矩形的定义和性质
矩形及特殊矩形知识点(经典完整版)
矩形及特殊矩形知识点(经典完整版)
1. 矩形定义
矩形是一种具有四条相等长度的边且四个角都为直角的四边形。
2. 矩形的性质
- 矩形的对角线相等。
- 矩形的两条对边平行且相等。
- 矩形的四个角都为直角。
- 矩形的相邻两边互相垂直。
3. 特殊矩形
除了常见的矩形外，还有一些特殊类型的矩形，包括正方形、
长方形和黄金矩形。
3.1 正方形
正方形是一种特殊的矩形，它的四条边长度相等，且每个角都
为直角。
正方形具有以下性质：
- 任意一条边的长度可以表示为正方形的对角线长度的平方根
乘以√2。
- 正方形的对角线长度等于边长乘以√2。
3.2 长方形
长方形是一种具有不相等的长和宽的矩形，它的两对边分别平行且长度相等。
长方形具有以下性质：
- 长方形的对角线长度可以通过长和宽的值应用勾股定理来计算。
3.3 黄金矩形
黄金矩形是一种特殊的矩形，它的长和宽比例接近黄金分割比例。
黄金矩形具有以下性质：
- 黄金矩形的长和宽的比例可以接近黄金分割比例1:1.618。
- 黄金矩形的长和宽比例可以通过对角线长度的比例来计算。
4. 应用
矩形及其特殊类型的知识在几何学、工程学和建筑学中具有广泛的应用。
矩形可以用于设计建筑物的平面布局、计算房间面积、绘制电路图等。
以上是关于矩形及特殊矩形知识点的经典完整版介绍。
*注：以上内容为简要介绍，未涉及具体应用举例。
如需详细了解，请参考专业教材或专业指导。
*。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定基础知识点1、矩形的性质和判定：定 义矩 形有一个内角是直角的平行四边形。
性质边对边平行，对边相等。
角 四个角相等，都是直角。
对角线互相平分，相等。
判定有一个角是直角的平行四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
2、在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
3、矩形是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线所在的直线。
例题剖析例1、 已知矩形ABCD 中，AB=2BC ，点E 在边DC 上，且AE=AB ，求∠EBC 的度数．【变式练习】矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ，•求证：BE=CF ．【变式练习】在矩形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，过顶点C 作BD•的平行线与AB 的延长线相交于点E ，求证：△ACE 是等腰三角形．例2、折叠矩形ABCD 纸片，先折出折痕BD ，再折叠使A 落在对角线BD 上A ′位置上，折痕为DG ，AB=2，BC=1。
求AG 的长。
GA`DCBA【变式练习】如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在F 的位置，BF 交AD 于E ，AD=8,AB=4，求△BED 的面积。
EDC BAF例3、在△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的中线，延长BD到E，•使DE=BD，连结AE，CE，求证：四边形ABCE是矩形．【变式练习】在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。
求证：四边形ADCE是矩形。
例4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．【变式练习】（2011•青岛）在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC ，当CA=CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论【变式练习】E 为□ABCD 外一点，AE ⊥CE,BE ⊥DE ，求证：□ABCD 为矩形例5、□ABCD 中，AE 、BF 、CG 、DH 分别是各内角的平分线，E 、F 、G 、H 为它们的交点， 求证：四边形EFGH 的矩形。
什么是矩形_矩形的性质
什么是矩形_矩形的性质矩形是一种平面图形，包括长方形与正方形，那么你对矩形了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是矩形的内容，希望大家喜欢!什么是矩形矩形(rectangle)是一种平面图形，包括长方形与正方形。
是特殊的平行四边形，因为平行四边形具有不稳定性，所以当改变一个内角大小，而不改变各边长并仍保证为平行四边形矩形至直角时，便有了矩形。
所以矩形的四个角都是直角，同时矩形的两组对边分别相等，对角相等，邻角互补，对角线相等且互相平分，故两条对角线可以将一个矩形分为四个面积相等的等腰三角形，而且在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。
还有我们知道，在任意四边形中，顺次连接各边中点，所得图形即为平行四边形{可用中位线定理证明}。
而在一个对角线互相垂直的四边形中，顺次连接各边中点，所得图形即为矩形。
判定矩形一般有3种基本方法：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形{定义判定法}2.有三个角是直角的四边形是矩形3.对角线相等的平行四边形{即对角线相等且互相平分的四边形}是矩形矩形的判定1.一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.对角线相等的平行四边形是矩形。
3.三个内角都是直角的四边形是矩形。
说明：矩形和正方形都是平行四边形。
平行四边形的定义在矩形上仍然适用。
矩形的性质(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有;②角：矩形的四个角都是直角;③边：邻边垂直;④对角线：矩形的对角线相等;⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线;对称中心是两条对角线的交点.(3)由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.矩形判定应用例1：已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4.求这个平行四边形的面积。
分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形(如图个4-37)，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积为例2：已知：如图4-38在ABCD中，M为BC中点，∠MAD=∠MDA.求证：四边形ABCD是矩形.分析：根据定义去证明一个角是直角，由△ABM≌DCM(SSS)即可实现。
矩形与正方形的认识与性质
矩形与正方形的认识与性质矩形和正方形是我们学习数学时常遇到的两种形状，它们在几何学中有着重要的地位。
本文将从不同角度来探讨矩形和正方形的认识和性质。
一、矩形的定义与认识矩形是一种四边形，有四个内角都是直角的多边形。
我们可以把矩形看作是一种特殊的平行四边形，因为它们的对边是平行的，且相邻边长相等。
矩形具有一些固有的性质，如对角线相等、对角线互相平分等。
1.1 矩形的定义矩形的定义是一个四边形，它的四个内角都是直角的多边形。
在数学中，通过定义我们可以清晰地了解矩形的形状特点。
1.2 矩形的性质矩形具有以下性质：1) 相邻边长度相等：矩形的相邻边相等，这是矩形与其他四边形的一个显著区别之处。
2) 对角线相等：矩形的两条对角线相等，并且互相平分。
3) 内角是直角：由于定义中明确了矩形的四个内角都是直角，所以这也是矩形的重要性质之一。
二、正方形的定义与认识正方形是一种特殊的矩形，它具有矩形所有的性质，同时还有一些独特的特点。
正方形在几何学中被广泛应用，例如建筑设计、绘图等领域。
2.1 正方形的定义正方形是一种具有四个相等边长且四个内角都是直角的四边形。
正方形可以视作是一种特殊的矩形，因此它也具有矩形的性质。
2.2 正方形的性质正方形具有以下性质：1) 边长相等：正方形的四条边都相等，因此它是对称的。
2) 内角是直角：正方形的四个内角都是直角，这也是正方形与其他四边形的一个重要区别。
3) 对角线相等：正方形的两条对角线相等，并且互相平分。
4) 对称性：正方形是一种对称图形，可以通过某条对称轴进行镜像对称。
三、矩形与正方形的区别矩形和正方形在形状上有明显的区别。
正方形可以视为一种特殊的矩形，因此矩形是一个更广义的概念，而正方形则是一种特殊情况。
3.1 形状区别矩形的相邻边可以不相等，而正方形的四条边是完全相等的。
由于矩形的性质更为广泛，我们可以将正方形看作是一种特殊的矩形。
3.2 对角线区别矩形的对角线可以不等长，而正方形的两条对角线是相等的。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定【知识梳理】一、定义：有一个是直角的平行四边形是矩形。
二、性质：①矩形的四个角都是直角②矩形的对角线相互平分且相等③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴④矩形的面积5=长*宽三、判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
四、矩形与平行四边形的区别与联系：①相同点1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、两组对角分别相等4、对角线相互平分②区别1、有一个角是直角的平行四边形矩形2、对角线相互平分且相等【例题精讲】考点1矩形的性质【例1】已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF,求证：AF二DE。
△“【例2】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是B C，AD上的点，且BE=DF。
求证：AABE/A CDF。
【例3】如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O,/AOB=600,AB=2，则矩形的对角线AC的长是（）A.2B.4c.2<3D.4<3【变式1】下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（）A、对边相等B、对角相等C、对角线相等D、对边平行【变式2】矩形ABCD的对角线AC、BD交于O，如果A AB C的周长比A AOB的周长大10cm，则边AD的长是。
【变式3】如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果Z BAF=60。
，则/DAE=考点2矩形的判定【例4】如图，在4ABC中，AB=AC,D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。
求证：四边形ADCE 是矩形。
【例5】如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，4ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。
【例6】如图，平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是/DAB、^ABC,Z BCD、Z CDA的平分线，AQ与BN交于P,CN与DQ交于M，证明：四边形PQM N是矩形。
矩形的性质与判定
矩形的周长计算与性质
矩形的周长计算：
• 两倍的长加上两倍的宽 • 对角线的和
矩形的周长性质：
• 周长大于等于零 • 周长是一个常数
矩形在实际问题中的应用案例
建筑设计中的矩形框架：
• 节省材料 • 结构稳定
电子元件中的矩形封装：
• 方便安装 • 散热性能好
04
矩形与其他图形的关系与转化
矩形与平行四边形的关系与转化
矩形的性பைடு நூலகம்与判定
CREATE TOGETHER
DOCS
01
矩形的定义与基本性质
矩形的定义及其几何特征
矩形的定义：
• 有四个角都是直角的四边形 • 对边平行且相等
矩形的几何特征：
• 对边平行且相等 • 四个角都是直角 • 对角线相等且互相平分
矩形的实际应用：
• 建筑设计中的矩形框架 • 电子元件中的矩形封装
• 矩形可以通过对角线平移转化为正方形 • 正方形可以通过对角线折叠转化为矩形
矩形与长方形的关系与转化
矩形与长方形的关系：
• 矩形是长方形的一种特殊情况 • 长方形是特殊的矩形
矩形与长方形的转化：
• 矩形可以通过对角线平移转化为长方形 • 长方形可以通过对角线折叠转化为矩形
05
矩形在几何解题中的策略与方法
矩形的对边平行且相等
矩形的对边平行且相等的性质：
• 对角线互相平分 • 对角线相等
矩形的对边平行：
• 同一列的边平行 • 同一行的边平行
矩形的对边相等：
• 同一列的边相等 • 同一行的边相等
矩形的四个角都是直角
矩形的角：
• 四个角都是直角 • 直角的角度为90度
矩形的直角性质：
专题15 矩形的性质与判定(解析版)
专题15 矩形的性质与判定【考点归纳】（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（5）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．【好题必练】一、选择题1．（2020秋•光明区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB 上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（）A．1.2B．1.5C．2.4D．2.5【答案】A【解析】解：连接CM，如图所示：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CEMF是矩形，∴EF＝CM，∵点P是EF的中点，∴CP＝EF，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，∴CM＝＝＝2.4，∴CP＝EF＝CM＝1.2，故选：A．2．（2020秋•凤翔县期末）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（）A．1.5B．2C．4.8D．2.4【答案】C．【解析】解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠C＝90°，∴四边形BNPM是矩形，∴MN＝BP，由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，此时，S△ABC＝BC•AB＝AC•BP，即×8×6＝×10•BP，解得：BP＝4.8，即MN的最小值是4.8，故选：C．3．（2020•竹溪县模拟）下列说法中，错误的是（）A．菱形的对角线互相垂直B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．矩形的四个内角都相等D．四个内角都相等的四边形是矩形【答案】B【解析】解：A、∵菱形的对角线互相垂直，∴选项A不符合题意；B、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴选项B符合题意；C、∵矩形的四个角都是直角，∴矩形的四个内角都相等，∴选项C不符合题意；D、∵四个内角都相等的四边形是四个角都是直角，∴四个内角都相等的四边形是矩形，∴选项D不符合题意；故选：B．4．（2020秋•武侯区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（）A．5B．2.5C．4.8D．2.4【答案】D．【解析】解：连接AP，如图所示：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，EF与AP互相平分，∵M是EF的中点，∴M为AP的中点，∴PM＝AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，∴当AP⊥BC时，AP＝＝4.8，∴AP最短时，AP＝4.8，∴当PM最短时，PM＝AP＝2.4．故选：D．5．（2020春•沙坪坝区校级月考）下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的邻边一定相等C．对角线相等的四边形是矩形D．有三个角为直角的四边形为矩形【答案】D．【解析】解：A、∵矩形的对角线互相平分且相等，∴选项A不符合题意；B、∵矩形的邻边一定垂直，不一定相等，∴选项B不符合题意；C、∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴选项C不符合题意；D、∵有三个角为直角的四边形为矩形，∴选项D符合题意；故选：D．6．（2020春•江夏区期末）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（）A．1.5B．2C．2.4D．2.5【答案】C．【解析】解：连接BP，如图所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝10，∴BP＝MN，BP与MN互相平分，∵点O是MN的中点，∴BO＝MN，当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝4.8，∴MN＝4.8，∴BO＝MN＝2.4，故选：C．二、填空题7．（2020•顺义区一模）如图，将一矩形纸片ABCD沿着虚线EF剪成两个全等的四边形纸片．根据图中标示的长度与角度，求出剪得的四边形纸片中较短的边AE的长是．【答案】3【解析】解：过F作FQ⊥AD于Q，则∠FQE＝90°，∵四边形ABCD是长方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DC＝4，AD∥BC，∴四边形ABFQ是矩形，∴AB＝FQ＝DC＝4，∵AD∥BC，∴∠QEF＝∠BFE＝45°，∴EQ＝FQ＝4，∴AE＝CF＝×（10﹣4）＝3，故答案为：3．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．【答案】【解析】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值为；故答案为：．9．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为cm．【答案】【解析】解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF为矩形，连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，当AP⊥BC时，AP的值最小，根据△ABC面积公式，×AB•AC＝×AP•BC，∴AP＝＝＝，∴EF的最小值为．故答案为．10．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是．【答案】【解析】解：连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；又∵∠ACB＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴AC•BC＝AB•PC，∴PC＝．∴线段EF长的最小值为；故答案是：．11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为．【答案】2.4【解析】解：连接AP，∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2，即∠BAC＝90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP，∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，∴EF的最小值为2.4，故答案为：2.4．三、解答题12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，求四边形的ABCD面积．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE⊥AC，DE⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形；（2）解：由（1）知，四边形OCED是菱形，则CE＝OD＝1，DE＝OC＝2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×2＝4．【解析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF ＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CF＝BE，∴BC＝EF，∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形；（2）解：∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AC＝10，∴AE＝AC＝5，AB＝10，BO＝5，∵AD＝EF＝10，∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积＝×10×10＝50，故答案为：50．【解析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的判定定理得到Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），求得矩形AEFD的面积＝菱形ABCD 的面积，根据等腰三角形的性质得到结论．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．【答案】（1）证明：∵菱形ABCD，∴AD∥BC．∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：∵AE＝4，AD＝5，∴AB＝5，BE＝3．∵AB＝BC＝5，∴CE＝8．∴AC＝4，∵对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO＝2．∴OE＝2．【解析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据已知条件得到得到CE＝8．求得AC＝4，于是得到结论．15．（2020•石景山区一模）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）连接AE交CD于点F，连接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠CAD＝∠ACB＝90°．又∵∠ACE＝90°，DE⊥BC，∴四边形ACED是矩形．（2）解：∵四边形ACED是矩形，∴AD＝CE＝2，AF＝EF，AE＝CD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝2，AB＝CD．∴AB＝AE．又∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形．∴∠BFE＝90°，．在Rt△BFE中，．【解析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC．所以∠CAD＝∠ACB＝90°．又∠ACE ＝90°，即可证明四边形ACED是矩形；（2）根据四边形ACED是矩形，和四边形ABCD是平行四边形，可以证明△ABE是等边三角形．再根据特殊角三角函数即可求出BF的长．16．（2020春•灌云县期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，求四边形AODE的面积．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴四边形AODE是矩形；（2）解：∵△ABC是边长为2的正三角形，∴AB＝AC＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABCD为菱形，∴AO＝AC＝1，OD＝OB，∵∠AOB＝90°，∴OB＝＝＝，∴OD＝OB＝，∵四边形AODE是矩形，∴四边形AODE的面积＝×1＝．【解析】（1）根据题意可判断出四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质可得出AC⊥BD，即∠AOD ＝90°，继而可判断出四边形AODE是矩形；（2）由菱形的性质和勾股定理求出OB，得出OD，由矩形的面积公式即可得出答案。
八年级数学矩形的性质
矩形的两个相邻角互为补角，即它们 的角度和为180度。
对角相等
矩形的对角线将矩形分成四个相等的 直角三角形，因此矩形的对角相等。
角平分线性质
角平分线性质
矩形的四个角都是直角，因此其角平分线将相邻两边分别平分，形成两个相等 的直角三角形。
角平分线与对角线关系
矩形的角平分线与对角线互相垂直，形成一个“X”形，将矩形分成四个相等的 部分。
元件封装
电子元件的封装常常采用矩形 形状，如矩形扁平封装（QFP）、 矩形球栅阵列封装（BGA）等， 以提高元件的集成度和可靠性。
连接器设计
矩形在连接器设计中也常被采 用，如排针、排母等，以实现 电子设备之间的稳定连接。
04
矩形与其他几何形状的关系
与平行四边形的关系
矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有 性质。
TH方形是一种特殊的矩形，具 有矩形的所有性质。
正方形的所有边都相等，所有 角都是直角，而矩形只有所有 角是直角。
正方形的对角线相等且互相平 分，而矩形的对角线相等且互 相平分。
05
矩形性质的证明与推导
对角线的性质证明
证明矩形对角线相等
根据勾股定理，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边 的平方。由于矩形的对角线互相平分且垂直，所以矩形对角 线相等。
八年级数学矩形的性质
目
CONTENCT
录
• 引言 • 矩形的性质 • 矩形在生活中的应用 • 矩形与其他几何形状的关系 • 矩形性质的证明与推导
01
引言
目的和背景
01
掌握矩形的性质是解决数学问题 的基础，特别是在几何学中。
02
通过了解矩形的性质，学生可以 更好地理解几何图形的特性和关 系，为进一步学习其他几何图形 打下基础。
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则 AD=CD=
1 2
AB
1 2Βιβλιοθήκη 又∵AB=2AC ∴AC=AD=CD= AB
∴⊿ACD是等边三角形 ∴∠A=60° B ∴∠B=30 °
C
4.矩形 矩形ABCD 矩形 中,AB=2BC,AE=AB,求∠EBC 求 的度数 E
D
C
A
B
5.设矩形 设矩形ABCD和矩形 和矩形AEFC的面积分 设矩形 和矩形 的面积分 别为S1、S2，则二者的大小关系是： 别为 则二者的大小关系是： S1________S2．
D M N B C
A
2、如图，矩形AEFG和矩形ADCB的大小、形状完全相同， 如图，矩形AEFG和矩形ADCB的大小、形状完全相同， AEFG和矩形ADCB的大小 把它们拼成如图所示的L型图案，已知∠FAE=30° 把它们拼成如图所示的L型图案，已知∠FAE=30°,分别 的度数。 求∠1、∠2的度数。
D O C
∴OA=OD， 又∵∠AOB=60°， ， ∵∠ ° 图中我们常见的特殊 ∴△AOB是等边三角形 是等边三角形 ∴OA=AB=4（cm） （ ） ∴矩形的对角线AC=BD=2OA=8 ( cm ) . 矩形的对角线
三角形有哪些？ 三角形有哪些？
如图，矩形ABCD的对角线的长为2 ABCD的对角线的长为 1、如图，矩形ABCD的对角线的长为2， 则矩形ABCD的面积为______. ABCD的面积为 ∠BDC=300,则矩形ABCD的面积为______. 3 矩形两条对角线所夹的锐角为60 60° 2、矩形两条对角线所夹的锐角为60°,较短 7.2 的边长为3.6cm,则对角线的长为_____ 3.6cm,则对角线的长为_____cm. 的边长为3.6cm,则对角线的长为_____cm.
相等且互相平分。 ∴AC与BD相等且互相平分。 与 相等且互相平分 ∴ OA = OB。 。 又 ∠AOB=60°， ° B ∴ ∆OAB是等边三角形 是等边三角形 ∴OA=AB=4（cm） （ ） ∴ AC=BD = 2OA=2×4=8（cm） × （ ）
600 1200
O
C
变式： 的长。 变式：若BD=8cm,∠AOD=120°，求边 的长。 ∠ ° 求边AB的长
边 平行四 边形 矩形
角
对角线 对角线互 相平分
对称性 中心对 称图形
对边平行 对角相等 邻角互补 且相等 对边平行 四个角 且相等 为直角
对角线互相 中心对称图形 平分且相等 平分且相等 轴对称图形
O
这是矩形所 特有的性质
1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性 质是（ 质是（ A ）. A、对角线相等 B、对边相等 C、对角相等 D、对角线互相平分 矩形的一组邻边长分别是3cm 4cm， 3cm和 2、 矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm， 则它的对角线长是 5 cm.
A D
┓
B
C
学海
无涯
2.在 Rt∆ABC 中，斜边AC上的中线 和高分别是6cm和5cm，则 Rt∆ABC 的 面积S=（ 30cm2 ）。
A
A
D E B C
3.在Rt⊿ABC中， 3.在Rt⊿ABC中 C=90° ∠C=90°， AB=2AC. 的度数. 求∠ A 、 ∠B 的度数.
A D
思路分析
A
在 Rt∆ABC 中，∠ABC=900 ， BO是斜边 上的中线 是斜边AC上的中线 是斜边 O
D
B
1 1 1 OB=OD OB = AC AC= BD = OA=OC= 2 2 2
C
推论： 推论：直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半。 斜边的一半。
练一练
已知△ABC是Rt△ ,BD是斜边 1. 已知△ABC是Rt△,∠ABC=900,BD是斜边 AC上的中线 上的中线. AC上的中线. (1)若BD=3㎝ AC＝ 6 (1)若BD=3㎝,则AC＝______ ㎝; 10 (2)若 C=30°,AB＝ AC＝_____㎝ (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____㎝, 5 BD＝_____㎝ BD＝_____㎝.
19
四边形
作
P95练习题 P95练习题 习题19.2 习题19.2 复习题19 复习题19
业
1、2、3 4、9、 3、
学海
无涯
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ 1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（A ） 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 A.对角线相等 B.对边相等 A.对角线相等 B.对边相等 C.对角相等 D.对角线互相平分 C.对角相等 D.对角线互相平分 2.下面性质中，矩形不一定具有的是（ 2.下面性质中，矩形不一定具有的是（ D ） 下面性质中 A.对角线相等 B.四个角相等 A.对角线相等 B.四个角相等 C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直 D.对角线互相垂直 C.是轴对称图形
A
D
求证:矩形的对角线相等 求证 矩形的对角线相等
O B 已知：矩形 已知：矩形ABCD中， 中 对角线AC和 相交于点 相交于点O, 对角线 和BD相交于点 求证： 求证：AC=BD
C 证明一： 四边形ABCD ABCD是矩形 证明一：∵四边形ABCD是矩形 矩形的性质： 矩形的性质： ∴AB=CD,∠ABC=∠DCB ABC≌△ ∴△ABC≌△DCB 1、矩形的四个角均为直角 ∴AC=BD 证明二： 四边形ABCD ABCD是矩形 证明二：∵四边形ABCD是矩形 2 ∠ABC=∠DCB=90°， AB=CD ∠ABC=∠DCB=90 ∴、矩形的对角线相等 AC2 = AB2 + BC2 , BD2 = CD2 + BC2 ∴ 注：矩形还含有平行四边形的所有性质 ∴AC=BD
试一试
已知矩形ABCD,请找出所有的直角三角形和 已知矩形ABCD,请找出所有的直角三角形和 ABCD,请找出所有的直角三角形 等腰三角形. 等腰三角形. △ 、 △ 、 C Rt△ADC、 Rt△DCB、 D Rt△DAB、 Rt△ABC、 △ 、 △ 、
O
A
B
△ADO、 △DOC、 、 、 △COB、 △AOB、 、 、
问题: 体育节中有一投圈游戏, 问题: 体育节中有一投圈游戏,四个同学分别站
在一个矩形的四个顶点处， 在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的 交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？ 交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？ A D
O
B
C
公平,因为 公平 因为OB=OD = OA=OC 因为
F 1 E H D 2 C
解:依题意可知: 依题意可知: ∠FAE=∠DCA=30 °,AF=AC ∴∠DAC=60 °, ∴∠FAC=90 °,
G
A
∴∠1=45 °, B ∴∠2=∠ACF-∠ACD=15 ° ∴∠2=∠ACF-
如图， ABC为直角三角形 为直角三角形， C=90° 如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°,现将补成 矩形， ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点 的两个顶点为矩形一边的两个端点， 矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点， 第三个顶点落在矩形这一边的对边上， 第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求 的矩形可以画出两个，矩形ACBD和矩形AEFB ACBD和矩形 的矩形可以画出两个，矩形ACBD和矩形AEFB D A 矩形ACBD和矩形AEFB ACBD和矩形AEFB的 1）矩形ACBD和矩形AEFB的 面积有何数量关系？ 面积有何数量关系？ B 如果△ABC是钝角三角形 是钝角三角形， 2）如果△ABC是钝角三角形， E 按短文中的要求把它补成矩形那么 C 符合要求的矩形可以画出几个？ 符合要求的矩形可以画出几个？ F 试试看。 试试看。 3)如果 ABC是锐角三角形呢 如果△ 是锐角三角形呢? 3)如果△ABC是锐角三角形呢?
1、是平行四边形 2、有一个角为直角
选择题:下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、 选择题:下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、 矩形的关系
四边形 矩形 平行四边形 四边形 平行四边形 矩形
A
四边形 平行四边形 矩形
B
四边形 矩形 平行四边形
C
D
在操作过程中,请你思考下列问题: 在操作过程中,请你思考下列问题: 1、平行四边形变成矩形时，图形的内角 平行四边形变成矩形时， 有何特征？ 有何特征？ 平行四边形变成矩形时， 2、平行四边形变成矩形时，两条对角线 的长度有什么关系？ 的长度有什么关系？
已知: 如图，矩形ABCD的 A 已知 如图，矩形 的 两条对角线交于点O, 两条对角线交于点 AB= 4cm ，∠AOB=60°。 求矩形对角线的长。 求矩形对角线的长。 B
是矩形， 解：∵四边形ABCD是矩形， 四边形ABCD是矩形 相等且互相平分. ∴AC与BD相等且互相平分 与 相等且互相平分
为直角三角形的有关 问题进行解答. 问题进行解答.
∴BC=7
ABCD的周长为 ∴矩形ABCD的周长为22cm 矩形ABCD的周长为22cm
说说：
今天的收获…… 今天的收获 你还有什么不明白的地方…… 你还有什么不明白的地方
1、矩形定义： 、矩形定义： 有一个角是直角的平行四边形叫矩形 矩形的对边平行且相等 2、矩形 、 矩形的四个角均为直角 矩形的对角线互相平分且相等 3、直角三角形的一个重要性质：斜边上的中线 、直角三角形的一个重要性质： 等于斜边的一半； 等于斜边的一半； 4、在矩形中进行有关计算或证明，常根据矩形的性 、在矩形中进行有关计算或证明， 质将问题转化到直角三角形或等腰三角形中， 质将问题转化到直角三角形或等腰三角形中，利用 进行解题。 直角三角形或等腰三角形的有关性质 进行解题。
A B A O D
第1题 题
D
C
B
第2题 题
C