《常微分方程》(王高雄)第三版课后答案

2
2. y dx + ( x + 1)dy = 0, 并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解.
解：对原式进行变量分离得：
2
−
1 1 1 1 dx = 2 dy, 当y ≠ 0时，两边同时积分得； ln x + 1 = + c, 即y = x +1 y c + ln x + 1 y 1 。 1 + ln 1 + x
18.证明方程
x dy = = f ( xy )经变换xy = u可化为变量分离方程，并由此求解下列方程 y dx
（ ） 1 . y (1 + x 2 y 2 )dx = xdy (2). x dy 2 + x 2 y 2 = y dx 2 − x 2 y 2
dy dy dy du = = −y , 所以x dx dx dx dx 1 du du u 1 − 1 = f(u), = (f(u) + 1) = (uf(u) + u) 得： y dx dx = y(f(u) + 1) x x 证明：因为xy = u, 关于x求导导得y + x 故此方程为此方程为变程。 解(1) : 当x = 0或y = 0是原方程的解，当 xy ≠ 0s时，方程化为 令xy = u, 则方程化为 du du 1 3 = (2u + u ), 变量分离得： 3 dx x 2u + u
3u 2 −6 2 du 3u 2 − 6 x 2 x = = u dx 2 xu + x 2 2 +1 x
，
这
是
齐
次
方
程
，
令
3z 2 − 6 u du dz dz dz z 2 − z − 6 ， = z，则 = z + x ，所以 = z + x ，，x = ...........(1) 2z + 1 2z + 1 x dx dx dx dx 当z 2 − z − 6 = 0，得z = 3或z = −2是（ ）方程的解。即y 3 = 3 x或y 3 = −2 x是方程的解。 1 2z + 1 1 当z 2 − z − 6 ≠ 0时，变量分离 2 dz = dx，两边积分的（z − 3) 7 ( z + 2) 3 = x 5 c, x z −z−d 3 7 3 3 5 3 即（y − 3 x) ( y + 2 x) = x c，又因为y = 3x或y 3 = −2 x包含在通解中当c = 0时。故原方程 的解为( y 3 − 3 x) 7 ( y 3 + 2 x) 3 = x15 c
常微分方程习题 2.1
1.
dy = 2 xy ,并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解. dx
解：对原式进行变量分离得
1 dy = 2 xdx , 两边同时积分得： ln y = y c = 1, 故它的特解为 y =
x
2
+ c , 即 y = c e x 把 x = 0 , y = 1代入得
2
ex 。
解：方程化为
16． 解：
dy y 6 − 2x 2 = dx 2 xy 5 + x 2 y 2 dy dy 3 3[( y 3 ) 2 − 2 x 2 ] ( y 3 ) 2 − 2x 2 = 2 = = ，，令y 3 = u，则原方程化为 3 2 3 2 dx y (2 xy + x dx 2 xy + x
2
e
y 1 3x dy = − e + c 2 3 y
9 : x(ln x − ln y )dy − ydx = 0 y y • dy − dx = 0 x x y 1 ln u 令u = , 则有： dx = − d ln u 1 + ln u x x y 代回原变量得：cy = 1 + ln 。 x dy x− y 10： = e dx 解：方程可变为： − ln 解：变量分离 e dy = e dx 两边积分 e = e + c
2 2 − y = sgn x • ln x + c x
另外， y = x 也是方程的解。
7：tgydx − ctgxdy = 0 解：变量分离，得：ctgydy = tgxdx ln sin y = − ln cos x + c. 两边积分得： y +3 x dy e 8: =− dx y 解：变量分离，得
把y = ±
代入
∫ f ( x)dt = y
0
x
1
±∫
0
x
1 2t + c
dt = ± 2 x + c ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;± ( 2 x + c − c ) = ± 2 x + c得c = 0, 所以y = ±
1 2x
20.求具有性质 解： 令 t=s=0
x(t+s)= x(0)=
19. 已知 f(x) ∫ f ( x)dt = 1, x ≠ 0, 试求函数f ( x)的一般表达式 .
0
x
1 y = − 2 y' 1 y 解：设 f(x)=y, 则原方程化为 ∫ f (x)dt = 两边求导得 y 0
x
− y3 =
dy 1 1 1 1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; dx = − 3 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 两边积分得x + c = ; ; ; ; ; 所以y = ± 2 dx 2y y dy 2x + c 1 2x + c
5 : ( y + x)dy + ( y − x) dx = 0 dy y − x y dy du , 令 = u , y = ux, 解： = =u + x dx y + x x dx dx 1 du u + 1 u +1 , 变量分离，得： du = dx 则u + x = − 2 dx u + 1 x u +1 两边积分得：arctgu + 1 2 ln(1 + u ) = − ln x + c。 2
解：原方程化为
令 y 2 = u, ; ; ; ; ; x 2 = v; ; ; ; ; ; ; 则
⎧2v + 3u + 1 = 0 的解为（ 1， −1 ）；令Z = v − 1，，Y = u + 1， 方程组 ⎨ ⎩3v + 2u − 1 = 0
y ⎧ + 2 3 ⎪ 2z + 3y = 0 dy z 则有 ⎪ ，，，，从而方程（1 ）化为 = ⎨ y + = 3 z 2 y 0 dz ⎪ 3+ 2 ⎪ z ⎩
令
y dy dt dt 2 + 3t dt 2 − 2t 2 ，，z ， ...........(2) t = ，，则有 = t + z ，，所以t + z = = 3 + 2t z dz dz dz 3 + 2t dz
当
2 − 2t 2 = 0时，，即t = ±1，是方程(2)的解。得y 2 = x 2 − 2或y 2 = − x 2 是原方程的解
x(t ) + x( s ) 的函数 x(t),已知 x’(0)存在。 1 − x(t ) x( s )
2
14,
dy x − y + 5 = dx x − y − 2
dy dt = 1− , dx dx dt t 原方程化为： 1− = , 变量分离(t − 7)dt − 7 dx dx t − 7 1 2 两边积分 t − 7t = −7 x + c 2 2 1 代回变量 ( x − y +5) − 7( x − y + 5) = −7 x + c. 2
2 dy 2 =y+ x − y dx y dy du , 则原方程化为： 解：令 = u , y = ux, =u + x x dx dx
6：x
du = dx
x
2
(1 − u ) x
2
, 分离变量得：
1 1−u
− 2
du = sgn x •
1 dx x
arcsin u = sgn x • ln x + c 两边积分得： 代回原来变量，得 arcsin
2 2 4 2 2 2 2 x dy 2 = 1+ x y y dx 1 = dx x
y =c 两边同时积分得： u = c x ,即 x u +2 x y +2 y = c , x = 0. 故原方程的解为原 x x y +2
2 2 2 2 2
, y = 0也包含在此通解中。
1 4u du 1 2 + u 2 解 (2)令xy = u，则原方程化为 + u) = = (u 2 x 2 − u2 dx x 2 − u y x2 y2 2 − u2 1 du = dx，两边积分得 ln = 分离变量得 + c，这也就是方程的解。 x x 4u 4
17.
dy 2 x 3 + 3xy + x = 2 dx 3 x y + 2 y 3 − y dy x(2 x 2 + 3 y 2 + 1) dy 2 2 x 2 + 3 y 2 + 1 = ; ; ; ; ; = dx y (3x 2 + 2 y 2 − 1) dx 2 3x 2 + 2 y 2 − 1 du 2v + 3u + 1 = .......(1) dv 3v + 2u − 1
2
当y = 0时显然也是原方程的解。当x = 0, y = 1时，代入式子得c = 1, 故特解是 y=
3
1+ y dy = dx xy + x3 y
解：原式可化为：
2 2
1+ y dy 1 + y y 1 1 = • ≠ 0, 故分离变量得 显然 dy = dx 3 2 3 dx y y x+x x + 1+ y x 1 两边积分得 ln 1 + 2
13.
dy 2 x − y − 1 = dx x − 2 y + 1
1 1 解：方程组2 x − y − 1 = 0, x − 2 y + 1 = 0;的解为x = − , y = 3 3 dY 2 X − Y 1 1 令x = X − , y = Y + , 则有 = ' dX X − 2Y 3 3 Y dU 2 − 2U + 2U 令 = U，则方程可化为：X = X dX 1 − 2U 变量分离
y
2
1 2 = ln x − ln 1 + x + ln c (c ≠ 0),即(1 + 2 (1 + x ) = c x y）
2 2 2
y )(1 + x ) = c x
2
2
2
故原方程的解为（ 1+
4： (1 + x) ydx + (1 − y ) xdy = 0 解：由y = 0或x = 0是方程的解，当xy ≠ 0时，变量分离 两边积分 ln x + x + ln y − y = c, 即 ln xy + x − y = c, 故原方程的解为 ln xy = x − y = c; y = 0; x = 0. 1+ x 1− y dy = 0 dx = y x
t
dt = dx, 两边积分arctgt = x + c
代回变量得：arctg ( x + y ) = x + c
12． 解
dy 1 = dx ( x + y ) 2
令x + y = t，则
dy dt dt 1 = − 1，原方程可变为 = 2 + 1 dx dx dx t
t2 变量分离 2 dt = dx，两边积分t − arctgt = x + c，代回变量 t +1 x + y − arctg ( x + y ) = x + c
当
2 − 2t 2 ≠ 0时，，分离变量得 3 + 2t 1 dt = dz两边积分的y 2 + x 2 = ( y 2 − x 2 + 2) 5 c 2 z 2 − 2t
另外
y 2 = x 2 − 2，或y 2 = − x 2，包含在其通解中，故原方程的解为y 2 + x 2 = ( y 2 − x 2 + 2) 5 c
Baidu Nhomakorabeay x y x
dy x− y =e dx 解：变量分离， e dy = e dx 两边积分得： e =e +c 11.
2 dy = ( x + y) dx y x y x
dy dt = +1 dx dx dt 1 原方程可变为： = 2 + 1 dx t 解：令x + y = t , 则 变量分离得：2 1 +1
解：令x − y = 5 = t , 则
dy = ( x + 1) 2 + (4 y + 1) 2 + 8 xy + 1 15． dx
dy = x 2 + 2 x + 1 + 16 y 2 + 8 y + 1 + 8 xy + 1 = ( x + 4 y + 1) 2 + 2 dx 1 du 9 dy du 令1 + x + 4 y = u，则关于x求导得1 + 4 = ，所以 = u2 + ， 4 dx 4 dx dx 1 2 2 8 分离变量 2 du = dx，两边积分得arctg ( + x + y ) = 6 x + c，是 3 3 3 4u + 9 原方程的解。