高等代数第九章 1第一节 定义与基本性质
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在解析几何中，向量 , 的夹角 的夹角<α, 的余弦 在解析几何中，向量α,β的夹角 ,β>的余弦 可以通过内积来表示 可以通过内积来表示 内积
cos < α , β >= (α , β )
α β
.
(4) )
为了在一般的欧几里得空间中利用(4)引入夹角的 为了在一般的欧几里得空间中利用( ) 在一般的欧几里得空间中利用 概念，我们需要证明不等式 概念，我们需要证明不等式
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(5) )
(α, α)+2(α, β)t+(β, β)t2≥0.
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(6) )
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取 代入( ) 代入(6)式，得 即
(α , β ) t=− . (β , β ) (α , β ) 2 (α , α ) − ≥0. (β , β )
(α, β)2≤(α, α)(β, β) .
|(α, β)|≤|α||β| . 两边开方便得 当α,β 线性相关时，等号显然成立 反过来，如果 , 线性相关时 等号显然成立. 反过来， 等号成立，由以上证明过程可以看出 或者β=0 ， 可以看出， 等号成立，由以上证明过程可以看出，或者 或者 (α , β ) α− β =0. (β , β ) 也就是说α, 线性相关. 也就是说 ,β 线性相关
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在以上的讨论中，我们对空间的维数没有作任 在以上的讨论中，我们对空间的维数没有作任 何限制. 从现在开始，我们假定空间是有限维的. 假定空间是有限维的 何限制 从现在开始，我们假定空间是有限维的 设V是一个 维欧几里得空间，在V中取一组基 是一个n维欧几里得空间， 中取一组基 是一个 中取 ε1,ε2,…,εn，对于 中任意两个向量 对于V中
< α , β >= arccos (α , β )
α β
, 0 ≤ α,β ≤ π .
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根据柯西-布涅柯夫斯基不等式， 根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不 柯西 等式 |α+β|≤|α|+|β|. 证明 因为 |α+β|2=(α+β, α+β) =(α, α)+2(α, β)+(β, β)≤|α|2+2|α||β|+|β|2 =(|α|+|β|)2 . 所以 |α+β|≤|α|+|β|. 证毕. 证毕 (7) )
(2) )
由数学分析中定积分的性质不难证明， 由数学分析中定积分的性质不难证明，对于内积 定积分的性质不难证明 (2)，C(a,b)构成一个欧几里得空间. 构成一个欧几里得空间 , 构成一个欧几里得空间. 同样地，线性空间R[x],R[x]n对于内积(2)也构 对于内积 内积( 同样地，线性空间 , 成欧几里得空间. 欧几里得空间
高等代数
太原理工大学理学院数学系
第九章 欧几里得空间
•第一节 第一节 •第二节 第二节 •第三节 第三节 •第四节 第四节 •第五节 第五节 •第六节 第六节 •第七节 第七节 •第八节 第八节 • 定义与基本性质 标准正交基 同构 正交变换 子空间 对称矩阵的标准形 向量到子空间的距离 向量到子空间的距离 最小二乘法 酉空间介绍 小结) 欧几里得空间 (小结 小结
4) (α, α)≥0,当且仅当 ,当且仅当α=0时,(α, α)=0. 时
这里α, β, γ是V任意的向量,k是任意实数，这样的线 这里 是 任意的向量, 是任意实数，这样的线 任意的向量 称为欧几里得空间 简称为欧氏空间 性空间V称为欧几里得空间(简称为欧氏空间). 性空间 称为欧几里得空间 简称为欧氏空间
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第一节
定义与基本性质
在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法 在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法 只有 数量乘法，统称为线性运算 如果我们以几何空 线性运算. 与数量乘法，统称为线性运算 如果我们以几何空 间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型，那 间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型， 向量作为线性空间理论的一个具体模型 么就会发现向量的度量性质， 长度、夹角等 么就会发现向量的度量性质，如长度、夹角等，在 向量的度量性质 线性空间的理论中没有得到反映. 但是向量的度量 线性空间的理论中没有得到反映 但是向量的度量 性质在许多问题中（其中包括几何问题） 性质在许多问题中（其中包括几何问题）有着特殊 在许多问题中 包括几何问题 的地位，因此有必要引入度量的概念. 引入度量的概念 的地位，因此有必要引入度量的概念
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证毕. 证毕
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结合具体例子来看一下这个不等式是很有意思 结合具体例子来看一下这个不等式是很有意思 具体例子来看一下这个不等式 对于例 空间R 的. 对于例1的空间 n，(5)式就是
2 2 2 2 2 a1b1 + a 2 b2 + L + an bn ≤ a1 + a2 + L + a n b12 + b2 + L + bn .
(1) )
则内积(1)适合定义中的条件，这样R 则内积(1)适合定义中的条件，这样 n就成为一 (1)适合定义中的条件 欧几里得空间. 仍用R 表示这个欧几里得空间 这个欧几里得空间. 个欧几里得空间 仍用 n来表示这个欧几里得空间 式就是几何空间中的向量的内积 时 (1)式就是 在n=3时，(1)式就是几何空间中的向量的内积 在直角坐标系中的坐标表达式. 在直角坐标系中的坐标表达式
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来自百度文库
定义4 如果向量α, 的内积为零， 定义4 如果向量 ,β的内积为零，即 (α, β)=0 . 那么α, 称为正交或互相垂直，记为α⊥ 称为正交 那么 ,β称为正交或互相垂直，记为 ⊥β. 显然， 显然，这里正交的定义与解析几何中对于正交 的说法是一致的. 即有 的说法是一致的 两个非零向量正交的 ＝ 是 结论 两个非零向量正交的<＝>是它们的夹角为 .
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定义1 上一个线性空间 定义1 设V是实数域 上一个线性空间，在V上定 是实数域R上一个线性空间， 上定 义了一个二元实函数，称为内积,记作 义了一个二元实函数，称为内积,记作(α, β)，它具 二元实函数 内积 ， 性质: 有以下性质 有以下性质: 1) (α, β)=(β, α); ; 2) (kα, β)=k(α, β); ; 3) (α+β, γ)=(α, γ)+(β, γ); ; 对称性 齐次性 对加法的分配性 非负性
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例3
在闭区间[ , ]上的所有实连续函数所成的空 所有实连续函数所成的 在闭区间[a,b]上的所有实连续函数所成的空
b
间C(a,b)中，对于函数 , 中 对于函数f(x),g(x)定义内积 , 定义内积
( f ( x ), g ( x )) = ∫ f ( x ) g ( x )dx
a
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是一切平方和收敛的实数列 例4 令H是一切平方和收敛的实数列 是一切
ξ = ( x1 , x 2 ,L , x n , L),
2 x n < +∞ ∑ n =1 ∞
所成的集合， 所成的集合，对于
ξ = ( x1 , x 2 , L , x n ,L), η = ( y1 , y2 ,L , yn , L)
定义内积为 定义内积为
(ξ ,η ) = ∑ x n yn
n =1
∞
则集合H是一个欧几里得空间 通常称为希尔伯特 则集合 是一个欧几里得空间，通常称为希尔伯特 是一个欧几里得空间， (Hilbert)空间 空间. 空间
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二、欧几里得空间的基本性质 定义中条件 条件1 表明内积是对称 内积是对称的 1′）定义中条件1）表明内积是对称的. 2′）(α, kβ)=(kβ, α)=k(β, α)=k(α, β) 3′）(α, β+γ)=(β+γ, α)=(β, α)+(γ, α)=(α, β)+(α, γ) 由条件4），有(α, α)≥0. 所以对于任意的向量 ， 条件4 所以对于任意的向量 向量α， 是有意义的. 在几何空间中，向量α的 (α , α ) 是有意义的 在几何空间中，向量 的长度 为
(α , α. ) 类似地，我们在一般的欧几里得空间 类似地，我们在一般的欧几里得空间
中引进
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定义2 称为向量 向量α的长度，记为|α|. 定义 非负实数 (α , α )称为向量 的长度，记为 显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的 显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的 长度一般是正数 长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质 长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质 才是零 |kα|=|k||α| (3) ) 这里k∈ ， ∈ 这里 ∈R，α∈V. 长度为 向量叫做单位向量. 如果α≠0 叫做单位向量 ≠0, 长度为1的向量叫做单位向量 如果 ≠0,由(3) 式，向量 1 α α 就是一个单位向量 用向量α的长度 去除向量α， 一个单位向量. 的长度|α|去除向量 就是一个单位向量 用向量 的长度 去除向量 ， 得到一个与α成比例的单位向量 通常称为把α单位 成比例的单位向量， 得到一个与 成比例的单位向量，通常称为把 单位 化.
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一、向量的内积 在解析几何中我们看到，向量的长度与夹角等 在解析几何中我们看到，向量的长度与夹角等 长度与夹角 度量性质都可以通过向量的内积来表示，而且向量 度量性质都可以通过向量的内积来表示，而且向量 内积来表示 的内积有明显的代数性质 所以在抽象的讨论中 在抽象的讨论中， 的内积有明显的代数性质. 所以在抽象的讨论中， 我们取内积作为基本的概念 作为基本的概念. 我们取内积作为基本的概念
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几何空间中向量的内积显然适合定义中列举的 几何空间中向量的内积显然适合定义中列举的 性质，所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里 性质，所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里 得空间. 得空间 在线性空间R 例1 在线性空间 n中，对于向量 α=(a1, a2,…,an), β=(b1, b2,…,bn) 定义内积 (α, β)=a1b1+a2b2+…+anbn
对于例 空间C(a,b)，(5)式就是 对于例3的空间 , ，
∫
b
a
f ( x ) g ( x )dx ≤ ∫ f 2 ( x )dx a
b
1 2
g 2 ( x )dx ∫a
b
1 2
定义3 非零向量α, 的夹角<α, 规定 规定为 定义3 非零向量 ,β的夹角 ,β>规定为
2
π
由定义立即看出，只有零向量才与自己正交 由定义立即看出，只有零向量才与自己正交.
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在欧几里得空间中同样有 欧几里得空间中同样有 勾股定理： 正交时 勾股定理：当α,β正交时， , 正交 |α+β|2=|α|2+|β|2 . 事实上， 正交， 事实上，由α,β正交，即(α, β)=0 ，立得 , 正交 |α+β|2=(α+β, α+β)=(α, α)+(β, β)=|α|2+|β|2 . 勾股定理推广：如果向量 两两正交， 勾股定理推广：如果向量α1,α2,…,αm两两正交， 那么有 |α1+α2+…+αm|2=|α1|2+|α2|2+…+|αm|2 .
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例2 在Rn里，对于向量 α=(a1, a2,…,an), 定义内积
β=(b1, b2,…,bn)
(α, β)=a1b1+2a2b2+…+nanbn 则其内积适合定义中的条件，这样 则其内积适合定义中的条件，这样Rn就也成为一个 内积适合定义中的条件 欧几里得空间. 仍用 n来表示这个欧几里得空间 这个欧几里得空间. 欧几里得空间 仍用R 来表示这个欧几里得空间 注意， 知道，对同一个线性空间可 注意，由例1、例2知道，对同一个线性空间可 引入不同的内积，使得它作成欧几里得空间 作成欧几里得空间. 以引入不同的内积，使得它作成欧几里得空间
(α , β )
α β
这就是下面著名的不等式 这就是下面著名的不等式. 著名的不等式
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≤1.
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柯西-布涅柯夫斯基( 柯西-布涅柯夫斯基(anchy-Бунковский)不等式： )不等式： 即对于任意的向量 , 有 即对于任意的向量α,β有 任意的向量 |(α, β)|≤|α||β| 当且仅当α, 线性相关 线性相关时 等式才成立. 当且仅当 ,β线性相关时，等式才成立 证明 当β=0时，(5)式显然成立 以下设 时 ) 显然成立. 以下设β≠0. 令t 是一个实变数 实变数， 是一个实变数，作向量 γ=α+tβ. 由条件4)可知不论 取何值， 由条件 )可知不论t 取何值，一定有 (γ, γ)=(α+tβ, α+tβ)≥0. 即
在解析几何中，向量 , 的夹角 的夹角<α, 的余弦 在解析几何中，向量α,β的夹角 ,β>的余弦 可以通过内积来表示 可以通过内积来表示 内积
cos < α , β >= (α , β )
α β
.
(4) )
为了在一般的欧几里得空间中利用(4)引入夹角的 为了在一般的欧几里得空间中利用( ) 在一般的欧几里得空间中利用 概念，我们需要证明不等式 概念，我们需要证明不等式
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(5) )
(α, α)+2(α, β)t+(β, β)t2≥0.
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(6) )
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取 代入( ) 代入(6)式，得 即
(α , β ) t=− . (β , β ) (α , β ) 2 (α , α ) − ≥0. (β , β )
(α, β)2≤(α, α)(β, β) .
|(α, β)|≤|α||β| . 两边开方便得 当α,β 线性相关时，等号显然成立 反过来，如果 , 线性相关时 等号显然成立. 反过来， 等号成立，由以上证明过程可以看出 或者β=0 ， 可以看出， 等号成立，由以上证明过程可以看出，或者 或者 (α , β ) α− β =0. (β , β ) 也就是说α, 线性相关. 也就是说 ,β 线性相关
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在以上的讨论中，我们对空间的维数没有作任 在以上的讨论中，我们对空间的维数没有作任 何限制. 从现在开始，我们假定空间是有限维的. 假定空间是有限维的 何限制 从现在开始，我们假定空间是有限维的 设V是一个 维欧几里得空间，在V中取一组基 是一个n维欧几里得空间， 中取一组基 是一个 中取 ε1,ε2,…,εn，对于 中任意两个向量 对于V中
< α , β >= arccos (α , β )
α β
, 0 ≤ α,β ≤ π .
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根据柯西-布涅柯夫斯基不等式， 根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不 柯西 等式 |α+β|≤|α|+|β|. 证明 因为 |α+β|2=(α+β, α+β) =(α, α)+2(α, β)+(β, β)≤|α|2+2|α||β|+|β|2 =(|α|+|β|)2 . 所以 |α+β|≤|α|+|β|. 证毕. 证毕 (7) )
(2) )
由数学分析中定积分的性质不难证明， 由数学分析中定积分的性质不难证明，对于内积 定积分的性质不难证明 (2)，C(a,b)构成一个欧几里得空间. 构成一个欧几里得空间 , 构成一个欧几里得空间. 同样地，线性空间R[x],R[x]n对于内积(2)也构 对于内积 内积( 同样地，线性空间 , 成欧几里得空间. 欧几里得空间
高等代数
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第九章 欧几里得空间
•第一节 第一节 •第二节 第二节 •第三节 第三节 •第四节 第四节 •第五节 第五节 •第六节 第六节 •第七节 第七节 •第八节 第八节 • 定义与基本性质 标准正交基 同构 正交变换 子空间 对称矩阵的标准形 向量到子空间的距离 向量到子空间的距离 最小二乘法 酉空间介绍 小结) 欧几里得空间 (小结 小结
4) (α, α)≥0,当且仅当 ,当且仅当α=0时,(α, α)=0. 时
这里α, β, γ是V任意的向量,k是任意实数，这样的线 这里 是 任意的向量, 是任意实数，这样的线 任意的向量 称为欧几里得空间 简称为欧氏空间 性空间V称为欧几里得空间(简称为欧氏空间). 性空间 称为欧几里得空间 简称为欧氏空间
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第一节
定义与基本性质
在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法 在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法 只有 数量乘法，统称为线性运算 如果我们以几何空 线性运算. 与数量乘法，统称为线性运算 如果我们以几何空 间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型，那 间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型， 向量作为线性空间理论的一个具体模型 么就会发现向量的度量性质， 长度、夹角等 么就会发现向量的度量性质，如长度、夹角等，在 向量的度量性质 线性空间的理论中没有得到反映. 但是向量的度量 线性空间的理论中没有得到反映 但是向量的度量 性质在许多问题中（其中包括几何问题） 性质在许多问题中（其中包括几何问题）有着特殊 在许多问题中 包括几何问题 的地位，因此有必要引入度量的概念. 引入度量的概念 的地位，因此有必要引入度量的概念
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结合具体例子来看一下这个不等式是很有意思 结合具体例子来看一下这个不等式是很有意思 具体例子来看一下这个不等式 对于例 空间R 的. 对于例1的空间 n，(5)式就是
2 2 2 2 2 a1b1 + a 2 b2 + L + an bn ≤ a1 + a2 + L + a n b12 + b2 + L + bn .
(1) )
则内积(1)适合定义中的条件，这样R 则内积(1)适合定义中的条件，这样 n就成为一 (1)适合定义中的条件 欧几里得空间. 仍用R 表示这个欧几里得空间 这个欧几里得空间. 个欧几里得空间 仍用 n来表示这个欧几里得空间 式就是几何空间中的向量的内积 时 (1)式就是 在n=3时，(1)式就是几何空间中的向量的内积 在直角坐标系中的坐标表达式. 在直角坐标系中的坐标表达式
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定义4 如果向量α, 的内积为零， 定义4 如果向量 ,β的内积为零，即 (α, β)=0 . 那么α, 称为正交或互相垂直，记为α⊥ 称为正交 那么 ,β称为正交或互相垂直，记为 ⊥β. 显然， 显然，这里正交的定义与解析几何中对于正交 的说法是一致的. 即有 的说法是一致的 两个非零向量正交的 ＝ 是 结论 两个非零向量正交的<＝>是它们的夹角为 .
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定义1 上一个线性空间 定义1 设V是实数域 上一个线性空间，在V上定 是实数域R上一个线性空间， 上定 义了一个二元实函数，称为内积,记作 义了一个二元实函数，称为内积,记作(α, β)，它具 二元实函数 内积 ， 性质: 有以下性质 有以下性质: 1) (α, β)=(β, α); ; 2) (kα, β)=k(α, β); ; 3) (α+β, γ)=(α, γ)+(β, γ); ; 对称性 齐次性 对加法的分配性 非负性
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例3
在闭区间[ , ]上的所有实连续函数所成的空 所有实连续函数所成的 在闭区间[a,b]上的所有实连续函数所成的空
b
间C(a,b)中，对于函数 , 中 对于函数f(x),g(x)定义内积 , 定义内积
( f ( x ), g ( x )) = ∫ f ( x ) g ( x )dx
a
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是一切平方和收敛的实数列 例4 令H是一切平方和收敛的实数列 是一切
ξ = ( x1 , x 2 ,L , x n , L),
2 x n < +∞ ∑ n =1 ∞
所成的集合， 所成的集合，对于
ξ = ( x1 , x 2 , L , x n ,L), η = ( y1 , y2 ,L , yn , L)
定义内积为 定义内积为
(ξ ,η ) = ∑ x n yn
n =1
∞
则集合H是一个欧几里得空间 通常称为希尔伯特 则集合 是一个欧几里得空间，通常称为希尔伯特 是一个欧几里得空间， (Hilbert)空间 空间. 空间
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二、欧几里得空间的基本性质 定义中条件 条件1 表明内积是对称 内积是对称的 1′）定义中条件1）表明内积是对称的. 2′）(α, kβ)=(kβ, α)=k(β, α)=k(α, β) 3′）(α, β+γ)=(β+γ, α)=(β, α)+(γ, α)=(α, β)+(α, γ) 由条件4），有(α, α)≥0. 所以对于任意的向量 ， 条件4 所以对于任意的向量 向量α， 是有意义的. 在几何空间中，向量α的 (α , α ) 是有意义的 在几何空间中，向量 的长度 为
(α , α. ) 类似地，我们在一般的欧几里得空间 类似地，我们在一般的欧几里得空间
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定义2 称为向量 向量α的长度，记为|α|. 定义 非负实数 (α , α )称为向量 的长度，记为 显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的 显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的 长度一般是正数 长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质 长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质 才是零 |kα|=|k||α| (3) ) 这里k∈ ， ∈ 这里 ∈R，α∈V. 长度为 向量叫做单位向量. 如果α≠0 叫做单位向量 ≠0, 长度为1的向量叫做单位向量 如果 ≠0,由(3) 式，向量 1 α α 就是一个单位向量 用向量α的长度 去除向量α， 一个单位向量. 的长度|α|去除向量 就是一个单位向量 用向量 的长度 去除向量 ， 得到一个与α成比例的单位向量 通常称为把α单位 成比例的单位向量， 得到一个与 成比例的单位向量，通常称为把 单位 化.
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一、向量的内积 在解析几何中我们看到，向量的长度与夹角等 在解析几何中我们看到，向量的长度与夹角等 长度与夹角 度量性质都可以通过向量的内积来表示，而且向量 度量性质都可以通过向量的内积来表示，而且向量 内积来表示 的内积有明显的代数性质 所以在抽象的讨论中 在抽象的讨论中， 的内积有明显的代数性质. 所以在抽象的讨论中， 我们取内积作为基本的概念 作为基本的概念. 我们取内积作为基本的概念
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几何空间中向量的内积显然适合定义中列举的 几何空间中向量的内积显然适合定义中列举的 性质，所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里 性质，所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里 得空间. 得空间 在线性空间R 例1 在线性空间 n中，对于向量 α=(a1, a2,…,an), β=(b1, b2,…,bn) 定义内积 (α, β)=a1b1+a2b2+…+anbn
对于例 空间C(a,b)，(5)式就是 对于例3的空间 , ，
∫
b
a
f ( x ) g ( x )dx ≤ ∫ f 2 ( x )dx a
b
1 2
g 2 ( x )dx ∫a
b
1 2
定义3 非零向量α, 的夹角<α, 规定 规定为 定义3 非零向量 ,β的夹角 ,β>规定为
2
π
由定义立即看出，只有零向量才与自己正交 由定义立即看出，只有零向量才与自己正交.
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在欧几里得空间中同样有 欧几里得空间中同样有 勾股定理： 正交时 勾股定理：当α,β正交时， , 正交 |α+β|2=|α|2+|β|2 . 事实上， 正交， 事实上，由α,β正交，即(α, β)=0 ，立得 , 正交 |α+β|2=(α+β, α+β)=(α, α)+(β, β)=|α|2+|β|2 . 勾股定理推广：如果向量 两两正交， 勾股定理推广：如果向量α1,α2,…,αm两两正交， 那么有 |α1+α2+…+αm|2=|α1|2+|α2|2+…+|αm|2 .
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例2 在Rn里，对于向量 α=(a1, a2,…,an), 定义内积
β=(b1, b2,…,bn)
(α, β)=a1b1+2a2b2+…+nanbn 则其内积适合定义中的条件，这样 则其内积适合定义中的条件，这样Rn就也成为一个 内积适合定义中的条件 欧几里得空间. 仍用 n来表示这个欧几里得空间 这个欧几里得空间. 欧几里得空间 仍用R 来表示这个欧几里得空间 注意， 知道，对同一个线性空间可 注意，由例1、例2知道，对同一个线性空间可 引入不同的内积，使得它作成欧几里得空间 作成欧几里得空间. 以引入不同的内积，使得它作成欧几里得空间
(α , β )
α β
这就是下面著名的不等式 这就是下面著名的不等式. 著名的不等式
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柯西-布涅柯夫斯基( 柯西-布涅柯夫斯基(anchy-Бунковский)不等式： )不等式： 即对于任意的向量 , 有 即对于任意的向量α,β有 任意的向量 |(α, β)|≤|α||β| 当且仅当α, 线性相关 线性相关时 等式才成立. 当且仅当 ,β线性相关时，等式才成立 证明 当β=0时，(5)式显然成立 以下设 时 ) 显然成立. 以下设β≠0. 令t 是一个实变数 实变数， 是一个实变数，作向量 γ=α+tβ. 由条件4)可知不论 取何值， 由条件 )可知不论t 取何值，一定有 (γ, γ)=(α+tβ, α+tβ)≥0. 即