(完整版)“一动一静”谈碰撞

碰撞的“一动一静”模型在物理中的应用

碰撞的过程是指：作用时间很短，作用力很大.碰撞过程两物体产生的位移可忽略. 一个运动物体以以一定的速度碰撞一个静止的物体是一个常见的碰撞问题,下面就”一动一静"谈谈碰撞问题。

一、"一动一静”的弹性正碰。

如图( 1 )一个质量为m 1的小球以速度v 0向右运动,与一个静止的质量为m 2的小球发生弹性正碰,这种最典型的碰撞具有一系列应用广泛的重要规律. (1）动量守恒，初、末动能相等，即

10

1122m v m v m v ①

2

221011221112

2

2

m v m v m v ② （2）根据①、②式,碰撞结束时,主动球（m 1）与被动球（m 2)的速度分别为:

12

1

012

1

2

12

2m m v v m m m v v m m

(3）判断碰撞后的速度方向

当m 1〉m 2时,v 1>0,v 2〉0，两球均沿v 0方向运动.

当m 1=m 2时, v 1=0，v 2=v 0,两球交换速度,主动球停止，被动球以v 0开始运动。 当m 1〈m 2时，v 1<0,v 2〉0， 主动球反弹,被动球沿v 0方向开始运动.

1112

21

2

121

0002

111212

2

2

122,,01

1

m m m m m m m m m v v v v v v v m m m m m m m m 当时，主动球以v 0反弹，

被动球静止不动。

(4）不动球获得最大速度、最大动量和最大动能的条件

01

20

212

1

122m

0120102

22

1

12

2

2v 2m 1

m m m ,v v 2v 2m m v 2m v m v m m m 1m m v v m m P 当时最大为 所示当m 2〉〉m 1，P 2最大为P m =2m 1v 0=2 P 01

这一结果还可以简捷地根据21P P ∆=-∆得出,请读者试一试.

2

2

2

1012k 2

222102

12

12

2m v 4m m 111m v m m v 2

2m m 2m m E

当m 2=m 1时，E k2最大为2

k210k011m v 2

E E

例(1）带有光滑圆弧轨道的滑块质量为M 静止在光滑水平面上,轨道足够高且轨道下端的切线方向水平.今有一质量为m 的小球以水平初速度v 0滚上滑块,如图(2）所示,求 (1）小球沿圆弧轨道上升的最大高度h

（2)小球又滚回来和轨道分离时两者的速度大小 解: 小球沿光滑圆弧轨道运动的过程可以看作弹性正碰的过程,系统总动量和总机械能守恒

（1）当小球与滑块的速度相同时，小球上升的高度最大,设此时小球和滑块的共同速度为v,有:

02

2

0112

2

mv m

M v

mv mgh

m M v

得: 20

2Mv h

M m g

(2）设小球又滚回来时,M 的速度为v 1，球的速度为v 2，有： 012

2220

121

112

2

2

mv Mv mv mv Mv mv 的: 1

02

02,m

m M

v v v v M m

M m

例（2）如图(3）所示，质量为M 的平板车在光滑水平面上以速度v 0匀速运动，车身足够长，其上表面粗糙，质量为m 的小球自h 高处由静止下落，与平板车碰撞后,每一次上升高度仍然为h ，每次碰撞过程中，由于摩擦力的冲量不能忽略，撞击几次后,小球水平方向的速度逐渐增大.求平板车的最终速度?

解: 准确理解题意，应用动量守恒的条件判断，挖掘隐含条件是解决本题的关键. 车和球组成的系统在水平方向上动量守恒,由动量守恒定律得:0v m v M M ＝

∴0v v m M

＝

二、”一动一静”的完全非弹性碰撞。

如图(4)在光滑的水平面上,有一静止的质量为M 的木块,一颗质量为m 的子弹以速度v 0水平射入木块,并射入木块深度为d ，且冲击过程中阻力f 恒定。

（1)碰撞后共同速度 （v ）,根据动量守恒，共同速度0

mv v

M m

① (2）木块的冲击位移（s)

分别以木块和子弹为研究对象，根据动能定理,有:21

2

fs Mv ② 22

0112

2

f s

d

mv mv ③ 由①②和③式可得：m s

d d M

m

在物体可视为质点时；d=0；s=0.这就是两质点碰撞瞬间时,它们的位置变化不计的原因。 （3)冲击时间(t)

以子弹为研究对象，根据子弹相对木块作末速度为零的匀减速直线运动,

相对位移01

2

d

v t ， 所以冲击时间为0

2d t

v (4)产生的内能（Q ）

在认为损失的动能全部转化为热能（即内能）的条件下:2012k

M Q

E f s fd

mv M m

相对

例 （3）在原子核物理中，研究原子与核子关联的最有效途径是”双电荷交换反应”.这类反应的前半部分过程和下述力学模型相似。两个小球A 和B 用轻质弹簧相连,在光滑的水平直轨道上处于静止状态.在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P ，右边有一个小球C 沿轨道以速度v 0射向B 球,如图(5)所示，C 与B 发生碰撞并立即结成一个整体D,在它们继续向左运动的过程中,当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁

定,不再改变.然后,A 球与挡板P 发生碰撞，碰后A 、D 都静止不动,A 与P 接触而不粘连。这一段时间,突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失）。已知A 、B 、C 三球的质量均为m 。

(1)求弹簧长度刚被锁定后A 球的速度

(2)求在A 球离开挡板P 之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。 解：（1）设C 球与B 球粘连结成D 时，D 的速度为v 1，由动量守恒,有:0

1mv m m v ①

当弹簧压至最短时,D 与A 的速度相等，设此速度为v 2,由动量守恒，有:()123m m v mv += ②由①②两式得A 的速度:201

3

v v = ③

（2）设弹簧长度被锁定后,贮存在弹簧中的势能为E P ,由能量守恒，有:

22

12112322

P mv mv E ⨯=⨯+ ④ 撞击P 后，A 与D 的动能都为零.解除锁定后,当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转变成D 的动能，设D 的速度为v 3,则有：()23122

P E m v = ⑤

以后弹簧伸长,A 球离开挡板P,并获得速度.当A 、D 的速度相等时,弹簧伸长到最长，设此时的