矩阵

a1n 1 a1n a2n 1 a 2 n a nn 1 a nn
a1n 1 a11 a 2 n 1 a 21 a nn 1 a n1
(10)
i 1 r
I r PAQ 0
0 0
b. 对任意n阶方阵A，有A=B+C，其中B/=B,C/=-C. c. 若A为m×n阶矩阵且r(A)=1，则A=Bm×1· 1×n, C 且r(B)=r(C)=1.
d. 若r(A)=r,则Am×n =Bm×r· r×n,其中r(B)=r(C)=r. C I r 0 | e.若r(A)=r,则 A P Q, 其中 | P | 0，Q | 0. 0 0 f. A=TBT-1,其中B是上三角形矩阵且对角线上的元 素是A的特征根。 g.若r(A)=r,则A=PR，R是上三角形的矩阵，其主 对角线上前r个元素为1，后n-r个元素为0而|P|≠0. h.A=B· C,其中B/=B,C/=-C. i. 对任意n阶矩阵A有A=BU，其中B是半正定矩阵， U为酉矩阵。
7. 矩阵的分解 (1) 分解矩阵的方法：
a. 初等变换法：设r(A)=r,则存在可逆矩阵P,Q使 b. 利用若当标准形：对任意矩阵A，存在可逆矩阵 P，使P-1AP=J，其中J为若当标准形。 c. 对称矩阵的阶数用数学归纳法。 d. 利用矩阵运算。 e. 利用不变子空间对矩阵分解。 (2)常见的矩阵分解： a. 若r(A)=r，则 A Bi ，其中r(Bi)=1.
g. A是实对称矩阵，则A正交相似于对角形。 h. Am=I，则A相似于对角形。 i. A2=A，则A相似于对角形。 j. A正定，C是实对称矩阵，则AC相似于对角形。 k. A有n个不同的特征根，A与B可换，则B相似于 对角形。 l. 若A相似于对角形，f是多项式，则f(A)相似于对 角形。 (3) A与B是同一线性变换在不同基下的矩阵，则 A与B相似。 (4) 矩阵A与B相似 I A与I B等价。
f ( ) | I A | a1
n
n1
an1 an ,
i2 i2 ik ik
其中
i1 a k (1) i n Ai 1i1 i2 k 1
A 1 1 1
若AB=BA，则B是A的多项 式。
4.乘法与变换 设P(i,j)表示互换单位矩阵的i,j两行所得的矩 阵,P(i(k))表示用k乘单位矩阵的第i行所得的矩 阵.P(i,j(k))表示单位矩阵的第j行乘k加到第i行所得的 矩阵。 (1) P(i,j)A当且仅当A的第i行与第j行互换。 (2) P(i(k))A当且仅当A的第i行乘以k. (3) P(i,j(k))A当且仅当A的第j行乘以k加到第i行。 1 (4) 当且仅当A的各行依次乘 2 A B 以 1 , 2 ,, n
A M 0 0 B
，则r(M)=r(A)+r(B).
(6)
n, r ( A) n r ( A* ) 1, r ( A) n 1 0, r ( A) n 1
其中A*是A的伴随矩 阵。
(7)设A与B是行数相同的矩阵，则r(A,B)≤r(A)+r(B). (8)若AX=0与BX=0同解，则r(A)=r(B). (9) r(A)=r(AAT)=r(ATA). (10) r(An)=r(Am),m≥n,A是n阶方阵。 (11)矩阵A有一个r阶子式不为零，而所有加边子式 为零，则r(A)=r. (12)若A=AT，A的一个r阶主子式不为零，r+1阶和 r+2阶加边主子式为零，则r(A)=r. 若A=-AT，A的一个r阶主子式不为零，而r+2阶加 边主子式为零，则r(A)=r.
A2

(8) I r
A 1 A 3
A2 A1 A4
I r 0
(去掉后n-r行) (去掉后n-r列)
A 1 A 3
0
A I r 1 A 3
A2 A4
(3)n阶矩阵A与所有n阶矩阵可换当且仅当A= In. (4)n阶矩阵A与所有n阶可逆矩阵可换当且仅当
A= In.
(5)设
1 I n1 A
2 I n
2
s I n s
当i≠j时， i j .若AB=BA，则
B1 B B2 Bs
j. A是实矩阵且|A|≠0，则A=B· T，其中B是正定矩 阵，T是正交矩阵。 k. A是实方阵且|A|≠0，则A=T· ，其中T是正交矩 Q 阵，Q是上三角正线矩阵。 l. A是实对称矩阵,则A=B· T,其中B为半正定矩阵,T 为正交矩阵。
m. A是正定矩阵，则A=Bk，其中B为正定矩阵。 A是正定矩阵 A=C/C,其中|C|≠0. A=Ⅱ/Ⅱ，其 中Ⅱ是正线上三角形矩阵。 n. 对任意n阶方阵A，有A=B+C，其中B相似于对 角形矩阵，C为幂零矩阵且BC=CB.
其中Bi是ni阶方阵。
(6)设
A
1

1 . 1
若AB=BA，则
b1 B b2 b1 bn b2 bn 1 . b1 b 2 b1 b3
(7)若AB=BA，则对任一多项式 f ( ) ，有f(A)B=Bf(A). (8)若
第四章 矩阵(包含 -矩阵) 一、基本概念和重要结果 1.Binet-Cauchy公式 设矩阵Am×n · n×m =Cm×m ，则 B (1) 当m>n时，|C|=0 (2) 当m=n时，|C|=|A||B| (3) 当m<n时， 1 2 m i1 i2 im | C | A B 1 2 m 1i1 i2 im i1 i2 im
A3
A4ห้องสมุดไป่ตู้
(去掉前n-r行)
A1 A 3
A2 A4
0 A2 I A 4 r

(去掉前n-r行)
(9)
1 a11 1 a 21 1 a n1
a12 a 22 an2
a1n a n1 a 2 n a n 11 a nn a11
an2 a n 12 a12
a nn a n 1n a1n
a11 a12 a 21 a 22 a n1 a n 2
8. 矩阵的特征多项式及特征根 若存在非零向量X,使AX= X,则 称为A的特征 根,X称为A的属于特征根 的特征向量, f ( ) | I A | 称为A的特征多项式，A的特征根是 f ( ) 的根，A的属 于 的特征向量是方程组(I A) X 0的所有非零解. (1) n阶方阵A的特征多项式
0 A B I A 1 B A 0 I CA 1 I C D 0 D CA 1 B I 0
5.高矩阵 设G是m×r阶矩阵，如果r(G)=r，则G称为高矩阵。 (1) Gm×r是高矩阵 存在高矩阵Hm×(m-r)使(G,H) 非奇异 存在高矩阵Km×r使KTG=Ir. (2) Gm×r是高矩阵 存在高矩阵Hm×(m-r)使 GTH=0. Gm×r是高矩阵且GTX=0，X的列数>m-r X 必为非高矩阵。 (3)G,H为高矩阵，则r(A)= r(GA)= r(AH/)= r(GAH/). (4) r(A)=r 存在高矩阵G,H使r(A)=r(H)=r且 A=GH/. (5)若高矩阵G,H,G1,H1满足GH/=G1H1/，则必存在 非奇异矩阵P使GP=G1,P-1H/=H1/. (6) Gm×r为高矩阵，则存在r阶非奇异上三角正线 矩阵Ⅱ，使GⅡ=H是正交高矩阵。
n
(5)
0 1 A1 0 1 A 2 0 1 An 0 A2 0 A 3 A1 A2 An An 0 0 A1 A2 An 1
1 其中，A i1 2 m i2 im
表示在A中取第i1,i2,…,im列与 所有m行组成的m阶子式。
2.矩阵之间的关系 (1) 设矩阵As×n · n×m =Cs×m ，则 B r(A)+r(B)-n≤r(C)≤min{r(A),r(B)} 特别若|A|≠0，则r(C)=r(B)，若AB=0，则r(A)+r(B) ≤n. (2)r(A+B)≤r(A)+r(B),r(A-B)≥ r(A)-r(B) (3)设A为m×n阶矩阵，r(A)=r，则A的任意s行组成 的矩阵B有r(B)≥r+s-m. (4) 设A可逆，则 r ( A B ) r ( A) r ( D CA 1 B) C D (5) 设
0
1
0 1
0
(7) 1
1 1 0
A1 0 A 3
A2 A4
A1 A1 A2 Ar 0 . An 0 0
1 0
1 0
1 0
(6)
0 1 1 A 0 A2 1 0 A n 1 0 0 0 A 1 1 A2 A A2 An 1 An 1 A2 A3 An 1 0 .
(13)若G为列满秩矩阵，H为行满秩矩阵，则
r(GA)=r(AH)=r(A). (14)r(ABC)≥r(AB)+r(BC)-r(B) 3.可换矩阵 (1)设
1 A n
2

当i≠j时， i j .若AB=BA，则是B对角形矩阵。
(2)A与所有对角形矩阵可换当且仅当A是对角形矩阵。
6.相似矩阵 (1)相似矩阵有相同的特征多项式，特征根及相同 的迹，相似矩阵的行列式相等，秩相等。 (2) 矩阵相似于对角形的条件： a. A有n个线性无关的特征向量 A相似于对角 形 b. A有n个不同的特征根，则A相似于对角形。 c.设n阶矩阵A有s个不同的特征根 1 , 2 ,, s ,A s 的属于 i 的线性无关特征向量的个数为ni， ni n i 1 A相似于对角形。 d.A的初等因子都是一次因式 A相似于对角形. e.A的最小多项式无重根 A相似于对角形。 f.A的最后一个不变因子是不同的一次因式的乘 积，则A相似于对角形。