8 地理网络分析解析
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① 如果刚刚得到P标号的点是vi，那么，对于 所有这样的点
v v , v E, 而且v 的标号是 T标号
j i j j
将其T标号修改为：min[T(vj)，P(vi)+wij]。 ② 若G中没有T标号，则停止。否则，把点 v j 的T标号修改为P标号，然后再转入①。 其中， v j 满足：
0 0
T (v j0 ) min T (v j )
例1：在图8.2.1所示的赋权有向图中，每一个顶点vi （i=1，2，…，n）代表一个城镇；每一条边代表相应两 个城镇之间的交通线，其长度用边旁的数字表示。试求 城镇v1到v7之间的最短路径。 图8.2.1 赋权有向交通网络图
解：首先给v1标上P标号P(v1)=0，表示从v1到v1 的最短路径为零。其它点(v2，v3，…，v7)标上 T标号T(vj)＝+∞（j＝2，3，…，7）。 第一步： ① v1是刚得到P标号的点。因为(v1，v2)，(v1， v3)，(v1，v4)∈E，而且v2，v3，v4是T标号，所 以修改这三个点的T标号为：
“经济距离”意义上的最短路径。
某公司在10大港口C1，C2，…，C10设有 货栈，从Ci到Cj之间的直接航运价格，是由 市场动态决定的。如果两个港口之间无直接 通航路线，则通过第三个港口转运。那么， 各个港口之间最廉价的货运线路是什么？
“时间”意义上的最短路径。
某家经营公司有一批货物急需从一个城市 运往另一个城市，那么，在由公路、铁路、河 流航运、航空运输等四种运输方式和各个运输 线路所构成的交通网络中，究竟选择怎样的运 输路线最节省时间？ ◣三类问题，都可以抽象为同一类问题，即赋权 图上的最短路径问题。 ◣不同意义下的距离都被抽象为网络图中边的权 值。 ◣权——纯距离/经济距离时间距离。
边，都赋予了一个权值。在图G中指定两个顶 点，确定为起点和终点，不妨设v1为起点，vk 为终点。 首先从v1开始，给每一个顶点标一个数， 称为标号。这些标号，又进一步区分为T标号 和P标号两种类型。 每一个顶点的T标号表示从起点v1到该点的 最短路径长度的上界，这种标号为临时标号 P标号表示从v1到该点的最短路长度，这种 标号为固定标号。
▲ 在图G＝（V，E）中，V不允许是空集，但E可以是空集。 ▲ 图包含两个方面的基本要素：① 点集；②边集。
例：图８.1.1所示的图， 顶点集为V＝｛v1，v2，v3，v4，v5，v6，v7，v8｝， 边集为E＝{e1，e2，e3，e4，e5，e6，e7，e8，e9，e10，e11 }。
注意：图的定义只关注点之间是否连通，而不关注
在最短路径计算过程中，对于已经得到P标
号的顶点，不再改变其标号；对于凡是没 有标上P标号的顶点，先给它一个T标号； 算法的每一步就是把顶点的T标号逐步修改， 将其变为P标号。 那么，最多经过k-1步，就可以求得到 从起点v1到每一个顶点的最短路径及其长 度。
▇ 标号法具体计算步骤
开始，先给v1标上P标号P(v1)＝ 0，其余各 点标上T标号T(vj)＝+∞（j≠1）。
T(v2)＝min[T(v2)，P(v1)+w12] ＝min[ +∞，0+2]＝2 T(v3)＝min[T(v3)，P(v1)+w13 ] ＝ min[ +∞，0+5]＝5 T(v4)＝min[T(v4)，P(v1)+w14 ] ＝ min[ +∞，0+3]＝3 ② 在所有T标号中，T(V2)＝2最小，于 是令P(V2)＝2。（v1 v2）
点之间的连结方式。
地理位置、地理实体、地理区域，譬如，山顶、
河流汇聚点、车站、码头、村庄、城镇等—— 点 它们之间的相互联系，譬如，构造线、河流、 交通线、供电与通讯线路、人口流、物质流、 资金流、信息流、技术流等——点与点的连线。 一个由基本流域单元组成的复杂的流域地貌系 统，如果舍弃各种复杂的地貌形态，各条河 流——线，河流分岔或汇聚处——点，流域地 貌系统——水系的基本结局（树）。
（二）图的一些相关概念
（1）无向图与有向图： 无向图——图的每条边都没有给定方向， 即（u，v）＝（v，u）； 有向图——图的每条边都给定了方向， 即（u，v）≠（v，u）。
有向图
一般将有向图的边集记为A，无向图的边集记 为E。这样，G=（V，A）就表示有向图，而G=（V， E）则表示无向图。
（2）赋权图：如果图G＝（V，E）中的每一 条边（vi，vj）都相应地赋有一个数值wij， 则称G为赋权图，其中wij称为边（vi，vj） 的权值。 除了可以给图的边赋权外，也可以给 图的顶点赋权。这就是说，对于图G中的每 一顶点vj，也可以赋予一个载荷a(vj)。
§8 网络分析方法
教学要求
掌握最短路径的含义和解法
掌握选址问题
能够应用最大流与最小费用解决
实际问题
重要概念
网络分析——主要运用图 论方法研究各类网络的结构及 其优化问题。
§8.1 地理网络的图论描述
（一）图的定义
设V是一个由n个点vi(i=1，2，…，n)所组成的 集合，即V={v1，v2，…，vn}，E是一个由m条线ei （i=1，2，…，m）所组成的集合，即E={e1， e2，…，em}，而且E中任意一条线，都是以V中的 点为端点；任意两条线除了端点外没有其它的公 共点。那么，把V与E结合在一起就构成了一个图G， 记作G＝（V，E）。V中的每一个点vi（i=1， 2，…，n）称为图G的顶点，E中每一条线称为图 G的边（或弧）；若一条边e连接u，v两个顶点， 则记为e＝（u，v）。
§8.2 最短路径与选址问题
许多地理问题被抽象为图论意义下 的网络图时，问题的核心就变成网络图 上的优选计算问题，最常见的是关于路 径和顶点的优选计算问题。
路径优选——最短路径问题
定点优选——中心点和中位点选址Байду номын сангаас题
1. 最短路径问题
1) 最短路径的含义
“纯距离”意义上的最短路径。
需要运送一批物资从一个城市到另一个 城市，选择什么样的运输路线距离最短？
2) 最短路径的算法
最短路径问题最好的求解方法：
1959年，E．W．Dijkstar 提出的标号法。
标号法优点
不仅可以求出起点到终点的最短路径及其
长度，而且可以求出起点到其它任何一个 顶点的最短路径及其长度；
同时适用于求解有向图或无向图上的最短
路径问题。
标号法的基本思想
设G是一个赋权有向图，即对于图中的每一条
v v , v E, 而且v 的标号是 T标号
j i j j
将其T标号修改为：min[T(vj)，P(vi)+wij]。 ② 若G中没有T标号，则停止。否则，把点 v j 的T标号修改为P标号，然后再转入①。 其中， v j 满足：
0 0
T (v j0 ) min T (v j )
例1：在图8.2.1所示的赋权有向图中，每一个顶点vi （i=1，2，…，n）代表一个城镇；每一条边代表相应两 个城镇之间的交通线，其长度用边旁的数字表示。试求 城镇v1到v7之间的最短路径。 图8.2.1 赋权有向交通网络图
解：首先给v1标上P标号P(v1)=0，表示从v1到v1 的最短路径为零。其它点(v2，v3，…，v7)标上 T标号T(vj)＝+∞（j＝2，3，…，7）。 第一步： ① v1是刚得到P标号的点。因为(v1，v2)，(v1， v3)，(v1，v4)∈E，而且v2，v3，v4是T标号，所 以修改这三个点的T标号为：
“经济距离”意义上的最短路径。
某公司在10大港口C1，C2，…，C10设有 货栈，从Ci到Cj之间的直接航运价格，是由 市场动态决定的。如果两个港口之间无直接 通航路线，则通过第三个港口转运。那么， 各个港口之间最廉价的货运线路是什么？
“时间”意义上的最短路径。
某家经营公司有一批货物急需从一个城市 运往另一个城市，那么，在由公路、铁路、河 流航运、航空运输等四种运输方式和各个运输 线路所构成的交通网络中，究竟选择怎样的运 输路线最节省时间？ ◣三类问题，都可以抽象为同一类问题，即赋权 图上的最短路径问题。 ◣不同意义下的距离都被抽象为网络图中边的权 值。 ◣权——纯距离/经济距离时间距离。
边，都赋予了一个权值。在图G中指定两个顶 点，确定为起点和终点，不妨设v1为起点，vk 为终点。 首先从v1开始，给每一个顶点标一个数， 称为标号。这些标号，又进一步区分为T标号 和P标号两种类型。 每一个顶点的T标号表示从起点v1到该点的 最短路径长度的上界，这种标号为临时标号 P标号表示从v1到该点的最短路长度，这种 标号为固定标号。
▲ 在图G＝（V，E）中，V不允许是空集，但E可以是空集。 ▲ 图包含两个方面的基本要素：① 点集；②边集。
例：图８.1.1所示的图， 顶点集为V＝｛v1，v2，v3，v4，v5，v6，v7，v8｝， 边集为E＝{e1，e2，e3，e4，e5，e6，e7，e8，e9，e10，e11 }。
注意：图的定义只关注点之间是否连通，而不关注
在最短路径计算过程中，对于已经得到P标
号的顶点，不再改变其标号；对于凡是没 有标上P标号的顶点，先给它一个T标号； 算法的每一步就是把顶点的T标号逐步修改， 将其变为P标号。 那么，最多经过k-1步，就可以求得到 从起点v1到每一个顶点的最短路径及其长 度。
▇ 标号法具体计算步骤
开始，先给v1标上P标号P(v1)＝ 0，其余各 点标上T标号T(vj)＝+∞（j≠1）。
T(v2)＝min[T(v2)，P(v1)+w12] ＝min[ +∞，0+2]＝2 T(v3)＝min[T(v3)，P(v1)+w13 ] ＝ min[ +∞，0+5]＝5 T(v4)＝min[T(v4)，P(v1)+w14 ] ＝ min[ +∞，0+3]＝3 ② 在所有T标号中，T(V2)＝2最小，于 是令P(V2)＝2。（v1 v2）
点之间的连结方式。
地理位置、地理实体、地理区域，譬如，山顶、
河流汇聚点、车站、码头、村庄、城镇等—— 点 它们之间的相互联系，譬如，构造线、河流、 交通线、供电与通讯线路、人口流、物质流、 资金流、信息流、技术流等——点与点的连线。 一个由基本流域单元组成的复杂的流域地貌系 统，如果舍弃各种复杂的地貌形态，各条河 流——线，河流分岔或汇聚处——点，流域地 貌系统——水系的基本结局（树）。
（二）图的一些相关概念
（1）无向图与有向图： 无向图——图的每条边都没有给定方向， 即（u，v）＝（v，u）； 有向图——图的每条边都给定了方向， 即（u，v）≠（v，u）。
有向图
一般将有向图的边集记为A，无向图的边集记 为E。这样，G=（V，A）就表示有向图，而G=（V， E）则表示无向图。
（2）赋权图：如果图G＝（V，E）中的每一 条边（vi，vj）都相应地赋有一个数值wij， 则称G为赋权图，其中wij称为边（vi，vj） 的权值。 除了可以给图的边赋权外，也可以给 图的顶点赋权。这就是说，对于图G中的每 一顶点vj，也可以赋予一个载荷a(vj)。
§8 网络分析方法
教学要求
掌握最短路径的含义和解法
掌握选址问题
能够应用最大流与最小费用解决
实际问题
重要概念
网络分析——主要运用图 论方法研究各类网络的结构及 其优化问题。
§8.1 地理网络的图论描述
（一）图的定义
设V是一个由n个点vi(i=1，2，…，n)所组成的 集合，即V={v1，v2，…，vn}，E是一个由m条线ei （i=1，2，…，m）所组成的集合，即E={e1， e2，…，em}，而且E中任意一条线，都是以V中的 点为端点；任意两条线除了端点外没有其它的公 共点。那么，把V与E结合在一起就构成了一个图G， 记作G＝（V，E）。V中的每一个点vi（i=1， 2，…，n）称为图G的顶点，E中每一条线称为图 G的边（或弧）；若一条边e连接u，v两个顶点， 则记为e＝（u，v）。
§8.2 最短路径与选址问题
许多地理问题被抽象为图论意义下 的网络图时，问题的核心就变成网络图 上的优选计算问题，最常见的是关于路 径和顶点的优选计算问题。
路径优选——最短路径问题
定点优选——中心点和中位点选址Байду номын сангаас题
1. 最短路径问题
1) 最短路径的含义
“纯距离”意义上的最短路径。
需要运送一批物资从一个城市到另一个 城市，选择什么样的运输路线距离最短？
2) 最短路径的算法
最短路径问题最好的求解方法：
1959年，E．W．Dijkstar 提出的标号法。
标号法优点
不仅可以求出起点到终点的最短路径及其
长度，而且可以求出起点到其它任何一个 顶点的最短路径及其长度；
同时适用于求解有向图或无向图上的最短
路径问题。
标号法的基本思想
设G是一个赋权有向图，即对于图中的每一条