函数的单调性及应用

2(x1x2)
作差变形
∵ x1 x2
∴ x1x2 0, 2(x1x2)0 ∴ 即 f(x 1)f(x2)0 , f(x1)f(x2).
定号
∴ f(x)2x2在R上是单调减函数．
结论
取值 作差变形 判断符号 精品课件
下结论 8
题型二 函数单调性应用 （一）利用函数的单调性比较大小 例2、（1）比较下列两个值的大小：
o
y y1
x
x
函y 数 x22x2 ,x 0 ,3 的值 __-1_,_域 3__; 为
数形结合思想
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（三）利用函数的单调性求参数的范围
例2、（3）若二次函数 f(x)x2ax4在区间 ,1
上单调递增，求a的取值范围。
y
y
o1
x
o1
x
解：二次函数 f(x)x2ax4的对称轴为 x a ,
y x2+ 2 的 单 调 减 区 间 是 __0_， _____.
yx22,x1,2最大值 __2_为 ___;
最小值 __为 _-_2 __;
y
y=-x2+2
2 1
-2 -1 o 1 2 x
-1 -2
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【变式训练2】
(2)画出下列函数图像，并填空：
y 1,(x 0)
x
？
y1x的单调减区间是_(____, _0_)_，_(_0_,__ )
定号
所以，函数
f
(x)
x
2 1
是区精间品[课2,件6]上的减函数.
结论
7
【变式训练1】
证明：函数 f(x)2x在2R上是单调减函数．
证：在R上任意取两个值 x1, x，2 且 ， x1 x2
取值
则 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ( 2 x 1 2 ) ( 2 x 2 2 )
f ( x1 )
f (x2 )
2 x1 1
2 x2 1
2[( x2 1) ( x1 1)] ( x2 1)( x1 1)
作差变形
2( x2 x1 ) ( x2 1)( x1 1)
由于 2x1x26, 得x2- x1>0, (x1-1)(x2-1)>0,
于是 f( x 1 ) f( x 2 ) 0 ,即 f( x 1 ) f( x 2 )
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A.y=3-x B.y=x2+1
C.y= 1
x
D. y x2
3.函数 y x2 的单调递增区间是 -， 0
单调递减区间是 0，
1
4.函数
f
(x)
1 x 1
在 2,3 上的最小值为
2
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题型一 用定义证明函数的单调性
例1.用定义证明函数
f
(x)
2 x 1在区间[2，6]上的单调性．
证明：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2,则 取值
0.80.1和 0.80.2
解： 0.80.1 0.80.2
【变式训练2】
1lo2g3.4< log2 8.5
方法指津：掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的图像与性质
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（二）利用函数的单调性求最值 例2、（2）画出下列函数图像，并填空：
yx2 2
y x2+ 2 的 单 调 增 区 间 是 __-__， _0__;
A a≥3
B a≤3
C a≥-3
D a≤-3
4. 函数 yx22x2的 ____值 ___域1， 为
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【当堂检测】
5.判断函数 f(x)1x 12,x2,1的单调性并求最值.
3
单调递减，最大值是
4
，最小值是0.
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课堂小结
1. 两个定义：增函数、减函数的定义； 2：两种方法
①图象法判断函数的单调性： 增函数的图象从左到右 上升 减函数的图象从左到右 下降
②(定义法)证明函数单调性，步骤: 取值 作差变形 判断符号 下结论
3.两个数学思想：数形结合，分类讨论
精品ห้องสมุดไป่ตู้件
16
布置作业 作业:（必做）做同步练习册
选做题：
如何确定函数
f
(x)
x
4 x
,
x [1,5 ] 的单调区间？
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2
由图象可知只要 x a 1 ，即a 2即可.
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【变式训练2】
（ 3）已知 f(x)函 4x数 2kx8在 5， 20上具有单调k的 性，则
取值范 k_ _围 __4__或 _0 是 _ k160
在已知函数的单调性，求参数的范围时，要注 意利用数形结合、分类讨论的数学思想.
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❖ 1．函数单调性的定义
f(x1)＜f(x2)
f(x1)＞f(x2)
单调增
单调减
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3
2、利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性 的一般步骤：
（1 ）任取x1，x2∈D，且x1<x2； （2 ）作差f(x1)－f(x2)，变形（通常是因式分解）; （3 ）定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； （4 ）下结论.
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4
3.判断函数单调性的方法：
图像法：利用已知函数的单调性 定义法：四步
4.应用
比较大小 根据单调性求最值 解决含参函数的单调性问题
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5
1.函数 y(k1)xb在(,)上是增函数，则（ A）
A. k>1
B. k<1 C. k<-1
D.k>-1
2.下列函数在（0,2）上为增函数的是 ( B )
函数的基本性质 ——函数的单调性及应用
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学习目标
（1）理解并掌握函数的单调性， 掌握用定义证明函数的单调性的步骤；
（2）能运用单调性解决一些简单的实际问题.
重点
（1）函数单调性的概念；
（2）运用函数单调性的定义判断函数的单调性．
难点
利用单调性的定义证明函数的单调性及应用.
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2
知识梳理:
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【当堂检测】
1.函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则( D )
A.k＞
B.k＜
C.k＞－
D.k＜－
2.在区间（0，+∞）上是增函数的是（ D ）
A. y2xB1.
2 yC3.x2 1 D.y x
yx22x1
3.
函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，则a的取值范围 是( D )