通信原理-CH12-卷积码
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当第1个信息比特输入时，若移位寄存器起始状态为全0，两个输出 比特为 x1,1=m1 x2,1=m1 当第2个信息比特输入时，移位寄存器右移1位，输出为 x1,2=m2+m1 x2,2=m2 当第3个信息比特输入时，有 x1,3=m3+m2+m1 x2,3=m3+m1
12.3 卷积码的解析表示
（2，1，3）卷积码的网格图表示
12.2 卷积码的图解表示
网格图（续）
码树中的上支路（对应输入比特0）用实线表示，下支路 （对应输入比特1）用虚线表示
状态 a 00 00 11 b 01 10 c 10 01 01 d 11 10 01 01 10 01 01 10 01 00 11 00 11 11 00 10 00 11 11 00 00 11 11 00
通常，输入序列可表示为 M(D)=m1+m2D+m3D2+m4D3+…
其中，m1、m2、m3、m4…为输入比特的二进制表示（1或 0）
12.3 卷积码的解析表示
延时算子多项式表示
用D算子多项式表示移位 寄存器各级与各模2和连 接关系时，若某级寄存器 与某模2和相连，则多项 输入序列M 式中相应项的系数为1， m m … m … 否则为0（表示无连接线）
12.2 卷积码的图解表示
树状图
(2, 1, 3)卷积编码器：输出移位寄存 器用转换开关代替，每输入1个信 息比特经编码产生2个输出比特 设移位寄存器初始状态为全0
第1个输入比特：为0，输出比特=00； 为1，输出比特=11 第2个比特输入，第1个比特右移1位， 输出比特同时受当前输入比特和前一 个输入比特的影响 第3个比特输入，第1、2个比特各右移 1位，输出比特同时由这3位移位寄存 器存储的比特共同决定 第4个比特输入，第1个比特移出移位 寄存器，不对后续编码产生影响
主要内容
延时算子多项式表示 半无限矩阵表示
12.3 卷积码的解析表示
延时算子多项式表示
将编码器中移位寄存与模2和的连接关系以及输入、 输出序列都表示为延时算子D的多项式
如输入序列1101110…表示为 M(D)=1+D+D3+D4+D5+… 哑变量D的幂次等于相对于时间起点的单位延时数目，时 间起点通常选在第1个输出比特
以输入序列1101110…为例，可得 x1(D)=G1(D) ×M(D)=(1+D+D2)(1+D+D3+D4+D5+…) =1+D5+D7+… x2(D)=G2(D)M(D)=(1+D2)(1+D+D3+D4+D5+…) = 1+D+D2+D4+D6+D7+…) 由此，输出序列 x1=(x1,1, x1,2, x1,3, …)=10000101… x2=(x2,1, x2,2, x2,3, …)=11101011… x= =(x1,1, x2,1, x1,2 , x2,2, x1,3 , x2,3, …)=11 01 01 00 01 10 01 11… 结果与前面图解法所得结果相同
（2，1，3）卷积码的树状图表示
12.2 卷积码的图解表示
树状图（续）——树状图分析：
00 00 00 a 11 a 10 11 b 01
00 a 11 10 b 01 11 c 00 01 d 10 00 a 11 10 b 01 11 c 00 01 d 10
a b c d a b c d a b c d a b c d
对a，mj-2mj-1=00。若m1=0时，x1,1x2,1=00，下一节点mj-2mj-1=00（为 a） ； m1=1时x1,1x2,1=11，下一节点mj-2mj-1=01（为b） 对b，mj-2mj-1=01。若m1=0时，x1,1x2,1=10，下一节点mj-2mj-1=10（为 c） ； m1=1时x1,1x2,1=01，下一节点mj-2mj-1=11（为d） 对c，mj-2mj-1=10。若m1=0时，x1,1x2,1=11，下一节点mj-2mj-1=00（为 a） ； m1=1时x1,1x2,1=00，下一节点mj-2mj-1=01（为b） 对d，mj-2mj-1=11。若m1=0时，x1,1x2,1=01，下一节点mj-2mj-1=10（为 c） ； m1=1时x1,1x2,1=10，下一节点mj-2mj-1=11（为d）
第十二章 卷积码
主要内容和重点
基本概念 卷积码的图解表示
树状图 网格图 状态图和状态转移图 延时算子多项式表示 半无限矩阵表示
卷积码的解析表示
12.1 基本概念
按照信息码元和监督码元之间的约束方式不同分为
(n, k)分组码：每个码组的(n-k)个校验位仅与本码组的k个信息位有关， 而与其他码组无关 为了达到一定的纠错能力和编码效率（Rc=k/n），n通常较大， 编译码时存储信息码产生的时延随n增大而线性增加 (n, k, N)卷积码：在任何一段规定时间内产生的n个码元，不仅取决 于这段时间中的k个信息位，而且取决于前(N-1)段时间内的信息位 也是把k个信息比特编成n个比特，但k和n很小，延时小 编码过程中相互关联的码元为Nn个 纠错能力随N的增加而增大。在编码器复杂性相同的情况下，卷 积码的性能优于分组码 未有严格的数学手段有规律地联系纠错性能和码的构成，采用计 算机搜索好码
1 2 j
状态 输入比特
Mj
Mj-1
Mj-2
(2, 1, 3)卷积码编码器中， 左、右两个模2和与寄存器 各级的连接关系可表示为 G1(D)=1+D+D2 G2(D)=1+D2
+
+
X2,j X1,j
输出序列X
（2，1，3）卷积码编码器
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
12.3 卷积码的解析表示
延时算子多项式表示（续）
把表示移位寄存器与模2和连接关系的多项式称为生成多项式 由生成多项式用多项式相乘可计算出输出序列
序列（序贯）译码：属最大似然译码
12.1 基本概念
卷积码编码器的一般形式
N段组成的输入移位寄存器，每段k级，共Nk位寄存器 n个模2和相加器 n级组成的输出移位寄存器
1 2 … k 1 2 … k 1 …… 2 … k 1 2 N … k 1 2
输入序列M
+
+
+
…
+
输出序列X
1 2 …… n
（2，1，3）卷积码的网格图表示
12.2 卷积码的图解表示
网格图（续）
支路上标注的码 状态 元为输出比特， a 00 自上而下4行节 点分别表示a、b、 c、d四种状态。 通常有2N-1种状 b 01 态，从第N节开 始，图形开始重 复而完全相同 c 10
00 11
00 11
00 11 11 00 10 01 01 10 01 01 10
00 11 11 00
00 11 11 00
01 01 10 10
01
d
11
（2，1，3）卷积码的网格图表示
12.2 卷积码的图解表示
状态图和状态转移图
取出已达到稳定状态的一节网格，可得到状态图 再把目前状态与下一行状态重叠起来，可得到反映状态 转移的状态转移图 b
00=a 01=b 10=c 11=d 00 11 11 01 01 10 (a) （2，1，3）卷积码的状态图 d=11 c (b) a=00 11 00 10 b=01 00 a c=10 11 01 00 10 d 01
半无限矩阵表示
当第j个信息比特输入时，输出为 x1,j=mj+mj-1+mj-2 x2,j=mj+mj-2
a b c d a b c d a b c d a b c d
移位过程可用树状图表示
用a、b、c、d表示移位寄存器mj-2mj-1的4种可能 状态：00、01、10和11 树状图用mj=0和mj-2mj-1=00作起点，即从a点出发 随着移位寄存器和输入比特的不同，树状图陆续 分成4条支路，2上、2下。上支路对应于输入比 特为0，下支路对应于输入比特为1 每条支路（树叉）上标注的码元为输出比特，每 个节点上标注的a、b、c、d为移位寄存器的状态 对j个输入信息比特，有2j条支路，但在j=N≥3时， 树状图的节点自上而下开始重复出现4种状态 （相当于移位超过移位寄存器长度，状态已重复 出现）
N（或Nn）定义为卷积码的约束长度 编码效率Rc=k/n
12.1 基本概念
表示方法：
解析法：延时算子多项式表示、半无限矩阵表示 图解法：树状图、网格图、状态图 门限译码：即大数逻辑译码
译码方法：
性能最差，但硬件简单 具最佳性能，但硬件实现复杂 在性能和硬件方面介于两者之间
Viterbi（维特比）译码：属最大似然译码
12.3 卷积码的解析表示
延时算子多项式表示（续）
常用二进制或八进制序列表示生成多项式。如上例： G1(D)=1+D+D2 g1=(111)=(7)8 G2(D)=1+D2 g2=(101)=(5)8
这种表示主要是为了方便
12.3 卷积码的解析表示
半无限矩阵表示
输入信息序列和输出序列都用半无限矢量表示 以(2, 1, 3)卷积码为例，有 M=[m1 m2 m3 …] X=[x1,1 x2,1 x1,2 x2,2 x1,3 x2,3 …]
Mj-1
Mj-2
a 11 10 c 00 11 b 01 01 d 10
+
+
X2,j X1,j
输出序列X
（2，1，3）卷积码编码器
12.2 卷积码的图解表示
树状图（续）——(2, 1, 3)卷积编码器树状图分析： 输入第2个比特，移位寄存器右移1位后，上支路情况下移位 寄存器状态mj-2mj-1仍为00，即a，下支路mj-2mj-1=01，即b
12.2 卷积码的图解表示
例：对上述(2, 1, 3)卷积编码器，若起始状态为a，输入序列为1101 1100 1000，求输出序列和状态变化路径 解：由该卷积码的网格图表示，找出编码时网格图中的路径如图所示， 由此可得到输出序列和状态变化路径，画在同一图中
输入码 状态 输出码 a a 11 11 b 00 c 01 01 d 10 （2，1，3）卷积码的编码过程及路径 01 01 11 10 1 b 01 1 d 01 0 c 00 1 b 01 1 d 10 1 d 01 0 c 11 0 a 11 11 11 1 b 10 0 c 11 0 a 00 00 0 a
12.1 基本概念
卷积码编码器的一般形式（续）
由图可知：n个输出比特不但与当前k个输入比特 有关，而且与以前的(N-1)k个输入信息比特有关 整个编码过程可看成：输入信息序列与移位寄存 器和模2和连接方式所决定的另一个序列的卷积
12.2 卷积码的图解表示
主要内容
树状图 网格图 状态图和状态转移图
12.2 卷积码的图解表示
对于(n, k, N)卷积码的一般情况，有如下结论
对应于每组k个输入比特，编码后产生n个输出比特 树状图中每个节点引出2k条支路 网格图和状态图（状态转移图）都有2k(N-1)种可能的状态。 每个状态引出2k条支路，同时也有2k条支路从其它状态 或本状态引入
12.3 卷积码的解析表示
输入第3个比特（ a、b的情况重复，故可不考虑）
12.2 卷积码的图解表示
网格图
按照码树中的重复性，可得一种更为紧凑的图形表示 把码树中具有相同状态的节点合并在一起
状态 a 00 00 11 b 01 10 c 10 01 01 d 11 10 01 01 10 01 01 10 01 00 11 00 11 11 00 10 00 11 11 00 00 11 11 00
12.2 卷积码的图解表示
00 00 00 a 11 a 10 11 b 01 a 11 10 11 c 00 b 01 01 d 10 00 a 11 10 b 01 11 c 00 01 d 10 00 a 11 10 b 01 11 c 00 01 d 10
树状图（续） ：(2, 1, 3)卷积编码器
第1个输入比特m1=0时，输出比特x1,1x2,1=00； m1=1时x1,1x2,1=11。即从a点出发有2条支路（树 叉）可选：m1=0取上支路，下一节点mj-2mj-1=00 （为a）；m1=1取下支路，下一节点mj-2mj-1=01 （即b） 状态
输入比特
输入序列M m1m2 … mj…
Mj
12.3 卷积码的解析表示
（2，1，3）卷积码的网格图表示
12.2 卷积码的图解表示
网格图（续）
码树中的上支路（对应输入比特0）用实线表示，下支路 （对应输入比特1）用虚线表示
状态 a 00 00 11 b 01 10 c 10 01 01 d 11 10 01 01 10 01 01 10 01 00 11 00 11 11 00 10 00 11 11 00 00 11 11 00
通常，输入序列可表示为 M(D)=m1+m2D+m3D2+m4D3+…
其中，m1、m2、m3、m4…为输入比特的二进制表示（1或 0）
12.3 卷积码的解析表示
延时算子多项式表示
用D算子多项式表示移位 寄存器各级与各模2和连 接关系时，若某级寄存器 与某模2和相连，则多项 输入序列M 式中相应项的系数为1， m m … m … 否则为0（表示无连接线）
12.2 卷积码的图解表示
树状图
(2, 1, 3)卷积编码器：输出移位寄存 器用转换开关代替，每输入1个信 息比特经编码产生2个输出比特 设移位寄存器初始状态为全0
第1个输入比特：为0，输出比特=00； 为1，输出比特=11 第2个比特输入，第1个比特右移1位， 输出比特同时受当前输入比特和前一 个输入比特的影响 第3个比特输入，第1、2个比特各右移 1位，输出比特同时由这3位移位寄存 器存储的比特共同决定 第4个比特输入，第1个比特移出移位 寄存器，不对后续编码产生影响
主要内容
延时算子多项式表示 半无限矩阵表示
12.3 卷积码的解析表示
延时算子多项式表示
将编码器中移位寄存与模2和的连接关系以及输入、 输出序列都表示为延时算子D的多项式
如输入序列1101110…表示为 M(D)=1+D+D3+D4+D5+… 哑变量D的幂次等于相对于时间起点的单位延时数目，时 间起点通常选在第1个输出比特
以输入序列1101110…为例，可得 x1(D)=G1(D) ×M(D)=(1+D+D2)(1+D+D3+D4+D5+…) =1+D5+D7+… x2(D)=G2(D)M(D)=(1+D2)(1+D+D3+D4+D5+…) = 1+D+D2+D4+D6+D7+…) 由此，输出序列 x1=(x1,1, x1,2, x1,3, …)=10000101… x2=(x2,1, x2,2, x2,3, …)=11101011… x= =(x1,1, x2,1, x1,2 , x2,2, x1,3 , x2,3, …)=11 01 01 00 01 10 01 11… 结果与前面图解法所得结果相同
（2，1，3）卷积码的树状图表示
12.2 卷积码的图解表示
树状图（续）——树状图分析：
00 00 00 a 11 a 10 11 b 01
00 a 11 10 b 01 11 c 00 01 d 10 00 a 11 10 b 01 11 c 00 01 d 10
a b c d a b c d a b c d a b c d
对a，mj-2mj-1=00。若m1=0时，x1,1x2,1=00，下一节点mj-2mj-1=00（为 a） ； m1=1时x1,1x2,1=11，下一节点mj-2mj-1=01（为b） 对b，mj-2mj-1=01。若m1=0时，x1,1x2,1=10，下一节点mj-2mj-1=10（为 c） ； m1=1时x1,1x2,1=01，下一节点mj-2mj-1=11（为d） 对c，mj-2mj-1=10。若m1=0时，x1,1x2,1=11，下一节点mj-2mj-1=00（为 a） ； m1=1时x1,1x2,1=00，下一节点mj-2mj-1=01（为b） 对d，mj-2mj-1=11。若m1=0时，x1,1x2,1=01，下一节点mj-2mj-1=10（为 c） ； m1=1时x1,1x2,1=10，下一节点mj-2mj-1=11（为d）
第十二章 卷积码
主要内容和重点
基本概念 卷积码的图解表示
树状图 网格图 状态图和状态转移图 延时算子多项式表示 半无限矩阵表示
卷积码的解析表示
12.1 基本概念
按照信息码元和监督码元之间的约束方式不同分为
(n, k)分组码：每个码组的(n-k)个校验位仅与本码组的k个信息位有关， 而与其他码组无关 为了达到一定的纠错能力和编码效率（Rc=k/n），n通常较大， 编译码时存储信息码产生的时延随n增大而线性增加 (n, k, N)卷积码：在任何一段规定时间内产生的n个码元，不仅取决 于这段时间中的k个信息位，而且取决于前(N-1)段时间内的信息位 也是把k个信息比特编成n个比特，但k和n很小，延时小 编码过程中相互关联的码元为Nn个 纠错能力随N的增加而增大。在编码器复杂性相同的情况下，卷 积码的性能优于分组码 未有严格的数学手段有规律地联系纠错性能和码的构成，采用计 算机搜索好码
1 2 j
状态 输入比特
Mj
Mj-1
Mj-2
(2, 1, 3)卷积码编码器中， 左、右两个模2和与寄存器 各级的连接关系可表示为 G1(D)=1+D+D2 G2(D)=1+D2
+
+
X2,j X1,j
输出序列X
（2，1，3）卷积码编码器
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
12.3 卷积码的解析表示
延时算子多项式表示（续）
把表示移位寄存器与模2和连接关系的多项式称为生成多项式 由生成多项式用多项式相乘可计算出输出序列
序列（序贯）译码：属最大似然译码
12.1 基本概念
卷积码编码器的一般形式
N段组成的输入移位寄存器，每段k级，共Nk位寄存器 n个模2和相加器 n级组成的输出移位寄存器
1 2 … k 1 2 … k 1 …… 2 … k 1 2 N … k 1 2
输入序列M
+
+
+
…
+
输出序列X
1 2 …… n
（2，1，3）卷积码的网格图表示
12.2 卷积码的图解表示
网格图（续）
支路上标注的码 状态 元为输出比特， a 00 自上而下4行节 点分别表示a、b、 c、d四种状态。 通常有2N-1种状 b 01 态，从第N节开 始，图形开始重 复而完全相同 c 10
00 11
00 11
00 11 11 00 10 01 01 10 01 01 10
00 11 11 00
00 11 11 00
01 01 10 10
01
d
11
（2，1，3）卷积码的网格图表示
12.2 卷积码的图解表示
状态图和状态转移图
取出已达到稳定状态的一节网格，可得到状态图 再把目前状态与下一行状态重叠起来，可得到反映状态 转移的状态转移图 b
00=a 01=b 10=c 11=d 00 11 11 01 01 10 (a) （2，1，3）卷积码的状态图 d=11 c (b) a=00 11 00 10 b=01 00 a c=10 11 01 00 10 d 01
半无限矩阵表示
当第j个信息比特输入时，输出为 x1,j=mj+mj-1+mj-2 x2,j=mj+mj-2
a b c d a b c d a b c d a b c d
移位过程可用树状图表示
用a、b、c、d表示移位寄存器mj-2mj-1的4种可能 状态：00、01、10和11 树状图用mj=0和mj-2mj-1=00作起点，即从a点出发 随着移位寄存器和输入比特的不同，树状图陆续 分成4条支路，2上、2下。上支路对应于输入比 特为0，下支路对应于输入比特为1 每条支路（树叉）上标注的码元为输出比特，每 个节点上标注的a、b、c、d为移位寄存器的状态 对j个输入信息比特，有2j条支路，但在j=N≥3时， 树状图的节点自上而下开始重复出现4种状态 （相当于移位超过移位寄存器长度，状态已重复 出现）
N（或Nn）定义为卷积码的约束长度 编码效率Rc=k/n
12.1 基本概念
表示方法：
解析法：延时算子多项式表示、半无限矩阵表示 图解法：树状图、网格图、状态图 门限译码：即大数逻辑译码
译码方法：
性能最差，但硬件简单 具最佳性能，但硬件实现复杂 在性能和硬件方面介于两者之间
Viterbi（维特比）译码：属最大似然译码
12.3 卷积码的解析表示
延时算子多项式表示（续）
常用二进制或八进制序列表示生成多项式。如上例： G1(D)=1+D+D2 g1=(111)=(7)8 G2(D)=1+D2 g2=(101)=(5)8
这种表示主要是为了方便
12.3 卷积码的解析表示
半无限矩阵表示
输入信息序列和输出序列都用半无限矢量表示 以(2, 1, 3)卷积码为例，有 M=[m1 m2 m3 …] X=[x1,1 x2,1 x1,2 x2,2 x1,3 x2,3 …]
Mj-1
Mj-2
a 11 10 c 00 11 b 01 01 d 10
+
+
X2,j X1,j
输出序列X
（2，1，3）卷积码编码器
12.2 卷积码的图解表示
树状图（续）——(2, 1, 3)卷积编码器树状图分析： 输入第2个比特，移位寄存器右移1位后，上支路情况下移位 寄存器状态mj-2mj-1仍为00，即a，下支路mj-2mj-1=01，即b
12.2 卷积码的图解表示
例：对上述(2, 1, 3)卷积编码器，若起始状态为a，输入序列为1101 1100 1000，求输出序列和状态变化路径 解：由该卷积码的网格图表示，找出编码时网格图中的路径如图所示， 由此可得到输出序列和状态变化路径，画在同一图中
输入码 状态 输出码 a a 11 11 b 00 c 01 01 d 10 （2，1，3）卷积码的编码过程及路径 01 01 11 10 1 b 01 1 d 01 0 c 00 1 b 01 1 d 10 1 d 01 0 c 11 0 a 11 11 11 1 b 10 0 c 11 0 a 00 00 0 a
12.1 基本概念
卷积码编码器的一般形式（续）
由图可知：n个输出比特不但与当前k个输入比特 有关，而且与以前的(N-1)k个输入信息比特有关 整个编码过程可看成：输入信息序列与移位寄存 器和模2和连接方式所决定的另一个序列的卷积
12.2 卷积码的图解表示
主要内容
树状图 网格图 状态图和状态转移图
12.2 卷积码的图解表示
对于(n, k, N)卷积码的一般情况，有如下结论
对应于每组k个输入比特，编码后产生n个输出比特 树状图中每个节点引出2k条支路 网格图和状态图（状态转移图）都有2k(N-1)种可能的状态。 每个状态引出2k条支路，同时也有2k条支路从其它状态 或本状态引入
12.3 卷积码的解析表示
输入第3个比特（ a、b的情况重复，故可不考虑）
12.2 卷积码的图解表示
网格图
按照码树中的重复性，可得一种更为紧凑的图形表示 把码树中具有相同状态的节点合并在一起
状态 a 00 00 11 b 01 10 c 10 01 01 d 11 10 01 01 10 01 01 10 01 00 11 00 11 11 00 10 00 11 11 00 00 11 11 00
12.2 卷积码的图解表示
00 00 00 a 11 a 10 11 b 01 a 11 10 11 c 00 b 01 01 d 10 00 a 11 10 b 01 11 c 00 01 d 10 00 a 11 10 b 01 11 c 00 01 d 10
树状图（续） ：(2, 1, 3)卷积编码器
第1个输入比特m1=0时，输出比特x1,1x2,1=00； m1=1时x1,1x2,1=11。即从a点出发有2条支路（树 叉）可选：m1=0取上支路，下一节点mj-2mj-1=00 （为a）；m1=1取下支路，下一节点mj-2mj-1=01 （即b） 状态
输入比特
输入序列M m1m2 … mj…
Mj