配方法习题课
配方法
布置作业
1.P30习题17.2 第2题用配方法解
方程第（1）——（4）题；
2.思考：
代数式4x2-12x+9y2+30y+35的值 恒大于零吗？为什么？
5 4
)2
比比谁认真
2.用配方法解下列方程：
(1)x2+x-1=0； x 1 5 2
(2)x2-x-2=0； x1 2, x2 1
(3)2x2+5x-1=0；
x
5 4
33
(4)3x2-6x+1=0.
x 3 6 3
试试谁聪明
3.若代数式x2+1的值与代数式2x+1的值相
用配方法解一元二次方程的方 法步骤
用配方法解一元二次方程的 方法步骤
1.把方程整理成一般形式； 2.移项，把常数项移到方程的右边； 3.二次项系数化为1； 4.配方，两边都加上一次项系数一半的平方； 5.开方，根据平方根的意义，两边开平方； 6.求解，解一元一次方程（两个）； 7.写出原方程的解。
探 例1 解方程 x2-4x-2=0两边都加上4，配方得x2-4x+4=2+4
即
(x-2)2=6
开平方，得x-2= 6
所以，原方程的根是
X1=2+ 6 ,
X2=2- 6
例2 解方程 2x2+3=5x
解 移项，得 2x2-5x=-3
两配两边方边即除，开(以得x∴平- 2x54x方，2)1-2=52=，得1x1,+1x6得x(22=-54x)52-232x=54=-=-3232+14(
两边同时加上12，得 x2-2x+12=3+12
配方法习题
配方法习题一、选择题1.下列哪个不是完全平方式？（ ）A 、2x 2B 、x 2－6x ＋9C 、25x 2－10x ＋1D 、x 2＋22x ＋1212.以配方法解3x 2＋4x ＋1＝0时，我们可得下列哪一个方程式？（ ） A 、(x ＋2)2＝3 B 、(3x ＋23 )2＝54 C 、(x ＋23 )2＝13 D 、(x ＋23 )2＝193.若2x 2－3x ＋1加上一数k 后，成为完全平方式，则k ＝（ ）A 、18B 、7C 、16D 、144.想将x 2＋32 x 配成一个完全平方式，应该加上下列那一个数？（ ） A 、34 B 、 94 C 、98 D 、9165.下列哪个不是完全平方式？（ ）A 、x 2＋4B 、x 2＋4x ＋4C 、4x 2＋4x ＋1D 、x 2＋x ＋14二、填空题1.将方程式x 2－4x ＋1＝0配成(x ＋a)2＝b 之形式则a ＋b ＝___________2.填入适当的数配成完全平方式x 2－12 x ＋____________＝(x － )2 3.已知一元二次方程式x 2－2x －1＝0的解为x ＝a ± b 则a －b ＝_______三、利用配方法解下列一元二次方程式3x 2－8x ＋3＝0。
ax 2－2bx ＋c ＝0（a ＞0，b 2－ac ≧0）3x 2－8x ＋3＝0 3x 2＋11x ＋2＝0。
x 2＋2x －1＝0 3x 2－8x ＋3＝0一、选择题（共56分，每小题14分）：1、2x^2+4x+10=12中，可以配方得到_______A、2(x+1)^2=3B、2(x+2)^2=3C、(2x+1)^2=3D、(2x+1)^2=5.2、x^2+4x+3=-1的结果是_______A、x=-2B、x=2C、无解D、此题有两个根.3、对于关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0（a不为0,a,b,c是常数）进行配方，得到_______A、(x+b/a)^2 - (b^2/2a^2)=-c/aB、(x+b)^2 - (c/a^2)=-b/aC、(x+b/2a)^2 = (b^2/4a^2)-c/aD、对于不同的数字没有唯一表达式。
九年级数学上一元二次方程2.2一元二次方程的解法1配方法__直接开平方法习题湘教
You made my day!
17.用直接开平方法解下列方程．
(1)3(2x－5)2－36＝0；
解：移项，得 3(2x－5)2＝36，
两边同时除以 3，得(2x－5)2＝12.
开方，得 2x－5＝±2 3，
∴2x－5＝2 3或 2x－5＝－2 3.
∴x1＝5＋22
3，x2＝5－22
3 .
(2)4(2y－5)2＝9(3y－1)2.
(2)若max{(x－1)2，x2}＝9，求x的值． 解：∵max{(x－1)2，x2}＝9， ∴当max{(x－1)2，x2}＝x2时，(x－1)2＜x2，x2＝9， 解得x1＝－3(不合题意，舍去)，x2＝3， 当max{(x－1)2，x2}＝(x－1)2时，(x－1)2＞x2，(x－1)2＝9， ∴x－1＝±3，∴x－1＝－3或x－1＝3， 解得x1＝－2，x2＝4(不合题意，舍去)， 综上所述，x的值为3或－2.
16．将 4 个数 a，b，c，d 排成两行两列，两边各加一条竖直线 记成ac db，定义ac db＝ad－bc，上述记号叫作二阶行列 式，若x2－1 x－－31＝7，则 x＝__0_或__2___．
【点拨】根据题意得(x－1)2－2×(－3)＝7，∴(x－1)2＝1， 开方得，x－1＝±1，∴x1＝2，x2＝0.
A．x1＝x2＝3 C．x1＝x2＝－ 3
B．x1＝x2＝ 3 D．x1＝ 3，x2＝－ 3
4．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数解
的方程为( C )
A．x2－5＝0
B．3x2＝0
C．3x2＋10＝0
D．－x2＋8＝0
5．【2020·扬州】方程(x＋1)2＝9的根是_x_1＝__2_，__x_2_＝__－__4_．
配方法(2课时)
22.2.1 配方法解一元二次方程(一)教学目标：掌握直接开平方发解一元二次方程教学重点：掌握直接开平方法解一元二次方程的过程.教学难点：掌握直接开平方法解一元二次方程知识回顾1.求出下列各数的平方根（1）25 （2）0.04 （3）0 （4）72.写出完全平方公式.新课引入一桶某种油漆可刷的面积为1500d m2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体现状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设正方体的棱长为x d m，则一个正方体的表面积为6 x2d m2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程10×6 x2=1500由此可得x2 =25X1=5，X2=－5可以验证，5和－5是方程的两根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．对照上面解方程的过程，你认为方程(x+3)2=2应该怎样解呢?x2+6x+9=2又应该怎样解呢?学生讨论与交流老师讲解例题演示（见课件）学生练习（见课件）课堂小结：这节课我们学习了什么？那么怎么用开平方法解一元二次方程？作业布置P16页1题教后反思：22.2.1 配方法解一元二次方程(二)一、教学目的1．使学生掌握用配方法解一元二次方程的方法．2．使学生能够运用适当变形的方法，转化方程为易于用配方法求解的形式，来解某些一元二次方程．并由此体会转化的思想．二、教学重点、难点重点：掌握配方的法则．难点：凑配的方法与技巧知识回顾对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义,可以用直接开平方法.练一练（见课件）自主探究看课件，填空并探究其规律合作交流探究新知：问题：要使一块矩形场地的长比宽多6米，并且面积为16平方米，场地的长和宽应各是多少？练习：P9 1、2小结：应用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的要点是：(1)化二次项系数为1；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数；(3)方程两边各加上一次项系数一半的平方；作业：习题21.2 第3题教后反思：。
配方法PPT课件
1)2 都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．
感悟新知
总结
知2－讲
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x＋n)2＝p (Ⅱ) 的形式，那么就有：
(1)当p>0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根
x1 n p，x2 n p;
(2)当p＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根x1＝x2＝－n； (3)当p<0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0，
所以方程(Ⅱ)无实数根．
课堂小结
一元二次方程
直开平方法
降次
配方法
转化
湘教版 九年级上
第2章
一元二次方程
2.2. 2
配方法解二次项系数为1的一元二次方程
认知基础练
(2)请写出此题正确的解答过程． 解:移项，得 x2－2x＝1. 配方，得 x2－2x＋1＝2，即(x－1)2＝2. 两边开平方，得 x－1＝± 2， 所以 x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2. 易错警示：用配方法解一元二次方程时，要先把 常数项移到方程的右边，移项时切记要变号．
C ． 4 ， 21
D．－8，69
习题链接
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1C 2D 3B 4A
5A 6A 7 8
答案呈现
9
方法技巧练
先阅读下面的内容，再解决问题．
8 例题：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0， ∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0. ∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0. ∴m＋n＝0，n－3＝0. ∴m＝－3，n＝3. 问题：已知a，b，c为正整数且是△ABC的三边长，c是△ABC的 最短边长，a，b满足a2＋b2＝12a＋8b－52，求c的值．
人教版配方法
•
7.家具的主体建构中所占比例较大。 建筑中 的木构 是梁柱 系统， 家具中 的木构 是框架 系统， 两个结 构系统 之间同 样都靠 榫卯来 连接， 构造原 理相同 。根据 建筑物 体积、 材质、 用途等 方面的 不同， 榫卯呈 现出不 同的连 接构建 方式。
•
8.正是在大米的哺育下，中国南方地 区出现 了加速 度的文 明发展 轨迹。 河姆渡 文化之 后，杭 嘉湖地 区兴盛 起来的 良渚文 化，在 东亚大 陆率先 迈上了 文明社 会的台 阶，成 熟发达 的稻作 农业是 其依赖 的社会 经济基 础。
P6页.练习题
•
1.阅读说明文，首先要整体感知文章 的内容 ，把握 说明对 象，能 区分说 明对象 分为具 体事物 和抽象 事理两 类；其 次是分 析文章 内容， 把握说 明对象 的特征 。事物 性说明 文的特 征多为 外部特 征，事 理性说 明文的 特征多 为内在 特征。
•
2.该类题目考察学生对文本的理解， 在一定 程度上 是在考 察学生 对这类 题型答 题思路 。因此 一定要 将这些 答题技 巧熟记 于心， 才能自 如运用 。
•
3. 结合实际，结合原文，根据知识库 存，发 散思维 ，大胆 想象。 由文章 内容延 伸到现 实生活 ，对现 实生活 中相关 现象进 行解释 。对人 类关注 的环境 问题等 提出解 决的方 法，这 种题考 查的是 学生的 综合能 力，考 查的是 学生对 生活的 关注情 况。
•
4.做好这类题首先要让学生对所给材 料有准 确的把 握，然 后充分 调动已 有的知 识和经 验再迁 移到文 段中来 。开放 性试题 ，虽然 没有规 定唯一 的答案 ，可以 各抒已 见，但 在答题 时要就 材料内 容来回 答问题 。
1.求出下列各数的平方根。
2.2用配方法求解ax2+bx+c=0型方程北师大版九年级数学上册习题PPT课件
解：根据题意，得(16－2x)(12－2x)＝12×16×12.整理，得 x2－14x＝－24.配方， 得(x－7)2＝25.解得 x1＝2 或 x2＝12(不合题意，舍去)．∴x＝2.即小路的宽是 2 m.
第二章 一元二次方程
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能力提升
6．用配方法解下列方程时，配方错误的是( D ) A．2x2－7x－4＝0 化为x－742＝8116 B．2t2－4t＋2＝0 化为(t－1)2＝0 C．4y2＋4y－1＝0 化为y＋122＝12 D．13x2－x－4＝0 化为x－322＝549
417，x2＝34－
17 4.
(3)m1＝16＋ 661，m2＝16－ 661.
(4)x1＝34＋ 413，x2＝34－ 413.
第二章 一元二次方程
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数学·九年级（上）·配北师
5．在一块长16 m、宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园并使所占面积为荒 地面积的一半，小明的设计方案如图所示，其中花园四周小路的宽度都相等，请帮 小明计算一下小路的宽是多少米？
宽是多少米？ 解：由图，知甲地边长为120米，乙地边长为(x－120)米，丙地长为(x－120)
3．用配方法解方程：(2x－1)2＝4x＋9.
米，宽为(240－x)米．由题意，得(x－120)·(240 (4)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，将原方程变成(x＋m)2＝n的形式．
3．用配方法解方程：(2x－1)2＝4x＋9.
第二章 一元二次方程
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数学·九年级（上）·配北师
3．用配方法解方程：(2x－1)2＝4x＋9. 解：整理，得_4_x_2_－__8_x_－__8_＝__0___. 移项，得__4_x_2－__8_x_＝__8___. 二次项系数化为1，得__x_2_－__2_x_＝__2__. 配方__x_2－__2_x_＋__1_＝__3___，即___(x__－__1_)2_＝__3__. 开平方，得__x_－__1_＝__±__3___.所以x1＝__1_＋___3__，x2＝__1_－___3__.
冀教版九年级上册数学第24章 一元一次方程 配方法——配方法解方程
6．【中考·扬州】已知 M＝29a－1，N＝a2－79a(a 为任意 实数)，则 M，N 的大小关系为( A )
A．M<N
B．M＝N
C．M>N
D．不能确定
7．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边
同时加上4的是( A ) A．x2＋4x＝5B．2x2－4x＝5
C．x2－2x＝5D．x2＋2x＝5
12．【中考·舟山】欧几里得的《原本》记载，形如 x2＋ax ＝b2 的方程的图解法是：如图，画 Rt△ABC，使∠ACB
＝90°，BC＝a2，AC＝b，再在斜边 AB 上截取 BD＝a2， 则该方程的一个正根是( B ) A．AC 的长 B．AD 的长 C．BC 的长 D．CD 的长
※13.【中考·益阳】规定：ab＝(a＋b)b，如：23 ＝ (2 ＋ 3)×3 ＝ 15 ， 若 2x ＝ 3 ， 则 x ＝ ________． 1或－3
【点拨】根据a2＋b2＝12a＋8b－52，可以求得a，b 的值，由a，b，c为正整数且是△ABC的三边长，c 是△ABC的最短边长，即可求得c的值．
解：∵a2＋b2＝12a＋8b－52，∴a2－12a＋b2－8b＋ 52＝0.∴(a－6)2＋(b－4)2＝0.∴a－6＝0且b－4＝0. ∴a＝6，b＝4.又∵a，b，c为正整数且是△ABC的 三边长，c是△ABC的最短边长，∴6－4<c≤4(c是正 整数)．∴c＝3或c＝4.即c的值是3或4.
8．用配方法解一元二次方程x2－4x＋1＝0时，
下列变形正确的是( D ) A．(x－2)2＝1B．(x－2)2＝5
C．(x＋2)2＝3D．(x－2)2＝3
9．一元二次方程x2－8x＝48可表示成(x－a)2＝48＋
用配方法解一元二次方程(3)
探究思路
请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别
1.x2+6x+8=0 2.3x2+18x+24 =0
这两个方程有 什么联系？
总结规律
如果方程的系数不是1，我们可以在方程的两 边同时除以二次项系数，这样就可以利用上 节课学过的知识解方程了！
所以
x1=10,x2=-4
习题回望
将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答).
1.x2+2x+________=(x+______)2 2.x2-4x+________=(x-______)2 3.x2+________+36=(x+______)2
抢答！ 4.x2+10x+________=(x+______)2
五四制鲁教版八年级下册
2 用配方法解一元二 次方程（3）
复习巩固
上节课我们学习了配方法解一元二x2-6x= 40
方程两边都加上32(一次项系数一半的平方），得
x2-6x+32=40+32
即
（x-3）2=49
开平方，得
x-3 =±7
即
x-3=7或x-3=-7
实际应一用小球以15m/s的初速度竖直
向上弹出，它在空中的高度h(m)与时 间t(s)满足关系:h=15t-5t2,小球何时能 达到10m的高度？
解：根据题意得
15t-5t2=10
方程两边都除以-5，得
t2-3t=-2
配方，得
结合实际
请你描述一下，在做一做中t有两个值， 它们所在时刻小球的运动状态.
2.2配方法(3)
课堂练习
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场 鸡场的一边靠墙 墙长 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙 墙长25m), 鸡场的一边靠墙(墙长 另外三边用木栏围成,木栏长 木栏长40m. 另外三边用木栏围成 木栏长
设养鸡场的宽为xm,根据题意得 解:(2)设养鸡场的宽为 设养鸡场的宽为 根据题意得
40 x x = 250. 2 2 即 40x + 500 = 0. x
25m 250m2
解 个 程知 这 方 , 这个方程无解 .
40 x 2
x 答: 鸡 的 积 能 到 m2. 场 面 不 达 250 2 ( 老师 提示:当方 程配 方为 x 20) = 100时, 特别 要注 , 意
12m
动手试一试 我的设计方案如图所示.其中花园四周小路的宽都相等 我的设计方案如图所示 其中花园四周小路的宽都相等. 其中花园四周小路的宽都相等 通过解方程,我得到小路的宽为 我得到小路的宽为2m或 通过解方程 我得到小路的宽为 或12m.
你认为小明的结果对吗?为什么? 你认为小明的结果对吗?为什么?
设养鸡场的宽为xm,根据题意得 解:(1)设养鸡场的宽为 设养鸡场的宽为 根据题意得 25m x(40 2x) =180.
即 2 20x +90 = 0. x 解 个 程得 这 方 ,
x1 =10 + 10; x2 =10 10.
180m2 40-2x
x
Q当x2 =10 10时 长40 2x = 20 + 2 10 > 25(不合题意 舍去). , ,
北师大课标九上 北师大课标九上§2.2(3)
2.2配方法(3) 2.2配方法(3) 配方法 一元二次方程的应用
九年级数学上册2.2用配方法求解一元二次方程第2课时用配方法解复杂的一元二次方程同步练习
第2课时 用配方法解复杂的一元二次方程知识点 用配方法解二次项系数不为1的一元二 次方程1．解：6x 2－x －1＝0 ――→两边同时除以6第一步x 2－16x －16＝0 ――→移项第二步x 2－16x ＝16 ――→配方第三步(x －19)2＝16＋19 ――→两边开方第四步x －19＝±518――→移项第五步x 1＝19＋106，x 2＝19－106. 上述步骤中，发生第一次错误是在( )A ．第一步B ．第二步C ．第三步D ．第四步2．用配方法解方程3x 2－6x ＋1＝0，则方程可变形为( )A ．(x －3)2＝13B ．3(x －1)2＝13C ．(x －1)2＝23D ．(3x －1)2＝13．方程2x 2＋3＝7x ，经配方后得(x －74)2＝________．4．将2x 2－12x －12＝0变形为(x －m)2＝n 的形式，则m ＋n ＝________． 5．当x ＝________时，代数式3x 2＋2x ＋5的值是6. 6．用配方法解下列方程： (1)3x 2＋4x －4＝0；(2)2x 2＋1＝4x.7．如果一个一元二次方程的二次项是2x 2，经过配方整理得(x ＋12)2＝1，那么它的一次项和常数项分别是( )A ．x ，－34B ．2x ，－12C ．2x ，－32D ．x ，－328．2016·贵阳期末已知等腰三角形两边a ，b 满足a 2＋b 2－4a －10b ＋29＝0，则此等腰三角形的周长为( )A ．9B ．10C ．12D ．9或129．把方程3x 2＋4x －1＝0配方后得(x ＋m)2＝k ，则m ＝________，k ＝________． 10．已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，且满足a 2＋2b 2－2ab －2bc ＋c 2＝0，则该三角形是________三角形．11．证明：关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，不论a 为何值，该方程都是一元二次方程．12．已知代数式A＝2m2＋3m＋7，代数式B＝m2＋5m＋5，试比较代数式A与B的大小．13．已知x＝4满足方程x2－32mx＝m2，试求出所有满足该方程的x和m的值．14．教材习题2.4第3题变式题如图2－2－2所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．点P，Q分别从点A，B同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．(1)经过几秒钟，△PBQ的面积为8 cm2?(2)经过几秒钟，P，Q两点间的距离为53 cm?图2－2－215．请你参考黑板中老师的讲解，完成下列解答：图2－2－3(1)通过上面例题的讲解可知，当x＝________时，代数式x2＋2x＋3有最小值，且最小值是________．(2)对于代数式x4－2x2＋5，先用配方法说明不论x为何实数，这个代数式的值总是正数；再求出当x为何实数时，这个代数式的值最小，最小值是多少．(3)设一个边长为a(a＞3)的正方形的面积为S1，另一个矩形的面积为S2.若矩形的一边长比该正方形的边长小3，另一边长为4，试比较S1和S2的大小，并说明理由．详解1．C [解析] 开始错误的步骤是第三步：(x －19)2＝16＋19，等号左边括号内19应为112，等号右边的19应为1144.故选C.2．C 3.25164.185．－1或13 [解析] 解方程3x 2＋2x ＋5＝6即可．6．解：(1)方程的各项都除以3， 得x 2＋43x －43＝0.移项，得x 2＋43x ＝43.配方，得x 2＋43x ＋(23)2＝43＋(23)2，即(x ＋23)2＝169.直接开平方，得x ＋23＝±43，∴x 1＝23，x 2＝－2.(2)移项，得2x 2－4x ＝－1，方程的各项都除以2，得x 2－2x ＝－12，配方，得x 2－2x ＋1＝1－12，即(x －1)2＝12，直接开平方，得x －1＝±22，∴x 1＝2＋22，x 2＝2－22.7．C [解析] 将(x ＋12)2＝1展开，得x 2＋x ＋14＝1.化为一般形式，得x 2＋x －34＝0.方程x 2＋x －34＝0两边同乘2，得2x 2＋2x －32＝0.故选C.8．C [解析] ∵a 2＋b 2－4a －10b ＋29＝0， ∴(a 2－4a ＋4)＋(b 2－10b ＋25)＝0， ∴(a －2)2＋(b －5)2＝0， ∴a ＝2，b ＝5，∴当腰为5时，等腰三角形的周长为5＋5＋2＝12； 当腰为2时，2＋2＜5，构不成三角形． 故选C. 9.23 79 10．等边11．证明：因为a 2－8a ＋20＝a 2－8a ＋16＋4＝(a －4)2＋4≥4，所以不论a 为何值，a 2－8a ＋20的值都不可能等于0，由一元二次方程的定义可知，关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0必为一元二次方程．12．解：∵A －B ＝2m 2＋3m ＋7－(m 2＋5m ＋5)＝m 2－2m ＋2＝(m －1)2＋1>0，∴A >B .13．解：把x ＝4代入已知方程，得16－6m ＝m 2， 整理，得m 2＋6m ＝16，配方，得()m ＋32＝25， 解得m 1＝－8，m 2＝2.当m ＝－8时，方程为x 2＋12x ＝64，解得x ＝4或x ＝－16； 当m ＝2时，方程为x 2－3x ＝4，解得x ＝4或x ＝－1.14．解：(1)设经过x s ，△PBQ 的面积为8 cm 2. 由题意，得12(6－x )×2x ＝8，解得x 1＝2，x 2＝4.所以经过2 s 或4 s ，△PBQ 的面积为8 cm 2. (2)设经过y s ，P ，Q 两点间的距离为53 cm. 由题意得AP ＝y cm ，BQ ＝2y cm ，BP ＝(6－y )cm. 由勾股定理得(6－y )2＋(2y )2＝(53)2， 解得y 1＝3.4，y 2＝－1(不合题意，舍去)． 所以经过3.4 s ，P ，Q 两点间的距离为53 cm. 15．解：(1)∵x 2＋2x ＋3＝x 2＋2x ＋1＋2＝(x ＋1)2＋2， ∴当x ＝－1时，代数式x 2＋2x ＋3有最小值，且最小值是2. 故答案为：－1，2. (2)x 4－2x 2＋5 ＝x 4－2x 2＋1＋4 ＝(x 2－1)2＋4， ∵(x 2－1)2≥0， ∴(x 2－1)2＋4＞0，∴代数式x 4－2x 2＋5的值一定是正数．当x ＝±1时，这个代数式的值最小，最小值是4.(3)S 1＞S 2.理由如下：由题意，得S 1＝a 2，S 2＝4(a －3)＝4a －12， 则S 1－S 2＝a 2－(4a －12)＝a 2－4a ＋12＝(a －2)2＋8. ∵(a －2)2＞0，∴(a －2)2＋8＞0， ∴S 1－S 2＞0，∴S 1＞S 2.第2课时 相似三角形周长和面积的性质知识点 1 有关周长的计算1．已知△ABC∽△A1B1C1，且AB＝4，A1B1＝6，则△ABC的周长和△A1B1C1的周长之比是( )A．9∶4 B．4∶9 C．2∶3 D．3∶2图4－7－102．如图4－7－10，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是( )A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶53．2016·贵阳期末如果△ABC∽△DEF，其相似比为3∶1，且△ABC的周长为27，那么△DEF的周长为( )A．9 B．18 C．27 D．814．如图4－7－11，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC 的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4 2，求△FCE的周长．图4－7－11知识点 2 有关面积的计算5．2017·重庆已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为( )A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1图4－7－126．2017·永州如图4－7－12，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为( )A．1 B．2 C．3 D．47．教材例2变式题如图4－7－13，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC面积的14，若AB＝2，则△ABC平移的距离是________．4－7－134－7－148．如图4－7－14，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B，若AE＝2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，则AB的长为________．9．如图4－7－15所示，在▱ABCD中，AE∶EB＝1∶2.(1)求△AEF与△CDF的周长的比；(2)若S△AEF＝6 cm2，求S△CDF.图4－7－1510．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶1611．如图4－7－16，DE是△ABC的中位线，延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF，则S ∶S四边形BCED的值为( )△CEFA．1∶3 B．2∶3 C．1∶4 D．2∶54－7－164－7－1712．2017·贵阳期末(教材综合与实践——制作视力表的应用)我们在制作视力表时发现，每个“E”形图的长和宽相等(即每个“E”形图近似于正方形)，如图4－7－17，小明在制作视力表时，测得l1＝14 cm，l2＝7 cm，他选择了一张面积为4 cm2的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“E”形图．那么下面四张正方形卡纸中，能够刚好剪得第①个大“E”形图的是( )A．面积为8 cm2的卡纸B．面积为16 cm2的卡纸C．面积为32 cm2的卡纸D．面积为64 cm2的卡纸13．如图4－7－18，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，E是AB的中点，连接EF.(1)求证：EF∥BC；(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．图4－7－1814．如图4－7－19所示，M是△ABC内一点，过点M分别作三条直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3(图中阴影部分)的面积分别是4，9和49，求△ABC 的面积．图4－7－1915．某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底长分别是10 m、20 m的梯形空地上种植花草．如图4－7－20，他们想在△AMD和△CMB地带种植单价为10元/m2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△CMB地带种植同样的太阳花，资金是否够用，并说明理由．图4－7－2016．如图4－7－21，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，PQ∥AB，点P在CA上(与点A，C不重合)，点Q在BC上．(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长．(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．(3)试问：在AB上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若存在，请求出PQ 的长；若不存在，请简要说明理由．图4－7－211．C 2.A3．A [解析] ∵△ABC ∽△DEF ，其相似比为3∶1，∴△ABC 的周长△DEF 的周长＝31，∴△DEF 的周长＝13×27＝9.故选A.4．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠BAE ＝∠F ，∠EAD ＝∠AEB . ∵AE 平分∠BAD ， ∴∠BAE ＝∠EAD ， ∴∠BAE ＝∠AEB ， ∴BE ＝AB ＝6， ∴CE ＝BC －BE ＝3.∵∠AEB ＝∠FEC ，∠BAE ＝∠F ， ∴△ABE ∽△FCE ， ∴△ABE 的周长△FCE 的周长＝BECE＝2.∵BG ⊥AE ，∴AE ＝2AG ＝2 AB 2－BG 2＝4， ∴△ABE 的周长＝AB ＋BE ＋AE ＝16， ∴△FCE 的周长＝12×△ABE 的周长＝8.5．A6．C [解析] ∵∠ACD ＝∠B ，∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC ，∴S △ACD S △ABC ＝(AD AC )2＝14.∵S △ACD ＝1，∴S △ABC ＝4，∴S △BCD ＝S △ABC －S △ACD ＝3.7．1 [解析] 如图，∵把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，∴AC ∥A ′C ′，∴△ABC ∽△A ′BD .∵S △ABC ∶S △A ′BD ＝4，∴AB ∶A ′B ＝2.∵AB ＝2，∴A ′B ＝1，∴AA ′＝2－1＝1. 8．3 [解析] ∵∠AED ＝∠B ，∠A 是公共角， ∴△ADE ∽△ACB ，∴S △ADE S △ACB ＝(AE AB)2. ∵△ADE 的面积为4，四边形BCED 的面积为5，∴△ABC 的面积为9. ∵AE ＝2，∴49＝(2AB )2，解得AB ＝3.9．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠AEF ＝∠CDF ，∠FAE ＝∠FCD ， ∴△AEF ∽△CDF . ∵AE ∶EB ＝1∶2， ∴AE ∶AB ＝AE ∶CD ＝1∶3，∴△AEF 与△CDF 的周长的比为1∶3. (2)由(1)知，△AEF ∽△CDF ，相似比为1∶3， ∴它们的面积比为1∶9. ∵S △AEF ＝6 cm 2， ∴S △CDF ＝54 cm 2. 10．A 11.A12．B [解析] ∵每个“E ”形图近似于正方形，∴P 2D 2∥P 1D 1，∴∠PP 2D 2＝∠PP 1D 1，∠P 2D 2P ＝∠P 1D 1P ， ∴△PP 2D 2∽△PP 1D 1. ∵l 1＝14 cm ，l 2＝7 cm ， ∴P 2D 2∶P 1D 1＝1∶2.∵第②个小“E ”形图是面积为4 cm 2的正方形卡纸， ∴第①个大“E ”形图的面积＝4×4＝16(cm 2)． 故选B.13．解：(1)证明：∵DC ＝AC ，CF 是∠ACB 的平分线，∴CF 是△ACD 的中线， ∴F 是AD 的中点． 又∵E 是AB 的中点， ∴EF ∥BD ，即EF ∥BC . (2)由(1)知，EF ∥BD ， ∴△AEF ∽△ABD ，∴S △AEF S △ABD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AB 2. 又∵AE ＝12AB ，S △AEF ＝S △ABD －S 四边形BDFE ＝S △ABD －6， ∴S △ABD －6S △ABD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，∴S △ABD ＝8.14．解：根据题意，容易得到△1∽△2∽△3∽△ABC .因为△1、△2、△3的面积分别是4，9和49，所以它们之间的相似比为2∶3∶7，即BC 边被分成的三段从左到右的比为2∶7∶3，则△1与△ABC 的相似比为2∶12＝1∶6，所以它们的面积比为1∶36，求得△ABC 的面积是144.15．解：不够用．理由如下： 在梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ， ∴△AMD ∽△CMB ， ∴S △AMD S △CMB ＝(AD BC)2. ∵AD ＝10 m ，BC ＝20 m ， ∴S △AMD S △CMB ＝(1020)2＝14. ∵S △AMD ＝500÷10＝50(m 2)． ∴S △CMB ＝50×4＝200(m 2)． 还需要资金200×10＝2000(元)，而剩余资金为2000－500＝1500(元)<2000元， ∴资金不够用．16．解：(1)∵PQ ∥AB ，∴△PQC ∽△ABC . ∵S △PQC ＝S 四边形PABQ ， ∴S △PQC ∶S △ABC ＝1∶2， ∴CP CA ＝12＝22， ∴CP ＝22·CA ＝2 2. (2)∵△PQC ∽△ABC ， ∴CP CA ＝CQ CB ＝PQ AB ，即CP 4＝CQ3，∴CQ ＝34CP .同理：PQ ＝54CP ，∴C △PQC ＝CP ＋PQ ＋CQ ＝CP ＋54CP ＋34CP ＝3CP ，C 四边形PABQ＝PA ＋AB ＋BQ ＋PQ ＝4－CP ＋AB ＋3－CQ ＋PQ ＝4－CP ＋5＋3－34CP ＋54CP ＝12－12CP .由C △PQC ＝C 四边形PABQ ，得3CP ＝12－12CP ，∴72CP ＝12，∴CP ＝247.(3)存在．∵CA ＝4，AB ＝5，BC ＝3， ∴△ABC 中AB 边上的高为125.①如图(a)所示，当∠MPQ ＝90°且PM ＝PQ 时，∵△CPQ ∽△CAB ，∴PQ AB ＝△CPQ 中PQ 上的高△CAB 中AB 上的高， ∴PQ 5＝125－PQ 125，∴PQ ＝6037； ②当∠PQM ＝90°时与①相同；③如图(b)所示，当∠PMQ ＝90°且PM ＝MQ 时，过点M 作ME ⊥PQ ，则ME ＝12PQ ，∴△CPQ 中PQ 上的高为125－ME ＝125－12PQ .∵PQ AB ＝△CPQ 中PQ 上的高△CAB 中AB 上的高，∴PQ 5＝125－12PQ 125，∴PQ ＝12049. 综上可知，存在点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形，此时PQ 的长为6037或12049.。
配方法
提示：不行，只有在方程两边加上一次项 系 数一半的平方，方程左边才能变成完成平方 x2+2bx+b2 的形式 .
知识探究
第二十一章 一元二次方程
配方法的定义
像上面那样，通过配成完全平方形式来 解一元二次方程的方法叫做配方法 .
配方是为了降次 ，把一个一元二次 方 程转化成两个一元一次方程来解 .
知识探究
第二十一章 一元二次方程
第二十一章
21.2.1 配方法
新知导入
预备知识 什么是平方根？一个数的平方根怎么
样表示？ 一个数的平方等于 a ，这个数就叫做 a 的平方根 .
a(a≥0) 的平方根记作： ± a x2=a(a≥0), 则根据平方根的定义知， x=± a
新知导入
求出下列各式中 x 的值，并说说你的
理 由. 1. x2=9
x 9
x 3
2. x2=5
x 5
【思考】 如果方程转化为 x2=p, 该如何解呢？
1. 会把一元二次方程降次转化为两个一 元 一次方程 . 一次方程 .
2. 运用开平方法解形如 x2=p 或（ x+n)2=p (xp+≥n)02=) p的方程 . (p≥0) 的方程 .
知识探究
例点1 1 利用直接方开程平方法解下列方程 :
(1) x2=6 ；
(2) x2 － 900=0.
解（：1） x2=6 ， 直接开平方，得
x 6, x1 6 ，x2 6
（ 2 ）移项，得 x2=900. 直接开平方，得 x=±30 ，
∴x1=30, x2= － 30.
巩固练习
第二十一章 一元二次方程
知识探究
第二十一章 一元二次方程
《 配方法》PPT课件
课堂导练
【点拨】在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， BC＝a2，AC＝b，BD＝a2，∴AB＝AD＋DB＝AD＋a2. 由勾股定理，得 AB2＝AC2＋BC2，即AD＋a22＝b2＋a22. ∴AD2＋2AD·a2＋a42＝b2＋a42.∴AD是 AD 的长．
同学们下课啦
授课老师：xxx
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教师课堂用语在学科专业方面重在进行“引”与“导”，通过点拨、搭桥等方式让学生豁然开朗，得出结论，而不是和盘托 出，灌输告知。一般可分为：启发类、赏识类、表扬类、提醒类、劝诫类、鼓励类、反思类。
一、启发类
1. 集体力量是强大的，你们小组合作了吗?你能将这个原理应用于生活吗?你的探究目标制定好了吗? 2. 自学结束，请带着疑问与同伴交流。 3. 学习要善于观察，你从这道题中获取了哪些信息? 4. 请把你的想法与同伴交流一下，好吗? 5. 你说的办法很好，还有其他办法吗?看谁想出的解法多? 二、赏识类
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1、谢谢大家听得这么专心。 2、大家对这些内容这么感兴趣，真让我高兴。 3、你们专注听讲的表情，使我快乐，给我鼓励。 4、我从你们的姿态上感觉到，你们听明白了。 5、我不知道我这样说是否合适。 6、不知我说清了没有，说明白了没有。 7、我的解释不知是否令你们满意，课后让我们大家再去找有关的书来读读。 8、你们的眼神告诉我，你们还是没有明白，想不想让我再讲一遍？ 9、会“听”也是会学习的表现。我希望大家认真听好我下面要说的一段话。 10、从听课的情况反映出，我们是一个素质良好的集体。 1、谢谢你，你说的很正确，很清楚。 2、虽然你说的不完全正确，但我还是要感谢你的勇气。 3、你很有创见，这非常可贵。请再响亮地说一遍。 4、××说得还不完全，请哪一位再补充。 5、老师知道你心里已经明白，但是嘴上说不出，我把你的意思转述出来，然后再请你学说一遍。 6、说，是用嘴来写，无论是一句话，还是一段话，首先要说清楚，想好了再说，把自己要说的话在心里整理一下就能说清楚。 7、对！说得很好，我很高兴你有这样的认识，很高兴你能说得这么好！ 8、我们今天的讨论很热烈，参与的人数也多，说得很有质量，我为你们感到骄傲。 9、说话，是把自己心里的想法表达出来，与别人交流。说时要想想，别人听得明白吗？ 10、说话，是与别人交流，所以要注意仪态，身要正，不扭动，眼要正视对方。对！就是这样！人在小时候容易纠正不良习惯，经常 注意哦。
北师版九年级上册数学第2章 一元二次方程 配方法
4．对于任意实数x，多项式x2－3x＋3的值是一个( )
C
A．整数 B．负数
C．正数 D．无法确定
5．把方程左边配成_________完__全__平_形方式来解一元二次方程的方法叫做配方法， 配方的目的是使方程能用________________来解．
直接开平方法
6．解方程：2x2－3x－2＝0. 为了便于配方，我们将常数项移到右边， 得2x2－3x＝________； 再把二次项系数化为1，
________的平方； (2)当二次项系数不为1时，一需半将方程两边同时______二次项系数，化二次项系数
为1后再配方．
除以
2．(中考·安顺)若x2＋2(m－3)x＋16是关于x的完全平方式，则m＝__________. －1或7
3．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是( ) A．x2－2x＝5 B．x2＋2x＝5 C．x2－8x＝5D D．x2＋4x＝5
式，则a，b的值分别是( )
A．－4，21
B．－4，11
A
C．4，21
D．－8，69
8．(2020·聊城)用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0，配方正确的是( )
A
A.x－342＝1176 C.x－322＝143
B.x－342＝12 D.x－322＝141
*9.(中考·舟山)欧几里得的《原本》记载，形如 x2＋ax＝b2 的方 程的图解法是：如图，画 Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝a2， AC＝b，再在斜边 AB 上截取 BD＝a2.则该方程的一个正根是 ()
解：m2＋m＋4＝m＋122＋145. ∵m＋122≥0，∴m＋122＋145≥145. ∴m2＋m＋4 的最小值是145.
配方法练习题带过程
配方法练习题带过程1.完成下面的解题过程：解方程：2x2-8=0；解：原方程化成. 开平方得，x1=，x2=.解方程：32-6=0.解：原方程化成 .开平方得，x1=，x2=.2.完成下面的解题过程：解方程：9x2+6x+1=4；解：原方程化成. 开平方得。
x1=，x2=3.填空：x2+2·x·2+=2； x2-2·x·6+=2；x2+10x+=2；x2-8x+=2.4.完成下面的解题过程：解方程：x2-8x+1=0；解：移项，得. 配方得，开平方得，x1=，x2=.5.完成下面的解题过程：解方程：x2+4x-12=0.解：移项，得 . 配方，得 .开平方得， x1=，x2=.6.填空：x2-2·x·3+=2；x2+2·x·4+=2；x2-4x+=2；x2+14x+=2.8.用配方法解方程：x2-6x+7=0.9.完成下面的解题过程：用配方法解方程：3x2+6x+2=0.解：移项，得 . 二次项系数化为1，得 . 配方，开平方，得， x1= ,x2= .10用配方法解方程：3x2+6x－4=0.解：移项，得 . 二次项系数化为1，得 . 配方，开平方，得， x1= ,x2= .5.用配方法解方程：9x2-6x-8=0..2.完成下面的解题过程：用配方法解方程：2=4x+9.解：整理，得 .移项，得 . 二次项系数化为1，得 .配方，开平方，得，x1= ,x2= .20132014学年槟榔中学九年级上学期22.2.1配方法 1、配方法的步骤，先等式两边同除___________，再将含有未知数的项移到等号左边，将__________移到等号右边，等式两边同加____________________________，使等式左边配成完全平方，即2?n的形式，再利用直接开平方法求解。
若n＜0，则方程________。
2、将下列各式进行配方x2?10x?___? x2?8x?___?2x2?3x?___? x2?mx?___?2x2?6x?1?2?x2?8x?1?2?x?21x?1?2?3、当x?_____时，代数式x2?2x?3有最______值，这个值是________57x?的左边配成完全平方式，则方程两边都应加上2 52752A. B. C.D. 244、若要使方程x?25、用配方法解下列方程x?2x?2?0x?6x?8?0x?3x?1?0x?8x?124x?4x?1?0x?x?3?0222223x2?4?6x221y?y?2?03*x2?2x?n2?0*x2?2ax?b2?a2※6、试说明：对任意的实数m，关于x的方程x2?2x?1?0一定是一元二次方程。
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3.已知x是实数,求y=x2-4x+5的最小值. 4.已知x2+y2-4x+8y+20=0,灵活应用配 方法求x+y的值.
5.对于一元二次方程ax² +bx+c=0 (a≠0)，你能用配方法解这个方程吗？
6.用配方法证明:关于x的方程
(2m² -12m+37)x² +3mx+1=0,无论m 取何值, 此方程都是一元二次方程.
2-8x+9何时能取得最 7.代数式2x
小值, 最小值是多少?
ห้องสมุดไป่ตู้
8.先用配方法说明：不论x取何值，代数 式x2-6x+10的值总大于零,再求出当 x取 何值时，代数式x2-6x+10的值最小，最 小值时多少?
解 : x 2 6 x 10 x 2 6 x 9 1 ( x 3) 2 1 ( x 3) 0 (x - 3) 1 0
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一、用配方法解下列方程 ①3x² -4x+1=0 ② 2(x-3)² -9 =x²
③(8-2x)(5-2x)=18 ④ (x-1)² +2x(x-1)=0 ⑤ x² +5x-1=0
1 2 ⑦ x 6x 3 0 4
⑥ 2x² -4x+1=0
⑧ 5x 2 x 1 0
2
二、用配方法解下列方程. 2 - 12x - 1 = 0 1. 4x 2. 3x2 + 2x – 3 = 0 3. 2x2 + x – 6 = 0 4. 4x2+4x+10 =1-8x 2 - 9x +2 = 0 5. 3x 2 +6=7x 6. 2x 7. x2 - x -56 = 0 8. -3x2+21x+24=0
2 2
不论x取何值, 代数式x 2 - 6x 10的值总大于零, 当x - 3 0时, 即x 3时, 代数式x - 6x 10的值最小, 最小值是1
2
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1. 解下列方程: (1) 6x2 -7x+ 1 = 0 (2) 5x2 -9x-18=0 (3) 4x 2 -3x =52 (4) 5x2 =4-2x
参考答案:
1 1x1 1, x2 6
13 3x1 4, x2 4
5 2x1 3, x2 6
1 21 1 21 4x1 , x2 5 5
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1.若实数x、y满足(x+y+2)(x+y-1)=0, 则x+y的值为（ ） A. 1 B. -2 C. 2或-1 D. -2或1
2.用配方法解下列方程: x2+bx+c=0 (b2-4c＞ 0)
2 2
5
53 x 4 4 3 159 3
x1 4 3
53 x4 x 4 53 159 3
53 4 3
, x2 4
3 159
3
(5)3x 5x 1 0 (3)
2
2
5 1 0x x 3 3 5 1 5 25 5 x 1x 2 5) 25x 11 5 x 2 5 x 1 2 (3x ( ) 2 (x 0) 2 13 ) 3 6 3 36 3 3 3 6 3 6 6 36 5 2 13 5 2 1 5 2 2 55 2 x 5 ) ) 13 (x x13 ( ) ( ) (x 3 6 6 x 6 3 36 6 6 6 5 13 x 5 13 x 5 13 6 6 6
达标测试 用配方法解下列一元二次方程式
2
(1)x 4x 3 0 用配方法解下列一元二次方程式
2
(2)3x 24x 5 用配方法解下列一元二次方程式
(3) (5)3x 5x 1 0
2
1 2 3 1 (4) x x 4 4 3
用配方法解下列一元二次方程
3 (1)x x 4x 3 0 0 4x 3
6
5 13 5 13 x1 , x2 6 6
(4)
1 2 3 1 x x 4 4 3
4 x 3x 3
2
3 2 4 9 (x ) 2 3 4
3 11 x 2 12
3 x 2
33 6
3 33 3 33 x1 , x2 2 6 2 6
2 2
2 (x＋2)2＝3＋4 2 3 2 2
7x2 7 7
x1 2 7 , x1 2 7 ,
(2)3x 24x 5
2
5 5 2 5 3x 8x 5 x 8x x 24x 3 3 5 2 5 53 2 2 5 xx 24) 4 16 2 42 (x 4) 2 ( 8x 4 (x 4) 3 3 3 3