考研数学线性代数强化习题-相似与相似对角化
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（1）求 A 的全部特征值；
（2） A 是否可对角化？
8、已知三阶矩阵 A 的特征值为 0,1, 2 ，设 B A3 2A2, 则r(B)
（）
（A）1
（B）2
（C）3
（D）不能确
定
三．相似对角化中 P 与 的计算
2 0 0
9、已知
P1 AP
0
6
0
,
1
是
矩
阵
A 属于特征值
2 的特征向
0 0 6
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Ⅱ参考答案 一．相似矩阵
1、【答案】（C）
【解析】：（A）中， r A 1, r B 2 ，故 A 和 B 不相似. （B）中， tr A 9,tr B 6 ，故 A 和 B 不相似.
（3）求秩 R(A E) ；（4）计算行列式 A E ；（5）求 (A E)100
中公考研，让考研变得简单！
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五．对实对称矩阵性质的考查
16、设 A为n 阶实对称矩阵，则( ) （A） A的n 个特征向量两两正交
（B） A的n 个特征向量组成单位正交向量组
（C） A的k 重特征值 0 有 r 0E A n k （D） A的k 重特征值 0有r 0E A k
17、设二阶实对称矩阵 A 的一个特征值 1 1，属于 1 的特征向量 为 (1, 1)T ，若 | A | 2 ，则 A ______________.
18、设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 1, 2 3 1,对应于 1 的
0 1 1Fra Baidu bibliotek
特征向量为 1 ,求 A . 六．实对称矩阵的正交相似对角化
② A2~B2 （C） 3
③ AT~BT （D） 4
3、下列矩阵中，不能相似对角化的是（ ）
1 0 1
（A）
0 1
2 3
3 5
1 0 1
（C）
2 3
0 0
2 3
1 0 0
（B）
3 2
2 1
0 1
2 2 3
（D）
0 0
2 0
31
4、已知三阶矩阵 A 的特征值为 0, 1 ，则下列结论中不正确的
与其对应的特征向量； （2）求矩阵 B
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七．综合 21、 A为3 阶实对称矩阵，且满足条件 A2 2A 0, r(A) 2 . （1）求 A 的全部特征值.
（2）当 k 为何值时，矩阵 A kE 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵.
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量，2,3 是矩阵 A 属于特征值 6 的特征向量，那么矩阵 P 不能是
（）
（A） 1, 2,3
（B） 1,2 3,2 23
（C） 1,3,2
（D） 1 2,1 2,3
10、已知 Ai ii (i 1, 2,3) ，其中 1 (1, 2, 2)T ,2 (2, 2,1)T ,3 (2, 1, 2)T ，
模块九 相似与相似对角化
Ⅰ经典习题
一．相似矩阵
1、下列矩阵中， A 和 B 相似的是（ ）
2 0 1 2 0 0
（
A）
A
0 0
0 0
0 0
,
B
0 0
0 0
1 0
1 2 0 2 1 1
A
2 0
3 1
1 5
,
B
1 1
2 0
0 2
2 0 1 2 0 3
（
C）
A
0 0
0 0
0 0
,
B
得 P1AP 为对角矩阵?并求出 P 和相应的对角矩阵.
1 1 1
A
x
4
y
13、设矩阵 3 3 5 ,已知 A 有三个线性无关的特征向量,
2 是 A 的二重特征值.试求可逆矩阵 P ,使得 P1AP 为对角矩阵.
14、设矩阵 A 与 B 相似,其中
2 0 0 1 0 0
A
2
x
2
,
B
0
2
求 A ______________.
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2 0 0
2 0 0
11、已知矩阵 A 0 0 1 与 B 0
y
0
相似:
0 1 x
0 0 1
（1）求 x 与 y ；（2）求一个满足 P1AP B 的可逆矩阵 P
3 2 2
A k
1
k
12、设矩阵 4 2 3 .问当 k 为何值时,存在可逆矩阵 P ,使
（C） A与B 合同
（D） A、B 同时可相似对角化或不
可相似对角化 中公考研，让考研变得简单！
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6、设 A 为 n 阶方阵，满足 A2 A ，证明：（1） r A E r A n ；（2）矩
阵 A 可以相似对角化.
7、 设 A 为 三 阶 方 阵 ， 1,2,3 为 三 维 线 性 无 关 列 向 量 组 ， 且 有 A1 2 3 ， A2 3 1, A3 1 2 .
19、设 A 是 n 阶矩阵，且有 n 个相互正交的特征向量，证明 A 是实 对称矩阵
20、 设 三 阶 对 称 矩 阵 A 的 特 征 值 为 1 2,1 1,1 1，
1 1 1 0T 是 A 的属于 1 特征值的特征向量，记 B A3 A 2E （1）验证 1 1 1 0T 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值
2017 考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的 考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-相似与相 似对角化知识点讲解和习题】，希望可以助考生一臂之力。同时中公 考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1 对 1 等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生 了解咨询。
是（ ）
（A）矩阵 A 是不可逆的
（B）矩阵 A 的主对角元素之和为 0 （C） 1和 1所对应的特征向量正交 （D） Ax 0 的基础解系由一个向量构成
5、设 A、B为n 阶方阵，且对 ,有 | E A || E B | ，则（ ）
（A） | E A || E B |
（B） A与B 相似
0 0
0 0
0 0
2 0 0 1 0 0
A
0 0
2 0
0 3
,
B
0 0
3 0
0 3
（ B） （ D）
2、设 A, B 均为 n 阶矩阵， A 可逆且A~B，则下列命题中
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① AB~BA ④A - 1~B - 1
正确的有（ ）个.
（A） 1
（B） 2
二．相似对角化的条件
0
.
3 1 1 0 0 y
（1）求 x 和 y 的值; （2）求可逆矩阵 P ,使 P1AP B .
四． An 的计算
1 a 1
15、已知
A
、
B
为三阶矩阵，满足
AB
B
0，
B
0
0
1
，齐次方
1 1 0
0
程组
AX
0
有非零解
1
，（1）求
a
的值；（2）求可逆矩阵
P
，使
P 1 AP
为
0
对角矩阵；
（2） A 是否可对角化？
8、已知三阶矩阵 A 的特征值为 0,1, 2 ，设 B A3 2A2, 则r(B)
（）
（A）1
（B）2
（C）3
（D）不能确
定
三．相似对角化中 P 与 的计算
2 0 0
9、已知
P1 AP
0
6
0
,
1
是
矩
阵
A 属于特征值
2 的特征向
0 0 6
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Ⅱ参考答案 一．相似矩阵
1、【答案】（C）
【解析】：（A）中， r A 1, r B 2 ，故 A 和 B 不相似. （B）中， tr A 9,tr B 6 ，故 A 和 B 不相似.
（3）求秩 R(A E) ；（4）计算行列式 A E ；（5）求 (A E)100
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五．对实对称矩阵性质的考查
16、设 A为n 阶实对称矩阵，则( ) （A） A的n 个特征向量两两正交
（B） A的n 个特征向量组成单位正交向量组
（C） A的k 重特征值 0 有 r 0E A n k （D） A的k 重特征值 0有r 0E A k
17、设二阶实对称矩阵 A 的一个特征值 1 1，属于 1 的特征向量 为 (1, 1)T ，若 | A | 2 ，则 A ______________.
18、设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 1, 2 3 1,对应于 1 的
0 1 1Fra Baidu bibliotek
特征向量为 1 ,求 A . 六．实对称矩阵的正交相似对角化
② A2~B2 （C） 3
③ AT~BT （D） 4
3、下列矩阵中，不能相似对角化的是（ ）
1 0 1
（A）
0 1
2 3
3 5
1 0 1
（C）
2 3
0 0
2 3
1 0 0
（B）
3 2
2 1
0 1
2 2 3
（D）
0 0
2 0
31
4、已知三阶矩阵 A 的特征值为 0, 1 ，则下列结论中不正确的
与其对应的特征向量； （2）求矩阵 B
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七．综合 21、 A为3 阶实对称矩阵，且满足条件 A2 2A 0, r(A) 2 . （1）求 A 的全部特征值.
（2）当 k 为何值时，矩阵 A kE 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵.
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量，2,3 是矩阵 A 属于特征值 6 的特征向量，那么矩阵 P 不能是
（）
（A） 1, 2,3
（B） 1,2 3,2 23
（C） 1,3,2
（D） 1 2,1 2,3
10、已知 Ai ii (i 1, 2,3) ，其中 1 (1, 2, 2)T ,2 (2, 2,1)T ,3 (2, 1, 2)T ，
模块九 相似与相似对角化
Ⅰ经典习题
一．相似矩阵
1、下列矩阵中， A 和 B 相似的是（ ）
2 0 1 2 0 0
（
A）
A
0 0
0 0
0 0
,
B
0 0
0 0
1 0
1 2 0 2 1 1
A
2 0
3 1
1 5
,
B
1 1
2 0
0 2
2 0 1 2 0 3
（
C）
A
0 0
0 0
0 0
,
B
得 P1AP 为对角矩阵?并求出 P 和相应的对角矩阵.
1 1 1
A
x
4
y
13、设矩阵 3 3 5 ,已知 A 有三个线性无关的特征向量,
2 是 A 的二重特征值.试求可逆矩阵 P ,使得 P1AP 为对角矩阵.
14、设矩阵 A 与 B 相似,其中
2 0 0 1 0 0
A
2
x
2
,
B
0
2
求 A ______________.
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2 0 0
2 0 0
11、已知矩阵 A 0 0 1 与 B 0
y
0
相似:
0 1 x
0 0 1
（1）求 x 与 y ；（2）求一个满足 P1AP B 的可逆矩阵 P
3 2 2
A k
1
k
12、设矩阵 4 2 3 .问当 k 为何值时,存在可逆矩阵 P ,使
（C） A与B 合同
（D） A、B 同时可相似对角化或不
可相似对角化 中公考研，让考研变得简单！
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6、设 A 为 n 阶方阵，满足 A2 A ，证明：（1） r A E r A n ；（2）矩
阵 A 可以相似对角化.
7、 设 A 为 三 阶 方 阵 ， 1,2,3 为 三 维 线 性 无 关 列 向 量 组 ， 且 有 A1 2 3 ， A2 3 1, A3 1 2 .
19、设 A 是 n 阶矩阵，且有 n 个相互正交的特征向量，证明 A 是实 对称矩阵
20、 设 三 阶 对 称 矩 阵 A 的 特 征 值 为 1 2,1 1,1 1，
1 1 1 0T 是 A 的属于 1 特征值的特征向量，记 B A3 A 2E （1）验证 1 1 1 0T 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值
2017 考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的 考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-相似与相 似对角化知识点讲解和习题】，希望可以助考生一臂之力。同时中公 考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1 对 1 等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生 了解咨询。
是（ ）
（A）矩阵 A 是不可逆的
（B）矩阵 A 的主对角元素之和为 0 （C） 1和 1所对应的特征向量正交 （D） Ax 0 的基础解系由一个向量构成
5、设 A、B为n 阶方阵，且对 ,有 | E A || E B | ，则（ ）
（A） | E A || E B |
（B） A与B 相似
0 0
0 0
0 0
2 0 0 1 0 0
A
0 0
2 0
0 3
,
B
0 0
3 0
0 3
（ B） （ D）
2、设 A, B 均为 n 阶矩阵， A 可逆且A~B，则下列命题中
中公考研，让考研变得简单！
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① AB~BA ④A - 1~B - 1
正确的有（ ）个.
（A） 1
（B） 2
二．相似对角化的条件
0
.
3 1 1 0 0 y
（1）求 x 和 y 的值; （2）求可逆矩阵 P ,使 P1AP B .
四． An 的计算
1 a 1
15、已知
A
、
B
为三阶矩阵，满足
AB
B
0，
B
0
0
1
，齐次方
1 1 0
0
程组
AX
0
有非零解
1
，（1）求
a
的值；（2）求可逆矩阵
P
，使
P 1 AP
为
0
对角矩阵；