因式定理与余式定理

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因式定理和余式定理

因式定理和余式定理数学作为一门学科，有着悠久的历史，历经时代的变迁，发展至今。

其中，因式定理和余式定理都是数学史上非常重要的定理，被誉为“二定理”。

本文就因式定理和余式定理进行具体介绍，以加深我们对它们的了解。

因式定理，又称费马小定理，它的发现者是德国数学家孔因斯费马，他于1824年发明了该定理。

它的正式名称叫做“一个整数的N 次方等于一个循环的形式的定理”。

该定理定义为：对于给定的质数p和正整数a满足ap a mod p（其中，a≠0 mod p），若x是正整数，设X x mod p，则满足下列关系：ax X mod p说明，如果知道了一个质数p和一个满足ap a mod p（其中，a ≠0 mod p）的整数a，那么我们就可以通过X（即x mod p）来计算ax mod p的值，当X为非常大的时候，计算成本也会非常高，因式定理能够解决这一问题。

余式定理也是一种数学定理，它发现者是著名的法国拉格朗日，他在1750年发明了该定理。

它的正式名称叫做“关于自由变量的多项式的系数的定理”。

它的意思是，在多项式中系数的值可以由以下公式来计算：a_n=p^n%c_1*p^(n-1)%c_2*...*p^1%c_n*1%c_(n+1) 其中，P表示多项式的本原，c_1，c_2，…，c_n+1表示多项系数的值，a_n表示系数的值，n表示多项式的次数。

由费马小定理和拉格朗日余式定理可知，如果满足它们相应的条件，那么就能够计算出多项式中系数的值。

这对我们学习数学和计算机科学有着重要的意义。

它们能够为我们解决很多复杂的数学问题，为我们的学习和研究提供了强大的支持。

从上文中可以看出，因式定理和余式定理都是数学史上非常重要的定理，它们能够为我们解决很多复杂的数学问题，给我们带来极大的帮助。

这就是因式定理和余式定理的重要性。

综上所述，因式定理和余式定理在数学史上占有重要地位，它们能够解决很多复杂的数学问题，为我们的学习和研究提供了强大的支持。

余式定理

余式定理与因式定理例1. (1)求242)(+--=x x x x f 除以1+x 之余式。

(2)设1537935699357)(2345+++--=x x x x x x f ，求)2(f 。

类1. 15)(24-++=bx ax x x f 以3-x ，1-x 除之，余式分别为45，-15求以1+x 除之，余式为。

类2. 求=-⨯-⨯+⨯-⨯-2001246012161258127123345。

类3. 以1+x 除5102610019992000++-+x x x x的余式为。

类4. 设)(),(x g x f 均为多项式，)(x f 除以12-x 之余式为23+x ，)(x g 除以322-+x x 之余式为25+x ，则)()15()()3(2x g x x f x +++除以1-x 的余式为。

类5. 已之3221)(x x x x f -+-=，且)2()1(+=+x f x g ，)2()(+=x g x h ，求)()(x xg x h +除以1+x 的余式。

Ans: 1. –19，2. 40，3. –12，4. 62，5. -8。

例2. (1)多项式)(x f 除以1-x ，2-x 之余式分别为5,7，求)(x f 除以)2)(1(--x x 之余式。

(2)多项式)(x f 除以2-x ，322++x x 之余式分别为5，65+x ，求)(x f 除以)32)(2(2++-x x x 之余式。

类1. 设多项式)(x f 以2-x 除之余3，以4+x 除之余-9，则以)4)(2(+-x x 除之余式为。

类2. 设)(x f 为一多项式，0)deg(≥x ，若1-x ，2-x ，3-x 分别除之，余式为3，7，13，则)(x f 以)3)(2)(1(---x x x 除之余式为。

类3. 多项式)(x f 除以2-x ，12++x x 之余式分别为10，1+x ，求)(x f 除以)1)(2(2++-x x x 之余式。

余式定理因式定理

1.长除法：求多项式42(1)(1)x x x +++除以的余式.练习：(1)求多项式4322(352)(3)x x x x -+++除以的余式. (2)求多项式3(428)(21)x x x -+-除以的余式.2.综合除法：设多项式f (x )=1250x 6-2790x 5-3125x 4+707x 3+100x 2+45x -62，则f (3)=217练习：求115-4⋅114-72⋅113-56⋅112+15⋅11+7之值为。

Ans ：51因式定理：设f(x)为一多项式，则x-α为f(x) 的因式⇔f(α)=0 .推广：ax-b为f(x)的因式⇔f( ba)=0一次因式检验定理：设f(x)=2x+3，g(x)=5x2-x+7，h(x)=f(x)⋅g(x)=10x3+13x2+11x+21，10x3是2x⋅5x2 来的，21是3⋅7来的，因此观察一次式2x+3|h(x)，而2|10，3|21，这个结果对于一般整系数的多项式也是成立，我们将它写成下面的定理：定理：设f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0为一个整系数n次多项式，若整系数一次式ax-b是f(x)的因式，且a,b互质，则a|a n且b|a0。

注意：①一次因式检验定理的逆叙述不成立。

例如：f(x)=3x3+5x2+4x-2，f(-13)≠0。

②由此定理，可知若一次式cx-d中c不为a n的因子或d不为a0的因子的话，则cx-d必不为f(x)的因式。

故只有满足a|a n且b|a0的一次式ax-b才有可能成为f(x)的因式，因此我们只要从满足a|a n且b|a0这些ax-b去找一次因式就可以了。

例如：求整系数f(x)=3x3+5x2+4x-2的整系数一次因式。

根据一次因式检验定理，假设ax-b为f(x)的一次因式，则a|3且b|2。

我们将所有可能的ax-b组合x+1,x-1,x+2,x-2,3x+1,3x-1,3x+2,3x-2，再利用综合除法检验看看那一个是f(x)的因式⇒3x-1是f(x)的因式。

补充教材：余式定理与因式定理

余式定理与因式定理【1】f(x)＝3x 4－2x 3－10x 2＋3x ＋2，下列何者为f(x)的因式(A) x －2 (B) x ＋3 (C) 2x －1(D) 3x ＋1 (E) 3x ＋2。

[解答]：(A)(D)【详解】：利用综合除法(A) f(2)＝0 ∴x －2f(x) (B) 32 ∴x ＋3f(x) (C) 23 ∴2x －1f(x)(D) f(－31)＝0 ∴3x ＋1|f(x)(E) f(－32)≠0，∴3x ＋2f(x)【2】设x －5与x －7都是b ax x ++-50)6(的因式，其中a ，b 为常数，则a ＋b 之值为。

[解答]：－1【详解】：令f(x)＝b ax x ++-50)6(，由因式定理x －5|f(x)⇒f(5)＝0⇒b a ++-5)65(50 ⇒5a ＋b ＝－1…(1) x －7|f(x)⇒f(7)＝0⇒b a ++-7)67(50⇒7a ＋b ＝－1…(2) (1)－(2) 2a ＝0 ∴a ＝0代入(1)，b ＝－1，故a ＋b ＝－1【3】设f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，满足f(1)＝f(2)＝3且f(－1)＝－3，则 (A) a ＋b ＋c ＝3(B) a －b ＋c ＝－2 (C) a ＝3 (D) b ＝2 (E) c ＝3。

[解答]：(B)(D)(E)【详解】：由f(1)＝f(2)＝f(3)知，x －1与x －2为f(x)－3之因式，又x 3之系数为1 ∴f(x)－3＝(x ＋k)(x －1)(x －2)x ＝－1代入，得f(－1)－3＝(－1＋k)(－2)(－3)且f(－1)＝－3 ∴－3－3＝6(k －1) ∴k ＝0故f(x)＝x(x －1)(x －2)＋3＝x 3－3x 2＋2x ＋3⇒a ＝－3，b ＝2，c ＝3【4】设x 3＋2x 2－1＝a(x ＋1)(x －1)(x －2)＋b(x －1)(x －2)＋c(x －1)＋d ，则(A) a ，b ，c ，d 皆为整数 (B) a ＋b ＝5 (C) c ＝4 (D) b ＋d ＝6 (E) c ＋d ＝15[解答]：(A)(B)(D)(E)【详解】：x 3＋2x 2－1＝a(x ＋1)(x －1)(x －2)＋b(x －1)(x －2)＋c(x －1)＋d 令x ＝1，得1＋2－1＝d ⇒d ＝2令x ＝2，得8＋8－1＝c ＋d ＝c ＋2⇒c ＝13令x ＝－1，得－1＋2－1＝b(－2)(－3)＋(－2)c ＋d ⇒0＝6b －26＋2⇒b ＝4 令x ＝0，得－1＝1·(－1)(－2)a ＋(－1)(－2)b ＋(－1)c ＋d ⇒－1＝2a ＋8－13＋2 ⇒a ＝1【5】设f(x)＝x 5＋6x 4－4x 3＋25x 2＋30x ＋20，则f(－7)＝。

§42余式定理,因式定理

§4−2 餘式定理、因式定理(甲)餘式定理除法原理：f(x)=g(x)⋅q(x)+r(x)，deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0餘式定理：多項式f(x)除以x−a的餘式等於f(a)。

證明：由多項式的除法原理得知，恰有兩多項式q(x)及r(r為常數多項式)滿足f(x)=(x−a)⋅q(x)+r，而此等式為恆等式，因此將x=a代入上式，得f(a)=(a−a)⋅q(a)+r = r。

推廣：多項式f(x)除以ax+b的餘式等於f(−b a)。

f(a)的雙重意義：!多項函數f(x)在x=a的函數值。

"多項式f(x)除以x−a的餘式。

[例題1] 求下列二小題：(1)求(x3+2x2−x−4)3除以x+3的餘式。

(2)設f(x)=1250x6-2790x5−3125x4+707x3+100x2+45x−62，則f(3)=？Ans：(1)−1000 (2)217[例題2] 二次式ax2+bx−4以x+1除之，得餘式3，以x−1除之，得餘式1，若以x−2除之，所得的餘式為。

Ans：18(練習1) 試求115−4⋅114−72⋅113−56⋅112+15⋅11+7之值為。

Ans：51(練習2) 設二多項式f(x),g(x)以2x2−3x−2除之，餘式分別為3x+2,−4x+7，則f(x)+g(x)以2x+1除之，其餘式為何？ Ans：19 2(練習3) f(x)=2x4+3x3+5x2−6，求2x−1除f(x−3)的餘式。

Ans：113 2Hint：可令g(x)=f(x−3)，再利用餘式定理。

[例題3] 試求下列各小題：(1)求多項式f(x)=x7−50x5+8x4−5x3−19x2+41x+6除以(x−1)(x−7)之餘式。

(2)設多項式f(x)不低於2次，以x−1除之餘2，以x+2除之餘−1，則以(x−1)(x+2)除f(x)的餘式為何？(3)設多項式f(x)不低於3次，以x−1除之餘3，以x+1除之餘1，以x−2除之餘−2，則求以(x−1)(x+1)(x−2)除f(x)的餘式。

余式定理若推荐优秀PPT

◎ 範例一
(1)設 f (x) x5 6x4 4x3 25x2 30x 20，則 f ( 7)
。
(2)試計算：77 50 75 6 74 4 73 25 72 30 7 8的值為 (A) 28 (B) －25 (C) 22 (D) 18 (E) 21 。_____________
f (b) 0。 a
◎ 範例二
設 f (x) 3x4 2x3 10x2 3x 2，下列何者為 f (x) 的因式？ (A) x 2 (B) x 3 (C) 2x 1 (D) 3x 1 (E) 3x 2。 ________________
餘式定理與因式定理
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2.因式定理：
餘式定理與因式定理
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1.餘式定理：
◎ 範例一
(1)設 f (x) x5 6x4 4x3 25x2 30x 20，則 f ( 7) 6
。
(2)試計算：77 50 75 6 74 4 73 25 72 30 7 12 的值為 (A) 28 (B) －25 (C) 22 (D) 18 (E) 21 。__(_C_)_________
◎ 範例二
設 f (x) 3x4 2x3 10x2 3x 2，下列何者為 f (x) 的因式？ (A) x 2 (B) x 3 (C) 2x 1 (D) 3x 1 (E) 3x 2。 (A)(D) ________________
餘式定理與因式定理
（a≠0）為
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。
常見的餘式求法如下：
1. 因式定理：設 f (x) 是多項式，c 為常數，若 x c 是 f (x) 的因式，則 f (c) = 0。反之，若 f (c) = 0，則 f (x) 必含 x c 的因式。

高中数学多项式因式分解与余式定理分析

高中数学多项式因式分解与余式定理分析在高中数学中，多项式因式分解与余式定理是一个重要的知识点。

它不仅在解题过程中起到关键作用，而且在数学的其他领域中也有广泛的应用。

本文将从多项式因式分解和余式定理两个方面进行详细的分析和说明，并通过具体的题目举例来说明考点和解题技巧。

一、多项式因式分解多项式因式分解是将一个多项式拆分成若干个乘积的形式，其中每个乘积都是低次多项式。

在解题过程中，我们常常会遇到需要将多项式因式分解的情况。

下面我们通过一个具体的例子来说明其中的考点和解题技巧。

例题1：将多项式$f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$进行因式分解。

解析：首先，我们观察多项式的系数，发现它并不是一个简单的多项式。

因此，我们可以尝试使用因式定理进行因式分解。

根据因式定理，如果一个多项式$f(x)$存在一个因式$x-a$，那么$f(a)=0$。

我们可以尝试将多项式$f(x)$带入因式定理中，令$f(x) = 0$，得到$x^3 - 3x^2 -4x + 12 = 0$。

通过试错法，我们可以发现$x=2$是方程的一个解。

因此，我们可以得到$(x-2)$是多项式$f(x)$的一个因式。

接下来，我们可以使用多项式除法将$f(x)$除以$(x-2)$，得到商式$q(x)$和余式$r(x)$。

通过计算，我们可以得到$f(x) = (x-2)(x^2-x-6)$。

最后，我们可以继续对$x^2-x-6$进行因式分解。

通过分解，我们可以得到$x^2-x-6 = (x-3)(x+2)$。

因此，原多项式$f(x)$可以完全分解为$f(x) = (x-2)(x-3)(x+2)$。

通过以上的例题分析，我们可以总结出多项式因式分解的一些解题技巧。

首先，我们可以尝试使用因式定理来寻找多项式的因式。

其次，我们可以使用多项式除法来进行因式分解的计算。

最后，我们可以通过分解低次多项式来得到多项式的完全分解。

二、余式定理余式定理是多项式除法的一个重要应用，它可以帮助我们在计算多项式除法时简化计算过程。

余式定理

4-2 餘式定理與因式定理例1. (1)求242)(+--=x x x x f 除以1+x 之餘式。

(2)設1537935699357)(2345+++--=x x x x x x f ，求)2(f 。

類1. 15)(24-++=bx ax x x f 以3-x ，1-x 除之，餘式分別為45，-15求以1+x 除之，餘式為。

類2. 求=-⨯-⨯+⨯-⨯-2001246012161258127123345 。

類3. 以1+x 除5102610019992000++-+x x x x 的餘式為。

類4. 設)(),(x g x f 均為多項式，)(x f 除以12-x 之餘式為23+x ，)(x g 除以322-+x x 之餘式為25+x ，則)()15()()3(2x g x x f x +++除以1-x 的餘式為。

類5. 已之3221)(x x x x f -+-=，且)2()1(+=+x f x g ，)2()(+=x g x h ，求)()(x xg x h +除以1+x 的餘式。

Ans: 1. –19，2. 40，3. –12，4. 62，5. -8。

例2. (1)多項式)(x f 除以1-x ，2-x 之餘式分別為5,7，求)(x f 除以)2)(1(--x x 之餘式。

(2)多項式)(x f 除以2-x ，322++x x 之餘式分別為5，65+x ，求)(x f 除以)32)(2(2++-x x x 之餘式。

類1. 設多項式)(x f 以2-x 除之餘3，以4+x 除之餘-9，則以)4)(2(+-x x 除之餘式為。

類2. 設)(x f 為一多項式，0)deg(≥x ，若1-x ，2-x ，3-x 分別除之，餘式為3，7，13，則)(x f 以)3)(2)(1(---x x x 除之餘式為。

類3. 多項式)(x f 除以2-x ，12++x x 之餘式分別為10，1+x ，求)(x f 除以)1)(2(2++-x x x 之餘式。

八年级数学整式的整除知识点

八年级数学整式的整除知识点数学整式的整除是中学数学中比较重要的基础知识，也是后续学习更加复杂的代数知识的前置技能。

八年级数学整式的整除包括了很多知识点，下面我们逐一讲解。

一、定理1：同类项的整除同类项指的是字母与字母、数字与数字之间能够对应的项。

例如3x^2与4x^2就是同类项，但是3x^2与4y^2就不是同类项。

同类项的整除原则是：当两个同类项的系数相等时，它们相除的结果为它们的代数式系数的商。

举例来说，现在我们要化简式子4x^3+8x^2+12x，可以先将公因数4x提取出来，也就是将每一项除以4x，得4x^3/4x + 8x^2/4x + 12x/4x = x^2+2x+3。

这里我们可以使用同类项的整除原则，将每一项除以4，进而发现x^2+2x+3已经是最简形式了。

二、定理2：余式定理余式定理是整式的一个重要性质，它可以用来确定整式除以另一个整式的余数。

余式定理的表述是：如果一个整式f(x)除以另一个一次式x-a(a为常数)的余数为f(a)。

例如，我们要求(x^3-2x^2+3x-4)÷(x-2)的余数，根据余式定理，我们只需要将2带入到f(x)中，求得的结果就是所求余数。

带入2后，得到f(2) = 8-8+6-4=2，因此所求余数为2。

三、定理3：因式定理因式定理是整式的一个重要性质，它可以把一些较为复杂的积式化简为一个二次式或者三次式的乘积。

因式定理的表述是：在整式的乘法中，若一个整式F(x)含有一个因式x-a，则F(a)为F(x)÷(x-a)的余数。

例如，我们要将整式3x^2+7x+2分解成(x+2)(3x+1)的形式，可以使用因式定理。

先找到其中一个因式，显然x=-2是3x^2+7x+2的一个根，此时F(x)除以(x+2)的余数为0，因此F(-2)=0。

接着我们可以使用余式定理求出F(x)÷(x+2)的商3x+1，进而得到原式为(3x+1)(x+2)。

四、定理4：多项式的公因式提取公因式提取也是整式的一个基本操作。

因式定理与余式定理

总结词
余式定理的证明
03
因式定理与余式定理的关系
01
02
因式定理与余式定理的联系
余式定理是因式定理的一种特殊情况，即当多项式在某点取值为零时，其导数在该点的值等于余式。
两者都是多项式理论中的重要定理，用于研究多项式的因式分解和余数性质。
因式定理主要关注多项式的因式分解，即通过多项式的根来寻找多项式的因式；而余式定理则关注多项式在某点的余数性质，即通过多项式在该点的值和导数来计算余数。
针对特定问题，开发基于因式定理与余式定理的算法和工具，以简化数学计算和证明过程。
因式定理与余式定理的推广和改进
因式定理与余式定理在其他学科中的应用
探讨因式定理与余式定理在其他学科领域中的应用，例如物理学、工程学、经济学等。
研究因式定理与余式定理在其他学科中应用的案例，分析其解决问题的有效性和实用性。
详细描述
总结词：因式定理的证明通常基于代数的基本性质和定理，如零因子定理和整除定理等。
因式定理的证明
02
余式定理
总结词
余式定理描述了多项式在某点的泰勒展开中的余项。
详细描述
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ余式定理指出，对于一个在点$x_0$处具有$n+1$阶导数的函数$f(x)$，其泰勒展开中的余项可以表示为$R_{n+1}(x) = f^{(n+1)}(x_0) cdot frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}$，其中$f^{(n+1)}(x_0)$是$f(x)$在$x_0$处的$(n+1)$阶导数。
余式定理的定义
总结词
余式定理在解决多项式方程、求函数的极值和判断函数的单调性等方面有应用。
详细描述

余式定理,因式定理

余式定理1公式整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x)，余式为r，则f(x)=(x-a)q(x)+r。

如果多项式r=0，那么多项式f(x)必定含有因式(x-a)。

反过来，如果f(x)含有因式(x-a)，那么，r=0。

2概念当一个多项式f(x) 除以(x – a) 时，所得的余数等于 f(a)。

例如：当 f(x)=x^2+x+2 除以 (x – 1) 时，则余数=f(1)=1^2+1+2=4。

3推论当一个多项式 f(x) 除以 (mx – n) 时，所得的余数等于 f(n/m)。

例如：求当 9x^2+6x–7 除以 (3x + 1) 时所得的余数。

设 f(x) = 9x^2 + 6x – 7，则余数f(-1/3)=1–2–7=-8。

4例题（全国港澳台华侨联合招生考试题型）设f(x)以(x-1)除之，余式为8，以(x²+x+1)除之的余式为(7x+16)，求(x^3-1)除之的余式为多少?解：根据题意，得f(1)=8，f(x)=(x^2+x+1)g(x)+7x+16。

因为x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)所以f(x)=(x-1)(x^2+x+1)g(x)+a(x^2+x+1)+7x+16 （其中a(x2+x+1)+7x+16为余式）又f(1)=8所以f(1)=3a+7+16=8所以a=-5，因此余式为-5x^2+2x+11因式定理1定义为余式定理的推论之一：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。

反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。

2例题如图，此题可以利用完全立方公式解答，但较为繁琐。

仔细观察不难发现，当x=y时，原式的值为0。

根据因式定理可知：原式必有因式x-y同样的，可以得到原式必有因式y-z和z-x（也可以由原式为对称多项式直接得到）然后再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系数即可3意义熟练掌握因式定理后，可以运用试根法（结合因式定理）找到因式（大多试±1，±2，±3，±½），再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系数，或综合除法直接求出剩下的因式，这样就可以较便利的分解因式了。

余式与因式定理知识点总结及练习

余式与因式定理知识点总结及练习概念余式定理：多项式 f(x)除以一次式 axb 的余式等于 f b 。
a
因式定理：设 f(x)为多项式﹐axb 为一次多项式 (1)若 f b =0﹐则 axb 是 f(x)的因式。
a
(2)若 axb 是 f(x)的因式﹐则 f b =0。 a
例 1：设 f(x)=x3+2x2+5x3﹐分别求 f(x)除以 x+2 与 2x1 的余式
若小明没有计算错误，求 a+b+c+d 的值﹒
一次因式？
【练习题】已知 a 为常数，且 x3 是 f(x)=x3+ax9 的因式，求 f(x)除以 x+1 的余式。
例 5：已知三次多项式 f(x)满足 f(1)=f(2)=0，f(3)=16 与 f(4)=66，求 f(x)。
【练习题】已知 f(x)是三次多项式，满足 f(0)=f(1)=f(2)=0 且 f(3)=24，求 f(x)=？
3. 已知 a、b 为常数，设多项式 f(x)=x3+3ax2+bx2 可被 x1
整除，且
以 x2 除 f(x)得余式为 2ห้องสมุดไป่ตู้求 a、b 的值﹒
4. 计算 1257．12458．123+16．122465．12+100 的值。
5. 设 f(x)为三次多项式
(1)已知 f(1)=f(2)=0，f(1)=6，f(2)=48，求 f(x)=？
11.设 a 为正整数，且多项式 f(x)=x3ax2+x2 有整系数一次因式，求 a=？
12. 下式是小明利用综合除法计算三次多项式 f(x)除以 x1 的算式﹐因不小心将饮料翻倒在计算纸上，所以只能辨识部分数字：（无法辨识的数字以英文字母代替）

因式定理

實數具有下列性質：
a、b、c為相異實數
(1)a>b a–b> 0
(2)a2≧0
(3)ab= 0 a= 0或b= 0
(4)a2+b2= 0 a= 0且b= 0
(5)若a>b且c> 0，則ac>bc；
若a>b且c< 0，則ac<bc。
例題3
解方程式5 ( 5-x) =x–11
解：25–5x=x–11
25 + 11 =x+ 5x
6x= 36
x= 6
例題4
解方程式(x+ 3) (x-7) = 0
解：(x+ 3) (x-7) = 0
x+ 3= 0或x-7 = 0
x=-3或x= 7
例題5
若x為實數且(x-5)2≦0，求x值
解：x為實數，則(x-5)≧0
但已知(x-5)2≦0，根據三一律得
(x-5)2= 0
所以x= 5
例題6
若(x+4)2+ (y-7)2= 0，求x與y值
解：根據實數的性質，得
x+4 = 0且y-7= 0
x= 4且y=7
1-1-3 絕對值
絕對值其幾何意義為在數線上表示x的點到原點的距離，一個實數x的絕對值記作|x|，且
當x> 0時，|x| =x
當x= 0時，|x| = 0
當x< 0時，|x| =-x
或
若|x| =a
例題7
|x+ 2| = 6，求x值
解：去掉絕對值符號後，可得
5.實數(R)
有理數與無理數兩者統稱為實數。
以上所討論數系間的包含關係，可以表示如下：
正整數(N)

因式分解-余式定理

因式分解1—余式定理整系数多项式()f x 除以()x a -商为()q x ，余式为r ，则()()()f x x a q x r =-⋅+。

因式定理如果多项式()0f a =，那么多项式()f x 必定含有因式()x a -。

反过来，如果()f x 含有因式()x a -，那么，()0f a =。

余式定理当一个多项式()f x 除以()x a -时, 所得的余数等于()f a 。

〖例题〗当2()2f x x x =++除以(1)x -时, 余数2(1)1124f =++= 推论2当一个多项式()f x 除以()mx n -时,所得的余数等于()nf m。

〖例题〗求当2()967f x x x =+-除以(31)x +时所得的余数。

解：2111()9()6()78333f -=⨯-+⨯--=-〖例题〗设()f x 以(1)x -除之，余式为8，以2(1)x x ++除之的余式为(716)x +，求3(1)x -除之的余式为多少? （全国港澳台华侨联合招生考试题）解：根据题意，得(1)8f = (1)2()(1)()716f x x x g x x =++++……（2）又 321(1)(1)x x x x -=-++设32()(1)()(1)716f x x f x a x x x =-+++++∴2(1)(1)7168f a x x x =++++= (3)解得5a =-所以余式为25211x x -++。

综合除法与余数定理求多项式2357x x +-除以2x +，所得的商和余式。

一般的竖式除法22357x x x ++-3x -1综合除法是用简便的方式表达：〖余数定理〗：多项式()x f 除以x a -所得的余数等于()a f〖因式定理〗：如果多项式()x f 能被x a -，亦即()x f 有一个因式x a -，那么()0a f =。

反之，如果()0a f =，那么x a -必为()x f 的一个因式。