全国高职高专高等数学

荆门职业技术学院《高等数学》电子教案
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第一章
高等数学课程简介
高等数学课程内容包括一元函数微积分，空间解析几 何与向量代数，多元函数微积分、无穷级数，常微分方程 等五个部分 。
高等数学与初等数学的重要区别在于高等数学引入 了极限这一工具，通过这一工具使之能够处理许多初等 数学无法解决的复杂的量与量之间的变化关系。
若 f (x1) f (x2), 称 f (x) 为 I 上的
单调增函数 ;
若 f (x1) f (x2), 称 f (x) 为 I 上的
单调减函数 .
第一章
y
x1 x2 x
也可以用其他字母表示变量与常量，这里采用的记号是
数学上习惯的表示方法。
荆门职业技术学院《高等数学》电子教案
6
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第一章
变量在某一过程中有确定的变化范围。如果变化范 围是连续的，则可以用区间来表示。
区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数.
这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
x D y f (x)
对应法则f
定义域
y f (D) 值域
其中
荆门职业技术学院《高等数学》电子教案
11
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第一章
对函数概念进一步的说明：
1)当x0 D时,称f (x0 )为函数在点x0处的函数值.
2）约定：定义域是使表达式及实际问题都有意义的自变量集合. 3）两个函数相同：指两个函数具有相同的定义域和对应法则
第一章
欢迎大家学习高等数学课程
数学的重要性已经不言而喻。大量的科学研究和实际问 题的解决几乎都要以数学为手段和工具，尤其是数学技术和 计算机技术相结合，使得数学向更广泛的领域渗透，高等数 学是近代数学的基础，也是在现代科学技术、经济管理、人 文科学中应用最广泛的一门课程。
本课程的目标是让大家较系统地掌握必需的高等数学基 础理论、基本知识和常用的计算方法，形成数学的应用意识， 为后继课程学习和利用数学解决实际问题打下基础。
x D , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x)为有界函数.
x I , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
y M
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
x0
o
X
x
无界
-M
-M
荆门职业技术学院《高等数学》电子教案
15
(2) 单调性
x1 , x2 I , 当 x1 x2 时,
荆门职业技术学院《高等数学》电子教案
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第一章
高等数学课程学习提示
正确地理解和掌握极限这一高等数学中最重要的概念 和思想方法是学习和领会高等数学中各种概念和方法的基 础，把握住这一课程的方法论的核心就等于把握住了课程 的脉搏。
荆门职业技术学院《高等数学》电子教案
3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义域、对应法则和值域称为函数的三要素， 值域由定义域和对应法则确定。
荆门职业技术学院《高等数学》电子教案
12
几种特殊的函数举例
符号函数 取整函数
当x> 0 当x= 0 当x< 0
当 y
第一章
y
1
o
x
1
2 1o 1 2 3 4 x
荆门职业技术学院《高等数学》电子教案
13
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第一章
第一章 函数、极限与连续
本章中的概念
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
荆门职业技术学院《高等数学》电子教案
4
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第一节 函数
一、常量与变量、区间与邻域 二、函数的概念 三、函数的几种特性 四、反函数 五、复合函数与初等函数
第一章
荆门职业技术学院《高等数学》电子教案
即U(a, ) {x | a x a } = (a , a )Biblioteka aaa x
荆门职业技术学院《高等数学》电子教案
9
机动 目录 上页 下页 返回 结束
去心邻域:
数集{x 0 x a δ}称为点a的去心邻域 ,
记作U0(a，δ)
即U 0(a, ) {x | a x a ,且x a}
(a , a) (a, a )
。
a
a
a x
第一章
荆门职业技术学院《高等数学》电子教案
10
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、函数的概念(本质上是一种数量关系)
第一章
定义： 设 x 和 y 是两个变量。D 是一个给定的数集。如果 对于每个数 x ∈D ，变量 y 按照一定法则总有（唯一） 确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y = f (x), 数集 D 叫这个函数的定义域，x 叫做自变量， y 叫做因变 量。
{ x a x b} 称为开区间, 记作(a,b)
oa
b
x
{ x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
oa
荆门职业技术学院《高等数学》电子教案
b
x
7
机动 目录 上页 下页 返回 结束
{x a x b} 称为半开区间, 记作[a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作(a,b]
第一章
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b} 无限区间
oa
x
ob
x
区间长度: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
荆门职业技术学院《高等数学》电子教案
8
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第一章
邻域: 设a与δ是两个实数 , 且δ 0.
数集{x x a δ}称为点a的δ邻域 , 记作U(a，δ) 点a叫做这邻域的中心 ,δ叫做这邻域的半径.
5
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第一章
数学的主要研究内容是数量关系 ， 空间形式。其中 数量又可以分为两类：
常量 在某过程中数值保持不变的量，例如真空中的光速。 变量 在某过程中数值发生变化的量，例如一天中的气温。
注意 常量与变量是相对“过程”而言的.
常量与变量的表示方法：
通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
第一章
分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2x 1,
f
(
x)
x2
1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
荆门职业技术学院《高等数学》电子教案
14
第一章
三、函数的几种特性
设函数 y f (x) , x D ,且有区间 I D .
(1) 有界性