第二章 点集论.
实变函数-23 开集,闭集,完备集 24 直线上的开集、闭集及完备集的构造
⑵开集与闭集的对偶性
a. (E)c (Ec ) (Ec ) (E )c
b.若E为开集，则Ec为闭集; 若E为闭集，则Ec为开集。
P0为 E的接触点： 0,有O( p0, ) E P0为 E的聚点： 0,有O( p0, ) (E {p0}) P0为 E的内点： 0,使得O( p0, ) E P0为 E的外点： 0, 使得O( p0 , ) E ,即O( p0 , ) Ec
知 ' 0, 有O(x', ') (E {x '})
(当
'
min{
d (x,
x '), d (x,
x ')}时,有x O(x', ')
O(
x
,
）
)
E
从而 O(x, ) (E {x})
即x为E的聚点，从而 (E')' E'
O( x', ')
利用(E)' (E E')' E'(E')' E'E' E' E 可得E为闭集
从而x是（a,的内点，
故(a,b)是开集。
a
x
b
说明：要证E是开集，只要证 E E (因为E E显然)
例：闭区间[a,b]为闭集
证明：任取x∈[a,b]c,取δ=min{|x-a|,|x-b|},
则 O(x, ) [a, b]c ,
从而x不是[a,b]的接触点， 从而[a,b]的接触点都在[a,b]内， a
p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列{pn},
使得
lim
n
pn
实变2-4
ϕ：A → {2进制无限小数全体} = B.
∞ an an ∑ 3n → ∑ 2n +1， 其中，a n为0或2. n =1 n =1 ∞
(三进制数)0.a1a2 a3 L → 0. a21
a 2 a3 2 2
L (二进制数)
则ϕ为1 − 1映射， P = A = B = ℵ. ⇒
注:Cantor集中 除了分割点外, 还有大量其他 点.
确定构成区间. 确定构成区间 ( ) y X . )( ( ] 1
(
) 2
(
)
(
1 证明： ）设G是R中开集， 第一步, 确定构成区间。 ∀x ∈ G , 令a x = inf{ y : ( y , x] ⊆ G,bx = sup{z : [ x, z ) ⊆ G}, 则x ∈ (a x , bx ), 事实上，∀x ∈ G = G o ⇒ ∃U（x ) = ( y, z ) ⊆ G ⇒ a x ≤ y < x < z ≤ bx。 记：I x = (a x , bx ), 下证：I x为x的构成区间。由于(a x , bx ) ⊆ G，故只需证：a x ∉ G，bx ∉ G。 用反证法：假设a x ∈ G = G o， ∃δ > 0，使得： x − δ，a x + δ ) ⊆ G， ⇒ (a ⇒ ( a x − δ，x] ⊆ G, ⇒ a x ≤ a x − δ（矛盾）。同理：bx ∉ G。
对此ε > 0, ∃N 0 , n ≥ N 0时，就有 1 ≤ ε. 3n
i （n )
在“去掉手续进行到第n次”时，x必含在留下的长为 I 1/3n的互不相交的2n个闭区间中的某个，设之为： .
i 则，I (n ) ⊆ O( x, ε ).
《实变函数与泛函分析基础》目录简介
《实变函数与泛函分析基础》目录简介内容简介本次修订是在第二版的基础上进行的，作者根据多年来的使用情况以及数学的近代发展，做了部分但是重要的修改。
《实变函数与泛函分析基础(第3版)》共11章：实变函数部分包括集合、点集、测度论、可测函数、积分论、微分与不定积分；泛函分析则主要涉及赋范空间、有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。
这次修订继续保持简明易学的风格，力图摆脱纯形式推演的论述方式，着重介绍实变函数与泛函分析的基本思想方法，尽量将枯燥的数学学术形态呈现为学生易于接受的教育形态；同时，补充了一些现代化的内容，如“分形”的介绍。
《实变函数与泛函分析基础(第3版)》可作为高等院校数学类专业学生的教学用书，也可作为自学参考书。
目录第一篇实变函数第一章集合1 集合的表示2 集合的运算3 对等与基数4 可数集合5 不可数集合第一章习题第二章点集1 度量空间，n维欧氏空间2 聚点，内点，界点3 开集，闭集，完备集4 直线上的开集、闭集及完备集的构造5 康托尔三分集第二章习题第三章测度论1 外测度2 可测集3 可测集类4 不可测集第三章习题第四章可测函数1 可测函数及其性质2 叶果洛夫定理3 可测函数的构造4 依测度收敛第四章习题第五章积分论1 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介2 非负简单函数的勒贝格积分3 非负可测函数的勒贝格积分4 一般可测函数的勒贝格积分5 黎曼积分和勒贝格积分6 勒贝格积分的几何意义·富比尼定理第五章习题第六章微分与不定积分1 维它利定理2 单调函数的可微性3 有界变差函数4 不定积分5 勒贝格积分的分部积分和变量替换6 斯蒂尔切斯积分7 L-S测度与积分第六章习题第二篇泛函分析第七章度量空间和赋范线性空间1 度量空间的进一步例子2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间3 连续映射4 柯西点列和完备度量空间5 度量空间的完备化6 压缩映射原理及其应用7 线性空间8 赋范线性空间和巴拿赫空间第七章习题第八章有界线性算子和连续线性泛函1 有界线性算子和连续线性泛函2 有界线性算子空间和共轭空间3 广义函数第八章习题第九章内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间1 内积空间的基本概念2 投影定理3 希尔伯特空间中的规范正交系4 希尔伯特空间上的连续线性泛函5 自伴算子、酉算子和正常算子第九章习题第十章巴拿赫空间中的基本定理1 泛函延拓定理2 C[a，b]的共轭空间3 共轭算子4 纲定理和一致有界性定理5 强收敛、弱收敛和一致收敛6 逆算子定理7 闭图像定理第十章习题第十一章线性算子的谱1 谱的概念2 有界线性算子谱的基本性质3 紧集和全连续算子4 自伴全连续算子的谱论5 具对称核的积分方程第十一章习题附录一内测度，L测度的另一定义附录二半序集和佐恩引理附录三实变函数增补例题参考书目。
实变函数第二章点集答案
13.
用三进位无限小数表示康托集 P 中的数时，完全可以 用不着数字 1，试用此事实证明 P 的基数为 c. （提示：把 P 中的点与二进位无限小数作对应）
先用三进位有限小数来表示集 P 的余区间的端点（都属于 P） 则有
证明
1 2 ( , ) (0.1,0.2), 3 3 1 2 ( , ) (0.01,0.02), 9 9 7 8 ( , ) (0.1,0.2), 9 9
n 1
11.
证明： f ( x )为a, b 上连续函数的充要条件是对任意实数 c ， 集 E x f ( x ) c 和E1 x f ( x) c 都是闭集.
证明 若： f ( x )为a, b 上连续函数，用第八题同样的方法得
E 和E1 是闭集. E 若E 和E1 是闭集，若有 x0 a, b ，不是f (x) 的连续点，
n
9. 证明：每个闭集必是可数个开集的交集； 每个开集可以表示成可数个开集的合集.
证明 设 F 是闭集，令 Gn x d ( x, F )
1 ，Gn 是开集 n
1 1 ，所以存在 y 0 F ，使 d ( x 0 , y 0 ) . n n 1 1 （否则，任意 y F ， d ( x 0 , y ) ，则 d ( x 0 , F ) inf d ( x 0 , y ) , yF n n 1 与 d ( x0 , F ) 矛盾） 。 n
其中 ai (i 1,2, , n 1) 为 0 到 9 除 7 外的一切自然数，
a1 ,, an1 是取遍满足上述条件的各种可能的n 1 个数
记这些全体开区间为
第二节-聚点-内点-界点
内点，外点、边界点与聚点的关系
结论：内点一定是聚点，外点一定不是聚点，边界 点有可能是聚点，也有可能是孤立点.
开核与闭包的关系
(E)c (Ec ) (Ec ) (E)c
例 设p0是E的聚点, 证明p0的任意邻域内至少含有无 穷多属于E而异于p0的点.
证明：由条件知 0,U ( p0, ) (E {p0}) （*）
min{
1 n
,d(
pn1,
p0 )}时, 取pn
U ( p0 ,n ) (E
列互异
则上述取出的点列Pn是互异点列,且
lim
n
pn
p 0
3.开核，导集，闭包的性质
➢ 定理2
若
A B Rn，则
A B,
A B,
A B.
➢ 定理3 若 A Rn , B Rn，则
Pn P0 δ
所以U ( p0 , ) (E { p0})为无限集
2.聚点的等价描述
定义：称点列{pn}
收敛于p0
,
记为：lnim
pn
p 0
若
lim
n
d
(
pn
,
p0
)
0,
即 0, N 0,n N,有pn U ( p0, )
Pn P0 δ
定理1：下列条件等价：
假如U ( p0 , ) (E {p0})为有限集，
不妨令U ( p0 , ) (E { p0}) { p1, p2 , , pn}
取 min{ d ( pi , p0 ) | i 1,2, , n}
则U ( p0 , ) (E {p0})
实变函数第二章 点 集
第二章 点 集 §1. 度量空间， n 维欧氏空间d e f .设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素y x ,都有唯一确定的实数),(y x d 与之对应，满足：︒1 ()(),0.,0d x y d x y x y ≥=⇔=（非负性）︒2 对任意的()()(),,,,z X d x y d x z d y z ∈≤+（三点不等式） 则称(),,d x y x y 是之间的距离，称(),X d 为度量空间，X 中的元素称为点. 注：(1)由︒1，︒2可以推出距离具有对称性：()(),,,,d x y d y x x y X =∈(2)子空间：若(),X d 为度量空间，(),.,Y X Y Y d ⊂≠∅则也是一个度量 空间，称为(),X d 的子空间. (3)度量空间的例子及其性质见第七章.n 维欧氏空间定义为(){}112:,,,,,1,2,,n n i R x x x x x x R i n ==∈=，n R 中两点()()1212,,,,,,,n n x x x x y y y y ==的距离定义为()()1221,ni i i d x y x y =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑易证，对任何(),,,,n x y z R d ∈满足：（1）()(),0,,0d x y d x y x y ≥=⇔=（非负性） （2）()(),,d x y d y x = （对称性）（3）()()(),,,d x y d x z d z y ≤+ （三点不等式）注 1.从三点不等式可以推出，),(y x d 是),(y x 的二元连续函数，即当()()()(),0,,0,,n n n n d x x d y y d x y d x y →→→时，（当n →∞时） 注2.对任何()12,,,,n n x x x x R x =∈的模（或长度）定义为2112),(⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑=ni i x X d x θ，)0,,0,0( =θ是n R 的原点.注3.在n R 中也可以定义其它的距离，例如：()()121,max ,,ni i i i ii d x y x y d x y x y ==-=-∑，其中()()1212,,,,,,,n n x x x x y y y y ==但以后所说的n R 中的距离一般是指()()1221,ni i i d x y x y =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑.1def .设()(){}000,0,,:,nP R U P P d P P δδδ∈>=<记，称为0P 的δ邻域.或记为()0P U .邻域的性质：()()1P U P ∈；()()()()()()()1233122,,U P U P U P U P U P U P ⊂⋂对于和存在使； ()()()()()3Q U P U Q U Q U P ∈⊂对于，存在，使；()()()()()4P Q U P U Q U P U Q ≠⋂=∅对于，存在和，使2def .设{}()0123m mn P n R P R =⊂∈，，，，.如果()0lim 0n n d P P →∞=，，称点列{}n P 收敛于0P ,记为 0lim n n P P →∞=.注1.点列{}n P 收敛于P 0等价于：点列{}n P 的坐标序列收敛于P 0的坐标; 注2.点列{}n P 收敛于0P 等价于：对于0P 的任何邻域()0P U ，存在N ,当N n > 时，有()0n P U P ∈.3def .两个非空的点集B A ,的距离定义为()()inf P A Q Bd A B d P Q ∈∈=，，.4def .一个非空的点集E 的直径定义为()()sup P E Q EE d P Q δ∈∈=，.5def .设,n R E ⊂如果+∞<)(E δ,称E 是有界集.注1.n R 中点集E 是有界集等价于：存在()()00,,,.U P E U P δδ⊂使注2.n R 中点集E 是有界集等价于：存在常数K ,对所有E x x x x n ∈=),,,(21 都有),,2,1(||n i K x i =≤.注3.n R 中点集E 是有界集等价于：存在常数K ,对所有E x ∈,有)0,,0,0(0,)0,( =≤K x d .6def .n R 中的开区间定义为点集(){}12,,,:,1,2,,n i i i x x x a x b i n <<=，闭区间定义为点集(){}12,,,:,1,2,,n i i i x x x a x b i n ≤≤=，类似地定义左开右闭或左闭右开区间.记为I ,体积()1ni i i I b a ==-∏.§2.聚点，内点，界点设n n R P R E ∈⊂0,，则0P 与E 有三种可能的关系： （1）在0P 的附近没有E 的点. （2）0P 的附近全是E 的点.（3）0P 的附近既有E 的点，又有不属于E 的点.1def .若存在0P 的一个邻域()()00,E U P U P ⊂使，则称0P 为E 的内点.这时， 0P E ∈.若0P 是c E 的内点，则称0P 为E 的外点.这时，c 00P E ,P E ∈∉即.若对任何()()000,,,,cU P E U P E δδδ>⋂≠∅⋂≠∅，则称0P 为E 的界点.注：E 的界点不一定属于E .2def . 设0,.n n E R P R ⊂∈若对任何(){}()000,,U P P E δδ>-⋂≠∅，则称0P为E 的聚点.注1：E 的聚点不一定属于E . 注2：有限点集没有聚点.注3：E 的内点一定是E 的聚点. E 的聚点不一定是E 的内点.E 的聚点有 可能是E 的界点. 1Th .....E A F T (1)0P 为E 的聚点.(2)对任何()00,,U P δδ>内含有E 中无穷多个点.(3)存在各项互异的点列{}0,n n P E P P ⊂→()n →∞.即：()0lim ,0n n d P P →∞=. 3def . 0,.n n E R P R ⊂∈若(){}()000,0,,,P E U P P E δδ∈∃>-⋂=∅且使则称0P 为E 的孤立点. 这时0,P E ∈但是0P 不是E 的聚点.若集合E 的每一点都是孤立点，则称E 是孤立点集. 注1：E 是孤立点集''.E E E ⇔⋂=∅表示E 的聚点全体.注2：E 的界点不是聚点就是孤立点注3：若一个点集E 没有聚点，即E '=∅，则称它是离散集.离散集是孤立 点集，反之不一定.如例1.注4：空集∅没有聚点，也没有孤立点. 4def .设n E R ⊂，有(1)E 的内点全体称为E 的开核，记为︒E ； (2)E 的界点全体称为E 的边界，记为E ∂； (3)E 的聚点全体称为E 的导集，记为E '； (4)E E ' 称为E 的闭包，记为E 。
实变函数论第二章 点集
第二章习题P291.证明'0p E ∈的充要条件是对于任意含有0p 的邻域()0,N p δ（不一定以0p 为中心）中，恒有异于0p 的点1p 属于E （事实上这样的1p 其实还是有无穷多个）而0p 为E 的内点的充要条件则上有含有0p 的邻域()0,N p δ（同样，不一定以0p 为中心）存在，使()0,N p E δ⊂. 证明：先设'0p E ∈，则()00,,N p E δδ∀> 中有无穷多个点。
现在设()00,p N p δ∈，这表明()00,p p ηρδ≤=<，故()0,y N p δη∀∈-，有()()()00,,,y p y p p p ρρρδηηδ≤+<-+= 故()()0,,N p N p δηδ-⊂故()0,N p E δη- 有无穷个点，自然有异于0p 的点()10,p N p E δη∈-(),N p δ⊂.这就证明了必要性，事实上，(){}00,N p E p δη-- 是无穷集，故(),N p δ中有无穷多个异于0p 的E 中的点.反过来，若任意含有0p 的邻域(),N p δ中，恒有异于0p 的点1p 属于E ，则0δ∀>，(),N p δ中，有异于0p 的点1p 属于E ，记()101,p p ρδ=，则显然1δδ<由条件()01,N p δ中有异于0p 的点2p E ∈，()2021,p p ρδδ=<由归纳法易知，有{}11,1,2,,n n n n δδδδ+∀=<<< 和()01,n n p E N p δ-∈ ，0,1,2,n p p n ≠=这表明()0,N p δ中有无穷个E 中的点.由0δ>的任意性知，'0x E ∈若0p 为E 的内点，则0,δ∃>使()0,N p E δ⊂，故必要性是显然的. 若存在邻域(),N p E δ⊂，使()0,p N p δ∈，则从前面的证明知()()()00,,,N p p p N p E δρδ-⊂⊂，故0p 为E 的内点.2.设1nR R =是全体实数，1E 是[]0,1上的全部有理点，求'11,E E .解：[]0,1x ∀∈，由有理数的稠密性知，()()0,,,N x x x εεεε∀>=-+中有无穷个1E 中的点，故'1x E ∈，故[]'10,1E ⊂.而另一方面，[]0,1x ∀∉，必有0δ>，使()[]0,0,1N x δ=∅ ，故'01x E ∉ 故[]'10,1E ⊂，所以[][]'10,10,1E ⊂⊂. 表明[]'10,1E =而[][]'11110,10,1E E E E === 故[]'110,1E E ==.3.设2n R R =是普通的xy 平面(){}222,;1E x y xy =+<，求'22,E E .解：(){}'222,;1E x y xy =+≤事实上，若()'0002,p x y E =∈，则由于()22,f x y x y =+是2R 上的连续函数，必存在0δ>，使()()0,,x y N p δ∀∈有()22,1f x y x y =+>.故()02,N p E δ=∅ ，故0p 不是'2E 中的点矛盾. 故22001x y +≤时(){}220,;1p x y xy ∈+≤反过来，若()(){}22000,,;1p x y x y x y =∈+≤则0δ∀>，作[]0,1上的函数()()00,f t tp p ρ==t ==-则()f t 是[]0,1上的连续函数，()01f =≤，()10f =，01δ∀<<，[]0,1t δ∃∈使()f t δδ=现在任取()0,0min 1,ηδη>∃<<，使()()00,,N p N p δη⊂. 由上面的结论，存在01t δ<<，使()1f t δδ=<.故0t p δ满足（1）00t p p δ≠；（2）0001t p t p t p t δδδδ==≤<.故02t p E δ∈ （3）()00,t p p δρδη=<，故()0,t p N p δη∈所以(){}020,t p N p E p δη∈-由习题1的结论知'02p E ∈，所以(){}'222,;1E x y xy =+≤.而(){}''222222,;1E E E E x y xy ===+≤ .4.2n R R =是普通的xy 平面，3E 是函数1sin 00x y xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩的图形上的点所作成的集合，求'3E .解：设函数的图形是()(){}{}'131,;,,sin ;0x f x x R Ex x R x ⎧⎫⎛⎫∈=∈-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭(){}0,0 . 下证(){}'330,;11E E δδ=-≤≤()'0003,p x y E =∈⇔存在()(){}300,,n n n p x y E x y =∈-，()000,,n n n n n p x y p x x y y =→⇔→→，()0,0n p p ρ→设()'0003,p x y E =∈，则存在()(){}30,,n n x y E x y ∈-使00,nn xx y y →→若00x ≠，则0n x ≠（当n 充分大） 则0011sinsin n n y y x x =→= 所以()003,x y E ∈若00x ≠，则0n x →，01sinn ny y x =→，011y -≤≤ 所以()(){}00,0,;11x y δδ∈-≤≤ 故(){}'330,;11E E δδ⊂-≤≤反过来：()(){}0003,0,;11p x y E δδ∀=∈-≤≤ ， 若00x ≠，001siny x =， 故存在0n x x ≠，使0n x ≠，0n x x →从而011sinsin n x x → 即存在()001,sin,n n x x y x ⎛⎫→ ⎪⎝⎭故'03p E ∈.若()(){}000,0,;11p y δδ=∈-≤≤ 则从[]01,1y ∈-知存在0x 使00sin x y =， 令()010,1,2,2k x k k x π=≠=+ .则()0001sinsin 2sin kk x x y x π=+==， 所以()3011,sin ,,sin 0,k k k k x E x y x x ⎛⎫⎛⎫∈→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()00,0,k x y y →()()00,0,k x y y ≠故'03p E ∈ 故结论成立.5.证明当E 是nR 中的不可数无穷点集时，'E 不可能是有限集. 证明：记B 为E 的孤立点集，则'E B E -= 所以()'E E B B E B =-⊂ .若能证明B 是至多可数集，则若'E 是有限集或可列集知'E B E ⊃ 为至多可数集，这将与E 是n R 中的不可数无穷点集矛盾.故只用证E 的孤立点集B 是至多可数集p B ∀∈，0p δ∃>使(){},p N p E p δ=故(),np p N p R δ⊂ 是B 到n R 中的一个互不相交的开球邻域组成的集的11-对应.而任一互不相交开球邻域作成的集合{},A αα∈Λ是可数的，因为任取α∈Λ，取有理点p A α∈，则从,A A αβαβ=∅≠ 则{},A αα∈Λ与Q 11-对应故{},A αα∈Λ是至多可数集. 证毕P351.证明点集F 为闭集的充要条件是F F =.证明：因为'F F F = ，若F 为闭集，则'F F ⊂所以'F F F F F F F =⊂=⊂ 故F F =反过来，若'F F F F =⊂ ，则必有'F F ⊂从而F 为闭集.2.设()f x 是(),-∞∞上的实值连续函数，证明对于任意常数a ，(){};x f x a >都是开集，(){};x f x a ≥都是闭集.证明：任取常数a ，若 (){}0;x x f x a ∈>，则()0f x a >，由于()f x 连续，0,0a x δ∃>， 使()(){}00,,;a x x N x x f x a δ∈⊂≥. 这表明(){};x f x a >是开集.任取常数a ，若{}(){};n x x f x a ∈≥，且0n x x →，则从()n f x a ≥和()f x 连续知()()0lim n n f x f x a →∞=≥故(){}0;x x f x a ∈≥这表明(){}(){}';;x f x a x f x a ≥⊂≥. 故(){};x f x a ≥是闭集.3.证明任何邻域(),N p δ都是开集，而且()(){}'',;,N p p p p δρδ=<（N 通常称为一闭邻域）证明：()0,p N p δ∀∈，则()00,p p ηρδ≤<()0,Q N p δη∀∈-，()()()00,,,Q p Q p p p ρρρηδηδ≤+<+-=故()()0,,N p N p δηδ-⊂. 故(),N p δ是开集得证.(){}(){}'''';,,;,n p p p p p p p p ρδρδ∀∈≤∈≤且 n p p → 则()(),0,,n n p p p p ρρδ→≤ () ()() (),,,,n n n p p p p p p p p ρρρρδ≤+≤+.令n →∞得(),0p p ρδ≤+. 故(){}(){}''''';,;,p p p p p p ρδρδ≤⊂≤.表明(){}'';,p p p ρδ≤是闭集.又(){}'';,p p p p ρδ∀∈≤ 令11k p x p k k ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 则() ()111,1,1,1k p x p p p p p k k k k ρρρδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-≤-< ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()()1,,0k x p p p kρρ=→ 故() ,,k k x N p x p δ∈→这表明(){}()()''';,,,p p p N p N p ρδδδ≤⊂⊂而()(){}'',;,N p p p p δρδ⊂≤故()(){}(){}()'''',;,;,,N p p p p p p p N p δρδρδδ⊂≤=≤⊂这表明()(){}'',;,N p p p p δρδ=≤.4.设∆是一有限闭区间，()1,2,3,n F n = 都是∆的闭子集，证明如果1n n F ∞==∅ ，则必有正整数N ，使1Nn n F ==∅ .证明：令1nn i i S F == ，则显知11n n n n F S ∞∞=== ，且12n S S S ⊃⊃⊃⊃(),1i n F i n ∀≤≤为闭集，故n S 也为闭集.下证 N ∃，使1Nn N n F S ===∅ .反证，设,n n S ∀≠∅，则n n x S ∃∈⊂∆， 由于∆是有限闭区间，{}n x 是有界点列，若{},1,2,3,n x n = 为无限集合，则由聚点原理{}n x ∃的子列{}00,,k k n n x x x x →∈∆ 由于12n S S S ⊃⊃⊃⊃故任取,m N k ∈充分大时k k n n m x S S ∈⊂，又m S 为闭集，且0k n m x x S →∈ 由m 的任意性知，011m n m m x S F ∞∞==∈==∅ 得矛盾.若{},1,2,3,n x n = 为有限集合，则0n ∃，当()00max ,n n m ≥时，0n n m x x S S =∈⊂，故 011m n m m x S F ∞∞==∈==∅ 得矛盾.所以∃N ，使得1NN n n S F ===∅ .证毕.5.设,nE R μ⊂是一族完全覆盖E 的开邻域，则有μ中的(或有限)多个邻域12,,,m N N N ，它们也完全覆盖了E （ Lindelof 定理）证明：设{};,I αμα=∈ΛΛ为某指标集，则E I αα∈Λ⊂ .,x E ∀∈∃x α∈Λ，使得x x I α∈.由于I Λ是开集，0x δ∃>使(),x N x I δΛ⊂.由有理点在nR 的稠密性易知，存在有理点n x a Q ∈和有理数0x r >，使()(),,x x x x N a r N x I δΛ∈⊂⊂，而n R 中全体以有理点为心，有理数为半径的球作成集合与nQ Q ⨯的一个子集对等，故这些(){},;x x N a r x E ∈至多是一个可数集，从而相应的{};xIx E α∈也是至多可数集.而这些{};x I x E α∈显然为E 的一个开覆盖，因为(),x x x x Ex EE N a r I α∈∈⊂⊂因为每一个上述(),x x N a r 包含在某个I α中，故存在至多可数个i I M ∈，使{};i I i ∈Λ成为E 的一个开覆盖.6.证明nR 中任何开集G 可表成()1n ii G I ∞== 的形式，其中()()()(){}12;,,,,,1,2,3,,niii n j j j I p p x x x c x d j n ==<<=证明：（注意这里并为要求()n iI 互不相交）设G 为nR 中的任意开集，则0x G ∀∈，由开集的定义，∃一个球形邻域()()00,0x x N x G δδ⊂>，令()001200,,,;x n j x j I x x x x x x δδδ⎧⎫==<<+⎨⎩则显然()0000,x x x I N x G δ∈⊂⊂，且x x GG I G ∈⊂⊂ .故x x GG I ∈= ，x I 显然是开区间，也是开集，{},x I x G μ=∈为G 的一个开覆盖.由本节习题5，μ中的至多可数个123,,,,,n I I I I 完全覆盖了G 所以1i i G I G ∞=⊂⊂ .所以1i i G I ∞== ，i I 都是开区间.故本题结论得证.7.试根据Borel 有限覆盖定理证明Bolzano-Weierstrass 定理.证明：反证，设E 为有限无穷点集而无聚点，则'E =∅，从而'E E =∅⊂， 故E 为有界闭集，且任意p E ∈，都是E 的孤立点.故0p δ∃>使(){},p N p E p δ= ，所以(),p p EE N p δ∈⊂ .(){},pN p δ形成E 的一个开覆盖，由于E 为有界闭集，由Borel 有界覆盖定理，∃有限个()()11,,,,,m p m p N p N p δδ ，使()1,imi p i E N p δ=⊂()(){}111,,i i mmmi p i p i i i i E E N p E N p p δδ====== .前已知(){},i i p i N p E p δ= .故{}1mi i E p == 为一有限集合，这与E 为有界无穷集矛盾.8. 证明nR 中任意非空开集的基数都是c .证明：∀开集n U R ⊂，显从nU R ⊂知n U R c ≤=.又存在一个点()00,0,,p U N x U δδ∈∃>⊂，()0,N x c δ=， 故()0,U N x c δ≥≥. 所以Berrstein 定理知U c =. 证毕9. 证明对任意nE R ⊂，E 都是nR 中包含E 的最小闭集.证明：任取n E R ⊂，设F 是包含E 的人一闭集，则E F ⊂，''E F ⇒⊂所以''E E EF F F =⊂= ，因为F 为闭集 所以''E F F ⊂=，所以E 是nR 中包含E 的最小闭集.10. 对于1R 定义的实函数()f x ，令()()()''''00,lim sup lim inf x x x x W f x f x f x δδδδ++→→-<-<=-. 证明：对任意的(){}0,;,x W f x εε>≥都是闭集.进而证明()f x 的全体不连续点作成一F δ集.证明：首先 ，当δ单调下降趋于0时，()''sup x x f x δ-<也单调下降趋于某极限（有限或无限）而()''inf x x f x δ-<单调上升地趋于某极限.故()()()''''00,lim sup lim inf x x x x W f x f x f x δδδδ++→→-<-<=-是有确切定义的（可为无限值） 先证明：()f x 在0x x =连续()0,0W f x ⇔=.证：先设()0,0W f x =，则()00,0εδε∀>∃>使00δδ<<时()()''''sup inf x x x x f x f x δδε-<-<-< 所以y ∀满足0y x δ-<时()()()()''''0sup inf x x x x f y f x f x f x δδε-<-<-≤-< 故f 在0x 处连续.反过来，若()f x 在0x x =处连续，则()0000,,0x εδδε∀>∃=>，当00y x δδ-<<时，()()0f y f x εε-<-<又()000,x δδδε∀<=，''''''00,,,y y y x y x δδδδδδ∃-<-<且()()()()'''''''sup ,inf x x x x f x f y f y f x δδδδεε-<-<-≤≤+ 所以()()()()'''00sup x x f x f x f y f x δδεε-<--≤-<()()()()''''00inf x x f x f x f x f y δδεε-<--+≤-< 不等式相加得()()()()''''''''00sup inf 220lim sup lim inf 4x x x x x x x x f x f x f x f x δδδδδδεεε++-<-<→→-<-<--≤≤-≤即()00,4,0W f x εε≤≤<任意. 所以()0,0W f x =为证(){}0;,x W f x ε≥为闭集，只用证(){}0;,x W f x ε<为开集.(){}00;,x x W f x ε∀∈<必有()0,W f x ε<所以存在()00,0x δδε=>使()00,δδ∀∈时，()()()()000sup inf ,2N x N x f f W N x δδδεδ-<()02y N x δ∀∈，由三角不等式，则()()02N y N x δδ⊂.故()()()02,,W f N y W f N x δδε⎛⎫≤< ⎪⎝⎭所以()()02,lim ,W f y W f N y δδε+→⎛⎫=< ⎪⎝⎭这说明()(){}02;,N x x W f x δε⊂<故(){};,x W f x ε<是开集，从而(){};,x W f x ε≥是闭集. 由于()f x 在x 不连续的充要条件是(),0W f x ≥.所以使x 不连续的点集为表为()11;,k F x W f x k ∞=⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭. 由于()1,;,k x W f x k ⎧⎫∀≥⎨⎬⎩⎭是闭集，故F 为一F δ集. 同时我们看出，全体使f 连续的点集是()11;,ck F x W f x k ∞=⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭这是一个G δ集合.推广：（1）对1:n f R R →有一样的结论，只不过在定义(),W f x 时，'x x-理解为nR 中的距离()';x x ρ，其它完全一样，因为三角不等式对().,.ρ成立，（2）若f 是nR 中的开集，G 到1R 的函数，则同样可定义()(),W f x x G ∀∈，因为当(){}0,;,,x x G W f x εε∀>∈<为开集，(){};,x G W f x ε∈≥为闭集.f 的不连续点集为()11;,k x G W f x k ∞=⎧⎫∈≥⎨⎬⎩⎭而f 的不连续点集为()11;,k x W f x k ∞=⎧⎫<⎨⎬⎩⎭. 11. 于nE R ⊂及实数α，定义()(){}1212,,;,,,nnE x x x x x x E αααα=∈ .证明当E 为开集，00,p E αα≠∀∈，则∃0E X ∈，使00p α=XE 开集，0E X ∈，故0δ∃>，使()0,N E δX ⊂.则∀()0,y N αδ∈X ，则yy αα=而0001yy y αδααδαααααX -X --=-X <=.故()0,yN E δα∈X ⊂从而yy E ααα=∈这表明()0,N E αδαX ∈，故E α为开集. 若E 为闭集，0α=，则(){}0,0,0E α=为单点集.当然是闭集，若0α≠，则0,n n p E p p α∈→，则0,,,nn n n n n p p E p p αα=X X ∈=X →表明 0nn p p αα=X →，而E 为闭集，0n p αX →，故np E α∈，从而0p p E ααα=∈.这说明()'E E αα⊂.从而得知E α为闭集.12. 设()f p 是定义于nR 上的实函数，证明()f p 在nR 上连续的充要条件是对于1R 中任何开集G .()(){}1;f G p f p G -∈ 都是 1R 中的开集.证明：设1:n f R R →连续，G 为任一1R 中开集.()10p f G -∀∈，则()0f p G ∈，由G 为开集知，0δ∃>，使()()0,N f p G ε⊂对上述()00,,0p εδδε>∃=>，使当()0,y N p δ∈时()()0f y f p ε-<故()()()0,f y N f p G ε∈⊂ 即()1y fG -∈.这说明()()10,N p f G δ-⊂故()1fG -为开集.现设对1R 中任意开集，()1,G fG -为开集，0,ε∀>()()0,N f p ε是1R 中的开集.故()()()10,f N f p ε-是开集，而()()()100,p f N f p ε-∈.故()()()()00,,f N p N f p δε⊂所以()()()()00,,,y N p f y N f p δε∀∈∈.()()0f y f p ε-<这说明f 在0p 连续 证毕13.nR 上的实函数()f P 称为是下半连续的，若对任意nP R ∈，都有()()()()()0,lim inf lim inf Q PP Q f P f Q f Q δρδ→→<≤ ，证明()f P 下半连续等价于对任意的实数(){},;P f P αα≤都是n R 中的闭集，也等价于(){};P f P α≤是n R 中的开集.现若f 下半连续，1R α∀∈，若(){}0;P P f P α∈>.则()()()()000lim inf N P f P f Q δδα→<≤∀()00022f P αεε-<<，()0,0p δδε∃=>使()()()00inf N P f P f Q δαε<-< 所以()0,y N P δ∀∈，有()()()()00inf N P f P f Q f y δαε<-<≤. 所以()(){}0,;N P P f P δα⊂>.故(){};P f P α>为开集.（从而(){};P f P α>为闭集）f 在n R 上下半连续，0,0nP R ε⇔∀∈∀>，()0,0p δδε∃=>.当()0,P N P δ∈时，()()0f P f P ε-<-. 反过来，若(){}1,;R x f x αα∀∈>为开集.则()(){}000,0,;n P R P x f x f P εε∀∈∀>∈>-由于()(){}0;P f P f P ε>-是开集.所以()0,0P δε∃>使()()(){}00,;P N P P f P f P δε∈⊂>-()0,Q N P δ∀∈有()()0f P f P ε>-，即f 在nR 上下连续，故一个等价性得证. 而f 在nR 上下连续(){}1,;R P f P αα⇔∀∈≤是闭集(){};P f P α⇔>是开集.下证(){}1,;R P f P αα∀∈≤()(){},;,nP y P R f P y ⇔∈≤为闭集.先设(){};P f P α≤为闭集，α任意. 所以()()(){},,;;nn n nnP y P y P R f P y ∀∈∈≤，00,n nP P yy →→.所以0,,N ε∀>∃当n N ≥时0n y y ε≤+. 故(){}0;n P P f P y ε∈≤+，这是闭集. 而(){}00;n P P P f P y ε→⇔≤+ 所以()00f P y ε≤+，()0ε∀>故()00f P y ≤. 这表明()()(){}00,,;;nP y P y P R f P y ∈∈≤是闭集.若()(){},;;nP y P R f P y ∈≤是闭集，而(){}0;,nnP P f P P P α∈≤→则()()(){},,;;nn P P y P R f P y α→∈≤，()()0,,n P P αα→.因为()(){},;;nP y P R f P y ∈≤为闭集，故()()(){}0,,;;nP P y P R f P y α∈∈≤所以()0f P α≤.这说明(){}0;P P f P α∈≤ 故(){};P f P α≤为闭集. 得证.14. 设,A B 是nR 中的有界闭集，01λ<<，证明()(){}121;,,,n A B x x x x λλ+- 有()()1212,,,,,,,n n y y y A z z z B ∈∈ ，使()1,1,2,i i i x y z iλλ=+-= 为有界闭集.举例说明当,A B 无界时，()1A B λλ+-可以不是闭集. 证明：,A B 有界，故存在 M 使,x A B x M ∀∈=特别地 i x M ≤.()1x A B λλ∀∈+-，有()1x A B λλ∀∈+-使 ()1i i i x y z λλ=+-，故()1x y z λλ=+-.故()()()111x y z y z M M M λλλλλλ∈+-≤+-≤+-=. 所以01λ≤≤时，()1A B λλ+-也有界.为证()1A B λλ+-为闭集，设()1n x A B λλ∈+-，0n x x →， 则,n n y A z B ∃∈∈使()1n n n x y z λλ=+-.由,A B 有界，()1n x A B λλ∈+-，,n n y A z B ∈∈，由聚点原理，n y ∃的子列k n y 使0k n y y →，{}k n z 有子列{}k ln z 使0k ln z z →，{}k l n x 有子列{}k li n x使()0k lin x x i →→∞从()1k k k lililin n n x y z λλ=+-所以()0001x y z λλ=+-，而,A B 为闭集，故00,y A z B ∈∈.从而有()01x A B λλ=+- 这说明()1A B λλ+-是闭集.若,A B 不全是有界闭集时，()1A B λλ+-可不为闭集，在2R 上考虑()()(){}11,;,0,,,0;1,2,A x y y R x y x B n n ⎧⎫=∈∈∞=⎨⎬⎩⎭=-= B 是全由孤立点组成的集合，显然为闭集，但无界.任取(),n n x y A ∈，若()()100,,n n x y x y R →∈，则00,x y 为有限数，故从01n ny y x =→知00x ≠ 所以00010,x y x >=这说明()00,x y A ∈，故A 为闭集合，显然0x +→时，1y x=→∞，故A 无界. 但1122A B +都不是闭集. 取()1,0,,n B n A n ⎛⎫-∈∈ ⎪⎝⎭则()111111,0,0,22222n p n n A B n n ⎛⎫⎛⎫=-+=∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 显然()0,0n p →，但()110,022A B ∉+. 因为若()110,022A B ∈+，则()0001,0,,n B x A x ⎛⎫∃-∈∈ ⎪⎝⎭使()()0001110,0,,022x n x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭故00011,0x n x =≥=得矛盾 所以1122A B +不是闭集. P402. 证明区间[]0,1上的全体连续函数所作成的集合的基数是c ，同样[]0,1上的左连续的单调函数的全体所作成的集合的基数是c .证明：记[],a b 上的常数函数的集合为[],C a b ，因为[],a b 上的常数函数都是[],a b 上的连续函数，所以1R 与[],C a b 中的一个子集对等.所以[]10,1C R c ≥=，其次对每个[],C a b ϕ∈，我们取一个平面有理点集合2Q Q Q ⨯=中的一个子集对应，即作映射f 如下：()()[](){},;,,f s t Q Q s a b t s ϕϕ=∈⨯∈≤易知f 是从[],C a b 到2Q 的一个单设 若()()ff ϕψ=，则必有ϕψ=.事实上从()[](){}()[](){},;,,,;,,s t Q Q s a b t s s t Q Q s a b t s ϕψ∈⨯∈≤=∈⨯∈≤若ϕψ≠，则存在[]()()000,,x a b x x ϕψ∈≠. 不妨设()()00x x ϕψ<.则由,ϕψ连续和有理数的稠密性知，0δ∃>使()00,x x x δδ∀∈-+有()()x x ϕψ<. 特别，()00,r x x Q δδ∀∈-+ 有()()r r ϕψ<.取定一个()000,r x x Q δδ∈-+ ，任取一个t Q ∈，且()()00r t r ϕψ<< 则()()0,r t f ψ∈()()()200,r t Q t r ψ⇔∈≤且 但()()0,r t fϕ∉，这与()()f f ϕψ=矛盾.故ϕψ=于[],a b故[]2:,2Qf C a b 是单射而22,22Q N Q N .由习题第一章第二节有2Nc =知[]2,2Q C a b c ≤=，故由Berstein 定理知[],C a b c =.下证：[],a b 上全体单调函数所作成的集合的势是c .证明：[],a b ∀上的一个单调函数f 其间断点至多为可数个，记为()i a （i a 可为0）故可令()()i f a ϕ=从而建立了[],a b 上单调函数到全体实数序列的一个对应. 设[],a b 中全体有理数的集合为{}123,,,,n r r r r[],a b ∀上的单调函数，设其至多可列个间断点为{}()1,2,,n x n = f 或n=1,2,n对于这样一个()f x ，当=∞f n 时，令()()()()()()()()()111222,,,,,,,,,,n n n f f a f b x f x f r x f x f r x f x f r当<∞f n 时，令()()()()()()()()()111222,,,,,,,,,,f f fn n n f f a f b x f x f r x f x f r x f x f r若,f g 为[],a b 上两单调函数对应之f g =则f 与g 的间断点重合，在间断点的值也重合，在,a b 处的值也重合 下证[]()(),,x a b f x g x ∀∈=，从而上述对应是单射.由于()()()()()(),,n n f a g a f b g b f r g r ===且两函数的间断点重合，且在间断点的值相等，故两函数的连续点也重合，又注意两函数在有理点的值也重合， 故,f g ∀的共同连续点[]0,x a b ∈，必有[],a b 中的有理数0n r x → 故()()()()00lim lim n n n n f x f x g x g x →∞→∞===这说明f g =于[],a b .由此[],a b 上全体单调函数的集合的势≤（全体实数列的集合的势）c =另一方面，1c R ∀∈，另()f x c ≡于[],a b ，则f 是单调的，故[],a b 上全体单调函数的集合的势1R c ≥=由Berstein 定理知，可知[],a b 上全体单调函数的集合的势为c .当然[],a b 上全体左连续的单调函数的集合的势不大于[],a b 上全体单调函数所作成的集合的势.另一方面，1c R ∀∈，令()f x c ≡于[],a b 知，f 是连续的单调函数，故[],a b 上左连续的单调函数的集合的势不小于1R c =.从而由Berstein 定理知[],a b 上左连续的单调函数的集合的势为c .P42P25第四节习题1. 证明全体有理数所构成的集合不是G δ集，即不能表成可数多个开集的交. 证明：设1R 上全体有理数为{}123,,,,n r r r r Q =. 则一个{}n r 作为单点集是闭集，所以{}1i i Q r ∞== 是F δ集，但要证Q 不是G δ集，则不容易.这里用到：Baire 定理，设nE R ⊂是F δ集，即1k k E F ∞== .k F ()1,2,k = 是闭集，若每个k F 皆无内点，则E 也无内点（最后再证之）反证设{};1,2,i Q r i == 为G δ集，即1i i Q G ∞== ，（i G 为开集，1,2,i = ）1R 上的单调函数的全体所组成的集合的势为c =ℵ.证明：任取1R 上的单调函数f ，则其间断点至多可数个，设其无理数的间断点，为12,,,,m x x x （可为有限）设1R 中的有理数为{}12,,,,,n Q r r r f =∀∈令 ()()()()()()()()(){}21111,,,,,,,,i i i i f x f x r f r x f x r f r R ϕ=⊂ .则()f ϕ为2R 中可数集.若,f g ∈ ，使()()f g ϕϕ=，则()()(),i i x f x f ϕ∀∈存在 ()()(),j j x g x g ϕ∈使()()()(),,i i j jx f x x g x =所以 () (),ijijx xf xg x ==， 从而()(),i i i x Q f r g r ∀∈=.f ∀的无理数间断点i x ，i x 也是g 的无理数间断点，且()()i i g x f x =.反过来也是的，g ∀的无理间断点，i x 也是f ，的无理数间断点，且()()i i g x f x =. 故()()f g ϕϕ=表明f 与g 在有理点重合，无理间断点相同，且在无理间断点的值. 所以f g =于1R ，所以ϕ是11-的.利用下面结论：Claim ：任何其有连续势的集合的全体可数子集所构成的族的势为连续势. 知：c ≤ .另一方面()(){},0,1c c f x x c c ==+∈≤ 证毕.Lemma :设为,X Y 两集合，:X Y ϕ→是一个满射，则Y X ≤.即存在X 的一个子集,A A Y .证明：因为ϕ为满射，()(){}1,;,y Y y x x X x y ϕϕ-∀∈=∈=≠∅且,,y z Y y z ∈≠时必有()()11y z ϕϕ--=∅ .令(){}1;y y Y ϕ-Γ=∈，则由选择公理存在一个集合X ，它由Γ中每一个集合()1y ϕ-中恰取一个元素而形成，显 ,X X a X ⊂∀∈，存在唯一一个y Y ∈，使()1a y ϕ-∈.所以X 与Y 是对等的，故Y X ≤. 证毕.选择公理：若Γ是由互不相交的一些非空集合所形成的集合族，则存在集合X ，它由该族的每一个集合中恰取一个元素而形成.2. 证明[]0,1上全体无理数所作成的集合不是F δ集.证明：设[]0,1上全体无理数所作成的集合是 ，则[]0,1Q =- ，（Q 为1R 上全体有理数的集合）若 为F δ集，则存在闭集,1,2,i F i = 使1i i F ∞== .所以[]10,1cc i i Q F ∞===为G δ集.[][]{}{}110,10,1i k i k Q F r ∞∞==⎛⎫== ⎪⎝⎭，{}k r ，i F 为闭集，{}k r 无内点. 1i i F ∞== 显为内点.所以i F 无内点.这说明[]0,1无内点（Baire 定理）得矛盾. 证毕.3. 证明不可能有在[]0,1上定义的在有理点处都连续，在无理点处都不连续的实函数. 证明：若存在这样的[]0,1上的实函数，它在有理点都连续，在无理点都不连续.()f x 的全体不连续点的集合为[]0,1上的全体无理数为 ，由本章第二节习题10结论知为F δ集，这于本节习题2的结论： 不是F δ集矛盾.故不存在这样的[]0,1上的函数.4. 证明1R 中全体开集构成一基数为c 的集合，从而1R 中全体闭集也构成一基数为c 的集合.证明：对任意的1R 上开集合，由开集的构造定理，存在{}{}1,,,i i R αβαβ∞∞∈∞-∞使得()()()1,,,i i i G αββα∞∞∞==-∞+∞ .下面建立1R 上的开集到全体实数列集成的集合的一个映射I . 若1G R =，令()()0,0,,0,I G = .若1G R ≠，则()()()1,,,mi i i G αββα∞∞==-∞+∞ .令()()1122,,,,,,I G k k αβαβ∞∞= .这里k β∞∞=，若,0k β∞∞≠-∞=；若,k βα∞∞∞=-∞=；若,0k α∞∞≠+∞=；若α∞=+∞则这个映射I 是单射. 若112,G G R⊂()1212,GR G R ≠≠且()()12I G I G =.()()()()()()11''''21,,,,,,i i i i i i G G αββααββα∞∞∞=∞∞∞==-∞+∞=-∞+∞则'''',,,i i i i ααββααββ∞∞∞∞====. 故12G G =.又若()()0,0,0,I G = 则必有1G R =（否则()I G 至少有一个分量不等于零）.故I 是单射，所以1R 上全体开集所作成的集合的势c ≤. 令一方面，()1,,1a R a a ∀∈+是一开集，令11:IR R 上全体开集之集合， 则1c R ≤≤“1R 上全体开集之集的势”c ≤， 由Berstrein 定理，1R 上全体开集之集合的势为c . 证：记可数集(){}()()()(){}111,;,,,,,,mnmB x r x Q r QB x r B x r υ=∈∈= .显()(){}12:0,1,,,;01mm u a a aa ϕ∞→== 或()()()12,,,,,m B x r VU B x r a a a ⊂=()()()()1,0,m m m m cm B x r U a B x r U ⎧⊂⎪=⎨≠∅⎪⎩()()()()(),,,,n U V B x r U x r Q Q B x r V ϕϕ+=⇒⊂∈⨯⇔⊂所以U V =. ϕ为单射.所以{}(){}()0,1,;0,c B x r r R c υ∞+=≥≥∈=∞=. 由Berstein 定理c υ={}{}n c n F F R F F R c υ=⊂=⊂== 为闭集为闭集.故I 是单射，所以1R 上全体开集所作成的集合的势c ≤. 另一方面，()1,,1a R a a ∀∈+是一开集令11:IR R 上全体开集的集合 则1c R ≤≤“1R 上全体开集的集合的势”c ≤， 由Berstein 定理，1R 上全体开集的集合的势为c .P441.证明定理2：设E 是一点集，0,d U >是所有到E 的距离小于d 的点p 作成的点集，即(){};,U p p E d ρ=<，则U 是一开集，且U E ⊃.证明：p E ∀∈，显然(),0p E d ρ=<，故p U ⊂，从而U E ⊃. 下证U 为开集.p U ∀⊂，令(),d p E δρ=-，则0δ>，且()()(){},,,inf,;N P q E q y y E εδρρ∀∈=∈.取y E δ∈，使得()(),,2p y p E δδρρ<+.则()()()()(),,,,,22q E q y q p p y p E δδδδρρρρρ≤≤+<++()()(),,,p E d p E p E d δρρρ=+=-+=.故q U ∈，从而(),N P U δ⊂. 这就证明了U 为开集.2. 证明任何闭集都可表成可数多个开集的交.证明：设F 为任一闭集.,n N ∀由本节第一题知()1;,n U p d p F n ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭为开集， 且(),1,2,n F U n ⊂= ，从而有1n n F U ∞=⊂ .下证1n n F U ∞=⊂ ，这只用证1n n U F ∞=⊂ ，1n n p U ∞=∀∈ .反证设p F ∉则cp F ∈，故从F 为闭集知cF 为开集.故0δ∃>使(),c N P F δ⊂.从而有(),,q F d p q δ∀∈≥（否则(),d p q δ≥(),c q N P F δ⇒∈⊂c q F F ⇒∈=∅ 矛盾）这说明()(),inf ,q Fd p F d p q δ∈=≥.另一方面，1n n p U ∞=∈ 表明,n n p U ∀∈，从而有()1,p F nρ=. 令n →∞知(),0p F ρ=. 这与(),0d p F δ≥>矛盾. 所以p F ∈，从而1n n p U ∞=∈ 得证.3.举例说明定理1中的，,A B 都无界时，结论不成立. 解：令(){}(){}1,;0,,,0;xA x y x y eB x x R -=≥==∈.则B 显然是闭集。
(完整版)《实变函数》第二章点集
第二章点集（总授课时数 8学时)教学目的：欧氏空间n R上的测度与积分是本课程的主要研究对象。
本节讨论欧氏空间上的若干拓扑概念。
通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集，闭集和Borel集，Cantor 集等常见的集,为后面的学习打下基础。
本章要点由n R上的距离给出邻域，内点，聚点的定义,从而给出开集，闭集的定义.由开集生成一个σ-代数引入Borel 集.Cantor 集是一个重要的集, 它有一些很特别的性质。
应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用.充分利用几何图形的直观，可以帮助理解本节的内容。
本章难点Borel集、Cantor 集的性质。
授课时数8学时————-—---———————-——-——-—-—————本章先介绍n R中的距离、极限、邻域、区间及其体积等基本概念，然后定义了内点、聚点、外点、边界点、开集、闭集等特殊点和集,并讨论了开集与闭集的性质及其构造。
最后介绍了聚点原理、有限覆盖定理.§1 度量空间，n维欧氏空间教学目的1、深刻理解n R中的距离、邻域、点列收敛等概念，弄清它们在刻划不同类型的点及点集中的作用。
2、理解距离的性质、点到集合的距离、两集合之间的距离、集合的直径等概念,理解有界集、无界集、区间及区间的体积等概念.3、了解邻域的四条性质.本节要点度量空间的概念。
本节难点度量空间的概念。
授课时数2学时——-———————————————-—————-——--—一、度量空间⨯→为一映射，且满足定义1：设X为一非空集合,d:X X R（1）(,)0d x y ≥,(,)0d x y x y =⇔= (正定性） （2）(,)(,)d x y d y x = （对称性)（3)(,)(,)(,)d x y d x z d z y ≤+ （三角不等式) 则称(,)X d 为度量空间。
例1：（1） 欧氏空间(,)nR d ,其中(,)d x y =（2） 离散空间(,)X d ，其中1(,)0x yd x y x y ≠⎧=⎨=⎩（3） [],a b C 空间（[],a b C 表示闭区间[],a b 上实值连续函数全体）， 其中(,)max |()()|a t bd x y x t y t ≤≤=-二、 邻域定义2： 称集合0{|(,)}P d P P δ<为0P 的δ邻域，并记为0(,)U P δ.0P 称为邻域的中心,δ称为邻域的半径。
实变函数复习手册
邢台学院数学系《实变函数》复习手册 前言本课程是数学专业的一门重要的基础课程，在数学教学中具有承上启下的作用。
通过本课程的学习，希望学生能够掌握集合之间的一些基本运算，点集的一些性质，测度、可测函数及L 积分的定义及性质；熟悉并会运用积分序列的极限定理。
为以后学习其它课程打下良好的基础。
第一章 集合本章讨论了集合的基本性质及运算，主要讨论了可数集及不可数集的性质及基数的定义。
为以后引入L 积分打下了基础。
§1 集合的概念理解集合的性质、集合与元素的关系、集合与集合的关系。
§2 集合的运算深刻理解并集或和集、交集或积集、差集、余集、集合列的上下极限的定义，并且会求。
§3 对等与基数1 掌握有限集、无限集、一一映照、对等的定义；会建立常见集合间的对等关系；了解对等的性质。
2 了解基数概念，会比较两个集的基数大小。
§4 可数集合与自然数集合N 对等的集合称为可数集合。
1 任何无限集包含一个可数子集。
2 若A 是一个可数集合，B 是一个有限集合，则A ∪B 是可数集合。
3 有限个或可数个可数集合的并集是可数集合。
4 有理数全体是一个可数集，代数数全体是一个可数集。
§5 不可数集合1 实数集全体R 不是可数集。
其基数记为c ，称与R 对等的集合具有连续基数。
2 任何区间具有连续基数，可数个c 集的并是c 集，实数列全体E ∞的基数是c 。
3 不存在基数最大的集合，也不存在最大基数。
练习题 一、选择题1、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体自然数B 、0，1之间的实数全体C 、[0，1]上的实数全体D 全体大个子 2、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体实数B 、全体整数C 、全体小个子D 、{x ：x>1} 3、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体实数B 、全体整数C 、{x ：x>1}D 、全体胖子 4、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体实数B 、全体整数C 、{x ：x>1}D 、全体瘦子 5、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体小孩子B 、全体整数C 、{x ：x>1}D 、全体实数 6、下列对象不能构成集合的是（）A 、全体实数B 、全体大人C 、{x ：x>1}D 、全体整数 7、设{}:1A x x ααα=-<≤，I 为全体实数，则IA αα∈= （）A 、()1,1-B 、(]1,0-C 、(),-∞+∞D 、()1,+∞8、设11:11i A x x i i ⎧⎫=-+≤≤-⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、()1,1-B 、(]1,0-C 、[]0,1D 、[]1,1-9、设1:01i A x x i ⎧⎫=≤<+⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、（0，1）B 、[]0,1C 、[)0,1D 、()0,+∞10、设11:12i A x x i i ⎧⎫=-<<+⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、[1，2]B 、（1，2）C 、（0，3）D 、(]1,211、设3:2i A x i x i ⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、()1,1-B 、[]0,1C 、∅D 、{0}12、设11:i A x x i i ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，i N ∈，则1i i A ∞= =（）A 、()1,1-B 、[]0,1C 、∅D 、{0}13、设2110,221n A n -⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦，210,12n A n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，n N ∈，则lim n n A →∞=（） A 、[0，2] B 、[)0,2 C 、[0，1] D 、[)0,114、设2110,221n A n -⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦，210,12n A n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，n N ∈，则lim n n A →∞=（） A 、[0，2] B 、[)0,2 C 、[0，1] D 、[)0,1 15、设(0,)n A n =，n N ∈，则lim n n A →∞=（）A 、∅B 、[]0,nC 、RD 、()0,+∞ 16、设1(0,)n A n=，n N ∈，则lim n n A →∞=（）A 、（0，1）B 、10,n ⎛⎫⎪⎝⎭C 、{0}D 、∅ 17、设2110,n A n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()20,n A n =，n N ∈，则lim n n A →∞=（） A 、∅ B 、10,n ⎛⎫⎪⎝⎭C 、()0,nD 、()0,+∞ 18、设2110,n A n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()20,n A n =，n N ∈，则lim n n A →∞=（） A 、∅ B 、10,n ⎛⎫⎪⎝⎭C 、()0,nD 、()0,+∞ 19、设A 、B 、C 是三个集合，则A-(A-B)=（） A 、B B 、A C 、A ∩B D 、A ∪B20、设A 、B 、C 是三个集合，则A-(B ∪C)=（）A 、(A-B)∩(A-C)B 、(A-B)∪(A-C)C 、A ∩BD 、A ∩C 21、设A 、B 、C 是三个集合，则A-(B ∩C)=（）A 、(A-B)∩(A-C)B 、(A-B)∪(A-C)C 、A ∩BD 、A ∩C22、设A 、B 、S 是三个集合，且,A S B S ⊂⊂，则()s C A B -=（） A 、s s C A C B ⋃ B 、s s C A C B ⋂ C 、s C A B ⋃ D 、s C A B ⋂ 23、设A 、B 、S 是三个集合，()s C A B ⋃=（）A 、s s C A CB ⋃ B 、s sC A C B ⋂ C 、s C A B ⋃D 、s A C B ⋃ 24、设A 、B 、C 是三个集合，则A-(B-C)=()A 、A ∪C-B B 、A-B-C C 、(A-B)∪(A ∩C)D 、C-(B-A) 二、填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A n =，则B =（）2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集，则B =（）3、若A c =，B c =，则A B ⋃=（）4、若A c =，B 是一可数集，则A B ⋃=（）5、若A c =，B n =，则A B ⋃=（）6、若{}n A 是一集合列，且n A c =，则1nn A∞= =（）7、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，则IA αα∈ =（） 8、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，则IA αα∈ =（） 9、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，S 是一集合，则()s IC A αα∈ =（） 10、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，S 是一集合，则()s IC A αα∈ =（） 11、若{}n A 是任意一个集合列，lim n n A →∞=（）12、若{}n A 是任意一个集合列，lim n n A →∞=（）三、判断题1、{0,1}={1,0}。
实变函数第二章点集
Rn 中的区间
定义 1.1 • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai ⩽ xi ⩽ bi , i = 1, 2, · · · , n} 称为 Rn 中的闭区间. • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai < xi < bi , i = 1, 2, · · · , n} 称为 Rn 中的开区间. • 类似地，可以定义左开右闭（左闭右开）区间. • 上述的各种区间统称为区间，记为 I.
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度量空间
• 设 X 是一个非空集合，如果 d : X × X → R 满足下列条件：∀x , y , z ∈ X ，
(1) d(x , y ) ⩾ 0，且 d(x , y ) = 0 ⇐⇒ x = y ； (2) d(x , y ) = d(y , x )； (3) d(x , y ) ⩽ d(x , z) + d(z, y )， 则称 d(x , y ) 是 x , y 之间的距离，(X , d) 称为度量空间或距离空间，X 中 的元素称为点.
第二章 Rn 中的点集理论
作者： 学院：
2020 年 11 月 3 日
1. 基本概念 2. 开集，闭集，完备集 3. 直线上的开集、闭集和完备集的构造 4. Cantor 三分集
1/33
§2.1 基本概念
2/33
度量空间
• 设 X 是一个非空集合，如果 d : X × X → R 满足下列条件：∀x , y , z ∈ X ，
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Rn 中的区间
定义 1.1 • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai ⩽ xi ⩽ bi , i = 1, 2, · · · , n} 称为 Rn 中的闭区间. • 形如 {(x1, x2, · · · , xn) | ai < xi < bi , i = 1, 2, · · · , n} 称为 Rn 中的开区间. • 类似地，可以定义左开右闭（左闭右开）区间. • 上述的各种区间统称为区间，记为 I. ∏n • bi − ai (i = 1, 2, · · · , n) 称为 I 的第 i 个边长， (bi − ai ) 称为 I 的体积，
(0195)《实变函数》复习大纲、样题及
（0195）《实变函数》复习大纲第一章集合论一、基本内容：集合、集合的运算、对等、基数、可数集、不可数集二、基本结论1、集合的运算规律2、可数集的性质（1）任何无限集必含有可数子集（2）可数集的子集至多是可数的。
即或为有限集或为可数集。
（3）可数个可数集的并集是可数集。
（4）若A中每个元素由n个互相独立的记号所决定,各记号跑遍一个可数集A={}nxxxa,,,21Λ,()()()nkxxxkkk.,2,1;,,21ΛΛ==则A为可数集。
3、常见的可数集：有理数及其无限子集。
三、基本要求：1、理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。
2、掌握集之间的并、交、差、余运算。
3、掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。
4、理解集列的收敛、单调集列的概念。
5、掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。
6、理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。
7、理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。
四、重点：正确应用集合的运算规律，证明有关集合的等式，用可数集合的性质证明某个集合是可数集合。
五、学习主要事项：集合的基数概念十分抽象，它是集合元素“个数”的推广，我们是用“对等”的方法加以定义的。
即对待的集合必有相同的基数，例如，所有可数集合有相同的基数，但是有理数集与无理数集的基数却不同，有理数集是可数集合，而无理数集是不可数集合。
我们还应该注意到，无穷集合是可以与其真子集对等的，这是无穷集合的本质特征。
第二章点集一、基本内容：度量空间、聚点、内点、界点、邻域、开集、闭集、闭包、完备集、有界集以及直线上开集和闭集的构造定理。
二、基本结论1、开集的运算性质：开集关于任意并及有限交运算是封闭的。
2、闭集的运算性质：闭集关于任意交及有限并运算是封闭的。
3、开集、闭集具有对偶性。
4、Cantor 集合的构造及性质：Cantor 集是不可数的完备的疏朗集，测度为零。
2.5实变函数与泛函 点集
第五节 Cantor集
Cantor集
对[0,1]区间三等分，去掉中间一个开区间， 然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间， 此过程一直进行下去，最后留下的点即为Cantor集
Cantor集
i G I ⑴定义：令 (n) n ,i
称P=[0,1]- G=[0,1]∩Gc 为Cantor集
1 1 , y A , 使得 d ( x , A ) d ( x , y ) d ( x , A ) n n n n
由于{ yn }为有界点列，故{ yn }的子列{ yni }，使 lim yni y
i
又Ａ为闭集，故y∈A,对
1 d ( x, A) d ( x, yni ) d ( x, A) n i
z∈ E
可得d(x,E)≤ d(x,y) +d(y,E)，
同理d(y,E)≤ d(x,y) +d(x,E),
故有|d(x,E)- d(y,E) |≤ d(x,y)
所以d(x,E)是Rn上关于x的一致连续函数。
定理2：设A为非空闭集 ， x∈Rn ， 则必有y∈A,使得d(x,y)=d(x,A)
证明：由 d ( x, A) inf{d ( x, y) : y A} 可得
xn x 由于A有界，故 {xn }的子列{xn }，使 lim i
i i
A A有界不可少， B
如A={n - 1/n},B={n+1/n}
又A为闭集，从而x∈A ，并可得{yni}有界
因为当ni充分大时，
d(x, yni) ≤ d(x, xni ) + d(xni, yni) ≤1 + ( d(A,B) + 1/ni ）
实变函数答案第三版第二章点集
第二章 点集1、证明：'0P E ∈的充要条件是在任意含有0P 的领域(),P δ⋃（不一定以0P 为中心）中，恒有异于0P 的点1P 属于E （事实上，这样的1P 还有无穷多个）；0oP E ∈ 的充要条件则是有含有0P 的领域(),P δ⋃（同样，不一定以0P 为中心）存在，使(),P E δ⋃⊂. ()()()'00100010101001001'0010000:min ,,,,..o P E d P P d P P P P E P E P E P E P E P E E δδδδδδδδ∈⋃=-⋃⊂⋃⋃∈⋃∈⋃∈⋃∈∈∈⋃∈⋃ 证明若，对任意含有P 的领域(P,)，取则(P ,)(P,),而(P ,)中含有异于的点，所以(P ,）中存在异于P 的点若任意一个含有P 的领域(P,)中有异于P 的点，则任一（P ）也有异于P 的点，故 若，则存在（P ），使（P ()()()0100010=min ,,,.o d P P d P P E P E δδδδδδ⋃∈⋃⊂=-⋃⊂⋃⊂∈ ）（P ，）即得证.若P (P,)E ，取，则有(P ,)(P,)，从而4、设3E 是函数1sin ,0,0,0x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩当 当的图形上的点所作成的集合，在2R 内讨论'333o E E 的E 与.(){}'33=0y 11.o E y E φ⋃-≤≤=解：E ，8.x -+a f ∞∞≥设（）是（，）上的实值连续函数，则对于任意常数,E={x|f(x)>a}是一开集，而E={x|f(x)a}总是一闭集。
(){}()()(){}(){}()(){}()()o ,?,0,,,, ,|()||()| |{|}|{|}.{, |}. ' ',o o o o o co x E x f x a f x a f x x x x f x a x E x f x a x E E x f x a H x f x a x f x a H x f x a x H H f x a H x δδδ∈=>>>-<>⋃∈=><=≥=<=≥∈=≥⊂' 任取则由在处连续及极限的保号性知，存在当时有即即为的内点，从而 证明为开：集；类似可证为开集从而是闭集又要证是闭集，只需证任取则存在()()(){}()(){|}{| ,, ,}n o n o o H x f x x f x a f x a x x f x a x f x a ≥≥∈≥≥中的点列使得由在处连续及，可知所以从而是闭集.9.证明：每个闭集必是可数个开集的交集；每个开集可以表示成可数个闭集的和集。
实变函数 (4)
第三节 开集,闭集,完备集
1. 开集、闭集 若Eº= E , 则称E为开集（E中每个点都为内点) 若 E E ,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外）
P0为 E的接触点： 0, 有O( p0 , ) E P0为 E的聚点： 0, 有O( p0 , ) (E { p0}) P0为 E的内点： 0, 使得O( p0 , ) E
则{Ui : i I}中存在可数个开集U1 ，U2， … ,Un ，… ，它同样覆盖F
提示：利用空间中以有理点为中心，正有理数为半径 的圆全体为可数集，开集中的点都为内点，以及有理 点全体在Rn中稠密
7 自密集和完备集的定义
自密集：设 E Rn ，如果 E E' ，则称E
为自密集，也即集合中每点都是这个集 合的聚点，或没有孤立点的集合为自密 集。
bx
从而[a,b]是闭集。
说明： 要证E是闭集，只要证
E ' E或Ec (E' )c 或E E或Ec (E)c (因为E E显然)
注：闭集为对极限运算封闭的点集
即：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点
若 E E （或 E' E）,则称E为闭集。 （与E接近的点不跑到E外）
从而{yni
}的子列{ yni j
}，使lim j
yni j
y
又B为闭集，故y∈B,
另外对
d
(
A,
B)
d
(
xni j
,
yni
j
)
d
(
A,
B)
1 ni j
两边关于j取极限得d(x,y)=d(A,B)
实变函数与泛函分析点集
知 ' 0, 有O(x', ') (E {x '})
(当
'
min{
d (x,
x '), d (x,
x ')}时,有x O(x', ')
O(
x,
）
)
E
从而.O(x, ) (E {x})
即x为E的聚点，从而 (E')' E'
O( x', ')
利用(E)' (E E')' E'(E')' E'E' E' E 可得E为闭集
则O( y, ') O( x, ) E
从而y为E的内点，从而.O(x, ) E
所以x为Eº的内点，即 x (E) O( y, ')
E
从而E (E)，即E为开集
注： Eº为含于E内的最大开集
O( x, )
TH2: E`为闭集
O( x, )
证明：只要证 (E')' E' 任取 x (E')' ，由聚点的定义知 E
2.）闭集的性质
若E为开集，则Ec为闭集; 若E为闭集，则Ec为开集
U I ( A )c Ac
I U ( A )c Ac
a.空集，Rn为闭集；
b.任意多个闭集之交仍为闭集；
c.有限个闭集之并仍为闭集。
注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En=[0,1-1/n]
5. R中有关紧性的两个结论
⑴Weierstrass定理： 若E是Rn中的一个有界的无限集，则E至少有一个聚点.
从而x是（a,b）的内点，
第02章 多维空间中的点集
第二章 多维空间中的点集第一节 n 维空间及点集一、n 维空间1、 n 维空间nR ——},,,|),,,{(2121R R ∈=n n n x x x x x x .并称),,,(21n x x x x =为nR 中的点，)0,,0,0( =o 称为原点.2、x 与y 的距离),(y x ρ——设),,,(21n x x x x =,n n y y y y R ∈=),,,(21 ,定义 ∑=-=ni i i y x y x 12)(),(ρ.3、距离的性质设),,,(21n x x x x =,),,,(21n y y y y =,n n z z z z R ∈=),,,(21 ,那么 (1) 0),(≥y x ρ, 且等号成立当且仅当y x =；(2) ),(),(x y y x ρρ=；(3) ),(),(),(y z z x y x ρρρ+≤.4、点0x 的δ的邻域——}),( | {),(00δρδ<=x x x x N .简记为)(0x N . 而}),(0 | {),(00δρδ<<=x x x x N称为点0x 的去心邻域.5、点集(1) 点集——由nR 中的点组成的集合.(2) 有界点集K ∈E ——0>∃K ..t s E x ∈∀,有K x i ≤||,)(n N i ∈.而所有有界点集组成的集族用K 表示.、点x 的模——∑===ni ixo x x 12),( ρ.二、n 维空间中的点设集合nE R ⊂,n a R ∈ 1、内点(1) a 为E 的内点——E a N ⊂∃)(. (2)E 的内点集——}|{的内点为E x x E = .2、边界点(1) a 为E 的边界点——)(a N ∀, φ≠E a N )(且φ≠c E a N )(.(2) E 的边界——}|{的边界点为E x x E =∂.3、聚点(1) a 为E 的聚点——)(a N ∀, E a N )(是无穷集. (2) E 的导集——}|{的聚点为E x x E ='. (3) E 的闭包——E E E '= . (4) 离散集合E ——φ='E .4、孤立点(1) a 为E 的孤立点——E a ∂∈,但E a '∉.(2) E 的孤立点集——}|{ˆ的孤立点为E x x E =.孤立集合E ——EE ˆ=. 显然, φ='E ⇒EE ˆ=, 反之不然.4、定理(1) E a '∈ ⇔ ∃互异点列E a k ⊂}{..t s 0),(→a a k ρ,∞→k .也写成a a k →,∞→k . (a 称为极限点)证明：“⇐”0>∀δ,由于0),(→a a k ρ,∞→k ,+∈∃N m ..t s m k >时 δρ<),(a a k ,即),(δa N a k ∈,m k >,因E a k ⊂}{且是互异点列,可见E a N ),(δ是无穷集, ∴E a '∈.“⇒”因E a N )1,(是无穷集,则E a ∈∃1..t s 1),(1<a a ρ.}1{-∈∀+N k ,因E ka N )1,(是无穷集, 可见φ≠--},,,{)1,(121k a a a E ka N从而E a k ∈∃..t s 01),(→<ka a k ρ,∞→k .显然E a k ⊂}{且是互异点列.(2) E a '∈⇔)(a N∀,φ≠E a N)(.证明：“⇒”因E a '∈,则)(a N ∀,E a N )(是无穷集, 从而}{)(a E a N - 也是无穷集, 于是φ≠E a N)(.“⇐”反证.假设E a '∉,则),(δa N ∃..t s E a N ),(δ是有限集,不妨设},,,{}{),(21m a a a a E a N =-δ,取0),(min 1>='≤≤a a k m k ρδ,显然φδ='E a N),(这与条件)(a N ∀,φ≠E a N)(不符. ∴E a '∈.(3) E a '∈⇔a N ∍∀邻域,φ≠)(a E N . 其中}{)(a E a E -=. 证明：“⇐”显然. “⇒” a N ∍∀邻域,N a N ⊂∃)(,E a '∈,有φ≠E a N )(,当然φ≠)()(a E a N,于是φ≠)(a E N.(4) B A ⊂ ⇒B A '⊂'.证明：A a '∈∀,由于)(a N ∀,A a N )(是无穷集,而B A ⊂,可见A a N B a N )()(⊃也是无穷集, 于是B a '∈∴B A '⊂'.(5) B A B A ''=' )(.证明：显然)(,'⊂''B A B A ⇒)('⊂''B A B A .反过来,)('∈∀B A c ,∃互异点列B A c k ⊂}{..t s 0),(→c c k ρ,∞→k .不妨设A c '∉∀,有A c k }{是有限集,B c k }{是无穷集, 即∃互异点列B c i k ⊂}{..t s 0),(→c c i k ρ,∞→i .这样,B A B c ''⊂'∈ ,说明B A B A ''⊂' )(. ∴B A B A ''=' )(.(6) Bolzano-Weierstrass 定理：无穷n E R ⊂∈K⇒ φ≠'E .证明：因n E R ⊂∈K ,则0>∃M ..t s )}(,|| |{0n N i M x x I E i ∈≤=⊂. 由于E 无穷,显然E I 0无穷,于是E I a 01∈∃;将1-k I 等分成n2个部分,其中存在一个部分E I k 无穷,且1)()}(,2|| |{-⊂∈≤-=∈∃k k k i i k k I n N i Mt x x I a 互异,+∈N k . 由闭矩形套定理知, n k kIa R ⊂∈∃∞= 0.显然022),(),(),(22→≤+=kk k k k nM a t t a a a ρρρ,∞→k ,即E a '∈, ∴φ≠'E .(7) EE ˆ=⇔E a ∈∀,0>∃δ..t s φδ=E a N),(. 证明：“⇒”EE a ˆ=∈∀,有E a '∉,那么0>∃δ..t s φδ=E a N),(.⇐”已知E a ∈∀,0>∃δ..t s φδ=E a N),(,有E a '∉,又显然φδ≠=}{),(a E a N ,φδδ≠=),(),(a N E a N c,从而EE ˆ⊂. 反过来,若E a ˆ∈∀,有,E a '∉,于是 0>∃δ..t s φδ=E a N),(, 而E a ∂∈,知φδ≠E a N ),(,可见φ≠E a }{,有E a ∈,从而E E⊂ˆ,∴E E ˆ=.(8) EE ˆ=⇔φ='E E . 证明：EE ˆ=⇔E a ∈∀,0>∃δ..t s φδ=E a N),( ⇔E a ∈∀,E a '∉⇔c E E )('⊂⇔φ='E E .第二节 开集、闭集与完备集一、开集与闭集1、开集O ∈E ——E E ⊂. 而所有开集组成的集族用O 表示.2、闭集C ∈E ——E E ⊂'. 而所有闭集组成的集族用C 表示. 显然,C ∈E ⇔E E =.3、性质(1) C ∈'E , C ∈E .证明：①)(''∈∀E a ,),(δa N∀,φδ≠'∈∃E a N b),(⇒E b '∈⇒取0)},(),,(min{>-=b a b a b ρδρδ,φδ≠E b N b),(,注意到),(b b N x δ∈∀,有δρδρρρ<+<+≤<),(),(),(),(0a b a b b x a x b ,可见),(δa N x∈,即),(),(δδa N b N b⊂.⇒φδ≠E a N),(⇒E a '∈⇒E E '⊂'')(⇒C ∈'E . ② E E E E E E E E E E E ='⊂'=''⊂'''=''=' )()()(C ∈E .(2) C ∈F ⇒ O ∈c F ； O ∈G ⇒ C ∈c G . 证明：① c F x ∈∀⇒F x ∉,由于F F ⊂'⇒F x '∉⇒)(x N ∃,φ=F x N )(⇒c F x N ⊂)(,而c F x ∈⇒c F x N ⊂)(⇒ )(c F x ∈⇒ )(c c F F ⊂⇒O ∈c F .② )('∈∀cG x ⇒)(x N ∀,φ≠cG x N)(⇒)(x N∀,G x N ⊂/)(⇒G x ∉,而 G G ⊂⇒G x ∉ ⇒c G x ∈⇒c c G G ⊂')(⇒C ∈c G .(3) C ∈i F ,I i ∈ ⇒ C∈∈ Ii i F .证明：iIi iF F F ⊂=∈ ⇒iF F '⊂',又已知iiF F ⊂' ⇒F F F F Ii iIi i=⊂'='∈∈ ⇒C ∈=∈F F Ii i.(4) O ∈i G ,I i ∈ ⇒O ∈∈ Ii i G .证明：已知O ∈iG ,则 O ∈=∈∈c Ii c iIi i G G )( .(5) C ∈i F ,)(m N i ∈ ⇒ C∈= mi i F 1.证明：已知C ∈i F ,则 mi imi imi iFF F 111)(===⊂'='⇒C ∈= mi i F 1.(6) O ∈i G ,)(m N i ∈ ⇒ O ∈= mi i G 1.证明：已知O ∈i G ,则O ∈===c mi c i m i iG G)(11.(7) Borel 有限覆盖定理：C K ∈F ,M 是一族开邻域, M 完全覆盖了F ,则在M 中必存在有限多个邻域}{i N ,)(m N i ∈也完全覆盖了F . 证明：反证.假设M 不存在有限多个邻域覆盖F .因n F R ⊂∈K ,则0>∃M ..t s )}(,|| |{0n N i M x x I E i ∈≤=⊂.显然F I 0不存在M 的有限覆盖; 将1-k I 等分成n2个部分,其中存在一个部分F I k 不存在M 的有限覆盖当然无穷,那么1)()}(,2|| |{-⊂∈≤-=∈∃k k k i i k k I n N i Mt x x I a 互异,+∈N k . 由闭矩形套定理知, n k kIa R ⊂∈∃∞= 0, 同样有F F a a k ⊂'∈→.这样M ∈∃a N 开邻域..t s a N a ∈,因 ∞=∈k kIa ,r I ∃..t s a r N I a ⊂∈当然有a r N F I ⊂ ,这与F I r 不存在M 的有限覆盖矛盾, 可见在M 中必存在有限多个邻域}{i N ,)(m N i ∈完全覆盖F .二、完备集1、自密集E ——E E '⊂.2、完备集E ——E E '=.3、无处稠密集E ——E 不包含任何邻域.4、Cantor 集合C(1) Cantor 集合C ——设]1,0[0=A ,将1-k A 中剩下的闭区间都均分成三段并将所有中间段的开区间之并记为k B ,令k k k B A A -=-1,+∈N k , 集合 ∞=-=1]1,0[k kBC 称为Cantor 集合.(2) C ∈C ,即C 是闭集. 证明：O ∈k B O ∈⇒∞= 1k kBC ∈⇒∞= 1)(k c k B⇒C ∈=-=∞=∞= 11)(]1,0[]1,0[k c k k k B B C .(3) C C '⊂,即C 是自密集.证明：C x ∈∀,x N ∍∀邻域,在剩下的m2个闭区间x Bmk k∍-= 1]1,0[中,当m 充分大时,必有其中的一个闭区间m I ,满足N I x m ⊂∈，注意到m I 的两个端点必在C 中,这样φ≠)(x C N,于是C x '∈, C C '⊂.(4) C 是完备集. 证明：由(2)(3)显然.(5) C 是无处稠密集. 证明：显然.三、Borel 集1、G δ集——nR 中可数个开集的交. 用}|{集δδG G G =表示δG 集类.2、F σ集——n R 中可数个闭集的并. 用}|{集σσF F F =表示σF 集类.3、n 维Borel 集类——F(A)B =n ，其中：}|{中开区间为n I I R =A ,)}(,|),,,{(21n N i b x a x x x I i i i n ∈<<= .4、性质(1) 开集、闭集、δG 集、σF 集等都是Borel 集；(2) Borel 集类n B 对集合的所有运算均封闭.四、点集间的距离1、A 与B 之间的距离),(B A ρ—— 设A 与B 均非空, 定义 },|),(inf{),(B y A x y x B A ∈∈=ρρ.2、点a 到集B 的距离),(B a ρ—— 设B 非空, 定义}|),(inf{)},({),(B y y a B a B a ∈==ρρρ.3、性质(1) 0),(≥B A ρ；(2) φ≠AB ⇒0),(=B A ρ, 反之不然.4、定理(1) 非空C ∈B A ,,K ∈B ⇒B b A a ∈∈∃,..t s ),(),(B A b a ρρ=. 证明：①因},|),(inf{),(B y A x y x B A ∈∈=ρρ, +∈∀N m ,B y A x m m ∈∈∃,..t smB A y x B A m m 1),(),(),(+<≤ρρρ. ②若}|{+∈=N m y Y m 是有限集,则∃子序列B Y b y k m ⊂∈=，显然b y k m →； 若K ∈⊂∈=+B m y Y m }|{N 是无穷集,则B B Y b ⊂'⊂'∈∃,且∃子序列Y y k m ∈..t s b y k m →.③若}|{+∈=N k x X k m 是有限集,则∃子序列A X a x ik m ⊂∈=，显然a x ik m →；若A k x X k m ⊂∈=+}|{N 是无穷集, 注意到K ∈B , 由于)0,(),()0,(k k k k m m m m y y x x ρρρ+<M B A ++≤1),(ρ, 有K ∈X ,A A X a ⊂'⊂'∈∃,且∃子序列X x ik m ∈..t s a x ik m →.④因),(),(),(),(),(b y y x x a b a B A ik ik ik ik m m m m ρρρρρ++≤≤0),(001),(),(),(+++→+++≤B A m B A b y x a iik ik k m m ρρρρ, ∴),(),(B A b a ρρ=,B b A a ∈∈,.(2) ∀非空nE R ⊂,0>∀d ,}),(|{d E x x U <=ρ ⇒ O ∈⊂U E . 证明：显然U E ⊂.U x ∈∀,取0),(>-=E x d ρδ,),(δx U y ∈∀,有d E x E x x y E y =+<+≤),(),(),(),(ρδρρρ可见U y ∈,这样U x U x ⊂∈),(δ, ∴O ∈⊂U E .(3) 非空⊕C K ∈21,F F ⇒ ∃⊕O ∈21,G G ..t s 11G F ⊂,22G F ⊂. 证明：由条件知,21,F b F a ∈∈∃,b a ≠..t s 0),(),(21>==b a F F d ρρ.令 O ∈<=}2),(|{dF x xG k k ρ,k k G F ⊂, .2,1=k 下面证明φ=21G G .反证.假设φ≠∈∃21G G c ,有),(22),(),(),(b a d dd b c c a b a ρρρρ==+<+≤矛盾,因此有φ=21G G .五、一维开集、闭集、完备集的构造 以下讨论的点集均为R 中的点集.1、非空C K ∈F ⇒ F 中必有一最大点和一最小点.证明：仅证F 中必有一最大点.由条件知,F a M ∈∃,F b ∉∃,b a < ..t s}|inf{),(F x x b F b a b M ∈-==-ρ,这样, F x ∈∀,有M a b x b -≥-或M a x ≤,可见M a 为F 中的最大点.2、非空O K ∈G ⇒ ∃⊕开区间i I ,.,,2,1m i =..t s mi iIG 1==.其中, +∈N m 或 ∞=m .证明：①O K ∈∈∀G x ,),(x x βα∃ ..t s G x x x ⊂∈),(βα, 记}inf{x x a α=, }sup{x x b β=, G x xxx xx J ⊂∈=),(),(βαβα, 显然G b a x x ∉,,下面证明x x x J b a =),(.显然),(x x x b a J ⊂,反过来，),(x x b a t ∈∀,不妨设 x x b x t a <≤<， 则x x βα,∃ ..t s x x x x b x t a <<≤<<βα,于是 x x x J t ⊂∈),(βα，这样x x x J b a =),(. 显然 G J b a x x x x ⊂=∈),(. ②G y x ∈∀,,必有y x J J =或φ=y x J J .若φ≠∈∃y x J J t ,显然y x t J J I =为区间, 有G I J J y x t y x ⊂=∈ ,,这样x t J I ⊂,y t J I ⊂,于是y t x J I J ==.③集合}|{G x J x ∈=M 至多可数}{k I 且⊕.这样 m k k IG 1=⊂,由②可将M 中相同的区间去掉组成集合M M =Λ∈='}|{λλJ , 而Λ∈∀λ,Q ∈∃λq ..t s λλJ q ∈, 显然λλq ↔于是a ≤Λ,即M M '=至多可数}{k I 且⊕.④ 显然k I G ⊃,有 m k k I G 1=⊃,所以 m i i I G 1==. 其中, +∈N m 或 ∞=m .3、非空C K ∈F ⇒∃⊕开区间i I ,.,,2,1m i = (邻接区间)及 ],[μν ..t s ∑=-=mi i I F 1],[μν. 其中, +∈N m 或 ∞=m . 证明：由条件知,F ∈∃μν,..t s ],[μν⊂F ,有O K ∈=-=-=c F F F G ),(),(],[μνμνμν,于是∃⊕开区间i I ,.,,2,1m i =..t s m i i I G 1==,故 ∑=-=m i i IF 1],[μν, 其中, +∈N m 或 ∞=m .4、设非空C K ∈F ,那么F 是完备集 ⇔ ∑=-=mi i I F 1],[μν. 其中, +∈N m 或 ∞=m .P38.12. 设)(P f 是定义于n R 上的实函数.证明)(P f 在n R 上连续的充分必要条件是对于1R 中任何开集G ,})(;{)(1G P f P G f∈=∆-都是n R 中的开集. 证明：“必要性” )(1G fQ -∈∀⇒G Q f a ∈=)(, 由于G 是1R 中的开集⇒0>∃ε..t s G a a ⊂+-),(εε, 因)(P f 在n R 上连续,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s δρ<),(Q P 时, ε<-|)()(|Q f P f ,即G a a P f ⊂+-∈),()(εε,有)(1G f P -∈,从而)(}),(;{),(1G f Q P P Q U -⊂<=δρδ,所以)(1G f -是n R 中的开集.“充分性”n Q R ∈∀,令)(Q f a =,0>∀ε,由于),(εa U G =是1R 中的开集,知)(1G f -是n R 中的开集,由于G Q ∈,则0>∃δ..t s )(),(1G f Q U -⊂δ,从而当δρ<),(Q P 时,)(1G f P -∈,G P f ∈)(,那么ε<-|)()(|Q f P f ,所以在)(P f 在n R 上连续.。
《点的集合》教案
在今天的教学中，我发现学生们对于“点的集合”这个概念的理解存在一定的难度。在讲解过程中，我尽量用生活中的例子来帮助他们理解，比如将坐标系中的点集比作地图上的标记点，这样他们就能更直观地感受到点集的实际意义。
课堂上，我注意到有的学生在案例分析时显得有些困惑，特别是在理解点集的抽象定义上。为了解决这个问题，我采用了图示和实物操作相结合的方法，让学生在坐标系纸上亲自标出点集，这样的实践活动似乎对他们理解点集概念很有帮助。
2.强化学生的逻辑推理素养，学会运用集合的概念和性质进行严谨的逻辑推理，解决实际问题。
3.培养学生的数据分析素养，掌握用坐标系表示点的方法，通过数据分析，发现点集的规律和特点。
4.提升学生的数学建模素养，运用点的集合知识构建数学模型，解决几何图形相关问题。
5.增强学生的数学抽象素养，理解集合的抽象概念，学会从具体实例中抽象出点集的一般性规律。
4
5.点集的应用：运用点的集合解决简单几何问题，如求线段的中点、判断点与图形的位置关系等。
二、核心素养目标
《点的集合》核心素养目标：
1.培养学生的几何直观能力，通过观察和分析点的集合，形成对几何图形的直观认识，提高空间想象力和图形感知能力。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了点的集合的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对点集的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在接下来的教学中，我计划增加一些互动环节，让学生们更多地参与到课堂中来。比如，可以让学生们上台来展示他们的实验操作过程，这样既能检查他们对知识的掌握情况，又能锻炼他们的表达和沟通能力。
第二章 点集论.
完备集：设 E Rn，如果 E E ，则称E为完备集。
没有孤立点的闭集就是完备集，即自密闭集称为完备集。 例如：空集是自密集，也是完备集。 [a,b]，以及全直线都是完备集。
疏朗集：空间任意邻域内至少包含某点的一个邻域，其中不含
3、开核、边界、导集、闭包
（1）E的全体内点所成的集合，称为E的开核，记为 E （2）E的全体界点所成的集合，称为E的边界，记为 E （3）E的全体聚点所成的集合，称为E的导集，记为 E （4）E E 称为E的闭包，记为 E
4、开核、导集、闭包之间的关系
E 1 痧 E, 痧 E ( E)
U P 0 , P | d P, P 0
称为点 P0 的 邻域， 称为邻域的中心， P 称为邻域的半径。 0
邻域性质：
（1） P U P （2）对于 U1 P 和 U 2 P ，存在 U3 P U1 P U2 P （3）对于 Q U P ，存在 U (Q) U P （4）对于 P Q ，存在 U P 和 U (Q) ，使 U P U (Q)
第二章 点集论
§1 度量空间，n维欧式空间 §2 聚点，内点，界点 §3 开集，闭集，完备集 §4 直线上的开集、闭集及完备集的构造
§1 度量空间，n维欧式空间
1、度量空间 设 X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x, y ,都有唯一确定 的实数 d ( x, y )与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：
F , ak , bk k
得到的集。
注：1°去掉的那些区间称为F的邻接区间或是余区间。 2°x为闭集F的孤立点，则x必为两个相邻的邻接区间的公共端点。 3°完备集，是不含孤立点的闭集，就是没有相邻接的余区间的闭集。
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3、开核、边界、导集、闭包
（1）E的全体内点所成的集合，称为E的开核，记为 E （2）E的全体界点所成的集合，称为E的边界，记为 E （3）E的全体聚点所成的集合，称为E的导集，记为 E （4）E E 称为E的闭包，记为 E
4、开核、导集、闭包之间的关系
E 1 痧 E, 痧 E ( E)
i 1 n
§2 聚点，内点，界点
1、内点、外点和界点 (1)如果存在 P0 的某一邻域 U ( P0 ) ,使得 U ( P0 ) E ,则称 P0 为
E的内点。 (2)如果 P0 是 ðE 的内点，则称 P0为E的外点。 (3)如果 P0 既非E的内点又非E的外点，也就是说： 的任 P 0
4、点列收敛
n 设{Pm } 为 R n 中一点列， ，如果当 n 时有 d ( Pm , P0 ) ，0 P R 0
lim Pm P0 则称点列{Pm }收敛于 P0 ，即为 m
Pm U (P N ，使得当 m N 时， 即：对于 P 0) 0 的任一邻域 U ( P 0 ) ，存在某个自然数
例题 1
设 A R1 为非空集合，求证：
（1）若A是孤立点集，则 A a （孤立点集必为有限集或可数集） （2）A \ A a （3）若 A a ，则 A a
§3 开集，闭集，完备集
2
A B A B, A B, A B
3 ( A B) A B
定理 4 （Bolzano-Weierstrass定理）任意有界无穷点集 至少有一个聚点。
空集没有聚点也没有孤立点。
1 1 E 1, ,..., ,... n 2
E 0,1
U P 0 , P | d P, P 0
称为点 P0 的 邻域， 称为邻域的中心， P 称为邻域的半径。 0
邻域性质：
（1） P U P （2）对于 U1 P 和 U 2 P ，存在 U3 P U1 P U2 P （3）对于 Q U P ，存在 U (Q) U P （4）对于 P Q ，存在 U P 和 U (Q) ，使 U P U (Q)
第二章 点集论
§1 度量空间，n维欧式空间 §2 聚点，内点，界点 §3 开集，闭集，完备集 §4 直线上的开集、闭集及完备集的构造
§1 度量空间，n维欧式空间
1、度量空间 设 X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x, y ,都有唯一确定 的实数 d ( x, y )与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：
2、欧几里得空间，欧几里得距离：
x (1 , 2 ,..., n ), y (1 ,2 ,...,n ) 规定距离 对 R n 中的任意两点，
2 d x, y i i i 1
n 1 2
则 R n , d 称为n维欧几里得空间,其中 d 称为欧几里得距离。 3、邻域 之距离小于定数 0 的点的全体，即集合 R n 中所有和定点 P 0
n P P ( m ) x m 0 i xi (m ), i 1, 2,..., n
点列收敛等价于按坐标收敛。
5、点集间的距离 （1）两个非空点集A、B的距离定义为d A, B inf d ( P, Q)
P A QB
（2）一个非空点集E的直径定义为 E sup d ( P, Q)
d ( x, y) 0, d ( x, y) 0的充要条件为 x y d (ห้องสมุดไป่ตู้x, y) d ( x, z) d ( y, z) 对任意的 z 都成立，
则称 d ( x, y )是 x, y 之间的距离，称 ( X , d )为度量空间或距离空 间。 X 中的元素称为点。 如果 ( X , d ) 是度量空间，Y 是 X 的一个非空子集，则 (Y , d ) 也是一个度量空间，称为 ( X , d ) 的子空间。
意邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则称 P0 为E
的界点或边界点。
注：从定义可知，E的内点一定属于E，E的外点一定不属于E；E的界点可以
属于E，也可以不属于E；E的内点与E的余集的外点是一致的；E的界点与E
的余集的界点是一致的。
2、聚点、孤立点 (1)设E是 R n中一点集，P0 为R n 中一定点，如果 P0 的任一邻
域内部都含有无穷多个属于E的点，则称 P0 为E的一个聚点。
(2)设E是 R n中一点集，P0 为 R n 中一定点，如果 P0 属于E但不
是E的聚点，则称 P0 为E的一个孤立点。
注：1°聚点和孤立点是相对立的，但是应该注意，E的孤立点一定属 于E，而E的聚点未必属于E。 3°有限集无聚点。 4°E的孤立点必为E的边界点，而E的边界点不是E的聚点，就是E的 孤立点。
PE QE
（3）如果 E ，则称E为有界点集。空集也是有界点集。 E为有界点集的充要条件就是存在常数 K ，对所有 x E 有
d x,0 K 这里0=(0,…,0),称为n为空间的原点。
（4）开区间I： x1, x2 ,..., xn | ai xi bi , i 1,2,..., n （5）区间I的体积 |I|： (bi ai )
1 1 E 0,1, ,..., ,... 2 n 1 1 E 1, ,..., ,... n 2
2°E的内点必为E的聚点，而E的聚点未必是E的内点，还可能是E的界点。
E 0,1
定理 1：下面三个陈述是等价的： （1） 是E的聚点； P 0 （2） 的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于 P0 的点。 P 0 （3）存在E中互异的点所成点列{Pn }，使 Pn P0 (n )