抛物线练习题含答案

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高考数学专题《抛物线》习题含答案解析

高考数学专题《抛物线》习题含答案解析

专题9.5 抛物线1.(2020·全国高考真题(理))已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,则p =( ) A .2 B .3 C .6 D .9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ,由抛物线的定义知||122A p AF x =+=,即1292p=+,解得6p.故选:C.2.(2020·北京高三二模)焦点在x 轴的正半轴上,且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是( ) A .x 2=4y B .y 2=4x C .x 2=8y D .y 2=8x【答案】D 【解析】根据题意,要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上, 设其标准方程为22(0)y px p =>, 又由焦点到准线的距离为4,即p =4, 故要求抛物线的标准方程为y 2=8x , 故选:D.3.(全国高考真题)设F 为抛物线2:4C y x =的焦点,曲线()0ky k x=>与C 交于点P ,PF x ⊥轴,则k =( )A .12B .1C .32D .2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=,故选D. 4.(2020·全国高考真题(文))设O 为坐标原点,直线2x =与抛物线C :22(0)y px p =>交于D ,E 两点,若OD OE ⊥,则C 的焦点坐标为( ) A .1,04⎛⎫⎪⎝⎭B .1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C .(1,0)D .(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点,且OD OE ⊥, 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=,所以()2,2D ,代入抛物线方程44p =,求得1p =,所以其焦点坐标为1(,0)2, 故选:B.5.(2019·四川高三月考(文))若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线,则抛物线的方程为( ) A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-,垂直于x 轴. 而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-, 则42p=,即8p =. 故抛物线的方程为216y x =. 故选:C .6.(2019·北京高考真题(文))设抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线为l .则以F 为圆心,且与l 相切的圆的方程为__________. 【答案】(x -1)2+y 2=4. 【解析】抛物线y 2=4x 中,2p =4,p =2, 焦点F (1,0),准线l 的方程为x =-1, 以F 为圆心,且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.(2019·山东高三月考(文))直线l 与抛物线22x y =相交于A ,B 两点,当AB 4=时,则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______. 【答案】32【解析】由题意,抛物线22x y =的焦点坐标为(0,12),根据抛物线的定义如图,所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥= 故答案为:32. 8.(2021·沙湾县第一中学(文))设过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,且直线AB 的倾斜角为4π,则线段AB 的长是____,焦点F 到A ,B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8 【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-,然后将直线方程与抛物线方程联立方程组,消去y 后,利用根与系数的关系,结合抛物线的定义可求得答案 【详解】解:由题意得(1,0)F ,则直线AB 的方程为1y x =-,设1122(,),(,)A x y B x y ,由241y x y x ⎧=⎨=-⎩,得2610x x -+=, 所以12126,1x x x x +==, 所以12628AB x x p =++=+=,因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x , 所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=, 故答案为:8,89.(2021·全国高三专题练习)已知抛物线顶点在原点,焦点在坐标轴上,又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5,则m 的值为__________;抛物线方程为__________. 【答案】答案见解析 答案见解析 【分析】由于抛物线的开口方向未定,根据点(),3A m -在抛物线上这一条件,抛物线开口向下,向左、向右均有可能,以此分类讨论,利用焦半径公式列方程可得p 的值,根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值. 【详解】根据点(),3A m -在抛物线上,可知抛物线开口向下,向左、向右均有可能, 当抛物线开口向下时,设抛物线方程为22x py =-(0p >), 此时准线方程为2py =,由抛物线定义知(3)52p --=,解得4p =.所以抛物线方程为28x y ,这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时,可设抛物线方程为22y ax (0a ≠),从p a =知准线方程为2ax =-,由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩,解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩,22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩,44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,综合(1)、(2)得92m =,22y x =; 92m =-,22y x =-;12m =,218y x =; 12m =-,218y x =-;m =±28xy .故答案为:92,92-,12,12-,±22y x =,22y x =-,218y x =,218y x =-,28x y .10.(2019·广东高三月考(理))已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点,直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =,求FA FB +的值;()2点(3,2)C --,若CFA CFB ∠=∠,求直线l 的方程.【答案】(1)10(2)3240x y +-= 【解析】(1)由题意,可得()0,1F ,设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩,整理得2480x kx --=,则124x x k +=,128x x =-,又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.(2)由题意,知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()3.3FC =--, 由CFA CFB ∠=∠,可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+,2214x FB =+,则FA FC FB FC FA FC FB FC =, 整理得()1212420x x x x ++-=,解得32k =-, 所以直线l 的方程为3240x y +-=.1.(2021·吉林长春市·高三(理))已知M 是抛物线24y x =上的一点,F 是抛物线的焦点,若以Fx 为始边,FM 为终边的角60xFM ∠=,则FM 等于( ) A .2 B C .D .4【答案】D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,取()1,0a =,可得1cos ,2FM a <>=,求出20y 的值,利用抛物线的定义可求练提升得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ,其中2004y x =,则()1,0F ,2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,取()1,0a =,则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛,可得4200340480y y -+=,因为20104y ->,可得204y >,解得2012y =,则20034y x ==,因此,014MF x=+=. 故选:D.2.(2017·全国高考真题(文))过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M (在x 轴上方),l 为C 的准线,点N 在l 上且MNl ⊥,则点M 到直线NF 的距离为()A. B. D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ,与直线MN 相交于点Q ,(1,0)F ,设||||MN MF m ==,因为||2,30PF NQM =∠=,所以||4,||2QF QM m ==, 所以42m m +=,解得:4m =,设00(,)M x y ,由焦半径公式得:014x +=, 所以03x=,0y =,所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===,所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3.(2020·广西南宁三中其他(理))已知抛物线28C y x =:的焦点为F ,P 是抛物线C 的准线上的一点,且P 的纵坐标为正数,Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点,若PQ =,则直线PF 的方程为( )A .20x y --=B .20x y +-=C .20x y -+=D .20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ,因为PQ =,由抛物线的定义得PQ =,所以在Rt PQH ∆中,4PQH π∠=,所以4PFM π∠=,所以直线PF 的斜率为1k =-,所以直线PF 的方程为()()012y x -=--, 即20x y +-=, 故选B.4.(2020·浙江高三月考)如图,已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=,直线l 经过1C 的焦点F ,自上而下依次交1C 和2C 于A ,B ,C ,D 四点,则AB CD ⋅的值为( )A .14B .12C .1D .2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ,又直线l 经过1C 的焦点F ,设直线:(1)l y k x =-,由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则121=x x由题意可得:1111=-=+-=AB AF BF x x , 同理2=CD x ,所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C5.【多选题】(2022·全国高三专题练习)已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点,点()02,P y 在抛物线1C 上,则下列结论正确的有( )A .双曲线2C 的离心率为2B .双曲线2C 的渐近线为y x = C .8m =D .点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点,即可知A 、B 、C 的正误,根据所得抛物线方程求0y ,即知D 的正误. 【详解】双曲线2C 的离心率为2e ==,故A 正确;双曲线2C 的渐近线为y =,故B 错误; 由12,C C 有相同焦点,即24m=,即8m =,故C 正确; 抛物线28y x =焦点为()2,0,点()02,P y 在1C 上,则04y =±,故()2,4P 或()2,4P -,所以P 到1C 的焦点的距离为4,故D 正确. 故选:ACD .6.【多选题】(2021·海南鑫源高级中学)在下列四个命题中,真命题为( )A .当a 为任意实数时,直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ,则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B .已知双曲线的右焦点为(5,0),一条渐近线方程为2x -y =0,则双曲线的标准方程为221205x y -= C .抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D .已知双曲线2214x y m +=,其离心率()1,2e ∈,则m 的取值范围(-12,0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ;根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ;根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ;利用双曲线离心率公式即可判断D . 【详解】对A 选项,直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -,则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =,将点()2,3P -代入可得23p =,所以243x y =,故A 正确;对B 选项,知5,2bc a==,又22225a b c +==,解得225,20a b ==,所以双曲线的标准方程为221520x y -=,故B 错; 对C 选项,得21x y a =,所以准线方程14y a=-,正确;对D 选项,化双曲线方程为2214x y m-=-,所以()1,2e =,解得()12,0m ∈-,故正确.故选:ACD7.(2021·全国高二课时练习)已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点,若点M 到两定点(,)A p p ,,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小,则点M 的坐标为______.【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线,垂足为B ,根据抛物线的定义可得||||MF MB =, 易知当A ,B ,M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ,进而可得结果. 【详解】过点M 作抛物线准线的垂线,垂足为B ,由抛物线的定义,知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等,即||||MF MB =,所以||||||||MF MA MB MA +=+, 易知当A ,B ,M 三点共线时,||MB MA +取得最小值, 所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==,此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为:2p p ⎛⎫⎪⎝⎭,8.(2021·全国高二课时练习)抛物线()220y px p =>的焦点为F ,已知点A ,B 为抛物线上的两个动点,且满足120AFB ∠=︒,过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ,垂足为N ,则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ,=BF b ,根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+,在AFB △中,由余弦定理以及基本不等式可得)AB a b ≥+,即可求得MN AB 的最大值.【详解】设=AF a ,=BF b ,作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ,BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义,知AF AQ =,BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+,当且仅当a b =时,等号成立,∴)AB a b ≥+,∴()1a b MN AB +≤=MN AB9.(2020·山东济南外国语学校高三月考)抛物线C :22y x =的焦点坐标是________;经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,且点P 恰为AB 的中点,F 为抛物线的焦点,则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C :22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭. 过A 作AM ⊥准线交准线于M ,过B 作BN ⊥准线交准线于N ,过P 作PK ⊥准线交准线 于K ,则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+. 再根据P 为线段AB 的中点,119(||||)||4222AM BN PK +==+=, ∴9AF BF +=,故答案为:焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭,9AF BF +=.10.(2019·四川高考模拟(文))抛物线C :()220x py p =>的焦点为F ,抛物线过点(),1P p .(Ⅰ)求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程;(Ⅱ)过F 点作直线与抛物线C 交于A ,B 两点,过A ,B 分别作抛物线的切线,证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】(Ⅰ)抛物线的标准方程为24x y =,准线l 的方程为1y =-;(Ⅱ)详见解析. 【解析】(Ⅰ)由221p p =⨯,得2p =,所以抛物线的标准方程为24x y =,准线l 的方程为1y =-.(Ⅱ)根据题意直线AB 的斜率一定存在,又焦点()0,1F ,设过F 点的直线方程为1y kx =+,联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩,得,2440x kx --=. 设()11,A x y ,()22,B x y ,则124x x k +=,124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得,1'2y x =,过A ,B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩, 即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,两式相加,得()()2212121148y x x x x x =+-+,化简,得()221y kx k =-+,即()21y k x k =--, 所以,两条切线交于点()2,1k -,该点显然在抛物线C 的准线l :1y =-上.1.(2021·全国高考真题)抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+,则p =( ) A .1 B .2 C .D .4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标,然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,其到直线10x y -+=的距离:d == 解得:2p =(6p =-舍去). 故选:B.2.(2021·天津高考真题)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合,抛物线的准线交双曲线于A ,B 两点,交双曲线的渐近线于C 、D 两点,若|CD AB .则双曲线的离心率为( ) A B C .2D .3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ,进而可得准线为x c =-,代入双曲线及渐近线方程,结合线段长度比值可得2212a c =,再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ,则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-,令x c =-,则22221c ya b-=,解得2b y a =±,所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±,所以2bcCD a=,所以2bc a c ,所以222212a cbc =-=,所以双曲线的离心率ce a== 故选:A.3.(2020·北京高考真题)设抛物线的顶点为O ,焦点为F ,准线为l .P 是抛物线上异于O 的一点,过P 作PQ l ⊥于Q ,则线段FQ 的垂直平分线( ). A .经过点O B .经过点P C .平行于直线OP D .垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示:.因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等,又点P 在抛物线上,根据定义可知,PQ PF =,所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选:B.4.(2021·全国高考真题)已知O 为坐标原点,抛物线C :22y px =(0p >)的焦点为F ,P 为C 上一点,PF 与x 轴垂直,Q 为x 轴上一点,且PQ OP ⊥,若6FQ =,则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ,,再根据向量垂直坐标表示列方程,解得p ,即得结果. 【详解】抛物线C :22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点,PF 与x 轴垂直, 所以P 的横坐标为2p,代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点,且PQ OP ⊥,所以Q 在F 的右侧, 又||6FQ =, (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥,所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=,所以C 的准线方程为32x =-故答案为:32x =-.5.的直线过抛物线C :y 2=4x 的焦点,且与C 交于A ,B 两点,则AB =________.【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =,∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ,又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为:1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=, 解法一:解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二:10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ,则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线,设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为:1636.(2020·浙江省高考真题)如图,已知椭圆221:12x C y +=,抛物线22:2(0)C y px p =>,点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点,过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ,交抛物线2C 于M (B ,M 不同于A ).(Ⅰ)若116=p ,求抛物线2C 的焦点坐标; (Ⅱ)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点,求p 的最大值.【答案】(Ⅰ)1(,0)32;【解析】 (Ⅰ)当116=p 时,2C 的方程为218y x =,故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32;(Ⅱ)设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+,由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩, 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++, 由M 在抛物线上,所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++, 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩, 012y y p λ∴+=,2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+,2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+,18p ≥,21160p ≤,p ≤ 所以,p,此时A . 法2:设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠,()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得:()2222220m y mty t +++-=,所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得:2220y pmy pt --=,所以02M y y pt =-,解得()2022p m y m+=,因此()220222p m xm+=,由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以当m t ==p .。

《抛物线》典型例题12例(含标准答案)

《抛物线》典型例题12例(含标准答案)

《抛物线》典型例题 12例典型例题一例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程. (1) X 2=4y(2) X =ay 2(a H 0)分析:(1)先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种,求出 P,再写出焦点 坐标和准线方程.(2)先把方程化为标准方程形式,再对 a 进行讨论,确定是哪一种后,求 P 及 焦点坐标与准线方程.解:(1)寫P =2,.••焦点坐标是(0, 1),准线方程是:y = -1(2)原抛物线方程为:y 2 a 1 ,二2P = — a ①当2时,牛右,抛物线开口向右, 二焦点坐标是(丄,0),准线方程是:x = 4a 4a ②当a <0时,牛-右,抛物线开口向左, 1 1 •••焦点坐标是(丄,0),准线方程是:x =-' 4a 4a 综合上述,当a H0时,抛物线x=ay 2的焦点坐标为(丄,0),准线方程是:x = - 1 4a 4a 典型例题 例2若直线y =kx-2与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点,且AB 中点的横坐标为2, 求此直线方程. 分析:由直线与抛物线相交利用韦达定理列出 k 的方程求解.另由于已知与直线 斜率及弦中点坐标有关,故也可利用 作差法”求k. 解法一:设 A (x 1, y 1)、y = kx — 2B( x 2, y 2),则由:{ 2 可得:k 2x 2-(4k+8)x + 4 = 0 . 2 C l y =8x•••直线与抛物线相交,” k H 0 且 i >0,贝U kA —1 .••• AB 中点横坐标为:解得:k=2或k=—12 (舍去).k 2 =2,故所求直线方程为:y =2x—2 .解法二:设AX,%)、B(X2,y2),则有 y12 =8x1 y/ = 8x2两式作差解:(%-y2)(y1 +丫2)=8(x1 -X2),即*72X1 —X2 y1 + y2打x^i +X2 = 4 二yt + 丫2 =kx1—2 +kx2 —2 = “X t + x?)— 4 = 4k 一4,8/. k=----- 故 k=2或k=—1 (舍去).4k 一4则所求直线方程为:y =2x-2 .典型例题三例3求证:以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.分析:可设抛物线方程为寸=2px( p>0).如图所示,只须证明则以AB为直径的圆,必与抛物线准线相切.证明:作AA丄I于A i, BB i丄丨于B i . M为AB中点,作MM i丄丨于M i,则由抛物线的定义可知:在直角梯形BB i A i A 中:MM, AB2=MM ,1=2(AA +BB1)=?(|AF|+|BF|)= 2ABAB,故以AB为直径的圆,必与抛物线的准线相切.说明:类似有:以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离,以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.典型例题四例4 (1)设抛物线y2 =4x被直线y=2x+k截得的弦长为3^5,求k值.(2)以(1)中的弦为底边,以x轴上的点P为顶点作三角形,当三角形的面积为9时,求P点坐标.分析:(1)题可利用弦长公式求k,(2)题可利用面积求高,再用点到直线距离22求p 点坐标.解: (1)由卩 "x 得:4x 2+(4k —4)x + k 2=0 l y =2x+kk设直线与抛物线交于A (x 1, y 1)与B (x 2, y 2)两点.则有:治+ x ? = 1 -k,为凶=一 4 二 AB | = J (1 +22)(X 1 -X 2)2 = j 5(x 1 +X 2)2 -4x 1X 2 ] = 751(1-k)2-k 2】= j 5(1-2k)/. AB|J5(1-2k) =3^5,即 k = —4•••点P 在x 轴上,.••设P 点坐标是(X 0,O )二X o = -1或X o =5,即所求P 点坐标是(—1, 0)或(5, 0).典型例题五例5已知定直线I 及定点A (A 不在I 上),n 为过A 且垂直于I 的直线,设N 为 I 上任一点,AN 的垂直平分线交n 于B,点B 关于AN 的对称点为P,求证P 的 轨迹为抛物线.分析:要证P 的轨迹为抛物线,有两个途径,一个证明 P 点的轨迹符合抛物线 的定义,二是证明P 的轨迹方程为抛物线的方程,可先用第一种方法,由A 为定点,I 为定直线,为我们提供了利用定义的信息,若能证明 PA = PN 且PN 丄丨 即可.寫AB 丄I.二PN 丄丨.则P 点符合抛物线上点的条件:到定点A 的距离与到定直线的距离相等,所以P 点的轨迹为抛物线.2天9 675⑵,S A =9,底边长为矗,•三角形高h y 5则点P 到直线y=2x-4的距离就等于h,即2x 0 — 0 — 4 6yl5证明:如图所示, 连结 PA PN 、NB.由已知条件可知: PB 垂直平分NA,且B 关于AN 的对称点为P. ••• AN 也垂直平分P B.则四边形PABN 为菱形.即有PA=PN .21 2典型例题六例6若线段P 1P 2为抛物线C: y2 * 4=2px (p >0)的一条分析:此题证的是距离问题,如果把它们用两点间 的距离表示出来,其计算量是很大的.我们可以用 抛物线的定义,巧妙运用韦达定理,也可以用抛物 线的定义与平面几何知识,把结论证明出来.证法一:寫F (号,0),若过F 的直线即线段PP 2所在 直线斜率不存在时, 则有 RF =P2F =P ,二… . PF| P 2F设 P (X i , yj, P 2(X 2, y 2).焦点弦,F 为C 的焦点,求证:12RF P 2F根据抛物线定义有: RF =X i十卫 +卫 ,P 2F =X 1 +升.P 1P 2=X i + X2 + P则丄+丄=I RF I+R F L X i +x2 + P RF| |F2F RFlpFl (X i 垮)(X 2埠)X 1X 2请将①②代入并化简得:1+ R F | IP 2F若线段PP 2所在直线斜率存在时,设为k , 则此直线为: y = k (x-^)(kH0),且y =k (X-号) 由{ 2得: y =k (x —夕)I 2k 2X 2 -P (k 2 +2)x + k P2-=04 P (k 2+2)/. % +X 2 =2k又 %丫2 =tana(x i —X 2)典型例题七例7设抛物线方程为y 2=2px(p >0),过焦点F 的弦AB 的倾斜角为a ,求证: 焦点弦长为AB 二一2^ .sin Ct 分析:此题做法跟上题类似,也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题. 证法一:抛物线y 2 = 2 px(p >0)的焦点为 导0),过焦点的弦AB 所在的直线方程为:y =tanad-^) 由方程组厂tag(x专)消去y 得:2l y =2 px222224x tan o-4p(tan ^)+ p tan a =02设 A(X i ,y i ),B(x 2,y 2),则{ 2 tan ° [x i 2 十证法二:如图所示,设R 、P 2、F 点在C 的准线I 上的射影分别是P 、F 2、且不妨设|P 2F 21= ncm=|PP|,又设P ?点在FF由抛物线定义知, F 2F =n. RF =m, FF i = p 又' F 2AF s i P 2BP 1,二 即m = m-n m+n ”p(m + n) =2mn 1 1 2——+ —=— ■ m n p故原命题成立.AF BR L ,2% +X 2 = P(t an : +2)= p(1+2cot2a )”AB| = ^(VH tan %t )(x ^x 2)2 =蟲 I 2 「2 2 p 21 =(1+tan a ) I P (1 +cot a ) —4 — IV L 4JIQQnQ=J sec a 4p cot a (1 +cot a ) =J 4 p 2*亠 V sin a2psin 2 a 即 ABsin a证法二:如图所示,分别作AA i 、BB i 垂直于准线I .由抛物线定义有: AF = AA = AF co 少 + PBF = BB 1二 AB = AF + BF=P + P1—cosa 1+ coset —2p21 —cos a _ 2p2sin a故原命题成立.典型例题八例8已知圆锥曲线C 经过定点P(3,2^3),它的一个焦点为F (1, 0),对应于该 焦点的准线为x = -1,过焦点F 任意作曲线C 的弦AB,若弦AB 的长度不超过8, 且直线AB 与椭圆3x 2 +2y 2 =2相交于不同的两点,求 (1) AB 的倾斜角日的取值范围.+ tan 2a )(为 +X 2)2-4皿2 】 于是可得出: AF =—P — 1 -COSaBF| =—P — 1 + cosa=P - BF COSay\4 3 3 4(2)设 CD 中点 M(x,y)、C(X 3,y 3)、 D(X 4,y 4)又0<0<:兀,•所求9的取值范围是:兀 V. 兀 2応 3花(2)设直线AB 与椭圆相交于C 、D 两点,求CD 中点M 的轨迹方程.分析:由已知条件可确定出圆锥曲线 C 为抛物线,AB 为抛物线的焦点弦,设其 斜率为k,弦AB 与椭圆相交于不同的两点,可求出k 的取值范围,从而可得e 的 取值范围,求CD 中点M 的轨迹方程时,可设出M 的坐标,利用韦达定理化简 即可. 解:(1)由已知得|PF | =4 .故P 到x = —1的距离d =4,从而|P F |=d •••曲线C 是抛物线,其方程为y 2=4x 设直线AB 的斜率为k,若k 不存在,则直线AB 与3x 2+2y 2=2无交点.••• k 存在.设AB 的方程为y = k (x_1)-4x可得:ky 2-4y_4k=0= k(x-1)4B 坐标分别为(X i ,y i )、(X 2,y 2),贝U: % + y ? =— % 也=*k二 AB | = Jo + k2)(y1 -y2)2、'1 +k 2 匚一;一—=—:—』(%中丫2)-4%丫2 k4(1 +k 2)2•••弦AB 的长度不超过8,.罟兰8即宀由 得:(2k2+3)x 2-4k—••• AB 与椭圆相交于不同的两点,二k 2<3由 k 2>1 和 k^3 可得:1 <^73 或一J 3<k <-1 故 1 <tan 9 < J 3或一 J 3 e tan 9 < -1设A 、k 2由仃::二得:(2k2+3)x—=04k 22(k 2-1)/. X3 +x 4 =—2——,X | M =2k 2+32… X 3 +X 42k -X = ----------- = ------ 2 ----22k 2+3gl-^3—2k +32寫 1 <k 2 v 32.•.5<2k +3v 9 2 1 则2兰1-—5 2k2. 2k 2…X = -- 2 --2k 2 +322亠 (X-1)2化简得:3x 2+2y 2-3x=0 •••所求轨迹方程为:3x2+2y2-3x =o 0x <|)典型例题九例9定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2=x 上移动,求AB 的中点到 y 轴的距离的最小值,并求出此时 AB 中点的坐标.分析:线段AB 中点到y 轴距离的最小值,就是其横坐标的最小值.这是中点坐 标问题,因此只要研究 A 、B 两点的横坐标之和取什么最小值即可.解:如图,设F 是y 2=x 的焦点,A 、B 两点到准线的垂线分别是 AC 、BD ,22亠+3(X-1)222k +3C、D和N是垂足,则4 3 3 4 (2)设 CD 中点 M(x,y)、C(X3,y3)、D(X4,y4)等式成立的条件是AB 过点F .5 1当 x =—时,y 讨2 = -p2 =—,故4 4, 、2 2 2 C C 1 C (%+丫2)=* +y 2 +2%丫2 =2x-2 =2,厂运yi+y 2占2,“±牙 所以M(5, ±〈2),此时M 到y 轴的距离的最小值为54 24说明:本题从分析图形性质出发,把三角形的性质应用到解析几何中,解法较简.典型例题十例10过抛物线y=2px 的焦点F 作倾斜角为日的直线,交抛物线于A 、B 两点, 求AB的最小值.分析:本题可分e = 2和° ’2两种情况讨论.g I 时先写出I AB 的表达式, 再求范围.解: (1)若日=2,此时 I AB =2p. (2)若Th I ,因有两交点,所以£工0 . AB : y = tan 日(x-#),即 x = 代入抛物线方程,有y 2- Cytan 。

初三抛物线练习题和答案

初三抛物线练习题和答案

初三抛物线练习题和答案一、选择题1. 下列哪个点不在抛物线y = 2x² - 4x + 1上?A. (-1, 7)B. (0, 1)C. (1, -1)D. (2, 1)答案:C2. 抛物线y = -3x² + 6x - 9的开口方向是:A. 向上B. 向下答案:B3. 抛物线y = x² + 2x - 3的顶点坐标是:A. (-1, 0)B. (-1, -4)C. (-1, -2)D. (1, 4)答案:C二、填空题1. 抛物线y = 2x² - 4x + 1的对称轴方程是______。

答案:x = 12. 抛物线y = -x² + 4x + 5的焦点坐标为(2, 4),则抛物线的方程为______。

答案:y = -(x - 2)² + 4三、解答题1. 求抛物线y = -2x² + 8x - 5的顶点坐标和对称轴方程。

解答:首先,我们知道抛物线的顶点坐标可以通过公式计算。

对于一般式的二次函数y = ax² + bx + c,顶点的横坐标为x = -b/2a,带入公式即可得到纵坐标。

在这个例子中,a = -2,b = 8,c = -5。

将这些值代入公式,我们可以计算出顶点的横坐标为x = -8/(-4) = 2。

将x = 2带入原方程,可以计算出顶点的纵坐标为y = -2(2)² + 8(2) - 5 = 7。

因此,抛物线y = -2x² + 8x - 5的顶点坐标为(2, 7)。

对称轴方程为x = 2。

2. 求抛物线y = x² - 4x + 3的焦点坐标。

解答:为了求解焦点坐标,我们需要先将方程转化为顶点形式。

通过配方可以将标准形式转化为顶点形式。

首先,我们可以将方程y = x²- 4x + 3写成完全平方式,即y = (x - 2)² - 1。

通过完全平方式转化后,我们可以得到抛物线的顶点坐标为(2, -1)。

抛物线课件及练习题含详解

抛物线课件及练习题含详解
2
为 y k(x p).
2
又因为A,B两点是直线AB与抛物线的交点,则
y k(x y2 2px
p ), 2
x2
(
2p k2
p)x
p2 4
0,
所以x1·x2=p2 .
4
由|AF|·|BF|=
x1
x2
p 2
x1
x
2
p2 4
1. 3
得 p2 p (4 p) 1 ,
2 23
3
即 2p 所1 ,以 p 1 ,
2p y21p2y1y1y1 y2
x
x1
,
= 2p x y1y2 2p (x y1y2 ),
y1 y2 y1 y2 y1 y2
2p
将y1·y2=-4p2代入上式得y 2p x 2p,
y1 y2
故直线AB恒过定点(2p,0).
【方法技巧】利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围:解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点:解决焦点弦问题.
|AF|=1,|BF|= 1,求抛物线及直线AB的方程.
3
【解题指南】设出A,B两点的坐标,根据抛物线定义可分别表
示出|AF|和|BF|,进而可求得|AF|+|BF|,求得x1+x2的表达
式,表示出|AF|·|BF|,建立等式求得p,则抛物线方程可得.
再由|AB|=
2p sin 2
得4, sin2θ=
(2)y2=2px(p>0)的焦点为( p,0),由题意得
2
( p 2)2 解9 得 5p,=4或p=-12(舍去).
2

抛物线必做题型(含答案)

抛物线必做题型(含答案)
因此,当△ABC为钝角三角形时,点C的纵坐标y的取值范围是
y<- 或y> (y≠2 ).
18.解:(1)由题意可知F(a,0),设椭圆方程为 + =1(m>n>0).
= ,m2=2a2,
m2-n2=a2,n2=a2,
∴椭圆方程为 + =1,直线l:y=x-a.
y=x-a,
+ =1,
y=x-a,
y2=4ax,
4g 4.4g-4g
解得:M=40
根据乙炔的相对分子质量为26、丙炔的相对分子质量为40;而混合气体中必含一种相对分子质量小于40的烃,这种炔烃只能是乙炔。由乙炔加成可得乙烷,则所得烷烃中一定有乙烷。
4.取82mL某烷烃和快烃的混合气体在27℃和1.01×105Pa时,测定其质量为85mg,则关于混合气体的不正确叙述是[ ]
A.[- , ]B.[-2,2]
C.[-1,1]D.[-4,4]
3.在抛物线y2=2px上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为
A. B.1 C.4 D.2
4.设a≠0,a∈R,则抛物线y=4ax2的焦点坐标为
A.(a,0)B.(0,a)
C.(0, )D.随a符号而定
5.以抛物线y2=2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系为
(1)过点(-3,2);
(2)焦点在直线x-2y-4=0上.
11.如下图所示,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1,以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|= ,|AN|=3,且|NB|=6,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.
12.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.

(完整版)抛物线练习题(含答案)

(完整版)抛物线练习题(含答案)

抛物线练习题一、选择题1.在直角坐标平面内,到点(1,1)和直线 x+ 2y= 3 距离相等的点的轨迹是 ()A .直线B.抛物线C.圆D.双曲线2.抛物线 y2= x 上一点 P 到焦点的距离是 2,则 P 点坐标为 ()3,± 67,± 79,± 35,± 10A. 22B. 42C. 42D. 223.抛物线 y= ax2的准线方程是y= 2,则 a 的值为 ()11A. 8 B .-8C. 8D.- 84.设抛物线 y2= 8x 上一点 P 到 y 轴的距离是4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是 ()A .4B . 6C. 8D. 125.设过抛物线的焦点 F 的弦为 AB,则以 AB 为直径的圆与抛物线的准线的地址关系是()A .订交B .相切C.相离D.以上答案都有可能6.过点 F(0,3)且和直线 y+ 3=0 相切的动圆圆心的轨迹方程为 ()A .y2= 12xB .y2=- 12x C. x2= 12y D .x2=- 12y7.抛物线 y2= 8x 上一点 P 到 x 轴距离为12,则点 P 到抛物线焦点 F 的距离为 ()A .20B .8C. 22D. 248.抛物线的极点在坐标原点,焦点是椭圆4x2+ y2= 1 的一个焦点,则此抛物线的焦点到准线的距离为 ()11A. 2 3 B. 3 C.2 3 D.4 39.设抛物线的极点在原点,其焦点F 在 y 轴上,又抛物线上的点(k,- 2)与 F 点的距离为4,则 k 的值是 ()A. 4 B . 4 或- 4C.- 2 D .2 或- 212的焦点坐标是 ()10.抛物线 y=m x (m<0)A.0,mB. 0,-mC. 0,1D. 0,-1 444m4m11.抛物线的极点在原点,对称轴是x 轴,抛物线上的点(-5,2 5) 到焦点的距离是6,则抛物线的方程为 ()A. y2=- 2x B .y2=- 4x C. y2= 2x D. y2=- 4x 或 y2=- 36x12.已知抛物线y2=2px(p>0) 的准线与圆 (x- 3)2+ y2= 16 相切,则p 的值为 () 1A. 2 B . 1C.2 D .4二、填空题13.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线订交于A 、B 两点,若A 、B 在抛物线准线上的射影是A 1、B 1,则∠ A 1FB 1=。

2024届高考数学复习:精选好题专项(抛物线)练习(附答案)

2024届高考数学复习:精选好题专项(抛物线)练习(附答案)

2024届高考数学复习:精选好题专项(抛物线)练习[基础巩固]一、选择题1.抛物线y=14x2的焦点到其准线的距离为()A.1 B.2C.12D.182.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线的焦点坐标为() A.(-1,0) B.(1,0)C.(0,-1) D.(0,1)3.动点M到点F(2,1)的距离和到直线l:3x+4y-10=0的距离相等,则动点M的轨迹为()A.抛物线B.直线C.线段D.射线4.若抛物线y2=2px的焦点与双曲线x23-y2=1的右焦点重合,则p的值为()A.-4 B.4C.-2 D.25.[2022ꞏ全国乙卷(文),6] 设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=()A.2 B.22C.3 D.326.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=()A.2 B.3C.4 D.87.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=4,则抛物线的方程为()A.y2=8x B.y2=4xC.y2=2x D.y2=x8.设坐标原点为O ,抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A ,B 两点,则OA → ꞏOB →等于( )A .34B .-34C .3D .-39.已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线为l ,过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,过点A 作准线l 的垂线,垂足为E ,当A 点坐标为(3,y 0)时,△AEF 为正三角形,则此时△OAB 的面积为( )A .433 B .3C .233D .33二、填空题10.[2021ꞏ新高考Ⅰ卷]已知O 为坐标原点,抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,P 为C 上一点,PF 与x 轴垂直,Q 为x 轴上一点,且PQ ⊥OP ,若|FQ |=6,则C 的准线方程为________.11.[2023ꞏ全国乙卷(理)]已知点A ()1,5 在抛物线C :y 2=2px 上,则A 到C 的准线的距离为________.12.已知直线y =kx +2与抛物线y 2=8x 有且只有一个公共点,则k 的值为________.[强化练习]13.(多选)[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]设O 为坐标原点,直线y =-3 (x -1)过抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点,且与C 交于M ,N 两点,l 为C 的准线,则( )A .p =2B .|MN |=83C .以MN 为直径的圆与l 相切D .△OMN 为等腰三角形 14.抛物线有如下光学性质:过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,一条平行于x 轴的光线从点M (3,1)射出,经过抛物线上的点A 反射后,再经抛物线上的另一点B 射出,则△ABM 的周长为( )A .7112 +26 B .9+26C .9+10D .8312 +2615.已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线为l ,抛物线C 有一点P ,过点P 作PM ⊥l ,垂足为M ,若等边△PMF 的面积为43 ,则p =________.16.过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线,与抛物线分别交于A ,B两点(点A 在x 轴上方),则|AF ||BF | =________.参考答案1.B y =14 x 2可化为x 2=4y ,则焦点到准线的距离为12 ×4=2.2.B ∵y 2=2px 的准线为x =-p 2 ,又准线过点(-1,1),∴-p2 =-1,∴p =2,故其焦点坐标为(1,0).3.B ∵F (2,1)在直线l :3x +4y -10=0上,∴动点M 的轨迹为过点F 且与直线l 垂直的直线.4.B ∵x 23 -y 2=1的右焦点为(2,0),∴p2 =2,p =4.5.B 由已知条件,易知抛物线y 2=4x 的焦点为F (1,0),准线方程为x =-1.又B (3,0),则|AF |=|BF |=2.不妨设点A 在第一象限,则A (x 0,2x 0 ).根据抛物线的定义可知x 0-(-1)=2,所以x 0=1,所以A (1,2),所以|AB |=(1-3)2+(2-0)2 =22 .故选B.6.D 由题意,知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2,0 ,椭圆的焦点坐标为(±2p ,0),所以p 2 =2p ,解得p =8,故选D.7.B如图,分别过点A ,B 作准线的垂线,交准线于点E ,D ,设准线与x 轴交于点G ,设|BF |=a ,则由已知得|BC |=2a ,由定义得|BD |=a ,故∠BCD =30°,在Rt △ACE 中,∵|AF |=4,|AC |=4+3a ,∴2|AE |=|AC |,∴4+3a =8,从而得a =43 ,∵AE ∥FG ,∴FG AE =CF AC ,即p 4 =48 ,得p =2.∴抛物线方程为y 2=4x .故选B.8.B 当AB 与x 轴垂直时,A ⎝⎛⎭⎫12,1 ,B ⎝⎛⎭⎫12,-1 ,OA → ꞏOB → =12 ×12 +1×(-1)=-34 ;当AB 与x 轴不垂直时,设l :y =k ⎝⎛⎭⎫x -12 , 由⎩⎪⎨⎪⎧y =k ⎝⎛⎭⎫x -12,y 2=2x ,得k 2x 2-(k 2+2)x +k 24 =0 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)由韦达定理得x 1+x 2=k 2+2k 2 ,x 1x 2=14 ,∴OA → ꞏOB →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+k 2⎝⎛⎭⎫x 1-12 ⎝⎛⎭⎫x 2-12 =(1+k 2)x 1x 2-12 k 2(x 1+x 2)+k 24 =-34 . 9.A 不妨设点A 在第一象限,如图所示,过点F 作AE 的垂线,垂足为H ,由题知当A 的坐标为(3,y 0)时△AEF 为正三角形,此时H 为AE 的中点,|AE |=3+p 2 ,|EH |=p ,∴2p =3+p2 ,解得p =2,∴y 2=4x ,A (3,23 ),F (1,0),∴k AF =3 ,直线AF 的方程为y =3 (x -1),代入抛物线方程得3(x -1)2=4x .设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),解得x 1=3,x 2=13 ,此时y 1=23 ,y 2=-233 ,∴S △AOB =S △OFB +S △OF A =12 ×1×⎝⎛⎭⎫233+23 =433 ,故选A. 10.x =-32答案解析:抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2,0 ,∵P 为C 上一点,PF 与x 轴垂直,所以P 的横坐标为p2 ,代入抛物线方程求得P 的纵坐标为±p ,不妨设P (p2 ,p ),因为Q 为x 轴上一点,且PQ ⊥OP ,所以Q 在F 的右侧, 又∵|FQ |=6,∴Q (6+p 2 ,0),∴PQ →=(6,-p )因为PQ ⊥OP ,所以PQ → ꞏOP →=p 2 ×6-p 2=0, ∵p >0,∴p =3,所以C 的准线方程为x =-32 . 11.94答案解析:将点A 的坐标代入抛物线方程,得5=2p ,于是y 2=5x ,则抛物线的准线方程为x =-54 ,所以A 到准线的距离为1-⎝⎛⎭⎫-54 =94. 12.0或1答案解析:由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +2,y 2=8x , 得k 2x 2+(4k -8)x +4=0, 若k =0,满足题意;若k ≠0,则Δ=(4k -8)2-4×4k 2=0,得k =1.综上得k =0或k =1.13.AC 由题意,易知直线y =-3 (x -1)过点(1,0).对于A ,因为直线经过抛物线C 的焦点,所以易知焦点坐标为(1,0),所以p2 =1,即p =2,所以A 选项正确.对于B ,不妨设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),x 1<x 2,联立方程得⎩⎨⎧y =-3(x -1)y 2=4x,消去y并整理得3x 2-10x +3=0,解得x 1=13 ,x 2=3.所以M (13 ,233 ),N (3,-23 ),所以由两点间距离公式可得|MN |=(3-13)2-(-23-233)2 =163 ,故B 选项错误.对于C ,由以上分析易知,l 的方程为x =-1,以MN 为直径的圆的圆心坐标为(53 ,-233),半径r =12 |MN |=83 =53 +1,所以以MN 为直径的圆与l 相切,故C 选项正确. 对于D ,由两点间距离公式可得|MN |=163 ,|OM |=133 ,|ON |=21 ,故D 选项错误.综上,选AC.14.B 令y =1,得x =14 ,即A ⎝⎛⎭⎫14,1 . 由抛物线的光学性质可知AB 经过焦点F ,设直线AB 的方程为y =k (x -1),代入y 2=4x .消去y ,得k 2x 2-2(k 2+2)x +k 2=0.则x A x B =1,所以x B =1x A=4.|AB |=x A +x B +p =254 .将x =4代入y 2=4x 得y =±4,故B (4,-4). 故|MB |=(4-3)2+(-4-1)2 =26 .故△ABM 的周长为|MA |+|MB |+|AB |=⎝⎛⎭⎫3-14 +26 +254 =9+26 .故选B. 15.2答案解析:设准线l 和x 轴交于N 点,PM 平行于x 轴,∠PMF =∠MFN =60°,由抛物线的定义得到|NF |=p ,故|MF |=2p ,故34 (2p )2=43 ,∴p =2.16.3答案解析:如图所示,由题意得准线l :x =-p2 .作AC ⊥l 于点C ,BD ⊥l 于点D ,BH ⊥AC 于点H ,则|AF |=|AC |,|BF |=|BD |,|AH |=|AC |-|BD |=|AF |-|BF |,因为在Rt △AHB 中,∠HAB =60°,所以cos 60°=|AH ||AB | =|AF |-|BF ||AF |+|BF |,即12 (|AF |+|BF |)=|AF |-|BF |,得|AF ||BF | =3.。

高中数学抛物线大题精选30道(含答案)

高中数学抛物线大题精选30道(含答案)

抛物线大题30题1 .已知抛物线的顶点在原点,焦点与椭圆224520x y +=的一个焦点相同,(1)求椭圆的焦点坐标与离心率;(2)求抛物线方程.2 .过抛物线y 2=4x 的焦点作直线AB 交抛物线于 A .B,求AB 中点M 的轨迹方程。3 .已知直线l 过定点()0,4A ,且与抛物线2:2(0)C ypx p = >交于P 、Q 两点,若以PQ 为直径的圆经过原点O ,求抛物线的方程.4 .已知p :方程2212x y m m+=-表示椭圆;q :抛物线y =221x mx ++与 x 轴无公共点,若p 是真命题且q 是假命题,求实数m 的取值范围.5 .在平面直角坐标系xoy 中,抛物线C 的顶点在原点,经过点A (2,2),其焦点F 在x 轴上。

(1)求抛物线C 的标准方程;(2)求过点F ,且与直线OA 垂直的直线的方程;(3)设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D .E 两点,ME=2DM , 记D 和E 两点间的距离为()f m ,求()f m 关于m 的表达式。

6 .直线y=2x 与抛物线y=-x 2-2x+m 相交于不同的两点 A .B ,求(1)实数m 的取值范围;(2)∣AB ∣的值(用含m 的代数式表示).7 .已知抛物线1C :24(0)y px p =>,焦点为2F ,其准线与x 轴交于点1F ;椭圆2C :分别以12F F 、为左、右焦点,其离心率12e =;且抛物线1C 和椭圆2C 的一个交点记为M .(1)当1p =时,求椭圆2C 的标准方程;(2)在(1)的条件下,若直线l 经过椭圆2C 的右焦点2F ,且与抛物线1C 相交于,A B 两点,若弦长||AB 等于12MF F ∆的周长,求直线l 的方程.8 .如图,已知直线l :2y kx =-与抛物线C :22(0)x py p =->交于A ,B 两点,O 为坐标原点,(4,12)OA OB +=--。(Ⅰ)求直线l 和抛物线C 的方程; (Ⅱ)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时, 求△ABP 面积最大值.9.设圆Q 过点P (0,2), 且在x 轴上截得的弦RG 的长为4.(Ⅰ)求圆心Q 的轨迹E 的方程;(Ⅱ)过点F (0,1),作轨迹E 的两条互相垂直的弦AB ,CD ,设AB 、CD 的中点分别为M ,N ,试判断直线MN 是否过定点?并说明理由. 10.已知抛物线2:2C y px =的准线方程14x =-,C 与直线1:y x =在第一象限相交于点1P ,过1P 作C的切线1m ,过1P 作1m 的垂线1g 交x 轴正半轴于点1A ,过1A 作1的平行线2交抛物线C 于第一象限内的点2P ,过2P 作抛物线1C 的切线2m ,过2P 作2m 的垂线2g 交x 轴正半轴于点2A ,…,依此类推,在x 轴上形成一点列1A ,2A ,3A ,…,(*)n A n N ∈,设点n A 的坐标为(,0).n a(Ⅰ)试探求1n a +关于n a 的递推关系式; (Ⅱ)求证:13322n n a -≤⋅-; (Ⅲ)求证:()()1234211(23)2(23)6(23)13321n n n a a a n n n ++++≥-+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+. 11.已知直线1:++=k kx y l ,抛物线x y C 4:2=,定点M(1,1)。(I)当直线l 经过抛物线焦点F 时,求点M 关于直线l 的对称点N 的坐标,并判断点N 是否在抛物线C 上;(II)当)0(≠k k 变化且直线l 与抛物线C 有公共点时,设点P(a,1)关于直线l 的对称点为Q(x 0,y 0),求x 0关于k 的函数关系式)(0k f x =;若P 与M 重合时,求0x 的取值范围。12.位于函数4133+=x y 的图象上的一系列点 ),,(,),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P ,这一系列点的横坐标构成以25-为首项,1-为公差的等差数列{}n x . (Ⅰ)求点n P 的坐标;(Ⅱ)设抛物线 ,,,,,321n C C C C 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴,对于n ∈*N 第n 条抛物线n C 的顶点为n P ,抛物线n C 过点)1,0(2+n D n ,且在该点处的切线的斜率为n k ,求证:10111113221<+++-n n k k k k k k . 13.已知抛物线24y x =的焦点为F , A .B 为抛物线上的两个动点.(Ⅰ)如果直线AB 过抛物线焦点,判断坐标原点O 与以线段AB 为直径的圆的位置关系, 并给出证明;(Ⅱ)如果4OA OB ⋅=-(O 为坐标原点),证明直线AB 必过一定点,并求出该定点.14.已知点F(2 ,0) ,直线:1l x =-,动点N 到点F 距离比到直线l 的距离大1;(1)求动点N 的轨迹C 的方程; (2)直线2y x =-与轨迹C 交于点A,B,求ABO ∆的面积.15.(本小题共13分)已知抛物线C :2y x =,过定点()0,0A x 01()8x ≥,作直线l 交抛物线于,P Q (点P 在第一象限). (Ⅰ)当点A 是抛物线C 的焦点,且弦长2PQ =时,求直线l 的方程;(Ⅱ)设点Q 关于x 轴的对称点为M ,直线PM 交x 轴于点B ,且BQ BP ⊥.求证:点B 的坐标是0(,0)x -并求点B 到直线l 的距离d 的取值范围.16.抛物线()2:20C ypx p=上横坐标为32的点到焦点F 的距离为2(I )求p 的值;(II )过抛物线C 的焦点F.,作相互垂直的两条弦AB 和CD , 求AB CD +的最小值。

抛物线基础题(含答案)

抛物线基础题(含答案)

抛物线1.在平面内,“点P 到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P 的轨迹为抛物线”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 答案 B2.若动点P 到定点F (-4,0)的距离与到直线x =4的距离相等,则P 点的轨迹是( )A .抛物线B .线段C .直线D .射线答案 A3. 已知动点P 到定点(0,2)的距离和它到直线l :y =-2的距离相等,则点P 的轨迹方程为________。

答案 x 2=8y 4. 已知动点M 的坐标满足方程5x 2+y 2=|3x +4y -12|,则动点M 的轨迹是( )A .椭圆B .双曲线C .抛物线D .圆答案 C5. 对抛物线y =4x 2,下列描述正确的是( )A .开口向上,焦点为(0,1)B .开口向上,焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,116C .开口向右,焦点为(1,0)D .开口向右,焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,116答案 B6.抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程是y =2,则a 的值为( )A.18B .-18 C .8 D .-8解析 因为y =ax 2(a ≠0),化为标准方程为x 2=1a y ,其准线方程为y =2,所以2=1-4a,所以a =-18。

故选B 。

答案 B7. 抛物线y =-116x 2的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-164,0 B .(-4,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-164 D .(0,-4) 解析 抛物线方程化为x 2=-16y 。

其焦点坐标为(0,-4)。

答案 D8. 抛物线方程为7x +4y 2=0,则焦点坐标为________。

解析 抛物线方程化为y 2=-74x ,所以抛物线开口向左,2p =74,p 2=716,故焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-716,0。

答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-716,09.顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,又过点(-2,3)的抛物线方程是( )A .y 2=94xB .x 2=43yC .y 2=-94x 或x 2=-43yD .y 2=-92x 或x 2=43y 答案 D10.已知抛物线y =mx 2(m >0)的焦点与椭圆4y 29+x22=1的一个焦点重合,则m =________。

抛物线同步练习题小题含答案

抛物线同步练习题小题含答案

抛物线基础训练题1. 抛物线y 2=8x 的准线方程是( A )。

(A )x =-2 (B )x =2 (C )x =-4 (D )y =-22. 过抛物线y 2=4x 的焦点F ,作倾斜角为60°的直线,则直线的方程是( B )。

(A )y =33(x -1) (B )y =3 (x -1) (C )y =33(x -2) (D )y =3 (x -2) 3.已知抛物线的焦点是F (0,4),则此抛物线的标准方程是( A ) (A )x 2=16y (B )x 2=8y (C )y 2=16x (D )y 2=8x4. 若抛物线y =x 2与x =-y 2的图象关于直线l 对称,则l 的方程是(B )。

(A )x -y =0 (B )x +y =0 (C )x =0 (D )y =05.AB 是过抛物线y 2=4x 焦点F 的弦,已知A ,B 两点的横坐标分别是x 1和x 2,且x 1+x 2=6则|AB |等于( B ) (A )10 (B )8 (C )7 (D )66.经过(1,2)点的抛物线的标准方程是(C )(A )y 2=4x (B )x 2=21y (C ) y 2=4x 或x 2=21y (D ) y 2=4x 或x 2=4y 7. 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)两点,如果AB 与x 轴成45°角,那么|AB |等于( B )。

(A )10 (B )8 (C )6 (D )48.抛物线的焦点在y 轴上,准线与椭圆4x 2+3y 2=1的左准线重合,并且经过椭圆的右焦点,那么它的对称轴方程是C(A )y =24 (B )y =26 或 y =-26 (C )y =26 (D )y =22或y =-229. 顶点在原点,焦点是F (6, 0)的抛物线的方程是2y 24x =。

10.抛物线x 2=4y 的焦点为F ,A 是抛物线上一点,已知|AF |=4+22,则AF 所在直线方程是21211-122y x y x ++=+=+或。

(完整版)抛物线练习题(含答案)

(完整版)抛物线练习题(含答案)

抛物线练习题一、选择题1.在直角坐标平面内,到点(1,1)和直线x +2y =3距离相等的点的轨迹是( )A .直线B .抛物线C .圆D .双曲线2.抛物线y 2=x 上一点P 到焦点的距离是2,则P 点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫32,±62B.⎝⎛⎭⎫74,±72C.⎝⎛⎭⎫94,±32D.⎝⎛⎭⎫52,±102 3.抛物线y =ax 2的准线方程是y =2,则a 的值为( )A.18 B .-18C .8D .-8 4.设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A .4B .6C .8D .125.设过抛物线的焦点F 的弦为AB ,则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( )A .相交B .相切C .相离D .以上答案都有可能6.过点F (0,3)且和直线y +3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A .y 2=12xB .y 2=-12xC .x 2=12yD .x 2=-12y7.抛物线y 2=8x 上一点P 到x 轴距离为12,则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )A .20B .8C .22D .248.抛物线的顶点在坐标原点,焦点是椭圆4x 2+y 2=1的一个焦点,则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A .2 3 B. 3 C.12 3 D.143 9.设抛物线的顶点在原点,其焦点F 在y 轴上,又抛物线上的点(k ,-2)与F 点的距离为4,则k 的值是( )A .4B .4或-4C .-2D .2或-210.抛物线y =1mx 2(m <0)的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0,m 4 B.⎝⎛⎭⎫0,-m 4 C.⎝⎛⎭⎫0,14m D.⎝⎛⎭⎫0,-14m 11.抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,抛物线上的点(-5,25)到焦点的距离是6,则抛物线的方程为( )A .y 2=-2xB .y 2=-4xC .y 2=2xD .y 2=-4x 或y 2=-36x12.已知抛物线y 2=2px (p >0)的准线与圆(x -3)2+y 2=16相切,则p 的值为( )A.12 B .1 C .2 D .4二、填空题13.过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点,若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1,则∠A1FB1= 。

抛物线的定义与性质强化训练【含答案】

抛物线的定义与性质强化训练【含答案】

抛物线的定义与性质强化训练(解析版)1、(2022·安徽蚌埠三模)设F 为抛物线y 2=4x 的焦点,A ,B ,C 为该抛物线上三点,若A ,B ,C 三点坐标分别为(1,2),(x 1,y 1),(x 2,y 2),且|FA →|+|FB →|+|FC →|=10,则x 1+x 2=()A .6B .5C .4D .3解析:根据抛物线的定义,知|FA →|,|FB →|,|FC →|分别等于点A ,B ,C 到准线x =-1的距离,所以由|FA →|+|FB →|+|FC →|=10,可得2+x 1+1+x 2+1=10,即x 1+x 2=6.故选A.2、(2022·亳州市检测)过点A (3,0)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为()A .圆B .椭圆C .直线D .抛物线解析:选D.如图,设P 为满足条件的一点,不难得出结论:点P 到点A 的距离|PA |等于点P 到y 轴的距离|PB |,故点P 在以点A 为焦点,y 轴为准线的抛物线上,故点P 的轨迹为抛物线.3、(2022·哈尔滨六中期末)过抛物线x 2=4y 的焦点F 作直线l 交抛物线于P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)两点,若y 1+y 2=6,则|P 1P 2|=()A .5B .6C .8D .10解析:选C.抛物线x 2=4y 的准线为y =-1,因为P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)两点是过抛物线焦点的直线l 与抛物线的交点,所以P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)两点到准线的距离分别是y 1+1,y 2+1,所以|P 1P 2|=y 1+y 2+2=8.4、(多选)(2022·武汉模拟)设抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线为l ,A 为C 上一点,以F 为圆心,|FA |为半径的圆交l 于B ,D 两点.若△ABF 的面积为93,则()A.|BF |=3B.△ABF 是等边三角形C.点F 到准线的距离为3D.抛物线C 的方程为y 2=6x解析:因为|FA |为半径的圆交l 于B ,D 两点,所以|FA |=|FB |;又|BF |=|FD |=|FA |,所以∠ABD =90°,|FA |=|AB |,可得△ABF 为等边三角形,B 正确;过F 作FC ⊥AB 交于C ,则C 为AB 的中点,C 的横坐标为p 2,B 的横坐标为-p2,所以A 的横坐标为3p 2,代入抛物线可得y 2A =3p 2,|y A |=3p ,△ABF 的面积为93,即12(x A -x B )|y A |=12··3p =93,解得p =3,所以抛物线的方程为y 2=6x ,D 正确;,所以焦点到准线的距离为32×2=3,C 正确;此时点A 的横坐标为92,所以|BF |=|AF |=|AB |=92+32=6,A 不正确.5、(2022·济南期末)直线y =x +b 交抛物线y =12x 2于A ,B 两点,O 为抛物线顶点,OA ⊥OB ,则b 的值为()A .-1B .0C .1D .2解析:D 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),将y =x +b 代入y =12x 2,化简可得x 2-2x -2b =0,故x 1+x 2=2,x 1x 2=-2b ,所以y 1y 2=x 1x 2+b (x 1+x 2)+b 2=b 2.又OA ⊥OB ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即-2b +b 2=0,则b =2或b =0,经检验b =0时,不符合题意,故b =2.6、(多选)(2022·青岛质检)设F 是抛物线C :y 2=4x 的焦点,直线l 过点F ,且与抛物线C 交于A ,B 两点,O 为坐标原点,则下列结论正确的是()A.|AB |≥4B.|OA |+|OB |>8C.若点P (2,2),则|PA |+|AF |的最小值是3D.△OAB 面积的最小值是2解析:由题意知F (1,0),不妨设A 在第一象限,(1)若直线l 斜率不存在,则A (1,2),B (1,-2),则|AB |=4,|OA |+|OB |=2|OA |=25,S △OAB =12×4×1=2,显然B 错误;(2)若直线l 存在斜率,设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为y =k (x -1),显然k ≠0,=k(x-1),2=4x,消元得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2=2+4k2,∴|AB|=x1+x2+2=4+4k2>4,原点O到直线l的距离d=|k|k2+1,∴S△OAB=12×|AB|×d=12××|k|k2+1=21+1k2>2,综上,|AB|≥4,S△OAB≥2,故A正确,D正确.过点A向准线作垂线,垂足为N,则|PA|+|AF|=|PA|+|AN|.又P(2,2)在抛物线右侧,故当P,A,N三点共线时,|PA|+|AF|取得最小值3,故C正确.故选ACD.7、已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直于l且交l于点Q,M,N 分别为PQ,PF的中点,MN与x轴相交于点R,若∠NRF=60°,则下列结论错误的是() A.∠FQP=60°B.|QM|=1C.|FP|=4D.|FR|=2解析:选B.如图,连接FQ,FM,因为M,N分别为PQ,PF的中点,所以MN∥FQ,又PQ∥x轴,∠NRF=60°,所以∠FQP=60°,由抛物线的定义知,|PQ|=|PF|,所以△FQP为等边三角形,则FM⊥PQ,|QM|=2,等边三角形FQP的边长为4,|FP|=|PQ|=4,|FN|=12|PF|=2,则△FRN为等边三角形,所以|FR|=2.故选B.8、以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知|AB |=42,|DE |=25,则C 的焦点到准线的距离为()A .2B .4C .6D .8解析:选B.如图,不妨设抛物线C :y 2=2px (p >0),A (x1,22),则x 1=(22)22p =4p ,由题意知|OA |=|OD |,所以4p 2+8=p 22+5,解得p =4.9、(2020·高考全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点,直线x =2与抛物线C :y 2=2px (p >0)交于D ,E 两点,若OD ⊥OE ,则C 的焦点坐标为()A.14,0B.12,0C .(1,0)D .(2,0)解析:选B.将直线方程与抛物线方程联立,可得y =±2p ,不妨设D (2,2p ),E (2,-2p ),由OD ⊥OE ,可得OD →·OE →=4-4p =0,解得p =1,所以抛物线C 的方程为y 2=2x ,其焦点坐标为12,0.10、(2022·陕西省咸阳市质检)已知点M (-3,2)是坐标平面内一定点,若抛物线y 2=2x 的焦点为F ,点Q 是该抛物线上的一动点,则|MQ |-|QF |的最小值是()A.72B .3 C.52D .2解析:选C.如图,抛物线的准线方程为x =-12,过点Q作QQ ′垂直准线于点Q ′,|MQ |-|QF |=|MQ |-|QQ ′|,显然当MQ ∥x 轴时,|MQ |-|QF |取得最小值,此时|MQ |-|QF |=|2+3|-|2+12|=52.11、(2022·盐城市阜宁中学高二检测)已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,点P 在抛物线的准线上,线段PF 与抛物线交于点M ,则下列判断正确的是()A .△OMF 可能是等边三角形B .△OMF 可能是等腰直角三角形C.|PF ||PM |=1+2|PF |D.|PF ||MF |-|PF |=1解析:选C.若△OMF 是等边三角形,则边长为1,且点M 的横坐标为12,纵坐标为±2,此时|OM|=14+2=32≠1,所以△OMF不可能是等边三角形,故A不正确;若△OMF是等腰直角三角形,则只可能是∠OMF=90°,|OM|=|FM|=3 2,所以|OM|2+|FM|2≠|OF|2,故B不正确;过点M作准线的垂线交准线于点N,则|MF|=|MN|,|PF||PM|=|PM|+|MF||PM|=1+|MF||PM|=1+|MN||PM|=1+2|PF|,故C正确,D不正确.12、(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为()C.(1,0)D.(2,0)解析:将x=2与抛物线方程y2=2px联立,可得y=±2p,不妨设D(2,2p),E(2,-2p),由OD⊥OE,可得OD→·OE→=4-4p=0,解得p=1,所以抛物线C的方程为y2=2x.13、(多选)(2021·烟台调研)已知F是抛物线C:y2=16x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y 轴于点N.若M为FN的中点,则()A.C的准线方程为x=-4B.F点的坐标为(0,4)C.|FN|=12D.三角形ONF的面积为162(O为坐标原点)解析:不妨设点M位于第一象限,设抛物线的准线l与x轴交于点F′,作MB⊥l于点B,NA⊥l 于点A.由抛物线的解析式可得准线方程为x=-4,F点的坐标为(4,0),A正确,B错误.故|AN|=4,|FF′|=8,在直角梯形ANFF′中,中位线|BM|=|AN|+|FF′|2=6,由抛物线的定义有|MF|=|MB|=6,结合题意,有|MN|=|MF|=6,故|FN|=|FM|+|NM|=6+6=12,C正确,而|ON|=122-42=82,S ONF=12×82×4=162,D正确.14、设F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若F为△ABC的重心,则|FA→|+|FB→|+|FC→|的值为()A.1B.2C.3D.4解析:依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又焦点x 1+x 2+x 3=3×12=32,则|FA →|+|FB →|+|FC →|123(x 1+x 2+x 3)+32=32+32=3.15、设F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为()A.334B.938C.6332D.94解析:由已知得焦点坐标为因此直线AB 的方程为y即4x -43y -3=0.方法一:联立直线方程与抛物线方程化简得4y 2-123y -9=0,则y A +y B =33,y A y B =-94,故|y A -y B |=(y A +y B )2-4y A y B =6.因此S △OAB =12|OF ||y A -y B |=12×34×6=94.方法二:联立直线方程与抛物线方程得x 2-212x +916=0,故x A +x B =212.根据抛物线的定义有|AB |=x A +x B +p =212+32=12,同时原点到直线AB 的距离为d =|-3|42+(-43)2=38,因此S △OAB =12|AB |·d =94.16、(2021·新高考卷Ⅱ)若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点到直线y =x +1的距离为2,则p =()A .1B .2C .22D .4解析:选B.x -y +1=0的距离d =|p2-0+1|1+1=2,解得p =2(p =-6舍去).故选B.17、已知O 为坐标原点,M (2,2),P ,Q 是抛物线C :y 2=2px 上两点,F 为其焦点,若F 到准线的距离为2,则下列说法正确的有()A .△PMF 周长的最小值为25B .若PF→=λFQ →,则|PQ |最小值为22C .若直线PQ 过点F ,则直线OP ,OQ 的斜率之积恒为-2D .若△POF 外接圆与抛物线C 的准线相切,则该圆面积为9π4解析:选D.因为F 到准线的距离为2,所以p =2,所以抛物线C :y 2=4x ,F (1,0),|MF |=(2-1)2+(2-0)2=5,准线l :x =-1,对于A ,过P 作PN ⊥l ,垂足为N ,则|PF |+|PM |=|PN |+|PM |≥|MN |=2+1=3,所以△PMF 周长的最小值为3+5,故A 不正确;对于B ,若PF →=λFQ →,则弦PQ 过F ,过P 作l 的垂线,垂足为P ′,过Q 作l 的垂线,垂足为Q ′,设PQ 的中点为G ,过G 作GG ′⊥l ,垂足为G ′,则|PQ |=|PF |+|QF |=|PP ′|+|QQ ′|=2|GG ′|≥2×2=4,即|PQ |最小值为4,故B 不正确;对于C ,若直线PQ 过点F ,设直线PQ :x =my +1,=my +1,2=4x ,消去x 得y 2-4my -4=0,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4,所以k OP ·k OQ =y 1x 1·y 2x 2=4y 1·4y 2=16-4=-4,故C 不正确;对于D ,因为OF 为外接圆的弦,所以圆心的横坐标为12,因为△POF 外接圆与抛物线C 的准线相切,所以圆的半径为1+12=32,所以该圆面积为π(32)2=94π,故D 正确.18、(2021·吉林省吉林市调研)已知抛物线y 2=4x 的焦点F ,点A (4,3),P 为抛物线上一点,且P 不在直线AF 上,则△PAF 周长取最小值时,线段PF 的长为()A .1B .134C .5D .214解析:求△PAF 周长的最小值,即求|PA |+|PF |的最小值,设点P 在准线上的射影为D ,根据抛物线的定义,可知|PF |=|PD |,因此,|PA |+|PF |的最小值,即|P A |+|PD |的最小值.根据平面几何知识,可得当D ,P ,A 三点共线时|PA |+|PD |最小,此时|PF |=94+1=134,故选B .19、(2021·上海虹口区二模)已知直线l 1:4x -3y +6=0和直线l 2:x =-1,抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为()A .3716B .115C .2D .74解析:直线l 2:x =-1是抛物线y 2=4x 的准线,抛物线y 2=4x 的焦点为F (1,0),则点P 到直线l 2:x =-1的距离等于|PF |,过点F 作直线l 1:4x -3y +6=0的垂线,和抛物线的交点就是点P ,所以点P 到直线l 1:4x -3y +6=0的距离和到直线l 2:x =-1的距离之和的最小值就是点F (1,0)到直线l 1:4x -3y +6=0的距离,所以最小值为|4-0+6|32+42=2,故选C .20、(2022·重庆沙坪坝区模拟)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,过点(p,0)且垂直于x 轴的直线与抛物线C 在第一象限内的交点为A ,若|AF |=1,则抛物线C 的方程为()A .y 2=43xB .y 2=2xC .y 2=3xD .y 2=4x解析:由题意知x A =p ,又|AF |=x A +p 2=3p 2=1,∴p =23,∴抛物线C 的方程为y 2=43x ,故选A .21、(2021·安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,其上的点P (m ,-3)到焦点的距离为5,则抛物线方程为()A .x 2=8yB .x 2=4yC .x 2=-4yD .x 2=-8y解析:由题意可知抛物线的焦点在y 轴负半轴上,故设其方程为x 2=-2py (p >0),所以3+p2=5,即p =4,所以所求抛物线方程为x 2=-8y ,故选D .22、(2021·广西四校联考)已知抛物线y 2=2px (p >0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9,则该抛物线的焦点到准线的距离为()A .4B .9C .10D .18解析:抛物线y 2=2px x =-p 2.由题意可得4+p2=9,解得p =10,所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.故选C .23、(2021·天津河西区质检)已知直线y =k (x +2)(k >0)与抛物线C :y 2=8x 相交于A 、B 两点,F 为C 的焦点,若|FA |=2|FB |,则k =()A .13B .23C .23D .223解析:设抛物线C :y 2=8x 的准线为l :x =-2,直线y =k (x +2)(k >0)恒过定点P (-2,0),如图过A 、B 分别作AM ⊥l 于M ,BN ⊥l 于N ,由|FA |=2|FB |,则|AM |=2|BN |,点B 为AP 的中点、连接OB ,则|OB |=12|AF |,∴|OB |=|BF |,点B 的横坐标为1,故点B 的坐标为(1,22),∴k =22-01-(-2)=223.24、(2021·湖北荆州模拟)从抛物线y 2=4x 在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线,垂足为M ,且|PM |=9,设抛物线的焦点为F ,则直线PF 的斜率为()A .627B .1827C.427D.227解析:设P(x0,y0),由抛物线y2=4x,可知其焦点F的坐标为(1,0),故|PM|=x0+1=9,解得x0=8,故P点坐标为(8,42),所以k PF=0-421-8=427.故选C.25、(2022·蚌埠模拟)直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=________,1|AF|+1|BF|=________.解析:由题意知p2=1,从而p=2,所以抛物线方程为y2=4x.当直线AB的斜率不存在时,将x=1代入抛物线方程,解得|AF|=|BF|=2,从而1|AF|+1|BF|=1.当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为y=k(x-1),=k(x-1),2=4x,整理,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),1+x2=2k2+4k2,1x2=1,从而1|AF|+1|BF|=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1+x2+x1x2+1=x1+x2+2x1+x2+2=1.综上,1|AF|+1|BF|=1.为x=-32.26、点P为抛物线y2=4x上的动点,点A(2,1)为平面内定点,F为抛物线焦点,则:(1)|PA|+|PF|的最小值为________;(2)|PA|-|PF|的最小值为________,最大值为________.解析:(1)如图①,由抛物线定义可知,|PF |=|PH |,|PA |+|PF |=|PA |+|PH |,从而最小值为A 到准线的距离为3.如图②,当P ,A ,F 三点共线,且P 在FA 延长线上时,|PA |-|PF |有最小值为-|AF |=-2.当P ,A ,F 三点共线,且P 在AF 延长线上时,|PA |-|PF |有最大值为|AF |=2.故|PA |-|PF |最小值为-2,最大值为2.27、在平面直角坐标系xOy 中,有一定点A (2,1).若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,则该抛物线的准线方程是________.解析:线段OA 的垂直平分线方程是y =-2x +52,且交x 该点为抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,故该抛物线的准线方程为x =-54.28、(2022·安徽省宿州市高三调研)已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过F 的直线交抛物线C 于A ,B 两点,以AF 为直径的圆过点(0,2),则直线AB 的斜率为________.解析:由抛物线C :y 2=4x 可得焦点为F (1,0),设A (x 1,y 1),由抛物线的定义可得|AF |=x 1+p 2=x 1+1,AF所以AF 为直径的圆的方程为,因为以AF 为直径的圆过点(0,2),,可得y 1=4,所以x 1=4,所以点A (4,4),所以直线AB 的斜率为4-04-1=43.29、(2022·湖南名校大联考)已知P 为抛物线C :y =x 2上一动点,直线l :y =2x -4与x 轴、y 轴交于M ,N 两点,点A (2,-4),且AP →=λAM →+μAN →,则λ+μ的最小值为________.解析:由题意得M (2,0),N (0,-4),设P (x ,y ),由AP →=λAM →+μAN →得(x -2,y +4)=λ(0,4)+μ(-2,0).所以x -2=-2μ,y +4=4λ.因此λ+μ=y +44-x -22=x 24-x 2+2+74≥74,故λ+μ的最小值为74.30、(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点,抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,P 为C 上一点,PF 与x 轴垂直,Q 为x 轴上一点,且PQ ⊥OP .若|FQ |=6,则C 的准线方程为________.解析:由题意易得|OF |=p 2,|PF |=p ,∠OPF =∠PQF ,所以tan ∠OPF =tan ∠PQF ,所以|OF ||PF |=|PF ||FQ |,即p 2p =p 6,解得p =3,所以C 的准线方程为x =-32.法二由题意易得|OF |=p 2,|PF |=p ,|PF |2=|OF |·|FQ |,即p 2=p 2·6,解得p =3或p =0(舍去),所以C 的准线方程为x =-32.31、(2021·山西大学附中模拟)已知点Q (22,0)及抛物线y =x 24上一动点P (x ,y ),则y +|PQ |的最小值是____.解析:抛物线y =x 24即x 2=4y ,其焦点坐标为F (0,1),准线方程为y =-1.因为点Q 的坐标为(22,0),所以|FQ |=(22)2+12=3.过点P 作准线的垂线PH ,交x 轴于点D ,如图所示.结合抛物线的定义,有y +|PQ |=|PD |+|PQ |=|PH |+|PQ |-1=|PF |+|PQ |-1≥|FQ |-1=3-1=2,即y +|PQ |的最小值是2.32、(2021·广东茂名五校联考)设抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F (1,0),过焦点的直线交抛物线于A 、B 两点,若|AF |=4|BF |,则|AB |=____.解析:解法一:如图,设抛物线的准线为l ,AC ⊥l 于C ,BD ⊥l 于D ,BM ⊥AC 于M ,交x 轴于N ,l 交x 轴于H ,则|FH |=2,设|BF |=a ,则|AB |=5a ,由△BNF ∽△BMA 得|FN ||BF |=|AM ||AB |,即2-a a=35,解得a =54,∴|AB |=254.解法二:∵p 2=1,∴p =2,不妨设直线AB 方程为x =my +1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),2=4x=my +1,得y 2-4my -4=0,∴y 1y 2=-4,又|AF |=4|BF |,∴y 1=-4y 2,∴y 2=-1,从而x 2=14,∴|BF |=1+14=54,∴|AB |=5|BF |=254.33、(2022·龙岩一模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线与x 轴的交点为A ,以AF 为直径的圆在第一象限交抛物线于点B ,则FA →·FB →的值等于________.解析:设B (x 0,y 0).由方程组2=4x (x ≥0),2+y 2=1,消去y 并整理,得x 2+4x -1=0(x ≥0),解得x 0=5-2.由题意,得F (1,0),A (-1,0),∴FA →=(-2,0),FB →=(x 0-1,y 0).∴FA →·FB →=(-2,0)·(x 0-1,y 0)=-2(x 0-1)=2-2x 0=2-2(5-2)=6-25.34、(2022·广州模拟)已知抛物线x 2=2py (p >0)的焦点为F ,准线为l ,点P (4,y 0)在抛物线上,K 为l 与y 轴的交点,且|PK |=2|PF |,则y 0=________,p =________.解析:作PM ⊥l ,垂足为M ,由抛物线定义知|PM |=|PF |,又知|PK |=2|PF |,∴在Rt △PKM 中,sin ∠PKM =|PM ||PK |=|PF ||PK |=22,∴∠PKM =45°,∴△PMK 为等腰直角三角形,∴|PM |=|MK |=4,又知点P 在抛物线x 2=2py (p >0)上,0=8,0+p 2=4,=4,0=2.35、设P 是抛物线y 2=4x 上的一个动点,F 为抛物线的焦点,若B (3,2),则|PB |+|PF |的最小值为________.解析:如图,过点B 作BQ 垂直准线于点Q ,交抛物线于点P 1,则|P 1Q |=|P 1F |.则有|PB |+|PF |≥|P 1B |+|P 1Q |=|BQ |=4.即|PB |+|PF |的最小值为4.36、(2022·沈阳质量检测)已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ,B 在抛物线y 2=3x 上,则△AOB 的边长是________.解析:如图,设△AOB 的边长为a ,则,12a A 在抛物线y 2=3x 上,所以14a 2=3×32a ,所以a =63.37、(2022·北京昌平区模拟)已知抛物线C :y 2=2px 过点P (1,1),l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ,过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ,ON 交于点A ,B ,其中O 为原点.(1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A 为线段BM 的中点.(1)解把P (1,1)代入y 2=2px 得p =12,∴抛物线C 的方程为y 2=x ,x =-14.(2)证明∵BM ⊥x 轴,∴设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),A (x 1,y A ),B (x 1,y B ),根据题意显然有x 1≠0.若要证A 为BM 的中点,只需证2y A =y B +y 1即可,左右同除以x 1有2y A x 1=y B x 1+y 1x 1,即只需证明2k OA =k OB +k OM 成立,其中k OA =k OP =1,k OB =k ON .当直线MN 斜率不存在或斜率为零时,显然与抛物线只有一个交点不满足题意,所以直线MN 斜率存在且不为零.设直线MN :y =kx +12(k ≠0),=kx +12,2=x消y 得,k 2x 2+(k -1)x +14=0,考虑Δ=(k -1)2-4×14×k 2=1-2k ,由题可知有两交点,所以判别式大于零,所以k <12.由根与系数关系可知:x 1+x 2=1-k k2,①x 1x 2=14k2.②k OB +k OM =k ON +k OM =y 2x 2+y 1x 1=kx 2+12x 2+kx 1+12x 1=2k +x 1+x 22x 1x 2.将①②代入上式,有2k +x 1+x 22x 1x 2=2k +1-kk 22×14k2=2k +2(1-k )=2,即k ON +k OM =k OB +k OM =2=2k OA ,∴2y A =y B +y 1恒成立,∴A 为BM 的中点,得证.。

抛物线同步练习题小题含答案

抛物线同步练习题小题含答案

抛物线根底训练题1. 抛物线y 2=8x 的准线方程是〔 A 〕。

〔A 〕x =-2 〔B 〕x =2 〔C 〕x =-4 〔D 〕y =-22. 过抛物线y 2=4x 的焦点F ,作倾斜角为60°的直线,那么直线的方程是〔 B 〕。

〔A 〕y =33(x -1) 〔B 〕y =3 (x -1) 〔C 〕y =33(x -2) 〔D 〕y =3 (x -2)3.抛物线的焦点是F (0,4),那么此抛物线的标准方程是( A )〔A 〕x 2=16y 〔B 〕x 2=8y 〔C 〕y 2=16x 〔D 〕y 2=8x4. 假设抛物线y =x 2与x =-y 2的图象关于直线l 对称,那么l 的方程是〔B 〕。

〔A 〕x -y =0 〔B 〕x +y =0 〔C 〕x =0 〔D 〕y =05.AB 是过抛物线y 2=4x 焦点F 的弦,A ,B 两点的横坐标分别是x 1与x 2,且x 1+x 2=6那么|AB |等于〔 B 〕〔A 〕10 〔B 〕8 〔C 〕7 〔D 〕66.经过〔1,2〕点的抛物线的标准方程是〔C 〕〔A 〕y 2=4x 〔B 〕x 2=21y (C ) y 2=4x 或x 2=21y (D ) y 2=4x 或x 2=4y7. 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)两点,如果AB 与x 轴成45°角,那么|AB |等于〔 B 〕。

〔A 〕10 〔B 〕8 〔C 〕6 〔D 〕48.抛物线的焦点在y 轴上,准线与椭圆4x 2+3y 2=1的左准线重合,并且经过椭圆的右焦点,那么它的对称轴方程是C〔A 〕y =24 〔B 〕y =26 或 y =-26〔C 〕y =26 〔D 〕y =22或y =-229. 顶点在原点,焦点是F (6, 0)的抛物线的方程是2y 24x =。

10.抛物线x 2=4y 的焦点为F ,A 是抛物线上一点,|AF |=4+22,那么AF 所在直线方程是111-122y x y x =+=+或。

高中数学抛物线练习题(含答案)

高中数学抛物线练习题(含答案)

抛物线练习题一、选择题1.在直角坐标平面内,到点(1,1)和直线x +2y =3距离相等的点的轨迹是( )A .直线B .抛物线C .圆D .双曲线2.抛物线y 2=x 上一点P 到焦点的距离是2,则P 点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫32,±62B.⎝⎛⎭⎫74,±72C.⎝⎛⎭⎫94,±32D.⎝⎛⎭⎫52,±102 3.抛物线y =ax 2的准线方程是y =2,则a 的值为( )A.18 B .-18C .8D .-8 4.设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A .4B .6C .8D .125.设过抛物线的焦点F 的弦为AB ,则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( )A .相交B .相切C .相离D .以上答案都有可能6.过点F (0,3)且和直线y +3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A .y 2=12xB .y 2=-12xC .x 2=12yD .x 2=-12y7.抛物线y 2=8x 上一点P 到x 轴距离为12,则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )A .20B .8C .22D .248.抛物线的顶点在坐标原点,焦点是椭圆4x 2+y 2=1的一个焦点,则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A .2 3 B. 3 C.12 3 D.143 9.设抛物线的顶点在原点,其焦点F 在y 轴上,又抛物线上的点(k ,-2)与F 点的距离为4,则k 的值是( )A .4B .4或-4C .-2D .2或-210.抛物线y =1mx 2(m <0)的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0,m 4 B.⎝⎛⎭⎫0,-m 4 C.⎝⎛⎭⎫0,14m D.⎝⎛⎭⎫0,-14m 11.抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,抛物线上的点(-5,25)到焦点的距离是6,则抛物线的方程为( )A .y 2=-2xB .y 2=-4xC .y 2=2xD .y 2=-4x 或y 2=-36x12.已知抛物线y 2=2px (p >0)的准线与圆(x -3)2+y 2=16相切,则p 的值为( )A.12 B .1 C .2 D .4二、填空题13.过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点,若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1,则∠A1FB1= 。

初中抛物线经典练习题(含详细答案)

初中抛物线经典练习题(含详细答案)

初中数学抛物线经典试题集锦【编著】黄勇权【第一组题型】1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A(2,0),C(0, -8)(1)求此二次函数的解析式,(2)在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15,请直接写出p点的坐标。

2、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2x²+mx+n经过点A(5,0),B(2,-6).(1)求抛物线的表达式及对称轴(2)设点B关于原点的对称点为C,写出过A、C两点直线的表达式。

3、在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点C为(2,4),并在x轴上截得的长度为6。

(1)写出抛物线与x轴交点A、B的坐标(2)求该抛物线的表达式(3)写出抛物线与y轴交点P的坐标4、直线的解析式为y=2x+4,交x轴于点A,交y轴于点B,若以A 为顶点,,且开口向下作抛物线,交直线AB于点D,交y轴负半轴于点C,(1)若△ABC的面积为20,求此时抛物线的解析式(2)若△BDO的面积为8,求此时抛物线的解析式【答案】1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A(2,0),C(0, -8)(1)求此二次函数的解析式,(2)在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15,请直接写出p点的坐标。

解:【第一问】因为函数y=x²+bx+c过点A(2,0),C(0, -8)分别将x=2,y=0代入y=x²+bx+c,得0=4+2b+c-----①将x=0,y=-8代入y=x²+bx+c,得-8=c-------------②将②代入①,解得:b=2--------------------------------------③此时,将②③代入y=x²+bx+c,所以:二次函数的解析式y=x²+ 2x -8【第二问】△ABP的面积= 12│AB│*│y p│----------------------④因为A、B两点在x轴上,令x²+ 2x -8=0(x-2)(x+4)=0解得:x1=2,x2= -4所以:│AB│=│X1- X2│=│2-(- 4)│=6------⑤又△ABP的面积=15-------------------------------------⑥由④⑤⑥,得:12*6*│y p│=15│y p│=5故有:y p= ±5即:p点的纵坐标为5或-5.把y=5代入y=x²+ 2x -8,即:5=x²+ 2x -8x²+ 2x -13=0解得:x= -1± 14那么,此时p点坐标(-1+ 14,5),(-1- 14,5)-------⑦把y=-5代入y=x²+ 2x -8,即:-5=x²+ 2x -8x²+ 2x -3=0(x-1)(x+3)=0解得:x= 1或x= -3那么,此时p点坐标(1,-5),(-3,-5)------------------⑧由⑦⑧得,使△ABP的面积为15,p点坐标是:(-1+ 14,5),(-1- 14,5),(1,-5),(-3,-5)2、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2x²+mx+n经过点A(5,0),B(2,-6).(1)求抛物线的表达式及对称轴(2)设点B关于原点的对称点为C,写出过A、C两点直线的表达式。

初中抛物线经典练习题(含详细答案)

初中抛物线经典练习题(含详细答案)

【编著】 黄勇权【第一组题型】1、已知二次函数y=x ²+bx+c 过点A (2,0),C (0, -8)(1)求此二次函数的解析式,(2)在抛物线上存在一点p 使△ABP 的面积为15,请直接写出p 点的坐标。

2、在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y=2x ²+mx+n 经过点A (5,0),B (2,-6).(1)求抛物线的表达式及对称轴(2)设点B 关于原点的对称点为C ,写出过A 、C 两点直线的表达式。

初中数学抛物线 经典试题集锦3、在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点C为(2,4),并在x轴上截得的长度为6。

(1)写出抛物线与x轴交点A、B的坐标(2)求该抛物线的表达式(3)写出抛物线与y轴交点P的坐标4、直线的解析式为y=2x+4,交x轴于点A,交y轴于点B,若以A为顶点,,且开口向下作抛物线,交直线AB于点D,交y轴负半轴于点C,(1)若△ABC的面积为20,求此时抛物线的解析式(2)若△BDO的面积为8,求此时抛物线的解析式【答案】1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A(2,0),C(0, -8)(1)求此二次函数的解析式,(2)在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15,请直接写出p点的坐标。

解:【第一问】因为函数y=x ²+bx+c 过点A (2,0),C (0, -8)分别将x=2,y=0代入y=x ²+bx+c , 得 0=4+2b+c-----①将x=0,y=-8代入y=x ²+bx+c ,得-8=c-------------②将②代入①,解得:b=2--------------------------------------③此时,将② ③代入y=x ²+bx+c ,所以:二次函数的解析式 y=x ²+ 2x -8【第二问】△ABP 的面积= 12│AB │*│y p │----------------------④ 因为A 、B 两点在x 轴上,令x ²+ 2x -8=0(x-2)(x+4)=0解得:x 1=2,x 2= -4所以:│AB │=│X 1- X 2│=│2-(- 4)│=6------⑤又△ABP 的面积=--------------------------⑥由 ④ ⑤ ⑥,得 : 12*6*│y p │=15│y p│=5故有:y p= ±5即:p点的纵坐标为5或-5.把y=5代入 y=x²+ 2x -8,即:5=x²+ 2x -8x²+ 2x -13=0解得:x= -1± 14那么,此时p点坐标(-1+ 14,5),(-1- 14,5)-------⑦把y=-5代入 y=x²+ 2x -8,即:-5=x²+ 2x -8x²+ 2x -3=0(x-1)(x+3)=0解得:x= 1或x= -3那么,此时p点坐标(1,-5),(-3,-5)------------------⑧由⑦⑧得,使△ABP的面积为15,p点坐标是:(-1+ 14,5),(-1- 14,5),(1,-5),(-3,-5)2、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2x²+mx+n经过点A(5,0),B(2,-6).(1)求抛物线的表达式及对称轴(2)设点B关于原点的对称点为C,写出过A、C两点直线的表达式。

初中抛物线经典练习题(含详细答案)

初中抛物线经典练习题(含详细答案)

初中抛物线经典练习题(含详细答案)初中数学抛物线经典试题集锦,编著者为黄勇权。

以下为题目和解答。

第一组题型】1、已知二次函数$y=x^2+bx+c$过点$A(2,0)$,$C(0,-8)$1)求此二次函数的解析式;2)在抛物线上存在一点$p$使$\triangle ABP$的面积为15,请直接写出$p$点的坐标。

解:第一问】因为函数$y=x^2+bx+c$过点$A(2,0)$,$C(0,-8)$,分别将$x=2$,$y=0$代入$y=x^2+bx+c$,得$0=4+2b+c$-----①。

将$x=0$,$y=-8$代入$y=x^2+bx+c$,得$-8=c$-------------②。

将②代入①,解得:$b=2$--------------------------------------③。

此时,将②③代入$y=x^2+bx+c$,所以二次函数的解析式为$y=x^2+2x-8$。

第二问】因为$A$、$B$两点在$x$轴上,令$x^2+2x-8=0$,解得:$x_1=2$,$x_2=-4$。

所以$|AB|=|x_1-x_2|=|2-(-4)|=6$。

又$\triangle ABP$的面积为15,所以$|y_p|\cdot 6=30$,即$|y_p|=5$。

故$p$点的纵坐标为5或-5,即$p(2,5)$或$p(2,-5)$。

2、在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y=2x^2+mx+n$经过点$A(5,B)$,$B(2,-6)$。

1)求抛物线的表达式及对称轴;2)设点$B$关于原点的对称点为$C$,写出过$A$、$C$两点直线的表达式。

解:第一问】因为抛物线$y=2x^2+mx+n$经过点$A(5,B)$,$B(2,-6)$,分别将$x=5$,$y=B$代入$y=2x^2+mx+n$,得$B=50+5m+n$-----①。

将$x=2$,$y=-6$代入$y=2x^2+mx+n$,得$-6=8+2m+n$-------------②。

3.3.2 抛物线的简单几何性质(同步练习)(附答案)

3.3.2  抛物线的简单几何性质(同步练习)(附答案)

3.3.2 抛物线的简单几何性质(同步练习)一、选择题1.顶点在原点,焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,0的抛物线的标准方程是( ) A .y 2=32x B .y 2=3x C .y 2=6x D .y 2=-6x2.已知A ,B 两点均在焦点为F 的抛物线y 2=2px(p>0)上,若|AF|+|BF|=4,线段AB 的中点到直线x =p 2的距离为1,则p 的值为( ) A .1 B .1或3C .2D .2或63.设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,曲线y =k x(k >0)与C 交于点P ,PF ⊥x 轴,则k =( ) A.12B .1 C.32D .2 4.P 为抛物线y 2=2px(p >0)上任意一点,F 为抛物线的焦点,则以|PF|为直径的圆与y 轴的位置关系为( )A .相交B .相离C .相切D .不确定5.已知A ,B 为抛物线y 2=2x 上两点,且A 与B 的纵坐标之和为4,则直线AB 的斜率为( ) A.12 B .-12C .-2D .26.已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,准线为l ,点A ∈l ,线段AF 交抛物线C 于点B , 若FA ―→=3FB ―→,则|AF ―→|=( )A .3B .4C .6D .77.已知抛物线x 2=2py(p>0)的焦点为F ,过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ,B 两点,若|AF||BF|∈(0,1),则|AF||BF|=( ) A.15 B .14 C.13 D .128.(多选)设抛物线的焦点到顶点的距离为3,则抛物线上的点到准线的距离可以是( )A.2B.3C.4D.5二、填空题9.已知点F 为抛物线y 2=4x 的焦点,该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5,则直线AF 的斜率为________10.已知过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,若|AF|=2,则|BF|=________11.抛物线x 2=2py(p>0)的焦点为F ,其准线与双曲线x 2-y 2=1相交于A ,B 两点,若△ABF 为等边三角形,则p =________12.(2020·福州期末)设抛物线y 2=2px 上的三个点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23,y 1,B(1,y 2),C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,y 3到该抛物线的焦点距离分别为d 1,d 2,d 3.若d 1,d 2,d 3中的最大值为3,则p 的值为________13.(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(-1,1)和抛物线C :y 2=4x ,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若∠AMB =90°,则k =________三、解答题14.根据下列条件分别求抛物线的标准方程.(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2-9y 2=144的左顶点;(2)抛物线的焦点F 在x 轴上,直线y =-3与抛物线交于点A ,|AF|=5.15.已知过抛物线y 2=4x 的焦点F 的弦长为36,求弦所在的直线方程.16.已知AB 是抛物线y 2=2px(p>0)的过焦点F 的一条弦.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点为M(x 0,y 0).求证:(1)若AB 的倾斜角为θ,则|AB|=2p sin 2θ;(2)x 1x 2=p 24,y 1y 2=-p 2;(3)1|AF|+1|BF|为定值2p.17.已知抛物线y 2=2x.(1)设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23,0,求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA|; (2)在抛物线上求一点M ,使M 到直线x -y +3=0的距离最短,并求出距离的最小值.参考答案及解析:一、选择题1.C 解析:∵抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎫32,0,∴p =3,且抛物线开口向右.∴抛物线的标准方程为y 2=6x.2.B 解析:|AF|+|BF|=4⇒x A +p 2+x B +p 2=4⇒x A +x B =4-p ⇒2x 中=4-p ,因为线段AB 的中点到直线x =p 2的距离为1,所以⎪⎪⎪⎪x 中-p 2=1,所以|2-p|=1⇒p =1或3. 3.D 解析:∵y 2=4x ,∴F(1,0).又∵曲线y =k x(k >0)与C 交于点P ,PF ⊥x 轴,∴P(1,2). 将点P(1,2)的坐标代入y =k x(k >0),得k =2.故选D. 4.C 解析:设PF 的中点M(x 0,y 0),作MN ⊥y 轴于N 点,设P(x 1,y 1),则|MN|=x 0=12(|OF|+x 1)=12⎝⎛⎭⎫x 1+p 2=12|PF|.故相切. 5.A 解析:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1+y 2=4.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21=2x 1,y 22=2x 2,得(y 1+y 2)(y 1-y 2)x 1-x 2=2,即4k AB =2,k AB =12. 6.B 解析:由已知点B 为AF 的三等分点,作BH ⊥l 于点H ,如图,则|BH|=23|FK|=43,所以|BF|=|BH|=43.所以|AF ―→|=3|BF ―→|=4. 7.C 解析:因为抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0,p 2,故过点F 且倾斜角为30°的直线的方程为y =33x +p 2,与抛物线方程联立得x 2-233px -p 2=0,解方程得x A =-33p ,x B =3p ,所以|AF||BF|=|x A ||x B |=13,故选C. 8.BCD 解析:因为抛物线的焦点到顶点的距离为3,所以p 2=3,即p =6.又因为抛物线上的点到准线的距离的最小值为p 2,所以抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3,+∞). 二、填空题9.答案:43解析:由抛物线定义得x A +1=5,x A =4,又点A 位于第一象限,因此y A =4,从而k AF =4-04-1=43. 10.答案:2解析:设点A ,B 的横坐标分别是x 1,x 2,则依题意有焦点F(1,0),|AF|=x 1+1=2,x 1=1,直线AF 的方程是x =1,此时弦AB 为抛物线的通径,故|BF|=|AF|=2.11.答案:2 3解析:由抛物线可知焦点F ⎝⎛⎭⎫0,p 2,准线y =-p 2,由于△ABF 为等边三角形,设AB 与y 轴交于M ,则 |FM|=p ,不妨取B ⎝⎛⎭⎪⎫p 2+42,-p 2,|FM|=3|MB|,即p =3⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2+42,解得p =2 3. 12.答案:3解析:根据抛物线的几何性质可得d 1=p 2+23,d 2=p 2+1,d 3=p 2+32,由题意可得p>0,因此可判断d 3最大,故d 3=p 2+32=3,解得p =3. 13.答案:2解析:设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧y 21=4x 1,y 22=4x 2,∴y 21-y 22=4(x 1-x 2),∴k =y 1-y 2x 1-x 2=4y 1+y 2. 设AB 中点M ′(x 0,y 0),抛物线的焦点为F ,分别过点A ,B 作准线x =-1的垂线,垂足为A ′,B ′,则|MM ′|=12|AB|=12(|AF|+|BF|)=12(|AA ′|+|BB ′|). ∵M ′(x 0,y 0)为AB 的中点,∴M 为A ′B ′的中点,∴MM ′平行于x 轴,∴y 1+y 2=2,∴k =2.三、解答题14.解:(1)双曲线方程可化为x 29-y 216=1,左顶点为(-3,0), 由题意设抛物线方程为y 2=-2px(p>0)且-p 2=-3,∴p =6,∴抛物线的方程为y 2=-12x. (2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2=2px(p ≠0),A(m ,-3),由抛物线定义得5=|AF|=⎪⎪⎪⎪m +p 2. 又(-3)2=2pm ,∴p =±1或p =±9,故所求抛物线方程为y 2=±2x 或y 2=±18x.15.解:∵过焦点的弦长为36,∴弦所在的直线的斜率存在且不为零.故可设弦所在直线的斜率为k ,且与抛物线交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点.∵抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0),∴直线的方程为y =k(x -1).由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -1),y 2=4x ,整理得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0(k ≠0).∴x 1+x 2=2k 2+4k 2. ∴|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=2k 2+4k 2+2. 又|AB|=36,∴2k 2+4k 2+2=36,∴k =±24. ∴所求直线方程为y =24(x -1)或y =-24(x -1).16.证明:(1)设直线AB 的方程为x =my +p 2,代入y 2=2px ,可得y 2-2pmy -p 2=0, 则y 1y 2=-p 2,y 1+y 2=2pm ,∴y 21+y 22=2p(x 1+x 2)=(y 1+y 2)2-2y 1y 2=4p 2m 2+2p 2,∴x 1+x 2=2pm 2+p. 当θ=90°时,m =0,x 1+x 2=p ,∴|AB|=x 1+x 2+p =2p =2p sin 2θ; 当θ≠90°时,m =1tan θ,x 1+x 2=2p tan 2θ+p ,∴|AB|=x 1+x 2+p =2p tan 2θ+2p =2p sin 2θ. ∴|AB|=2p sin 2θ. (2)由(1)知,y 1y 2=-p 2,∴x 1x 2=(y 1y 2)24p 2=p 24. (3)1|AF|+1|BF|=1x 1+p 2+1x 2+p 2=x 1+x 2+p x 1x 2+p 2(x 1+x 2)+p 24=x 1+x 2+p p 2(x 1+x 2+p )=2p .17.解:(1)设抛物线上任一点P(x ,y),则|PA|2=⎝⎛⎭⎫x -232+y 2=⎝⎛⎭⎫x -232+2x =⎝⎛⎭⎫x +132+13, 因为x ≥0,且在此区间上函数单调递增,所以当x =0时,|PA|min =23, 故距点A 最近的点P 的坐标为(0,0).(2)设点M(x 0,y 0)是y 2=2x 上任一点,则M 到直线x -y +3=0的距离为d =|x 0-y 0+3|2=⎪⎪⎪⎪y 20-2y 0+622=|(y 0-1)2+5|22, 当y 0=1时,d min =522=524,所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫12,1.。

(完整版)《抛物线》典型例题12例(含标准答案解析)

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《抛物线》典型例题12 例典型例题一例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程.22(1)x24 y (2)x ay2(a 0)分析:(1)先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种,求出p,再写出焦点坐标和准线方程.(2)先把方程化为标准方程形式,再对 a 进行讨论,确定是哪一种后,求p 及焦点坐标与准线方程.解:(1)p 2 ,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是:y 12 1 1(2)原抛物线方程为:y2 1 x, 2 p 1 a a①当 a 0时,p 1,抛物线开口向右,2 4a11∴焦点坐标是(1 ,0),准线方程是:x 1.4a 4a②当a 0 时,p 1,抛物线开口向左,2 4a11∴焦点坐标是( ,0),准线方程是:x .4a 4a2 1 1 综合上述,当a 0时,抛物线x ay2的焦点坐标为(1 ,0),准线方程是:x14a 4a 典型例题二例 2 若直线y kx 2与抛物线y28x交于A、B两点,且AB中点的横坐标为2,求此直线方程.分析:由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解.另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关,故也可利用“作差法”求 k .故所求直线方程为: y 2x 2 .则所求直线方程为: y 2x 2 .典型例题三例 3 求证:以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切. 分析:可设抛物线方程为 y 2 2px(p 0).如图所示,只须证明 A 2B MM 1 ,解法一:设 A(x 1, y 1) 、 B(x 2, y 2 ) ,则由:y kx 22y 28x可得:k 2x 2 (4k 8)x 4 0.∵直线与抛物线相交, k 0 且 0, 则k1.∵AB 中点横坐标为: x 1 x 2 4k 82 k 22,解得: k 2 或 k 1舍去).解法二: 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2) ,则有 y 1 28x 12y28x 2 .两式作差解: ( y 1 y 2)(y 1 y 2) 8(x 1 x 2) ,即y 1 y 2 x 1x28 y 1 y 2x 1 x 2 4 y 1y 2 kx 1 2 kx 2 2 k( x 1 x 2) 4 4k 4 ,k 4k 8 4 故 k2或 k 1 (舍去).1MM 1AB ,故以 AB 为直径的圆,必与抛物线的准线相切.12说明:类似有: 以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离, 以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.典型例题四例4(1)设抛物线 y 2 4x 被直线 y 2x k 截得的弦长为 3 5,求 k 值.为 9 时,求 P 点坐标.求 P 点坐标.k 2x 1 x 2 1 k, x 1 x 242 解:( 1)由 yy4x 2x 得: 4x 2 k2(4k 4)x k 2 0AB (1 22)( x 1 x 2)2 5( x 1 x 2)2 4x 1x 2 5 (1 k)2 k 2 5(1 2k)AB 3 5, 5(1 2k) 3 5 ,即 k 4 2)S 9 ,底边长为 3 5 ,∴三角形高 h 2 9 6 535 ∵点 P 在x 轴上,∴设 P 点坐标是 (x 0,0) 则点 P 到直线 y 2x 4的距离就等于 h ,即 0 2 2 22 12655x1或 x 0 5,即所求 P 点坐标是(- 1,0)或( 5,0).典型例题五MM 111 12( AA 1 BB 1) 12(AF2)以(1)中的弦为底边,以x 轴上的点 P 为顶点作三角形,当三角形的面积 分析:(1)题可利用弦长公式求 k ,(2)题可利用面积求高,再用点到直线距离设直线与抛物线交于 A (x 1,y 1)与B (x 2,y 2) 两点.则有:BF )范文 范例 指导 参考例5 已知定直线 l 及定点 A (A 不在 l 上),n 为过A 且垂直于 l 的直线,设 N 为 l 上任一点, AN 的垂直平分线交 n 于 B ,点 B 关于 AN 的对称点为 P ,求证 P 的轨迹为抛物线.分析:要证 P 的轨迹为抛物线, 有两个途径, 一个证明 P 点的轨迹符合抛物线的 定义,二是证明 P 的轨迹方程为抛物线的方程, 可先用第一种方法,由 A 为定点, l 为定直线,为我们提供了利用定义的信息,若能证明 PA PN 且 PN l 即可. 证明: 如图所示,连结 PA 、PN 、NB .由已知条件可知: PB 垂直平分 NA ,且 B 关于 AN 的对称点为 P . ∴ AN 也垂直平分 PB .则四边形 PABN 为菱形.即有 PA PN .AB l. PN l.则 P 点符合抛物线上点的条件:到定点 A 的距离与到定直线的距离相等,所以 P 点的轨迹为抛物线.典型例题六例6 若线段 P 1P 2为抛物线 C:y 2 2px(p 0)的一条 分析: 此题证的是距离问题,如果把它们用两点间 的距离表示出来,其计算量是很大的.我们可以用 抛物线的定义,巧妙运用韦达定理,也可以用抛物线的定义与平面几何知识,把结论证明出来.证法一:F(2p ,0),若过 F 的直线即线段 P 1P 2所在直线斜率不存在时,则有 P 1F P 2F p,111 1 2P 1F P 2F p p p焦点弦, F 为 C 的焦点,求证:1 12 P 1F P 2F p若线段P1P2 所在直线斜率存在时,设为k,则此直线为:y k(x 2p)(k 0) ,且设P1(x1,y1),P2(x2,y2) .k(x p )2得:k(x p )2 k2x2p(k22)xk2p24x 1 x22p(k 22)k2x 1 x 2根据抛物线定义有:P1 F x1 2p,P2F x12p , P1P2 x1 x2 p则 1 1 P1F P2F P1F P2 F P1F P2Fx1x2(x1 2p)(x2 2 )x2 p2p4x1x1x2 2p (x1 x2)1请将①②代入并化简得:112P1F P2F p证法二:如图所示,设P1、P2 、F点在C的准线l 上的射影分别是P1 、P2 、F ,且不妨设P2P2 n m P1P1 ,又设P2 点在FF P1P1 上的射影分别是A、B点,由抛物线定义知,P2 F n, P1F m, FF p又P2 AF ∽P2 BP1 ,AF P2 F BP1 P2P1p(m n ) 2mn 112 m n p即 AB 2psin 2故原命题成立.典型例题七例 7 设抛物线方程为 y 2 2px(p 0) ,过焦点 F 的弦 AB 的倾斜角为 焦点弦长为 AB 2 2p .sin分析: 此题做法跟上题类似,也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题. 证法一: 抛物线 y 2 2px( p 0)的焦点为 (2p ,0), 过焦点的弦 AB 所在的直线方程为: y tan ( x 2p ) 由方程组 y tan (x 2p)消去 y 得: y 2 2 px2 2 2 2 24 x 2 tan 2 4 p(tan 2 ) p 2 tan 2,求证:x 1 x2设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2) ,则x1x2p(tan 22)tan 22p4p(1 2cot 2 )又 y 1 y 2 tan ( x 1 x 2 )AB (1 tan 2 )( x 1 x 2)2 (1 tan 2 ) (x 1 x 2) 2 4x 1x 2 (1 tan 2 ) p 2 (1 cot 2 ) 4 p4sec 2 4p 2 cot 2 (1 cot 2 )2p 2 sin1 4 sin证法二: 如图所示,分别作 AA 1、 BB 1垂直于准线 l .由抛物线定义有:AFAA 1 AF cos p BFBB 1pBF cos典型例题八例 8 已知圆锥曲线 C 经过定点 P (3,2 3) ,它的一个焦点为 F (1,0),对应于该 焦点的准线为 x 1,过焦点 F 任意作曲线 C 的弦 AB ,若弦 AB 的长度不超过 8, 且直线 AB 与椭圆 3x 2 2y 2 2 相交于不同的两点,求 ( 1) AB 的倾斜角 的取值范围.(2)设直线 AB 与椭圆相交于 C 、 D 两点,求 CD 中点 M 的轨迹方程. 分析:由已知条件可确定出圆锥曲线 C 为抛物线, AB 为抛物线的焦点弦,设其 斜率为 k ,弦 AB 与椭圆相交于不同的两点, 可求出 k 的取值范围, 从而可得 的 取值范围,求 CD 中点 M 的轨迹方程时,可设出 M 的坐标,利用韦达定理化简即 可.于是可得出:AFp1 cosBFp1 cosABAF BFpp1 cos1 cos2p21 cos2p2sin故原命题成立.解:(1)由已知得PF 4 .故P到x 1 的距离 d 4 ,从而PF d ∴曲线C是抛物线,其方程为y24x .设直线AB的斜率为k,若k 不存在,则直线AB与3x2∴k 存在.设AB的方程为y k ( x 1)4 x 2可得:ky24 y 4k 0 k( x 1)2 y22 无交点.2 由y2y设A、B坐标分别为(x1,y1)、(x2, y2),则:y1y2y1y2 4AB12 (1 k2 )(y1y2)2 1k k2 (y1 y2)2 k4(1 k2 )4y1 y2 k2∵弦AB的长度不超过8,24(1 k 2)k28即k2由y2k(x21)得:(2k23x22 y223)x24k 2x 2(k21)∵AB与椭圆相交于不同的两点,k2由k21和k2 3可得: 1 k故1 tan 3 或 3 tan又0 ,∴所求的取值范围是:3或232) 设CD中点M ( x, y) 、C( x3, y3 )、D(x4,y4)由y2k(x21)得:(2k23)x24k2x3x22 y222(k 21) 0典型例题九例 9 定长为 3的线段 AB 的端点 A 、 B 在抛物线 y 2 x 上移动,求 AB 的中点到 y 轴的距离的最小值,并求出此时 AB 中点的坐标.分析: 线段 AB 中点到 y 轴距离的最小值,就是其横坐标的最小值.这是中点坐 标问题,因此只要研究 A 、 B 两点的横坐标之和取什么最小值即可.解:如图,设 F 是y 2 x 的焦点, A 、 B 两点到准线的垂线分别是 AC 、BD , 又M 到准线的垂线为 MN , C 、 D 和N 是垂足,则x34k 22, x 3 x 12k 232 x3 x 42k 2 2k 2 3 1 232k 2 3 k 2 322k 23 9x42(k 2 1) 2k 2 3则2 51 2k 21 2223即25yx12k 2 2k 2322 y 2 2 (x 1)2 22 y 22 ( x 1) 2化简得: 3x 2 2 y 2 3x∴所求轨迹方程为: 3x 22y 23x 0( 2 x 2) 531 3 1 设M 点的横坐标为 x ,纵坐标为 y , MN x ,则 x 42 4等式成立的条件是 AB 过点 F .2 2 21(y 1 y 2) y 1 y 2 2y 1y 2 2x 2 2,y 1 y 2 2 , y5 2 5 所以 M(54, 22) ,此时 M 到y 轴的距离的最小值为 45 .说明:本题从分析图形性质出发, 把三角形的性质应用到解析几何中, 解法较简.典型例题十例 10 过抛物线 y 2 px 的焦点 F 作倾斜角为 的直线,交抛物线于 A 、B 两点, 求 AB 的最小值.分析:本题可分 2 和 2两种情况讨论.当 2 时,先写出 AB 的表达式, 再求范围.解:(1) 若 2 ,此时 AB 2p .11 12( AC BD) 21( AFBF)12AB当x 45时, y 1y 2 P 214,故MN1AB :y tan (x 2p ),即 x ta y n说明:(2) 若 2 ,因有两交点,所以 0.代入抛物线方程,有 ta 2 3n p y tan p 2 0 .故 ( y 2 y 1 ) 2 4 p 2tan 2 4p 2 4p 2 csc( x 2 x 1) 2 ( y 2 y 1)2tan 2 22 csc4 p 2 2tan 故 AB 22 4 p csc (1 12 ) 4p 2 csc 4 tan 2所以 AB 2p 2 sin 2p .因 2 ,所以这里不能取“=” 综合(1)(2) ,当 2 时, AB 最小值 2p .(1) 此题须对 分 2 和 2两种情况进行讨论;的大小以及判定直线与圆是否相切.解:①点 A 在抛物线上,由抛物线定义,则 AA ' AF 1 2, 又 AA ' // x 轴 1 3 . ∴ 2 3,同理 4 6 , 而 2 3 6 4 180 ,∴ 3 6 90 ,∴ A 'FB ' 90 .选 C .②过AB 中点 M 作MM ' l ,垂中为 M ',∴以 AB 为直径的圆与直线 l 相切,切点为 M ' .又 F ' 在圆的外部,∴ AF 'B 90 . 特别地,当 AB x 轴时, M '与 F '重合, AF 'B 90 .即 AF 'B 90 ,选 B .典型例题十二例 12 已知点 M(3,2), F 为抛物线 y 2 2x 的焦点,点 P 在该抛物线上移动, 当 PM PF 取最小值时,点 P 的坐标为 __________ .分析: 本题若建立目标函数来求 PM PF 的最小值是困难的,若巧妙地利用抛则 MM1(AA ' BB ' ) 2 1 12( AF BF ) 1 AB 2物线定义,结合图形则问题不难解决.1 由定义知PF PE ,故PM PF PF PM ME MN 3 .取等号时,M 、P、E三点共线,∴ P点纵坐标为2,代入方程,求出其横坐标为2,所以P点坐标为(2, 2) .。

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抛物线练习题
一、选择题
1.在直角坐标平面内,到点(1,1)和直线x +2y =3距离相等的点的轨迹是( )
A .直线
B .抛物线
C .圆
D .双曲线 2.抛物线y 2=x 上一点P 到焦点的距离是2,则P 点坐标为( )
3.抛物线y =ax 2
的准线方程是y =2,则a 的值为( )
B .-18
C .8
D .-8 4.设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是( )
A .4
B .6
C .8
D .12 5.设过抛物线的焦点F 的弦为AB ,则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( )
A .相交
B .相切
C .相离
D .以上答案都有可能
6.过点F (0,3)且和直线y +3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )
A .y 2=12x
B .y 2=-12x
C .x 2=12y
D .x 2=-12y 7.抛物线y 2=8x 上一点P 到x 轴距离为12,则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )
A .20
B .8
C .22
D .24 8.抛物线的顶点在坐标原点,焦点是椭圆4x 2+y 2=1的一个焦点,则此抛物线的焦点到准线的距离
为( )
A .2 3 3 3
9.设抛物线的顶点在原点,其焦点F 在y 轴上,又抛物线上的点(k ,-2)与F 点的距离为4,则k 的值是( )
A .4
B .4或-4
C .-2
D .2或-2
10.抛物线y =1m
x 2(m <0)的焦点坐标是( )
11.抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,抛物线上的点(-5,25)到焦点的距离是6,则抛物线的方程为( )
A .y 2=-2x
B .y 2=-4x
C .y 2=2x
D .y 2=-4x 或y 2
=-36x
12.已知抛物线y 2=2px (p >0)的准线与圆(x -3)2+y 2=16相切,则p 的值为( )
B .1
C .2
D .4 二、填空题
13.过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点,若A 、B 在抛物线准线上的射影是A 1、B 1,则
∠A1FB1= 。

14.已知圆x2+y2+6x+8=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切,则p=________.
15.以双曲线x2
16-
y2
9
=1的中心为顶点,左焦点为焦点的抛物线方程是__________.
16.抛物线y2=16x上到顶点和焦点距离相等的点的坐标是________.
17.抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴,若AB的长为43,则焦点到AB的距离为________.
抛物线练习题(答案)
1、[答案] A [解析] ∵定点(1,1)在直线x +2y =3上,∴轨迹为直线.
2、[答案] B [解析] 设P (x 0,y 0),则|PF |=x 0+p 2=x 0+14=2,∴x 0=74,∴y 0=±72
. 3、[答案] B [解析] ∵y =ax 2,∴x 2=1a y ,其准线为y =2,∴a <0,2=1-4a ,∴a =-18
. 4、[答案] B [解析] 本题考查抛物线的定义.
5、[答案] C [解析] 由题意,知动圆圆心到点F (0,3)的距离等于到定直线y =-3的距离, 故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点,直线y =-3为准线的抛物线.
6、[答案] B [解析] 特值法:取AB 垂直于抛物线对称轴这一情况研究.
由抛物线的定义可知,点P 到抛物线焦点的距离是4+2=6.
7、[答案] A [解析] 设P (x 0,12),则x 0=18,∴|PF |=x 0+p 2
=20. 8、[答案] B [解析] p 2=c =32
,∴p = 3. 9、[答案] B [解析] 由题意,设抛物线的标准方程为:x 2=-2py , 由题意得,p 2
+2=4,∴p =4,x 2=-8y .又点(k ,-2)在抛物线上,∴k 2=16,k =±4. 10、[答案] A [解析] ∵x 2=my (m <0),∴2p =-m ,p =-m 2,焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-p 2,即⎝ ⎛⎭
⎪⎫0,m 4. 11、[答案] B [解析] 由题意,设抛物线的标准方程为:y 2=-2px (p >0), 由题意,得p 2
+5=6,∴p =2,∴抛物线方程为y 2=-4x . 12、[答案] C [解析] 本题考查抛物线的准线方程,直线与圆的位置关系.
抛物线y 2=2px (p >0)的准线方程是x =-p 2,由题意知,3+p 2
=4,p =2. 13、[答案] 90° [解析] 由抛物线的定义得,|AF |=|AA 1|,|BF |=|BB 1|,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,又∠1+∠2+∠3+∠4+∠A 1AF +∠B 1BF =360°,
且∠A 1AF +∠B 1BF =180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°,∴2(∠2+∠4)=180°, 即∠2+∠4=90,故∠A 1FB =90°.
14、[答案] 4或8 [解析] 抛物线的准线方程为:x =-p 2
,圆心坐标为(-3,0),半径为1, 由题意知3-p 2=1或p
2
-3=1,∴p =4或p =8. 15、[答案] y 2=-20x [解析] ∵双曲线的左焦点为(-5,0),故设抛物线方程为y 2=-2px (p >0),
又p =10,∴y 2=-20x .
16、[答案] (2,±42) [解析] 设抛物线y 2=16x 上的点P (x ,y )
由题意,得(x+4)2=x2+y2=x2+16x,∴x=2,∴y=±4 2.
17、[答案]2[解析]由题意,设A点坐标为(x,23),则x=3,又焦点F(1,0),∴焦点到AB的距离为2.。

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