二次函数图像与性质5

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二次函数的图像和性质第五课时

，其中
为方程
的两实数根
与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程
△＞0有两个交点抛物线与x轴相交； △＝0有一个交点抛物线与x轴相切； △＜0没有交点抛物线与x轴相离。
例4 已知抛物线
01
k取何值时，抛物线经过原点； k取何值时，抛物线顶点在y轴上； k取何值时，抛物线顶点在x轴上； k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线
③若a，b异号对称轴在y轴右侧。
，故
①若b＝0对称轴为y轴，
②若a，b同号对称轴在y轴左侧，
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置。
y
练习3 画出的图像。
x
…
－1
0
1
2
3
…
y
…
5
2
1
2
5
…
x=1
y=x2－2x＋2
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
4．二次函数
的性质：
（1）顶点坐标
（2）对称轴是直线
如果a＞0，当
时，函数有最小值，
如果a＜0，当
时，函数有最大值，
最值：
当当肆化为 Nhomakorabea叁
练习1 用配方法把
贰
的形式，求出顶点坐标和对称轴。
的方法和我们前面学过的用配方法解二次方程 “ ”类似．具体演算如下：
化为
的形式。
26.1 二次函数图象和性质(5)

二次函数的图像和性质(共82张PPT)

y＝ax2
向上
y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝
2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相
同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法
来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象，并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y y x2 8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4
－2 O
24
在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 >0时,向右平移;当 <0时,向左平移),
再沿对称轴整体上(下)平移|
|个单位 (当
>0时向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
y 1 x2
y1
1 3
x2
2
3
y2
1 3
x2
2
的图像
在同一直角坐标系中
画出函数 y 1 x2 5 y
y1
1 3
x2
2
3
y2
的图像

5.二次函数的图像和性质课件

大
-1
当x=0时，y取最____值____。
02
知识精讲
平移口诀1
函数y=x2+1的图像可以由函数y=x2的图像向上平移一个单位长度得到；
函数y=x2-1的图像可以由函数y=x2的图像向下平移一个单位长度得到；
函数y=-x2+1的图像可以由函数y=-x2的图像向上平移一个单位长度得到；
函数y=-x2-1的图像可以由函数y=-x2的图像向下平移一个单位长度得到。
的图像和性质
01
情境引入
Q1：用描点法画出y=(x+3)2的图像，并与y=x2作对照
x
…
y=(x+3)2 …
x
y=x2
-6 -5
9 4
…
…
-4
1
-3
9
-3
0
-2
4
-2
1
-1
1
-1
4
0
0
0
9
1
1
…
…
2
4
当自变量偏移3个单位长
将点(1,1)向左平移3个
度时，两个函数的值相同
单位长度得(-2,1)……
3
【平移口诀1】上加下减
02
知识精讲
练一练1：根据平移口诀1，完成下列填空：
下
4
向_____平移_____个单位得到
上
8
向_____平移_____个单位得到
下
3
向_____平移_____个单位得到
上
6
向_____平移_____个单位得到
02
知识精讲
练一练2：根据练一练1平移后的图像，完成下列填空：
5
y=-2x2+3

5二次函数的图像与性质

例3：如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B【详解】∵抛物线开口向下，∴ ，∵抛物线的对称轴为直线，∴ ，∵抛物线与轴的交点在轴上方，∴ ，
4、b2-4ac的符号由抛物线与x轴（或坐标轴）的交点个数确定：
①与x轴的交点个数
②与坐标轴交点个数
5、根据函数图象的具体情况取特殊值，确定代数式符号：
常见:①x=1时，a +b +c的符号；②x=-1时，a -b+ c的符号；
③x=2时，4a+2b+c的符号；④x=-2时，4a-2b+c的符号；…….
例3：已知函数y=x2﹣2mx+2016（m为常数）的图象上有三点：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），其中x1=﹣ +m，x2= +m，x3=m﹣1，则y1、y2、y3的大小关系是（）
A．y1＜y3＜y2B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y1
【答案】D 【解析】y=x2﹣2mx+2016=（x﹣m）2﹣m2+2016，
综上所述：正确的结论有①②④，共3个，故选B.
考点四：二次函数与方程和不等式
题型1、求一元二次方程解的取值范围
例1.二次函数 y=x2-x-2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是()
A.x＜-1B.x＞2 C.-1＜x＜2D.x＜-1或x＞2
（例1图）（变式1）（变式2）
变式练习：
1.如图是二次函数 y＝ax2 ＋bx ＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是()

二次函数的图像及其性质

单调性
二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下
二次函数的对称轴为x=-b/a
二次函数的最值在对称轴上取得，即x=-b/2a时的函数值y=cb^2/4a
二次函数在区间 (-∞,-b/2a)和(b/2a,+∞)上单调性相反
最值点
二次函数的最值点为顶点顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a)) 当a>0时，函数在顶点处取得最小值当a<0时，函数在顶点处取得最大值
开口大小与一次项系数和常数项无关
开口变化趋势
二次函数的开口方向由二次项系数a决定，a>0时向上开口，a<0时向下开口。二次函数的开口大小由二次项系数a和一次项系数b共同决定，a的绝对值越大，开口越小。二次函数的对称轴为x=-b/2a，当a>0时，对称轴为x=-b/2a；当a<0时，对称轴为x=-b/2a。二次函数的最值点为顶点，顶点的坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
在物理领域的应用
二次函数在抛物线运动中的应用二次函数在弹簧振荡中的应用二次函数在单摆运动中的应用二次函数在简谐振动中的应用
在其他领域的应用
二次函数在经济学中的应用，例如计算成本、收益、利润等。
二次函数在生物学中的应用，例如种群增长、药物疗效等。
二次函数在物理学中的应用，例如弹簧振动、单摆运动等。
二次函数的应用
解决实际问题
二次函数在物理学中的应用，例如计算抛物线的运动轨迹二次函数在经济学中的应用，例如计算商品价格与销售量的关系
二次函数在日常生活中的应用，例如计算最优化问题，如最小费用、最大效率等
二次函数在科学实验中的应用，例如模拟实验数据，预测实验结果

二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)

相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.

2.2二次函数的图像与性质(5)y=ax2+bx+c

2
＝3(x －4x＋4－4)－3
2
＝3(x －4x＋4)－3×4－3
＝3(x－2)2－15
∵3＞0
∴当 x＝2 时，函数有最小值－15.
1 2
例 4 求抛物线 y＝－ x －2x＋3 的顶点坐标.
2
1 2
解：∵y＝－2x －2x＋3
1 2
＝－2(x ＋4x)＋3
1 2
＝－2(x ＋4x＋4－4)＋3
2
解：∵y＝x ＋x＋1
1 1
2
＝x ＋x＋－＋1
4 4
1 3
2
＝(x ＋x＋4)＋4
12 3
＝(x＋2) ＋4
1 3
∴顶点坐标为(－2，4)
变式练习 2
求抛物线 y＝x 2－3x＋2 的顶点坐标.
2
解：∵y＝x －3x＋2
9
9
＝x －3x＋4＋2－4
2
32 1
＝(x－2) －4
3
1
∴顶点坐标为 (2，－4)
1 2
1
＝－2(x ＋4x＋4)＋(－2)×(－4)＋3
1
2
＝－2(x＋2) ＋5
∴顶点坐标为(－2，5)
变式练习 4
3 2
求抛物线 y＝－ x ＋3x＋1 的顶点坐标.
2
3 2
解：y＝－2x ＋3x＋1
3 2
＝－2(x －2x＋1－1)＋1
3 2
3
＝－2(x －2x＋1)＋(－2)×(－1)＋1
b 2 4ac b
y ax bx c a ( x )
.
2a
4a
2
2
因此，抛物线y=ax2+bx+c

第5讲二次函数图象和性质知识点总结

第5讲二次函数的图象和性质一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数，a ≠0）②顶点式：y a x h k =-+()2（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。

③交点式：y a x x x x =--()()12，其中x x 12，是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程ax bx c 20++=的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。

2. 二次函数y ax bx c =++2的图象 ①二次函数y ax bx c =++2的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。

②任意抛物线y a x h k =-+()2可以由抛物线y ax =2经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。

③在画y ax bx c =++2的图象时，可以先配方成y a x h k =-+()2的形式，然后将y ax =2的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将y ax bx c =++2配成y a x h k =-+()2的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。

然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。

3. 二次函数的性质函数二次函数y ax bx c =++2 a 、b 、c 为常数，a ≠0 y a x h k =-+()2（a 、h 、k 为常数，a ≠0）a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0 图象(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸 (1)抛物线开口向下，并向下无限延伸 (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸 (1)抛物线开口向下，并向下无限延伸性 (2)对称轴是x ＝-b a 2，顶点是（--b a ac b a 2442，） (2)对称轴是x ＝-b a 2，顶点是（--b a ac b a 2442，） (2)对称轴是x ＝h ，顶点是（h ，k ） (2)对称轴是x＝h ，顶点是（h ，k ）质(3)当x b a <-2时，y 随x 的增大而减小；当x b a >-2时，y 随x 的增大而增大 (3)当x b a <-2时，y随x 的增大而增大；当x b a >-2时，y 随x 的增大而减小(3)当x h <时，y 随x 的增大而减小；当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大。

二次函数的图像和性质课件

❖ 因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
❖ 抛物线y=a(x-h)²+k有如下特点：
（1）当a＞0时，开口向上;当a＜0时，开口向下；
（2）对称轴是直线x=k；
（3）顶点坐标是（h，k）。
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
?
二次函数y=-0.5(x+1)2-1的
图象和抛物线y=-0.5x²,y=-
0.5(x+1)2有什么关系?它的
开口方向,对称轴和顶点坐
标分别是什么?
y=-½(x+1)²
顶点是 (-1,-1).
二次函数y=-0.5(x+1)2-1的图象可以看作是抛物线
y=-0.5x2先沿着x轴向左平移 1个单位,再沿直线x=-1向上平移1个单位后得到的.
y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
例3 画出函数y=-0.5（x+1）²-1的图像，指出它的开口方向、对称轴及顶点，抛物线y=-0.5x² 经过怎样的变换可以得到抛物线y=-0.5（x+1）² -1？
思考：
二次函数y=-0.5x²,y=-0.5(x+1)2和 y=-0.5(x+1)2-1的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?
解：如图建立直角坐标系，点（1、3）是
顶点，设抛物线的解析式为
Y=a（x-1）²+3 （0≤x≤3）
点（3、0）在抛物线上，所以有
0=a（3-1）²+3
∴ a=-¾
∴ y=-¾（x-1）²+3 （0≤x≤3）点（1、3）
当x=0时，y=2.25，

二次函数的图像和性质五

在对称轴的右侧, y随着x的增大而增
当x
b
时,
大.
最小值为
4ac
b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而减
当x
b
小.
时, 最大值为
4ac b2
2a
4a
（五）、学习回顾：
填写表格：
抛物线
开口方向对称轴
y=ax2(a>0)
y=ax2+k(a>0) y=a(x-h)2(a>0)
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的值是（ A ）
• A4
B. -1
C. 3
D.4或-1
4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x轴的一个交
点为(1,0),则下列各式中不成立的是
A.b2-4ac>0
B.
-
b 2a
<0
（ B）
y
C.a+b+c=0
D. 4ac-b2 >0 4a
y= —21 (x―6)2 +3
归纳
二次函数 y= —1 x2－6x +21图象的画法：
2
(1)“化” ：化成顶点式；
(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶点坐标；
(3)“画”：列表、描点、连线。
x
y 1 (x 6)2 3 2
…3 4 5 6 7 8 9… … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
② c=0 ＜＝＞图象过原点；
③ c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。 ⑷顶点坐标是（ b ，4ac b2 ）。

二次函数的图象与性质(第5课时)PPT课件

A. (5，0)
B. (0，5) C. (0，3) D. (3，0)
4、对于抛物线y=-2x2+4x+1，下列说法正确的是（ C ）
A. y最大值=1 B. y最小值=1 C. y最大值=3 D. y最小值=3
5. 画二次函数y=x2-2x-1的图象.
配方：y=(x-1)2-2 对称轴：x=1，顶点坐标：(1，-2)
动脑筋画二次函数y=-2x2+6x-1 的图象？
配方：y
= =
-
2 2
x2 +
x-
6
3 2
x-1 =
2
+2×
- 2( x2 - 3 x)-1=
94-1
=
-2
x- 32
-
2
x2
2
+72
.
-
3
x
+
-
3 2
2
-
-
3 2
2
-1
对称轴是直线 x =
3 2
，顶点坐标是
3 2
,
7
A. y=-(x-1)2-3
B. y=-(x+1)2-3
C. y=-(x-1)2+3
D. y=-(x+1)2+3
2、抛物线y=x2-3x+2与y轴交点的坐标是（ A ）
A. (0，2) B. (1，0) C. (0，-3) D. (0，0)
3、把抛物线y=2x2向上平移5个单位，所得抛物线的顶点
坐标为（ B ）
这个最大值等于顶点的纵坐标
7 2
.
从二次函数
y
=
1( 2
x

二次函数的图像及性质(5)

y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
向下
b 4ac b 时, 最大值为 2a 4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 2
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用
例：某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件 70元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润（总利润＝总销售额-总成本）为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？
写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，当x为何值时y的值最大（小）？
（1）y=3x2+2x
（2）y=-x2-2x （3）y=-2x2+8x-8
1 2 4y x 4 x 3 2
请研究二次函数y=x2 -6x+5的图象和性质，并尽可能多地说出结论。
我们的结论:
向上 ① 图象的开口方向：_____ ② 对称轴：直线x =______ 3 （3，-4） ③ 顶点坐标：__________ 左 ④增减性: 在对称轴的___侧, y随x_________, 的增大而减小右的增大而增大在对称轴的____侧,y随x__________ ⑤最值: 当x = ____时, y最小值 =_______ 3 -4

《二次函数的图像与性质》PPT课件 (公开课获奖)2022年青岛版 (5)

最||值当x =0时,y最||小值为0. 当x =0时,y最||大值为0.
y x2
抛物线y =x2与y = -x2 关于x轴对称
抛物线y =x2与y = -x2 关于原点中|心对称
y x2
议一议
在同一坐标系中作出二次函数y =2x²+1的图象与二次函数y =2x²的图象.
二次函数y =2x²+1的图象与二次函数y =2x²的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看．
3.把函数y =3x2 +2的图象沿x轴对折 ,得到的图象的函数解析式为 y = -3x2 -2.
4.〔m,n)在y =ax2 +a的图象上 ,〔 - m,n 〕 _在____〔在 ,不在〕y =ax2 +a的图象上.
5. 假设y =x2 +〔2k -1〕的顶点位于x轴上方 , 那么＞
k_______
二次项系数为 -2,开口向下; 开口大小相同;对称轴都是 y轴;增减性与也相同.
位置不同; 最||大值不同: 分别是1和0..
议一议
在同一坐标系中作出二次函数y =3x²-1的图象与二次函数y =3x²的图象.
二次函数y =3x²一l的图象与二次函数y =3x²的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
2、二次函数极值为2 ,且过〔3 ,1〕、〔 -1,1〕两点 ,求二次函数的表达式 .
解：设y =a(x -h)2 +2
例题选讲
例 4 有一个抛物线形的立交桥拱 ,这个桥拱的最||大高
度为16m ,跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里解：(设如抛以物以线以的下表图达)式,为求y抛物=线ax的2＋表b达x＋式c．,

二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质总结二次函数（Quadratic Function）是高中数学中重要的一个部分，是指一种形式为y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。

二次函数的图像是一条抛物线，其性质包括：开口方向、顶点、对称轴、最值、零点、增减性等。

下面将对二次函数的图像和性质进行详细总结。

一、图像特征：1.开口方向：-当a>0时，抛物线开口向上；-当a<0时，抛物线开口向下。

2.顶点：-对于抛物线开口向上的情况，顶点是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，顶点是抛物线的最高点。

3.对称轴（y轴）：- 对于一般的二次函数y=ax²+bx+c，其对称轴的方程为x=-b/2a；-对于抛物线开口向上的情况，对称轴是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，对称轴是抛物线的最高点。

4.最值：-对于抛物线开口向上的情况，最小值为顶点的纵坐标；-对于抛物线开口向下的情况，最大值为顶点的纵坐标。

5.零点：- 零点是指二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点；-二次函数可能有0个、1个或2个零点；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。

6.增减性：-当a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴两侧递增；-当a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴两侧递减。

二、性质总结：1.函数的解析式：- 二次函数的解析式一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0；-通过解析式可以得到函数的图像特征。

2.零点：-零点是指函数与x轴的交点；- 零点可以通过解二次方程ax²+bx+c=0来求解；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。

21.2二次函数的图象和性质5

（5）函数的增减性：当a＞0时，对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大；当a＜0时，对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小。
练习：
1．抛物线y=－3（x-2）2的开口______，对称轴______、顶点坐标是__________； 2．将函数y＝6x2向右平移2个单位后所得到的抛物线解析式 ____________． 3.将抛物线y＝－(x+5)2向左平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________． 4.写出一个顶点是（7，0），形状、开口方向与抛物线y＝－5x2 都相同的二次函数解析式___________________．
出这两条抛物线
的特点吗？
－4
－2 －2
24
－4
y 1 x 12
－6
2
y 1 x 12
2
可以看出，抛物线 y 1 x 12的开口向下，对
2
称轴是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它
记作直线x=－1，顶点是（－1，0）；抛物线 y 1 x 12
2
的开口向___下______，对称轴是_____直__线__x__=__1___，顶点
小结：二次函数y=a（x+ｈ）2的图像和性质
y＝a(x+ｈ)2
a>0
a<0
图象
开口对称性
顶点增减性
h<0
h>0
开口向上
h<0 h>0
开口向下
|a|越大，开口越小
直线ｘ＝-ｈ
(-ｈ,0)
顶点是最低点
顶点是最高点
当x<-h时，y随x的增大而减小当x<-h时，y随x的增大而增大当x>-h时，y随x的增大而增大当x>-h时，y随x的增大而减小

二次函数的图像和性质

二次函数的图像和性质一、二次函数的一般形式二次函数是一种形式为f(x)=ax2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a eq0。

二、二次函数的图像1.抛物线二次函数的图像是一条抛物线。

当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。

2.判别法利用二次函数的判别式 $\\Delta = b^2 - 4ac$ 的正负性可以确定二次函数的图像开口方向和与x轴的交点情况。

3.最值点二次函数的顶点为抛物线的最值点，当a>0时，最小值在顶点处取得；当a<0时，最大值在顶点处取得。

顶点的横坐标为 $-\\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。

三、二次函数的性质1.对称轴二次函数的对称轴为直线 $x = -\\frac{b}{2a}$，即抛物线关于对称轴对称。

2.单调性当a>0时，二次函数在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减；当a<0时，二次函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增。

3.零点二次函数的零点为方程f(x)=0的解，可以利用求根公式 $x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 求得。

4.图像的平移如f(x)=a(x−ℎ)2+k，其中(ℎ,k)为平移后的顶点坐标，抛物线上下平移，方向与a的正负有关。

四、应用二次函数在几何、物理、经济等领域有着广泛的应用。

例如几何问题中的抛物线轨迹、物体自由落体运动方程、经济学中的成本、收益关系等均可用二次函数描述。

结语二次函数作为高中数学中重要的函数类型，在图像和性质上有着独特的表现，通过对其图像和性质的深入理解，可以更好地应用于解决实际问题。

希望本文的介绍能帮助读者更好地掌握二次函数的知识。