矩形的定义和性质

D M N B C
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2、如图，矩形AEFG和矩形ADCB的大小、形状完全相同， 如图，矩形AEFG和矩形ADCB的大小、形状完全相同， AEFG和矩形ADCB的大小 把它们拼成如图所示的L型图案，已知∠FAE=30° 把它们拼成如图所示的L型图案，已知∠FAE=30°,分别 的度数。 求∠1、∠2的度数。
D O C
∴OA=OD， 又∵∠AOB=60°， ， ∵∠ ° 图中我们常见的特殊 ∴△AOB是等边三角形 是等边三角形 ∴OA=AB=4（cm） （ ） ∴矩形的对角线AC=BD=2OA=8 ( cm ) . 矩形的对角线
三角形有哪些？ 三角形有哪些？
如图，矩形ABCD的对角线的长为2 ABCD的对角线的长为 1、如图，矩形ABCD的对角线的长为2， 则矩形ABCD的面积为______. ABCD的面积为 ∠BDC=300,则矩形ABCD的面积为______. 3 矩形两条对角线所夹的锐角为60 60° 2、矩形两条对角线所夹的锐角为60°,较短 7.2 的边长为3.6cm,则对角线的长为_____ 3.6cm,则对角线的长为_____cm. 的边长为3.6cm,则对角线的长为_____cm.
矩形的问题可以 转化到直角三角形 直角三角形或 转化到直角三角形或 等腰三角形来解决 来解决． 等腰三角形来解决．
如图，矩形 的两条对角线相交于点Ｏ， 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点Ｏ， 的两条对角线相交于点 AB=4cm,∠AOB=60°,求矩形对角线的长。 求矩形对角线的长。 ∠ ° 求矩形对角线的长 D 四边形ABCD是矩形， A 是矩形， 解：∵四边形 是矩形
试一试
已知矩形ABCD,请找出所有的直角三角形和 已知矩形ABCD,请找出所有的直角三角形和 ABCD,请找出所有的直角三角形 等腰三角形. 等腰三角形. △ 、 △ 、 C Rt△ADC、 Rt△DCB、 D Rt△DAB、 Rt△ABC、 △ 、 △ 、
O
A
B
△ADO、 △DOC、 、 、 △COB、 △AOB、 、 、
作斜边AB边的中线
则 AD=CD=
1 2
AB
1 2
又∵AB=2AC ∴AC=AD=CD= AB
∴⊿ACD是等边三角形 ∴∠A=60° B ∴∠B=30 °
C
4.矩形 矩形ABCD 矩形 中,AB=2BC,AE=AB,求∠EBC 求 的度数 E
D
C
A
B
5.设矩形 设矩形ABCD和矩形 和矩形AEFC的面积分 设矩形 和矩形 的面积分 别为S1、S2，则二者的大小关系是： 别为 则二者的大小关系是： S1________S2．
相等且互相平分。 ∴AC与BD相等且互相平分。 与 相等且互相平分 ∴ OA = OB。 。 又 ∠AOB=60°， ° B ∴ ∆OAB是等边三角形 是等边三角形 ∴OA=AB=4（cm） （ ） ∴ AC=BD = 2OA=2×4=8（cm） × （ ）
600 1200
O
C
变式： 的长。 变式：若BD=8cm,∠AOD=120°，求边 的长。 ∠ ° 求边AB的长
学有所得
A O B C D
直角三角形的性质: 直角三角形的性质: 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半. 等于斜边的一半.
即兴练一练: 即兴练一练: 已知一直角三角形两直角边分别为6 8,则其 已知一直角三角形两直角边分别为6和8,则其 5 斜边上的中线长为________. 斜边上的中线长为________.
F 1 E H D 2 C
解:依题意可知: 依题意可知: ∠FAE=∠DCA=30 °,AF=AC ∴∠DAC=60 °, ∴∠FAC=90 °,
G
A
∴∠1=45 °, B ∴∠2=∠ACF-∠ACD=15 ° ∴∠2=∠ACF-
如图， ABC为直角三角形 为直角三角形， C=90° 如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°,现将补成 矩形， ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点 的两个顶点为矩形一边的两个端点， 矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点， 第三个顶点落在矩形这一边的对边上， 第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求 的矩形可以画出两个，矩形ACBD和矩形AEFB ACBD和矩形 的矩形可以画出两个，矩形ACBD和矩形AEFB D A 矩形ACBD和矩形AEFB ACBD和矩形AEFB的 1）矩形ACBD和矩形AEFB的 面积有何数量关系？ 面积有何数量关系？ B 如果△ABC是钝角三角形 是钝角三角形， 2）如果△ABC是钝角三角形， E 按短文中的要求把它补成矩形那么 C 符合要求的矩形可以画出几个？ 符合要求的矩形可以画出几个？ F 试试看。 试试看。 3)如果 ABC是锐角三角形呢 如果△ 是锐角三角形呢? 3)如果△ABC是锐角三角形呢?
问题: 体育节中有一投圈游戏, 问题: 体育节中有一投圈游戏,四个同学分别站
在一个矩形的四个顶点处， 在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的 交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？ 交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？ A D
O
B
C
公平,因为 公平 因为OB=OD = OA=OC 因为
已知: 如图，矩形ABCD的 A 已知 如图，矩形 的 两条对角线交于点O, 两条对角线交于点 AB= 4cm ，∠AOB=60°。 求矩形对角线的长。 求矩形对角线的长。 B
是矩形， 解：∵四边形ABCD是矩形， 四边形ABCD是矩形 相等且互相平分. ∴AC与BD相等且互相平分 与 相等且互相平分
§19.2 .1矩形的定义、性质 矩形的定义、 矩形的定义
矩形
平行四边形有哪些性质？ 平行四边形有哪些性质？
边 角 对角线 对称性 中心对 称图形
平行四 对边平行 对角相等 对角线互 边形 且相等 邻角互补 相平分
细心观察平行四边形内角的变化
学习新知
定义：有一个角是直角的 定义：有一个角是直角的平行 直角 四边形叫做矩形 叫做矩形． 四边形叫做矩形．
6.已知如图，O是矩形 已知如图， 是矩形 是矩形ABCD对角 已知如图 对角 线的交点， 平分 平分∠ 线的交点，AE平分∠BAD， ， ∠AOD=1200，求∠EAO的度数和 的度数和 ∠OEA的度数 。 的度数
7.已知：如图，在四边形ABCD中 7.已知：如图，在四边形ABCD中， 已知 ∠ABC=∠ADC=900，M是AC的中点，N是 ABC=∠ AC的中点 的中点， BD的中点。 BD的中点 的中点。 （1）试判断MD与MB的大小关系。 试判断MD与MB的大小关系 的大小关系。 （2）试判断MN与BD的位置关系。 试判断MN与BD的位置关系 的位置关系。
边 平行四 边形 矩形
角
对角线 对角线互 相平分
对称性 中心对 称图形
对边平行 对角相等 邻角互补 且相等 对边平行 四个角 且相等 为直角
对角线互相 中心对称图形 平分且相等 平分且相等 轴对称图形
O
这是矩形所 特有的性质
1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性 质是（ 质是（ A ）. A、对角线相等 B、对边相等 C、对角相等 D、对角线互相平分 矩形的一组邻边长分别是3cm 4cm， 3cm和 2、 矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm， 则它的对角线长是 5 cm.
A D
┓
B
C
学海
无涯
2.在 Rt∆ABC 中，斜边AC上的中线 和高分别是6cm和5cm，则 Rt∆ABC 的 面积S=（ 30cm2 ）。
A
A
D E B C
3.在Rt⊿ABC中， 3.在Rt⊿ABC中 C=90° ∠C=90°， AB=2AC. 的度数. 求∠ A 、 ∠B 的度数.
A D
思路分析
为直角三角形的有关 问题进行解答. 问题进行解答.
∴BC=7
ABCD的周长为 ∴矩形ABCD的周长为22cm 矩形ABCD的周长为22cm
说说：
今天的收获…… 今天的收获 你还有什么不明白的地方…… 你还有什么不明白的地方
1、矩形定义： 、矩形定义： 有一个角是直角的平行四边形叫矩形 矩形的对边平行且相等 2、矩形 、 矩形的四个角均为直角 矩形的对角线互相平分且相等 3、直角三角形的一个重要性质：斜边上的中线 、直角三角形的一个重要性质： 等于斜边的一半； 等于斜边的一半； 4、在矩形中进行有关计算或证明，常根据矩形的性 、在矩形中进行有关计算或证明， 质将问题转化到直角三角形或等腰三角形中， 质将问题转化到直角三角形或等腰三角形中，利用 进行解题。 直角三角形或等腰三角形的有关性质 进行解题。
A B A O D
第1题 题
D
C
B
第2题 题
C
3、矩形ABCD中,AC、BD相交于点O， 矩形ABCD中,AC、BD相交于点O ABCD 相交于点 AB=6，BC=8， ABO的周长为 16 的周长为_____ AB=6，BC=8，则△ABO的周长为_____
A O B C D
1、如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E， 如图，矩形ABCD中 AE平分∠BAD交BC于点E ABCD 平分 于点 ED=5cm,EC=3cm,求矩形的周长。 ED=5cm,EC=3cm,求矩形的周长。 求矩形的周长 A 四边形ABCD ABCD是矩形 D 解：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠C＝∠B=∠BAD=90°,AB=DC ∴∠C B=∠BAD=90° ∵DE=5,EC=3 ∴DC2=DE2-EC2=52-32,即：DC=4 ∵AE平分 平分∠ B C ∵AE平分∠BAD E ∴∠BAE=45° ∴∠BAE=45° 注:解决矩形的有关问 ∴AB=BE＝ 题时, 题时,常根据性质转化 ∴AB=BE＝4
A
D
求证:矩形的对角线相等 求证 矩形的对角线相等
O B 已知：矩形 已知：矩形ABCD中， 中 对角线AC和 相交于点 相交于点O, 对角线 和BD相交于点 求证： 求证：AC=BD
C 证明一： 四边形ABCD ABCD是矩形 证明一：∵四边形ABCD是矩形 矩形的性质： 矩形的性质： ∴AB=CD,∠ABC=∠DCB ABC≌△ ∴△ABC≌△DCB 1、矩形的四个角均为直角 ∴AC=BD 证明二： 四边形ABCD ABCD是矩形 证明二：∵四边形ABCD是矩形 2 ∠ABC=∠DCB=90°， AB=CD ∠ABC=∠DCB=90 ∴、矩形的对角线相等 AC2 = AB2 + BC2 , BD2 = CD2 + BC2 ∴ 注：矩形还含有平行四边形的所有性质 ∴AC=BD
A
在 Rt∆ABC 中，∠ABC=900 ， BO是斜边 上的中线 是斜边AC上的中线 是斜边 O
D
B
1 1 1 OB=OD OB = AC AC= BD = OA=OC= 2 2 2
C
推论： 推论：直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半。 斜边的一半。
练一练
已知△ABC是Rt△ ,BD是斜边 1. 已知△ABC是Rt△,∠ABC=900,BD是斜边 AC上的中线 上的中线. AC上的中线. (1)若BD=3㎝ AC＝ 6 (1)若BD=3㎝,则AC＝______ ㎝; 10 (2)若 C=30°,AB＝ AC＝_____㎝ (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____㎝, 5 BD＝_____㎝ BD＝_____㎝.
19
四边形
作
P95练习题 P95练习题 习题19.2 习题19.2 复习题19 复习题19
业
1、2、3 4、9、 3、
学海
无涯
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ 1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（A ） 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 A.对角线相等 B.对边相等 A.对角线相等 B.对边相等 C.对角相等 D.对角线互相平分 C.对角相等 D.对角线互相平分 2.下面性质中，矩形不一定具有的是（ 2.下面性质中，矩形不一定具有的是（ D ） 下面性质中 A.对角线相等 B.四个角相等 A.对角线相等 B.四个角相等 C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直 D.对角线互相垂直 C.是轴对称图形
1、是平行四边形 2、有一个角为直角
选择题:下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、 选择题:下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、 矩形的关系
四边形 矩形 平行四边形 四边形 平行四边形 矩形
A
四边形 平行四边形 矩形
B
四边形 矩形 平行四边形
C
D
在操作过程中,请你思考下列问题: 在操作过程中,请你思考下列问题: 1、平行四边形变成矩形时，图形的内角 平行四边形变成矩形时， 有何特征？ 有何特征？ 平行四边形变成矩形时， 2、平行四边形变成矩形时，两条对角线 的长度有什么关系？ 的长度有什么关系？