用空间向量解立体几何问题方法归纳(学生版)

用空间向量解立体几何题型与方法

一．平行垂直问题基础知识

直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)

(1)线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0

(2)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝k u⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3

(3)面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝k v⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4

(4)面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0

例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，P A＝AB＝1，BC＝2.

(1)求证：EF∥平面P AB；

(2)求证：平面P AD⊥平面PDC.

使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面

的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.

例2、在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．

求证：(1)B1D⊥平面ABD；

(2)平面EGF∥平面ABD.

二．利用空间向量求空间角基础知识

(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所

成的角为θ，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝|a·b| |a||b|.

(2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角

为θ，则sin θ＝|cos〈n，a〉|＝|n·a| |n||a|.

(3)向量法求二面角：求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n1，n2，

若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2| |n1||n2|；

若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，则cos θ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－|n1·n2|

|n1||n2|. 例1、如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．

(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；

(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．

例2、如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.

(1)证明：AB⊥A1C；

(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：

①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．

(2)求空间角应注意：

①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos α＝|cos β|.

②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求．

例3、如图，在四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，

平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE＝ED＝3，SE⊥AD.

(1)证明：平面SBE⊥平面SEC；

(2)若SE＝1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值．

例4、如图是多面体ABC-A1B1C1和它的三视图．

(1)线段CC1上是否存在一点E，使BE⊥平面A1CC1？若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；

(2)求平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值．

三．利用空间向量解决探索性问题

例1、如图1，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B(如图2)．

(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

(2)求二面角E-DF-C的余弦值；

(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出BP

BC的值；如果不存在，请说明理由．

(1)空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.

(2)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定围的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.

例2、.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝BC＝2AC＝2.

(1)若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；

(2)在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1-CD-C1的大小为60°？

四．空间直角坐标系建立的创新问题

空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何问题．解决的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，因而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题新的命题点．

一、经典例题领悟好

例1、如图，四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，

∠ACB ＝∠ACD ＝π

3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB .

(1)求P A 的长；

(2)求二面角B -AF -D 的正弦值．

建立空间直角坐标系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系(本题利用AC ⊥BD )，若图中存在交于一点的三条直线两两垂直，则以该点为原点建立空间直角坐标系.在没有明显的垂直关系时，要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系，注意建立的空间直角坐标系是右手系，正确确定坐标轴的名称.

例2、如图，在空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝DA ＝DC ＝BE ＝2.BE 与平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 的射影落在∠ABC 的平分线上．

(1)求证：DE ∥平面ABC ； (2)求二面角E -BC -A 的余弦值．