩余期限， 所以，零息债券的剩 余期限严格与久期成 正比； 对于附息债券，随 着到期日的延长，久 期也增大，但有一个 极限（1+1/i）
0
图4-1：债券价格曲线图
市场利率
凸性
例子---某债券票息率 7.25% ,当前价格 100.40695, 当前 YTM is是7.216%. 试比较发生以下 两种情况时,债券实际价格与由久期预计的价格变动 的差别: (1) 收益率增加 1 basis point (2) 收益率增加 200 basis points
T
t
dB 1 1 n c(1 i) t 1 t D di B 1 i t 1 B 1 i
1 i dB D B di
1 dB Dm B di
久期 久期的定义(第二种含义)
久期是债券价格(针对利率的)变化率乘以1加上利率
1 i dB D B di
所以由修正久期预测的新价格是 100.40695*(1-24.24%)=76.06831
凸性
凸性
我们用新的收益率(9.216%)算出的实际价格是 80.16387.所以,实际价格变化是 100.4069580.16387=20.24308 而由久期预测的变化是 100.40695*0.2424=24.33865 差别由债券价格曲线的凸性造成,这个差别是 24.33865-20.24308=4.09557
久期与凸性的简单应用 解决资产与负债的期限匹配
某一金融机构未来有一系列债务Lt，同时也有一系列的资 产收入At，这些债务或者资产可以看作是一系列的零息债 券。如果所有期限的利率水平为i，资产与债务的当前价值 A0和L0是相同的，把它们放在一起就是一个投资组合N， 令N=A0-L0，
L0 Lt (1 i)
债券A 债券B
收益率
凸性 凸性的性质
C (1 i) 2 [S D(1 D)] 凸性的大小与利率、久期和债券现金流发生时 间的方差三个因素有关 ； 凸性与利率呈反向关系，与久期与债券现金流 发生时间的方差呈正向关系 ；
长期债券的凸性大于短期债券的凸性，因为前者的 久期比较长； 如果两个债券组合有相同的久期，则常常是由若干 不同的债券组成的债券组合的凸性大于由单一债券 构成的债券组合的凸性，因为前者债券现金流发生 时间的方差往往大于后者
组合的凸性
C p X jC j
j 1
n
凸性 考虑凸性以后债券价格波动的估计
线性一次逼近 二次逼近
价格 B*+Δ B
B 1 Dm di C (di ) 2 B 2
有效的债券价格
B*
1
2
3
i*+Δ i
i*
市场收益率
凸性
债券价格 债券A相对于债券B的凸性大， 所以A的价格往往高于B
第四讲:债券价格的利率敏感性
固定收益证券
李磊宁
中央财经大学金融工程系
主讲教师：李磊宁
单位：中央财经大学金融工程系 主讲课程：《金融工程学》/《固定收益证券》 联系方式： √电子邮件：lileining3631@126.com
内容提要
1 久期 久期的定义与计算 久期与票息率、到期收益率、剩余期限的关系 债券组合的久期 2 凸性 凸性的定义与计算 凸性的性质 3 久期与凸度的简单应用
两边取对数 并对i求导
T (i c / BT ) (1 i) D 1 i T (c / BT )[(1 i) 1] i
1
1 i dB D B di
将该式考虑在内
久期
图 债券久期、修正久期随息票率变动示意图 10 久期 修正久期
9.5
9
8.5
d/md
8
久期与凸性的简单应用 构建对冲债券投资组合
市值相同 组合久期和凸性相同 做空对冲债券投资组合即可完全规避利率风险
构建凸性增强债券投资组合
市值相同 久期相同 用多种债券构造凸性更高的债券投资组合
久期与凸性的简单应用
构建对冲债券投资组合
债券投资组合 （2009年10月29日）
Dp X j D j , X j
j 1
B j (i)
注意：
P(i)
, X j 1
j 1
采用这种简单的方式计算组合的久期必须有严格的 假定前提，那就是利率期限结构是扁平的并且其形 状与位置都保持不变
凸性
凸性的定义与计算
定义：凸性（convexity）即债券价格曲线的曲率，反 映了该曲线的弯曲程度。价格曲线弯曲的程度越大， 凸性就越大。
215.41份“03国债(7)”、677.32份“06国债(3)”以及134.32份“03国债(3)”。
久期与凸性的简单应用 构建凸性增强债券投资组合
增强凸性的重要措施就是尽量用债券组合代替 单一债券，因为债券组合的现金流发生时间的 方差往往大于单个债券，在久期相同的情况下， 现金流发生时间的方差大小对凸性有决定性的 作用，方差越大，凸性越强。
基点价值表示当收益率变动一个基点时， 百万面值(或百元面值)的债券价格的绝对变 动额.
基点价值
基点价值计算的例子--y1 7.4138% p1 106.9914 y 2 7.4238% p 2 106.8651 p /(y ) p1 p 2 0.1263 y one basis po int PVBP p / y 0.1263 10000 1263
图 债券久期、修正久期与距离到期日时间关系示意图 35
30
25
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d/md
15
10 久期 修正久期
5
0
0
10
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50 t (year)
60
70
80
90
100
久期 债券组合的久期
债券组合的久期是构成组合的各个债券久期的 加权平均 权重是各个券种的市值占债券组合总市值的比 重 n n
7.5
“21国债（10）”的 息票率从1%变动到 20%时，该债券的久 期和修正久期如何变 化
7
6.5 0
2
4
6
8
10 c (%)
12
14
16
18
20
久期 久期与收益率的关系
久期对利率的一阶导数小于零，意味着久期与 利率的反向关系：当其他条件不变时，利率上升， 久期缩短；利率下降，久期变长
久期
ct (1 i) t wt B(i)
T dD 1 (1 i ) t 2 wt D 2 di t 1
(1 i ) 1 t 2 wt 2 D twt D 2 wt t 1 t 1 t 1
T T T 1
久期 久期的定义与计算(第一种含义)
久期(duration)是债券现金流发生的加权平均时 间，权重是各次现金流的现值与债券市值的比 重 （麦考利久期）
公式：
ct (1 i) D t B t 1
T
t
久期 久期的计算(第一种含义)
票息率为5%、期满日为3年的国债正在平价交 易，其久期为
国债品种 10年 10年 简称 02国债(3) 05国债(1) 到期收益率 0.02051 0.03255 久期 2.3723 4.7195 凸度 6.9164 26.1699 理论价格 102.4800 106.4836
15年
05国债(12)
0.03866
8.8440
93.7544
99.7264
组合市值10万元。各债券的市值权重相同，即各占债券组合总市值的 1/3 。2009年10月29日这一天组合的久期和凸度分别为5.31和42.28。
t 1
T
t
A0 At (1 i) t
t 1
T
t D A tAt (1 i ) A0 t 1 T D L tLt (1 i ) t L0 t 1
T
资产的 久期 债务的 久期
无论利率如何变化，投资组合N将来的价值变化为零
5(1 5%) 1 5(1 5%) 2 105(1 5%) 3 D 1 2 3 2.859 100 100 100
久期
B ct [1 i]
t 1
T
T
t
dB 1 t 1 (t )ct (1 i) tct (1 i) di t 1 1 i t 1
100.8
96.48 94.16
用于对冲的债券组合的属性 国债品种 7年 10年 20年 简称 03国债(7) 06国债(3) 03国债(3) 到期收益率 0.01641 0.03416 0.03964 久期 0.8032 5.7890 10.5991 凸度 1.0434 38.2386 134.2596 理论价格 101.3101 96.7275 94.2721
dN d di di
( A L )(1 i) 0
t t t
T dN (1 i) 1 t ( Lt At )(1 i) t (1 i) 1 ( DL L0 DA A0 ) 0 di t 1
只有DA=DL，即资产的久期与负债的久期相等， 才能基本保证投资组合在利率变化时价值变 化为零。如果再加上凸性相等，就能够完全 匹配资产与债务。
久期 久期与票息率的关系
如果其他变量保持不变，当票息率（c/BT）增 大时，则债券久期变小；反之，当票息率变小时， 久期增大。
久期
B(i) c / BT BT i 1 1 1 T T ( 1 i ) ( 1 i )
B i 1{(c / BT )[1 (1 i) T ] (1 i) T } BT
修正久期是债券价格(针对利率的)的变化率
1 dB Dm B di
久期 债券价格的变动率
债券价格的变动率是修正久期与利率变动量的 乘积
dB Dm di B
例如,某债券的修正久期是4，表明当利率下降 （上涨）1%时，债券价格将上涨（下降）4%。
dB 4 1% 4% B
久期与凸性的简单应用 构建凸性增强债券投资组合
x、y、z是三个不同的债券，我们希望x、y构成一个组 合来代替z。设Nx、Ny、Nz分别代表这三种债券的数量， Bx、By、Bz分别代表这三种债券的价格，Dx、Dy、Dz 分别代表这三种债券的久期，组合构造的原则就是 “市值相同、久期相同”
现金流的权重
T T 2 2 1 (1 i ) wt (t 2tD D ) (1 i ) wt (t D) 2 t 1 t 1
S wt (t D)
t 1
T
2
债券现金流发生 时间的方差
久期
图 债券久期、修正久期与利率变动关系示意图 9 久期 修正久期
凸性
价格
凸性
差异
100.40695
80.16387
76.0683
收益率
7.216% 9.216%
凸性
凸性的算式
T 1 d dB 1 d 2 B 1 t C 2 t ( 1 t ) c ( 1 i ) t 2 B di di B di B(1 i) t 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu 凸性
凸性
(1)收益率增加一个基点后的新价格是 100.28478.PVBP 是(100.40695100.28478)*10000=1223,MD=12.12
P 0.01 MD y 12.12 0.1212 % P 100
凸性
凸性
(2)收益率增加 200 基点后
P 200 MD y 12.12 24.24% P 100
久期与凸性的简单应用
构建对冲债券投资组合 用于对冲的债券组合 国债品种 简称 息票率 到期日 付息频率 2009-10-29收盘价
7年
10年 20年
03国债(7)
06国债(3) 03国债(3)
2.66
2.8 3.4
2010-8-20
2016-3-27 2023-4-17
1次/年
2次/年 2次/年
收益率从1%变动到20%时， 21国债（10）”的久期和 修正久期如何变化。
8.5
d/md
8
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0
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50 i (0/oo)
60
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久期 久期与剩余到期时间的关系
对于零息债券而言， 久期就是其剩余期限， 所以，零息债券的剩 余期限严格与久期成 正比； 对于附息债券，随 着到期日的延长，久 期也增大，但有一个 极限（1+1/i）