因式分解易错问题的原因分析及解决对策

因式分解易错问题的原因分析及解决对策
现行北师大版八年级下册数学教材，因式分解一章主要内容有：分解因式的概念及其应用、分解因式的常用方法，主要是提公因式法、运用公式法（包括平方差公式与完全平方公式）。

由于分解因式要用到的知识较多，计算也相对比较复杂，因此在实际分解因式的过程中容易出错，下面简单分析各种类型错误的原因及解决对策。

一、提公因式后失项
例1、分解因式：–4a3b3 + 6a2b–2ab
错解：原式=–2ab ( 2a2b2–3a)
剖析：在提取公因式时，如果一个多项式有n项，那么提取公因式后，剩下的多项式仍为n 项。

错解中在提取公因式后，最后一项应剩下1，而不是0。

之所以认为是0的原因是以为提出公因式–2ab后，最后一项给提出来了，所以也就没有了，这是错误的想法。

其实提出公因式–2ab后，剩下的应是原来的多项式–4a3b3 + 6a2b–2ab除以公因式–2ab后的商式。

在这里用到了多项式除以单项式的整式除法知识。

正解：原式=–2ab ( 2a2b2–3a +1 )
二、提不彻底
例2、分解因式：3a( a–b )2 + 6ab ( b–a )
错解：原式= 3a( a–b )2–6ab( a–b ) = ( a–b ) [3a ( a–b )–6ab ]
= ( a–b ) ( 3a2–3ab–6ab) = (a–b)( 3a2–9ab )
剖析：在运用提公因式法分解因式时，公因式的确定顺序应是：先确定公因式的因数（取各项系数的最大公约数），然后确定相同的字母因式（取各项相同字母的最低次幂），最后确定相同的多项式因式（取各项相同多项式的最低次幂），否则往往出现错解中分解不彻底的错误。

正解：原式= 3a( a–b )2–6ab( a–b ) =3a ( a–b ) [ ( a–b )–2b ]
= 3a( a–b ) ( a–b–2b) = 3a(a–b)( a–3b )
三、符号混乱
例3、分解因式：6( m–n )3–12( n–m )2
错解：原式= 6( m–n )3 + 12( m–n )2 = 6( m–n )2 [ ( m–n ) + 2 ]
= 6( m–n )2( m–n + 2 )
剖析：受课本例题a ( x–y ) + b ( y–x ) = a ( x–y )–b( x–y ) 的影响，以为凡是被减数与减数的位置变换时，括号前的符号都要改变。

其实，对于式子( y–x )n，当变换被减数y与减数x 的位置时，括号前的符号是否需要改变，还得看指数n，当n是奇数时，( y–x )n =–(x–y)n，也就是说，当n是奇数时，括号前的符号要改变，当n是偶数时，则不需要改变。

正解：原式= 6( m–n )3–12( m–n )2 = 6( m–n )2 [ ( m–n )–2 ]
= 6( m–n )2( m–n–2 )
例4、分解因式：6 ( p + q )2–12 (q + p )
错解：原式= 6 ( p + q )2 + 12 (p + q ) = 6( p + q )( p + q + 2 )
剖析：受( y–x )n =–( x–y )n（其中n为奇数）的影响，以为也有( y + x )n =–( x + y )n，其实，当n是奇数时，等式( y–x )n =–( x–y )n的变化过程是这样的：
( y–x )n = [–( x–y ) ]n = (–1)n·( x–y )n =–( x–y )n
而由加法的交换律：y + x = x + y，故( y + x )n = ( x + y )n
正解：原式= 6 ( p + q )2–12 (p + q ) = 6( p + q )( p + q–2 )
例5、分解因式：9( m + n )2–16 ( n–m )2
错解：原式= 9( m + n )2–16( m + n )2 =–7( m + n )2
剖析；主要是因为初一时没学过添括号法则，因此误解为n–m =–( m + n )。

其实，我们可以运用逆向思维，运用去括号法则，把式子–( m + n ) 去括号得：–( m + n ) =–m–n，显然与n–m 不相等，因而n–m =–( m + n ) 是错误的。

正确的应是n–m =–( m–n )。

正解：原式= [3( m + n )]2–[4( n–m )]2 = [3( m + n ) + 4( n–m ) ][3 ( m + n )–4 ( n–m )]
= ( 3m + 3n +4n–4m )( 3m+3n–4n + 4m ) = ( 7n–m ) ( 7m–n )
四、概念混乱
例6、分解因式：( 2m + n )2–( m + 2n )2
错解：原式= [( 2m + n ) + ( m + 2n )][( 2m + n )–( m + 2n )]
= ( 2m + n + m + 2n ) ( 2m + n–m–2n ) = ( 3m + 3n )( m–n )
= 3( m + n )( m–n ) = 3 ( m2–n2 )
剖析：主要是把分解因式与整式乘法的概念混乱。

受七年级学习所形成的惯性思维影响，认为凡是遇到( a + b )( a–b ) 的式子，都应运用整式乘法的平方差公式，计算出结果a2–b2，于是当得到结果3( m + n )( m–n ) 时，往往易习惯写成了3 ( m2–n2 )，而忽视了分解因式是将多项式和（差）的形式变成几个整式的积的形式。

正解：原式= [( 2m + n ) + ( m + 2n )][( 2m + n )–( m + 2n )]
= ( 2m + n + m + 2n ) ( 2m + n–m–2n ) = ( 3m + 3n )( m–n )
= 3( m + n )( m–n )
五、分而不尽
这是进行分解因式过程中的最常见错误之一。

例7、分解因式：–a + 2a2–a3
错解：原式=–a ( 1–2a + a2 )
剖析：主要认为分解因式总是能一步就得到结果或者总是只能用一种分解因式的方法。

其实，分解因式的结果应该是使每一个多项式因式都不能再分解为止。

对于本题来说，我们应该保证因式–a与因式1–2a + a2都不能再分解因式，但事实上，我们容易发现多项式1–2a + a2还能再分解为(1–a )2。

正解：原式= –a ( 1–2a + a2 ) = –a (1–x )2
又如：例8、分解因式：( a2 + b2 )2–4a2b2
错解：原式= (a2 + b2 + 2ab ) ( a2 + b2–2ab)
或错解：原式= a4 + 2a2b2+b4–2a2b2 = a4–2a2b2+b4 = ( a2–b2）2
剖析1：主要认为运用公式法分解因式往往只能用一种公式（平方差公式或完全平方公式），没有考虑到因式a2+ b2 + 2ab与因式a2 + b2–2ab都还能运用完全平方公式再分解，也必须进行再分解。

教材中提到“当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再一步分解因式“。

这句话既包含了两层意思，第一层是：分解因式的步骤是先提公因式，然后再看能否再运用公式法进一步分解。

第二层是分解因式的结果必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

正解：原式= (a2 + b2 + 2ab ) ( a2 + b2–2ab) = ( a + b )2 ( a–b )2
六、分而不合
例9、分解因式：16( a–b )2–9 ( a + b )2
错解：原式= [ 4 ( a–b ) + 3( a + b )][ 4( a–b )–3( a + b )]
剖析：以为分解因式就只需要把多项式化为几个整式的积即可，忽视了分解因式的结果往往应不含有中括号，也就是说，分解因式的结果里每一个因式都必需进行化简。

正解：原式= [ 4 ( a–b ) + 3( a + b )][ 4( a–b )–3( a + b )]
= ( 4a–4b + 3a + 3b ) (4a–4b–3a–3b ) = ( 7a–b)(a–7b )
七、概念不清
例10、分解因式：16x2–4
错解：原式= ( 4x + 2 )( 4x–2 )
剖析：对多项式的公因式的概念理解不清，多项式公因式的概念是：多项式中各项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

因此误认为多项式的公因必须含有字母，这种认识是错误的。

其实，公因式有时可以是单个数字、单个字母或多项式。

正解：原式= 4 ( 4x2–1 ) = 4( 2x + 1 )( 2x–1 )
例11、分解因式：3ax2–3ay4
错解：原式= 3a ( x2–y4 ) = a ( x + y2 )( x–y2 ) = 3a y2 ( x + 1 )( x–1 )
剖析：误以为第一个因式x + y2与第二个因式x–y2有公因式y2，对多项式公因式误解了，以为只要有相同的字母都叫做公因式。

其实对于a ( x + y2 )( x–y2 ) 来说，因式x + y2与x–y2是两个不同的多项式因式，能否再用提公因式法分解因式，关键在于因式x + y2是否有公因式，因式x–y2是否有公因式。

正解：原式= 3a ( x2–y4 ) = a ( x + y2 )( x–y2 )
八、分解因式的步骤混乱
例12、分解因式：4x4–4
错解：原式= ( 2x2 + 2)( 2x2–2 )
剖析：分解因式的步骤应是：当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再运用公式法或其它方法进一步分解。

错解中由于多项式4x4–4 刚好符合平方差公式，因此往往受惯性思维影响而直接运用平方差公式分解因式，忽视了要先提公因式后再分解，导致了分解因式不彻底等错误。

正解：原式= 4( x4–1 ) = 4( x2 + 1 ) ( x2–1 ) = 4( x2 + 1 ) ( x + 1 )( x–1 )
九、公式混乱
例13、分解因式：2x3–8x
错解：原式= 2x ( x2–4 ) =2x ( x + 2 )( x–2 ) =2x ( x2–4 ) =2x ( x–2 )2
剖析：把平方差公式a2–b2 = ( a + b )( a–b ) 与完全平方公式a2 ± 2ab + b2混为一谈。

其实平方差公式在形式上与完全平方公式有本质的区别，首先，平方差公式只含有两项，而完全平方公式则含有三项。

其次，平方差公式中的平方项是异号的，而完全平方公式中的平方项是同号的。

正解：原式= 2x ( x2–4 ) =2x ( x + 2 )( x–2 )
例14、分解因式：x3–4x2y + 9x y2 = x ( x2–4xy + 9y2 ) = x ( x–3y )2
剖析：分解因式的过程中，总以为出现了第一个数的平方与第二个数的平方和，且多项式有三项，那么一定能运用完全平方公式分解。

其实，能否运用完全平方公式分解，还需看各项的系数是否满足：中间一项的系数= 头尾两平方项系数的积的两倍，否则不能完全平方公式分解因式。

例15、分解因式：–x2 + y2
错解1：原式= (–x + y )(–x–y )
剖析：以为–x2 = (–x )2，于是误用平方差公式。

正解：原式=–(x2–y2 ) = –( x + y )( x–y )
错解2：原式= ( x + y )( x–y )
剖析：总以为平方差公式就是两数和与两数差的积。

事实上，平方差公式中那一项写在前面，完全由公式a2–b2 = ( a + b )( a–b )两项的符号来确定，正号的作为被减数，应写在前面。

正解：原式=（x2–y2）= –( x + y )( x–y )
十、学而不会用
例16、试分析257–512能否被120整除。

错解：不会
剖析：学习数学的真正目的在于我们能否用数学的眼光来观察生活现象，或用来解决新的数学问题。

本题中有两个难点，第一个是发现257–512中没有公因式，又不能运用平方差公式进行分析因式，于是就不知道如何才能解决这个问题了。

其实257 = ( 52 )7 = 514。

第二个是当得到式子512×24时，也不知道如何判断它是否能被120整除，这是整除的知识与方法了。

如果我们能把512×24再分解成含有因数120，那么原式也就能被120整除。

正解：原式= 514–512 = 512( 52–1 ) = 512 ( 5 + 1 ) (5–1)
= 512×24 = 511×5×24 = 511×120
因此257–512能被120整除。