空间点线面试题解析

9．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．

解：作出圆台的轴截面如图．

设O ′A ′＝r ，

∵一底面周长是另一底面周长的3倍，

∴OA ＝3r ，SA ′＝2r ，SA ＝32r ，OO ′＝2r .

由轴截面的面积为12

(2r ＋6r )·2r ＝392，得r ＝7. 故上底面半径为7，下底面半径为21，高为14，母线长为14 2.

10．一个正方体内接于高为40 cm ，底面半径为30 cm 的圆锥中，求正方体的棱长． 解：

如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x ，

则OC ＝22

x ， ∴22x 30＝40－x 40

， 解得x ＝120(3－22)，

∴正方体的棱长为120(3－22)cm.

15．(12分)如图K36－5，求图中阴影部分绕AB 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．

15．[解答] 由题意知， 所求旋转体的表面积由三部分组成：

圆台下底面、侧面和一半球面.

S 半球＝8π , S 圆台侧＝35π ，S 圆台底＝25π，

故所求几何体的表面积为68π .

由V 圆台＝43

×[π×22＋(π×22)×(π×52)＋π×52]＝52π， V 半球＝43π×23×12＝163

π. 所以，旋转体的体积为

V 圆台－V 半球＝52π－163π＝1403

π. 10．(2011·北京模拟)某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正(主)视图，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影

分别是长为a 和b 的线段，求a ＋b 的最大值．

解：如图，把几何体放到长方体中，使得长方体的对角线刚好为几何体的已知棱，设长方体的对角线A 1C ＝7，则它的正视图投影长为A 1B ＝6，侧视图投影长为A 1D ＝a ，俯视图投影长为A 1C 1＝b ，则a 2＋b 2＋(6)2＝2·(7)2，

即a 2＋b 2＝8，

又a ＋b 2

≤ a 2＋b 22

， ∴a ＋b ≤4.

而a ＋b 的最大值为4.

11．如图，已知圆柱的高为80 cm ，底面半径为10 cm ，轴截面上有P 、

Q 两点，且P A ＝40 cm ，B 1Q ＝30 cm ，若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点，

问蚂蚁爬过的最短路径是多少？

解：圆柱侧面沿母线AA 1展开，得到如图的矩形．所以A 1B 1＝12

·2πr ＝πr ＝10π(cm)．

作QS ⊥AA 1于点S ，在Rt △PQS 中，PS ＝80－40－30＝10(cm)，

QS ＝A 1B 1＝10π(cm)，

∴PQ ＝PS 2＋QS 2

＝(10π)2＋102

＝10π2＋1 (cm)．

即蚂蚁爬过的最短路径是10π2＋1 cm.

16．(12分)圆锥底面半径为5 cm ，高为12 cm ，有一个内接圆柱，其上底圆周在圆锥的侧面上，下底在圆锥底面内，求内接圆柱的底面半径为何值时，圆柱的表面积最大？最大值是多少？

图K36－6

16．[解答] 作圆锥的轴截面，它也是内接圆柱的轴截面，设内接圆柱的半径为x ，内接圆柱的高为h ，则有

12－h x ＝125

， ∴h ＝12－125

x ， 因此内接圆柱的表面积是x 的函数，

S 圆柱侧＝2πxh ＝2πx ⎝

⎛⎭⎫12－125x (0＜x ＜5)，S 底＝πx 2， ∴S 圆柱全＝2πx ⎝⎛⎭⎫12－125x ＋2πx 2＝2πx ⎝⎛⎭⎫12－75x ＝10π7·7x 5⎝⎛⎭⎫12－75x ≤10π7×62＝3607

π(cm 2)． 当且仅当7x 5＝12－75x ，即x ＝307

时，等号成立． 因此，当内接圆柱的底面半径为307 cm 时，内接圆柱的表面积最大，最大表面积是3607π cm 2.