三对角线型行列式的求法

#线性代数技巧行列式的计算方法

计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。

下面介绍几种常用的方法，并举例说明。

1．利用行列式定义直接计算例1 计算行列式001002001000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ijD a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j i a a =-知i i i ia a =-，即 0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n nnnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n nn nnn a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

例3 计算n 阶行列式a b b b ba b b D bb a bbbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a b bD a n bb a b a n bb b a+-+-=+-+- 11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba =+- 100[(1)]00b bb a b a n b a b a b-=+--- 1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。

三对角行列式计算公式推导

三对角行列式计算公式推导要推导三对角行列式的计算公式，我们首先需要定义三对角矩阵。

一个n×n的矩阵A是三对角的，如果它的非零元素只在主对角线上以及位于主对角线上方和下方的相邻两条对角线上。

一个三对角矩阵的一般形式如下：a1b10c2a2b200c3a3b3...0 0 cn an bn其中，ai, bi 和 ci 分别表示第i个主对角线和位于主对角线上方和下方的对角线元素。

det(A) = a1 * a2 * a3 * ... * an - 1 * an - (b1 * c2 * a2 * a3 * ... * an - 1) - (b2 * c3 * a3 * a4 * ... * an - 1) - ... - (bn - 2 * cn - 1 * an - 1 * an)推导过程如下：设三对角矩阵A的行列式为det(A)。

我们可以通过对A的第一列使用行列式展开式来推导det(A)的计算公式。

根据行列式的定义，展开式如下：det(A) = a1 * M11 - b1 * M12其中，M11是去除A的第一行和第一列后的(n-1)×(n-1)的子矩阵的行列式，M12是去除A的第一行和第二列后的(n-1)×(n-1)的子矩阵的行列式。

我们可以继续展开M11 和 M12 的行列式，直到展开到1×1 的子矩阵。

在展开的过程中，我们会发现只有b1 * c2 * ... *bn - 1 * an - 1 这一项才会保留下来。

通过这个过程，我们可以得到以下递推关系：det(A) = a1 * M11 - b1 * M12=a1*(a2*M21-b2*M22)-b1*(c2*M21-a2*M23)=a1*a2*M21-a1*b2*M22-b1*c2*M21+b1*a2*M23=a1*a2*M21-a1*b2*M22+a2*b1*M23-b1*c2*M21继续展开，我们得到：det(A) = a1 * a2 * M21 - a1 * b2 * (a3 * M31 - b3 * M32) + a2 * b1 * (c3 * M32 - a3 * M33) - b1 * c2 * M21-a1*b2*a3*M31+a1*b2*b3*M32-a2*b1*c3*M33这一过程可以继续下去，直到展开到最后一个(n-1)×(n-1) 子矩阵的行列式，此时我们只剩下最后一个主对角线上的元素an。

三对角行列式计算方法和结论

三对角行列式计算方法和结论1. 什么是三对角行列式？说到三对角行列式，很多人可能会一脸懵，觉得这名字听起来就像是数学界的“外星人”。

别担心，咱们慢慢来，轻松搞懂它。

首先，三对角行列式其实就是一个特别的矩阵，只有主对角线及其上下相邻的两条对角线上有数字，其他位置全是零。

这就好比在一块棋盘上，只有“国王”和“王后”能活动，而其他棋子都乖乖待在原地，不打扰他们。

1.1 三对角行列式的形状想象一下，一个三对角行列式像极了一个阶梯，越往下走，越显得整齐划一。

比如说，一个 4x4 的三对角行列式，它的样子大致是这样的：begin{vmatrixa_1 & b_1 & 0 & 0c_1 & a_2 & b_2 & 0 。

0 & c_2 & a_3 & b_3 。

0 & 0 & c_3 & a_4end{vmatrix看到这个形式，你是不是想到了“家有一老，如有一宝”？没错，这个行列式的结构，简洁而有力，绝对是数学界的宝贝。

1.2 计算的重要性三对角行列式的计算可不是随便来玩的，它在数值分析、工程计算以及物理建模中可谓是不可或缺。

想象一下，如果你的计算机程序因为一个行列式出错，那可真是“哎呀，我的老天爷”了！所以，搞清楚如何计算它，简直就像掌握了一门“绝世武功”。

2. 计算方法好啦，接下来我们来聊聊如何计算这个“宝贝”。

其实，计算三对角行列式有个简单而高效的方法，叫做“递推法”。

不如就像做饭，一步一步来，越做越好。

2.1 递推公式我们可以用一个简单的公式来表示它：D_n = a_n D_{n1 b_{n1c_{n1 D_{n2。

听起来有点复杂，其实它的意思就是：当前的行列式等于当前主对角线元素乘以前一个行列式减去上一个主对角线元素和次对角线元素的乘积乘以前前一个行列式。

听起来是不是就像在讲“家族传承”的故事？2.2 计算实例假如我们有一个 3x3 的三对角行列式：begin{vmatrixa_1 & b_1 & 0c_1 & a_2 & b_20 & c_2 & a_3end{vmatrix那我们的计算过程就能这样展开：1. 先算 (D_1 = a_1)。

三对角行列式的计算

Ｃ￥ＬＯＯ１０
Ｄ＝
以上结果可作为公式应用。
２差分法
首先由行列式Ｄ得到一个一般的递推公式Ｄ＝ｐ＋Ｄ，把该关系式看作一个差分方程，然后求出特
１２ｏｏｃｓｌ１
０１
… …
Ｄ＝ａＤ
一
Ｉ—
ｂＤ２ｃ
一
（３ｎ）
（）１
数、组合数学、计算数学以及工程技术中都有广泛的应用，
因而三对角行列式的计算一直受到人们的关注
形如
设，ＪＢ为一元二次方程一仳＋ｂ＝０的根，ｃ则
。
ａ：＋／－－ａＴ￣－－ａ－
００
ｄｉ１．９９ｊｉｎ１７－８４２１．２０３ｏ：０３６／．ｓ．６１７６．０００．２ｓ
Ｏ
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
ＯＯ
● ● ● ● ● ●
三对角行列式的计算
１递推法
递推法可分为直接递推和间接递推。用直接递推法计算行列式Ｄ的关键是找出一个关于的代数式来表示Ｄ，次从Ｄ — ：一 —一 …—一Ｄ逐级递推便可依。Ｄ— 以求出Ｄ的值；间接递推的做法是，借助于行列式中元素
Ｄ
＿￣”４４｛（一ｂ号口ａ（）２（－。２一ｃ＋）６）Ｕ，一。ｃ￣
，
３数学归纳法
利用数学归纳法来计算三对角行列式，两步进行：分

利用对角线法则计算三阶行列式

利用对角线法则计算三阶行列式行列式，听起来是不是很高深？别担心，今天我们要聊的就是这东西的计算法。

你也许觉得这名字很陌生，但其实在我们日常生活中，很多数学问题都离不开它。

就像吃饭的时候离不开筷子一样，行列式在数学中也有着它的独特地位。

今天咱们就来聊聊怎么用“对角线法则”来计算三阶行列式，保证让你听了之后感觉像是学会了一招绝世武功一样。

1. 什么是三阶行列式？首先，别被“行列式”这词吓到。

行列式其实就是一个数字，它能够告诉我们一个矩阵的很多有用信息。

而三阶行列式，顾名思义，就是处理一个3×3的矩阵的行列式。

想象一下，你有一个3x3的方阵，比如说：begin{vmatrixa &b & cd &e & fg & h & iend{vmatrix这就是你需要计算的三阶行列式。

简单来说，它就是一个由9个数构成的方阵，咱们的目标就是算出这个矩阵的值。

听起来是不是有点头大？别急，我们要用的是对角线法则，这个方法可以让你一瞬间就能搞定。

2. 对角线法则的步骤2.1. 画出对角线首先，拿出你的铅笔或者是想象中的笔，准备开始动手了。

对角线法则的关键就是“对角线”，也就是说，我们要在这个矩阵里画出几条对角线。

具体的，咱们需要画出两条从左上角到右下角的对角线，和两条从右上角到左下角的对角线。

这样一来，整个方阵就被划分成了许多小块。

2.2. 计算对角线上的乘积接着，就是计算这些对角线上的乘积了。

简单来说，就是把每条对角线上的数字都乘起来，然后把结果加在一起。

比如说，第一条从左上到右下的对角线是：a、e、i，我们就计算a×e×i。

第二条对角线是：b、f、g，这样我们就计算b×f×g。

然后我们加上这些结果。

2.3. 计算另一组对角线上的乘积然后呢，我们也需要计算从右上到左下的对角线的乘积。

第一条对角线是：c、e、g，我们就计算c×e×g。

三对角行列式的计算及应用

13届分类号：单位代码:10452毕业论文（设计）三对角行列式的计算及应用2013年04月10日摘要线性代数作为现代代数的重要组成部分,其中最重要的内容是矩阵和行列式。

它们不仅活跃在数学的各个分支，同时也是现代物理及其他一些科学技术领域中不可缺少的工具.行列式是方阵的一个重要数值特性，在矩阵理论、计算数学和解析几何中都起着重要作用。

本文将利用行列式的性质及组合计算技巧，介绍三对角行列式的计算方法及其应用。

具体内容如下:1。

介绍行列式的定义与性质，尤其对拉普拉斯定理进行了较详细的论证。

2. 阐述三对角行列式的定义及其相关的性质定理，并着重讨论三对角行列式的应用,同时给出相关例题.3. 通过用求解带有不同边界条件的差分方程的办法来求解特殊三对角矩阵的特征值，并将三对角矩阵的特殊性归结为边界条件的不同，由此给出这类特殊三对角矩阵特征值的计算公式.关键词：行列式;三对角行列式;差分方程；特征值ABSTRACTLinear algebra as an important part of modern algebra，one of the most important elements of it matrix and determinant.They active in various branches of mathematics，but also a number of modern physics and other fields of science and technology an indispensable tool。

An important determinant is the square value of properties.In matrix theory, computational mathematics and play an important role in analytic geometry.This article will use the determinant of the nature and combination of computational techniques, give several special calculating methods of it and its applications。

三对角线型行列式的求法

三对角线型行列式 Ⅲ是ｎ阶行列式中一种常见的行列式，此行列式的特点是，除主对角线及其上下两条次对角线的元素外．其余的元素都为零。对于此类行列式．我们需要寻找其所具有的具体特点．进而确定具体的计算方法．得到一般的计算公式。下面我们通过举例的方式对三对角线型行列式的计算方法进行探讨．进而对不同特点的此类行列式我们得到一般的计算方法与计算公式。
所以．
…＝
等。２＿４。）
Ｉ（ｎ＋１）Ｘｎｘ＝ｙ（ｂＥ－４ａｃ＝Ｏ）
（１５）
由于ｘ，ｙ是方程２－６＋＝０的两个实根．所以在具体计算时，只需将口，ｂ，ｃ代人方程，得到方程的实根，再代人公式（１５），即可求得到三对角线型行列式的值。
如行列式陶：
７５０
２７５
０２７Ｄ，ｌ＝
００００００
● ● ●
● ●
０００Ｏ０Ｏ
７５２７
此行列式中ａ＝５，ｂ＝７，ｃ＝２，满足ｂ２－４ａｃ＝４９—４０＝９＞０，求解方程ｗ２－７ｗ＋１０＝０得到实根ｘ＝２，ｙ＝５，所以套用
００
Ｄ，（Ｄｔ叫Ｄ）＝（Ｄ —姬）
＝…＝ｙ－－２（Ｄ２－ｘＤ，）＝ｙｎ－２（ｘ
）
由（３）式反复利用低阶代替高阶，可得：Ｄ．－ｙＤｌ＝ｘ（Ｄ１－ｙＤａ＿２）＝ｘ（Ｄ，厂ｙＪＤ）＝…＝ｘ￣－２（Ｄ２－ｌ１＝Ｘｎ－２（Ｘ２＋产ｒ）将（４）、（５）两式联立，即：

三对角行列式公式

三对角行列式公式三对角行列式公式是线性代数中的一个重要概念，它在解决许多数学问题时都有着关键的作用。

咱先来说说啥是三对角行列式。

简单来讲，就是主对角线以及与其相邻的两条对角线上有非零元素，其他位置都是零的行列式。

比如说，像下面这个样子：\[\begin{vmatrix}a_1 & b_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\c_1 & a_2 & b_2 & 0 & \cdots & 0 \\0 & c_2 & a_3 & b_3 & \cdots & 0 \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & a_n\end{vmatrix}\]这就是一个典型的三对角行列式。

那三对角行列式公式到底是啥呢？其实它的公式有点复杂，不过别怕，咱们一点点来。

假设我们有一个 n 阶的三对角行列式 $D_n$ ，那么它可以通过递推的方式来求解。

咱就拿一个具体的例子来说吧。

有一次我给学生们讲这个知识点的时候，有个学生就特别迷糊，一直皱着眉头。

我就问他：“咋啦，没听懂？”他怯生生地点点头。

然后我就重新给他一步一步地讲。

比如说，我们有个三阶的三对角行列式：\[\begin{vmatrix}2 & 1 & 0 \\3 & 2 & 1 \\0 & 3 & 2\end{vmatrix}\]我们先按照一般的行列式展开法则来算。

第一步，把第一行展开：\[\begin{align*}&2\times\begin{vmatrix}2 & 1 \\3 & 2\end{vmatrix} - 3\times\begin{vmatrix}1 & 0 \\3 & 2\end{vmatrix} \\=&2\times(2\times 2 - 1\times 3) - 3\times(1\times 2 - 0\times 3) \\=&2\times 1 - 3\times 2 \\=& -4\end{align*}\]这就是具体的计算过程。

线性代数专题：行列式计算

2
β + α
β β = 1+ + + α α
β α =
n +1
β + α ⋅
n
−1 =
1
β −1 α
αn
β n +1 − α n +1 β −α
∴ Dn =
β n +1 − α n +1 ，当 β≠α β −α
Dn
（3）
当 β = α，从
= ( x + y ) Dk −1 − xy 0 0 = ( x + y ) Dk −1 − xyDk − 2 Dk −1 = x k −1 + x k − 2 y + D k − 2 = x k − 2 + x k −3 y +
= ( x + y )( x k −1 + x k − 2 y + − xy ( x k − 2 + x k −3 y + = x k + x k −1 y +
a x −a
a a x
a a a a x
Dn = − a − a x … −a −a −a
a = −a −a x a … x −a −a −a
a + −a … a x −a ②
−a −a
= − a( x − a) n −1 + ( x + a) Dn −1
①×（x + a） ②×（x – a）
( x + a ) Dn = a ( x + a ) n + ( x 2 − a 2 ) Dn −1 ( x − a ) Dn = − a ( x − a ) n + ( x 2 − a 2 ) Dn −1

三对角行列式计算公式推导

三对角行列式计算公式推导三对角矩阵指的是只有主对角线和相邻的次对角线和超过它们一格的次对角线上有非零元素的方阵。

计算这种矩阵的行列式有一个特别简单的公式，即Cramer公式的变形：$$|A|=\prod_{i=1}^n a_i,$$其中$a_1, a_n$ 为矩阵 $A$ 的主对角线元素，$a_i, a_{i-1}$ 和 $a_{i+1}$ 分别为它的第 $i$ 个、第 $i-1$ 个、第$i+1$ 个次对角线上的元素。

我们可以采用数学归纳法来证明这个公式。

如果 $n=1$，那么$|A|=a_1$，这满足公式。

如果 $n=2$，那么 $|A|$ 的表达式可以用主对角线元素和第 $1$ 个次对角线元素表示，即：$$|A|=\left|\begin{matrix}a_1 & a_2 \\a_3 &a_4\end{matrix}\right|=a_1a_4-a_2a_3.$$根据公式可知，$|A|=a_1a_4-a_2a_3$，这满足公式。

假设$n=k$ 时公式成立，考虑 $n=k+1$ 的情况，即：$$|A|=\left|\begin{matrix}a_1 & a_2 & & & \\a_3 & a_4 & \ddots & & \\& \ddots & \ddots & \ddots & \\& & \ddots & a_{n-1} & a_n \\& & & a_{n+1} & a_{n+2}\end{matrix}\right|.$$将矩阵 $A$ 按行 $n$ 进行展开，可得：$$|A|=a_{n+1}\left|\begin{matrix}a_1 & a_2 & & & \\a_3 & a_4 & \ddots & & \\& \ddots & \ddots & \ddots & \\& & \ddots & a_{n-1} & a_n \\a_1/a_{n+1} & a_2/a_{n+1} & \cdots & a_{n-1}/a_{n+1} & 1 \end{matrix}\right|-a_n\left|\begin{matrix}a_1 & a_2 & & & \\a_3 & a_4 & \ddots & & \\& \ddots & \ddots & \ddots & \\& & \ddots & a_{n-1} & a_{n+1} \\a_1/a_n & a_2/a_n & \cdots & 1 & a_{n+1}/a_n\end{matrix}\right|.$$根据归纳假设，我们有：$$|A|=a_{n+1}\prod_{i=1}^{n} a_i-a_n\prod_{i=1}^{n-1} a_i,$$可见这满足公式。

三对角线行列式的公式

三对角线行列式的公式好的，以下是为您生成的关于“三对角线行列式的公式”的文章：在数学的世界里，行列式就像是一个个神秘的城堡，等待着我们去探索和征服。

而三对角线行列式，更是其中一座独特而有趣的城堡。

咱们先来说说啥是三对角线行列式。

想象一下，在一张大大的纸上，整齐排列着一排数字，形成了一个像三条对角线一样的形状，这就是三对角线行列式啦。

比如说，像这样：\[\begin{vmatrix}a_{1} & b_{1} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\c_{1} & a_{2} & b_{2} & 0 & \cdots & 0 \\0 & c_{2} & a_{3} & b_{3} & \cdots & 0 \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n}\end{vmatrix}\]那它的公式是啥呢？这可有点复杂，但别怕，咱们慢慢捋一捋。

我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个特别可爱的小家伙，瞪着大眼睛一脸迷茫地问我：“老师，这一堆数字怎么就能算出个结果来呢？”我笑着告诉他：“就像咱们玩拼图，得找到其中的规律和窍门呀。

”对于奇数阶的三对角线行列式，公式是这样的：\[D_{n} = \sum_{k=0}^{\frac{n - 1}{2}} (-1)^{k} C_{k}\]其中 $C_{k}$ 是一个与系数有关的表达式。

而对于偶数阶的三对角线行列式，公式又有所不同啦。

在学习和运用这个公式的过程中，可不能死记硬背哦。

得理解其中的原理，就像咱们解谜题，得知道为什么这样做才能找到答案。

三对角行列式解法

三对角行列式解法三对角行列式是指一个下三角矩阵和与其交错对角线相对的上三角矩阵构成的矩阵。

在矩阵中，非对角线的元素均为0，对角线上有一个由称作主对角线的元素构成的数列d1,d2,…,dn,以及上（下）主对角线之上（下）有一个由称作附属对角线的元素构成的数列e1,e2,…,en-1（d1,dn和e1,en-1均不为0）。

一个n x n 矩阵是三对角的，如果其主对角线上的元素都不为0，且其与主对角线距离为±1的点构成的所有对角线上的元素都不为0。

三对角矩阵出现在高斯消元以及数值微分方程求解等许多问题中的矩阵。

三对角行列式的求解方法主要有两种：迭代和消元法。

一、迭代法设矩阵A的行列式为D，矩阵A可以写作三个矩阵的积（分块矩阵分解）：A = LDU，其中L是下三角矩阵，D是对角矩阵，U是上三角矩阵。

于是可以有以下的求解过程：1.将A写成LDU的形式，D为：d1 e1 0 0e1 d2 e2 00 e2 d3 0... ... ... ... ...0 ... 0 en-1 dn其中di和ei是原三对角矩阵的主对角线和附属对角线的元素。

2.求解矩阵D对应的行列式：D= d1d2d3...dn - d1e12d3...dn +(e12d2)e23d4...dn - (e12d2)(e23d3)e34...dn + ... + (-1)n-1(e12d2)(e23d3)...(en-1dn-1)3.利用迭代法将LDU中的三个矩阵分别变为：L = I + l1u1 + l2u2 + … + ln-1un-1D = DU = I + u1l1 + u2l2 + … + un-1ln-1其中I是单位矩阵，l和u分别表示L和U的第i列和第i行，l1,l2,…,ln-1和u1,u2,…,un-1为按某种方式求出的系数。

4.将LDU的式子分别乘上L和U，得到矩阵A的分解式：5.将A的分解式展开，得到A的行列式表示式。

一类三对角行列式的计算方法

一类三对角行列式的计算方法一类三对角行列式是线性代数中的一种特殊的行列式，它可以通过简单的方法迅速求得。

下面将分步骤阐述一类三对角行列式的计算方法。

1. 定义一类三对角行列式是指对于一个n阶行列式，其主对角线、上一条对角线和下一条对角线上元素都不为0，而其它元素均为0的行列式。

2. 第一步将一类三对角行列式中的第一、二列交换，再将第二、三列交换，以此类推，直到把第n-1、n列交换。

交换变换不改变行列式的值，但却使得行列式变得容易计算，原来的三对角行列式变成了新的三对角行列式，但第一、第n-1两对角线由非零元变成了0。

3. 第二步根据三对角行列式的性质，从第一行开始，按照下列方式进行初等行变换：（1）第一行乘以a1n / a2n，然后加到第二行；（2）第二行乘以a2n-1 / a3n-1，然后加到第三行；以此类推，一直到最后一行。

这样变换后，新的三对角行列式就变成了如下形式：a1n a2n-1 0b1 b2 ... b(n-1)0 c1 c2 ... c(n-1)...0 ... a(n-1)n a(n)n-1其中，b1的值为原来的a1, b2的值为原来的a2n-1 / a2，c1的值为原来的an, cn-1的值为原来的a(n-1)n / a(n-1)n-1，其它的b、c的值分别是原来的a的连续积除以相邻的a的连续积之比。

4. 第三步对于新的三对角行列式进行展开，可以得到：a1n det⎛b2 b3 ... b(n-1) ⎛⎛ c2 c3 ... c(n-1)⎛⎛ ⋱⋱⋱ ⎛⎛ a(n-1)n⎛我们可以按照上述方法递归求出每一个形如det的行列式。

5. 第四步最后，将得到的det带入式子：(-1)^(n-1) * det / (a1n a2n-1 ... a(n-1)n) 即可得到原三对角行列式的值。

通过以上步骤，我们可以快速计算一类三对角行列式的值，不必做繁琐的计算。

这种方法不仅快捷，而且易于记忆，对于求解线性方程组、计算特征值等问题都有很大帮助。

三对角线行列式

1− a a 0 1− a a 0 0 5+1 + (− a )(−1) a a 0 −1 1− a −1 1− a 0 −1 1− a 0 −1 1− a a
即：D5 = D4 + (− a )(−1)5+1 a 4 , 那么D4 = D3 + (− a )(−1) 4+1 a 3 , D3 = D2 + (− a )(−1) 3+1 a 2 把这三个等式相加，代入得：把这三个等式相加，并把D2 = 1 − a + a 2代入得： D5 = 1 − a + a 2 − a 3 + a 4 − a 5
其中： D 其中： n − aDn−1 = an−m (Dn−m − aDn− m＋1））（
=a
n− 2
(
2a a
2
1 2a
− a 2a ) = a n− 2 (4a 2 − a 2 − 2a 2 ) = a n− 2a 2 = a n
第三讲行列式计算续与矩阵的概念
由此推出：由此推出： Dn = aDn−1 + a n = a (aDn − 2 + a n−1 ) + a n = a 2 Dn− 2 + 2a n = L + = a n−1 Dn− ( n−1) + (n − 1)a n = a n −1 D1 + (n − 1)a n = a n −1 2a + na n − a n = (n 线性方程组的系数行列式为（数一） 2a a2 A= 1 2a 1 a 2 2a 1 O O O a2 2a 1 a 2 2a n×n ×
第三讲行列式计算续与矩阵的概念

利用对角线法则计算三阶行列式

利用对角线法则计算三阶行列式1. 行列式是什么行列式，听起来好像是一种神秘的魔法公式，实际上，它在数学中可是大有用处的。

简单来说，行列式就是一个数，能够帮助我们判断一个方阵的性质。

比如说，如果我们有一个三阶方阵，也就是三行三列的矩阵，计算它的行列式可以告诉我们这个矩阵是否可逆，或者说它的“体积”有多大。

要是行列式为零，那就代表这个矩阵没有反转的能力，就像一辆没油的车，死活动不了。

2. 对角线法则的妙用2.1 什么是对角线法则？说到计算三阶行列式，咱们可得提一提对角线法则。

这玩意儿就像是给你指明了道路，简单明了。

听起来复杂，其实就是一个很直观的方法。

我们拿一个三阶矩阵，比如说：begin{bmatrixa &b & cd &e & fg & h & iend{bmatrix在这里，a、b、c这些字母就代表数字了。

对角线法则的核心就是找出矩阵的对角线。

嘿，别小看这条线，里面的学问可不少！2.2 怎么用对角线法则计算行列式？好了，下面就来讲讲具体怎么操作。

首先，你得画三条对角线，这些线就是从左上角到右下角，以及从右上角到左下角的线。

这样一来，咱们就能通过这两组对角线来计算行列式。

对于第一条对角线，从左到右的那条，我们要把每个对角线上数字相乘，再把这三个乘积加起来。

例如，我们来计算：1. (a times e times i)。

2. (b times f times g)。

3. (c times d times h)。

这些乘积一加，就是我们第一组对角线的结果，记住了哦！接着，我们看另一条对角线，从右到左的那条。

我们同样要做乘法，然后相减。

这就好比是对比一下，看看哪边更“壮”。

具体的步骤如下：1. (c times e times g)。

2. (a times f times h)。

3. (b times d times i)。

这些乘积相加，得出一个数。

然后，把这个数从之前的总和中减去，哦啦，最后的结果就是你所求的行列式啦！3. 举个例子，手把手教你3.1 例子介绍咱们来个具体的例子，假设有一个矩阵：begin{bmatrix1 &2 & 34 &5 & 67 & 8 & 9end{bmatrix这可不是随便选的，咱们就用这个来算一算。

[理学]线性代数技巧行列式的计算方法解析

计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。

下面介绍几种常用的方法，并举例说明。

1．利用行列式定义直接计算例1 计算行列式001002001000000n D n n =-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故 (1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ijji aa =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n nn nn n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

例3 计算n 阶行列式a b b b ba b b D bb a b bbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a bb D a n bb a b a n bb b a+-+-=+-+-11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba=+-100[(1)]000b b b a b a n b a b a b-=+---1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。

线性代数专题：行列式计算

a + −a −a x
a
Ek = Fk k = 1,2, , n
由（4）式， Fn 的每一行都能提出一个因子 a ，故 Fn 等于 a n 乘一个 n 阶行列式，这一个行列式就是例 1 的 Dn 。前面算出 Dn = n + 1，故 Ek = Fk = (n + 1)a n
例 2 计算 n 阶范德蒙行列式行列式
111
1
a
n 2
−
3
(
a2
−
a1 )
a2n−2 (a2 − a1 )
1
a2
(an − a1 )
a
2 2
1 an − a1 an (an − a1 )
ann−3 (an − a1 ) ann−2 (an − a1 )
1
1
a3
an
a32
a
2 n
a a n−2
n−2
2
3
an−2 n
= (a2 − a1 )(a3 − a1 ) (an − a1 ) Dn−1
（2）
Dn−1 − αDn−2 = β (Dn−2 − αDn−3 )
直接计算
D3 − αD2 = β (D2 − αD1)
（递推计算）
∴ Dn − αDn−1 = β 2 (Dn−2 − αDn−3 )
= = β n−2 (D2 − αD1)
D1 = α + β α+β
D2 = 1
αβ = (α + β )2 − αβ α +β
a1 a2 a3
an
Dn = a12 a22 a332
an2
a a a n−1
n−1
n−1

三对角线型行列式的求法

三对角线型行列式的求法李海英;赵建英【摘要】三对角线型行列式是线性代数中一种常见的具有特殊格式的行列式，通过举例的方式对此类行列式的计算进行探讨，由简单形式的行列式到元素复杂的行列式进行推导，并在行列式的元素满足一定条件的情形下，得到一般形式三对角线型行列式的计算方法及其计算公式。

%Tridiagonal determinant is a common and with special format determinant in the linear algebra, by the way of giving examples, discusses the computing method of this class determinant, and deduces it through the simple formal to the complex elements determinant. When the determinant elements satisfy a certain condition, obtains the computing method and computing formula of the general tridiagonal determi-nant.【期刊名称】《现代计算机（普及版）》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】4页(P39-41,54)【关键词】三对角线型行列式;递推公式;消去法【作者】李海英;赵建英【作者单位】内蒙古商贸职业学院社科基础部，呼和浩特 010022;内蒙古商贸职业学院社科基础部，呼和浩特 010022【正文语种】中文三对角线型行列式[1]是n阶行列式中一种常见的行列式，此行列式的特点是，除主对角线及其上下两条次对角线的元素外，其余的元素都为零。

对于此类行列式，我们需要寻找其所具有的具体特点，进而确定具体的计算方法，得到一般的计算公式。

三对角行列式的计算

三对角行列式的计算
卢潮辉
【期刊名称】《漯河职业技术学院学报》
【年(卷),期】2010(009)002
【摘要】三对角行列式是一类特殊而常见的行列式,其计算灵活多样,本文给出三对角行列式的几种特殊的计算方法.
【总页数】3页(P51-53)
【作者】卢潮辉
【作者单位】揭阳职业技术学院数学与计算机科学系,广东,揭阳,522051
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.分块三对角形行列式的计算及其推广 [J], 刘永建
2.三对角矩阵的行列式的并行计算方法 [J], 玄兆鹏;张莉;付晓林;郭希娟
3.计算周期三对角矩阵行列式和逆矩阵的新算法 [J], 陈跃辉;赵立群;余承依
4.斐波那契数列在三对角行列式计算中的应用 [J], 刘玲; 方春霞; 胡佳宁; 缪梦楠
5.一类三对角行列式的计算方法 [J], 关晋瑞
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