结构的动力计算
第10章 结构动力计算基础
m
1
k
k
k
根据功的互等定理，有：
11 k
1 k
二、自由振动微分方程的解
2 y 单自由度体系自由振动微分方程写为： y 0
（10－2）
二阶齐次线性常微分方程 式中： 其通解为： 当初始条件
2
k 1 m m
y(t ) C1 sin t C 2 cost
t 简谐荷载（按正余弦规律变化） 一般周期荷载
t
（2）非周期荷载 冲击荷载：在很短时间内，荷载值急剧增大或减小，如各种爆炸荷载、 打桩机的锤头对桩柱的冲击等。
突加荷载：突然施加在结构上并保持不变的荷载，如施工中吊起重物的 卷扬机突然开动时施加于钢丝绳上的荷载。
P(t) P
P(t)
P(t)
P tr t
四、自由振动和强迫振动
自由振动：结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位移所引起的 振动。研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、 振型和阻尼参数。 强迫振动：结构在动荷载作用下产生的振动。研究结构的强迫振 动，可得到结构的动力反应。
五、动力计算中体系的自由度
1.动力自由度的定义 动力问题的基本特征是需要考虑惯性力，根据达朗伯原理，惯性力 与质量和加速度有关，这就要求分析质量分布和质量位移，所以， 动力学一般将质量位移作为基本未知量。 确定体系运动过程中任一时刻全部质量位臵所需的独立几何参数 数目，称为体系的动力自由度。
§10.1 动力计算的特点和动力自由度
一、动力荷载的概念及分类 1.动力荷载与静力荷载 是指大小、方向和作用位臵不随时间变化或变化 很小的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力较小 因而可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都 是确定的。
结构动力计算
4
本章计算原理：达朗贝尔原理
达朗贝尔原理表述为：在质点受力运动 的任何时刻，作用于质点的主动力、约束力 和惯性力互相平衡。利用达朗贝尔原理，可 将质点系动力学问题化为静力学问题来解决， 这种动静法的观点对力学的发展产生了积极 的影响。此原理的表达式为：
13
3、动力计算中体系的自由度(degree-of-freedom)
确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参 数的个数称为体系的振动自由度。
实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自
由度体系。计算困难，常作简化如下：
1）集中质量法(method of lumped mess)把连续分布的质量 集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由 度问题。
3.结构在动荷载作用下，其内力不仅要平衡动 力荷载，而且要平衡由于结构的变形加速度所 引起的惯性力。
3
动力计算与静力计算的区别
4. 动内力和位移不仅与动荷载有关，而且与结构 的动力特性有关。
结构的动力特性参数：结构本身的自振频率、 周期、振型、阻尼等。结构的动力特性参数是要 通过结构的自由振动来确定。
有三个振动自由度
16
例题3
有两个振动自由度
17
例题4
两个质点，只有一个振动自由度
18
例题5
有三个振动自由度 自由度的数目不完全取决于质点的数目， 也与结构是否静定或超静定无关。
19
例题6
铰化结点质点法：把所有质点与结点包 括支座都变为铰，限制质点运动所需添 加的链杆个数（把铰接体系变为几何不 变所需添加的链杆根数）即为振动自由 度个数。
结构力学——结构的动力计算
11
11[ P(t ) m(t )] y
P (t )
y(t ) 11[ P(t ) m(t )] y
l
l3 柔度系数 m(t ) 11 y 3EI 3EI (t ) 3 y (t ) P(t ) my l
二、刚度法
P (t )
l
EI
m m(t ) y y (t )
简谐荷载 周期 非简谐荷载 确定 冲击荷载 非周期 突加荷载 动荷载 其他确定规律的动荷载 风荷载 地震荷载 不确定 其他无法确定变化规律的荷载
§1.2
结构动力学的研究内容和任务
结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。 一.结构动力学的研究内容 当前结构动力学的研究内容为: 第一类问题：结构动力荷载的确定
结构力学
傅向荣
第十章 结构的动力 计算
§1. 绪论
§1.1 动荷载及其分类
一.动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构上的惯性力 与外荷比不可忽视的荷载。
自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作 静荷载。 静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。
二.动荷载的分类
P (t )
EI
m
EI1
EI
l
1
24 EI k 3 l
11
1
k
EI1
1 11 k
12 EI / l 3 12 EI / l 3
l l
EI EI
k2
EI1
EI EI
k1 ?
k1
k2 ?
24 EI k1 k 2 3 l
层间侧移刚度 对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度. l l
结构力学第10章 结构的动力计算
F k
1
2 1 2
yst sin t
A yst
F F yst F 2 m k
动荷载幅值当作静载 作用时质体的位移
1
2 1 2
A yst
动力系数
§10-3
单自由度体系的强迫振动
动力系数的讨论
0， 1
荷载变化比较慢，可按静载处理。
解
对于竖向振动，柔度系数为
l3 48 EI
ml 3 T 2 m 2 48 EI
1 48 EI ml 3 m
§10-2
单自由度体系的自由振动
例题10-2 求图示悬臂杆的水平和竖向振动时的自振周期
解 （1）水平振动
当杆顶作用水平力W时，杆 顶的水平位移为
Wl 3 st 3EI
杜哈梅积分(Duhamel)
1 t y (t ) 0 FP sin t d m
零初始条件下，单自由度体系在任意荷载下的动位移公式
若 则
y0 0
v0 0 v0
1 y y0 cos t sin t m
t
0
FP ( ) sin t d
y t C1 sin t C2 cos t
F y t y t y * t C1 sin t C2 cos t sin t 2 2 m
§10-3
单自由度体系的强迫振动
代入初始条件
y 0 0 C2 0; F y 0 0 C1 m 2 2
（2）竖向振动
Wl 3 T 2 3EIg
当杆顶作用竖向力W时，杆顶的 竖向位移为
《结构力学习题集》(下)-结构的动力计算习题及答案
第九章 结构的动力计算一、判断题：1、结构计算中，大小、方向随时间变化的荷载必须按动荷载考虑。
2、仅在恢复力作用下的振动称为自由振动。
3、单自由度体系其它参数不变，只有刚度EI 增大到原来的2倍，则周期比原来的周期减小1/2。
4、结构在动力荷载作用下，其动内力与动位移仅与动力荷载的变化规律有关。
5、图示刚架不计分布质量和直杆轴向变形，图a 刚架的振动自由度为2，图b 刚架的振动自由度也为2。
6、图示组合结构，不计杆件的质量，其动力自由度为5个。
7、忽略直杆的轴向变形，图示结构的动力自由度为4个。
8、由于阻尼的存在，任何振动都不会长期继续下去。
9、设ωω,D 分别为同一体系在不考虑阻尼和考虑阻尼时的自振频率，ω与ωD 的关系为ωω=D 。
二、计算题：10、图示梁自重不计，求自振频率ω。
l l /411、图示梁自重不计，杆件无弯曲变形，弹性支座刚度为k ，求自振频率ω。
l /2l /212、求图示体系的自振频率ω。
l l0.5l 0.513、求图示体系的自振频率ω。
EI = 常数。
ll 0.514、求图示结构的自振频率ω。
l l15、求图示体系的自振频率ω。
EI =常数，杆长均为l 。
16、求图示体系的自振频率ω。
杆长均为l 。
17、求图示结构的自振频率和振型。
l /2l /2l /18、图示梁自重不计，W EI ==⨯⋅2002104kN kN m 2,，求自振圆频率ω。
B2m2m19、图示排架重量W 集中于横梁上，横梁EA =∞，求自振周期ω。
EIEIW20、图示刚架横梁∞=EI 且重量W 集中于横梁上。
求自振周期T 。
EIEIWEI 221、求图示体系的自振频率ω。
各杆EI = 常数。
a aa22、图示两种支承情况的梁，不计梁的自重。
求图a 与图b 的自振频率之比。
l /2l/2(a)l /2l /2(b)23、图示桁架在结点C 中有集中重量W ，各杆EA 相同，杆重不计。
求水平自振周期T 。
结构力学第章-结构的动力计算
m
M= ml
l
分布质量，有无限自由度
对梁和刚架 （1）略去轴向变形 （2）略去惯性力矩
∴ 只有一个自由度
（4）并非一个质量集中点一个自由度（分析下例）。
2个自由度
2个自由度
4个自由度
（5）结构的自由度与是否超静定无关。
静定结构
6次超静定结构
3次超静定结构
（6）可用加链杆的方法确定自由度。
体系振动的衰减现象，阻尼力 1、自由振动的衰减：结构在自由振动时的 振幅随
2.53103 m
自振频率:
g st
9.81 2.53103
62.3s1
干扰力的频率: 动力系数:
2 n 23.14500 52.3s1
60
60
1
1
2 2
1 1 (52.3)2 62.3
3.4
梁中点的最大弯矩:
M max
MG
M
F st
35 4 3.410 4
4
4
69kN
m
梁中点的最大挠度:
/ =1时，共振: 0，；≠0， 有限。
设计时应避免共振。由于阻尼，振幅 不会无限大。
③/ >>1时, 0，与阻尼无关，
荷载变化很快，结构来不及反应, 不动或只做微小颤动。
受迫振动实验演示 共振视频：塔科玛大桥的震荡和坍塌
P89例14-2 重量G=35kN的发电机置于简支梁的中点上，
并知梁的惯性矩 I 8.8105 m4 ，E=210GPa，发电机转动时其
P(t)
P(t)=psint
o
t
2、冲击荷载：荷载在短时间内急剧增加或减少（锻 锤对基础的冲击、爆炸等）。
P(t)
结构动力计算的特点静力荷载和动力...
教法提示
图乘法
解： st1
m gl3 48EI
， st 2
7m gl3 768EI
， st 3
m gl3 192EI
超静定 需先 求出未知 力，画 弯矩 图，然 后图 乘求位移
g st
2 16 1.51:1， 3 192 2 :1
1
7
1
48
则 1 :2 :3 1:1.51: 2
例 7：试确定图示梁的自由振动时的运动方程和自振频率，k 为 支座弹簧刚度。
结构动力学教案
刘林超 信阳师范学院土木工程学院
1
信阳师范学院教案用纸
第一章 结 构 的 动 力 计 算 动力计算概述 单自由度体系的自由振动
教学要求：掌握动力计算的特点，掌握单自由度体系自由振动的计算
重点难点：固有周期与频率，微分方程求解，阻尼的影响
教学方法：重点将结果的应用，结合工程
§1-1 动力计算概述
T 2 r
12
信阳师范学院教案用纸
教法提示
3）阻尼对振幅的影响
振幅为 ae t ，振幅随时间按对数规律衰减。
经过一个周期后，相邻两个振幅之比为
yk 1
ae (tk T )
e T
yk
ae tk
ξ值越大，振幅衰减越快。
4）阻尼比的确定
ln yk T 2
y k 1
r
2 T
r
当ξ＜0.2 时, 1，有 ln yk 2 ，称为振幅的对数衰减率。
式中
2 k ， k
m
m
则通解为
y(t) C1 sin t C2 cos t
由初始条件 y(0) y0 ， y(0) v0 （可以其中一个为零）
结构力学 结构的动力计算
小结
4. 两个自由度体系的自由振动有两个自振频率，数值较小的称为基本频率； 相应地有两个主振型。关键是如何计算结构的柔度系数或刚度系数，并验 证主振型的正交性。 5. 两个自由度体系的受迫振动，各质点的振幅、动力幅值没有一个统一的 动力系数，这是和单自由度体系受迫振动不同的。 6. 振型分析法将无限自由度体系的自由振动问题转化为单自由度体系的计 算问题。它将复杂的问题分解为简单的问题，使我们看出复杂运动与主振 型之间关系的规律。
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（2）冲击荷载 这类荷载在很短时间内，荷载值急剧增大（图 5 – 2a）或急剧减小（图 5 – 2b）。各种爆炸荷载都属于这一类。当升载时间趋于零时，就是突加荷载 （图 5 – 2c）。
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（3）随机荷载 这类荷载的特点是荷载随时间变化的规律很不规则，荷载在任一时刻 t 的数值无法事先确定，要通过记录和统计得到其规律和计算数值。如地 震作用的地面运动加速度（图 5 – 3）。
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3．动力计算的自由度 在进行动力计算时，也需选取一个合理的计算简图，但考虑惯性力的作用，需要 确定质量在运动中的状态。因此，体系的自由度是指为了确定运动过程中任一时 刻全部质量的位置所需要的独立几何参数的数目。 实际结构的质量都是连续分布的，在计算中常把连续分布的无限自由度问题简化 为有限自由度问题。
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概括起来，动力计算的基本特点： ① 动力响应与时间有关，即荷载、位移、内力等随时间急剧变化。 ② 建立平衡方程时要包括质量的惯性力。 2．动力荷载的分类 工程中常见的动力荷载有以下几种分类： （1）周期荷载 这类荷载随时间作周期性的变化。简谐荷载是周期荷载中最简单也是最 重要的一种，它随时间 t 的变化规律可用正弦或余弦函数表示，如图 5 – 1b 所示。具有偏心质量的机器（图 5 – 1a）运转时，传到结构上的 偏心力 P(t) 随时间 t 的变化规律可用Psinθt和Pcosθt表示。
混凝土结构的动力计算原理
混凝土结构的动力计算原理一、引言混凝土结构是现代建筑领域中最常用的结构形式之一。
在建筑设计和施工过程中，需要对混凝土结构进行动力计算，以保证其在地震、风荷载等自然灾害或人为因素的作用下具有足够的稳定性和安全性。
本文将详细介绍混凝土结构的动力计算原理。
二、混凝土结构的基本力学性质混凝土结构的力学性质包括强度、刚度和稳定性。
其中，强度是指混凝土结构在承受外力作用下不发生破坏的能力；刚度是指混凝土结构在受到外力作用后变形的程度；稳定性是指混凝土结构在受到外力作用后能够保持稳定的程度。
三、混凝土结构的动力计算方法混凝土结构的动力计算方法可以分为静力计算和动力计算两种。
静力计算是指在结构不受外力作用时，根据静力平衡原理计算结构的内力和变形情况。
动力计算是指在结构受到外力作用时，根据结构动力学原理计算结构的响应和变形情况。
四、混凝土结构的动力学原理混凝土结构的动力学原理包括自由振动、强迫振动和响应谱分析三种方法。
1. 自由振动自由振动是指在结构不受外力作用下，结构自身的固有频率下产生的振动。
自由振动的计算方法可以使用下面的公式：ωn = (k/m)1/2其中，ωn为结构的固有频率，k为结构的刚度，m为结构的质量。
2. 强迫振动强迫振动是指在结构受到外力作用下，产生的振动。
强迫振动的计算方法可以使用下面的公式：F(t) = m*a + c*v + k*x其中，F(t)为外力，m为结构的质量，a为结构的加速度，c为结构的阻尼系数，v为结构的速度，k为结构的刚度，x为结构的位移。
3. 响应谱分析响应谱分析是指根据结构的动力学特性和地震激励谱，计算结构在地震作用下的响应。
响应谱分析的计算方法可以使用下面的公式：Sd = Sa(Ta)*Cs(T)其中，Sd为结构的位移响应谱，Sa(Ta)为地震激励谱，Cs(T)为结构的加速度反应系数。
五、混凝土结构的动力计算实例以一座混凝土框架结构为例，该结构高度为50米，采用双向抗震设计，设计基本周期为0.5秒，地震烈度为7度。
结构动力计算要点
结构动力计算要点研究内容：动力计算研究结构在动力荷载作用下的变形和内力，即研究结构的动力反应。
动力荷载：大小、方向、作用点随时间而变化的荷载。
结构的动力反应不但与动力荷载的性质有关，还与结构本身的动力特性直接相关。
结构本身的动力特性是结构本身固有的，如自振频率及振型。
动力计算的特点：动力计算不能忽略惯性力，这是动力计算与静力计算的本质区别。
内力和变形都是时间的函数。
动力荷载的分类：简谐性周期荷载、冲击荷载、随机荷载。
体系自由度：质点的位移就是动力计算的基本未知数。
确定运动过程中任一时刻所有质量的位置所需的独立几何参数的数目，称为该体系的自由度。
阻尼阻尼对结构的作用：一类是材料的非弹性变形，使变形能损失。
一类是阻尼力，包括介质阻力和摩擦阻力。
阻尼是振动的一个重要因素，而且很复杂，需化简;把各种阻尼综合作用假定为受一个阻尼力作用。
并且假定阻尼力的大小与质点的运动速度成正比，这一假定称为粘滞阻尼理论。
自振周期T：振动一周需要的时间；单位:“s（秒）”自振频率f：单位时间的振动次数；单位:“Hz（赫兹）”圆频率或频率w：2À时间内的振动次数,单位:“弧度/s”；自振周期的性质：自振周期仅与结构的质量和刚度有关；与外界的干扰力无关。
质量越大，周期越大；刚度越大，周期越小。
自振周期是结构动力性能的一个重要指标。
刚度系数：使质点产生单位位移需要施加的力。
柔度系数：质点在单位力作用下产生的位移。
动力放大系数1）简谐动荷载作用在质点上，内力动力系数与位移动力系数相同。
只须将干扰力幅值当作静荷载按静力方法计算出相应的位移、内力，再乘以动力系数b即可。
2) 简谐动荷载不作用在质点上，结构没有一个统一的动力系数先算出质体上的惯性力，再将惯性力及荷载幅值作用于结构上（如左图所示），然后按静力方法计算位移和内力。
最大位移和最大内力的计算振动体系的最大位移为最大动位移与静位移之和；振幅为动位移的幅值（最大动位移）；最大内力为最大动内力与静内力之和。
第十五章-结构动力计算
②比例算法： 单自由度体系荷载作用在振动质点上，并且其作用线与质点运动方 向重合时，荷载和惯性力共线，两者可以合成一个力为：
都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架)计算刚度系数方
便。
两端刚结的杆的侧移刚度为：
12EI l3
3EI
一端铰结的杆的侧移刚度为： l 3
§13.3 单自由度强迫振动
⑴简谐荷载
强迫振动（受迫振动）：结构在荷载作用下的振动。
弹性力－ky、惯性力 my..
y(t)
和荷载P(t)之间的平衡方程为:
复杂体系可通过加支 杆限制质量运动的办 法确定体系的自由度
⑷ 动力计算的原理和方法
结构动力计算中常用的基本原理为达朗伯原理： 在质点运动的每一瞬时，作用在质点上的所有外力（荷载与约束力） 与假想地加在质点上的惯性力互相平衡，可利用静力学的处理方法 建立结构的运动方程。在建立运动方程时，取静力平衡位置作为位 移y的坐标原点，位移y、速度 、加速度 的正方向取为一致。
学习目的和要求
工程结构除受静荷载作用外，有时还会受到随时间迅速变化的动 荷载作用，如地震荷载等。在动荷载作用下，结构发生振动，结构 的内力、位移等将随时间变化。确定它们的变化规律，从而得到这
些量的最大值，以便做出合理的动力设计是本章的学习目的。
本章基本要求：
掌握动力自由度的判别方法。 掌握单自由度、有限自由度体系运动方程的建立方法。 熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系动力特性的计算。 熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系在简谐荷载作用下动内
结构力学 结构动力计算
⑶质点沿水平方向振动时，水平总线位移 Y yt
§10—2
运动方程为：
单自由度体系的自由振1 动
k
m
mY kY W 0
st
y(t)
Y(t)
因为 Y (t) st y(t) Y (t) y(t) -kY -mY
所以 my k[ y(t) st ] W
⑵阻尼力与质点速度平方成正比，固体在流体中运动受到的阻力。
⑶阻尼力与质点的速度无关，摩擦力属于此类。
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
关于阻尼力的理论很多，为计算方便我们选用粘滞阻尼理论。
理论假定：阻尼力的大小与质点的运动速度成正比，方向与质 点的 运动速度方向相反。即：
R
cv
c
dy dt
w
又 k st kW W
my ky(t) W W
my ky(t) 0
§10—2 单自由度体系的自由振动
可见，重力对动位移y (t ) 的运动方程无影响。 质量围绕静力平衡位置进行振动。
aa
a a
W mymax
l m
ymax st a (W mymax)
st
a
ymax
Mmax (W mymax)l
§10—2 单自由度体系的自由振动
单自由度体系的动力分析虽简单但很重要体现在两个方面：
⑴很多实际动力学问题，可按单自由度体系进行分析和计算，而所 得结果基本上能反映其实际的动力特点。
⑵单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力分析的基础。
一、振动模型的建立
对于各种单自由度体系的振动，都可以用一个弹簧质块模型的振动来描述， 因为它们有相同的运动规律和运动微分方程。
《结构力学》结构的动力计算
t................(e)
y(t) Asin( t )........................( f )
yy
T
0
t y cos t
-y
y
T
v
0
v
y T
A
0
-A
t
v sin t
t
Asin
t
13
三、结构的自振周期和频率
由式 y(t) Asin( t ) 及图可见位移方程是一个周期函数。
非弹性力起着减小振幅的作用，使振动衰减，因此，为了进一步了解结构
的振动规律，就要研究阻尼。
18
关于阻尼，有两种定义或理解： 1）使振动衰减的作用； 2）使能量耗散。 2、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素 1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦”，耗散能量； 2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散，
1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力）
P(t )
P
t 简谐荷载（按正余弦规律变化）
t 一般周期荷载
3
2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）
P
P(t )
P
P
tr
t
tr
t
3）随机荷载：(非确定性荷载) 荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。 （如地震荷载、风荷载）
三、动力计算中体系的自由度
改写为 y k y 0 m
y 2 y 0 其中 2 k
m
它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：
y(t) C1 sin t C2 cost ...............(d )
积分常数C1，C2由初始条件确定
结构力学
令
作 图（图c），求得
(c)
(d)
考虑动荷载 F(t)和惯性力
作 MP 图，求得
所以，运动方程为：
（2）柔度法
设横梁在任一时刻 的位移 是由
动荷载 和惯性力
共同作用产
生的（图e），因此，横梁的位移为：
作 图（图f）
(e)
(f)
求得方法求解后运动方程相同。
5
例2．试建立图（a）所示刚架的运动方程 （不计轴向变形）。
—荷载的圆频率
二阶线性非齐次常微分方程 通解： 齐次解： 设特解：
9
代入方程，求得 特解为
运动方程的通解为：
由初始条件确定
后，运动方程的解
（13－7）
式（13-7）中前两项为初始条件引起的 自由振动;第三项为荷载（干扰力）引 起的自由振动，称为伴生自由振动。 实际上，由于阻尼的存在，自由振动 部分都很快衰减掉。自由振动消失前 的振动阶段称为过渡阶段。第四项为 按荷载频率 进行的振动，此阶段为
二．结构动力计算的内容和特点
1. 动力计算的主要内容 第一类问题：反应问题
输入 （动荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
第二类问题：参数（或系统）的识别
输入 （动荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
第三类问题：荷载识别
输入 （动荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
1
第四类问题：控制问题
输入 （动荷载）
4
柔度法步骤：
（1）在质量上沿位移正方向加惯性力； （2）求动荷载和惯性力引起的位移； （3）令该位移与质量 m 的位移相等， 即得到体系的位移方程（运动方程）。
三.建立运动方程例题
结构力学动力计算
浙大宁波理工学院土建学院
确定单自由度体系的自振方程的四个基本物理量
刚度或柔度: k或
初始位移：y0
质量: m
初始速度：v0
与内在因素有关的物理量 自振圆频率: （自振频率）
k 1 m m
(2个单位时间内的振动次 数，或每秒振动次数*2)
m 自振周期: T 2 2 m k
1
y0 v0
y(t ) A sin cos t A cos sin t A sin(t )
单自由度体系的无阻尼自由振动是由初位移和初速度 引起的简谐振动。
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
简谐自由振动的特性
如果一个质点在某方向的位移与所受弹性力成正比， 则质点在该方向上可发生简谐自由振动
结构力学（2）
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计算方法的简化
常用的三种简化方法 1.集中质量法: 将连续分布的质量集中为质点，以质点位移（线位移） 为基本未知量。（本章主要讨论集中质量法）
2.广义坐标法： 用级数表示度曲线方程，以广义坐标（级数的项系数） 为基本未知量。 3.有限单元法： 将结构分割为若干个单元，用结点位移（线位移与角 位移）表示各单元挠曲线方程。将无限自由度问题化为有 限自由度问题。
(某一时刻的位移等于隔一段时间T之后的位移，T为自振周期)
2
频率
1 f (每秒振动次数，周期的倒数) T
结构力学（2）
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确定单自由度体系的自振方程的四个基本物理量 内因素 外因素
刚度或柔度: k或
初始位移：y0
质量: m
初始速度：v0
与外因素有关的物理量 自振方程 y(t ) A sin(t ) 代入初始条件得
结构力学应用-结构动力学
（小阻尼） 令
有阻尼的自振频率
1
2
y(t ) e
t
y0 y0 ( y0 cos t sin t )
*写成
y(t ) b e
2 0
t
sin(t )
(14-12)
y0 y0 2 其中 b y ( )
柔度法（力法）
MY KY 0 MY Y 0
10、按柔度法求解
振型方程： ([ ][ 2 [ 1 M ]){Y } 00} ([ I ] M ] ][ [ I ]){Y } { 2 频率（特征）方程
D [ ][ M ] [ I ] 0
y0 tg y0 y0
位移－时间曲线如图示：
阻尼比——阻尼的基本参数： a.阻尼对频率（周期）的影响
k
2m
1 2
T T 1 2 T
0.2
T T
b、阻尼对振幅的影响
be
t
——振幅随时间逐渐衰减
11m1
1
12 m2
(k )
0 0
(14 63)
{Y }
(k )
Y1 Y2
(k )
11m1 k 12 m2
12 m2
k2
（k=1、2）
结构的刚度和质量分布 ——对称 其主振型 ——对称、反对称 计算自振频率： ——分别就正、反对称情况 ——取半跨结构计算 ——两个单自由度问题计算 显然，振型分别为： [1 1]T、[1 -1]T
1
0.2,
yn ln 2 j yn j 相隔j个周期： 1
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第十章 结构动力计算基础
一、判断题：
1、结构计算中，大小、方向随时间变化的荷载必须按动荷载考虑。
2、仅在恢复力作用下的振动称为自由振动。
3、单自由度体系其它参数不变，只有刚度EI 增大到原来的2倍，则周期比原来的周期减小1/2。
4、结构在动力荷载作用下，其动内力与动位移仅与动力荷载的变化规律有关。
5、图示刚架不计分布质量和直杆轴向变形，图a 刚架的振动自由度为2，图b 刚架的振动自由度也为2。
6、图示组合结构，不计杆件的质量，其动力自由度为5个。
7、忽略直杆的轴向变形，图示结构的动力自由度为4个。
8、由于阻尼的存在，任何振动都不会长期继续下去。
9、设ωω,D 分别为同一体系在不考虑阻尼和考虑阻尼时的自振频率，ω与ωD 的关系为ωω=D 。
二、计算题：
10、图示梁自重不计，求自振频率ω。
l l /4
11、图示梁自重不计，杆件无弯曲变形，弹性支座刚度为k ，求自振频率ω。
l /2
l /2
12、求图示体系的自振频率ω。
l l
0.5l 0.5
13、求图示体系的自振频率ω。
EI = 常数。
l
l 0.5
14、求图示结构的自振频率ω。
l l
15、求图示体系的自振频率ω。
EI =常数，杆长均为l 。
16、求图示体系的自振频率ω。
杆长均为l 。
17、求图示结构的自振频率和振型。
l /2
l /2
l /
18、图示梁自重不计，W EI ==⨯⋅
2002104kN kN m 2
,，求自振圆频率ω。
B
2m
2m
19、图示排架重量W 集中于横梁上，横梁EA =∞，求自振周期ω。
EI
EI
W
20、图示刚架横梁∞=EI 且重量W 集中于横梁上。
求自振周期T 。
EI
EI
W
EI 2
21、求图示体系的自振频率ω。
各杆EI = 常数。
a a
a
22、图示两种支承情况的梁，不计梁的自重。
求图a 与图b
的自振频率之比。
l /2
l
/2(a)
l /2
l /2
(b)
23、图示桁架在结点C 中有集中重量W ，各杆EA 相同，杆重不计。
求水平自振周期T 。
3
m 3m
24、忽略质点m 的水平位移，求图示桁架竖向振动时的自振频率ω。
各杆EA = 常数。
m 4m
4m
25、图示体系E P W I =⨯====-2102052048004kN /cm s kN, kN, cm 214
,,θ。
求质点处最大动位移和最大动弯矩。
4m
m
2sin θP t
26、图示体系EI k =⨯⋅==2102035kN m s 2-1,,θ×1055N /m, P =×N 103。
kN W 10=。
求质点处最大动位移和最大动弯矩。
m
2m
2
27、求图示体系在初位移等于l/1000
，初速度等于零时的解答。
θωω=020.( 为自振频率)，不计阻尼。
l
28、图示体系受动力荷载作用，不考虑阻尼，杆重不计，求发生共振时干扰力的频率θ。
/3
P t
sin( )
29、已知：m P ==38t, kN ，干扰力转速为150r/min ，不计杆件的质量，EI =⨯⋅6103kN m 2。
求质点的最大动力位移。
2
m
2m
30、图示体系中，电机重kN 10=W 置于刚性横梁上，电机转速n r =500/min ，水平方向干扰力为) sin(kN 2)(t t P θ⋅=，已知柱顶侧移刚度kN/m 1002.14
⨯=k ，自振
频率ω=-100s 1。
求稳态振动的振幅及最大动力弯矩图。
m
31、图示体系中，kN 10=W ，质点所在点竖向柔度917.1=δ，马达动荷载P t t ()sin()=4kN θ，马达转速
n r =600/min 。
求质点振幅与最大位移。
32、图示体系中，W =8kN ，自振频率ω=-100s 1
，电机荷载P (t ) = 5kN ·sin(
θt )，电机转速n = 550r/min 。
求梁的最大与最小弯矩图。
2m
2m
P t ()
33、求图示体系支座弯矩M A 的最大值。
荷载P t P t (),.==004sin θθω 。
/2
/2
34、求图示体系的运动方程。
l
l
m
0.50.5
35、求图示体系稳态阶段动力弯矩幅值图。
θωω=05.( 为自振频率)，EI = 常数，不计阻尼。
l
l
l
36、图示体系分布质量不计，EI = 常数。
求自振频率。
a
a
37、图示简支梁EI = 常数，梁重不计，m m m m 122==,，已求出柔度系数
()δ123718=a
EI /。
求自振频率及主振型。
a
a
a
38、求图示梁的自振频率及主振型，并画主振型图。
杆件分布质量不计。
a
a
a
39、图示刚架杆自重不计，各杆EI = 常数。
求自振频率。
2m
2m
40、求图示体系的自振频率和主振型。
EI = 常数。
l l
l /3
/3
/3
41、求图示体系的自振频率及主振型。
EI = 常数。
l /2l /2l /2l /2
42、求图示体系的自振频率及相应主振型。
EI = 常数。
/2l l
/2l /2l /2
l
43、求图示结构的自振频率和主振型。
不计自重。
l /2l /2
44、求图示体系的自振频率和主振型。
不计自重，EI = 常数。
m a
a
a
45、求图示体系的第一自振频率。
l /2
l /2
l /2
l /2
46、求图示体系的自振频率。
已知：m m m 12== 。
EI = 常数。
m
1.51m
1.5m
1m
1m
47、求图示体系的自振频率和主振型，并作出主振型图。
已知：m m m 12==，EI = 常数。
2m
2
4m 4m
48、求图示对称体系的自振频率。
EI = 常数。
l l l l /2
/2
/2
/2
49、图示对称刚架质量集中于刚性横粱上，已知：m 1=m ，m 2=2m 。
各横梁的层间侧移刚度均为k 。
求自振频率及主振型。
m 1
m 2
2
1
50、求图示体系的自振频率并画出主振型图。
m
51、求图示体系的自振频率和主振型。
EI = 常数。
l l
52、用最简单方法求图示结构的自振频率和主振型。
l l
53、求图示体系的频率方程。
l
54、求图示体系的自振频率和主振型。
EI =常数。
2a
a
a
55、求图示体系的自振频率和主振型。
不计自重，EI = 常数。
a /2
a /2
a /2
a /2
56、求图示体系的自振频率。
设 EI = 常数。
l
57、图示体系，设质量分别集中于各层横梁上，数值均为m 。
求第一与第二自振频率之比ωω12:。
l
l
2
58、求图示体系的自振频率和主振型。
l
m m 2EI =∞ EI =∞ EI 1
EI 1
2EI 1
2EI 1
59、求图示体系的自振频率和主振型。
m m m m 122==，。
60、求图示桁架的自振频率。
杆件自重不计。
m 3m
3m
61、求图示桁架的自振频率。
不计杆件自重，EA = 常数。
m m
m
33
62、作出图示体系的动力弯矩图，已知：θ=082567
3
.EI
ml 。
0.5
l
l
2
m
63、作图示体系的动力弯矩图。
柱高均为h ，柱刚度EI =常数。
l l
θ=13257
.EI
mh
30.50.5P
64、绘出图示体系的最大动力弯矩图。
已知：动荷载幅值P =10kN ，θ=-209441
.s ，
质量m =500kg ，a =2m ，EI =⨯⋅481062
.N m 。
()
P t sin θ
65、已知图示体系的第一振型如下，求体系的第一频率。
EI = 常数。
振型101618054011 ..
⎧⎨⎪
⎩⎪⎫⎬
⎪
⎭
⎪
/2。