第4讲 半群和群的定义和性质.ppt
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第4讲 半群和群的性质 优质课件
得aiaj=aiak,由消去律得aj=ak，矛盾。
幂等元
定义：代数系统<G,*>中，如果存在a∈G， 有a*a=a，则称a为幂等元。
2019/11/16
7
有限半群必存在幂等元
性质：设<S,*>是一个半群，如果S是一 个有限集，则必有a∈S，使得a*a=a.
思路：(构造法) b∈S，由S对*封闭及S有限，则对序列
回顾
{群} {独异点}{半群}
代数系统：
封闭性
半群：
封闭性，可结合性
独异点： (含幺半群)
封闭性，可结合性，有单位元
群
封闭性，可结合性，有单位元，有逆元
2019/11/16
1
群的阶和元素的阶
群G 的阶 G 的基数，通常有限群记为|G|
元素a 的n 次幂 e n 0
例： G为群，a∈G， |a|=r, 证明|at| = r/(t,r)
证： 令|at| = s, 设(t, r) = d , t =dp, r = dq , r/(t,r) = r/d = q 只要证s = q
(at)q = (at)r/d = (ar)t/d= ep = e s|q (at)s= e ⇒ ats=e ⇒ r | ts ⇒ q | ps q | s （p, q互素）
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12
群中幂等元唯一
例：在群<G,*>中，除单位元e外，不可 能有任何别的幂等元(即a*a=a)
证：e*e=e，∴e为幂等元 现设a∈G，a≠e且a*a=a 则有a=e*a=(a-1*a)*a=a-1*(a*a)=a-1*a=e
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1=a
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幂等元
定义：代数系统<G,*>中，如果存在a∈G， 有a*a=a，则称a为幂等元。
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有限半群必存在幂等元
性质：设<S,*>是一个半群，如果S是一 个有限集，则必有a∈S，使得a*a=a.
思路：(构造法) b∈S，由S对*封闭及S有限，则对序列
回顾
{群} {独异点}{半群}
代数系统：
封闭性
半群：
封闭性，可结合性
独异点： (含幺半群)
封闭性，可结合性，有单位元
群
封闭性，可结合性，有单位元，有逆元
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群的阶和元素的阶
群G 的阶 G 的基数，通常有限群记为|G|
元素a 的n 次幂 e n 0
例： G为群，a∈G， |a|=r, 证明|at| = r/(t,r)
证： 令|at| = s, 设(t, r) = d , t =dp, r = dq , r/(t,r) = r/d = q 只要证s = q
(at)q = (at)r/d = (ar)t/d= ep = e s|q (at)s= e ⇒ ats=e ⇒ r | ts ⇒ q | ps q | s （p, q互素）
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群中幂等元唯一
例：在群<G,*>中，除单位元e外，不可 能有任何别的幂等元(即a*a=a)
证：e*e=e，∴e为幂等元 现设a∈G，a≠e且a*a=a 则有a=e*a=(a-1*a)*a=a-1*(a*a)=a-1*a=e
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1=a
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最新第8章 群和半群.课件ppt
则当s’=a·x时，h(s’·t)=h(a·x·t)=ab·h(x·t) = ab·h(x)·h(t)=h(a·x)·h(t)=h(s’)·h(t)
当s’=b·x时同理可证。 ∴∀s,t∈∑*:h(s·t)=h(s)·h(t) 又h(ε)=ε， 所以h是∑*上的自同态。
定理 半群<S,*>与<SS, ◦>同态 证：定义h:S→SS为：∀a∈S,h(a)=fa, 其中fa:S→S, ∀x∈S,fa(x)=a*x, 则h是同态映射，因为： ∀a,b∈S, ∀c∈S h(a*b)(c)=fa*b(c)=(a*b)*c=a*b*c (h(a)◦h(b))(c)=(fa◦fb)(c)=fa(fb(c))=a*(b*c)=a*b*c 所以h(a*b)(c)=(h(a)◦h(b))(c)， 即h(a*b) =h(a)◦h(b). 所以h是同态映射， 半群<S,*>与<SS, ◦>同态。
又∵(b-1*a-1)*(a*b)=b-1*(a-1*a)*b＝e ∴b-1*a-1是a*b的左逆元 ∴(a*b)-1=b-1*a-1
若〈G，*〉是一个群，则a，bG a）存在唯一的x，使得a*x=b b）存在唯一的y，使得y*a=b
证：a）存在性:
令x=a-1*b，则a*(a-1*b)=a*a-1*b=e*b=b
bS，因为运算封闭， b2=b＊bS, b3,b4…S
S有限 i，j∈N+，j>i 有bi=bj bi =bj =bj- i＊bi 令p=j－i bi =bj =bp*bi
当q≥i ,bq=bp·bq (1)
又∵p≥1 ∴k ∈N+ 有kp≥i
k个
由(1) bkp=bp＊bkp=bp＊(bp＊bkp)
当s’=b·x时同理可证。 ∴∀s,t∈∑*:h(s·t)=h(s)·h(t) 又h(ε)=ε， 所以h是∑*上的自同态。
定理 半群<S,*>与<SS, ◦>同态 证：定义h:S→SS为：∀a∈S,h(a)=fa, 其中fa:S→S, ∀x∈S,fa(x)=a*x, 则h是同态映射，因为： ∀a,b∈S, ∀c∈S h(a*b)(c)=fa*b(c)=(a*b)*c=a*b*c (h(a)◦h(b))(c)=(fa◦fb)(c)=fa(fb(c))=a*(b*c)=a*b*c 所以h(a*b)(c)=(h(a)◦h(b))(c)， 即h(a*b) =h(a)◦h(b). 所以h是同态映射， 半群<S,*>与<SS, ◦>同态。
又∵(b-1*a-1)*(a*b)=b-1*(a-1*a)*b＝e ∴b-1*a-1是a*b的左逆元 ∴(a*b)-1=b-1*a-1
若〈G，*〉是一个群，则a，bG a）存在唯一的x，使得a*x=b b）存在唯一的y，使得y*a=b
证：a）存在性:
令x=a-1*b，则a*(a-1*b)=a*a-1*b=e*b=b
bS，因为运算封闭， b2=b＊bS, b3,b4…S
S有限 i，j∈N+，j>i 有bi=bj bi =bj =bj- i＊bi 令p=j－i bi =bj =bp*bi
当q≥i ,bq=bp·bq (1)
又∵p≥1 ∴k ∈N+ 有kp≥i
k个
由(1) bkp=bp＊bkp=bp＊(bp＊bkp)
半群,幺半群和群的关系ppt课件
例如,全体偶数构成的集合2Z,对普 通数的乘法构成半群,但不是幺半群 .
11
群的定义
定义（群的定义） G 对“ ”来说是一个群应满足下列四条：
（1） “ ”在 G 中是封闭的（即 “ ”是代数运算）； （2） “ ”满足结合律 (即 G, 是半群)；
（3） {G,}中有左单位元 e ，（即 G, 是幺半群）；
（譬如群 Z, 中的零元为 0，3 的负元为-3）
27
不过要特别提醒的是：乘法群中的乘法“ ”并不
是一定都是两个数相乘，这里只是“借用”了这个词 汇而已。同理加法群中的相加，并非一定是数的相加， 更多的表示“抽象加法”的含义。
例 9 一种重要的群：我们应该能回忆得起第 3 讲
中曾出现过的模 n 的剩余类集合
22
定义 4（等价定义） G 对“ ”来说是一个群应满足下列四条：
（1） “ ”在 G 中是封闭的（即 “ ”是代数运算）； （2） “ ”满足结合律 (即 G, 是半群)；
（3） {G,}中有右单位元 e ，（即 G, 是 monoid）；
（4） {G,} 中每个元都有右逆元（即 G, 是群）。
（Galois ,E[法] 1811—1832） 的基础。
4
在所有只含一个代数运算的代数体系中，最重要的一个研究对 象就是群。而群的等价关系可谓“品种繁多”，本讲只是依教材作一 些一般性地介绍，为扩大知识面，这里将适当引入一些如同“半群” 和“monoid（幺半群）”这样的基本概念。
本讲的教学里要求对逆元（左逆元、右逆元），单位元（左单位 元、右单位元）和群以及元素的阶要弄清楚，尤其是彼此的联系务必 要明白其脉络。教材中定义的群的第一定义和第二定义的区别及关系 必须清楚。
（4） {G,} 中每个元都有左逆元（即 G, 是群）。
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群的定义
定义（群的定义） G 对“ ”来说是一个群应满足下列四条：
（1） “ ”在 G 中是封闭的（即 “ ”是代数运算）； （2） “ ”满足结合律 (即 G, 是半群)；
（3） {G,}中有左单位元 e ，（即 G, 是幺半群）；
（譬如群 Z, 中的零元为 0，3 的负元为-3）
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不过要特别提醒的是：乘法群中的乘法“ ”并不
是一定都是两个数相乘，这里只是“借用”了这个词 汇而已。同理加法群中的相加，并非一定是数的相加， 更多的表示“抽象加法”的含义。
例 9 一种重要的群：我们应该能回忆得起第 3 讲
中曾出现过的模 n 的剩余类集合
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定义 4（等价定义） G 对“ ”来说是一个群应满足下列四条：
（1） “ ”在 G 中是封闭的（即 “ ”是代数运算）； （2） “ ”满足结合律 (即 G, 是半群)；
（3） {G,}中有右单位元 e ，（即 G, 是 monoid）；
（4） {G,} 中每个元都有右逆元（即 G, 是群）。
（Galois ,E[法] 1811—1832） 的基础。
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在所有只含一个代数运算的代数体系中，最重要的一个研究对 象就是群。而群的等价关系可谓“品种繁多”，本讲只是依教材作一 些一般性地介绍，为扩大知识面，这里将适当引入一些如同“半群” 和“monoid（幺半群）”这样的基本概念。
本讲的教学里要求对逆元（左逆元、右逆元），单位元（左单位 元、右单位元）和群以及元素的阶要弄清楚，尤其是彼此的联系务必 要明白其脉络。教材中定义的群的第一定义和第二定义的区别及关系 必须清楚。
（4） {G,} 中每个元都有左逆元（即 G, 是群）。
gljchapter3 半群和群.ppt
定理3: 设G为群,H是G的非空子集.如 果H是有穷集,则H是G的子群当且仅 当a, bH, abH
证明: 必要性()根据群的封闭性,显然。 充分性().只需证明aH, a-1H
aH
(1)a=e, a-1=e-1=e=aH (2)ae, 令S={a,a2, a3, …}则SH.由于H是有
穷集,因此必有ai=aj(i<j)由消去律得aj-i=e, ae, j-i>1 aaj-i-1=e=aj-i-1a, 因此aj-i-1=a-1H
证明： （1）充分性(). ak = arl =(ar)l=el = e
必要性(). k=rl+i, lZ, i{0,1,…,r-1} e = ak = arl+i = ai i=0 r | k （2）(a-1)r=(ar)-1=e |a-1| 存在, 令|a-1|=t, 则
t|r. 这说明a-1的阶是a的阶的因子。 反之， (a-1)-1的阶是a-1的阶的因子,因此r|t.
重要子群的实例
3、生成子群，中心。
(1) 生成子群：设 G为群，x G，记 x xk k Z
例10、Z6 0,1, 2,3, 4,5，
判断子独异点的方法?
如果V=<S, . , e>是独异点, TS, 如何判断<T, .>是V的子独
异点？ T对V中的运算.封闭 eT 符合以上两点，<T, .>就是V的
子独异点。
例
设半群V1=<S, .>,独异点V2=<S, . , e>其 中
S
a 0
0 d
a,
d
R
. 为矩阵乘法，e为2阶单位矩阵。
(6)<R* , 。>为半群，其中R* 为非零实 数集合， 。运算定义如下：
半群与群
第九章半群与群（Semigroups and Groups）本章讨论含一个二元运算的特殊的代数系统――半群与群。
群论近世代数中发展最早、内容最丰富、应用最广泛的部分，也是建立其他代数系统的基础。
群论在自动机政论、形式语言，语法分析快速加法器设计、纠错码制定等方面均有卓有成效的应用。
2－1 半群与含幺半群定义2－1.1 满足结合律的代数系统U=<S,*>称为半群。
例2－1.1 <N,+>,<N,×>,<2I+,+>和<2I+,×>都是半群。
例2－1.2 <Nm ,+m>和<Nm,×m>都是半群。
例2－1.3 <M2(I),+>和<M2(I),·>都是半群。
定义2－1.2含幺元e的半群U=<S,*>称为含幺半群，常记作U=<S,*,e>。
在例2－1.1～例2－1.3中，除<2I+,+>和<2I+,×>外都是含幺半群。
例2－1.4 设S是任意非空集合，则<p(S),∪>和<p(S),∩>都是含幺半群。
例2－1.5在形式语言中，我们常称非空有限字符集合为字母表。
字母表中字符的n重序元称为字符串，由m个字符所组成的字符串称为长度为m 的字符串。
长度为0的字符串称为空串，用来表示。
如对V={a,b}, =aa 和β=ab都是长度为2的字符串；γ=aab和δ=bab都是长度为3的字符串。
我们用*来表示两个字符串的邻接运算，如,α*δ=aabab,α*γ=aaaab。
设用V*表示字母表V的所有有限长度字符串的集合，而用V+表示V*-{ }，则显然<V+,*>是半群，<V+,*, >是含幺半群。
定义2－1.3对运算满足交换律的半群（含幺半群）称为交换半群（交换含幺半群）。
最新离散数学耿素云版第十一章 半群与群ppt课件
证 设|ab|=d.由ab=ba可知 (ab)nm=(an)m(bm)n=emen=e
从而有d|nm.
又由adbd=(ab)d=e可知 ad=b-d ，即|ad|=|b-d|=|bd|.再根据 (ad)n=(an)d=ed=e
得|ad||n。 同理有|bd||m。从而知道|ad|是n和m的公因子。因为n与m互
(2) 由(a-1)r=(ar)-1=e-1=e 可知a-1的阶存在。令|a-1|=t,根据上面的证明有t|r。这说明a的逆 元的阶是a的阶的因子。而a又是a-1的逆元,所以a的阶也是a-1的 阶的因子,故有r|t。从而证明了r=t,即|a|=|a-1|。
例11.7 设G是群,a,b∈G是有限阶元。证明 (1)|b-1ab|=|a| (2)|ab|=|ba|
例11.1 (1)<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群,+是普通加 法。这些半群中除<Z+,+>外都是独异点。 (2)设n是大于1的正整数,<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是半群,也都是 独异点,其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法。 (3)<P(B), >为半群,也是独异点,其中 为集合的对乘差运算。 (4)<Zn, >为半群,也是独异点,其中Zn={0,1,…,n-1}, 为模n加 法。
1.能够构成群。 2. |0|=1 |1|=|5|=|7|=|11|=13|=|17|=18 |2|=|4|=|8|=|10|=|14|=|16|=9 |3|=|15|=6 |6|=|12|=3 |9|=2 3.设|a|=n, |xax-1|=m。由下式
从而有d|nm.
又由adbd=(ab)d=e可知 ad=b-d ，即|ad|=|b-d|=|bd|.再根据 (ad)n=(an)d=ed=e
得|ad||n。 同理有|bd||m。从而知道|ad|是n和m的公因子。因为n与m互
(2) 由(a-1)r=(ar)-1=e-1=e 可知a-1的阶存在。令|a-1|=t,根据上面的证明有t|r。这说明a的逆 元的阶是a的阶的因子。而a又是a-1的逆元,所以a的阶也是a-1的 阶的因子,故有r|t。从而证明了r=t,即|a|=|a-1|。
例11.7 设G是群,a,b∈G是有限阶元。证明 (1)|b-1ab|=|a| (2)|ab|=|ba|
例11.1 (1)<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群,+是普通加 法。这些半群中除<Z+,+>外都是独异点。 (2)设n是大于1的正整数,<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是半群,也都是 独异点,其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法。 (3)<P(B), >为半群,也是独异点,其中 为集合的对乘差运算。 (4)<Zn, >为半群,也是独异点,其中Zn={0,1,…,n-1}, 为模n加 法。
1.能够构成群。 2. |0|=1 |1|=|5|=|7|=|11|=13|=|17|=18 |2|=|4|=|8|=|10|=|14|=|16|=9 |3|=|15|=6 |6|=|12|=3 |9|=2 3.设|a|=n, |xax-1|=m。由下式
离散数学 第四章 4
(3)
S={1,2,3,…,n}到自身的双射称为 元置换, 到自身的双射称为n元置换 到自身的双射称为 元置换 记为σ 记为σ，可表示为
2 n 1 σ = σ (1) σ (2) σ ( n )
上的双射即置换的个数共n!个 上置换 注：S上的双射即置换的个数共 个,S上置换 上的双射即置换的个数共 的全体记作S 的全体记作 n
2 设f是含有格中元素以及符号 是含有格中元素以及符号=,≤,≥，∨和∧ 是含有格中元素以及符号 ， 的公式， 是将f中的符号分别替换成 的公式，令f*是将 中的符号分别替换成 ， 是将 中的符号分别替换成=， ≥ ,≤, ∧与∨所得到的公式，则称 为f的对偶 所得到的公式，则称f*为 的对偶 命题。 命题。 3 对偶原理：f* f 对偶原理：
第六章
几个典型的代数系统
半群与群
格与布尔代数
6.1 半群与群
是一个代数系统, 设V=(G, )是一个代数系统 是一个代数系统 上的二元运算, 是G上的二元运算 上的二元运算 1 若 在G上成立结合律 则称 为半群。 上成立结合律 则称V为半群。 上成立结合律,则称 如：〈Z+, +〉, 〈N, +〉, 〈Z,+〉 〉 〉 〉 2 若 在G上成立结合律 且有单位元，则称 为 上成立结合律 上成立结合律, 有单位元，则称V为 独异点（含幺半群） 独异点（含幺半群）。 如： N, +〉, 〈Z,+〉 〈 〉 〉
轮换其乘法
例 设f=(15342), g=(125)(34) 求fg, g f, f-1, g-1
(4) 设M是非空集合 有n个元素 上所有置换 是非空集合,有 个元素 个元素,M上所有置换 是非空集合
的集合关于置换的乘法(函数的复合运算 构成 的集合关于置换的乘法 函数的复合运算)构成 函数的复合运算 一个群,称为 元对称群， 称为n元对称群 一个群 称为 元对称群， 它的任何子群称为n元置换群 元置换群。 它的任何子群称为 元置换群。 例题: 元对称群。 例题 S3是3元对称群。 元对称群
关于半群和群课件
循环半群
例7.1.3 下表给出的代数是个循环独异点，生成元是d
因为 d=d d2 = b d3 = c d4 = a
⊙a b c d aabcd bbadc c cdba ddcab
生成元也可以是c，但不是a或b
循环半群
定义：给定半群< S, ⊙>，以及G S， 若S中的所有元素，都可以由G中元素经过⊙运算而得 并且G是最小的这样的集合 则称G为< S, ⊙>的生成集，即
循环半群
四、循环半群 定义：< S, ⊙>是半群，若存在g S，对于每个x S，都 有相应的自然数n，将x表示成gn，即x=gn ，则 称g为< S, ⊙>的生成元 可以说，元素g生成半群< S, ⊙> 称< S, ⊙>为循环半群
循环半群
定义：< S, ⊙, e>是独异点，若存在gS，对于每个xS， 都有相应的自然数n，将x表示成gn，即x=gn ，且g0=e
称g为< S, ⊙, e>的生成元 可以说，元素g生成独异点< S, ⊙, e> 称< S, ⊙, e>为循环独异点
循环半群
定理：每个循环独异点都是可交换独异点。 证明： 设< S, ⊙, e>是循环独异点，g为其生成元 对于任意 a, b S，存在自然数m, n，使得a=gm，b=gn 于是，a⊙b = gm⊙gn = gm+n = gn+m = gn⊙gm = b⊙a 所以⊙是可交换的，故< S, ⊙, e>是可交换独异点。
半群和独异点
代数< [0, 1], ×>、< [0, 1), ×>和< N, ×> （N是自 然数集合，×是普通乘法）都是半群 并且都是< R,×>（R是实数集合）的子半群 < [0, 1], ×, 1>和< N, ×, 1>都是独异点 并且都是< R,×, 1>的子独异点 < [0, 1), ×>不是独异点，因为它不含关于×的么元
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2020/2/8
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例10.4(3-6)
(3) <Mn(R),+>n阶实矩阵加群 (4) <Mn(R),>n阶实可逆矩阵乘法群； (5) 所有行列式为1的n阶实可逆矩阵
关于矩阵乘法；
2020/2/8
16
例10.5
Klein 四元群G={e,a,b,c}
*eabc eeabc aaecb bbcea ccbae
2020/2/8
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独异点的同构性质
Байду номын сангаас
定理 设V=<S,*,e>为独异点，则存在T⊆SS, 使得
<S,*,e>同构于<T,◦,IS> 证：令 ϕ：S→SS, ϕ(a) = fa, 则 ϕ(a*b) = ϕ(a)◦ϕ(b)
ϕ(e) = fe = IS, ϕ为独异点V 到<SS,◦,IS>的同态 ϕ(a) = ϕ(b) ⇒ fa= fb ⇒ ∀x∈S (a*x=b*x) ⇒ a*e = b*e ⇒ a=b , ϕ为单射
Z模12的标准剩余系为： [0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11]
2020/2/8
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剩余类间的运算
对于某个固定模m的剩余类可以象普通 的数那样相加、相减和相乘：
(1) a(mod m)±b(mod m)=(a±b)(mod m) (2) a(mod m)*b(mod m)=a*b(mod m)
2020/2/8
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幂运算的性质
定理10.1 幂运算规则 ① (a-1)-1=a ② (ab)-1=b-1a-1 ③ anam=an+m ④ (an)m=anm ⑤ 若G 为Abel 群，则(ab)n=anbn 说明：
等式1 和2 证明用到逆元定义和唯一性 等式3 和4 的证明使用归纳法并加以讨论 等式2 可以推广到有限个元素之积.
<Zn,+n>，<Zn,n> 和不为素数两种)
(令n为素数
2020/2/8
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子半群(子独异点)
定义：设<S,*>是一个半群，BS且*在B上是封 闭的，那么<B,*>也是一个半群，通常称<B,*> 是半群<S,*>的子半群;
设<S,*>是一个独异点，BS,eB且*在B上是 封闭的，那么<B,*>也是一个独异点，通常称 <B,*>是独异点<S,*>的子独异点。
1x 4x44L2 4 x443nx
n个x
在半群<P(B), >中, xP(B), x的n次幂是
, n为偶数
1x 4 4x 2 L4
n个x
43x x, n为奇数
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n次幂（推广到群）
定义10.3 设<G,*>是一个群，xG, n Z, 定 义的x 的n次幂xn为:
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38
同态的性质
定理:设 f 是从代数系统A到代数系统B的 同态映射，则若A是半群(独异点)，则 同态象f (A)也是半群(独异点)
2020/2/8
39
半群的同态性质
定理 设V= <S,∗>为半群，V ’= <SS,∘>，∘为映射复合，
则V ’也是半群，且存在V 到V ’ 的同态.
e
xn
xn1x
( x 1 ) n
n0 n0 n0
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元素的阶
定义10.4 设G是群， aG，元素a 的阶 |a|：使得 ak=e 成立的最小正整数k. 记作 |a|=k, 也称a为k阶元
与群的阶比较
有限群的元素都是有限阶，比群的阶小（为群的阶的因 子！！！）；
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10.4
是单位元 可结合性在运算表中无特殊体现
*αβγδζ ααβγδζ ββγδζ α γγδζ αβ δδζ αβγ ζ ζ αβγδ
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群(Group)
定义10.1（3）：设<G,∘>是一个代数系统，其中G 是非空集合，∘是G上一个二元运算，如果 (1).运算∘是封闭的 (2).运算∘是可结合的 (3).存在单位元e (4).对于每一个元素x∈G，存在着它的逆元x-1
消去率：对于ab≡ac（mod m）来说，若 (a,m)＝1则b≡c(mod m)
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剩余类应用举例
例：通过同余式演算证明560-1是56的倍数。 解：
注意53=125≡13(mod56) 于是有56≡132 ≡ 169≡1(mod56) 因此有560≡1(mod56)， 即有56∣560-1。
元素都是有限阶的群不一定是有限群.
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例10.6（元素的阶）
(1) <Z,+>无限群， |0|=1 (2) <Z6,+6>模6整数加群，元素的阶 (3) <Z4,+4>模4整数加群，元素的阶 (4) Klein 四元群G={e,a,b,c} (5) <P(B),>群中元素的阶
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例10.5(2)
Klein 四元群G={e,a,b,c} e=(0,0) a=(0,1) b=(1,0) c=(1,1) 运算º为逐分量模2加法,
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群的等价定义
定理 (等价定义) <G,∘>, ∘可结合，若存在右
单位元e，且每个元素a 相对于e 存在右逆元a’， 则G是群. 证明:
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例10.2
Σ={a,b} ，Σ+为所有由a,b组成的字符 串 ,“ ·”为字符串的连接运算.
思考：半群<Σ+ ,·> 是否做成独异点？
➢空串 ➢Σ*=Σ+{} ➢<Σ* ,·> 做成独异点
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例10.3
幂集<P(B),>？ <P(B), >？ <P(B), >？
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模n剩余类
设Z是整数集合，n是任意正整数，Zn是
由模n的同余（剩余）类组成的集合， 在Zn上定义两个二元运算+m 和m:
[i],[j]Zn
[i]+m[j]=[(i+j) mod m]
[i]m[j]=[(ij) mod m]
eg. <Zn,+n>，<Zn,n> 数和不为素数两种)
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例10.1
<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>,<C,+>为半群 设n>2,<Mn(R),+>, <Mn(R), ·>为半群 <P(B),>,<P(B), >,<P(B), >为半群 A={a1, a2, ..., an},n∈Z+,*为A上的二元运算,∀a, b ∈A
有ai*aj=ai , 则A关于*运算构成半群 Sk={x|x∈Z∧x≥k}，<Sk,+>为半群 <Z+,->，<R,/>不是半群
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例10.2
Σ={a,b} ，Σ+为所有由a, b组成的字符串 , “ ·”为字符串的连接运算.
则< Σ+ , ·> 做成半群。
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则称<G,∘>是一个群
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例10.1
Sk={x|x∈Z∧x≥k}， <Sk,+>(k>0) ？ <S0,+>？
不是群 不是群
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例10.2
Σ={a,b} ，Σ+为所有由a,b组成的字符 串 ,” ·”为字符串的连接运算. ➢空串 ➢Σ*=Σ+{} ➢<Σ* ,·>
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例10.6（交换群）
(1) <Z,+>无限群; (2) <Z6,+6>模6整数加群，阶为6 (3) <Z4,+4>模4整数加群，阶为4 (4) Klein 四元群G={e,a,b,c}，阶为4 (5) <P(B),>群，阶为| P(B)|
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半群S的子代数是S的子半群,独异点S的子代数 是S的子独异点
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子半群举例
A
a 0
0 0
a
R
A关于矩阵乘法构成半群< A, ·>, 且它是< M2(R) , ·>的
子半群,令
V
A,
g,
1 0
0
0
,
则V是子独异点
第十章 群与环-
半群和群的定义和性质
主要内容
半群 独异点 群
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半群
定义10.1(1)： <S,∘>是一个代数系统， 其中S是非空集合，∘是S上的一个二元 运算(运算∘是封闭的)，如果运算∘是 可结合的，即对任意的x,y,z∈S， 满足(x∘y)∘z=x∘(y∘z) 则称代数系统<S,∘>为半群.