离散数学图论2PPT教学课件
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离散数学2PPT课件
在讨论Ａ与Ｂ是否有相同的真值表时，应将哑元考虑在内， 即将Ａ、Ｂ都看成含所有p1 , p2 , … pn的命题公式，如果在所有 2n个赋值下，Ａ与Ｂ的真值相同，则ＡＢ为重言式。
3/25/2021
2021
4
定义
CHAPTER TWO
定义2.1 设A ,B 是两个命题公式，若A, B构成的等价式A ↔ B为 重言式，则称A与B是等值的, 记为A⇔B。
3/25/2021
2021
11
例24
证明：(p→q)→r
⇔
p→(q→r）.
CHAPTER TWO
证 方法一：真值表法。
方法二：观察法。 方法三: 记A=(p→q)→r, B= p→(q→r)。先将A,B等值演算
化成易于观察真值的公式，再进行判断。
A=(p→q)→r⇔(┐p∨q)→r
(蕴含等值式)
⇔ ┐(┐p∨q)∨r
(交换律，结合律)
(10) ⇔ p∧(1∨p)
（排中律）
(11) ⇔ p∧1
（零律）
(12) ⇔ p
（同一律）
(13) 可见，（3）中公式不是重言式，因为00，01 都是成假赋
值；它也不是矛盾式，因为10，11 都是其成真赋值，故它是可
3/25/20满21足式。
2021
15
例2.6
CHAPTER TWO
B2∧C3∧D10, B3∧C1∧D2p∧┐q∧r, B3∧C2∧D10 于是，由同一律可知 E(┐p∧q∧┐r) ∨(p∧┐q∧r)
但因为王教授不能既是苏州人，又是杭州人，因而p,r必有一个为假命 题，即p∧┐q∧r0 。
于是 E┐p∧q∧┐r 为真命题，因而必有p,r为假命题，q为真命题， 即王教授为上海人，甲说得全对，丙说对了一半，而乙全说错啦。
3/25/2021
2021
4
定义
CHAPTER TWO
定义2.1 设A ,B 是两个命题公式，若A, B构成的等价式A ↔ B为 重言式，则称A与B是等值的, 记为A⇔B。
3/25/2021
2021
11
例24
证明：(p→q)→r
⇔
p→(q→r）.
CHAPTER TWO
证 方法一：真值表法。
方法二：观察法。 方法三: 记A=(p→q)→r, B= p→(q→r)。先将A,B等值演算
化成易于观察真值的公式，再进行判断。
A=(p→q)→r⇔(┐p∨q)→r
(蕴含等值式)
⇔ ┐(┐p∨q)∨r
(交换律，结合律)
(10) ⇔ p∧(1∨p)
（排中律）
(11) ⇔ p∧1
（零律）
(12) ⇔ p
（同一律）
(13) 可见，（3）中公式不是重言式，因为00，01 都是成假赋
值；它也不是矛盾式，因为10，11 都是其成真赋值，故它是可
3/25/20满21足式。
2021
15
例2.6
CHAPTER TWO
B2∧C3∧D10, B3∧C1∧D2p∧┐q∧r, B3∧C2∧D10 于是，由同一律可知 E(┐p∧q∧┐r) ∨(p∧┐q∧r)
但因为王教授不能既是苏州人，又是杭州人，因而p,r必有一个为假命 题，即p∧┐q∧r0 。
于是 E┐p∧q∧┐r 为真命题，因而必有p,r为假命题，q为真命题， 即王教授为上海人，甲说得全对，丙说对了一半，而乙全说错啦。
离散数学_图论123页PPT
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
Hale Waihona Puke 离散数学_图论1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
《离散数学图论》课件
最短路径问题
实现方法：使用 队列数据结构， 将起始节点入队， 然后依次处理队 列中的每个节点， 直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法：用于 求解单源最短路径问 题，通过不断更新最 短路径来寻找最短路 径。
Prim算法：用于求解 最小生成树问题，通过 不断寻找最小权重的边 来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义：邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其 中n是图的顶点数，矩阵中的元素表示 图中顶点之间的连接关系。
性质：邻接矩阵中的元素只有0和1， 其中0表示两个顶点之间没有边相连， 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用：邻接矩阵可以用于表示图的连通 性、路径长度等信息，是图论中常用的 表示方法之一。
图像处理：优化图像分割， 提高图像质量
物流配送：优化配送路径， 降低配送成本
社交网络：优化社交网络 结构，提高用户活跃度
感谢您的观看
汇报人：PPT
数学：用于图论、组合数 学、代数拓扑等领域
物理学：用于量子力学、 统计力学等领域
生物学：用于蛋白质结构、 基因调控等领域
社会科学：用于社会网络 分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义：由节点和边组成的数学结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系
节点表示方法：用点或圆圈表示 边表示方法：用线或弧线表示 图的表示方法：可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点：图中的基本元素，表示一个对象或事件 边：连接两个顶点的线，表示两个对象或事件之间的关系 度：一个顶点的度是指与其相连的边的数量 路径：从一个顶点到另一个顶点的边的序列 连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径 强连通图：图中任意两个顶点之间都存在双向路径
实现方法：使用 队列数据结构， 将起始节点入队， 然后依次处理队 列中的每个节点， 直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法：用于 求解单源最短路径问 题，通过不断更新最 短路径来寻找最短路 径。
Prim算法：用于求解 最小生成树问题，通过 不断寻找最小权重的边 来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义：邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其 中n是图的顶点数，矩阵中的元素表示 图中顶点之间的连接关系。
性质：邻接矩阵中的元素只有0和1， 其中0表示两个顶点之间没有边相连， 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用：邻接矩阵可以用于表示图的连通 性、路径长度等信息，是图论中常用的 表示方法之一。
图像处理：优化图像分割， 提高图像质量
物流配送：优化配送路径， 降低配送成本
社交网络：优化社交网络 结构，提高用户活跃度
感谢您的观看
汇报人：PPT
数学：用于图论、组合数 学、代数拓扑等领域
物理学：用于量子力学、 统计力学等领域
生物学：用于蛋白质结构、 基因调控等领域
社会科学：用于社会网络 分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义：由节点和边组成的数学结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系
节点表示方法：用点或圆圈表示 边表示方法：用线或弧线表示 图的表示方法：可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点：图中的基本元素，表示一个对象或事件 边：连接两个顶点的线，表示两个对象或事件之间的关系 度：一个顶点的度是指与其相连的边的数量 路径：从一个顶点到另一个顶点的边的序列 连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径 强连通图：图中任意两个顶点之间都存在双向路径
离散数学第2章ppt课件
E AA∪B∪BC
C
n
A k A 1A 2 A n
k 1
二、集合的并 (Union)
3、性质
1)幂等律 A∪A =A
2)零律
A∪U =U
3)同一律 A∪ =A
4)交换律 A∪B =B∪A
5)结合律 A∪(B∪C) =(A∪B)∪C
二、集合的并 (Union)
3、性质
， 6)
若A⊆B，C⊆D，则A∪C
是集合，没有元素
有1个元素的集合
2) ∈{}， {}
五、特殊集合
1、空集
定理 空集是任一集合A的子集，即 ⊆A。
下列命题是否为真。
1)√⊆;
2) ∈ ; 3) ⊆{}; 4) ∈{} 。
√
√
五、特殊集合
1、空集
推理 空集是唯一的。(绝对唯一)
证明： 设1，2是两个空集, 则1 2，且2 1，
证明唯一性 一般采用反
1、符号表示法
通常用大写字母A, B, C, …代表集合; 用小写字母a, b, c, …代表元素。
1)如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a属于A”,或 “a在集合A中”。
2)如果a不是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a不属于A”,或 “a不在集合A中”。
注：任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合, 二者必居其一, 且只居其一。
1) 若b∈A，则b是不给自己刮脸的人， 而由题意，b只给集合A中的人刮脸。 ∴b 要给b 刮脸， 即b ∈ A。
理发师问题
在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只 有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己 不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？
C
n
A k A 1A 2 A n
k 1
二、集合的并 (Union)
3、性质
1)幂等律 A∪A =A
2)零律
A∪U =U
3)同一律 A∪ =A
4)交换律 A∪B =B∪A
5)结合律 A∪(B∪C) =(A∪B)∪C
二、集合的并 (Union)
3、性质
， 6)
若A⊆B，C⊆D，则A∪C
是集合，没有元素
有1个元素的集合
2) ∈{}， {}
五、特殊集合
1、空集
定理 空集是任一集合A的子集，即 ⊆A。
下列命题是否为真。
1)√⊆;
2) ∈ ; 3) ⊆{}; 4) ∈{} 。
√
√
五、特殊集合
1、空集
推理 空集是唯一的。(绝对唯一)
证明： 设1，2是两个空集, 则1 2，且2 1，
证明唯一性 一般采用反
1、符号表示法
通常用大写字母A, B, C, …代表集合; 用小写字母a, b, c, …代表元素。
1)如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a属于A”,或 “a在集合A中”。
2)如果a不是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a不属于A”,或 “a不在集合A中”。
注：任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合, 二者必居其一, 且只居其一。
1) 若b∈A，则b是不给自己刮脸的人， 而由题意，b只给集合A中的人刮脸。 ∴b 要给b 刮脸， 即b ∈ A。
理发师问题
在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只 有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己 不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？
离散数学课件图论2
❖结点(Vertices)：用 表示, 旁边标上该结点的名称。 ❖ 边(Edges)
有向边: 带箭头的弧线。 从u到v的边表示成 <u,v>
无向边:不带箭头的弧线。 u和v间的边表示成 (u,v)
School of Information Science and Engineering
实例
1. 设 V1= {v1, v2, …,v5}, E1 = {(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}
例： 给定右图所示 V/R={ {a,b,g}，{c,d,e,f}，{h} }
h
gf
e
a
bc
d
School of Information Science and Engineering
14-3 图的连通性
［G的连通性与连通分支］ ① 若u, vV，uv，则称G是连通的 ② V/R={V1,V2,…,Vk}，称等价类构成的子图G[V1], G[V2], …,G[Vk]为G的连通分支，其个数 p(G)=k (k1)； k=1，G是连通的。
定义：设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集，以所 有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图， 称为G的补图，记作 G 。
若G G , 则称G是自补图。 相对于K4, 求上面图中所有图的补图，并指出哪些是自补图. 问：互为自补图的两个图的边数有何关系？
School of Information Science and Engineering
School of Information Science and Engineering
14-1 图
6. 邻域与关联集 ① vV(G) (G为无向图) v 的邻 N (v ) { 域 u |u V (G ) (u ,v ) E (G ) u v }
有向边: 带箭头的弧线。 从u到v的边表示成 <u,v>
无向边:不带箭头的弧线。 u和v间的边表示成 (u,v)
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实例
1. 设 V1= {v1, v2, …,v5}, E1 = {(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}
例： 给定右图所示 V/R={ {a,b,g}，{c,d,e,f}，{h} }
h
gf
e
a
bc
d
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14-3 图的连通性
［G的连通性与连通分支］ ① 若u, vV，uv，则称G是连通的 ② V/R={V1,V2,…,Vk}，称等价类构成的子图G[V1], G[V2], …,G[Vk]为G的连通分支，其个数 p(G)=k (k1)； k=1，G是连通的。
定义：设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集，以所 有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图， 称为G的补图，记作 G 。
若G G , 则称G是自补图。 相对于K4, 求上面图中所有图的补图，并指出哪些是自补图. 问：互为自补图的两个图的边数有何关系？
School of Information Science and Engineering
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14-1 图
6. 邻域与关联集 ① vV(G) (G为无向图) v 的邻 N (v ) { 域 u |u V (G ) (u ,v ) E (G ) u v }
离散数学关系2PPT课件
R1={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>},
2021/2/12
《集合论与图论》第6讲
2
定理6(证明(1))
(1) R1○(R2R3) = (R1○R2)(R1○R3) 证明: <x,y>,
<x,y>R1○(R2R3)
z(x(R2R3)zzR1y)z((xR2zxR3z)zR1y)
z((xR2zzR1y)(xR3zzR1y))
z(xR2zzR1y)z(xR3zzR1y) x(R1○R2)yx(R1○R3)yx((R1○R2)(R1○R
b
设 R1={<b,d>,<c,d>}, a
d
R2={<a,b>}, R3={<a,c>}. c 则R1○(R2R3) = R1○ = ,
R1○R2={<a,d>}, R1○R3={<a,d>}, (R1○R2)(R1○R3)={<a,d>}. #
2021/2/12
《集合论与图论》第6讲
5
定理7
定理7: 设F,G为二集合, 则 (F○G)-1 = G-1○F-1.
R1={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>}, R2={<a,b>,<a,c>,<b,c>}, 用M(R1), M(R2)确定M(R1-1), M(R2-2), M(R1○R1), M(R1○R2), M(R2○R1), 从而求出它们的集合表达式.
2021/2/12
《集合论与图论》第6讲
《集合论与图论》第6讲
2021/2/12
《集合论与图论》第6讲
2
定理6(证明(1))
(1) R1○(R2R3) = (R1○R2)(R1○R3) 证明: <x,y>,
<x,y>R1○(R2R3)
z(x(R2R3)zzR1y)z((xR2zxR3z)zR1y)
z((xR2zzR1y)(xR3zzR1y))
z(xR2zzR1y)z(xR3zzR1y) x(R1○R2)yx(R1○R3)yx((R1○R2)(R1○R
b
设 R1={<b,d>,<c,d>}, a
d
R2={<a,b>}, R3={<a,c>}. c 则R1○(R2R3) = R1○ = ,
R1○R2={<a,d>}, R1○R3={<a,d>}, (R1○R2)(R1○R3)={<a,d>}. #
2021/2/12
《集合论与图论》第6讲
5
定理7
定理7: 设F,G为二集合, 则 (F○G)-1 = G-1○F-1.
R1={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>}, R2={<a,b>,<a,c>,<b,c>}, 用M(R1), M(R2)确定M(R1-1), M(R2-2), M(R1○R1), M(R1○R2), M(R2○R1), 从而求出它们的集合表达式.
2021/2/12
《集合论与图论》第6讲
《集合论与图论》第6讲
《离散数学第2章》课件
关系的运算
总结词
关系的运算包括并、交、差、对称差两个关系的元素合并，并 保留重复的关联；交运算是保留两个关系中 共有的关联；差运算是从一个关系中去除另 一个关系中的关联；对称差运算是将两个关 系中的不同元素合并；复合运算是根据一个 关系来定义另一个关系中的关联。
01
分布函数是单调非减的，且在无 穷大处的极限为1，在负无穷处 的极限为0。
03
离散随机变量的分 布函数
对于离散随机变量，其分布函数 可以表示为一系列离散的阶梯函 数。
随机变量的数字特征
数学期望
数学期望是随机变量所有可能取值的 概率加权和，表示随机变量取值的平 均值。
协方差和相关系数
协方差是两个随机变量的数学期望的 差的期望值，相关系数是协方差与两 个随机变量标准差的乘积的比值。
随机变量的取值范围
随机变量的取值范围称为随机变量的值域，可以是有 限集、可数无穷集或不可数集。
随机变量的分类
根据取值范围的不同，离散随机变量可以分为离散型 和连续型。
随机变量的分布函数
01
分布函数的定义
对于离散随机变量，其分布函数 是所有可能取值的概率之和，表 示随机变量取某个值的概率。
02
分布函数的性质
必然事件
概率值为1的事件，表示一定会 发生。
不可能事件
概率值为0的事件，表示一定不 会发生。
互斥事件
两个或多个事件不能同时发生 。
条件概率
条件概率的公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
条件概率的应用
在决策树、贝叶斯定理等领域有广泛应用。
独立性
01
事件的独立性是指一个事件的 发生不受另一个事件是否发生 的影响。
图论离散数学离散数学第四版清华出版社PPT课件
12/19/2020
28
b
e1
e4
a
e2
d
e5
e3
c
e5, e1, e2, e3, e4是简单通路，不是基本通路， 因为c, a, b, c, d, b中b, c均出现了两次。但c,
d, b, c是基本通路，也是基本回路。
12/19/2020
29
[定理] 在一个n阶图中，若从顶点u到v (uv)
❖ 起始状态是“人狼羊菜”，结束状态是“空”。
❖ 问题的解：找到一条从起始状态到结束状态的 尽可能短的通路。
12/19/2020
26
“巧渡河”问题的解
❖ 注意：在“人狼羊菜”的16种组合中允 许出现的只有10种。
人羊狼菜 人狼菜 人羊狼 人羊菜 人羊
狼菜
狼
12/19/2020
菜
羊
空(成功)
27
[定义] 简单通路(Simple Path)
在无向图G中，若e=(a, b)∈E，则称a与 b彼此相邻(adjacent)，或边e关联 (incident) 或联结(connect) a, b。a, b称为边e的端点或 结束顶点(endpoint)。
在有向图D中，若e=<a, b>∈E，即箭头 由a到b，称a邻接到b，或a关联或联结b。a 称为e的始点(initial vertex)，b称为e的终点 (terminal/end vertex)。
12/19/2020
30
[定义] 连通性(connectivity)
设G=<V，E>，若从vi到vj存在一条通 路，则称vi到vj连通(connective)或可达。
说明：对无向图而言，若vi到vj可达，则 vj到vi也可达。对有向图而言则未必。
离散数学教学图论【共58张PPT】
一 、图的基本概念
• 邻接和关联 • 无向图和有向图 • 零图和平凡图 • 简单图 • 完全图（无向完全图和有向完全图） • 有环图
一 、图的基本概念
• 有限图和无限图 设图G为< V，E，Ψ>
（l）当V和E为有限集时，称G为有限图，否则称G为无限图。 （2）当ΨG为单射时，称G为单图；当ΨG为非单射时，称G为重图，又称满足
二、生成树
1、生成树定义：
若无向图的一个生成子图T是树，则称T 为G的生 成树，T中的边称为树枝，E（G）-E（T）称为树T 的补，其中的每一边称为树T 的弦。
在任何图中，结点v的度（degree）d(v)是v所关联边的数目。
第三节 生成树、最短路径和关键路径 由结点a和它所有的后代导的子图，称为T的子树.
∴ T连通且具有m=n-1的图
{e5,e4,e8} ， {e7，e6，e5，e2，e4} 第四节 欧拉图和哈密顿图
第四节 特殊图（欧拉图和哈密顿图等）
第五节 树、二叉树和哈夫曼树
离散数学教学图论
（优选 欧拉图和哈密顿图
(3)2=>3 ∴W(T)≤W(T1) ∴W(ei+1)≥W(f) 二. 哈密顿图的由来—周游世界问题：
第二节 图的矩阵表示 第四节 欧拉图和哈密顿图
证明：若G中一个边割集和一生成 树无公共边，则表示该边割集所分离的结点不在生成树中，这导致与生成树的定义矛盾。 哈密顿图的由来—周游世界问题： c)对新图向下旋转45度。 ei之后将取f而不是ei+1
为该顶点的度,列之和一定为2. • 有向图的关联矩阵 ----- 以节点数为行,边数为列.节点与边无关系,为0,有关系,则起点为1,
终点为-1;列之和一定为0,每行绝对值之和等于该节点的度数;其 中1的个数为该节点的出度,-1的个数为对应节点的入度;所有元 素的和为0,1的个数等于-1的个数,都等于边数m.
离散数学PPT【共34张PPT】
15
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
16
关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮 图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路 径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
16
关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮 图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
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可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路 径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；
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（1）欧拉回路要求边不能重复，结点可以重复. 笔不离开纸，不重复地走完所有的边，
且走过所有结点，就是所谓的一笔画.
2020/12/11
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（2）欧拉图或通路的判定 1) 无向连通图G是欧拉图G不含奇数度结点(G的
所有结点度数为偶数):(定理1) 2) 非平凡连通图G含有欧拉通路G最多有两个奇
数度的结点；(定理1的推论) 3) 连通有向图D含有有向欧拉回路(即欧拉图)D
m
② mij degvi() j1
nm
nm
③ (m ij 1 ) (m ij 1 )m
2020/12i /11 1 j 1
i 1j 1
3
4．(有向图)邻接矩阵
设D=<V,E>, Vn,Em
A(D)= aij n
其中aij=邻接vi与vj的边的条数 (与A(G)类似) ( 以行和列均为结点)
aij
0
，表明vi是孤立点;
j1
i1
j1
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2
3．(有向图)关联矩阵
设D＝<V,E>, Vn,Em
M(D)= mij nm
1
其中 mij 0
vi为始,点 vj为终点
vi与vj不关联 (结点为行，边为列).
具有性质： 1 vi为终， 点vj为始点
n
① mij 0 (列元素之和为 0）； i1
二、图的矩阵表示、欧拉图
1．（无向图)
设G=<V,E>, Vn,Em M(G)= mij nm
其中mij=vi与ej的关联次数(行为结点，列为边). 具有性质：
m
① mij 2(列元素之和为2)；
i1
m
② mij degv,(i若)
m mij ,0表明vi是孤立点;
j1
j 1
nm
③
mij
nm
具有性质： aij m i1 j1
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5．(有向图)可达矩阵 设D=<V,E>，Vn,Em
P(D)= pij n
1
其中
pij
0
vi可达 vj 否则
2020/12/11
5
6．欧拉通路(回路)与欧拉图 通过图G的每条边一次且仅一次，而且走遍每个结
点的通路(回路)，就是欧拉通路(回路). 存在欧拉回路的图就是欧拉图. 注：
i1 j1
2m,即所有元素之和等于边数的2倍;
④202平0/12行/11 边的列的元素完全对应相同.
1
2．(无向图)相邻矩阵
设G＝<V，E>, Vn,Em
A(G)= aij n
其中aij=vi与vj相关联的边的条数(行、列均为结点).
具有性质:
① A(G)是对称矩阵；
②
；若 m
n
m
aij( aij)devgi)(
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2020/12/11
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PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
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中每个结点的入度＝出度
结点的入度＝出度，
且此两点满足deg－(u)－deg＋(v)＝1. (定理2)
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且走过所有结点，就是所谓的一笔画.
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（2）欧拉图或通路的判定 1) 无向连通图G是欧拉图G不含奇数度结点(G的
所有结点度数为偶数):(定理1) 2) 非平凡连通图G含有欧拉通路G最多有两个奇
数度的结点；(定理1的推论) 3) 连通有向图D含有有向欧拉回路(即欧拉图)D
m
② mij degvi() j1
nm
nm
③ (m ij 1 ) (m ij 1 )m
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i 1j 1
3
4．(有向图)邻接矩阵
设D=<V,E>, Vn,Em
A(D)= aij n
其中aij=邻接vi与vj的边的条数 (与A(G)类似) ( 以行和列均为结点)
aij
0
，表明vi是孤立点;
j1
i1
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3．(有向图)关联矩阵
设D＝<V,E>, Vn,Em
M(D)= mij nm
1
其中 mij 0
vi为始,点 vj为终点
vi与vj不关联 (结点为行，边为列).
具有性质： 1 vi为终， 点vj为始点
n
① mij 0 (列元素之和为 0）； i1
二、图的矩阵表示、欧拉图
1．（无向图)
设G=<V,E>, Vn,Em M(G)= mij nm
其中mij=vi与ej的关联次数(行为结点，列为边). 具有性质：
m
① mij 2(列元素之和为2)；
i1
m
② mij degv,(i若)
m mij ,0表明vi是孤立点;
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j 1
nm
③
mij
nm
具有性质： aij m i1 j1
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5．(有向图)可达矩阵 设D=<V,E>，Vn,Em
P(D)= pij n
1
其中
pij
0
vi可达 vj 否则
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6．欧拉通路(回路)与欧拉图 通过图G的每条边一次且仅一次，而且走遍每个结
点的通路(回路)，就是欧拉通路(回路). 存在欧拉回路的图就是欧拉图. 注：
i1 j1
2m,即所有元素之和等于边数的2倍;
④202平0/12行/11 边的列的元素完全对应相同.
1
2．(无向图)相邻矩阵
设G＝<V，E>, Vn,Em
A(G)= aij n
其中aij=vi与vj相关联的边的条数(行、列均为结点).
具有性质:
① A(G)是对称矩阵；
②
；若 m
n
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aij( aij)devgi)(
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中每个结点的入度＝出度
结点的入度＝出度，
且此两点满足deg－(u)－deg＋(v)＝1. (定理2)
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