应力分析与应变分析

➢ 球坐标下的应力平衡微分方程？
§1.5 应变与位移关系方程
§1.5.1 几何方程 §1.5.2 变形连续方程
§1.5.1 几何方程
xx
x
u x x
, yy
y
u y y
, zz
z
u z z
xy
yx
1 2
xy
1 ( ux 2 y
u y x
)
yz
zy
1 2
yz
1 ( uz 2 y
J2,
J3
max ,
8,8
' ij
,m
➢ 差异性：
❖概念：应力 研究面元ds 上力的集度 应变 研究线元dl 的变化情况
❖ 内部关系：应力—应力平衡微分方程 应变—应变连续（协调）方程 弹性变形：相容方程
塑性变形：体积不变条件
➢ 等效关系：
❖等效应力—弹性变形和塑性变形表达式相同
❖等效应变—弹性变形和塑性变形表达式不相同
对于弹性变形：
e
2 2(1 )
(
(1 2 )2 (2 3)2 (3 1)2
（ ——泊松比）
对于塑性变形：
e
2( 3
(1 2 )2 (2 3 )2 (3 1)2
令 即为应变速率张量 ij
1 Vi 2 x j
V j xi
§1.9 主应变图与变形程度表示
主变形图是定性判断塑性变形类型的图示方法。 主变形图只可能有三种形式
➢ 主应力、主应变图示： 主应力—9种； 主应变—3种
[但只有23种可能的应力应变组合（塑性变形力 学图），为什么？]
变形程度表示
➢绝对变形量 ——指工件变形前后主轴方向上尺寸
§1.3 应力张量的分解与几何表示
ij
' ij
ij m
(i,j=x,y,z)
其中
m
1 3
(
x
y
z
)
即平均应力，
为柯氏符号。
即
x
.
xy y
xz yz
.x'
xy
' y
xz yz
m
1 0
0 1
0 0
.
. z .
.
' z
0 0 1
' x
x
m,
' y
y
m
' z
z
m
讨论：
d ij
1 2 xi
(dU j )
x j
(dUi )
§1.8 应变速度张量
设某一瞬间起dt时间内，产生位移增量 dUi，则应有dUi=Vidt。其中Vi为相应位移
速度。代入增量应变张量，有：
d ij
1
2
x
i
(V j dt)
x j
(Vi
dt
)
1 Vi
2
x
j
Vi xi
dt
应力分析与应变分析
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.6 §1.7 §1.8 §1.9
应力与点的应力状态 点的应力状态分析 应力张量的分解与几何表示 应力平衡微分方程 应变与位移关系方程 点的应变状态 应变增量 应变速度张量 主应变图与变形程度表示
§1.1 应力与点的应力状态
外力(load)与内力(internal force) 外力P：施加在变形体 上的外部载荷。 内力Q：变形体抗衡外 力机械作用的体现。
的变化量 ➢相对变形
——指绝对变形量与原始尺寸的比值， 常称为形变率 ➢真实变形量
——即变形前后尺寸比值的自然对数
应力应变分析的相似性与差异性
相似性：张量表示、张量分析、张量关系相似
ij
(i,
j
x,
y,
z)
1,
2
,
3
I1,
I2
,
I3
max
,8
,
8
' ij
,
m
ij
(i,
j
x,
y,
z)
1,2,3
J1,
z 2
讨论：
1.物理意义：表示各应变分量之间的相互关系“连续 协调”即变形体在变形过程中不开裂，不堆积； 2.应变协调方程说明：同一平面上的三个应变分量中 有两个确定，则第三个也就能确定；在三维空间内 三个切应变分量如果确 定，则正应变分量也就可以 确定； 3.如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分量 自然满足协调方程；若是按其它方法求得的应变分 量，则必须校验其是否满足连续性条件。
x
zx
y
xy
z
yz
x
2 x
yz
y
xy
z
yz
x
zx
y
2 y
xz
z
yz
x
zx
y
xy
z
2 z
xy
2
xy
xy
2
yz
yz
2
zx
zx
1 2 x
2 y 2
2 y
x 2
1 2 y
2 z 2
2 z
y 2
1 2
2 z
x 2
2 x
➢ 最大剪应力(maximun shear stress)：
通常规定：
1 2 3
则有最大剪应力：
max
1
3 2
或者： 其中：
且有：
max max{12 , 23 , 31 }
12
1
2 2
, 23
2
3 2
, 31
3
1 2
12 23 31 0
§1.2.3 八面体应力与等效应力
即主应力空间的｛111｝等倾面上的应力。
这组截面的方向余弦为：
lx ly lz
1 3
54o44'
正应力
8
1 3
( 1
2
3)
1 3
I1
剪应力
8
1 3
(1 2 )2 ( 2 3)2 ( 3 1)2
总应力
P8
2 8
2 8
八面体上的正应力与塑性变形无关，剪应力与塑性变形有
关。
八面体应力的求解思路：
ij (i, j x, y, z) 1, 2, 3 8,8 I1, I2
§1.6 点的应变状态
指围绕该点截取的无限小单元体的各棱长及棱间 夹角的变化情况。
可表示为张量形式：
ij xxy
.
y
.
.
xz yz z
( i, j = x, y, z )
应变张量（strain tensor）也可进行与应力张 量类似的分析。
§1.7 应变增量
全量应变与增量应变的概念 前面所讨论的应变是反映单元体在某一变 形过程终了时的变形大小，称作全量应变 增量应变张量
（求和约定的缩写形式）
一点的应力状态及应力张量
一点的应力状态：是指通过变形体内某点的单元体所有
截面上的应力的有无、大小、方向等情况。
一点的应力状态的描述：
数值表达：x=50MPa，xz=35MPa 图示表达：在单元体的三个正交面上标出（如图 1-2）
张量表达： x xy xz
ij
.
f (x dx)
f
(x) 1 f (x) 1! x
1 2 f (x) 2! x2
......
f (x) f (x) x
xdx
x
x
x
➢ 圆柱坐标下的应力平衡微分方程
r
r
1 r
r
zr
z
1 r
(
r
)
0
r
r
1 r
zr
z
2 r
r
0
rz 1 z z rz 0 r r z r
y
yz
. . z
(i,j=x,y,z)
（对称张量，9个分量，6个独立分量。）
应力分量图示
图1-2 平行于坐标面上应力示意图
➢ 应力的分量表示及正负符号的规定
ij xx 、 xz ……
（便于计算机应用）
i——应力作用面的外法线方向(与应力作用面的外
法线方向平行的坐标轴)
j——应力分量本身作用的方向
度，与塑性变形无关；I3也与塑性变形无关；I2与塑性 变形无关。 7. 应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。
➢ 主应力的求解（略，见彭大暑《金属塑性加工力学》教材） ➢ 主应力的图示
§1.2.2 主剪应力和最大剪应力
➢ 主剪应力(principal shear stress)：极值剪应力（不为零 ）平面上作用的剪应力。主应力空间的｛110｝面族。
u y ) z
zx
xz
1 2
xz
1 ( uz 2 x
ux ) z
讨论：
1.物理意义：表示位移 (displacement) 与应变(strain) 之间的关系；
2.位移包含变形体内质点的相对位移 （产生应变）和变形体的刚性位移 （平动和转动）； 3.工程剪应变
理论剪应变：
xy
tg
tg
ux y
yx
x
y
y
yz
z
0
zx
zy
z
0
x
y
z
物理意义：表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态 的关系。对弹性变形和塑性变形均适用。
➢ 推导原理：
静力平衡条件： X 0, Y 0, Z 0
静力矩平衡条件： M x 0, M y 0, M z 0
泰勒级数展开：
当 i=j 时为正应力