第4讲 半群和群的定义和性质.ppt

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例10.4(3-6)
(3) <Mn(R),+>n阶实矩阵加群 (4) <Mn(R),>n阶实可逆矩阵乘法群； (5) 所有行列式为1的n阶实可逆矩阵
关于矩阵乘法；
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例10.5
Klein 四元群G={e,a,b,c}
*eabc eeabc aaecb bbcea ccbae
自反性：对任意整数a有a≡a（mod m） 对称性：如果a≡b(mod m)则b≡a（mod m） 传递性：如果a≡b (mod m）b≡c（mod m） 则a≡c(mod m) 全体整数集合Z可按模m（m>1）分成一些两 两不交的等价类，称之为同余类或剩余类。
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同（剩）余类
整数模m同余类共有m个，他们分别为{km+0}, {km+1}, …{km+(m-1)}，其中 k∈Z，每一类 都可以选一个代表元，一般选这一类中的最小 的非负整数。于是称[0],[1],[2],…[m-1]为标准 完全剩余系。
证： 设 fa:S→S, fa(x)=a ∗x, fa∈SS, 且{ fa | a∈S }⊆ SS, 令ϕ：S→SS, ϕ(a)=fa, ϕ(a ∗b)=fa∗b, ϕ(a)∘ϕ(b)=fa∘fb 为证同态只需证明fa ∗b=fa∘fb ∀x∈S,
f a* b (x)= a *b* x fa∘fb(x)=fa(b* x)= a *b* x
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幂运算的性质
定理10.1 幂运算规则 ① (a-1)-1=a ② (ab)-1=b-1a-1 ③ anam=an+m ④ (an)m=anm ⑤ 若G 为Abel 群，则(ab)n=anbn 说明：
等式1 和2 证明用到逆元定义和唯一性 等式3 和4 的证明使用归纳法并加以讨论 等式2 可以推广到有限个元素之积.
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子半群的交集
定理10.3: 若干子半群的非空交集仍为子 半群；若干子独异点的交集仍为子独异 点.
(只需证明封闭性) 思考:若干子半群的并集是否仍然是子半
群?
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同态和同构
半群与独异点的同态和同构 半群 f(xy)= f(x)f(y) 独异点 f(xy)=f(x)f(y), f(e)= e’
1x 4x44L2 4 x443nx
n个x
在半群<P(B), >中, xP(B), x的n次幂是
, n为偶数
1x 4 4x 2 L4
n个x
43x x, n为奇数
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n次幂（推广到群）
定义10.3 设<G,*>是一个群，xG, n Z, 定 义的x 的n次幂xn为:
➢思考：独异点<Σ * ,·> 是否做成群？
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例10.3
幂集<P(B),>？ <P(B), >？ <P(B), >？单位元和逆元?
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例10.4(1-2)
(1) <Z,+>整数加群 (2) <Zn,+n>模n整数加群
思考: <Zn,n> 是不是群?
消去率：对于ab≡ac（mod m）来说，若 (a,m)＝1则b≡c(mod m)
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剩余类应用举例
例：通过同余式演算证明560-1是56的倍数。 解：
注意53=125≡13(mod56) 于是有56≡132 ≡ 169≡1(mod56) 因此有560≡1(mod56)， 即有56∣560-1。
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独异点的同构性质
定理 设V=<S,*,e>为独异点，则存在T⊆SS, 使得
<S,*,e>同构于<T,◦,IS> 证：令 ϕ：S→SS, ϕ(a) = fa, 则 ϕ(a*b) = ϕ(a)◦ϕ(b)
ϕ(e) = fe = IS, ϕ为独异点V 到<SS,◦,IS>的同态 ϕ(a) = ϕ(b) ⇒ fa= fb ⇒ ∀x∈S (a*x=b*x) ⇒ a*e = b*e ⇒ a=b , ϕ为单射
n次幂
定义 设<S,*>是一个半群，xS, n Z+, 定 义的x 的n次幂xn为:
x1 x,
xn1 xn x, n Z
推广到独异点
x0 e,
xn1 xn x, n N
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n次幂实例
在半群<Z,+>中, xZ, x的n次幂是
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独异点
定义10.1(2)：设<S,∘>是一个半群，
若存在eS为S中关于运算∘的单位元,
则称<S,∘>为幺半群，也叫做独异点。 (有时也把单位元标明<S,∘,e>)
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例10.1
Sk={x|x∈Z∧x≥k}，
<Sk,+>(k>0) ？
不是独异点
<S0,+>？
是独异点
<Zn,+n>，<Zn,n> 和不为素数两种)
(令n为素数
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子半群(子独异点)
定义：设<S,*>是一个半群，BS且*在B上是封 闭的，那么<B,*>也是一个半群，通常称<B,*> 是半群<S,*>的子半群;
设<S,*>是一个独异点，BS,eB且*在B上是 封闭的，那么<B,*>也是一个独异点，通常称 <B,*>是独异点<S,*>的子独异点。
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同态的性质
定理:设 f 是从代数系统A到代数系统B的 同态映射，则若A是半群(独异点)，则 同态象f (A)也是半群(独异点)
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半群的同态性质
定理 设V= <S,∗>为半群，V ’= <SS,∘>，∘为映射复合，
则V ’也是半群，且存在V 到V ’ 的同态.
Z模12的标准剩余系为： [0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11]
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剩余类间的运算
对于某个固定模m的剩余类可以象普通 的数那样相加、相减和相乘：
(1) a(mod m)±b(mod m)=(a±b)(mod m) (2) a(mod m)*b(mod m)=a*b(mod m)
证a’为a 的左逆元，设 a’ a’’=e a’’ = e∘a’’ = (a∘a’)∘a’’ = a∘(a’∘a’’) = a∘e = a
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群的相关术语（定义10.2）
平凡群 只含单位元的群 {e} 有限群与无限群 群G 的阶 G 的基数，通常有限群记为|G| 交换群或阿贝尔（Abel）群
半群S的子代数是S的子半群,独异点S的子代数 是S的子独异点
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子半群举例
A


a 0
0 0

a

R
A关于矩阵乘法构成半群< A, ·>, 且它是< M2(R) , ·>的
子半群,令
V

A,
g,
1 0
源自文库0
0


,
则V是子独异点
第十章 群与环-
半群和群的定义和性质
主要内容
半群 独异点 群
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半群
定义10.1(1)： <S,∘>是一个代数系统， 其中S是非空集合，∘是S上的一个二元 运算(运算∘是封闭的)，如果运算∘是 可结合的，即对任意的x,y,z∈S， 满足(x∘y)∘z=x∘(y∘z) 则称代数系统<S,∘>为半群.
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例10.2
Σ={a,b} ，Σ+为所有由a,b组成的字符 串 ,“ ·”为字符串的连接运算.
思考：半群<Σ+ ,·> 是否做成独异点？
➢空串 ➢Σ*=Σ+{} ➢<Σ* ,·> 做成独异点
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例10.3
幂集<P(B),>？ <P(B), >？ <P(B), >？
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例10.6（交换群）
(1) <Z,+>无限群; (2) <Z6,+6>模6整数加群，阶为6 (3) <Z4,+4>模4整数加群，阶为4 (4) Klein 四元群G={e,a,b,c}，阶为4 (5) <P(B),>群，阶为| P(B)|
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例10.5(2)
Klein 四元群G={e,a,b,c} e=(0,0) a=(0,1) b=(1,0) c=(1,1) 运算º为逐分量模2加法,
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群的等价定义
定理 (等价定义) <G,∘>, ∘可结合，若存在右
单位元e，且每个元素a 相对于e 存在右逆元a’， 则G是群. 证明:
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例10.1
<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>,<C,+>为半群 设n>2,<Mn(R),+>, <Mn(R), ·>为半群 <P(B),>,<P(B), >,<P(B), >为半群 A={a1, a2, ..., an},n∈Z+,*为A上的二元运算,∀a, b ∈A
有ai*aj=ai , 则A关于*运算构成半群 Sk={x|x∈Z∧x≥k}，<Sk,+>为半群 <Z+,->，<R,/>不是半群
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例10.2
Σ={a,b} ，Σ+为所有由a, b组成的字符串 , “ ·”为字符串的连接运算.
则< Σ+ , ·> 做成半群。
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元素都是有限阶的群不一定是有限群.
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例10.6（元素的阶）
(1) <Z,+>无限群， |0|=1 (2) <Z6,+6>模6整数加群，元素的阶 (3) <Z4,+4>模4整数加群，元素的阶 (4) Klein 四元群G={e,a,b,c} (5) <P(B),>群中元素的阶
则称<G,∘>是一个群
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例10.1
Sk={x|x∈Z∧x≥k}， <Sk,+>(k>0) ？ <S0,+>？
不是群 不是群
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例10.2
Σ={a,b} ，Σ+为所有由a,b组成的字符 串 ,” ·”为字符串的连接运算. ➢空串 ➢Σ*=Σ+{} ➢<Σ* ,·>
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10.4
是单位元 可结合性在运算表中无特殊体现
*αβγδζ ααβγδζ ββγδζ α γγδζ αβ δδζ αβγ ζ ζ αβγδ
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群(Group)
定义10.1（3）：设<G,∘>是一个代数系统，其中G 是非空集合，∘是G上一个二元运算，如果 (1).运算∘是封闭的 (2).运算∘是可结合的 (3).存在单位元e (4).对于每一个元素x∈G，存在着它的逆元x-1
封闭性 可结合性 单位元？ 逆元？
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群的等价定义
证明: 证e为左单位元. ∀a∈G, 有a∘e = a ,所以有 e∘e = e (e为右单位元)。设存在a’ ∈G,使得a∘a’=e,代入得 e∘(a∘a’) = a∘a’.因为a’ ∈G ,存在a’’ ∈G,使得a’∘a’’ =e 上式两边右乘 a’’ 得 e∘a∘a’∘a’’= a∘a’∘a’’ , 而a’∘a’’ =e 因此有 e∘a = a . e 是G中的单位元.
(令n为素
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整数同余式
定义（同余）：称整数a模正整数m同余于
整数b，记为a≡b（mod m）是指m|a-b,
m称为模数。 m|a-ba=q1m+r且b=q2m+r，即a和b分别
除以m有相同的余数。“同余”二字的来源就
在于此。
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同余关系
相对于某个固定模数m的同余关系，是整数间 的一种等价关系。具有等价关系的三点基本性 质：
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模n剩余类
设Z是整数集合，n是任意正整数，Zn是
由模n的同余（剩余）类组成的集合， 在Zn上定义两个二元运算+m 和m:
[i],[j]Zn
[i]+m[j]=[(i+j) mod m]
[i]m[j]=[(ij) mod m]
eg. <Zn,+n>，<Zn,n> 数和不为素数两种)
e
xn


xn1x
( x 1 ) n
n0 n0 n0
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元素的阶
定义10.4 设G是群， aG，元素a 的阶 |a|：使得 ak=e 成立的最小正整数k. 记作 |a|=k, 也称a为k阶元
与群的阶比较
有限群的元素都是有限阶，比群的阶小（为群的阶的因 子！！！）；