土的极限平衡条件

土体中任意点的应力（莫尔应力圆）

●土体内部的滑动可沿任何一个面发生，只要该面上的剪应力等于它的抗剪强度。所以，必须研究土体内任一微小单元的应力状态。

●在平面问题或轴对称问题中。取某一土体单元，若其大主应力σ1和小主应力σ3的大小和方向已知，则与大主应力而成α角的任一平面上的法向应力σ和剪应力τ可由力的平衡条件求得。σ方向的静力平衡条件可得：τ方向的静力平衡条件可得：

消去上式中α，则可得到：★可见在σ~τ坐标平面上，土单

元的应力状态的轨迹将是一个圆，

该圆就称为莫尔应力圆。莫尔圆

就表示土体中一点的应力状态，

莫尔圆圆周上各点的坐标就表示

该点在相应平面上的正应力和剪应力。

ασσσσσ2cos 2

23131-++=ασστ2sin 23

1-=2312231)2()2(σστσσσ-=++-土中一点应力（微元体、隔离体、应力圆）无粘性土（c=0）的极限平衡条件为：

根据极限应力圆与抗剪强度包线相切的几何关系，可建立以下极限平衡条件。在土体中取一单元微体。mn 为破裂面，它与大主应力的作用面成αf 角。破裂面位于极限平衡状态莫尔圆的A 点。将抗剪强度线延长与σ轴相交于R 点、由三角形ARD 可知：因故

化简后得

粘性土的极限平衡条件为：

)(21cot )(2

1sin 3131σσϕσσϕ++=-==c RD AD RD AD ϕσσϕσσsin )](21cot [)(213131++=-c ϕ

ϕϕϕσσsin 1sin 12sin 1sin 131-++-+=c )

245(tan )245(tan 213231ϕσσϕσσ-=+=o o )245tan(2)245(tan )2

45tan(2)245(tan 213231ϕ

ϕσσϕϕσσ---=+++=o o o o c c 破裂角说明破坏面与最大主应力σ1的作用面的夹角为（450＋ϕ/2)。如前所述，土的抗剪强度τf 实际上取决于有效应力，所以，ϕ取有效摩擦角ϕ´时才代表实际的破裂角。245ϕα+

=o f 最大剪应力处不发生破坏？3

131

sin σσσσϕ+-=

五、极限平衡条件的应用

土的极限平衡条件常用来评判土中某点的平衡状态，具体方法

一、已知主应力σ

1、σ

3

，土的内摩擦角ϕ，可推求出土体处于极限平衡状态时

所要求的内摩擦角ϕ

f

。

（1）若ϕ

f > ϕ,表示保持土单元体不产生破坏所需要的内摩擦角大于土的实际

内摩擦角,实际土体必破坏;

（2）反之ϕ

f

< ϕ,土单元体处于稳定状态;

（3）当ϕ

f

= ϕ,土单元体处于极限平衡状态.

二、是根据实际最小主应力σ

3及土的极限平衡条件式，可推求土体处于极限

平衡状态时所能承受的最大主应力σ

1f 或根据实际最小主应力σ

1

及土的极限

平衡条件式推求出土体处于极限平衡状态时所能承受的最小主应力σ

3f ，再

通过比较计算值与实际值即可评判该点的平衡状态：

（1）当σ

1< σ

1f

或σ

3

> σ

3f

时，土体中该点处于稳定平衡状态；

（2）当σ

1=σ

1f

或σ

3

= σ

3f

时，土体中该点处于极限平衡状态；

（3）当σ

1> σ

1f

或σ

3

< σ

3f

时，土体中该点处于破坏状态。