立体几何初步教学建议

必修二立体几何初步教学建议
2015.9
一、课程标准体系下立体几何的基本特点
1、立体几何课程内容的改革是延续义务教育阶段几何的调整
《大纲》要求是从初中开始讲立体几何，《标准》要求是从小学开始渗透对空间图形的认识。

《义务教育数学课程标准（实验稿）》对知识与技能的划分：
第一学段（1～3年级）：数与代数、空间与图形、统计与概率、实践活动
第二学段（4～6年级）：数与代数、空间与图形、统计与概率、综合应用
第三学段（7～9年级）：数与代数、空间与图形、统计与概率、课题学习
其中第三学段“空间与图形”中关于“图形的认识”：（8）视图与投影
①会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型。

②了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。

③了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；通过典型案例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）。

④观察与现实生活有关的图片（如照片、简单的模型图、平面图、地图等），了解并欣赏一些有趣的图形（如雪花曲线、莫比乌斯带、椭球）
⑤通过背景丰富的实例，知道物体的阴影是怎么形成的，并能根据光线的方向辨认事物的阴影（如在阳光或灯光下，观察手的阴影或人的身影）。

⑥了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面图和立体图中表示。

⑦通过实例了解中心投影和平行投影。

2、立体几何课程内容的“知识链”
①必修2：立体几何初步→选修2：空间向量与立体几何→选修4—1：几何证明选讲（圆柱、圆锥与圆锥曲线）→选修3系列：球面上的几何、欧拉公式与闭曲面分类
②立体几何课程内容的分层展开：
第一层次：借助于丰富的实物模型或运用计算机软件所呈现的空间几何体，通过对这些空间几何体的整体观察，帮助学生认识其结构特征，运用这些特征描述现实生活中的一些简单物体的结构，巩固和提高义务教育阶段有关三视图的学习和理解，帮助学生运用平行投影与中心投影，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能。

第二层次：在上述基础上，以长方体为载体，直观认识和理解体会空间的点、线、面之间的位置关系，抽象出空间线、面的位置关系的定义；用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并了解一些可以作为推理依据的公理和定理。

（这两个层次的顺序怎样讲好？）
第三层次：以空间几何体的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认，归纳出一些判定定理与性质定理，并对性质定理加以逻辑证明。

至于判定定理，在选修系列2中，用向量的方法加以严格的证明。

第四层次：利用向量来解决立体几何问题是学习空间向量这部分内容的重点，也是立体几何学习的第四个层次。

要让学生体会向量的思想方法，以及如何用向量来表示点、线、面及其位置关系。

用向量的方法来计算空间中的角度问题。

在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题。

3、强调培养和发展把握图形、空间想象与几何直觉能力
与《大纲》相比，《标准》中立体几何的定位主要做了三个方面的调整：强调把握图形能力的培养，强调空间想象与几何直观能力的培养，强调逻辑思维能力的培养。

英国著名数学家M.阿蒂亚说过，几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分，这种区分也许用另外一对词更好，即‘洞察’与‘严格’，两者在真正的数学研究中起着本质的作用。

这就明确指出，几何学不只是一个数学分支，而且是一种思维方式，它渗透到数学的所有分支。

4、全面地看待推理与证明在立体几何中的地位
《大纲》中的立体几何内容是一套演绎的体系，侧重推理与证明（课时相对充裕）。

现在《标准》中的几何内容是由一个视角变成两个视角，即有传统的演绎的体系，又有向量工具辅助。

灵活选用向量方法或传统方法解决立体几何问题（两种方法并重？）
平面几何对学生思维的训练是任何其它数学分支所无法比拟的！
二、《课程标准》与《教学大纲》内容及要求的对比
关于“点到平面的距离”：等积、（作出垂线段、向量角度）三、高考中的相关要求及考查特点
【2011北京卷理科】（7）某四面体的三视图如图所示，
该四面体四个面的面积中最大的是
（A）8
（B）
（C）10
（D）
【2012北京卷理科】（7）某三棱锥的三视图如图 所示，该三棱锥的表面积是
（A
）28+ （B
）30+（C
）56+（D
）60+
【2013北京卷理科】（14）如图，在棱长为2的正方体
1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上．点P 到直线1CC 的距离的最小值为 ．
【2014北京卷理科】（7）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知(2,0,0)A ,(2,2,0)B ,(0,2,0)C
, (1,1,D ．若1S ,2S ,3S 分别是三棱锥D ABC –
在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形 的面积，则
（A ）123S S S == （B ）21S S =且23S S ≠ （C ）31S S =且32S S ≠ （D ）32S S =且31S S ≠
【2015北京卷理科】（5）某三棱锥的三视图如图
所示，则该三棱锥的表面积是
（A
）2（B
）4（C
）2+
（D ）5
正（主）视图
侧（左）视图
俯视图
4
2 3
4 俯视图
侧(左)视图
【2015北京卷理科17】如图，在四棱锥A EFCB -中，
AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，
4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点．
（Ⅰ）求证：AO BE ⊥；
（Ⅱ）求二面角F AE B --的余弦值； （Ⅲ）若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．
（Ⅰ）AO EF ⊥， 【1分】
平面AEF ⊥平面EFCB ， 【1分】
AO ⊥平面EFCB ， 【1分】 AO BE ⊥. 【1分】
注：最后1分仅在推理正确的前提下给分。

（Ⅱ）建系前有简单说明：① OG EF ⊥；
② OG BC ⊥； ③ OG ⊥平面AEF ；
④ ,,OA OE OG 两两垂直… 【1分】
建系 【1分】 注：图中标明或文字叙述有其一即可。

平面AEB
的法向量1,1)=-n . 【2分】 注：若结论不对，方法正确给 1分. 夹角公式cos ,||||
⋅〈〉=
n p
n p n p ， 【1分】
结论【1分】 （Ⅲ）转化为0BE OC ⋅= ，或0BE AC ⋅=
【2分】
注：BE OC ⊥，或BE AC ⊥也给2分（注意不能是BE OA ⊥）
或设出平面AOC 的法向量m ，转化为m //BE
,也给2分.
结论4
3
a =
， 【2分】 注：结论4
3
a =或2， 【1分】
O F
E
C
B
A
●几点教学建议：
（1）用好模型、教具，逐步培养空间想象能力。

（2）三种语言（文字、图形、符号）的相互转换。

（3）画图、识图很重要。

（4）全面理性看待推理论证的“削弱”。

（5）传统方法与向量方法的有机融合：
●传统方法：公理化体系；演绎证明为核心（作、证、指、算）；推理论证能力；识图、
画图、空间想象。

●向量方法：工具更先进；形式化运算为主（以算替证）；几何直觉能力。

（6）根据学生实际，合理整合教材内容。