高考椭圆题型总结有答案
高考数学椭圆选填题中常考的8个神奇结论(附例题及解析)
加油！有志者事竟成
答卷时应注意事项
１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；
３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；
４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；
５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；
６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；
７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！。
高考数学椭圆测试题及答案
高考数学椭圆测试题及答案高考数学椭圆专项考试及答案一、选择题2.已知焦点在X轴上的椭圆的偏心率为，其长轴长度等于圆的半径c 3360 x2 y2-2x-15=0，那么椭圆的标准方程为()(甲)=1(乙)=1(C) y2=1 (D)=1第二，填空7.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的xx为原点，焦点F1、F2在X轴上，偏心率为。
穿过F1的直线L在A点和B点与C相交，ABF2的周长为16，那么C 的方程如下。
8.已知点P是椭圆16x2 25y2=400上的点，在X轴上方，F1和F2分别是椭圆的左右焦点，直线PF2的斜率为-4，那么F1，F2的面积为。
9.如果通过椭圆=1(a0)的左右焦点F1和F2的两条相互垂直的直线L1 l1、l2的交点在该椭圆内，则该椭圆的偏心率的取值范围为。
第三，回答问题10.(2013 Xi安模拟)在平面直角坐标系中，已知曲线C上任意点P到两个固定点F1(-，0)和F2(，0)的距离之和为4。
(1)求曲线c的方程.(2)让通过(0，-2)的直线L和曲线C在A点和B点相交，以线段AB为直径做一个圆。
:圆能通过坐标原点吗？如果是，请写出此时直线L的方程，证明你的结论；如果没有，请说明原因。
1.(2013渭南模拟)已知椭圆C:=1(a0)的右顶点A为抛物线y2=8x。
焦点、上顶点B和偏心率为。
(1)求椭圆c的方程.(2)通过点(0)的直线L，斜率为k，在点P和q与椭圆C相交，若直线PQ中点的横坐标为-，求解直线L的方程.12.(能力挑战)已知点P是圆F1:(x )2 y2=16上的任意一点，点F2和点F1关于原点对称。
线段PF2和PF1的中线相交于点m .(1)求m点的轨迹c的方程.(2)设轨迹C和X轴的左右交点分别为A和B，点K为轨迹C上不同于A和B的任意点，KHx轴和H为垂足，延伸HK到点Q使|HK|=|KQ|，连接AQ并延伸与B相交且垂直于X轴的直线L到点D，n为d B的中点。
专题22 椭圆(解答题压轴题)(教师版)-2024年高考数学压轴专题复习
专题22 椭圆（解答题压轴题）目录①椭圆的弦长（焦点弦）问题 (1)②椭圆的中点弦问题 (10)③椭圆中的面积问题 (15)④椭圆中的参数和范围问题 (22)⑤椭圆中的最值问题 (28)⑥椭圆中定点、定值、定直线问题 (35)⑦椭圆中向量问题 (42)⑧椭圆综合问题 (48)所以()2216432224m m ∆=-⨯⨯-=解得33m -<<．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -=2．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）已知椭圆C上一点．(1)求C的方程；(2)设M，N是C上两点，若线段MN3．（2023秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）已知椭圆椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段则2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得(x 所以()()(1212124x x x x y y +-++又因为P 是DE 中点，所以1x +3．（2023秋·安徽亳州·高三校考阶段练习）令21230t k=->，故24k=当且仅当12tt=，即23,t k=故AOBV面积的最大值为3.）由题意得，四边形ABCD为菱形，则菱形ABCD的面积1S AC=⋅令235t n -=，得2716970n n -+=，解得7n =或977n =，从而2t =±或11621t =±.故直线l 的方程为23x y =±-，或116x =±④椭圆中的参数和范围问题1．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知动点）显然直线l 的斜率存在，设直线:1l y kx =+，1,1)y ，2(B x ,2)y ，则2(D x λ,2)y λ，四边形OAED 为平行四边形，AE =，12(E x x λ+,12)y y λ+，A ，B ，E 均在椭圆C 上，2114y +=，2222194x y +=，221212()()194x x y y λλ+++=，0，2129180x y y λ++=，依题意，设直线l 的方程为(1)(y k x =-易得12x x <．联立方程组()221,1,4y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得则2122814k x x k +=+，()21224114k x x k -=+，）得()20A ，，设直线l 的方程为x =2214x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2242m y mty ++()()()222Δ244416mt m t m =-+-=2mt 24t -）C 短轴顶点时，PAB V 的面积取最大值222a b c =+，解得2,a b =的标准方程为2214x y += .）1122(,),(,)P x y Q x y ，若直线PQ 的斜率为零，由对称性知1111022y y x x -==++，222y k x -=-设直线PQ 的方程为x ty n =+由()2224y k x x y ⎧=+⎨+=⎩，得(2k +()()(22121k x k x ⎡⎤++-+⎣⎦解得()22211k x k -=+或x =-）)()0011,,,x y A x y ，()22,B x y ，则可设直线PA 的方程为1x my =-，其中221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得(234m +）为椭圆C 的左顶点，又由（1）可知：(2,0)M -，设直线联立方程可得：222(44x ty mt x y =+⎧⇒+⎨+=⎩()()22224(4)40mt t m =-+->，即设直线:l y kx m =+交该椭圆220x +将y kx m =+代入221205x y +=得()2221484200k x kmx m +++-=设()11,D x y ，()22,E x y ，则21221621k x x k +=+，12x x ∴()1212542x x x x =+-，又()2,0A -，()2,0B ，∴直线AD 的方程为()1122y y x x =++，直线BE 的方程为1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆C的标准方程；2．（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）已知椭圆长轴长为6．(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的上下顶点分别为,A B，右顶点为C，过点于x轴对称，直线AP交BC于M，直线AQ交BC于点【答案】(1)221 94x y+=(2)证明见解析【详解】（1）根据题意可知26a=，可得3a=；联立直线与椭圆方程221942x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去设(),P P P x y ，易知P x 和0是方程的两根，由韦达定理可得又2P P y kx =+，所以2218894P k y k -=+，即1．（2023秋·辽宁·高二校联考阶段练习）已知椭圆3。
高三数学椭圆试题答案及解析
高三数学椭圆试题答案及解析1.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当的面积为时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）直线方程为：或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程.试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得.所以椭圆的方程为：（4分）（2）①当直线的倾斜角为时，,，不适合题意。
（6分）②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，代入得：（7分）设，则,,，所以直线方程为：或（12分）【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式.2.已知A、B是椭圆上的两点，且，其中F为椭圆的右焦点.（1）当时，求直线AB的方程;（2）设点，求证:当实数变化时，恒为定值.【答案】（1）；（2）见解析。
【解析】（1）利用A、F、B共线及其所在位置，找出λ满足的关系式，求出范围；（2）假设这样的M点存在，利用为定值寻求相应点的坐标.试题解析：（1）由已知条件知，直线过椭圆右焦点.又直线不与轴重合时，可设，代入椭圆方程，并整理得.设，由根与系数的关系得，.又由得，所以，.于是，解之得.故直线AB的方程为.（7分）（2）为定值.（经检验，当与轴重合时也成立）（13分）【考点】【考点】直线与椭圆的位置关系，平面向量3.设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A．－＝1B．＋＝1C．－＝1D．＋＝1【答案】D【解析】M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1．4.已知椭圆C：（）的左焦点为，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.【答案】(1) ；（2）【解析】（1）由已知得：，，所以，再由可得，从而得椭圆的标准方程. ）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.面积，而，所以只要求出的值即可得面积.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.再结合韦达定理即可得的值.试题解析：（1）由已知得：，，所以又由，解得，所以椭圆的标准方程为：.（2）椭圆方程化为.设T点的坐标为，则直线TF的斜率.当时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是当时，直线PQ的方程是，也符合的形式.将代入椭圆方程得：.其判别式.设，则.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.所以，解得.此时四边形OPTQ的面积.【考点】1、直线及椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、三角形的面积.5.圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）.（1）求点P的坐标；（2）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线交于A，B两点，若的面积为2，求C的标准方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）首先设切点，由圆的切线的性质，根据半径的斜率可求切线斜率，进而可表示切线方程为，建立目标函数．故要求面积最小值，只需确定的最大值，由结合目标函数，易求；（2）设椭圆标准方程为，点在椭圆上，代入点得①，利用弦长公式表示，利用点到直线距离公式求高，进而表示的面积，与①联立，可确定，进而确定椭圆的标准方程．（1）设切点坐标为．则切线斜率为．切线方程为．即．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积．由知当且仅当时，有最大值．即有最小值．因此点的坐标为．（2）设的标准方程为．点．由点在上知．并由得．又是方程的根，因此，由，，得．由点到直线的距离为及得．解得或．因此，（舍）或，．从而所求的方程为．【考点】1、直线方程；2、椭圆的标准方程；3、弦长公式和点到直线的距离公式．6.已知抛物线的准线与椭圆相切，且该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2,则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的准线为又抛物线的准线与椭圆相切，所以，且切点为下顶点因为该切点与椭圆的两焦点构成的三角形面积为2，所以，即得由得所以故选【考点】抛物线和椭圆的简单几何性质；椭圆的离心率.7.已知双曲线的渐近线方程为，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由题意知在双曲线中得，在椭圆中，所以离心率为.选．【考点】椭圆、双曲线的几何性质.8.已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，且椭圆C上一点与两个焦点F1，F2构成的三角形的周长为2+2．(1)求椭圆C的方程；(2)过右焦点F2作直线l 与椭圆C交于A，B两点，设，若，求的取值范围．【答案】(1) ； (2)【解析】(1)由题设知椭圆的标准方程为(2)因为当直线的斜率不存在时，，不适合题意，所以直线的斜率存在，设为，直线的方程为，它与椭圆的两交点坐标，则由得通过方程组，借助韦达定理，得到，结合得到与的关系式，并且可由得到的取值范围；另一方面，因为由前述的取值范围可使问题得到解决.试题解析：解：(1)由题意知：，且， 2分解得， 3分椭圆的方程为 . 4分(2)由题意得直线的斜率存在，右焦点，可设直线的方程为：由得由题意设，则 6分由得 7分9分令，在上单调递增，可得故，解得 2分= 13分即的取值范围是 14分【考点】1、椭圆的标准方程；2、平面向量的数乘运算与数量积；3、直线与椭圆的位置关系. 9.如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则的离心率是（）．A．B．C．D．【答案】【解析】由题意知，的离心率是，故选【考点】椭圆、双曲线的几何性质.10.已知椭圆：（）的右焦点，右顶点,且．(1)求椭圆的标准方程；（2）若动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点,问：是否存在一个定点,使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1);(2)详见解析.【解析】（1）根据椭圆的右焦点，右顶点，且，求出椭圆的几何量，即可求椭圆的标准方程；（2）直线：，代入椭圆方程，结合，求出的坐标(参数表示)，求出向量的坐标，利用，进行整理，如果为定值，那么不随的变化而变化，建立关于的方程，即可得出结论．此题属于中等题型，关键表示出P点坐标，转化为过定点恒成立的形式.试题解析：（1）由，，椭圆C的标准方程为. 4分得：， 6分.,,即P. 9分M.又Q，，，+=恒成立，故，即.存在点M（1,0）适合题意. 12分【考点】直线与圆锥的综合问题11.如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O，且，|BC|＝2|AC|．(1)求椭圆E的方程；(2)在椭圆E上是否存点Q，使得？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．【答案】（1）；（2）满足条件的点Q存在，且有两个.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质，考查学生的转化思想和数形结合思想，考查分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，先由长轴长得到a的值，设出椭圆的标准方程，利用已知条件数形结合得到C点坐标，将C点坐标代入到椭圆中，得到b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，先设出Q点坐标，利用已知等式计算，可知点Q在直线上，点在直线上，而在椭圆内部，数形结合得存在点Q而且存在2个；法二：用和椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，看方程的判别式，判别式大于0时，方程有2个根，则直线与椭圆有2个交点；第三问，设出点P的坐标，由切线的性质得四点共圆，此圆的圆心为，直径为OP，得到此圆的方程，M、N既在此圆上，又在圆O上，2个方程联立，解出直线MN的方程，得出截距的值，再转化出P点坐标代入到椭圆中即可；法二：设出点P、M、N的坐标，利用直线的垂直关系，利用斜率列出等式，转化成直线PM和直线PN的方程，从而得到直线MN的方程.试题解析：(1)依题意知：椭圆的长半轴长，则A(2，0)，设椭圆E的方程为 2分由椭圆的对称性知|OC|＝|OB|又∵，|BC|＝2|AC|∴AC⊥BC，|OC|＝|AC|∴△AOC为等腰直角三角形，∴点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(－1，－1)， 4分将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得∴所求的椭圆E的方程为 5分（2）解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即点Q在直线上， 7分∴点Q即直线与椭圆E的交点，∵直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部，∴满足条件的点Q存在，且有两个． 9分解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即，① -7分又∵点Q在椭圆E上，∴，②由①式得代入②式并整理得：， -③∵方程③的根判别式，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个． 9分（3）解法一：设点，由M、N是的切点知，,∴O、M、P、N四点在同一圆上， 10分且圆的直径为OP,则圆心为，其方程为， 11分即 -④即点M、N满足方程④，又点M、N都在上，∴M、N坐标也满足方程 -⑤⑤-④得直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值. 14分解法二：设点则 10分直线PM的方程为化简得④同理可得直线PN的方程为 -⑤ 11分把P点的坐标代入④、⑤得∴直线MN的方程为， 12分令得，令得， 13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值． -14分【考点】1.椭圆的标准方程；2.四点共圆；3.圆的标准方程.12.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(-2,0)，且长轴长与短轴长的比为，（1）求椭圆C的方程；（2）设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，设点P是椭圆上的任意一点，若当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的中心在原点可以设出椭圆的标准方程，已知焦点坐标，故可求的c值，所以利用长轴长与短轴长之比和a,b,c的关系可以建立关于a,b的两个方程式联立消元即可求的a,b的值，得到椭圆的标准方差.（2）根据题意设点P的坐标，表示,利用点P在椭圆上，得到关于m和P点横坐标的表达式，利用二次函数最值问题，可以得到取得最小值时，m和P点横坐标之间的关系，再利用P横坐标的范围得到m的取值范围即可.试题解析：（1）设椭圆的方程为. 1分由题意有：， 3分解得. 5分故椭圆的方程为. 6分（2）设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故. 7分因为，所以10分因为当最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，即当时，取得最小值．而，故有，解得． 12分又点在椭圆的长轴上，即． 13分故实数的取值范围是． 14分【考点】椭圆标准方程椭圆几何性质最值13.已知是椭圆上两点，点的坐标为.（1）当关于点对称时，求证：；（2）当直线经过点时，求证：不可能为等边三角形.【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.【解析】（1）利用“点代法”求点的坐标关系，在求解过程中证明结论.因为关于点对称，所以，代入椭圆方程得，两式相减得，所以（2）本题实质为“弦中点”问题，设中点为，由“点差法”得又假设为等边三角形时，有所以这与弦中点在椭圆内部矛盾，所以假设不成立.试题解析：（1）证明：因为在椭圆上，所以 1分因为关于点对称，所以， 2分将代入②得③，由①和③消解得， 4分所以. 5分（2）当直线斜率不存在时，，可得，不是等边三角形. 6分当直线斜率存在时，显然斜率不为0.设直线：，中点为，联立消去得， 7分由，得到① 8分又,所以，所以 10分假设为等边三角形，则有，又因为，所以，即， 11分化简，解得或 12分这与①式矛盾，所以假设不成立.因此对于任意不能使得,故不能为等边三角形. 14分【考点】弦中点问题，点代法求点的坐标14.已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得所以【考点】圆的切线长，椭圆定义15.如图，正方形CDEF内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形GHPQ的顶点G,H在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边EF上．且CD=2PQ=．(1)求椭圆的方程；(2)已知点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m:≠0)，l交椭圆于A,B两个不同点，求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，由图形分析，利用CD和PQ的边长得出点E和点G的坐标，由于这2点都在椭圆上，联立方程得出和，从而得到椭圆的标准方程；第二问，通过对题意的分析，只需证明直线MA，MB的斜率之和为0即可，设出A，B点坐标，列出2条直线的斜率的表达式，直线与椭圆方程联立消参，得到关于x的方程，列出两根之和与两根之积，而通过转化可以将得到的两根之和与两根之积代入，只要最后化简结果为0即可.试题解析：(1)∵，∴点，又∵，∴点，则，解得，∴椭圆方程.（4分）(2)设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2＝0即可，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，直线l方程为，代入椭圆方程消去y，得x2＋2mx＋2m2－4＝0可得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.（9分）而，（12分）∴k1＋k2＝0，故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.（13分）【考点】1.椭圆的标准方程；2.韦达定理.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆＝1的右顶点，点D(1，0)，点P、B在椭圆上，＝.(1) 求直线BD的方程；(2) 求直线BD被过P、A、B三点的圆C截得的弦长；(3) 是否存在分别以PB、PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）x＋y－1＝0.（2）4（3）x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝2【解析】1) 设P(x0，y)．因为＝，且D(1，0)，A(3，0)，点B、P在椭圆上，所以B(－x，y 0)，所以x＝1，将其代入椭圆，得y＝2，所以P(1，2)，B(－1，2)．所以直线BD的方程为x＋y－1＝0.(2) 线段BP的垂直平分线方程为x＝0，线段AP的垂直平分线方程为y＝x－1.解方程组得圆心C的坐标为(0，－1)．所以圆C的半径r＝CP＝.因为圆心C(0，－1)到直线BD的距离为d＝＝，所以直线BD被圆C截得的弦长为2 ＝4.(3) 这样的圆M与圆N存在．由题意得，点M一定在y轴上，点N一定在线段PC的垂直平分线y＝x－1上．当圆M与圆N是两个相外切的等圆时，一定有P、M、N在一条直线上，且PM＝PN.M(0，b)，则N(2，4－b)．因为点N(2，4－b)在直线y＝x－1上，所以4－b＝2－1，b＝3.所以这两个圆的半径为PM＝，方程分别为x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝217.P为圆A：上的动点，点.线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.（1）求曲线Γ的方程；（2）当点P在第一象限，且时，求点M的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查椭圆的定义和标准方程、圆的方程、直线的方程、直线与曲线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力. 第一问，根据圆的方程得到圆心A的坐标和半径的长，利用垂直平分线得到，而，所以，根据椭圆的定义，判断点M的轨迹为椭圆，得到椭圆的标准方程；根据已知条件先得出P点坐标，从而得到直线AP的方程，利用直线与椭圆相交解出M点坐标，过程中应注意方程根的取舍.试题解析：（1）圆的圆心为，半径等于．由已知，于是，故曲线Γ是以为焦点，以为长轴长的椭圆，，曲线Γ的方程为． 5分（2）由，，得． 8分于是直线方程为．由解得，，．由于点在线段上，所以点坐标为． 12分【考点】1.椭圆的定义及标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.18.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点,且=3,则C的方程为()(A) +y2=1 (B) +=1(C) +=1 (D) +=1【答案】C【解析】依题意设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由条件可得A（1,）,B（1,-）,因|AB|= -（-）==3,即2b2=3a,所以解得所以椭圆C的方程为+=1.故选C.19.设直线l:2x+y-2=0与椭圆x2+=1的交点为A,B,点P是椭圆上的动点,则使得△PAB的面积为的点P的个数为.【答案】4【解析】【思路点拨】先求出弦长|AB|,进而求出点P到直线AB的距离,再求出与l平行且与椭圆相切的直线方程,最后数形结合求解.由题知直线l恰好经过椭圆的两个顶点(1,0),(0,2),故|AB|=,要使△PAB的面积为,即··h=,所以h=.联立y=-2x+m与椭圆方程x2+=1得8x2-4mx+m2-4=0,令Δ=0得m=±2,即平移直线l到y=-2x±2时与椭圆相切,它们与直线l的距离d=都大于,所以一共有4个点符合要求.20.已知椭圆C：＝1，过点M(2，0)且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．在x 轴上若存在定点P，使PM平分∠APB，则P的坐标为________．【答案】【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋2.将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得(4m2＋9)y2＋16my－20＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA ＋kPB＝0.设P(a，0)，则有＋＝0，将x1＝my1＋2，x2＝my2＋2代入上式，整理得＝0，所以2my1y2＋(2－a)(y1＋y2)＝0.将y1＋y2＝，y1y2＝代入上式，整理得(－2a＋9)·m＝0.由于上式对任意实数m都成立，所以a＝.综上，x轴上存在定点P，使PM平分∠APB.21.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点.（1）求该椭圆的方程；（2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）抛物线上存在一点，使得与关于直线对称．【解析】（1）求椭圆的方程，可利用待定系数法求出的值即可，首先确定抛物线的焦点与准线方程为，利用椭圆焦点与抛物线的焦点重合，得，且截抛物线的准线所得弦长为，得交点为，建立方程，求出的值，即可求得椭圆的方程；（2）根据倾斜角为的直线过点，可得直线的方程，由（1）知椭圆的另一个焦点为，利用与关于直线对称，利用对称，可求得的坐标，由此可得结论．试题解析：（1）抛物线的焦点为，准线方程为，∴① 2分又椭圆截抛物线的准线所得弦长为，∴得上交点为，∴② 4分由①代入②得，解得或（舍去），从而∴该椭圆的方程为该椭圆的方程为 6分（2）∵倾斜角为的直线过点，∴直线的方程为，即， 7分由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称，则得， 9分解得，即， 2分又满足，故点在抛物线上。
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习高中数学-椭圆常考题型汇总及练第一部分：复运用的知识一）椭圆几何性质椭圆的第一定义是：平面内与两定点F1、F2距离和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。
两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）。
椭圆的几何性质以x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1为例：范围由标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式2≤x^2/a^2 + y^2/b^2 ≤1，即abx≤a，y≤b。
这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里（封闭曲线）。
该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题。
椭圆还有以下对称性：关于原点、x轴、y轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。
椭圆的顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b)。
长轴为A1A2，长度为2a；短轴为B1B2，长度为2b。
椭圆的离心率e有以下几个性质：（1）椭圆焦距与长轴的比e=c/a，其中c为焦距；（2）a^2=b^2+c^2，即a是长半轴长，b是短半轴长；（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关。
当e接近于1时，椭圆越扁；当e接近于0时，椭圆越接近圆。
椭圆还有通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）和焦点三角形等性质。
二）运用的知识点及公式在解题过程中，我们需要掌握以下知识点和公式：1、两条直线.2、XXX定理：若一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个不同的根x1,x2，则2bc/(a(x1+x2))=-1，x1+x2=-b/a。
1.中点坐标公式：对于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，它们的中点坐标为(x,y)，其中x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2.2.弦长公式：如果点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在直线y=kx+b(k≠0)上，则y1=kx1+b，y2=kx2+b。
专题39 椭圆知识点和典型例题(解析版)
专题39 椭圆知识点和典型例题〔解析版〕1、定义：平面内与两个定点，的距离之和等于常数〔大于〕的点的轨迹称为椭圆．即：。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置 焦点在轴上焦点在轴上 图形标准方程 范围且 且 顶点、、、、轴长 短轴的长长轴的长焦点 、、焦距对称性 关于轴、轴、原点对称离心率e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁题型一：求椭圆的解析式例1．求椭圆224936x y +=的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标；通径 过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b 2/a焦半径公式⎪⎭⎫ ⎝⎛-2325，【详解】椭圆224936x y +=化为标准方程22194x y +=，∴3a =，2b =，∴c ==∴椭圆的长轴长为26a =，焦距为2c =焦点坐标为()1F，)2F ，顶点坐标为()13,0A -，()23,0A ，()10,2B -，()20,2B . 例2．求适合以下条件的椭圆标准方程：〔1〕与椭圆2212x y +=有相同的焦点，且经过点3(1,)2〔2〕经过(2,(22A B 两点 【详解】〔1〕椭圆2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±，∵椭圆过点3(1,)2，∴24a =，∴2,a b ==，∴椭圆的标准方程为22143x y +=.〔2〕设所求的椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠．把(2,(A B 两点代入， 得：14213241mnm n⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得81m n ==，， ∴椭圆方程为2218x y +=．题型二：求轨迹例3．在同一平面直角坐标系xOy 中，圆224x y +=经过伸缩变换:12x x y y ϕ=⎧⎪⎨=''⎪⎩后，得到曲线C .求曲线C 的方程； 【详解】设圆224x y +=上任意一点(),M x y 经过伸缩变换:12x xy y ω=⎧⎪⎨=''⎪⎩得到对应点(),M x y '''.将x x '=，2y y '=代入224x y +=，得()2224x y ''+=，化简得2214x y ''+=.∴曲线C 的方程为2214x y +=；例4．ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,>>、、a b c a c b ，且2,2=+=c a b c ，求点C 的轨迹方程． 【详解】由题意，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系， 如下图，因为2c =，那么(1,0),(1,0)A B -，设(,)C x y ， 因为2a b c +=，即||||2||CB CA AB +=，4=，整理得所以22143x y +=，因为a b >，即||||CB CA >，所以点C 只能在y 轴的左边，即0x <． 又ABC 的三个顶点不能共线，所以点C 不能在x 轴上，即2x ≠-．所以所求点C 的轨迹方程为221(20)43x y x +=-<<．例5在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点Q 的轨迹方程. 【详解】解：在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足，设0(P x ，0)y ，(,)M x y ，0(D x ，0)，M 是PD 的中点，0x x ∴=，02y y =，又P 在圆228x y +=上，22008x y ∴+=，即2248x y +=，∴22182x y +=，∴线段PD 的中点M 的轨迹方程是22182x y +=.题型三：求参数的范围例6：椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于 ,M N 两点，2MNF ∆C 〔1〕求椭圆C 的标准方程；〔2〕O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，假设存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.由题意2MNF ∆的面积为21212||2b cF F MN c MN a===由得c a =21b =，∴24a =， ∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=．〔Ⅱ〕假设0m =，那么()0,0P ，由椭圆的对称性得AP PB =，即0OA OB +=， ∴0m =能使4OA OB OP λ+=成立． 假设0m ≠，由4OA OB OP λ+=，得144OP OA OB λ=+， 因为A ，B ，P 共线，所以14λ+=，解得3λ=．设()11,A x kx m +，()22,B x kx m +，由22,{440,y kx m x y =++-=得()2224240k x mkx m +++-=，由得()()222244440m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>，且12224km x x k -+=+，212244m x x k -=+，由3AP PB =，得123x x -=，即123x x =-，∴()21212340x x x x ++=， ∴()()2222224412044m k m k k-+=++，即222240m k m k +--=．当21m =时，222240m k m k +--=不成立，∴22241m k m -=-，∵2240k m -+>，∴2224401m m m --+>-，即()222401m m m ->-， ∴214m <<，解得21m -<<-或12m <<．综上所述，m 的取值范围为{|21012}m m m m -<<-=<<或或．直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：〔特别注意〕要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
高中数学 椭圆专题(经典例题 考题 练习)附答案
高中数学椭圆专题一．相关知识点1．椭圆的概念平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。
这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集。
2．椭圆的标准方程和几何性质3．椭圆中常用的4个结论(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处。
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2。
(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a。
(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c。
一、细品教材1．(选修1－1P34例1改编)若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是()A.x225＋y216＝1 B.x2100＋y29＝1 C.y225＋x216＝1 D.x225＋y216＝1或y225＋x216＝12．(选修1－1P42A组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A.22 B.2－12C．2－ 2 D.2－1走进教材答案1．A; 2．D 二、双基查验1．设P是椭圆x24＋y29＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．8 C．6 D．182．方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆，则m的范围是()A．(－3,5) B．(－5,3) C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)3．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或214．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________。
圆锥曲线：有关椭圆的小题总结 高考数学
m足∠ = ∘ ,则
∘
≥ = ,
【解析】由题意得： +
=
，所以当＞＞，则＜ ＜ ，所
以表示焦点在轴上的椭圆，所以对，错，当 = ＞时，曲线
+
= ，所以表示圆，半径为 ，当 = , ＞时，曲线为
= ，所以 = ± ，所以表示两条直线，故选：
为
以只要求∠ 为直角时点横坐标的值，因为 = ，所以当
∠ 为直角时，点在圆 + = 上，解方程组:
得: =
±
,
所以点 横坐标的取值范围是:
+ =
�� +
−
＜＜
.
=
试卷讲评课件
【例3】已知椭圆
x2
上任意一点,则当点Q为椭圆短轴的端点时,∠AQB最大.
试卷讲评课件
【证明】如图,设 , ≤ ＜, ＜ ≤ ,过点作
⊥ ,垂足为,则 = + , = − , = ,所以
∠ =
∠ =
+
,∠
=
−
迹E的方程为
+
=
所以动圆C的圆心轨迹E的方程为
+
=
，
+
=
试卷讲评课件
x2
练习3.已知A、B分别为椭圆E： 2
2025年新高考数学题型解密：椭圆 解析版
椭圆命题解读考向考查统计1.高考对椭圆的考查，重点是(1)椭圆的定义、几何图形、标准方程。
(2)椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)。
(3)直线和椭圆的位置关系及综合应用。
椭圆的定义和弦长2022·新高考Ⅰ卷，16椭圆的离心率2023·新高考Ⅰ卷，5直线与椭圆的应用2022·新高考Ⅱ卷，162023·新高考Ⅱ卷，5椭圆的轨迹方程2024·新高考Ⅱ卷，5命题分析2024年高考新高考Ⅰ卷椭圆的考查体现在大题中，后续专题会解读。
Ⅱ卷考查了椭圆的轨迹方程求法，难度较易。
椭圆是圆雉曲线的重要内容，高考主要考查椭圆定义的运用、椭圆方程的求法以及椭圆的简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现。
预计2025年高考还是主要考查椭圆的定义和离心率。
试题精讲一、单选题1(2024新高考Ⅱ卷·5)已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M的轨迹方程为()A.x216+y24=1(y>0) B.x216+y28=1(y>0) C.y216+x24=1(y>0) D.y216+x28=1(y>0)【答案】A【分析】设点M(x,y)，由题意，根据中点的坐标表示可得P(x,2y)，代入圆的方程即可求解.【详解】设点M(x,y)，则P(x,y0),P (x,0)，因为M为PP 的中点，所以y0=2y，即P(x,2y)，又P在圆x2+y2=16(y>0)上，所以x2+4y2=16(y>0)，即x216+y24=1(y>0)，即点M的轨迹方程为x216+y24=1(y>0).故选：A一、单选题1(2023新高考Ⅰ卷·5)设椭圆C 1:x 2a2+y 2=1(a >1),C 2:x 24+y 2=1的离心率分别为e 1,e 2．若e 2=3e 1，则a =()A.233B.2C.3D.6【答案】A【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由e 2=3e 1，得e 22=3e 21，因此4-14=3×a 2-1a2，而a >1，所以a =233.故选：A2(2023新高考Ⅱ卷·5)已知椭圆C :x 23+y 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y =x +m 与C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 面积是△F 2AB 面积的2倍，则m =( )．A.23B.23C.-23D.-23【答案】C【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用Δ>0，求出m 范围，再根据三角形面积比得到关于m 的方程，解出即可.【详解】将直线y =x +m 与椭圆联立y =x +mx 23+y 2=1，消去y 可得4x 2+6mx +3m 2-3=0，因为直线与椭圆相交于A ,B 点，则Δ=36m 2-4×43m 2-3 >0，解得-2<m <2，设F 1到AB 的距离d 1,F 2到AB 距离d 2，易知F 1-2,0 ,F 22,0 ，则d 1=|-2+m |2，d 2=|2+m |2，S △F 1AB S △F 2AB =|-2+m |2|2+m |2=|-2+m ||2+m |=2，解得m =-23或-32(舍去)，故选：C .二、填空题3(2022新高考Ⅰ卷·16)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12．过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |=6，则△ADE 的周长是．【答案】13【分析】利用离心率得到椭圆的方程为x 24c 2+y 23c2=1，即3x 2+4y 2-12c 2=0，根据离心率得到直线AF 2的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE 的斜率，写出直线DE 的方程：x =3y -c ，代入椭圆方程3x 2+4y 2-12c 2=0，整理化简得到：13y 2-63cy -9c 2=0，利用弦长公式求得c =138，得a =2c =134，根据对称性将△ADE 的周长转化为△F 2DE 的周长，利用椭圆的定义得到周长为4a =13.【详解】∵椭圆的离心率为e =c a =12，∴a =2c ，∴b 2=a 2-c 2=3c 2，∴椭圆的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，即3x 2+4y 2-12c 2=0，不妨设左焦点为F 1，右焦点为F 2，如图所示，∵AF 2=a ，OF 2=c ，a =2c ，∴∠AF 2O =π3，∴△AF 1F 2为正三角形，∵过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段AF 2的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为33，斜率倒数为3，直线DE 的方程：x =3y -c ，代入椭圆方程3x 2+4y 2-12c 2=0，整理化简得到：13y 2-63cy -9c 2=0，判别式Δ=63c 2+4×13×9c 2=62×16×c 2，∴DE =1+3 2y 1-y 2 =2×Δ13=2×6×4×c13=6，∴c =138，得a =2c =134，∵DE 为线段AF 2的垂直平分线，根据对称性，AD =DF 2，AE =EF 2，∴△ADE 的周长等于△F 2DE 的周长，利用椭圆的定义得到△F 2DE 周长为DF 2 +EF 2+DE = DF 2+ EF 2+ DF 1+ EF 1= DF 1+ DF 2+ EF 1+ EF 2 =2a +2a =4a =13.故答案为：13.4(2022新高考Ⅱ卷·16)已知直线l 与椭圆x 26+y 23=1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且|MA |=|NB |,|MN |=23，则l 的方程为．【答案】x +2y -22=0【分析】令AB 的中点为E ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，利用点差法得到k OE ⋅k AB =-12，设直线AB :y =kx +m ，k <0，m >0，求出M 、N 的坐标，再根据MN 求出k 、m ，即可得解；【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法令AB 的中点为E ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，利用点差法得到k OE ⋅k AB =-12，设直线AB :y =kx +m ，k <0，m >0，求出M 、N 的坐标，再根据MN 求出k 、m ，即可得解；解：令AB 的中点为E ，因为MA =NB ，所以ME =NE ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则x 126+y 123=1，x 226+y 223=1，所以x 126-x 226+y 123-y 223=0，即x 1-x 2 x 1+x 2 6+y 1+y 2 y 1-y 23=0所以y 1+y 2 y 1-y 2 x 1-x 2 x 1+x 2=-12，即k OE ⋅k AB =-12，设直线AB :y =kx +m ，k <0，m >0，令x =0得y =m ，令y =0得x =-m k ，即M -mk,0 ，N 0,m ，所以E -m 2k ,m2 ，即k ×m 2-m 2k=-12，解得k =-22或k =22(舍去)，又MN =23，即MN =m 2+2m 2=23，解得m =2或m =-2(舍去)，所以直线AB :y =-22x +2，即x +2y -22=0；故答案为：x +2y -22=0[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法解：由题意知，点E 既为线段AB 的中点又是线段MN 的中点，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，设直线AB :y =kx +m ，k <0，m >0，则M -m k ,0 ，N 0,m ，E -m 2k ,m2，因为MN =23，所以OE =3联立直线AB与椭圆方程得y=kx+mx26+y23=1消掉y得(1+2k2)x2+4mkx+2m2-6=0其中Δ=(4mk)2-4(1+2k2)(2m2-6)>0,x1+x2=-4mk1+2k2，∴AB中点E的横坐标x E=-2mk1+2k2,又E-m2k,m2，∴x E=-2mk1+2k2=-m2k∵k<0，m>0，∴k=-22,又OE=-m2k2+m2 2=3，解得m=2所以直线AB:y=-22x+2，即x+2y-22=0一、椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c，定义用集合语言表示为：P||PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|=2c>0)注意：当2a=2c时，点的轨迹是线段；当2a<2c时，点的轨迹不存在．二、椭圆的方程、图形与性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2+y2b2=1a>b>0y2a2+x2b2=1a>b>0统一方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)参数方程x=a cosθy=b sinθ,θ为参数(θ∈[0,2π])x=a cosθy=b sinθ,θ为参数(θ∈[0,2π])第一定义到两定点F1 、 F2的距离之和等于常数2a，即|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|)范围-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤a顶点Α1-a,0、Α2a,0Β10,-b、Β20,bΑ10,-a、Α20,aΒ1-b,0、Β2b,0轴长长轴长=2a，短轴长=2b长轴长=2a，短轴长=2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点F1-c,0、F2c,0F10,-c、F20,c焦距F1F2=2c(c2=a2-b2)离心率e=ca=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2(0<e<1)准线方程x=±a2 c点和椭圆的关系x20a2+y20b2>1=1<1⇔点(x0,y0)在椭圆外上内y20a2+x20b2>1=1<1⇔点(x0,y0)在椭圆外上内切线方程x0xa2+y0yb2=1((x0,y0)为切点)y0ya2+x0xb2=1((x0,y0)为切点)对于过椭圆上一点(x0,y0)的切线方程，只需将椭圆方程中x2换为x0x，y2换为y0y可得切点弦所在的直线方程x0xa2+y0yb2=1(点(x0,y0)在椭圆外)y0ya2+x0xb2=1(点(x0,y0)在椭圆外)焦点三角形面积①cosθ=2b2r1r2-1,θmax=∠F1BF2，(B为短轴的端点)②SΔPF1F2=12r1r2sinθ=b2tanθ2=c|y0|,焦点在x轴上c|x0|,焦点在y轴上(θ=∠F1PF2)③当P点在长轴端点时,(r1r2)min=b2当P点在短轴端点时,(r1r2)max=a2焦点三角形中一般要用到的关系是|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c)SΔPF1F2=12|PF1||PF2|sin∠F1PF2|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2焦半径左焦半径：MF1=a+ex0又焦半径：MF1=a-ex0上焦半径：MF1=a-ey0下焦半径：MF1=a+ey0焦半径最大值a+c，最小值a-c通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2b2a(最短的过焦点的弦)弦长公式设直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，k AB=k，则弦长AB =1+k 2x 1-x 2 =1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+1k2(y 1+y 2)2-4y 1y 2=1+k 2Δ|a |(其中a 是消y 后关于x 的一元二次方程的x 2的系数，Δ是判别式)【椭圆常用结论】1、过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为2b 2a．①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为a +c ，距离的最小值为a -c ．2、椭圆的切线①椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)上一点P (x 0 ， y 0)处的切线方程是x 0x a 2+y 0y b2=1；②过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)外一点P (x 0 ， y 0)，所引两条切线的切点弦方程是x 0x a 2+y 0y b 2=1；③椭圆x 2a 2+y 2b2=1 (a >b >0)与直线Ax +By +C =0相切的条件是A 2a 2+B 2b 2=c 2．一、单选题1(2024·湖北荆州·三模)已知椭圆C ：x 28+y 2k =1的一个焦点为0,2 ，则k 的值为()A.4B.8C.10D.12【答案】D【分析】利用椭圆的标准方程与焦点位置即可得解.【详解】由题意得，c 2=4，a 2=k ，b 2=8，所以k =4+8=12．故选：D ．2(2024·山东烟台·三模)若椭圆x 24+y 23=1与椭圆x 2+y 2b2=1(b >1)的离心率相同，则实数b 的值为()A.233B.43C.52D.54【答案】A【分析】由离心率相等列出关于b 的方程求解即可.【详解】若椭圆x 24+y 23=1与椭圆x 2+y 2b 2=1(b >1)的离心率相同，则4-34=b 2-1b 2，解得b =233>1满足题意.故选：A .3(2024·江西九江·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,过F 1且倾斜角为π6的直线交C 于第一象限内一点A .若线段AF 1的中点在y 轴上,△AF 1F 2的面积为23,则C 的方程为()A.x 23+y 2=1B.x 23+y 22=1C.x 29+y 23=1D.x 29+y 26=1【答案】D【分析】根据题意得到Rt △AF 1F 2，∠AF 1F 2=π6, ,设AF 2 =t ，其它边全部用t 表示,运用面积为23构造方程求出t .再用椭圆定义求出a ,进而求出c ,b 即可.【详解】如图,∵O 为线段F 1F 2的中点,B 为线段AF 1的中点,∴OB ∥AF 2,又OB ⊥x 轴,∴AF 2⊥x 轴.在Rt △AF 1F 2中,∠AF 1F 2=π6,设AF 2 =t ,则AF 1 =2t ,F 1F 2 =3t .∵△AF 1F 2的面积为23,∴12×3t ×t =23,t =2.∴2a =AF 1 +AF 2 =3t =6,a =3,2c =F 1F 2 =3t =23,c =3,b 2=a 2-c 2=6,则C 的方程为x 29+y 26=1.故选：D .4(2024·河南·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴长为23，点M 在椭圆上，若|MF |的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为()A.3 B.4 C.1 D.2【答案】D【分析】利用椭圆的几何性质得到关于a ,c 的方程组，解之即可得解.【详解】依题意，椭圆短轴长为23，得b =3，则a 2-c 2=b 2=3，又|MF |的最大值是最小值的3倍，即a +c =3(a -c )，所以a =2c ，所以a =2,c =1，则其焦距为2c =2.故选：D5(2024·浙江绍兴·三模)已知直线y =kx k ≠0 与椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆过椭圆的左焦点F 1，若F 1A =2F 1B ，则椭圆C 的离心率是()A.52B.54C.53D.59【答案】C【分析】由题意可得四边形AF 1BF 2为矩形，结合椭圆定义与勾股定理可将F 1A +F 1B 分别用a 和c 表示，即可得离心率.【详解】取右焦点F 2，连接AF 2、BF 2，由F 1在以线段AB 为直径的圆上，故AF 1⊥BF 1，结合对称性可知四边形AF 1BF 2为矩形，有AF 2 =BF 1 ，有OA =OB =OF 1=c ，又F 1A =2F 1B ，由F 1A 2+F 1B 2=2c 2，则F 1A =455c ，F 1B =255c ，由椭圆定义可得F 1A +AF 2 =2a ，故F 1A +F 1B =455c +255c =655c =2a ，则e =c a =2655=53.故选：C .6(2024·江西鹰潭·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2，倾斜角为45°且过原点的直线l 交椭圆于M ,N 两点.若MN =F 1F 2 ，设椭圆的离心率为e ，则e 2=()A.2-1B.2-2C.3-1D.3-3【答案】B【分析】根据题意MN =F 1F 2 =2c ，得到四边形NF 1MF 2为矩形，由直线l 过原点且倾斜角为45°，在△MOF 2和△MOF 1中，利用余弦定理计算得MF 1 ,MF 2 ，结合椭圆的定义2a =MF 1 +MF 2 ,求得离心率，进而计算出e 2.【详解】如图所示，因为MN =F 1F 2 =2c ，且O 分别为MN 和F 1F 2的中点，OM =OF 2 =ON =OF 1 =c ，所以四边形NF 1MF 2为矩形，又直线l 过原点且倾斜角为45°，即∠MOF 2=45°，∠MOF 1=135°，且△MOF 2为等腰三角形，所以，在△MOF 2中，根据余弦定理可得MF 2 2=c 2+c 2-2×c ×c ×cos45°=(2-2)c 2，即MF 2 =2-2c ，同时，在△MOF 1中，根据余弦定理可得MF 1 2=c 2+c 2-2×c ×c ×cos135°=(2+2)c 2，即MF 1 =2+2c ，所以2a =MF 1 +MF 2 =2-2c +2+2c ，可得e =ca=22-2+2+2，e 2=22-2+2+22=42-2+22+2+2=22+2=2- 2.故选：B .7(2024·天津河西·三模)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则e 21+e 22的最小值为()A.3+3 B.5+32C.2+32D.4【答案】C【分析】设椭圆和双曲线的方程分别为：x 2a 21+y 2b 21=1，x 2a 22-y 2b 22=1，易得a 21-b 21=a 22+b 22=c 2，设PF 1 =m ,PF 2 =n ，利用椭圆和双曲线的定义得到m =a 1-a 2,n =a 1+a 2，然后在△PF 1F 2中，利用余弦定理得到1e 21+3e 22=4，然后利用基本不等式求解.【详解】解：如图所示：设椭圆和双曲线的方程分别为：x 2a 21+y 2b 21=1，x 2a 22-y 2b 22=1，由题意得a 21-b 21=a 22+b 22=c 2，设PF 1 =m ,PF 2 =n ，则m +n =2a 1,n -m =2a 2，解得m =a 1-a 2,n =a 1+a 2，在△PF 1F 2中，由余弦定理得：F 1F 2 2=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 ⋅cos ∠F 1PF 2，即2c 2=a 1-a 2 2+a 1+a 2 2-a 1-a 2 a 1+a 2 ，化简得4c 2=a 21+3a 22，则1e 21+3e 22=4，所以e 21+e 22=14e 21+e 22 1e 21+3e 22=14e 22e 21+3e 21e 22+4，≥142e 22e 21⋅3e 21e 22+4=2+32，当且仅当e 22e 21=3e 21e 22，即e 22=3e 21时，等号成立；故选：C8(2024·四川·三模)已知椭圆C :x 24+y 2b2=1(b >0) 的左、右焦点分别为F 1,F 2，点P 是椭圆上一点，若△PF 1F 2的内心为M ，连接PM 并延长交x 轴于点Q ，且PM =3QM ，则椭圆的短轴长为()A.2 B.22C.23D.463【答案】D【分析】合理构建图形，利用角平分线定理和等比定理得到PF 2QF 2=2a2c ，再求短轴长度即可.【详解】如图，连接MF 1,MF 2,在△PF 1Q 和△PF 2Q 中，利用角平分线定理可得PMQM =PF 1QF 1=PF 2QF 2=3,由等比定理可得PF 2QF 2=PF 1+PF 2QF 1+QF 2=2a 2c ,从而c =233,b =263.故椭圆的短轴长为2b =463，故B 正确.故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是合理构建图形，然后利用角平分线定理和等比定理得到PF 2QF 2=2a2c ，再求解短轴长度即可．9(2024·广东汕头·三模)已知椭圆C ：x 216+y 212=1的两个焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上任意一点，则下列不正确的是()A.C 的离心率为12B.PF 1 的最小值为2C.PF 1 ⋅PF 2 的最大值为16D.可能存在点P ，使得∠F 1PF 2=65°【答案】D【分析】求出椭圆C 的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的性质逐项分析计算即可.【详解】椭圆C ：x 216+y 212=1的长半轴长a =4，短半轴长b =23，半焦距c =a 2-b 2=2，对于A ，C 的离心率e =c a =12，A 正确；对于B ，由PF 1+ PF 2 =2aPF 1- PF 2 ≤2c，得a -c ≤|PF 1|≤a +c ，因此|PF 1|min =a -c =2，B 正确；对于C ，|PF 1|⋅|PF 2|≤|PF 1|+|PF 2|22=a 2=16，当且仅当|PF 1|=|PF 2|=4时取等号，C 正确；对于D ，当P 不在x 轴上时，cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(2a )2-(2c )22|PF 1||PF 2|-1，=24|PF 1||PF 2|-1≥2416-1=12，当且仅当|PF 1|=|PF 2|=4取等号，当P 在x 轴上时，cos ∠F 1PF 2=1，上述不等式成立，因此∠F 1PF 2最大为60°，D 错误.故选：D10(2024·河北衡水·模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 2向圆x 2+y 2=14b 2引切线交椭圆于点P ,O 为坐标原点，若OP =OF 2 ，则椭圆的离心率为()A.12B.32C.53D.23【答案】C【分析】先画出图形，由OP =OF 2 =OF 1 得PF 1⊥PF 2，进而得OM ⎳PF 1，PF 1 =2OM =b ，然后由椭圆的定义可得PF 2 =2a -b ，由勾股定理b a =23，从而即可得到离心率.【详解】由题意画出图形，如下图：设切点为M ，连接PF 1，由已知OP =OF 2 =OF 1 ，∴PF 1⊥PF 2，∵OM ⊥PF 2，∴OM ⎳PF 1，又O 是F 1F 2的中点，圆x 2+y 2=14b 2的半径为12b ，PF 1 =2OM =b ，PF 2 =2a -b ，∴b 2+2a -b 2=4c 2=4a 2-b 2 ，即2a =3b ，得b a =23，e =c a=a 2-b 2a 2=1-b a 2=53.故选：C .11(2024·浙江·三模)已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与椭圆Γ相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ．连接F 1C ，F 1A ．若O 为坐标原点，F 1C ⊥F 1A ，，则椭圆Γ的离心率为()A.105B.55C.1010D.510【答案】A【分析】由三角形面积关系得出F 2C =4t =F 1C ，再由勾股定理及椭圆定义求出t ，利用余弦定理及cos ∠AF 2F 1+cos ∠CF 2O =0求解即可.【详解】设F2A =t ，由可得，由于△F 1CF 2与△AF 1F 2等高，所以F 2C =4t =F 1C ，又F1C⊥F1A，AC=5t，∴F1A=3t，又AF1+AF2=2a=4t，∴t=a 2，在中，cos∠CF2O=c2a，∵cos∠AF2F1+cos∠CF2O=0，∴cos∠AF2F1=-c2a在中，cos∠AF2F1=AF22+F1F22-AF122F2A⋅F1F2=2c2-a2ac=-c2a，化简可得2a2=5c2，解得e=c2a2=105，故选：A．【点睛】关键点点睛：本题关键点之一根据三角形面积关系得出F2C=F1C=4t，其次需要根据cos∠AF2F1 +cos∠CF2O=0建立a,c关系.二、多选题12(2024·河南开封·三模)椭圆C:x2m2+1+y2m2=1m>0的焦点为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与C的另一个交点为B，若∠F1AF2=π3，则()A.C的焦距为2B.C的短轴长为23C.C的离心率为32D.△ABF2的周长为8【答案】ABD【分析】根据∠F1AF2=π3以及椭圆的对称性可得b2a2=322=m2m2+1，进而可求解a=2,b=3,c=1，即可根据选项逐一求解.【详解】由于∠F1AF2=π3，所以∠F1AO=∠OAF2=π6,故cos∠F1AO=cos π6=AOAF1=bc2+b2=ba=32，因此b2a2=322=m2m2+1，故m2=3，所以椭圆C :x 24+y 23=1，a =2,b =3,c =1对于A ，焦距为2c =2，故A 正确，对于B ，短轴长为2b =23，B 正确，对于C ，离心率为e =c a =12，C 错误，对于D ，△ABF 2的周长为4a =8，D 正确，故选：ABD13(2024·全国·模拟预测)已知长轴长、短轴长和焦距分别为2a 、2b 和2c 的椭圆Ω，点A 是椭圆Ω与其长轴的一个交点，点B 是椭圆Ω与其短轴的一个交点，点F 1和F 2为其焦点，AB ⊥BF 1．点P 在椭圆Ω上，若∠F 2PF 1=π3，则()A.a ，b ，c 成等差数列B.a ，b ，c 成等比数列C.椭圆Ω的离心率e =5+1D.△ABF 1的面积不小于△PF 1F 2的面积【答案】BD【分析】AB 选项，根据垂直关系得到k BF 1k AB =-1，求出b 2=ac ，得到A 错误，B 正确；C 选项，根据b 2=ac 得到c 2+ac -a 2=0，进而求出离心率；D 选项，计算出△ABF 1和△PF 1F 2的面积，作差法结合基本不等式求出答案.【详解】AB 选项，椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1，不妨设A a ,0 ，B 0,b ，故F 1-c ,0 ，因为AB ⊥BF 1，且直线AB ,BF 1的斜率存在，所以k BF 1k AB =-1，即b c ⋅-ba=-1，故b 2=ac ，a ,b ,c 成等比数列，A 错误，B 正确；C 选项，因为b 2=a 2-c 2，b 2=ac ，所以c 2+ac -a 2=0，方程两边同除以a 2得，e 2+e -1=0，解得e =-1±52，负值舍去，故离心率为e =5-12，C 错误；D 选项，由椭圆定义得PF 1 +PF 2 =2a ，F 1F 2 =2c ，因为 F 2PF 1=π3，所以PF 1 2+PF 2 2-PF 1 PF 2 =4c 2，PF 1 +PF 2 =2a 两边平方得PF 12+PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2 =4a 2，故3PF 1 ⋅PF 2 =4b 2，S △PF 1F 2=12PF 1 ⋅PF 2 ⋅32=3b 23，S △ABF 1=12AF 1 ⋅OB =12a +c ⋅b =ab +bc2，又b 2=ac ，且a >c ，由基本不等式得ab +bc 2-b 2=b 2a +c -2b =b2a +c -2ac >0，所以S △ABF 1=ab +bc2>b 2> S △PF 1F 2即△ABF 1的面积不小于△PF 1F 2的面积，D 正确.故选：BD14(2024·河南·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点P (2,1)，且离心率为22．记C 在P 处的切线为l ，平行于OP 的直线l 与C 交于A ，B 两点，则()A.C 的方程x 24+y 22=1B.直线OP 与l 的斜率之积为-1C.直线OP ，l 与坐标轴围成的三角形是等腰三角形D.直线P A ，PB 与坐标轴围成的三角形是等腰三角形【答案】ACD【分析】根据题干列出方程组，解方程组可判断A ；根据直线与椭圆相切的可求出直线l 的方程即可判断B ，C ；通过计算k P A +k PB =0可判断D .【详解】c a =222a 2+1b 2=1ab 2=b 2+c 2 , ∴a =2b =2c =2∴ 椭圆方程为：x 24+y 22=1，故A 正确；如图，因为点P 在第一象限，取椭圆方程的右半部分得：y =2-x 22，则y=122-x 22 -12·2-x 22=-x8-2x 2，所以k PM =yx =2 =-22，所以k OP ⋅k PM =-b 2a2=-12，故B 错误；k PM +k OP =0，则△POM 为等腰三角形，故C 正确；AB :y =22x +m ,y =22x +m x 24+y 22=1，消y 可得x 2+2mx +m 2-2=0，x 1+x 2=-2m , x 1x 2=m 2-2, k P A +k PB =y 1-1x 1-2+y 2-1x 2-2=22x 1+m -1x 1-2+22x 2+m -1x 2-2=2x 1x 2+(m -2)x 1+x 2 -22m +22x 1-2 x 2-2=0P A ,PB 与坐标轴围成的三角形是等腰三角形，故D 正确.故选：ACD15(2024·全国·二模)已知圆O ：x 2+y 2=3经过椭圆C ：y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的两个焦点F 1，F 2，且P 为圆O 与椭圆C 在第一象限内的公共点，且△PF 1F 2的面积为1，则下列结论正确的是()A.椭圆C 的长轴长为2B.椭圆C 的短轴长为2C.椭圆C 的离心率为12 D.点P 的坐标为33,263【答案】BD【分析】根据圆的方程确定c 的值，再由△PF 1F 2的面积可得点P 的坐标，从而可得a ,b 的值，再逐项判断即可得答案.【详解】因为圆O ：x 2+y 2=3经过椭圆C ：y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的两个焦点F 1，F 2，所以c =3，又P 为圆O 与椭圆C 在第一象限内的公共点，则S △PF 1F 2=12F 1F 2 ⋅x P =12×23⋅x P =1，故x P =33，代入圆方程可得x 2P +y 2P =3，所以y P =263，故点P 的坐标为33,263，故D 正确；将点P 的坐标33,263代入椭圆方程可得83a 2+13b2=1，又a 2=b 2+c 2=b 2+3，解得a =2,b =1，故椭圆C 的长轴长为4，短轴长为2，故A 不正确，B 正确；则椭圆C 的离心率为e =c a =32，故C 不正确.故选：BD .16(2024·江西南昌·三模)将椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上所有的点绕原点旋转θ0<θ<π2 角，得到椭圆C 2的方程：x 2+y 2-xy =6，则下列说法中正确的是()A.a =23B.椭圆C 2的离心率为33C.(2,2)是椭圆C 2的一个焦点D.θ=π4【答案】ACD【分析】根据题意，由椭圆的对称性，求解顶点坐标，从而可得a ,b ,c ，再由椭圆的性质对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上所有的点绕原点旋转θ0<θ<π2 角，得到椭圆C 2的方程：x 2+y 2-xy =6，设点P x ,y 在该椭圆上，则其关于y =x 的对称点P y ,x 代入椭圆方程有y 2+x 2-yx =6，即x 2+y 2-xy =6，则该对称点位于椭圆方程上，同理其关于y =-x 的对称点P -y ,-x 代入椭圆方程有-y2+-x 2--y -x =6，即x 2+y 2-xy =6，则该对称点位于椭圆方程上，则x 2+y 2-xy =6关于y =±x 对称，所以θ=π4，故D 正确；将y =x 代入x 2+y 2-xy =6可得x 2=6，可得椭圆长轴的顶点为6,6 ,-6,-6 ，所以a =6+6=23，故A 正确；将y =-x 代入x 2+y 2-xy =6可得x 2=2，可得椭圆长轴的顶点为2,2 ,-2,-2 ，所以b =2+2=2，则c =12-4=22，则e =c a =2223=63，故B 错误；所以焦点坐标为2,2 或-2,-2 ，所以C 正确；故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键通过证明该非标准椭圆的对称性，从而得到θ的值，再按照普通椭圆a ,b ,c 的定义计算即可，也可将该过程想象成坐标系的旋转.17(2024·江西宜春·三模)设椭圆C ：x 28+y 24=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，坐标原点为O ．若椭圆C 上存在一点P ，使得|OP |=7，则下列说法正确的有()A.cos ∠F 1PF 2=35B.PF 1 ⋅PF 2 =5C.△F 1PF 2的面积为2D.△F 1PF 2的内切圆半径为2-1【答案】ACD【分析】根据已知求出P 点坐标，根据两点间距离公式分布求出PF 1 ,PF 2 ，在△F 1PF 2中利用余弦定理可判定A ，利用向量数量积公式可判定B ，三角形面积公式可判定C ，根据等面积法可判定D .【详解】法1：由题意得a =22，|F 1F 2|=2c =28-4=4，则F 1(-2,0)，F 2(2,0)．由对称性可设P (x 0,y 0)(x 0>0，y 0>0)，|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，∠F 1PF 2=θ，由x 208+y 204=1x 20+y 20=7，解得x 0=6y 0=1，又F 1(-2,0)，F 2(2,0)，所以m =(6+2)2+12=11+46，n =(6-2)2+12=11-46，所以mn =11+46⋅11-46=112-(46)2=5．由椭圆的定义得m +n =2a =42，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2=m 2+n 2-2mn cos θ，即42=(m +n )2-2mn -2mn cos θ=(42)2-2×5-2×5cos θ，解得cos θ=35，故A 正确；PF 1 ⋅PF 2 =mn cos θ=5×35=3，故B 错误；△F 1PF 2的面积为S △F 1PF 2=12mn sin θ=12×5×1-352=2，故C 正确；设△F 1PF 2的内切圆半径为r ，由△F 1PF 2的面积相等，得S △F 1PF 2=12(m +n +|F 1F 2|)r ，即2=12(42+4)r ，解得r =2-1，故D 正确．故选：ACD ．法2：设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，∠F 1PF 2=θ．易知a =22，c =8-4=2，由极化恒等式，得PF 1 ⋅PF 2=|OP |2-|OF 1|2=7-4=3，故B 错误；由中线长定理得m 2+n 2=2(|OP |2+|OF 1|2)=22，由椭圆定义得m +n =2a =42，所以(m +n )2=m 2+n 2+2mn =22+2mn =32，所以mn =5，所以cos θ=PF 1 ⋅PF 2 mn =35，故A 正确；由cos θ=35，得sin θ=1-cos 2θ=45，所以S △F 1PF 2=12mn sin θ=12×5×45=2，故C 正确；设△F 1PF 2的内切圆半径为r ，由△F 1PF 2的面积相等，得S △F 1PF 2=12(m +n +|F 1F 2|)r ，即2=12(42+4)r ，解得r =2-1，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题18(2024·上海·三模)已知椭圆C 的焦点F 1、F 2都在x 轴上，P 为椭圆C 上一点，△PF 1F 2的周长为6，且PF 1 ，F 1F 2 ，PF 2 成等差数列，则椭圆C 的标准方程为．【答案】x 24+y 23=1【分析】根据给定条件，结合等差中项的意义及椭圆的定义列式求出a ,c 即可得解.【详解】令椭圆长半轴长为a ，半焦距为c ，依题意，PF 1+ PF 2+ F 1F 2 =6PF 1+ PF 2=2 F 1F 2，即2a +2c =62a =4c，解得a =2,c =1，则椭圆短半轴长b =a 2-c 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.故答案为：x 24+y 23=119(2024·四川攀枝花·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M ,N 在C 上，且F 1F 2 =3MN ,F 1M ⊥F 2N ，则椭圆C 的离心率为．【答案】5-2/-2+5【分析】延长F 1M ,F 2N 交于点B ,由题意可求出M -c 3,2c 3，因为点M 在C 上，代入椭圆的方程，化简即可得出答案.【详解】延长F 1M ,F 2N 交于点B ，因为F 1F 2 =3MN ，所以NM =2c3，所以点B 在y 轴上，因为F 1M ⊥F 2N，所以△BF 1F 2为等腰直角三角形，所以∠MF 1P =π4，过点M 作MP ⊥F 1F 2交F 1F 2于点P ，所以MP =F 1P =2c 3，所以M -c 3,2c 3，因为点M 在C 上，所以c 29a 2+4c 29b 2=1，即c 2a 2+4c 2a 2-c 2=9，则c 2a 2-c 2 +4a 2c 2=9a 2a 2-c 2 ，即14a 2c 2-c 4-9a 4=0，即e 4-14e 2+9=0，所以e 2=14±4102=7±210，因为0<e <1，所以e 2=7-210，所以e =5- 2.故答案为：5- 2.20(2024·山西·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2，若C 上存在一点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则C 的离心率的最小值是．【答案】13【分析】由题意可知：PF 2 =F 1F 2 =2c ，可得a -c ≤2c ≤a +c ，运算求解即可.【详解】设椭圆C 的半焦距为c ∈0,a ，由题意可知：PF 2 =F 1F 2 =2c ，根据存在性结合椭圆性质可知：a -c ≤2c ≤a +c ，解得13a ≤c <a ，可得C 的离心率e =c a ∈13,1 ，所以C 的离心率的最小值是13.故答案为：13.21(2024·陕西咸阳·三模)已知椭圆C :x 25+y 24=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 为椭圆C 上任意一点，P 为曲线E :x 2+y 2-6x -4y +12=0上任意一点，则MP +MF 2 的最小值为.【答案】22-1【分析】求出点F 2的坐标，求出圆E 的圆心和半径，再利用圆的性质求出最小值.【详解】椭圆C :x 25+y 24=1中，右焦点F 2(1,0)，圆E :(x -3)2+(y -2)2=1的圆心E (3,2)，半径r =1，显然椭圆C 与圆E 相离，由点P 在圆E 上，得|MP |min =|ME |-1，于是|MP |+|MF 2|≥|ME |-1+|MF 2|≥|EF 2|-1=(3-1)2+22-1=22-1，当且仅当M ,P 分别是线段EF 2与椭圆C 、圆E 的交点时取等号，所以MP +MF 2 的最小值为22-1.故答案为：22-122(2024·湖南长沙·三模)已知椭圆y 29+x 2=1，P 为椭圆上任意一点，过点P 分别作与直线l 1:y =3x 和l2:y =-3x 平行的直线，分别交l 2，l 1交于M ，N 两点，则MN 的最大值为.【答案】3【分析】根据题意画出示意图，可得四边形PMON 为平行四边形，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，P (x 0,y 0)，根据MN与OP 的中点相同，换算出关系式x 2-x 1=y 03y 2-y 1=3x 0，再由两点间的距离公式，结合椭圆的性质即可求解.【详解】设过点P 分别作直线l 3,l 4，由题意，画示意图如下：设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，P (x 0,y 0).则y 1=-3x 1，y 2=3x 2，由题意可知四边形PMON 为平行四边形，所以x 1+x 2=x 0+0=13y 2-y 1 y 1+y 2=y 0+0=3x 2-x 1 ，即x 2-x 1=y 03y 2-y 1=3x 0，又因P 为椭圆上任意一点，所以y 209+x 20=1，即y 209=1-x 20，所以MN =x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=y 209+9x 20=9x 20+1-x 20 =8x 20+1，因为-1≤x 0≤1，所以0≤x 20≤1，所以由函数性质知：当x 20=1时，有|MN |max =8×1+1=3.故答案为：3【点睛】关键点点睛：本题结合两点间的距离公式考查椭圆的几何性质的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，解题的关键是利用平行四边形的性质找到点的坐标之间的关系.23(2024·重庆·三模)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点为F 1,F 2，若椭圆上存在不在x 轴上的两点A ，B 满足F 1A +F 1B =F 1F 2 ，且sin ∠F 1AB =2sin ∠F 2AB ，则椭圆离心率e 的取值范围为.【答案】13,1 【分析】由F 1A +F 1B =F 1F 2 =2F 1O 判断出四边形AF 1BF 2为平行四边形，由正弦定理BF 1 =2AF 1 ，利用AF 2 -AF 1 <F 1F 2 可得答案.【详解】由F 1A +F 1B =F 1F 2 =2F 1O 知，O 为AB 中点，四边形AF 1BF 2为平行四边形，由∠F 2AB =∠F 1BA 与sin ∠F 1AB =2sin ∠F 2AB 可知，在△ABF 1中由正弦定理知，BF 1 =2AF 1 ，在△AF 1F 2中，有AF 2 =BF 1 =2AF 1 ，又因为AF 1 +AF 2 =2a ，可得AF 1 =23a ，AF 2 =43a ，由AF 2 -AF 1 <F 1F 2 ，得e >13，故离心率的取值范围为13,1.故答案为：13,1.式)，进而求解离心率或范围.。
9.2椭圆-高考数学总复习历年(十年)真题题型归纳+模拟预测(原卷版)
第9章 解析几何9.2 椭圆从近三年高考情况来看，椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点，尤其是离心率问题是高考考查的重点，多在选择题、填空题中出现，考查直线与椭圆的位置关系，常与向量、圆等知识相结合，多以解答题的形式出现，解题时，以直线与椭圆的位置关系为主，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养．1．（2022•新高考2）已知直线l 与椭圆x 26+y 23=1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于M ，N 两点，且|MA |＝|NB |，|MN |＝2√3，则l 的方程为 ． 2．（2022•甲卷）椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ） A ．√32B ．√22 C ．12D ．133．（2022•甲卷）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为13，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1→•BA 2→=−1，则C 的方程为（ ） A ．x 218+y 216=1 B ．x 29+y 28=1C ．x 23+y 22=1D ．x 22+y 2＝1题型一.椭圆的标准方程与几何性质1．（2018•新课标Ⅰ）已知椭圆C ：x 2a 2+y 24=1的一个焦点为（2，0），则C 的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．√22D ．2√232．（2015•新课标Ⅰ）一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点．且圆心在x 轴的正半轴上．则该圆标准方程为 ．3．（2016•新课标Ⅰ）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．344．（2014•大纲版）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为√33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为4√3，则C 的方程为（ ） A ．x 23+y 22=1 B ．x 23+y 2＝1C ．x 212+y 28=1 D ．x 212+y 24=15．（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆C 的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），过点F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为（ ） A ．x 22+y 2＝1 B ．x 23+y 22=1C ．x 24+y 23=1 D ．x 25+y 24=16．（2019•新课标Ⅲ）设F 1，F 2为椭圆C ：x 236+y 220=1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为 ． 7．（2021•甲卷）已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为 ． 8．（2013•新课标Ⅰ）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （3，0），过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ） A ．x 245+y 236=1 B ．x 236+y 227=1C ．x 227+y 218=1D ．x 218+y 29=1题型二.椭圆的离心率1．（2018•新课标Ⅱ）已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为（ ） A ．1−√32 B ．2−√3 C ．√3−12D ．√3−12．（2013•四川）从椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ） A ．√24B ．12C ．√22D ．√323．（2012•新课标）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为直线x =3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．454．（2018•新课标Ⅱ）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．145．（2017•新课标Ⅲ）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay +2ab ＝0相切，则C 的离心率为（ ） A ．√63B ．√33C ．√23D ．136．（2016•新课标Ⅲ）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．347．（2013•辽宁）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF ，若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF =45，则C 的离心率为（ ） A ．35B ．57C ．45D ．678．（2018•北京）已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），双曲线N ：x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ；双曲线N 的离心率为 ．题型三.取值范围问题1．（2017•新课标Ⅰ）设A ，B 是椭圆C ：x 23+y 2m=1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是（ ）A ．（0，1]∪[9，+∞）B ．（0，√3]∪[9，+∞）C ．（0，1]∪[4，+∞）D ．（0，√3]∪[4，+∞）2．（2021•乙卷）设B 是椭圆C ：x 25+y 2＝1的上顶点，点P 在C 上，则|PB |的最大值为（ ） A ．52B ．√6C ．√5D ．23．（2021•乙卷）设B 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上顶点，若C 上的任意一点P都满足|PB |≤2b ，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．[√22，1）B ．[12，1）C ．（0，√22]D ．（0，12]4．（2021•新高考Ⅰ）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|•|MF 2|的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．61．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为35，直线2x +y +10＝0过椭圆的左顶点，则椭圆方程为（ ） A ．x 25+y 24=1 B ．x 225+y 29=1 C ．x 216+y 29=1D ．x 225+y 216=12．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点E （0，t ）（0＜t ＜b ）．已知动点P 在椭圆上，且点P ，E ，F 2不共线，若△PEF 2的周长的最小值为4b ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．√32B ．√22C ．12D ．√333．设椭圆y 2a 2+x 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F 1（0，1），M （3，3）在椭圆外，点P为椭圆上的动点，若|PM |﹣|PF 1|的最小值为2，则椭圆的离心率为（ ） A ．23B ．√34C ．12D ．144．已知动点M 在以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2+y 24=1上，动点N 在以M 为圆心，半径长为|MF 1|的圆上，则|NF 2|的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．165．已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （c ，0），上顶点为A （0，b ），直线x =a 2c 上存在一点P 满足(FP →+FA →)⋅AP →=0，则椭圆的离心率取值范围为（ ） A ．[12，1)B ．[√22，1)C ．[√5−12，1)D ．(0，√22]（多选）6．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，焦点F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）（c ＞0），下顶点为B ．过点F 1的直线l 与曲线C 在第四象限交于点M ，且与圆A ：(x +2c)2+y 2=14c 2相切，若MF 2→⋅F 1F 2→=0，则下列结论正确的是（ ） A ．椭圆C 上不存在点Q ，使得QF 1⊥QF 2 B ．圆A 与椭圆C 没有公共点C ．当a ＝3时，椭圆的短轴长为2√6D ．F 2B ⊥F 1M.。
高考数学专题《椭圆》习题含答案解析
专题9.3 椭圆1.（浙江高考真题）椭圆的离心率是（ ）ABC ．D ．【答案】B 【解析】，选B ．2.（2019·北京高考真题）已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则( )A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B 【解析】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =,故选B.3．（上海高考真题）设p 是椭圆2212516x y+=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A.4B.5C.8D.10【答案】D 【解析】因为椭圆的方程为2251162x y +=，所以225a =，由椭圆的的定义知12=210PF PF a +=，故选D ．4．（2020·四川资阳�高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点)，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ）A ．22143x y +=B ．22186x y +=C ．22142x y +=D ．22184x y +=22194x y +=2359e ==练基础【答案】A 【解析】依题意，可得2131412a ⎧+=⎪⎪=，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程是22143x y +=.故选：A5.（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c，直线:l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（ ）AB ．34C ．12D ．14【答案】A 【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为()x,y A，则y x =由2AB c =，可知OA c ==c =，解得x =，所以1,3A c ⎫⎪⎪⎭把点A 代入椭圆方程得到22221331c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理得4281890e e -+=，即()()2243230e e --=，因01e <<，所以可得e =故选A 项.6．（2021·全国高三专题练习）已知1F ，2F 分别是椭圆2211615y x+=的上、下焦点，在椭圆上是否存在点P ，使11PF ，121F F ，21PF 成等差数列？若存在求出1PF 和2PF 的值；若不存在，请说明理由．【答案】不存在；理由见解析．【分析】假设存在点P 满足题设，解方程组1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩得1PF 和2PF 的值，再检验即得解.【详解】解：假设存在点P 满足题设，则由2211615y x +=及题设条件有1212121282112PF PF F F PF PF F F ⎧⎪+=⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，即121288PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得1244PF PF ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，或1244PF PF ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩由2211615y x +=，得4a =，1c =．则135a c PF a c -=≤≤+=，235a c PF a c -=≤≤+=．∵45+>，43-，∴不存在满足题设要求的点P ．7．（2021·全国高三专题练习）设F 是椭圆22176x y +=的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点i P （1i =，2，…），使1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，求a 的取值范围．【答案】11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 【分析】分情况讨论等差数列是递增，还是递减，分别列出不等式求解范围.【详解】解：注意到椭圆的对称性及i FP 最多只能两两相等，可知题中的等差数列可能是递增的，也可能是递减的，但不可能为常数列，即0d ≠．先考虑一般情形，由等差数列的通项公式有()11n FP FP n d =+-，（n *∈N ），因此11n FP FP n d-=+．对于椭圆2222x y a b+（0a b >>），其焦半径的最大值是a c +，最小值是a c -（其中c =．当等差数列递增时，有n FP a c ≤+，1FP a c ≥-．从而()12n FP FP a c a c c -≤+--=．再由题设知1c =，且21n ≥，故2211d ≤+，因此1010d <≤．同理，当等差数列递减时，可解得1010d -≤<，故所求d 的取值范围为11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．8．（2021·全国高三专题练习）已知定点()2,2A -，点2F 为椭圆2212516x y +=的右焦点，点M 在椭圆上移动时，求2AM MF +的最大值；【答案】10+【分析】由椭圆定义，转化1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，即得解【详解】如图所示，设1F 是左焦点，则()13,0F -，1121010A MF M MF AM AF ≤+=-++，=∴10AM MF +≤+当点F 1在线段AM 上时，等号成立，即AM MF +的最大值为10．9．（2021·云南师大附中高三月考（理））椭圆C : 22221(0)x y a b a b +=>>，且点A (2，1)在椭圆C 上，O 是坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过原点，且l ⊥OA ，若l 与椭圆C 交于B ， D 两点，求弦BD 的长度.【答案】（1）22182x y C +=：；（2【分析】（1）利用离心率和点在椭圆上可求出椭圆的标准方程；（2）先利用直线垂直的判定得到直线l 的斜率和方程，联立直线和椭圆的方程，消元得到关于x 的一元二次方程，进而求出交点坐标，再利用两点间的距离公式进行求解.【详解】（1）由e =得：12c b a ==，，又点(21)A ，在椭圆上，所以224114a a +=，得a =b =所以椭圆的方程是22182x y C +=：．（2）直线OA 的方程是12y x =，因为l OA ⊥，且l 过点O ，所以直线l 的方程是2y x =-，与椭圆联立，得：2178x =，即x =所以B D ⎛ ⎝，，则||BD =10．（2021·南昌大学附属中学高二月考）已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b+=>>两个焦点，且2259a b =.（1）求此椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.【答案】（1）此椭圆的方程为22195x y +=；（2）12F PF △【分析】（1）由已知条件求出椭圆中229,5a b ==即可得到椭圆方程；（2）结合椭圆的定义以及余弦定理的知识求出12PF PF ⋅的值，运用三角形面积公式即可求解.【详解】（1）因为()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b+=>>两个焦点，所以2224c a b =-=，①又因为2259a b =，②所以由①②可得229,5a b ==，所以此椭圆的方程为22195x y +=.（2）设()12,,,0PF m PF n m n ==>，由椭圆定义可知26m n a +==，③在12F PF △中，由余弦定理得()2222cos23m n mn c π+-=，即2216m n mn +-=，④由③④式可得，203mn =，所以121120sin 2323F PF S mn π==⨯=△即12F PF △1．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上存在点P ，使得过点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．C．⎫⎪⎪⎭D．⎫⎪⎭【答案】C练提升【分析】若长轴端点P '，由椭圆性质：过P 的两条切线互相垂直可得45AP O α'=∠≤︒，结合sin b aα=求椭圆离心率的范围.【详解】在椭圆1C 的长轴端点P '处向圆2C 引两条切线P A '，P B '，若椭圆1C 上存在点P ，使过P 的两条切线互相垂直，则只需90AP B '∠≤︒，即45AP O α'=∠≤︒，∴sin sin 45b a α=≤︒=222a c ≤，∴212e ≥，又01e <<，1e ≤<，即e ⎫∈⎪⎪⎭．故选：C2．（2020·湖北黄州�黄冈中学高三其他（文））已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，经过原点的直线与C 交于A ，B 两点，总有120AFB ∠≥︒，则椭圆C 离心率的取值范围为______.【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】如图，设椭圆右焦点为2F ，由对称性知2AFBF 是平行四边形，22AF F BFF ∠=∠，∵120FB ∠≥︒，∴260FAF ∠≤︒，设AF m =，2AF n =，由椭圆定义知2m n a +=，则22()4m n mn a +≤=，当且仅当m n =时等号成立，在2AFF V 中，由余弦定理得2222222222222()244444cos 11122222m n FF m n mn c a c a c FAF emn mn mn a +-+----∠===-≥-=-，又260FAF ∠≤︒，21cos 2FAF ∠≥，∴21122e -≥，解得102e <≤．故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．3.（2019·浙江高三月考）已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率为______；若过1F 且斜率为(0)k k >的直线与椭圆相交于AB 两点，且113AF F B =，则k =___.1 【解析】由于点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，由于y x =的倾斜角为π4,画出图像如下图所示，由于O 是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知12QF F ∆为等腰直角三角形，且Q为短轴的端点，故离心率πcos 4c a ==.不妨设,a b c t ===，则椭圆方程化为222220x y t +-=，设直线AB 的方程为10x my t m k ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，代入椭圆方程并化简得()222220my mty t +--=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12222mty y m +=+①，21222t y y m -⋅=+②.由于113AF F B = ，故123y y =-③.解由①②③组成的方程组得1m =，即11,1k k==.故填：（1；（2）1.4．（2019·浙江温州中学高三月考）已知点P 在圆22680x y y +-+=上，点Q 在椭圆()22211x y a a+=>上，且PQ 的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值等于__________，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F ，则PQ QF +的最大值等于__________．5+【解析】22680x y y +-+=化简为22(3)1x y +-=，圆心(0,3)A .PQ 的最大值为5等价于AQ 的最大值为4设(,)Q x y ，即22(3)16x y +-≤，又()22211xy a a+=>化简得到222(1)670(11)a y y a y --+-≤-≤≤ 当1y =-时，验证等号成立对称轴为231x a =-满足231,21x a a =≤-≤-故12a <≤22222211314c a e e a a a -===-≤∴≤当2a =时，离心率有最大值，此时椭圆方程为2214x y +=，设左焦点为1F11141455PQ QF PQ QF AQ QF AF +=+-≤++-≤+=+当1,,,A F P Q 共线时取等号.和5+5．（2020·浙江高三月考）已知P 是椭圆2222111x y a b +=（110>>a b ）和双曲线2222221x y a b -=（220,0a b >>）的一个交点，12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率，若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值为________．.【解析】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，那么12PF PF >，因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为c ，根据椭圆与双曲线的定义，有：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，解得112=+PF a a ，212=-PF a a ，在12F PF ∆中，由余弦定理，可得：2221212122cos3π=+-F F PF PF PF PF ，即222121212124()()()()=++--+-c a a a a a a a a ，整理得2221243=+c a a ，所以22121134+=e e ，又2212113+≥e e ，所以12≥e e .6．（2020·浙江高三其他）已知当动点P 到定点F （焦点）和到定直线0x x =的距离之比为离心率时，该直线便是椭圆的准线.过椭圆2214x y +=上任意一点P ，做椭圆的右准线的垂线PH（H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =λPH (λ≥1).当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是___.【答案】⎫⎪⎪⎭【解析】由题可知：椭圆2214x y +=的右准线方程为x =设()()00,,,P x y Q x y，所以点0⎫⎪⎭H y 由λ=HQ PH ，所以λ=HQPH0⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ HQ x y y，0,0⎫=⎪⎭PH x 又λ= HQ PH，所以00,0λ⎛⎫⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎭x y y x所以00x y y==由220014x y +=221=y 则点Q221+=y 设点Q 的轨迹的离心率e则2222411144λλλ-==-e 由1λ≥，所以213144λ-≥所以234e ≥，则e ≥，又1e <所以⎫∈⎪⎪⎭e故答案为：⎫⎪⎪⎭7．（2021·全国高三专题练习）设椭圆的中心在坐标原点.长轴在z 轴上，离心率e =知点30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，求椭圆方程，并求椭圆上到点O 的距离的点的坐标.【答案】2214x y +=;12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】设以P 点为圆心的圆与椭圆相切，结合判别式等于零，参数值可确定，符合条件的两个点的坐标也可求得.【详解】∵e =c a =2234c a =.∵222a c b -=，∴2214a b =，224a b =，∴设椭圆方程为222214x y b b+=①又∵30,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则可构造圆22372x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. ②此圆必与椭圆相切，如图所示，由①②整理得221933404y y b ++-=.∵椭圆与圆相切，∴219912404b ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，③ ∴1b =，则2a =.则所求椭圆方程为2214x y +=. ④把1b =代入方程③可得12y =-，把12y =-代入④得x =∴椭圆上到点P的点的坐标为12⎫-⎪⎭，12⎛⎫- ⎪⎝⎭.8．（2021·全国高三专题练习）椭圆22194x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 为其上动点，当12F PF ∠为钝角时，求点P 横坐标的取值范围.【答案】⎛ ⎝【分析】当12F PF ∠为直角时，作以原点为圆心，2OF 为半径的圆，若该圆与已知椭圆相交，则圆内的椭圆弧所对应的x 的取值范围即为所求点P 横坐标的取值范围.【详解】22194x y +=的焦点为1(F、2F ，如图所示：A 、B 、C 、D 四点，此时12F AF ∠、12F BF ∠、12F CF ∠、12F DF ∠都为直角，所以当角的顶点P 在圆内部的椭圆弧上时，12F PF ∠为钝角，由22221945x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得x x ==.因为椭圆和圆都关于坐标轴对称，所以点P横坐标的取值范围是⎛ ⎝.9．（2021·全国）（1）已知1F ，2F 是椭圆22110064x y+=的两个焦点，P是椭圆上一点，求12PF PF ⋅的最大值；（2）已知()1,1A ，1F 是椭圆225945x y +=的左焦点，点P 是椭圆上的动点，求1PA PF +的最大值和最小值．【答案】（1）100；（2）1||||PA PF +的最大值为66【分析】（1）利用椭圆定义和基本不等式求12||||PF PF ⋅的最值；（2）求1||||PA PF +的最值时，利用椭圆的定义将其转化为求2||||PF PA -的最值，显然当P ，A ，2F 三点共线时取得最值．【详解】（1）∵10a =，1220||||PF PF =+≥，当且仅当12||||PF PF =时取等号，∴12||||100PF PF ⋅≤，当且仅当12||||PF PF =时取等号，∴12||||PF PF ⋅的最大值为100．（2）设2F 为椭圆的右焦点，225945x y +=可化为22195x y +=，由已知，得12||||26PF PF a +==，∴12||6||PF PF =-，∴()12||||6||||PA PF PF PA +=--．①当2||||PA PF >时，有220||||||PA PF AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最大，此时点P 是射线2AF 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最大值是6+②当2||||PA PF <时，有220||||||PF PA AF <-≤，等号成立时，1||||PA PF +最小，此时点P 是射线2F A 与椭圆的交点，1||||PA PF +的最小值是6综上，可知1||||PA PF +的最大值为6610．（2021·贵州高三月考（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，直线l经过椭圆C 的右焦点F 与上顶点，原点O 到直线l （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率不为0的直线n 过点F ，与椭圆C 交于M ，N 两点，若椭圆C 上一点P 满足MN = ，求直线n 的斜率.【答案】（1）2212x y +=；（2）±1.【分析】（1）由已知条件可得c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再结合222a b c =+，可求出,a b ，从而可求得椭圆方程，（2）设直线n 的方程为1x my =+，设点()()1122,,,M x y N x y ，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去x，利用根与系数的关系，结合MN =表示出点P 的坐标，再将其坐标代入椭圆方程中可求得直线n 的斜率【详解】（1）由题意可得椭圆C 的右焦点(c,0)F 与上顶点(0,)b ，所以直线l 为1x yc b+=，即0bx cy bc +-=，因为椭圆C，原点O 到直线0bx cy bc +-=，所以c a bc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222a b c =+，解得1b c ==，a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线n 的斜率不为0，所以可设直线n 的方程为1x my =+.设点()()1122,,,M x y N x y ，联立方程22220,1,x y x my ⎧+-=⎨=+⎩得()222210my my ++-=，则12122221,22m y y y y m m +=-=-++.因为MN =，所以))2121P x x y y ⎫--⎪⎪⎭， 将点P 的坐标代入椭圆方程得1212223x x y y +=-，即()()121221123my my y y +++=-，解得21m =， 故直线n 的斜率为±1.练真题1．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出 PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32bb c-≤-，即 22b c ≥时，22max 4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤当32b b c ->-，即22b c <时， 42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．2.（2018·全国高考真题（理））已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】因为为等腰三角形，，所以PF 2=F 1F 2=2c,由得，，1F 2F 22221(0)x y C a b a b+=>>：A C P A 12PF F △12120F F P ∠=︒C 2312131412PF F △12120F F P ∠=︒AP 222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=由正弦定理得,所以，故选D.3.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若，，则C 的方程为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆方程为，故选B ．法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B ．4.（2019·全国高考真题（文））设为椭圆的两个焦点，为上2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠22214,π54sin(3c a c e a c =∴==+121,01,0F F -()，()222AF F B =││││1AB BF =││││2212x y +=22132x y +=22143x y +=22154x y +=2F B n =212,3AF n BF AB n ===121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=1AF B △22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅12AF F △2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=n =22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴22132x y +=2F B n =212,3AF n BF AB n ===121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=12AF F △12BF F △2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩2121,AF F BF F ∠∠2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=2121cos cos AF F BF F ∠∠,223611n n +=n =22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴22132x y +=12F F ，22:+13620x y C =M C一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.【答案】【解析】由已知可得，．∴．设点的坐标为，则，又，解得，，解得（舍去），的坐标为．5．（2021·江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>（1）证明：a；（2）若点9,10M ⎛ ⎝在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥.①求直线l 的方程；②求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（20y -=；②2213x y +=.【分析】（1）由ba=可证得结论成立；（2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；②将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由OP OQ ⊥可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于2b 的等式，可求出2b 的值，即可得出椭圆C 的方程.【详解】12MF F △M (2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=11228MF F F c ∴===24MF =M ()()0000,0,0x y x y >>121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△12014,42MF F S y =⨯=∴=△0y =20136x ∴=03x =03x =-M \(（1）c e a =====b a ∴=a ；（2）①由（1）知，椭圆C 的方程为222213x y b b+=，即22233x y b +=，当9,10⎛ ⎝在椭圆C的内部时，22293310b ⎛⎛⎫+⋅< ⎪ ⎝⎭⎝，可得b >设点()11,P x y 、()22,Q x y，则121292102x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以，1212y y x x +=+由已知可得22211222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1212121230x x x x y y y y +-++-=，所以()12121212133y y x x x x y y -+⎛=-=-⨯= -+⎝，所以，直线l方程为910y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎭⎝，即y =所以，直线l0y -=；②联立)222331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->，由韦达定理可得1295x x +=，2129310b x x -=，又OP OQ ⊥ ，而()11,OP x y = ，()22,OQ x y =，))()12121212121211433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=--=-++()22293271566055b b --+-===，解得21b =合乎题意，故2233a b ==，因此，椭圆C 的方程为2213x y +=.6. （2020·天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-．【解析】（Ⅰ） 椭圆()222210x ya b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ） 直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx +=，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+.将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++，所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk kk k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =.所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.。
高中椭圆试题及答案
高中椭圆试题及答案一、选择题1. 椭圆的方程为\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
若椭圆上一点P(x, y)，则下列说法正确的是（）。
A. \(x^2 + y^2 = a^2 + b^2\)B. \(x^2 + y^2 = a^2\)C. \(x^2 + y^2 = b^2\)D. \(x^2 + y^2 = a^2 + b^2\) 仅当P为椭圆的顶点时成立答案：D解析：椭圆上任意一点P(x, y)满足椭圆方程\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，因此\(x^2 + y^2\)的值取决于P点的位置，只有在P为椭圆的顶点时，\(x^2 + y^2\)才等于\(a^2 + b^2\)。
2. 已知椭圆的焦点在x轴上，且椭圆的离心率为\(\frac{1}{2}\)，若椭圆的长半轴a=4，则椭圆的短半轴b为（）。
A. 2B. 3C. 4D. 6答案：B解析：椭圆的离心率e定义为\(e = \frac{c}{a}\)，其中c为焦距，a为长半轴。
已知\(e = \frac{1}{2}\)，a=4，可以求得c=2。
根据椭圆的性质，\(b^2 = a^2 - c^2\)，代入a和c的值，得到\(b^2 = 16 - 4 = 12\)，所以b=3。
二、填空题3. 椭圆的方程为\(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\)，求该椭圆的离心率。
答案：\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)解析：根据椭圆方程，可知a=4，b=3。
离心率e可以通过公式\(e = \frac{c}{a}\)计算，其中c为焦距，可以通过\(c^2 = a^2 - b^2\)求得。
代入a和b的值，得到\(c^2 = 16 - 9 = 7\)，所以c=\(\sqrt{7}\)，进而得到e=\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)。
高考数学试卷椭圆真题答案
1. 已知椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），若C关于x轴对称，则下列哪个选项是正确的？A. $a>b$B. $a<b$C. $a=b$D. 无法确定答案：A解析：由于椭圆C关于x轴对称，所以其方程中$x^2$的系数大于$y^2$的系数，即$a>b$。
2. 椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），若点P （x0，y0）在椭圆C上，则下列哪个选项是正确的？A. $x_0^2+y_0^2=a^2$B. $x_0^2+y_0^2=b^2$C. $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$D. $\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1$答案：C解析：点P在椭圆C上，所以满足椭圆的方程，即$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$。
3. 椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），若直线l的方程为$y=kx+b$，且l与椭圆C相切，则下列哪个选项是正确的？A. $k^2=\frac{a^2}{b^2}$B. $k^2=\frac{b^2}{a^2}$C. $k^2=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}$D. $k^2=\frac{a^2-b^2}{a^2b^2}$答案：A解析：由于直线l与椭圆C相切，所以它们只有一个交点，即判别式$\Delta=0$。
根据直线与椭圆的位置关系，可得$\Delta=\frac{b^2k^2-a^2b^2}{a^2}=0$，解得$k^2=\frac{a^2}{b^2}$。
4. 椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），若椭圆C的离心率e满足$e^2=\frac{c^2}{a^2}$，则下列哪个选项是正确的？A. $e^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}$B. $e^2=\frac{a^2+b^2}{a^2}$C. $e^2=\frac{b^2}{a^2}$D. $e^2=\frac{a^2}{b^2}$答案：A解析：椭圆的离心率e定义为$\frac{c}{a}$，其中c是焦点到中心的距离。
五种椭圆解题方法高考数学一轮复习(新高考专用解析版)
五种椭圆解题方法题型一：利用椭圆定义解决三角形周长或边长问题一、单选题1．（2022·湖北·模拟预测）椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>有一特殊性质，从一个焦点射出的光线到达椭圆上的一点P 反射后，经过另一个焦点.已知椭圆的焦距为2，且124PF PF +=，当121sin 2F PF ∠=时，椭圆的中心O 到与椭圆切于点P 的切线的距离为：（ ）A ．1 BC D 【答案】C【分析】设过P 点的切线为l ，分别做121、、⊥⊥⊥F M l F N O O l l 于1、、M N O 点，做PH l ⊥交x 轴于H 点，设1α∠=MF P ，入射角和反射角相等得122α∠∠=∠==F P F PH HP F N ， 利用中位线可得1=OO cos a α，再根据121sin 2F PF ∠=，可得答案， 【详解】设过P 点的切线为l ，分别做121、、⊥⊥⊥F M l F N O O l l 于1、、M N O 点， 做PH l ⊥交x 轴于H 点，所得1OO 是12、F M F N 的中位线，设1α∠=MF P ，入射角和反射角相等，则122α∠∠=∠==F P F PH HP F N ， 则12121cos cos 22αα++==F M F N F P F P OO 12cos cos 2αα+==F P F Pa ， 因为2,1a c ==，当P 为上顶点时，12F PF ∠为60， 因为，121sin 2F PF ∠=，所以1230F PF ∠=， 即230α，15α=，()6cos cos15cos 45302α==-=⨯=a a a 故选：C.2．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知点P 为椭圆C ：22195x y +=上一点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，若122PF PF =，则12PF F △的内切圆半径为（ ）A 15B 15C 215D 15【答案】B【分析】首先求1PF 和2PF 的值，再求12PF F △的面积，再利用三角形内切圆的半径表示面积，即可求解.【详解】因为1226PF PF a +==，且122PF PF =，所以14PF =，22PF =，2954c =-=，1224F F c ==，则等腰三角形12PFF △底边上的高224115h - 所以121215152PF F S=⨯=设12PF F △的内切圆半径为r ，则()121211101522PF PF F F r r ++⨯=⨯⨯= 所以15r =故选：B 二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点.223AF BF =，146AB BF ==，若1ABF 的周长为20，则经过点5319()的直线（ ） A ．与椭圆C 可能相交 B ．与椭圆C 可能相切 C ．与椭圆C 可能相离 D ．与椭圆C 不可能相切【答案】AB【分析】利用给定条件，结合椭圆定义求出椭圆方程，再判断点与椭圆的位置关系作答.【详解】由椭圆的定义知122BF BF a +=，122AF AF a +=，设2BF m =，则2233AF BF m ==，则12BF a m =-，123AF a m =-，而1AB BF =，即有42m a m =-，解得52a m =， 又1ABF 的周长为20，则有11||||||420AB AF BF a ++==，解得5a =，2m =，因为1AB BF ==，即83=，解得c 22219b a c =-=，椭圆C 的方程为2212519x y +=，显然222212519+=，即点在椭圆上，所以经过点的直线与椭圆C 相交或相切. 故选：AB4．（2022·湖北·模拟预测）已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点1F ，2F 在y 轴上，短轴长等于1F 作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．椭圆C 的方程为22132y x +=B ．椭圆C 的方程为22132x y +=C ．PQ =D ．2PF Q △的周长为【答案】AC【分析】解方程组求出,a b 即可选项AB 的真假，再利用通径公式判断选项C 的真假，再利用椭圆的定义判断选项D 的真假.【详解】解：由题意得：2b =b =222113b e a =-=，故23a =，因为焦点1F ，2F 在y 轴上，所以椭圆C 的方程为22132y x+=，所以选项A 正确，选项B 错误；由通径长可得，22b PQ a ==，所以选项C 正确；2PF Q △的周长为4a =，所以选项D 错误.故选：AC ．5．（2022·山东菏泽·二模）已知椭圆22:12+=xE y的左右焦点分别为1F，2F，直线(x m m=<<与椭圆E交于A，B两点，C，D分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（）A．若直线CA的斜率为1k，BD的斜率2k，则1212k k=-B．存在唯一的实数m使得12AF F△为等腰直角三角形C．12AF AF⋅取值范围为()1,1-D．1ABF周长的最大值为【答案】BD【分析】A选项，求出A，B两点坐标，表达出1212k k=；B选项，验证出1F，2F是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，当A是直角顶点时满足题意，得出结论；C选项，设出A m⎛⎝，求出(]2120,12mAF AF⋅=∈；D选项，作出辅助线，利用椭圆定义得到直线(x m m=<经过焦点2F时，此时1ABF的周长最大.【详解】将x m=代入椭圆方程，求出y=()),C D，则212212122mk km⎛⎛⎫--⎪⎝⎭===-，A错误；由题意得：()()121,0,1,0F F-，当1m=±时，y=121AF F F=≠，所以当1F，2F是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，当点A是直角顶点时，由对称性可知：此时A在上顶点或下顶点，由于1b c==，故满足题意，所以存在唯一的实数m使得12AF F△为等腰直角三角形，B正确；不妨设A m⎛⎝，则222121122m mAF AF m⋅=-+-=，因为m(]2120,12mAF AF⋅=∈，C错误；如图，当直线(x m m=<<经过焦点2F时，此时1ABF的周长最大，等于1212442AF AF BF BF a +++==4a 小，例如当直线(22x m m =-<与椭圆相交于,A B ''，与x 轴交于C 点时， 连接2A F '，由椭圆定义可知：122A F A F a ''+=，显然2A F A C '>'， 同理可知：1212442A F A F B F B F a +++<''='' 故1ABF 周长的最大值为2D 正确 故选：BD6．（2022·山东德州·高三期末）已知椭圆()2221024x y b b+=<<的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若22AF BF +的最大值为5，则下列说法正确的是（ ）A 3B ．当22AF BF +最大时，22AF BF =C ．椭圆离心率为12 D ．2ABF 面积最大值为3【答案】BC【分析】根据椭圆的定义得到2222||488||AF BF AB a AF BF AB ++==⇒+=-，进而判断当AB x ⊥轴时，||AB 最小，此时8||AB -最大，进而求出b ,c ,即可判断A,B,C.设出直线AB 并代入椭圆方程并化简，进而根据根与系数的关系求出三角形的面积，然后求出其最大值，最后判断D.【详解】由题意：2a =，根据椭圆的定义可知，2222||488||AF BF AB a AF BF AB ++==⇒+=-，则8||AB -的最大值为5，根据椭圆的性质可知：当AB x ⊥轴时，||AB 最小，此时8||AB -最大，如图：将x c =-代入椭圆方程得：2222142c y by b+=⇒=±，则2||33,1AB b b c ==⇒==.所以短轴长为23A 错误；此时22AF BF =，B 正确；12c e a ==，C 正确； 对D ，设()()1122,,,A x y B x y ，:1AB l x ty =-，代入椭圆方程得：()2222133911043424ty y t y ty -⎛⎫+=⇒+--= ⎪⎝⎭，则1221223231494314t y y t y y t ⎧⎪+=⎪⎪+⎪⎨⎪-⎪=⎪+⎪⎩， 所以()22212121222239312||4333111444t t y y y y y y t t t ⎛⎫⎪+-+-+=⎪ ⎪+++⎝⎭21231211,||311344u u t y y u u u=+≥-==++，于是21212111212||||2112233ABF F F y y u uSu u =⨯⨯-=⨯⨯=++，由对勾函数的图象和性质可知：函数13y u u=+在[1,)+∞上是增函数，则函数1213y u u=+在[1,)+∞上是减函数.于是，当u =1，即t =0时，2ABF 面积最大值为3.故D 错误. 故选：BC.【点睛】本题答案D 的判断较为复杂，在求三角形面积时，注意要选线段12F F 作为底边将原三角形分为两个三角形，进而得到212121||||2ABF F F y Sy =⨯⨯-；在处理122||14y y t -=+. 三、填空题7．（2022·广东佛山·三模）已知椭圆22:12516x y C +=，1F 、2F 为C 的左、右焦点，P 是椭圆上的动点，则12F PF △内切圆半径的最大值为________．【答案】32【分析】根据椭圆定义可得12121222F PF L PF PF F F a c =++=+△，结合内切圆半径12122F PF F PF S r L △△=，显然当P 为短轴顶点时12F PF S最大，即12F PF △内切圆半径的最大，此时12122F PF S b c bc =⨯⨯=△，代入求解．【详解】∵22:12516x y C +=，则5,4,3a b c ===∴12F PF △的周长1212122216F PF L PF PF F F a c =++=+=△∵12F PF △内切圆半径12122F PF F PF S r L △△=，则12F PF △内切圆半径的最大即为12F PF S最大显然当P 为短轴顶点时12F PF S 最大，此时1212122F PF S b c bc =⨯⨯==△则1212232F PF F PF S r L =△△=故答案为：32．8．（2022·陕西·长安一中三模（理））已知椭圆C :22143x y +=的焦点为1F ，2F ，第一象限点P 在C 上，且1294PF PF ⋅=，则12PF F △的内切圆半径为_________. 【答案】12【分析】由题意列方程组解出P 点坐标，由面积与周长关系求内切圆半径【详解】由已知条件得24a =，23b =，2221c a b =-=，则1F （－1，0），2F （1，0）. 设点P 的坐标为（p x ，p y ），则()11p p PF x y =---，()2,1p p PF x y =--2212914p p PF PF x y ⋅=+-=，即22134p p x y +=①，∵第一象限点P 在C 上，∴则22143p px y +=，即22443PPy x =-②， 联立解得32p y =由椭圆的定义得1224PF PF a +== 设12PF F △的内切圆半径为r ，则()121212132PF F S r PF PF F F r =++= 又∵1213222pF F p S c y ∆=⋅⋅=， ∴332r =，即12r =.故答案为：12 四、解答题9．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，1F ，2F 为其左、右焦点，左、右顶点分别为A ，B ，过1F 且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于M ，N 两点（异于A ，B 两点），且2MNF 的周长为8． (1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆上一点，O 为坐标原点，OP MN ⊥，求MNOP的取值范围．【答案】(1)22143x y +=；(2)32⎛ ⎝⎭. 【分析】（1）根据离心率以及焦点三角形的边长几何特征，联立方程求,,a b c ，进而求出椭圆的标准方程；（2）设出直线l 的方程，利用弦长公式求出MN ，再利用两直线垂直斜率乘积为1-，得出直线OP ，求出OP ，进而得到MNOP的函数表达式，求其取值范围即可. (1)依题意知12e =，即2a c ＝，又2MNF 的周长为8，即2,1a c ＝＝，b ∴= 因此椭圆的方程为22143x y +=．(2)当0k =时，点,M N 为点,A B ，不符合题意，舍去； 设直线l 的方程为()1y k x =+，且0k ≠，()()1122,,,M x y N x y ，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得()22223484120k x k x k +++-=，则2122834k x x k +=-+，212241234k x x k -=+，所以()212212134k MN x k +=-=+． 设直线OP 的方程为1=-y x k，联立221431x y y xk ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不妨设P ⎛⎝，所以OP = 故MN OP =243t k =+，()3,t ∈+∞，则MN OP=令()27103f m m m =++，110,3m t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，()f m 开口向上，对称轴10357,m ⎛⎫⎪⎝-∉⎭=()f m ∴在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()643,9f m ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭∴32MN OP⎛=⎝⎭． 【点睛】关键点睛：（1）焦点三角形的周长为()2a c +，本题三角形周长可转化成除去2c 边的两个焦点三角形的其余边长之和； （2）设出直线l 的方程时应注意0k ≠； （3）韦达定理与弦长公式要熟练掌握；（4）两直线垂直斜率乘积为1-，几何关系应牢记；（5）表示出MNOP后，换元法求函数值域是常用方法，应注意新元的取值范围； 10．（2022·福建南平·三模）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，焦距为4.过右焦点2F 且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，已知1△MNF的周长为M 关于x 轴的对称点为P ，直线PN 交x 轴于点Q . (1)求椭圆C 的方程；(2)求四边形1MF NQ 面积的最大值.【答案】(1)2215x y +=；【分析】（1）由1△MNF 的周长求出a ，再由焦距求得c ，进而求出b ，即得椭圆C 的方程；（2）设出直线l 的方程联立椭圆方程求得1212,y y y y +，表示出直线PN 的方程求出5,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭，由112112MF NQ S y y FQ =-表示出面积，结合基本不等式求最大值即可. (1)1△MNF的周长为4a =a =又焦距24c =，得2c =，则1b ，所以椭圆C 的方程为2215x y +=；(2)设直线l 的方程为2(0)x my m =+≠，联立22215x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()225410m y my ++-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122241,55m y y y y m m +=-=-++，点11(,)P x y -，直线PN 的方程为211121()y y y y x x x x ++=--， 令0y =得()()21122112122121212222y my y my y x y x my y x y y y y y y ++++===++++2212552425m m m m -⋅+=+=+，即5,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭，又()12,0F -，112112MF NQ S yy FQ=-9144==≤=m =1MF NQ 面积的最大值为958. 11．（2022·天津三中二模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，其离心率12e =，过左焦点1F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且2ABF 的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图过原点的直线1l 与椭圆C 交于E ，F 两点（点E 在第一象限），过点E 作x 轴的垂线，垂足为点G ，设直线FG 与椭圆的另一个交点为H ，连接HE 得到直线2l ，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，记OFG △、OMN 的面积分别为1S ，2S ，求21S S 的最小值. 【答案】(1)22143x y +=；(2)4.【分析】（1）利用椭圆的定义可得2a =，结合条件即得；（2）设直线EF 的方程为()0y kx k =>，()11,E x y ，()11,F x y --，()22,H x y ，利用点差法可得2221222134y y x x -=--，进而可得直线HE 的方程可设为()1132y x x y k=--+，然后表示出1S ，2S ，再利用基本不等式即得.(1)由题知椭圆的离心率122c e ==，且2ABF 的周长为8， 所以2a =，1c =, 所以2223b a c =-=，故椭圆的标准方程为22143x y +=；(2)令直线EF 的方程为()0y kx k =>，()11,E x y ，()11,F x y --，()22,H x y ，由EG x ⊥轴，则()1,0G x ， ∴2121HEy y k x x -=-，2121HF y y k x x +=+，则22212221HF HE y y k k x x -⋅=-，由将点E ，H 代入椭圆的方程可得：22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差可得：2221222134y y x x -=--，所以34HF HE k k ⋅=-，由11122HF GF y k k k x ===， 所以3342HE HF k k k=-=-， 所以直线HE 的方程可设为()1132y x x y k=--+， 令0x =时，11113322N y x y x kx k k=+=+， 令0y =时，211122133M kk x x y x ⎛⎫=+=+⋅ ⎪⎝⎭， 则MON △的面积为221112312232MONk S OM ON k x k ⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△， OFG △的面积为211122OFG G F S x y kx ==△， 则()22222222132191941224124666MON OFG k S Sk k S S k k k +⎛⎫⎛⎫===++≥⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△，当且仅当62k =时取等号， 所以21S S 的最小值为4. 12．（2020·河南濮阳·一模（理））如图，已知椭圆E 的右焦点为21,0F ，P ，Q 为椭圆上的两个动点，2PQF 周长的最大值为8.（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）直线l 经过2F ，交椭圆E 于点A ，B ，直线m 与直线l 的倾斜角互补，且交椭圆E于点M ，N ，24MN AB =，求证：直线m 与直线l 的交点T 在定直线上.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）由椭圆的定义可得，2PQF 周长取最大值时，线段PQ 过点1F ，可求出a ，从而求出椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设直线()():10l y k x k =-≠，直线():m y k x t =-+，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，()44,N x y .把直线m 与直线l 的方程分别代入椭圆E 的方程，利用韦达定理和弦长公式求出2MN 和AB ，根据24MN AB =求出t 的值.最后直线m 与直线l 的方程联立，求两直线的交点即得结论.【详解】（Ⅰ）设2PQF 的周长为L ，则()221111224L PF QF PQ a PF a QF PQ a PF QF PQ =++=-+-+=-++44a PQ PQ a ≤-+=，当且仅当线段PQ 过点1F 时“=”成立.48a ∴=，2a ∴=，又1c =，b ∴=∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=.（Ⅱ）若直线l 的斜率不存在，则直线m 的斜率也不存在，这与直线m 与直线l 相交于点T 矛盾，所以直线l 的斜率存在.设()():10l y k x k =-≠，():m y k x t =-+，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，()44,N x y .将直线m 的方程代入椭圆方程得：()()22222348430k x k tx k t +++-=.2342834k tx x k ∴+=-+，()223424334k t x x k -⋅=+, ()()()2222222161239134k k t MN k k -+∴=+⋅+.同理，()2212134k AB k+==+. 由24MN AB =得0=t ，此时()()4222264163430k t k k t ∆=-+->.∴直线:m y kx =-，联立直线m 与直线l 的方程得11,22T k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即点T 在定直线12x =. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题. 题型二：待定系数法求椭圆方程一、单选题 1．（2022·河北唐山·三模）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的面积为，两个焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 的上项点．直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，若,PA PB 的斜率之积为89-，则椭圆C 的长轴长为（ ）A ．3B ．6C ．D ．【答案】B【分析】由题意得到方程组ab =和2289b a =②，即可解出a 、b ，求出长轴长.【详解】椭圆的面积S ab π==，即ab =. 因为点P 为椭圆C 的上项点，所以()0,P b .因为直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，不妨设(),A m n ，则(),B m n --且22221m n a b +=，所以22222a n m a b=-.因为,PA PB 的斜率之积为89-，所以89n b n b m m---⋅=--，把22222a n m a b=-代入整理化简得：2289b a =②①②联立解得：3,a b ==所以椭圆C 的长轴长为2a =6. 故选：B2．（2022·全国·模拟预测）已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点()1,0F -的直线与椭圆交于不同的两点A ，B ，与y 轴交于点C ，点C ，F 是线段AB 的三等分点，则该椭圆的标准方程是（ ）A ．22165x y +=B ．22154x y +=C ．22132x y +=D ．22143x y +=【答案】B【分析】不妨设A 在第一象限，由椭圆的左焦点()1,0F -，点C ，F 是线段AB 的三等分点，易得21,b A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,2b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入椭圆方程可得222414b a a +=，又2221c a b =-=，两式相结合即可求解 【详解】不妨设A 在第一象限，由椭圆的左焦点()1,0F -，点C ，F 是线段AB 的三等分点，则C 为1AF 的中点，1F 为BC 中点，所以1A x =，所以22211A y a b +=，则2A b y a=即21,b A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以220,2b C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,2b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，将点坐标代入椭圆方程得4222441b a a b +=，即222414b a a +=，又221a b -=，所以25a =，24b =，所以椭圆的标准方程是22154x y +=.故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，点()6,5-在双曲线C 上，椭圆E 的焦点与双曲线C 的焦点相同，斜率为12的直线与椭圆E 交于A 、B 两点．若线段AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D【分析】由离心率和点()5-求出双曲线的方程，进而求出焦点，设出椭圆的方程及,A B 的坐标，由点差法得到2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，结合中点坐标及斜率求得222a b =，再利用焦点坐标，即可求解.【详解】设双曲线方程为22221(0,0)x y m n m n -=>>，则223224251m n =⎨⎪-=⎪⎩，解得2245m n ⎧=⎨=⎩，故双曲线方程为22145x y -=，焦点为()3,0±；设椭圆方程为22221x y a b+=，则椭圆焦点为焦点为()3,0±，故22a b 9-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=， 两式相减得22221212220x x y y a b --+=，整理得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，即221121b a =-⋅-，解得222a b =，故2218,9a b ==，椭圆方程为221189x y +=. 故选：D. 二、多选题4．（2022·全国·模拟预测）已知直线x ＝my －1经过椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点F ，且与C 交于不同的两点A ，B ，椭圆C 的离心率为12，则下列结论正确的有（ ） A ．椭圆CB ．弦AB 的最小值为3C ．存在实数m ，使得以AB 为直径的圆恰好过点()1,0D ．若3AF AB =，则m = 【答案】BCD【分析】由于直线x ＝my －1经过定点()1,0-，则由题意得1c =，再由离心率为12可求出a ，从而可求出b ，则可求出椭圆方程，然后结合椭圆的性质逐个分析判断即可 【详解】依题意可知，直线x ＝my －1经过定点()1,0-，所以1c =．又椭圆C 的离心率为12c a =，所以a ＝2，则b =所以椭圆C的短轴长为2b =所以A 选项不正确；当m ＝0时，弦AB 即为椭圆的一条通径，且223b AB a==，所以B 选项正确； 椭圆C 的长轴长为2a ＝4，所以[)3,4AB ∈，当AB 最短时，此时点()1,0在以AB 为直径的圆外，当AB 趋近于4时，点()1,0在以AB 为直径的圆内，因此，存在实数m ，使得以AB 为直径的圆恰好过点()1,0，所以C 选项正确；由3AF AB =，得2AF FB =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y =-，联立221,1,43x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2234690m y my +--=，0∆>恒成立，则122634m y y m +=+，122934y y m -=+． 因为122y y =-，所以122126,3492,34m y m y m ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪-=⎪+⎩解得255m =±，所以D 选项正确．故选：BCD ．5．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1､F 2，长轴长为22，焦距为2c ，点P 在椭圆C 上且满足|OP |=|OF 1|=|OF 2|=c ，直线PF 2与椭圆C 交于另一个点Q ，若124cos 5FQF ∠=，点M 在圆228:9G x y +=上，则下列说法正确的是（ ）A ．椭圆C 的焦距为2B ．三角形MF 1F 2面积的最大值为223C ．2212||||4PF PF +=D ．圆G 在椭圆C 的内部【答案】ABCD【分析】先根据已知条件，解出椭圆C 的标准方程，再逐个验证各个选项即可. 【详解】△12F PF 中，原点O 为边12F F 中点，|OP |=|OF 1|=|OF 2|，则122F PF π∠=，设2PF m =，2QF n =，则122PF m =，122QF n =△1F PQ 中，12F PQ π∠=,14cos 5FQP ∠= 则有4522223522m n n m n +⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解之得223m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故△12F PF 为等腰直角三角形：22PF =，12PF =，122F PF π∠=故222212(2)224F F c ==+=，则1c = 又222a =，故1b =.椭圆C 的方程为2212x y +=选项A ：椭圆C 的焦距为是2，正确； 选项B ：圆228:9G x y +=的半径为223r = △MF 1F 2面积的最大值为1212222233F F ⨯⨯=，正确； 选项C ：222212||||224PF PF +=+=，正确； 选项D ：圆G 圆心在原点，半径2213r b =<=，故圆G 在椭圆C 的内部，正确. 故选：ABCD6．（2021·重庆·高三阶段练习）某文物考察队在挖掘时，挖出了一件宋代小文物，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面（如图）由半椭圆1C ：22221(0)x yx a b+=≥与半椭圆2C ：22221(0)x y x c d +=<组成，其中222a b c =+，0a b c >>>，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是轴截面与x ，y 轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，其以曲线224x y +=为边界，1F ，2F 在宝珠珠面上，若10260F F F ︒∠=，则以下命题中正确的是（ ）A ．椭圆1CB ．椭圆1C 上的点到点0F的距离的最小值为C ．椭圆2C 的焦距为4D ．椭圆2C 的长短轴之比大于椭圆1C 的长短轴之比 【答案】BC【分析】据题意可知d b =，102F F F 为正三角形，结合曲线224x y +=可求出1C 、2C 的方程，然后逐项验证即可.【详解】1F ，2F 是半椭圆2C ：22221(0)x y x c d+=<的焦点，1F ∴，2F 关于原点对称，且2001F F F F =,又10260F F F ︒∠=，102F F F ∴为正三角形，10OF ,1F ，2F 在224x y +=上, 12OF ∴=,01OF ∴==又半椭圆1C ：22221(0)x yx a b+=≥的短轴与半椭圆2C ：22221(0)x y x c d +=<的长轴相等，即d b =，对于半椭圆1C ：22221(0)x y x a b+=≥，(22220=12b OF a ==-，对于半椭圆2C ：22221(0)x y x c d+=<，22214O d c F =-=，2222124d b a b d c =⎧⎪∴-=⎨⎪-=⎩，2222124d ba b b c =⎧⎪∴-=⎨⎪-=⎩，2216a c =∴-，2216d b ==∴，212c ∴=，228a =， ∴半椭圆1C 的方程为：221(0)2816x yx +=≥，半椭圆2C 的方程为：221(0)1216x y x +=< 对于A 选项：椭圆1C的离心率为：e =，故A 选项不正确； 对于B 选项：椭圆1C 上的点到0F距离为的最小值为：B 选项正确； 对于C 选项：椭圆2C 的焦距为124F F =，故C 选项正确； 对于D 选项：椭圆1C的长短轴之比为22a b ==2C的长短轴之比为22d c ，22234771.3 1.753324⎛⎫⎛⎫=≈<== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，< ∴椭圆2C 的长短轴之比小于椭圆1C 的长短轴之比，故D 选项错误；故选：BC 三、解答题7．（2022·天津和平·三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>且椭圆过点2P ⎛ ⎝⎭． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线交直线l 于点P ，交直线2x =-于点Q ，求PQMN的最小值．【答案】(1)2212x y +=(2)2【分析】（1）待定系数法求解椭圆方程；（2）考虑直线l 的斜率不存在和直线l 的斜率存在两种情况，当直线斜率不存在时，求出PQ MN，当直线斜率存在时，设出直线方程，联立后利用弦长公式求出MN ，再表达出直线PQ 的方程，表达出PQ ，用基本不等式求解最小值，与2比较大小，求出最小值. (1)由题意得：2222221112c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2221a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为2212x y +=(2)由（1）知：()1,0F ，当直线l 的斜率不存在时，()1,0P ，()2,0Q -，,1,M N ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭， 此时PQ MN== 当直线l 的斜率存在时，故可设直线为()1y k x =-，联立椭圆方程得：()2222214220k x k x k +-+-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则22121222422,2121k k x x x x k k -+==++，其中2880k ∆=+> 所以MN = 其中()121222221ky y k x x k k -+=+-=+， 所以2222,2121k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为直线PQ 为线段MN 的垂直平分线，所以直线PQ ：222122121kk y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 令2x =-得：()225221k y k k +=+，所以PQ == 故22PQ MN===因为22231k +=+≥所以22PQ MN=≥=，=，即21,1k k ==±时等号成立，所以2PQ MN≥，2>，所以PQ MN 的最小值为2. 【点睛】圆锥曲线求解取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，表达出线段长或面积等，最后用基本不等式或配方，求导等求解最值或取值范围.8．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））已知椭圆()2222:10xy C a b a b+=>>的焦距为且过点⎭．(1)求椭圆C的方程；(2)设,A B分别为椭圆C的右顶点和上顶点，点P是椭圆C上在第一象限的任意一点，直线AP与y轴交于点M，直线BP与x轴交于点N，PBM与PAN△的面积分别为12,S S，求12S S+的取值范围．【答案】(1)2214xy+=(2)[)2,+∞【解析】（1）根据题意，利用待定系数法即可求出结果；（2）设()()0000,0,0,P x y x y>>，利用点斜式求出直线AM和BN的方程，求出,M N的坐标，根据题意求出001020002111=22221y xS x S yx y⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,，由此可知()00120000221221y xS S x yx y⎛⎫⎛⎫+=-+-⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，再根据P在椭圆C上，可知220044x y+=，由此可得()()00001200000041222x y x yS S x yy x x y⎛⎫⎛⎫-+=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用基本不等式即可求出()122S S+的最小值，进而求出12S S+的范围.(2)解：设椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的焦距为2c=由题意可知:222222112ca b ca b⎧⎪=⎪-=⎨⎪⎪+=⎩，解得224=1ab⎧=⎪⎨⎪⎩，所以2214xy+=；(2)设()()0000,0,0,P x y x y>>，由题意可知()()2,0,0,1A B，所以直线AM方程为()22yy xx=--，直线BN方程为011yy xx-=+；令0x=代入直线AM方程，可得020,2yMx-⎛⎫⎪⎝⎭，令0y=代入直线MN方程，可得0,01xNy-⎛⎫⎪⎝⎭，所以001020002111=22221y xS x S yx y⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,所以()00120000221221y x S S x y x y ⎛⎫⎛⎫+=-+-⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭又220044x y +=，所以00002222y x x y +=-，00002222x x y y +-= ()22000012000024222x x y y S S x y y x +++=-+-222200000000002444242x x y y y x x y y x ++++=-+-()0000000042422x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()00000000004122x y x y x y y x x y ⎛⎫⎛⎫-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又220000444x y x y +=≥，所以001x y ≤，当且仅当002x y ==.所以()()00000012000000004142224x y x y x y S S x y y x x y y x ⎛⎫⎛⎫-+=+++≥+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当002x y ==时等号成立.所以122S S +≥，即12S S +的取值范围[)2,+∞.【点睛】关键点点睛：本题第二问解答关键是对220044x y +=变形成00002222y x x y +=-和00002222x x y y +-=，然后再对()122S S +化简整理，利用基本不等式求解，这是解决本题的关键点和突破点.9．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））已知()()121,0,1,0F F -是椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，P 是Γ的上顶点.1F 到直线2PF. (1)求Γ的方程；(2)设直线:2l x =与x 轴的交点为M ，过M 的两条直线12,l l 都不垂直于y 轴，1l 与Γ交于点2,,A B l 与Γ交于点,C D ，直线,AC BD 与l 分别交于,E G 两点，求证：ME MG =.【答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据题意利用点到直线的距离公式求得b ，继而求得a ，可得答案. （2）设直线方程，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，利用点共线表示出点,E G 的纵坐标，二者相加，进行化简，可证明结论. (1)由题意知，1c = ，P 是2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>的上顶点，∴点P 的坐标为()0,b .点2F 的坐标为()1,0,∴直线2PF 的方程为11x yb+=，即0bx y b +-=，()11,0F -到直线2PF=1,b a ∴=∴=所以Γ的方程为2212x y +=.(2)证明：直线l 与x 轴的交点为()2,0M ，设()()()()()()11223344,,,,,,,,2,,2,A x y B x y C x y D x y E s G t ， 设直线11221212:2,:2,,0l x k y l x k y k k k k =+=+≠≠， 则1112123234242,2,2,2x k y x k y x k y x k y =+=+=+=+，联立直线1l 和曲线Γ的方程，得方程组122222x k y x y =+⎧⎨+=⎩ ， 消去x 得()22112420,k y k y +++=则11212221142,22k y y y y k k +=-=++. 同理23434222242,22k y y y y k k +=-=++. ,,A C E 三点共线，()()()()1331,22EA EC x y s x y s ∴--=--∥，得()()133113132x y x y y y s x x -+-=-，()()()()()13311213113213131123112322.22x y x y k k y y k y y k y y s x x k y k y k y k y -----===-----同理()12241224k k y y t k y k y -=-.()()()121312241324121123122411231224k k y y k k y y y y y y s t k k k y k y k y k y k y k y k y k y --⎛⎫+=+=-+ ⎪----⎝⎭()()()()()1312242411231211231224y y k y k y y y k y k y k k k y k y k y k y -+-=---()()()()()12112342341211231224k k k y y y y k y y y y k y k y k y k y -⎡⎤=+-+⎣⎦-- ()()()1221122222112312241221442202222k k k k k k k y k y k y k y k k k k ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪--++++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ME MG ∴=.【点睛】本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系，解决问题的思路要通畅，及联立直线和椭圆方程，求得点的坐标，通过两点的纵坐标之和为0，证明线段相等，解答的关键是关于关于所设字母的运算十分繁杂，要十分细心.10．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为A ，B ，坐标原点O 与A 点关于直线l ：2x =-对称，l 与椭圆第二象限的交点为C ，且1AC OC ⋅=-.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过A ，O 两点的圆Q 与l 交于M ，N 两点，直线BM ，BN 分别交椭圆C 于异于B 的E ，F 两点.求证：直线EF 恒过定点.【答案】(1)221164x y +=(2)20,013⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）先求出4a =，设()2,C n -，利用向量数量积求出n =(C -代入椭圆中，求出24b =，得到椭圆方程；（2）先根据OM ON ⊥得到19BM BN k k ⋅=-，进而设出直线方程()4x my t t =+≠，联立后得到两根之和，两根之积，利用1212,44BE BM BF BN y y k k k k x x ====--及19BM BN k k ⋅=-求出2013t =-，得到定点坐标. (1)点O 与A 关于直线2x =-对称， 可知()4,0A -，故点()4,0B ，4a =， 由题意可设()2,C n -，0n >，于是()()22,2,41AC OC n n n ⋅=⋅-=-=-，解得：n =将(C -代入椭圆方程中，243116b+=，解得：24b =， 所以椭圆方程为221164x y +=(2)证明：()4,0A -，()4,0B ，直线l ：2x =-，由题意得：圆心在直线l ：2x =-上，设()()2,,2,M N M y N y --， 且OM ON ⊥，所以40M N OM ON y y ⋅=+=，故4M N y y =-， 则12424369N M N M BM BN y y y y k k ⋅=⋅==-----，设直线EF ：()4x my t t =+≠，()()1122,,,E x y F x y ，由221164x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：()22242160m y mty t +++-=， 则2121222216,44mt t y y y y m m --+==++， ()12122824t x x m y y t m +=++=+，()()22121224164t m x x my t my t m -=++=+，所以1212,44BE BM BF BN y y k k k k x x ====--， 则()212122221212121644416164321664y y y y t x x x x x x m t t m -⋅==---++-+-++ 22161432649t t t -==--+， 即21332800t t --=，解得：4t =（舍去）或2013t =-， 所以直线EF 为：2013x my =-，恒过定点20,013⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题，设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件得到方程，求出定值. 题型三：直接法解决离心率问题 一、单选题1．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知12,F F 是椭圆221(1)1x y m m m +=>-的左､右焦点，点A 是椭圆上的一个动点，若12AF F △）A1 B ．12CD1【答案】B【分析】依题意可得2a ，2b ，2c ，设12AF F △内切圆的半径为r，根据等面积法得到|A r y ，即可得到r 的最大值，从而求出m ，即可求出椭圆的离心率；【详解】解：由椭圆221(1)1x y m m m +=>-，可得2a m =，21b m =-，2221c a b ∴=-=，则1c =， 如图，设12AF F △内切圆的半径为r ，1212121211||||(||||||)22AF F A SF F y AF AF F F r =⋅=++⋅， 2||(22)A c y a c r ∴⋅=+⋅，则|1A m r y +，要使12AF F △内切圆半径最大，则需||A y 最大，||1A y b m =-又12AF F △3311m m -=+4m =，所以2a =．则椭圆的离心率12c e a == 故选：B ．2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器内装有体积为2π的液体，当容器倾斜且其中液体体积不变时，液面与容器壁的截口曲线是椭圆，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛⎝⎦D ．2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C【分析】先判断出临界情况下，椭圆2a AB =，22b r =，即可求出椭圆离心率的取值范围.【详解】当液面倾斜至如图所示位置时，设AC x =，3MA x =-.因为圆柱底面积为π，故液体体积为()1322x x πππ-+=，解得2x =，即1MA =， 2AC BC ==，故22AB =，所以2a AB ≤，22b r =，即2,1a b ≤=，所以离心率221c b e a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即椭圆离心率的取值范围是2⎛ ⎝⎦.故选：C 二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，若方程340mx y m ++-=所表示的直线恒过定点M ，点Q 在以点M 为圆心，C 的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ） A ．椭圆C 的离心率为12 B ．12PF PF ⋅的最大值为4 C ．12PF F △的面积可能为2 D ．2PQ PF -的最小值为256【答案】ABD【分析】A ：根据椭圆方程可直接求得2a =，3b =1c =，和离心率ce a=；B ：由椭圆的定义可得124PF PF +=，结合不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭代入运算；C ：点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大，计算判断；D ：利用椭圆定义和圆的性质转化处理．【详解】对于选项A ，由椭圆C 的方程知2a =，3b =1c =，所以离心率12c e a ==，故选项A 正确；对于选项B ，由椭圆的定义可得124PF PF +=，所以2121242PF PF PF PF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，即12PF PF ⋅的最大值为4，故选项B 正确；对于选项C ，当点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大值123322⨯⨯=<，故选项C 错误； 对于选项D ，易知()3,4M -，则圆()()22:344M x y ++-=，所以()21114424256PQ PF PQ PF QF MF -=--≥-≥--=-，故选项D 正确，故选：ABD ． 三、填空题4．（2022·浙江温州·三模）如图，椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>和2222222:1x y C a b +=在相同的焦点1F ，2F ，离心率分别为12,e e ，B 为椭圆1C 的上顶点，21F P F B ⊥，且垂足P 在椭圆2C 上，则12e e 的最大值是___________.【答案】122【分析】首先分别表示出12,e e ，设12PF F θ∠=，将12ee 表示成关于θ的三角函数，然后求其最值即可. 【详解】由图知12121122122,2c OF c c OF e e a BF a a PF PF =====+，则112212e PF PF e BF +=， 设1212,2PF F F F c θ∠==，则1212(sin cos ),cos cPF PF c BF θθθ+=⋅+=， 则()122112sin cos cos 242e e πθθθθ+⎛⎫=+⋅++≤ ⎪⎝⎭24πθ=时等号可取到.122.5．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））如图，1F ，2F 是椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点，若112OF AB =，且16OF B π∠=，则1C 与2C 的离心率之积为_____.【答案】2【分析】根据已知条件结合椭圆的对称性可求出1AF c =，23AF c =，再根据椭圆和双曲线的定义以及离心率公式求出离心率即可求解.【详解】解：连接22,AF BF ，根据椭圆的对称性可知：点O 是AB 的中点， 所以，四边形12AF BF 为平行四边形， 若112OF AB =，所以1OF OA OB c ===， 因为16OF B π∠=，所以1π3AOF ∠=，所以1AOF △是等边三角形， 所以11AF OF c ==，1π3AFO ∠=，12AF B π∠=，所以，四边形12AF BF 为矩形， 所以，在直角三角形1ABF 中，()22123BF c c c =-=，所以，213AF BF c ==，在椭圆中，12132AF AF c c a +==，可得1131c e a ==+在双曲线中，21232AF AF c c a -=-=，可得2231c e a ==-所以离心率之积1223131e e ==+-， 故答案为：2.四、解答题6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为e ，斜率为e 且过点()0,Pa 的直线l 与x 轴交于点Q(1)证明：直线l 与椭圆相切(2)记在（1）中的切点为S ，过点S 且与l 垂直的直线交y 轴于点T ，记POQ △的面积为1,S PQT 的面积为2S ，若1234S S =，求椭圆的离心率 【答案】(1)证明见解析；3【分析】（1）根据直线的点斜式方程与椭圆方程联立，结合一元二次方程根的判别式、椭圆的离心率公式进行求解即可；（2）根据（1）的结论，结合一元二次方程根与系数关系、三角形的面积公式、椭圆的离心率公式进行求解即可. (1)由已知，:l y ex a =+．令l 与椭圆方程222222b x a y a b +=联立，经过整理，得到()2222342220b a e x a ex a a b +++-=，所以()()()()6222242224222442222222222Δ4444a e b a e a a b a a e b a b a e a b e a b a b a e =-+-=-+-+=-++()222222222222440c a b a b a a b a b c a ⎛⎫=-++⋅=-++= ⎪⎝⎭，所以直线l 与椭圆相切．(2)由（1），有322222S a ex b a e=-+，所以3222222s a e a c x c b a e b c =-=-=-++，所以22S S c b y ex a ec a a a a =+=-+=-+=，所以2,b S c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为ST l ⊥，所以1STk e =-，所以()21:b ST y x c a e -=-+．令0x =，得到2b cy a e-=-，所。
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椭圆题型总结一、 椭圆的定义和方程问题(一) 定义:1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之2. 和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（ D ）A.椭圆B.圆C.直线D.线段4. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是( B )A.椭圆B.圆C.直线D.点5. 椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 4 。
6. 选做：F 1是椭圆15922=+y x 的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （1，1），求||||1PF PA +的最小值。
解：26||2||2||||||221-=-≥-+=+AF a PF a PA PF PA(二) 标准方程求参数范围1. 试讨论k 的取值范围，使方程13522=-+-k y k x 表示圆，椭圆，双曲线。
（略） 2.轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( C ) A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3. 若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆，α所在的象限是（ A ）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 方程231y x -=所表示的曲线是 椭圆的右半部分 .5. 已知方程222=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 k>1(三) 待定系数法求椭圆的标准方程1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程. 2. 简单几何性质 1． 求下列椭圆的标准方程（1）32,8==e c ； （2）过（3，0）点，离心率为36=e 。
（3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是3。
（4）椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为（5）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。
3．过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若︒=∠6021PF F ，则椭圆的离心率为_____33________________ （四）椭圆系————共焦点，相同离心率 1． 椭圆192522=+y x 与)90(192522<<=-+-k k y k x 的关系为（ A ）A ．相同的焦点B 。
有相同的准线C 。
有相等的长、短轴D 。
有相等的焦距2、求与椭圆14922=+y x 有相同焦点，且经过点()23-，的椭圆标准方程。
（五）焦点三角形4a1. 已知1F 、2F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点。
若1222=+B F A F ，则=AB 8 。
2. 已知1F 、2F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过2F 且斜率不为0的直线交椭圆于A 、B 两点，则1ABF ∆的周长是 20 。
3. 已知C AB ∆的顶点B 、C 在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则C AB ∆的周长为 34 。
（六）焦点三角形的面积：1. 已知点P 是椭圆1422=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，021=•PF PF ，求点P 到x 轴的距离。
解：设),(y x P 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1432222y x y x 解得33||=y ，所以求点P 到x 轴的距离为33||=y 2. 设M 是椭圆1162522=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，621π=∠MF F ，求21MF F ∆的面积。
解：||||2||||24||||24||||2|)||(|||||2||||||cos 2121221221221212212221PF PF PF PF b PF PF c PF PF PF PF PF PF F F PF PF ⋅⋅-=⋅-⋅-+=⋅-+=θ当621π=∠MF F ，S=)32(166sin ||||2121-=⋅πPF PF 3. 已知点P 是椭圆192522=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，若212121=•PF PF PF PF ，则21F PF ∆的面积为 33 。
4. 已知AB 为经过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 的面积的最大值为 cb 。
（七）焦点三角形1. 设椭圆14922=+y x 的两焦点分别为1F 和2F ，P 为椭圆上一点，求21PF PF •的最大值，并求此时P 点的坐标。
2. 椭圆12922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若41=PF ，则=2PF 2 ；=∠21PF F 120O 。
3. 椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，P 为其上一动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围为 )553,553(- 。
4. P 为椭圆1162522=+y x 上一点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点。
（1）若1PF 的中点是M ，求证：1215PF MO -=；（2）若︒=∠6021PF F ，求21PF PF •的值。
解：（1）MO 为三角形PF 1F 2的中位线，||215|)|2(21||21||112PF PF a PF MO -=-==（2）21PF PF •=364 （八）与椭圆相关的轨迹方程定义法：1. 点M(x,y)满足10)3()3(2222=-++++y x y x ，求点M 的轨迹方程。
（1162522=+x y ） 2. 已知动圆P 过定点)0,3(-A ，并且在定圆64)3(:22=+-y x B 的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程. 3. 已知圆4)3(:221=++y x C ,圆100)3(:222=+-y x C ，动圆P 与1C 外切，与2C 内切，求动圆圆心P 的轨迹方程.解：由题12102||||21=-++=+r r PC PC所以点P 的轨迹是：以1C ，2C 为焦点的距离之和为12的椭圆。
6,3==a c ，方程为1273622=+y x 4. 已知)0,21(-A ，B 是圆4)21(:22=+-y x F （F 为圆心）上一动点,线段AB 的垂直平分线交BF 于P ,则动点P 的轨迹方程为 13422=+y x 5. 已知A(0,-1),B(0,1),△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是 14322=+y x 。
直接法6. 若ABC ∆的两个顶点坐标分别是)6,0(B 和)6,0(-C ，另两边AB 、AC 的斜率的乘积是94-，顶点A 的轨迹方程为 1368122=+y x 。
相关点法7. 已知圆922=+y x ，从这个圆上任意一点P 向x 轴引垂线段'PP ，垂足为'P ，点M 在'PP 上，并且2MP =，求点M 的轨迹。
8. 已知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向X 轴引垂线段PP ’，则线段PP ’的中点M 的轨迹方程是 1422=+y x 。
9. 已知椭圆1452222=+y x ，A 、B 分别是长轴的左右两个端点，P 为椭圆上一个动点，求AP 中点的轨迹方程。
10. 一条线段AB 的长为a 2，两端点分别在x 轴、y 轴上滑动 ，点M 在线段AB 上，且2:1:=MB AM ,求点M 的轨迹方程.二、 直线和椭圆的位置关系(一)判断位置关系1． 当m 为何值时,直线m x y l +=:和椭圆14416922=+y x (1)相交；(2)相切；(3)相离。
解：由⎩⎨⎧=++=14416922y x m x y 消去y 得014416322522=-++m mx x ，判别式：)25(5762m -=∆ 所以，当55<<-m 时直线与椭圆相交；当5±=m 时直线与椭圆相切；当5m m >-<或5时直线与椭圆相离。
2． 若直线2+=kx y 与椭圆63222=+y x 有两个公共点，则实数k 的取值范围为 。
3636>-<k k 或 (二)弦长问题1. 设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右两个焦点分别为1F 、2F ，过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为)1,2(M 。
（1） 求椭圆的方程；12422=+y x （2） 设椭圆C 的一个顶点为B （0，-b ），直线2BF 交椭圆C 于另一点N ，求BN F 1∆的面积。
解：由（1）点B （0，2-），)0,2(2F ，直线BF 2的方程为：2=-y x ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-124222y x y x 消去y 得：02432=-x x ，解得324x x ==或0 所以点N 的坐标为（324，32） 所以38)232(222121211=+⋅=+=∆∆∆N F F B F F BN F S S S (三)点差法1. 已知一直线与椭圆 369422=+y x 相交于A 、B 两点,弦AB 的中点坐标为)1,1(，求直线AB 的方程.解：设交点),(),(2211y x B y x A ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12122121y y x x ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)2(3694)1(369422222121 y x y x （2）-（1）得0))((9))((412121212=+-++-y y y y x x x x 即k x x y y =-=--94)()(1212，又直线AB 过点（1，1） 所以直线AB 的方程为：)1(941--=-x y 2. 椭圆C 以坐标轴为对称轴，并与直线l:x+2y=7相交于P 、Q 两点，点R 的坐标为（2，5），若PQR ∆为等腰三角形，︒=∠90PQR ，求椭圆C 的方程。