中考数学二次函数压轴题专练

2019年中考数学分类汇编二次函数压轴题

1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =a （x +1）2﹣3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0，﹣），顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ，过点H 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，点Q 在y 轴的右侧． （1）求a 的值及点A ，B 的坐标；

（2）当直线l 将四边形ABCD 分为面积比为3：7的两部分时，求直线l 的函数表达式；

（3）当点P 位于第二象限时，设PQ 的中点为M ，点N 在抛物线上，则以DP 为对角线的四边形DMPN 能否为菱形若能，求出点N 的坐标；若不能，请说明理由．

2、如图1，二次函数2

y ax bx =+的图像过点A （-1，3），顶点B 的横坐标为1.

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点P 在该二次函数的图像上，点Q 在x 轴上，若以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标； （3）如图3，一次函数y kx =（k ＞0）的图像与该二次函数的图像交于O 、C 两点，点T 为该二次函数图像上位于直线OC 下方的动点，过点T 作直线TM ⊥OC ，垂足为点M ，且M 在线段OC 上（不与O 、C 重合），过点T 作直线TN ∥y 轴

交OC 于点N 。若在点T 运动的过程中，2

ON OM

为常数，试确定k 的值。

二、与轴对称和等腰三角形性质有关的综合题

3、如图，顶点为A 的抛物线经过坐标原点O ，与x 轴交于点B ．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）过B 作OA 的平行线交y 轴于点C ，交抛物线于点D ，求证：△OCD ≌△OAB ； （3）在x 轴上找一点P ，使得△PCD 的周长最小，求出P 点的坐标．

4、如图，二次函数y ＝ax 2

＋bx （a ≠0）的图象经过点A （1，4），对称轴是直线x ＝－

3

2

，线段AD 平行于x 轴，交抛物线于点D ．在y 轴上取一点C （0，2），直线AC 交抛物线于点B ，连结OA ，OB ，OD ，BD ． （1）求该二次函数的解析式；

（2）设点F 是BD 的中点，点P 是线段DO 上的动点，将△BPF 沿边PF 翻折，得到△B ′PF ，使△B ′PF 与△DPF 重叠部

分的面积是△BDP 的面积的 1

4 ，若点B ′在OD 上方，求线段PD 的长度;

（3）在（2）的条件下，过B ′作B ′H ⊥PF 于H ，点Q 在OD 下方的抛物线上，连接AQ 与B ′H 交于点M ，点G 在线段

AM 上，使∠HPN +∠DAQ =135°，延长PG 交AD 于N ．若AN + B ′M =

5

2

,求点Q 的坐标．

三、与图形的平移与旋转变换性质有关的综合题

5、如图1，二次函数1x 2-x 2

1y 2

+=

的图象与一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为（0,1），点B 在第一象限内，点C 是二次函数图象的顶点，点M 是一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象与x 轴的交点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为N ，且S △AMO ︰S 四边形AONB =1︰48。 （1）求直线AB 和直线BC 的解析式； （2）点P 是线段AB 上一点，点D 是线段BC 上一点，

PD

2

2

2

2

1

x 2-x 21y 2+=:33l y x =-+x y 224(0)y ax ax a a =-++

②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l '与直线AM '重合时停止旋转．在旋转过程中，直线l '与

线段BM '交于点C ．设点B 、M '到直线l '的距离分别为

1d 、2d ，当12d d +最大时，求直线l '旋转的角度（即∠BAC 的度数）．

四、与直角三角形性质有关的综合题

7、如图，已知抛物线y =﹣x 2+bx +c 经过A （3，0），B （0，3）两点． （1）求此抛物线的解析式和直线AB 的解析式；

（2）如图①，动点E 从O 点出发，沿着OA 方向以1个单位/秒的速度向终点A 匀速运动，同时，动点F 从A 点出发，沿着AB 方向以个单位/秒的速度向终点B 匀速运动，当E ，F 中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF ，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△AEF 为直角三角形

（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A ，B 处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 与A ，B 两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形如果存在，求出最大面积，并指出此时点P 的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

五、与相似三角形性质有关的综合题

8、如图，直线l ：y =－x +1与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P ，Q 是直线l 上的两个动点，且点P 在第二象限，点Q 在第四象限，∠POQ =135°. (1) 求△AOB 的周长；

(2) 设AQ =t >0.试用含t 的代数式表示点P 的坐标；

(3) 当动点P ，Q 在直线l 上运动到使得△AOQ 与△BPO 的周长相等时，记作∠AOQ =m ，若过点A 的二次函数y =ax 2

+bx +c 同时满足以下两个条件： ① 6a +3b +2c =0;

② 当m ≤x ≤m +2时，函数y 的最大值等于m

2

，求二次项系数a 的值.

六、与圆的性质有关的综合题

9、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =mx 2

+4mx ﹣5m （m ＜0）与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），该抛物线的对称轴与直线y =x 相交于点E ，与x 轴相交于点D ，点P 在直线y =x 上（不与原点重合），连接PD ，过点P 作PF ⊥PD 交y 轴于点F ，连接DF ．

（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为6，求抛物线的解析式； （2）求A 、B 两点的坐标；

（3）如图②所示，小红在探究点P 的位置发现：当点P 与点E 重合时，∠PDF 的大小为定值，进而猜想：对于直线y =x 上任意一点P （不与原点重合），∠PDF 的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．