几何画板在立体几何教学的应用

《几何画板》在立体几何解题教学中的应用
数学教学中的数学活动，是为了帮助学生探索未知的事实和规律，它是为了说明思想概念，阐述道理方法，指导学生操作练习。

许多数学问题情景，在传统的黑板和纸笔提供的教学环境中，教师只能讲一讲， 学生只能想一想。

用多媒体辅助教学，就可以变抽象为具体就可以演示、操作了。

《几何画板》作为一种适合中学教师使用的教学软件，是21世纪的动态几何。

用《几何画板》绘制各种立体图形非常直观，可以解决学生从平面图形向立体图形，从二维空间向三维空间过渡的难题，因为它确实能把一个“活”的立体图形展现在学生面前。

在立体几何中，有些问题用直接法来寻求解题途径比较困难，甚至无从着手，这时用构造法并利用几何体的特点和性质来帮助解题，可起到事半功倍的效果，引入多媒体技术后，利用《几何画板》辅助教学，可以丰富教学模式，实现过程教学，提高了生学习数学的兴趣。

解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思维。

但有些问题按照这种思维方式来寻求解题途径比较困难，甚至无从着手。

在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度思考，以便找到一条绕过障碍的新途径。

构造性思想及其方法就是这样的一种手段。

构造法在立体几何中主要表现在辅助线、体的添加，这就是常说的分形与补形,并根据题目的特征,精心构造一个相应的“模型”,把复杂问题转化为简单问题。

由于实际的三维图形,总是用二维图形来表示,这就造成了学生识图、画图、用图的困难。

这就需要培养学生用运动的观点观察点、线、面的位置关系，使空间图形成为学生头脑中活的思维对象。

《几何画板》为数学教学提供了一个很好的动态视觉的环境，能对图象进行各种变换、平移、旋转和动画等处理功能。

从数学课堂教学的角度上看，其最大的优点是实现了动态教学，尤其对空间想象能力薄弱的中学生而言，在立体几何的教学中CAI 的优势得到了很好的体现和发挥。

下面就此谈谈我在利用《几何画板》辅助立体几何解题教学时的一些体会,以求教于同行。

一、构造三棱锥
三棱锥是一个特殊的锥体，它的每一个顶点都可以作为三棱锥的顶点，每一个面都可以作为三棱锥的底面.利用它不但可以灵活地计算三棱锥的体积,而且还可以求点到平面的距离或异面直线间的距离.
例1：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线Ａ1Ｄ与AC 间的距离.
(1)
A 1
C 1
1
C
(6)
1
A
C 1
1
分析：(利用《几何画板》展示教学步骤)
如图所示,连结A 1C 1 , AC 1,则AC//A 1C 1∴ AC //平面A 1DC 1
∴ A 到平面A 1DC 1的距离h 就是AC 与DA 1间的距离.
∴
1112
1
31)2(43312⨯⨯⨯⨯=⨯⨯h ∴33=h 即AC 、A 1D 间的距离为
3
3
二、构造正方体
正方体是最特殊的四棱柱，它的六个面都是全等的正方形，线线、线面、面面之间都有垂直或平行关系，这便提供了多姿的化繁为简的条件，以它为“模型”是最妙不过了.
例2： 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）.（2003年全国高考题）
A ．3π B.4π
C.33
π D. 6π
显示正方体
隐藏正方体 合拢移开旋转A
C
A D
C
分析:构造一个棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D(如图)
连AB 1,AD 1,AC,CD 1,CB 1,B 1D 1,则四面体B 1—ACD 1为符合题意的四面体，它的外接球的直径即为正方体的对角线长.设该外接球的半径为R,则2R=AC 1= 3 ,所以此正四面体外接球的表面积为S =4πR 2
=3π,故选A. 例3：在四面体的四个侧面中,直角三角形最多可有( ).
A. 1个
B. 2个
C. 3个 D .4个
1
A A
分析:构造如图所示的正方体,连B 1D 1、A 1B 、BD 1 ,考察四面体B —B 1D 1A 1 ,它的四个侧面都是直角三角形,故选D. 例4:过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA
⊥面ABCD ,若AB=PA ,求面PAB 和面PCD 所成二面角的大小.
分析:如图,将四棱锥P —ABCD 补成正方体PQRS —ABCD ，则PQ 为面PAB 与面PCD 的交线.由正方体性质知PD ⊥PQ ,AP ⊥PQ , ∴ ∠DPA 为所求二面角的平面角,易知∠DPA =45︒.
二、
构造长方体
长方体的六个面都是矩形，每个顶点上的三条棱两两互相垂直.利用这些性质,构造长方体
,常能使很多问题得到简化. 例5：已知ABCD 是边长为4的正方形,E,F 分别是AB 和
AD 的中点,GC ⊥平面ABCD 于
C,且GC=2,求点B 到平面GEF 的距离.(1991
年全国高考题
)
G
B
分析:如图,以边长为4的正方形ABCD 为底面,GC 为侧棱,构造长方体.由BD //EF,得BD //面EFG ,到平面EFG 的距离,转化为底面中心O 到平面EFG 的距离CG GH
OH OK ⋅=11112=
四、应用等积变换构造立几模型
充分应用等积变换、构造、辅助解题的模型，理清思路，这是解几何难题的一种常用方法.
例6：在四面体A-BCD中，已知AB=a，CD=b，AB与CD间的距离为h，它们所成的角为θ，求四面体的体积.
E
分析：（用等积变换）在平面BCD 内过B 点作BE∥CD，DE∥BC，BE 、DE 交于E 点从而得平行四边形BCDE ，连AE 则A-BCDE
为四棱锥
∵CD∥BE，且AB 与CD 所成角为θ
∴∠ABE 是AB 、CD 所成的角或补角，即∠ABE=θ或π-θ.
∴θθsin 2
1
sin 21ab BE AB S ABE =⋅⋅⋅=
∆ ∵CD∥BE，∴CD∥面ABE
设AB 与CD 的公垂线为GF ，则GF 就是CD 与面ABE 的距离，也就是棱锥D-ABE 的高线. 显然GF⊥面ABE ，且GF=h
∴θθsin 6
1
sin 2131ab ab h V ABE D =⋅=-
∵DE ∥BC，∴S ⊿BDE = S ⊿BCD .
∴V D-ABE = V A-BDE = V A-BCD .∴V A-BCD = 6
1
abh •sin θ
五、分割图形
巧补图形可使某些立几问题迅速准确获解,同样适当地分割图形,也可使某些立几问题趋于简单,从而为问题的顺利解决提供了方便.
例7：如图三棱锥P —ABC 中，已知PA ⊥BC ，PA=BC=l ，PA 、BC 的公垂线段DE=h.求三棱锥P —ABC 的体积
.
C
分析:直接考虑会因条件用不上感到束手无策.如考虑过DE 、BC 的平面分割三棱锥P —ABC 为两个三棱锥P —BCD 和A —BCD.则问题简捷解出.
解:∵PA ⊥BC,PA ⊥DE, ∴PA ⊥面BCD.
∴PD lh PD S V BCD BCD P ⋅⋅=⋅=∆-21
3131
∴AD lh AD S V BCD BCD A ⋅⋅=⋅=∆-2
1
3131
∴26
1
2131hl lhl V V V BCD A BCD P BCA P =⋅=+=---
例8 ：已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为6，侧棱长为33,求三棱锥B- CA 1
C 1
的体积.
如图：
隐藏
2
隐藏1 合拢3移动3合拢2移动2 合拢1 移动1
1
1
1
1
B
分析：面BA 1C 1 、面BCA 1将这个三棱柱分割为三个三棱锥.
易证
111111B A B C B CA C B ACA V V V ---==
∴ 11B CA C V -= 31V 正三棱柱 = 31S ⊿ABC •h= 31×2
1
×23×6
2×33=27
以上用《几何画板》设计的不同的按纽如：
（1） 用移开、合拢、显示、隐藏按纽突出构造模型的过程，
（2）多个按纽的组合（或系列）进行教学步骤设计，实现教师分析、板书、作图按知识点的同步教学，环环相扣，层层深入地引发学生思考，这些是传统教学难以媲美的.
（3）利用《几何画板》实现数形结合，增强了图形的立体感和美感（立体、色彩、对称、动画等可增加图形的美感，让学生欣赏数学美，增添数学兴趣），利于学生的思维的发生、发展和充分想象，寻找问题的解决途径，进而实现学生的自主学习. (4)用显示、隐藏按纽来重复讲解学生不太清楚的问题,实现学生的分层次教学.
(5)用旋转按纽,可以从多角度、全方位来观察问题,实现学生思维的全面性,这个旋转也是让学生充分感受数学美的魅力所在,进而激发学生探索数学的无穷乐趣.
构造思想方法充分体现了“他山之石可攻玉”的哲理.用构造法来解立体几何问题,实际上是将待解决问题的条件和数量关系,显示在所构造的“模型”上,并且得到相应的解释,从而转化为所构造模型的相应问题,实现用简捷方法解决复杂问题的目标。

引入多媒体技术，利用《几何画板》辅助教学，丰富了教学模式，实现了过程教学，可以提高学生学习数学的兴趣，得到满意的教学效果。

以上是我在教学实践过程中所得的一些体会,不足之处请多多指教。

谢谢! 参考文献
[1]陶振宗.几何画板－21世纪的动态几何.北京.：人民教育出版社，1998 [2 ]曹才翰，章建跃．数学教育心理学．北京．：北京师范大学出版社，2001
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