高等数学课件3-8函数图形的描绘

' "
第二步 求 出 方 程 f ' ( x ) 0 和 f " ( x ) 0 在 函 数 定 义
域内的全部实根，用这些根同函数的间断 点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间 .
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第三步 确 定 在 这 些 部 分 区 间 内 f ' ( x ) 和 f " ( x ) 的 符
lim
2 ( x 2 )( x 3 ) x ( x 1)
2,
lim
x1 2 ( x 2 )( x 3 ) 2 x ( x 1 ) x1
2 x]
x
4,
.
7
y 2 x 4 是曲线的一条斜渐近线
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f (x)
2 ( x 2 )( x 3 ) x1
y

1

o
1
x
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那么 y ax b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线
斜渐近线的求法:
lim f (x) x
x
a,
lim [ f ( x ) ax ] b .
x
那么 y ax b 就是曲线
y f ( x ) 的一条斜渐近线
.
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5
注意: 如果 lim
11
x 0.
$3-8函数图形的描绘
f ( x )
4( x 2 ) x
3
,
f ( x )
8( x 3 ) x
4
.
列表(tabulation)确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和 拐点:
( , 3 ) 3 ( 3 , 2 ) 2 ( 2 ,0 ) ( 0 , )
有水平渐近线两条: y
2
,
y
2
.
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4
3.斜渐近线(oblique asymptote)（补充）
如果 或
x
lim [ f ( x ) ( ax b )] 0 ( a , b 为常数 ) .
x
lim [ f ( x ) ( ax b )] 0

0


极小值
0
极大值
f (x)
32 27
y
B (0,1)
3 5 C( , ) 2 8
A (1,0)
1

1 3
o
1 3
1
19
x
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y x x x1
3 2
$3-8函数图形的描绘
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四、小结 Brief summary
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察.
令 f ( x ) 0 , 得特殊点
lim f ( x ) lim [
x x
x 3.
y 2;
4( x 1) x
2
2 ] 2 , 得水平渐近线
lim f ( x ) lim [
x 0 x 0
4( x 1) x
2
2 ] , 得铅直渐近线
x
f ( x ) f ( x )
f (x)
0
不存在

0
拐点
( 3, 26 9 )

0



间 断 点
极值点
3
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补充点 : ( 1
A ( 1 , 2 ),
3 , 0 ),
B ( 1 , 6 ), y
6
(1
3 , 0 );
C ( 2 ,1 ).
如果
x x0
lim f ( x ) 或 lim f ( x )

x x0

那么 x x 0 就是 y f ( x ) 的一条铅直渐近线
.
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2
例如 y
1 ( x 2 )( x 3 )
,
有铅直渐近线两条: x 2 ,
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f ( x ) ( 3 x 1 )( x 1 ), f ( x ) 2 ( 3 x 1 ).
令 f ( x ) 0 , 令 f ( x ) 0 ,
得驻点 x 得特殊点
1 3
, 1 3
x 1. .
x
补充点 :
A ( 1 , 0 ),
B ( 0 ,1 ),
x
1 2

x
2
x
e
2
0 , 得水平渐近线
y 0.
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列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x
( x ) ( x )
( x)
( , 1 ) 1
( 1 ,0 )
0 0
( 0 ,1 )
1
( 1 , )

( 1,

0
拐点
1 2e )

0
拐点
(1, 1 2e )


极大值
1 2

y
1 2
1
o
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1
x
( x )
1 2

x
2
e
2
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例4(P201) 作函数 f ( x ) x 3 x 2 x 1 的图形 .
解 D : ( , ), 无奇偶性及周期性.
的两条渐近线如图
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二、图形描绘(drawing graphs)的步骤
利用函数特性描绘函数图形.
第一步 确 定 函 数 y f ( x ) 的 定 义 域 ,对 函 数 进 行 奇
偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论, 求出函数的一阶导数 f (x)和二阶导数 f (x);
3 5 C ( , ). 2 8
列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:
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18
x
f ( x ) f ( x )
( ,
1 3
)

1 3


1 1 ( , ) 3 3
1 3
1 ( ,1 ) 3
1
( 1 , )
0

0
拐点
1 16 ( , ) 3 27
1 x
的渐近线并画图 .
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练习题答案
一 、 1、 y 1 ； 2、 y 0, x 1 .
二、
y
33 2
y
1

2

o
1
3
2 9
3
x
2
o
1 3
1
x
1图
2图
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25
y
2




o

2

3

x
3图
三、
斜渐近线 铅直渐近线 y x; x 0.
一、渐近线(asymptotic line, or asymptotes )
定义: 当曲线 y f ( x ) 上的一动点 P 沿着曲线
移向无穷远时, 如果点 P 到某定直线 L 的距离 趋向于零, 那么直线 L 就称为曲线 y f ( x ) 的 一条渐近线.
1.铅直渐近线 ( 垂直于 x 轴的渐近线 ) perpendicular ( asymptote)
偶函数, 图形关于y轴对称.
( x ) x 2
x
2
e
2
, φ (x)
''
( x 1)( x 1) 2π
e

x 2
2
.
令 ( x ) 0 , 令 ( x ) 0 ,
得驻点
得特殊点
x 0,
x 1, x 1 .
lim ( x ) lim
y
凸的 单增
y f ( x)
单减 拐 点 极 大 值
凹的
最 大 值
极 小 值
最 小 值
a
o
b
x
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思考题
两坐标轴 x 0 ， y 0 是否都是 函数 f (x)
sin x x
的渐近线？
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思考题解答
lim sin x x
x
y
x 3.
3
2.水平渐近线 ( 平行于 x 轴的渐近线 ) (horizontal asymptote)
如果
x
lim
f ( x ) b 或 lim
x
f (x) b
( b 为常数 ), .
那么 y b 就是 y f ( x ) 的一条水平渐近线
例如
y arctan x ,
号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论） ；
确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其它变化趋势;
第五步 描 出 与 方 程 f ' ( x ) 0 和 f " ( x ) 0 的 根 对
应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形.
第四步
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三、作图举例
例2(补充） 作函数
f (x) 4( x 1) x
2
2 的图形 .
解 D : x 0,
f ( x )
非奇非偶函数,且无对称性.
4( x 2 ) x
3
,
f ( x )
x 2,
8( x 3 ) x
4
.
令 f ( x ) 0 , 得驻点
x1
解
x1

D : ( ,1 ) ( 1 , ).
lim f ( x ) ,
lim f ( x ) ,
x1

x 1 是曲线的铅直渐近线
.
又 lim lim [
x
f (x)
x
x x 2 ( x 2 )( x 3 )
或 lim f (x) x
f (x) x
x
不存在 ,
x
a 存在 , 但 lim [ f ( x ) ax ] 不存在 ,
x
可以断定
y f ( x ) 不存在斜渐近线
.
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例1（补充） f ( x ) 2 ( x 2 )( x 3 ) 的渐近线 . 求
sin x x
0
y 0是其图象的渐近线.
lim
sin x x
x 0
1
x 0不是其图象的渐近线.
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练习题
一、填空题：
1
1 、 曲 线 y e x 的 水 平 渐 近 线 为 _______________. 1 y 2、曲 线 的 水 平 渐 近 线 为 ______________ ， x 1 铅 直 渐 近 线 为 ______________. 二、描出下列函数的图形： 1 2 1、 y x ； x 2 2 2 、 y x ( x 1) ； 3 、 y ln sin x . 三、求曲线 y x
作图
B
1
3
C
1 2
2 1
o
x
2
A
3
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f ( x)
4( x 1) x
2
2
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例3（P203) 作函数 ( x ) 解 D : ( , ),
1 2

x
2
e
2
的图形 .
W : 0 ( x )
1 2
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