矩阵论--复习(典型例题)
矩阵考试题及答案详解
矩阵考试题及答案详解一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 矩阵A与矩阵B相乘，结果为零矩阵，下列哪项说法是正确的？A. A和B中至少有一个是零矩阵。
B. A和B都是零矩阵。
C. A和B的行列式都为0。
D. A和B的秩之和小于它们各自维度的乘积。
答案：D2. 矩阵的转置操作，下列哪项说法是错误的？A. 矩阵的转置是将矩阵的行变为列。
B. 矩阵的转置不会改变矩阵的行列式。
C. 矩阵的转置不会改变矩阵的秩。
D. 矩阵的转置会改变矩阵的特征值。
答案：D3. 对于一个3x3矩阵，下列哪项说法是正确的？A. 它有9个元素。
B. 它有3个行向量。
C. 它有3个列向量。
D. 以上说法都正确。
答案：D4. 矩阵的逆矩阵，下列哪项说法是错误的？A. 只有方阵才有逆矩阵。
B. 矩阵的逆矩阵的逆矩阵是原矩阵。
C. 矩阵的逆矩阵与原矩阵相乘结果为单位矩阵。
D. 矩阵的逆矩阵一定存在。
答案：D5. 矩阵的秩，下列哪项说法是正确的？A. 矩阵的秩等于矩阵中非零行（或列）的最大数量。
B. 矩阵的秩不会超过矩阵的行数。
C. 矩阵的秩不会超过矩阵的列数。
D. 以上说法都正确。
答案：D6. 矩阵的特征值，下列哪项说法是错误的？A. 特征值是矩阵的特征多项式的根。
B. 矩阵的特征值可以是复数。
C. 矩阵的特征值一定是实数。
D. 矩阵的特征值与矩阵的迹有关。
答案：C7. 矩阵的行列式，下列哪项说法是正确的？A. 行列式为0的矩阵是可逆的。
B. 行列式为0的矩阵是奇异矩阵。
C. 行列式为1的矩阵是单位矩阵。
D. 行列式为-1的矩阵是正交矩阵。
答案：B8. 矩阵的相似性，下列哪项说法是错误的？A. 相似矩阵有相同的特征值。
B. 相似矩阵有相同的行列式。
C. 相似矩阵有相同的秩。
D. 相似矩阵有相同的迹。
答案：D9. 矩阵的正交性，下列哪项说法是正确的？A. 正交矩阵的行列式为1或-1。
B. 正交矩阵的转置是其逆矩阵。
C. 正交矩阵的元素都是实数。
矩阵论复习题 带答案1
矩阵论复习题1设A 、B 均为n 阶正规矩阵，试证A 与B 酉相似的充分必要条件是A 与B 的特征值相同。
证明: 充分性：A 与B 的特征值相同，A 、B 均为n 阶正规矩阵，则有11,A P IP B Q IQ --== 故11111,,A P QIQ P R Q P R P Q -----==令= A 与B 酉相似 必要性:A,B 为n 阶正规矩阵，存在初等变换R,1A RBR -=11,,,I E PQ A P IP B Q EQ --==为对角矩阵，存在初等变换111,I PAP E QRAR Q ---== ，因为I,E 为对角矩阵，故I=E 。
因此A 与B 的特征值相同。
#2 作出下列矩阵的奇异值分解10(1)A 0111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦011(2)A 200-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (1)632- 6 3 2101263011,130 2 6 311206333T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应，特征值对应 2221 2 2,131222 2 2TC A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应故263 2 6 32210263 2 203 2 6 3220063 2 20 33HA ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2) 2010,240401T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应， 0040012201-1,2-400- 2 20-11022- 2 2T C A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应，特征值对应 0101022200A 001 2202022022H⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.求下列矩阵A 的满秩分解123002111021A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭112211001230010,021110102111001230010,021101100001001230=010021-11-11L L A L L L A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦故4 设A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，证明：若B A ≥且BA AB =，则33B A ≥.证明：由于A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，且BA AB =，则AB 与BA 均为n 阶Hermite 正定矩阵。
矩阵论复习题
矩阵论复习题矩阵论复习题矩阵论作为线性代数的重要分支，涉及到矩阵的性质、运算以及应用等方面。
在学习矩阵论的过程中，复习题是提高理解和巩固知识的重要工具。
本文将通过一些典型的矩阵论复习题，帮助读者回顾和加深对矩阵论的理解。
1. 矩阵的乘法性质与运算规则(1) 证明矩阵的乘法不满足交换律，即AB≠BA。
(2) 若矩阵A是m×n阶矩阵，矩阵B是n×p阶矩阵，证明矩阵乘法满足结合律，即(AB)C=A(BC)。
(3) 证明单位矩阵是矩阵乘法的单位元，即对于任意矩阵A，有AI=IA=A。
2. 矩阵的逆与行列式(1) 若矩阵A可逆，证明其逆矩阵唯一。
(2) 若矩阵A可逆，证明其逆矩阵也可逆，且逆矩阵的逆等于A。
(3) 若矩阵A可逆，证明其转置矩阵也可逆，且转置矩阵的逆等于A的逆的转置。
(4) 证明若矩阵A可逆，则其行列式不为零，即|A|≠0。
3. 矩阵的特征值与特征向量(1) 若矩阵A的特征值为λ，证明矩阵A-λI的行列式为零，即|A-λI|=0。
(2) 若矩阵A的特征向量为v，证明对于任意非零实数k，kv也是矩阵A的特征向量。
(3) 若矩阵A的特征向量v1和v2对应于不同的特征值λ1和λ2，证明v1和v2线性无关。
(4) 若矩阵A的特征向量v对应于特征值λ，证明对于任意正整数n，(A^n)v对应于特征值λ^n。
4. 矩阵的相似与对角化(1) 若矩阵A与矩阵B相似，证明矩阵B与矩阵A相似。
(2) 若矩阵A与矩阵B相似，矩阵B可对角化，证明矩阵A也可对角化。
(3) 若矩阵A可对角化，证明A的特征向量组成的矩阵P可逆，且A=PDP^-1，其中D为对角矩阵。
通过复习以上的矩阵论题目，可以加深对矩阵的性质、运算规则、逆与行列式、特征值与特征向量以及相似与对角化的理解。
同时，通过解题的过程，还可以提高解决问题的能力和运用矩阵论知识的技巧。
希望读者能够充分利用这些复习题，巩固所学的矩阵论知识，为进一步深入学习打下坚实的基础。
矩阵论研究生复习题
矩阵论研究生复习题矩阵理论及应用证明题复习题正规矩阵（包括Hermite 矩阵；Hermite 正定矩阵等）1. 设()ij n n A a ?=是n 阶Hermite 矩阵，12,,,n λλλ 是A 的特征值，且12n λλλ≥≥≥ ，证明：（1）1H n H x Axx xλλ≤≤ ；（2）{}11max n kk k n a λλ≤≤≤≤.2.假设n 阶Hermite 矩阵A 是正定的。
证明：(1)存在正定矩阵S 使得2A S =；（2）对任意n 维列向量,X Y ，有2HH H Y AXX AX Y AY≤，并且，等号成立当且仅当,X Y 线性相关。
3.证明：设,A B 都是Hermite 矩阵，A 的特征值都大于a ，B 的特征值都大于b ，则A B +的特征值都大于a b +。
4.设A 为n 阶正定Hermite 矩阵，证明（1）Hnn AG a ββ??=是正定的的充分必要条件为1H nn a A ββ->，（2）Hnn AG a ββ=正定时有不等式：nn G a A ≤. 5.A 是n 阶Hermite 矩阵，证明：246A A I -+是正定Hermite 矩阵6.A 、B 都为n 阶正定Hermite 矩阵，且AB BA =，则AB 亦为正定Hermite 矩阵范数1.设?为n nC ?上的矩阵范数，λ为复矩阵A 的特征值，证明：mm A λ≤（m 为正整数）2.设λ是n 阶可逆矩阵A 的特征值，A 是A 的任意一种范数证明：11A λ-≥3.设A 是n 阶可逆矩阵，A 是A 的任意一种范数.证明：A 的谱半径()11A Aρ-≥4.A 是n 阶复矩阵，证明221AA A∞≤5.假设A 是s n ?矩阵，,U V 分别是s s ?、n n ?酉矩阵。
证明：FFAUAV=，22A UAV =。
6.设()ijn nA a ?=为n 阶Hermite 矩阵,证明：（1）2()A A ρ=；（2）()ij aA ρ≤.7.设A 为n 阶方阵,A 是从属于任何向量范数的矩阵范数, 证明:1)1I =; 2) 1A <时，I A -可逆，且()11111I A A A-≤-≤+-.矩阵分解1. A 为秩为r 的半正定Hermite 矩阵，则存在列满秩矩阵P ,使得HA P P =∑,其中1(0,1,2,,),H i r r i r P P λλλ??∑=>== ?I （其中r I 为r 阶单位矩阵） 2.设A 是n 正定Hermite 矩阵，利用矩阵的QR 分解证明：存在一个上三角形矩阵T ,使得H A T T =3.设矩阵,A B 都是m n ?矩阵，利用矩阵的满秩分解证明：()rankA B ran kA rankB +≤+.4.A 为秩为r 的半正定Hermite 矩阵，则存在行满秩矩阵P ,使得HA P P =∑,其中1(0,1,2,,),H i r r i r PP I λλλ?? ?∑=>== ?. 5.A 、B 都为n 阶Hermite 矩阵，其中B 为n 阶正定矩阵，证明：存在可逆矩阵Q ，使=H Q BQ E ,H Q AQ 为对角矩阵（这里E 为n 阶单位矩阵）6.A 是n 阶可逆矩阵，则A 可以分解为一个酉矩阵与一个正定矩阵的乘积7.设m n A C ?∈，证明A 的秩为r 的充分必要条件是存在,m rr m rr F C G C ??∈∈，使得A FG =.8.设A 为n 阶可逆方阵，证明：存在酉矩阵,Q P 使得QAP 为对角线元素都是正数的对角矩阵.。
矩阵论复习题
矩阵论复习题矩阵论是数学的一个重要分支，在许多领域都有着广泛的应用，如工程、物理、计算机科学等。
以下是一些矩阵论的复习题，希望能帮助大家巩固所学知识。
一、矩阵的基本运算1、已知矩阵 A ＝ 1 2; 3 4，B ＝ 5 6; 7 8，求 A ＋ B，A B，A B。
2、计算矩阵 C ＝ 2 －1; 3 0 的逆矩阵。
3、设矩阵 D ＝ 1 0 0; 0 2 0; 0 0 3，求 D 的行列式。
二、矩阵的秩1、求矩阵 E ＝ 1 2 3; 2 4 6; 3 6 9 的秩。
2、已知矩阵 F 的秩为 2，且 F ＝ a b c; d e f; g h i，其中 a ＝ 1，b＝ 2，c ＝ 3，d ＝ 2，e ＝ 4，f ＝ 6，求 g，h，i 满足的条件。
三、线性方程组1、求解线性方程组：x ＋ 2y z ＝ 1，2x y ＋ 3z ＝ 2，3x ＋ y 2z＝ 3。
2、讨论线性方程组：x ＋ y ＋ z ＝ 1，2x ＋ 2y ＋ 2z ＝ 2，3x ＋3y ＋ 3z ＝ 3 的解的情况。
四、向量空间1、证明向量组 a1 ＝ 1 2 3，a2 ＝ 2 4 6，a3 ＝ 3 6 9 线性相关。
2、已知向量空间 V ＝｛（x, y, z) ｜ x ＋ y ＋ z ＝ 0}，求 V 的一组基和维数。
五、特征值与特征向量1、求矩阵 G ＝ 2 1; 1 2 的特征值和特征向量。
2、已知矩阵 H 的特征值为 1，2，3，对应的特征向量分别为 p1 ＝1 0，p2 ＝ 0 1，p3 ＝ 1 1，求矩阵 H。
六、相似矩阵1、判定矩阵 I ＝ 1 2; 0 3 和矩阵 J ＝ 3 0; 0 1 是否相似。
2、若矩阵 K 和矩阵 L 相似，且矩阵 K 的特征值为 2，3，矩阵 L 的特征值为 4，5，求矩阵 K 和矩阵 L 之间的相似变换矩阵。
七、矩阵的分解1、对矩阵 M ＝ 4 2; 2 1 进行 LU 分解。
2、把矩阵 N ＝ 1 2 3; 2 4 6; 3 6 9 分解为 QR 分解。
矩阵论试题及答案
一．（10分）已知n n C ⨯中的两种范数a ⋅和b ⋅，对于n n C A ⨯∈，证明b a A A A +=是n n C ⨯中的范数. 解：⑴非负性：由于b a ⋅⋅,是两种范数，故当A=0时，0,0==b a A A ，所以000=+=+=b a A A A ； 当A ≠0时，0,0>>b a A A ，所以0>+=b a A A A⑵齐性：()A A A A A A A A b a b a b a ααααααα=+=+=+= ⑶三角不等式：B A B A B A B A B A B A b b a a b a +=+++≤+++=+二．(每小题10分,共20分)已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101121103A ,()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=002t e t b , 1. 求At e2. 用矩阵函数方法求微分方程()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+=T x t b t Ax t x dt d1,0,10的解.解：1. ()1112113det ----=-λλλλA I ()()3211132-=----=λλλλ显然, )det(A I -λ的一阶子式的公因子为1, 容易知道)det(A I -λ 的二阶子式的公因子为2-λ,所以A的最小多项式为()()()23222-=--=λλλλm ,即()()022=-=I A A m ,设()()()b a g m e f t ++==λλλλλ,则()a te f t =='λλ 对于特征值2=λ有()()⎩⎨⎧=='+==a te f b a e f t t 22222,()⎩⎨⎧+-==ttet b te a 2212 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+=+=t t t t t t e bI aA e t At1010122. ()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰--ds e s s s ss s e e ds s b e x e t x s t s At t As At 001010110102020 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t t e t e t At 1001012三．(15分)用Givens 变换求⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2100421132403100A 的QR 分解. 解：()T01001=β,构造()s c T ,13=,1101sin ,0100cos 22232132223211=+=+===+=+==xx x s x x x c θθ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=210031002340421121421132403100100000010010010013A T⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=21312A , 构造),(12s c T , ()21sin ,21111cos 222122222211=+==-=+--=+==x x x s x x x c θθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=1052212131111121212A T⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2/1002/12/1002/10010010013122T T I T ,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==2/12/100000100102/12/100TT Q ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2/12/522344211R四．(10分)用Gerschgorin 定理证明⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=8110260110410100A 至少有两个实特征值. 解：A 的4个盖尔圆为:{}1|1≤=z z G ,{}2114|2=+≤-=z z G , {}3216|3=+≤-=z z G , {}2118|4=+≤-=z z G ,它们构成的两个连通部分为11G S =,4322G G G S =.易见,1S ,2S 都关于实轴对称且各含有1个和3个特征值,因为实矩阵的复特征值必成对出现, 故1S ,2S 必各含有一个实特征值,从而A 至少含有2个实特征值.五．(20分)已知⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=221221*********A ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=44111b 1. 求A 的满秩分解.2. 求+A3. 用广义逆矩阵的方法判别方程组b Ax =是否相容.4. 求方程组b Ax =的极小范数解或极小范数最小二乘解并指出所求解的类型.解 1。
研究生矩阵论试题及答案与复习资料大全
B.
1 2 1
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……………………………………………………………………………………………………………………………
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……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
0 0 0
五、(15 分)求矩阵
的满秩分解：
1 0 1 2 A 1 2 1 1
2 2 2 1
解：
A
E
1 1
0 2
1 1
2 1
1 0
0 1
0 0
2 2 2 1 0 0 1
1 0 1 2 1 0 0
令 g n n2 2 1 n2 2 1 2 1
2 1 n2 1 2 1 1 n3 n4 1 3
由 Hamilton-Cayley 定理知 gA 0
et e 2t
a0 a0
a1 2a1
于是解得：
a0 a1
2et e2t
e 2t et
从而：
f A e At gA a0 E a1 A
矩阵论复习题综合精选全文
可编辑修改精选全文完整版1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ⋅=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为k x x k =⊗问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由.2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为),(112211y x y x y x y x +++=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为)2)1(,(2121x k k kx kx x k -+=⊗ 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由.3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S的一组基和S dim .4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,)}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='=证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim .5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有j i i T +=)( j i j T -=2)(1)确定T 在基},{j i 下的矩阵;2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵.6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵;2)求T 的零空间和像空间的维数.7.设线性空间3R 的两个基为(I):321,,x x x , (II):321,,y y y , 由基(I)到基(II)的过度矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=101010101C , 3R 上的线性变换T 满足21321)32(y y x x x T +=++12323(24)T x x x y y ++=+31321)43(y y x x x T +=++1)求T 在基(II)下的矩阵;2)求)(1y T 在基(I)下的坐标.8.在线性空间)(3R P 中321)(x x x a x f +++= 3221)(x x ax x f +++= 32321)(x x x x f +++= 讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性.9.在22R ⨯中求由基(I) 12101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 20122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 32112A -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41312A ⎛⎫= ⎪⎝⎭到基(II) 11210B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 21111B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 32211B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41101B --⎛⎫= ⎪⎝⎭的过渡矩阵.10.已知 1(1,2,1,0)α= 2(2,1,0,1)α=- 1(1,1,1,1)β=- 2(1,1,3,7)β=- 设1212(,)(,)V L L ααββ=⋂, 求线性空间V 的维数和基.11.在)(2R P 中, 对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为⎰=10)()())(),((dx x g x f x g x f 若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram -正交化方法,求)(2R P 的一组正交基.12.（1） 设x 和y 是Eucild 空间V 的非零元,它们的夹角是θ,试证明θcos ||||||||2||||||||||||222y x y x y x ⋅-+=-12.（2） 求矩阵10002i A i +⎛⎫= ⎪⎝⎭的奇异值分解. 13.设A 为n 阶实矩阵,证明A 可表示为一对称矩阵和一反对称矩阵之和. (提示:若A A T =,称A 为对称矩阵。
矩阵论试题
矩阵论试题一、选择题1.设A是n阶方阵，若|A|=0，则A（）。
A. 一定是可逆矩阵B. 一定是不可逆矩阵C. 可能是可逆矩阵，也可能是不可逆矩阵D. 以上说法均不正确答案：B2.若矩阵A与B相似，则A与B具有（）。
A. 相同的特征值B. 相同的特征向量C. 相同的秩D. 相同的行列式答案：A、D（相似矩阵具有相同的特征值和行列式，但特征向量不一定相同，秩也一定相同，但此题只问具有什么，故A、D为正确答案）3.下列矩阵中，属于正交矩阵的是（）。
A. 单位矩阵B. 对角矩阵C. 上三角矩阵D. 任意方阵答案：A（单位矩阵是正交矩阵的一种特殊情况）二、填空题1.设矩阵A=(1324)，则A的行列式|A|=______。
答案：-2（根据行列式的定义和计算方法，有|A|=1×4-2×3=-2）2.若矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B为______。
答案：可交换矩阵（或称为可交换的）3.设n阶方阵A的伴随矩阵为A，则|A|=______。
答案：|A|(n-1)）三、计算题1.设矩阵A=(2113)，求A的逆矩阵A^(-1)。
解答：首先求|A|，有|A|=2×3-1×1=5≠0，所以A可逆。
然后利用逆矩阵的公式A^(-1)=(1/|A|)×A*，其中A*是A的伴随矩阵。
A的伴随矩阵A=(3−1−12)（伴随矩阵的元素是A的每个元素的代数余子式构成的矩阵的转置）。
所以A^(-1)=(1/5)×A=(3/5−1/5−1/52/5)。
2.设矩阵A=147258369，求A的秩R(A)。
解答：对矩阵A进行初等行变换，将其化为行最简形。
通过初等行变换，可以得到A的行最简形为1002−303−60。
所以R(A)=2（非零行的个数）。
四、证明题1.证明：若矩阵A为n阶方阵，且|A|=0，则A不可逆。
证明：根据可逆矩阵的定义，若矩阵A可逆，则存在n阶方阵B，使得AB=BA=E（E为单位矩阵）。
矩阵论--复习(典型例题).
并推导其局部截断误差主项。
解
y( xn1 ) y( xn h)
2 3 4 h h h (4) 5 y( xn ) hy ( xn ) y ( xn ) y ( xn ) y ( xn ) O(h ) 2 6 24
y( xn1 ) y( xn h)
1
I BGS
2 0 0 0 a 1 1 1 0 0 0 2 1 a 1 0 0 0
1
2 0 a 1 1 0 0 2 2 a 0 0 0 2 a 1 1 2 2 a
a 20.1007
dI 2 (at s )t 2 i i i 2a ti 2 ti si da i 1 i 1 i 1
n
n
n
所求运动方程为: 20.1007t s 0
二 数值积分
基本概念 数 值 积 分 N-C公式 Romberg求积公式及外推加速 Gauss求积公式
数值求积思想 代数精度 插值型求积公式 收敛及稳定性
梯形公式 辛普森公式
例2
试确定常数A,B,C及α,使求积公式:
解 令:
2
2
f ( x)dx Af ( ) Bf (0) Cf ( )
代数精确度尽可能高，并确定上述公式的代数精 确度。是否为高斯型求积公式.
f x 1
因此f(x)=0在(2, )内仅有一个根x* 将方程化为等价方程：x＝2＋lnx
1 f ( x ) 1 0 x ∈(2, ) x
1 g ( x ) 2 ln x | g( x ) || | 0.5 x ∈(2, 4) x
矩阵论学习复习资料
x V = X = 1 x 3
x 2 x1 − x 4 = 0 x − x = 0, x4 2 3
5. 设 V1, V2 分别是
V1 = {(x1, x2 L, x2 ) x1 + x2 +L+ xn = 0, xi ∈K} V2 = {(x1, x2 L, x2 ) xi − xi+1 = 0, xi ∈K}
6. 求下列矩阵的 求下列矩阵的Jordan标准形 标准形
1 0 3 1 −1 1 − 4 −1 0 A = − 3 − 3 3 , B = 7 1 2 − 2 − 2 2 − 7 − 6 −1
7. 求下列矩阵的最小多项式
a O −1 − 2 6 a A = −1 0 3, B = b −1 −1 3 N b
0 0 1 0
b N b a O a
8.设A 是一个 阶方阵，其特征多项式为 设 是一个6阶方阵 阶方阵， 最小多项式为m ƒ(λ)=(λ+2)2(λ-1)4, 最小多项式为 A(λ)=(λ+2)(λ-1)3, λ 求出A的若当标准形 求出 的若当标准形. 的若当标准形 9.对于 阶方阵 ，如果使 m=O成立的最小正整数 对于n 阶方阵A，如果使A 对于 成立的最小正整数 为m，则称 是m次幂零矩阵，证明所有 阶n-1次幂 次幂零矩阵， ，则称A是 次幂零矩阵 证明所有n阶 次幂 零矩阵彼此相似，并求其若当标准形 零矩阵彼此相似，并求其若当标准形. 10. 如果λ1,λ2,…, λs是A 的特征值，则Ak的特征值只能 的特征值， …
矩阵论复习 一. 线性空间 1. 线性空间的概念 2. 线性空间的基，维数与坐标（基变换与与坐 线性空间的基，维数与坐标（ 标变换） 标变换） 3. 线性子空间的概念与运算 (1)定义 (2) 运算（交与和，直和） 定义 运算（交与和，直和）
矩阵论复习题(08年12月)
矩阵论复习题第一部分 证明题1 求Frobenius 矩阵0210101n n c A c c ---⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭ 的特征多项式()f I A λλ=-和最小多项式。
答案： （1）1110()n n n f c c c λλλλ--=++++ ，见修订版ch0例2.5（2） 最小多项式就是其特征多项式。
2 设1110()n n n f c c c λλλλ--=++++ ，求证()0f λ=的任一根λ满足{}min max(,1),max(1)i i c c λ≤+∑提示：用上题和盖氏圆盘定理3 设矩阵()n nij A a C⨯=∈为Hermite 矩阵，满足1(1,2,,)nii ij j j ia a i n =≠>=∑证明A 正定。
提示：由圆盘定理证明A 的特征值全大于零。
4 证明矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=---n n n n n n n n n n 2)1()1(143643433232432212121232121212A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。
提示：利用圆盘定理。
见修订版ch4例题4.65 设A 是非奇异矩阵，证明：存在多项式()g λ，使得1()A g A -=。
提示：用Hamilton-Cayley 定理。
6 设,m nn m A CB C ⨯⨯∈∈，证明AB 与BA 有相同的非零特征值。
方法一：证明m n m n I AB I BA λλλ--=-（设m n ≥）见修订版ch0定理2.9方法二：直接用特征值的定义证明。
()(0,0)()()()AB BA B B αλαλααλα=≠≠⇒=，要说明0B α≠7 证明Sylvester 不等式rank()rank()rank()min(rank(),rank())m n n p A B n A B A B ⨯⨯+-≤≤提示：见修订版ch0定理3.12。
矩阵论复习题综合
1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ⋅=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为k x x k =⊗问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为),(112211y x y x y x y x +++=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为)2)1(,(2121x k k kx kx x k -+=⊗ 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim .4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,)}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='=证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有j i i T +=)( j i j T -=2)(1)确定T 在基},{j i 下的矩阵;2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵; 2)求T 的零空间和像空间的维数.7.设线性空间3R 的两个基为(I):321,,x x x , (II):321,,y y y , 由基(I)到基(II)的过度矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=101010101C , 3R 上的线性变换T 满足21321)32(y y x x x T +=++ 12323(24)T x x x y y ++=+31321)43(y y x x x T +=++ 1)求T 在基(II)下的矩阵; 2)求)(1y T 在基(I)下的坐标. 8.在线性空间)(3R P 中321)(x x x a x f +++= 3221)(x x ax x f +++= 32321)(x x x x f +++=讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性.9.在22R ⨯中求由基(I) 12101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 20122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 32112A -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41312A ⎛⎫= ⎪⎝⎭到基(II) 11210B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 21111B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 32211B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41101B --⎛⎫= ⎪⎝⎭的过渡矩阵.10.已知 1(1,2,1,0)α= 2(2,1,0,1)α=- 1(1,1,1,1)β=- 2(1,1,3,7)β=- 设1212(,)(,)V L L ααββ=⋂, 求线性空间V 的维数和基. 11.在)(2R P 中, 对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为⎰=1)()())(),((dx x g x f x g x f若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram -正交化方法,求)(2R P 的一组正交基.12.（1） 设x 和y 是Eucild 空间V 的非零元,它们的夹角是θ,试证明θcos ||||||||2||||||||||||222y x y x y x ⋅-+=-12.（2） 求矩阵10002i A i +⎛⎫= ⎪⎝⎭的奇异值分解.13.设A 为n 阶实矩阵,证明A 可表示为一对称矩阵和一反对称矩阵之和. (提示:若A A T =,称A 为对称矩阵。
矩阵论复习(南航)
H i =1 n
6.常见内积空间
(1) V = C n , 内积 ( x , y ) = y H x = ∑ xi yi ;
i =1 n
(2) V = C[a, b], 内积 ( f , g) = ∫ f ( x)g( x)dx；
b a
( 3) V = C m×n , 内积 ( A, B ) = tr( B H A).
T
其中 Σ = diag (σ 1 , L , σ r ), 且 σ 1 , L , σ r 是 A 的正奇异值 .
6.正规矩阵的性质
（1）n 阶矩阵 A 酉相似于对角矩阵的充分必要条件为 A 是正规矩阵.
（2）设 A, B 均为 n 阶正规矩阵且 AB = BA，则存在 n 阶酉矩阵 U，使得 UHAU 与 UHBU 同时为对角矩阵. （3）若 A 是正规矩阵，则 A 的属于不同特征值的特征 向量正交. （4）若 A 是正规矩阵，则 A 的奇异值是 A 的特征值的 模.
3.矩阵的不变因子、行列式因子和初等因子的求法 （1）化 λI - A 为 Smith 标准形：
λ I − A ≅ diag ( d 1 ( λ ), d 2 ( λ ), L , d n ( λ ))
则 d 1 ( λ ), d 2 ( λ ), L , d n ( λ ) 是 A 的 n 个不变因子． （2）令
5.标准正交基的性质 (1)有限维内积空间 V 的标准正交基一定存在. (2)有限维内积空间 V 的任意一组标准正交向量可扩充为 V 的一组标准正交基. (3)设 ε 1 , ε 2 , L , ε n 是内积空间 V 的一组标准正交基,且 α = x1ε1 +L+ xnε n , β = y1ε1 +L+ ynε n , 则
矩阵理论典型例题
矩阵理论典型例题《矩阵理论》第⼀⼆章典型例题⼀、判断题1．A n 为阶实对称矩阵，n R x 对中的列向量， ||x |Ax =定义, ||x||x 则为向量的范数. ( )2．设A n 为阶Hermite 矩阵，12,,,n λλλ是矩阵A 的特征值，则2221||||nm i i A λ==∑.( )3. 如果m n A C ?∈，且0A ≠，()H AA AA --=, 则2||||AA n -=. ( )4. 若设nx R ∈，则212||||||||||x x x ≤≤. ( ) 5. 设m nA R∈的奇异值为12n σσσ≥≥≥，则2221||||ni i A σ==∑. ( ) 6. 设n n A C ?∈，且有某种算⼦范数||||?，使得||||1A <，则11||()||1||||E A A -->-,其中E 为n 阶单位矩阵. ( )7. 设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2||||m A =( )8. 设n n A C ?∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( )9.设nn CA ?∈可逆，nn CB ?∈，若对算⼦范数有1||||||||1A B -?<，则B A +可逆.( )10. 设A 为m n ?矩阵，P 为m 阶⾣矩阵, 则PA 与A 有相同的奇异值. ( ) 11. 设n nA C∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞=. ( )12. 如果12(,,,)T n n x x x x C =∈，则1||||min i i nx x ≤≤=是向量范数. ( )13. 设,n n A C ?∈则矩阵范数mA ∞与向量的1-范数相容. ( )14、设n nA C∈是不可逆矩阵，则对任⼀⾃相容矩阵范数有1I A -≥, 其中I 为单位矩阵. ( )⼆、设m nA C∈，,||||||ij i jA a =，证明:(1)||||A 为矩阵范数; (2)||||A 为与向量2-范数相容.三、试证：如果A 为n 阶正规矩阵，且Ax x λ=和Ay y µ=，其中，λµ≠，那么x 与y 正交.四、 (1) 设(1)n n A C n ?∈>为严格对⾓占优矩阵，1122(,,,)nn D diag a a a =，其中(1,2,,)ii a i n =为A 的对⾓元，E 为n 阶单位矩阵，则存在⼀个矩阵范数||||?使得1()1r E D A --<.(2) 设n nA C∈,ε为任意给定的正数，()r A 为矩阵的谱半径。
矩阵论试题及答案可编辑全文
2006矩阵论试题答案一．填空（每题4分，共40分）1． 设−−=41311221222832A ，则A 的值域4(){,R }R A y y Ax x ==∈的维数=)(dim A R 2 .2． 设A 的若当标准型−−−=10000011000001100000020000012000002J ，则A 的最小多项式=)(λψm 32(1)(2)λλ+−.3． 设110430102A −=−，则()5432333h A A A A A A =−++−=110430102−− −−. 4． 设埃尔米特阵为 −−+=2005111i i i i A ， 则矩阵A 为 正定的 埃尔米特阵.5． 在3R 中有下列两组向量：()13,1,2Tα=−−，()21,1,1Tα=−，()32,3,1Tα=−； ()11,1,1Tβ=，()21,2,3Tβ=，()32,0,1Tβ=，则由321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵=P 619113421270−−−−−− −− .6．设33CA ×∈，21332211{}ij m j i A a ===∑∑，H AA 的非零特征值分别为15 ,5 ,3，则=2mA.7． 设12102101, 11111137A B −== −−，12,V V 分别为齐次线性方程组 0Ax =，0Bx =的解空间，则=)dim(21V V ∩ 1 .8． 设1(1)1(1)121()321nn n n n n n A n n n n +−−=++ −，则lim n n A →∞=1311e .9． 设213121202A −=，则A 的 LDU 分解为 A =100121012/51 2001123205200115004/5001− − − 10．设 −=5221A ，=0242B ，则2448204048102040100A B−−−⊗=. 二．（10分）设T 为n 维欧氏空间V 中的线性变换，且满足：),(),(Ty x y Tx −=，试证明：T 在标准正交基下的矩阵A 为反对称阵（T A A −=）证明：设n ααα,,,21 为V 的标准正交基，n n ij a A ×=}{，下证：ji ij a a −=： 由=),,,(21n T ααα A n ),,,(21ααα 知n ni i i i a a a T αααα+++= 2211，n nj j j j a a a T αααα+++= 2211， ),(),(j i j i T T αααα−=；=),(j i T ααji j n ni i i a a a a =+++),(2211αααα ， =),(j i T ααij n nj j j i a a a a =+++),(2211αααα , 所以：ji ij a a −=.三．（10分）在复数域上求矩阵−−−=7137341024A 的若当标准形J ，并求出可逆矩阵P 使得J AP P =−1.解： A 的若当标准形210021002J=. 令123(,,)P p p p =，则有112123232,2,2Ap p Ap p p Ap p p ==+=+;1213262100621062104170,417,4173150315315p p p p p −−−−=−=−= −−−解得：123(2,1,1),(0,1,0),(1,2,1)T T Tp p p ===− , 201112101P=−.四. （10分）已知 =654321x x x x x xX ，162534()sin()x x f X e x x x x =++，求dXdf . 解答：16161234652543225516cos()cos()x x x x ff f x x x df dX ff f x x x x e x x x x x x x x x e ∂∂∂∂∂∂== ∂∂∂ ∂∂∂. 五.（10分）已知311202113A −=−−−，求4sin()A π，Ae .解：3||(2)E A λλ−=−，A 的最小多项式2)2()(−=λλϕ .待定系数一：令24sin ()(2)q a b πλλλλ=−++，则21,0a b b +==,4sin()A E π=;令2()(2)e q a b λλλλ=−++，则222,a b e b e +==.222211212112A e e e E e A −−=−+=− −−.待定系数二：令324sin ()(2)q a b c πλλλλλ=−+++，则22222414018,8,32216a b c b c a b c c ππππ ++=+=⇒=−==− =− ; 224sin()(44)32A E E A A E ππ=−−+=.令32()(2)e q a b c λλλλλ=−+++，则2222222414,,22a b c e b c e a e b e c e c e++= +=⇒==−== ; 2221()2211212112A e e E A A e −−− =− +−−= .六.（10分）设−=01200110A ，求A 的奇异值分解. 解答一：=5002A A H ，A 的奇异值为5,2; 00Σ= , 25H HV A AV = ，1001V =; 1100100100200100U AV −−− =Σ==; 00000000U− =; 0000010001 0 000 0 000A=.解答二：=5002A A H ，那么A 的奇异值为5,2，A A H对应于特征值5，2的标准特征向量为 = =01,1021x x ，=0110V ; 再计算H AA 的标准正交特征向量，解得分别与5，2，0，0对应的四个标准正交特征向量=0520511υ， −=2102102υ，−=0510523υ，=2102104υ，−−=210210051052210210052051U ; 所以=∆=HV UA 0000000000000110.七．（10分）设n n i A ×∈≠C 0，2rank rank i i A A =),,2,1(n i =，且当i j ≠时),,2,1,(0n j i A A j i ==.试用归纳法证明存在同一个可逆阵n n P ×∈C 使 得对所有的i ),,2,1(n i =有1−=P PE a A ii i i ，其中C ∈i a . 证明：1n =时，命题显然.假设n k ≤时，命题成立. 当1n k =+时，设1rank A r =.由若当分解11111000D A P P − =，其中1C r rD ×∈可逆; 当2,,j n = 时，由110j j A A A A ==可得1(1)(1)1100, C 0n n j jj A P P B B −−×− =∈(直接推出的j B 为()()n r n r −×−的) 再由0i j A A =得0i j B B =(,,2,,)i j i j n ≠= ;0j B ≠,2rank rank j j B B =也是明显的.由假设知存在可逆阵(1)(1)C n n Q −×−∈使得1j j jj B a QE Q −=，其中C j a ∈，2,,j n = .此时,再由110j j A A A A ==得到11111111110101010000000a A P P a P P Q Q −−− == ; 记1100P P Q =，则 11111111100000000 (2,,).0 j j j jj j j jj jj A P P P P B a QE Q a P P a P E P j n E −−−−− =====由归纳原理知命题为真.。
矩阵理论历年试题汇总及答案
矩阵理论历年试题汇总及答案矩阵理论是线性代数中的一个重要分支，它涉及到矩阵的运算、性质以及矩阵在不同领域中的应用。
历年来的矩阵理论试题通常包括矩阵的基本运算、矩阵的特征值和特征向量、矩阵的分解等重要概念。
以下是对矩阵理论历年试题的汇总及答案解析。
矩阵的基本运算试题1：给定两个矩阵 \( A \) 和 \( B \)，其中 \( A =\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，\( B =\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \)，求 \( A + B \) 和 \( AB \)。
答案：首先计算矩阵的加法 \( A + B \)，根据矩阵加法的定义，对应元素相加，得到 \( A + B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \)。
接着计算矩阵乘法 \( AB \)，根据矩阵乘法的定义，得到 \( AB = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix} \)。
特征值和特征向量试题2：已知矩阵 \( C = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -1\end{bmatrix} \)，求 \( C \) 的特征值和对应的特征向量。
答案：首先求特征值，我们需要解方程 \( \det(C - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。
计算得到 \( \det(\begin{bmatrix}4-\lambda & -2 \\ 1 & -1-\lambda \end{bmatrix}) = (4-\lambda)(-1-\lambda) - (-2)(1) = \lambda^2 - 3\lambda - 2 \)。
矩阵论深刻复知识题第二章
第二章内积空间一、基本要求1、掌握欧氏空间和酉空间的定义与性质，掌握Hermite 矩阵的定义，理解欧氏(酉)空间中度量的概念．2、掌握线性无关组的Schmidt 正交化与对角化方法，理解标准正交基的性质．3、理解Hermite 二次型的定义．4、掌握在一组基下的度量矩阵的概念，标准正交基下度量矩阵的性质及两组标准正交基下的度量矩阵的关系．5、了解欧氏子空间的定义．6、掌握正交矩阵与酉矩阵的定义与性质，理解正交(酉)变换与正交(酉)矩阵的关系．7、掌握对称矩阵与Hermite 矩阵的定义与性质，理解对称(Hermite) 变换与对称(Hermite) 矩阵的关系．8 、掌握矩阵可对角化的条件，会求一个正交( 酉)矩阵把实对称(Hermite) 矩阵化为对角形矩阵，会求一组标准正交基使线性变换在该基下对应的矩阵是对角形矩阵．二、基本内容1、内积空间设数域F上的线性空间V n(F)，若V n(F)中任意两个向量，都有一个确定的数与之对应，记为( , ) ，且满足下列三个条件⑴对称性：(，)(，)，其中(，)表示对数(，)取共轭;称V n (C)为酉空间.H A (a ”)m n ? B (b ij )m n , (A, B) tr(A B)i 1在实多项式空间P n ［x ］及［a,b ］上连续函数空间C ［a,b ］中，函数f(x),g(x) 的内积为b(f(x),g(x)) a f(x)g(x)dx2、向量的长度、夹角、正交性定义| | V (-)，称为 的长度，长度为 1的向量称为单位向量,/I 是的单位向量.长度有三个性质：(1) 非负性：I I 0，且(，)00 ；(2) 齐次性：|k | k|| ,k 表示数k 的绝对值； (3) 三角不等式:线性性:k 2 2, )k 1 ( 1?) k 2(2?)；正定性: (,)0,当且仅当0 时，(,)则称(， )为向量与的内积.当FR 时，称V n (R)为 欧氏空间；当F C 时,其中注意：在R 中, 通常的几个内积:(1) R n中，(，c n中,(X 1,X 2,,X n )T,,k ) k(,); nX i Y ii 1n ____X i y ii 1(力”2, 在C n 中，(,k)k(,,y n )T.R mn 中,n ___a ijb ij .定理（Cauchy-Schwarz 不等式）（,）与的夹角定义为arccos(,)当（，）0时，称与正交，记若非零向量组s两两正交，即（i jj) 0，称s是一个正交组；又若1,i 1,2,,s，则称s为标准正交组，即(i, j)1,i0,ij,j.定理（勾股定理）)0,即3、标准正交基标准正交基指欧氏（酉）空间中由两两正交的单位向量构成的基.构造方法：对欧氏（酉）空间的一个基进行Schmidt正交化可得正交基，再对正交基进行单位化可得标准正交基.把线性无关向量s正交化为s正交向量组:2,3,,s.再把i单位化：i i,i 1,2,,s，则,s为标准正交组.在标准正交组1, 2, ,n下，向量可表为:X1 1 X2 2 X n n (,1)1 2)2 坐标X i （ , i ）表示在i上的投影长度.4、基的度量矩阵度量矩阵是以欧氏(酉)空间的基中第i个元素与第j个元素的内积为i行j列元素构成的方阵.设欧氏(酉)空间V的一个基为x「X2, , X n，令a j (x「X j)(i,j 1,2, ,n),则该基的度量矩阵为A (a ij)nn •基的度量矩阵是实对称(Hermite)正定矩阵，它的阶数等于欧氏(酉)空间的维数，正交基的度量矩阵是对角矩阵，标准正交基的度量矩阵是单位矩阵.设酉空间V的一个基为x1,x2, , x n，该基的度量矩阵为A , x, y V在该基下的坐标(列向量)分别为与，那么x与y的内积(x, y) T A •当V为欧氏空间时，(x,y) T A•当此基为标准正交基，酉空间V的x与y的内积(x, y) T，欧氏空间V的x与y 的内积(x, y) T•设欧氏空间V n的两个基分别为(I )X i,X2, ,X n和(n ) y i , y2, , y n，且由基(i )改变为基(n )的过渡矩阵为c,基(I)的度量矩阵为A，基(n)的度量矩阵为B，则有：(1)B C T AC •(2)基(I )是标准正交基的充要条件是 A I •(3)若基(i)与基(n)都是标准正交基，则C是正交矩阵.(4)若基(i)(或(n))是标准正交基，C是正交矩阵，则基(n)(或基(i))是标准正交基.5、正交变换与对称变换(i )关于正交变换，下面四种说法等价：1)T是欧氏空间V n的正交变换，即对于任意的x V n，有(Tx,Tx) (x,x) ；2)对于任意的x, y V n，有(Tx,Ty) (x, y)；3)T在V n的标准正交基下的矩阵为正交矩阵；4)T将V n的标准正交基变换为标准正交基.(ii )关于对称变换，下面两种说法等价：1)T是欧氏空间V n的对称变换，即对于任意的x, y V n，有(Tx, y) (x,Ty);2)T在V n的标准正交基下的矩阵为对称矩阵.(iii)若T是欧氏空间V n的对称变换，则T在V n的某个标准正交基下的矩阵为对角矩阵.(i v )在欧氏空间V n中，若正交变换T的特征值都是实数，则T是对称变换.6、相似矩阵(1)A C nn相似于上(下)三角矩阵.(2)A C n n相似于Jordan 标准形矩阵.(3)A C n n酉相似于上三角矩阵.(4)设 A C n n，则A H A AA H的充要条件是存在酉矩阵P ，使得P H AP (对角矩阵).(5)设A C n n的特征值都是实数，则A T A AA T的充要条件是存在正交矩阵Q ，使得Q T AQ .(6)实对称矩阵正交相似于对角矩阵.三、典型例题例1、在R n中,设(1, 2, , n), ( 1, 2, , n)，分别定义实数(，)如下:')2；ni)( j)；j 1判断它们是否为R n中与的内积.(k ,n((ki 1i)2i2)12知，当k 0且（，0 时，（k 积.(2)取(1, ,0) 0 ,故该实数不是R n中与的内积.例2、R n中，向量组nk(i 1i2) k（,）0,k( ）.故该实数不是R n中n线性无关的充要条件是与的内l) l) 2)2)n)n)l) 2)n) 证方法一设An），则(i，j) A TA A T A A2 0n线性无关.(x1 1 X2 2 X n n , i )0,i 1,2, ,n , 即X1( 1, 1)Xn (1,n) 0,X1( 2, 1) X n( 2 ,n) 0,X1( n, 1) X n( n ,n) 0,齐次方程组仅有零解的充要条件是系数矩阵的行列式(i, j) 0,即1, 2, , n线性无关.例3、设欧氏空间P[t]3中的内积为1(f,g) 1 f (t)g(t)dt(1)求基i,t,t2的度量矩阵.⑵ 采用矩阵乘法形式计算f(t) 1 t t2与g(t) 1 4t 5t2的内积.解(1)设基1,t,t2的度量矩阵为A @訂3 3，根据内积定义计算a0(i j)an (1,1) 1dt12 ,a12 (1,t)1tdt 01一2、12 .2 1 2 2a13 (1,t ) t2dt13，a22 (t,t) t2dt13，21 a23 (t,t ) t3dt1 0 ,a33 (t2,t 2) 1t4dt125 .由度量矩阵的对称性可得a j a ji (i j) ，于是有2 0 2 3A 0 2 3 0 .2 3 0 2 5(2) f(t)和g(t)在基1,t,t 2下的坐标分别为(1,1,1)T, (1, 4, 5)T，那么2 02 31(f,g) T A(1, 1,1) 0 2 3 0 4 0 .2 3 0 2 5 5例4、欧氏空间P[t]3中的多项式f (t)和g(t)的内积为1(f, g) 1 f(t)g(t)dt ,取f i(t) t，记子空间W L(f i(t))・(1)求W T的一个正交基；(2)将W T分解为两个正交的非零子空间的和.解⑴设g(t) k o k i t kf W T，则有(f i,g) 0,即1 12，1 f i (t)g (t)dt 1 t(k o k1t k2t )dt 0也就是k1 0 .于是可得W T{g(t)g(t) k o k2t2,k o,k2 R}.取W T的一个基为1,t2，并进行正交化可得g1(t) 1,2 (t2,gj~t2g2(t) t- g1那么，g1（t）,g2（t）是W T的正交基.⑵令V1 L(g1(t))M L(g2(t))，则« 与5 正交，且W T« J .例5、已知欧氏空间V2的基治,X2的度量矩阵为采用合同变换方法求V2的一个标准正交基（用已知基表示）.解因为A对称正定，所以存在正交矩阵Q，使得Q T AQ（对角矩阵），计算得1 0 1 1 10 9 , Q 2 1 1 ,113 1C Q—,3^2 3 1则有C T AC E .于是，由（y1,y2）（X1,X2）C可得V2的一个标准正交基为设,V nn nX i i ,y j j ，i 1j 1则(nn,)(X i i , y jj)i 1 j 1(T( ),T( nn))(XT( i ),y j T(i 1j 1n nn nX i y j ( i , j )，i 1 j 1n nj))約」仃(i ),T( j ))i 1 j 1例6、在欧氏空间中，定义与的距离为：d(,) ，试问：保持距离不变的变换是否为正交变换？答 不一定，例如R 2中向量的平移变换：(x,y) R 2,T(x,y) (x 1, y 1)，i(X i , y i ),2区皿)R 2,T( i )(X i 1,y i1),T( 2) (X 2 ly 1)，d(T( i ),T( 2)) T( 1) T( 2) J(x i X 2)2 (y i y ?)2| 1 2d( 1, 2).虽然保持距离不变，但平移变换不是线性变换，更不是正交变换.例7、设i , 2,, n 与1, 2, , n 是门维欧氏空间两个线性无关的向量组,证明存在正交变换T ，使T( i ) i ,i 1,2, ,n 的充要条件是(i, j) (i, j ), i, jh 2, , n-证必要性因为T 是正交变换：(T( i ),T( j )) ( i , j )，又已知T( i ) iy i,2(XiX 2), y 2312(XX 2) •故有(i , j ) ( i , j ) •充分性 定义变换T ，使得T( i ) i一的•下证T 是正交变换•已知(i , j )1,2, ,n ，则T 是线性变换，且是唯 (i , j )，则有仃 i ,T j )( i , j )，w( i , j )-例8、设1, 2, 3是欧氏空间V3的一组标准正交基，求出V3的一个正交变换T ,使得1T( 1)—(2 1 2 2 3),31T( 2) -(2 1 2 2 3).3解设T( 3) X1 1 X2 2 X3 3，使得T( 1),T( 2),T( 3)是标准正交的，因T( 1),T( 2)已标准正交，则只要满足(T( 3),T( 1)) 0,(T( 3),T( 2)) 0,T( 3) 1，即2x1 2x2 x30,2X1 X2 2x3 0,x； x；x； 1.1解得X1 1.3,X2 2 3,X3 2 3 ，即T( 3) -( 1 2 2 2 3)，得3T( J,T( 2),T( 3)是标准正交基.因T把标准正交基变为标准正交基，故T是正交变换.另法设T( 3)的坐标为(X1,X2,X3)T，由2 3 X12 3(T( 1),T( 2),T( 3)) ( 1, 2, 3) 2 3 1 3 X2 ( 1, 2, 3)A1 323 X3T是正交变换A为正交阵•由A T A E，解得1x1 1 3 , x2 x3 2 3，则T(3) 3 ( 1 2 2 23)-—例9、设x o是欧氏空间V中的单位元素，定义变换T (x) x 2(x,X o)X o (x V)(1)验证T是线性变换；(2)验证T既是正交变换，又是对称变换;(3)验证x o是T的一个特征向量，并求其对应的特征值.证(1) 设x,y V ，k,l R，则有T(kx ly) (kx ly) 2(kx ly,x0)x0=k[x 2(x,x0)x0] l[y 2(y,x0)x0]= k(T(x)) l(T(y))，故T是线性变换.(2) 因为2(T(x),T(x)) (x,x) 4(x,x0)(x,x0) 4(x,x0) (x0,x0) (x,x)所以T是正交变换.设y V，则T(y) y 2(y,X o)x。
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时间t/s
距离s/m 0 解
作直线模型: at+s=0 n为观测点数
定义残差向量:
V (at1 s1, at2 s2 ,
2
2
, atn sn )T
I (a) V
(ati si )
i 1
n
2
dI 2 53.63a 2 1078 所以: da 令: dI 2 53.63a 2 1078 0 da
并推导其局部截断误差主项。
解
y( xn1 ) y( xn h)
2 3 4 h h h (4) 5 y( xn ) hy ( xn ) y ( xn ) y ( xn ) y ( xn ) O(h ) 2 6 24
y( xn1 ) y( xn h)
T
cos sin 令 R 使得 sin cos
2 a 1 2 0 0 0 a 1 1 1 2 1 1 0 0 0 2 1 a 1 1 a 1 0 0 0
Gauss-Seidel迭代矩阵:
BG S
2 0 0 0 a 1 1 1 0 0 0 2 1 a 1 0 0 0
Romberg求积公式及外推加速 Gauss求积公式
例2
试确定常数A,B,C及α,使求积公式:
解 令:
2
2
f ( x)dx Af ( ) Bf (0) Cf ( )
代数精确度尽可能高，并确定上述公式的代数精 确度。是否为高斯型求积公式.
f x 1
xdx 0 A C 2 2 2 f x x x2 dx 16 A 2 C 2 2 3 2 3 f x x x3dx 0 A 3 C 3
1 f ( x ) 1 0 x ∈(2, ) x
因此f(x)=0在(2, )内仅有一个根x* 将方程化为等价方程：x＝2＋lnx
1 g ( x ) 2 ln x | g( x ) || | 0.5 x ∈(2, 4) x
因此， x0(2, ), xk+1＝2＋lnxk产生的序列 xk 收敛于x* 取初值x0＝3.0,计算结果如下： k xi 0 3.000000000 5 3.145702209 10 3.146191628 1 3.098612289 6 3.146037143 11 3.146192714 2 3.130954362 7 3.146143611 12 3.146193060 3 3.141337866 8 3.146177452 13 3.146193169 4 3.144648781 9 3.146188209 14 3.146193204
(1) 线性方程组
2 x ax x b 1 2 3 1 x1 x2 2 x3 b2 x1 ax2 x3 b3
Jacobi 迭代
b1 k 1 a 1 (k ) (k ) x2 x3 x1 2 2 2 k 1 k (k ) x x 2 x 2 1 3 b2 k 1 k (k ) x3 x1 ax2 b3 (2) 线性方程组
数值解法
方程组与高阶方程
y f ( x, y ) 例5 给定求解常微分方程初值问题 y ( x ) y 0 0 的线性多步公式
yn1 ( yn yn1 ) h(1 fn1 fn 1 fn1 )
试确定系数
, 1 , 1, 使它具有尽可能高的精度，
f ( xn1 , y( xn1 )) y( xn1 ) y( xn h)
2 3 h h (4) 4 y ( xn ) hy ( xn ) y ( xn ) y ( xn ) O(h ) 2 6
线性多步公式局部截断误差
R xn1 y( xn1 ) ( y( xn ) y( xn1 ))
O(h5 )
1 2 0 令: 1 1 0 1 0 1 1 2 2 1 1 3 1 1 得: 8 8 2
1 1 1 0 此时: 6 6 2 2
1 1 1 1 0 24 24 6 6 48
2 3
(1 2 ) y( xn )
(1 1 1 1 )hy( xn ) 1 2 ( 1 1 )h y( xn ) 2 2 1 1 3 1 ( )h y( x )
6
24 24 6 6
n 6 2 2 1 1 4 (4) 1 ( )h y ( xn )
a 20.1007
dI 2 (at s )t 2 i i i 2a ti 2 ti si da i 1 i 1 i 1
n
n
n
所求运动方程为: 20.1007t s 0
二
数值积分
数值求积思想 代数精度 插值型求积公式 收敛及稳定性
梯形公式 辛普森公式
基本概念 数 值 积 分 N-C公式
2 3 h h (4) 4 h1[ y ( xn ) hy ( xn ) y ( xn ) y ( xn ) O(h )] 2 6
hy( xn )
h1[ y( xn ) hy( xn ) h y( xn ) h y (4) ( xn ) O(h4 )] 2 6
2 3 4 h h h y( xn ) hy( xn ) y( xn ) y( xn ) y (4) ( xn ) O(h5 ) 2 6 24
f ( xn1 , y( xn1 )) y( xn1 ) y( xn h)
2 3 h h (4) 4 y ( xn ) hy ( xn ) y ( xn ) y ( xn ) O(h ) 2 6
特征值特征向量
特征值特征向量正交相似 反射 变换 平面旋转 QR分解 幂法 迭代法 反幂法
重要概念
雅可比法
变换法 QR法
先看一个简单的例子. a11 a12 是二阶实对称矩阵, 即a =a , 其特 设 A 21 12
a21 a22
征值为λ1, λ2.
1 R AR 2
另一种迭代格式
xk (1 lnxk ) xk 1 xk 1
0 3.000000000 1 3.147918433
2 3.146193441 3 3.146193221源自五常微分方程数值解
局部截断误差 重要概念 方法精度 重要构造方法 单步法 线性多步法 差分构造 积分构造 泰勒展式构造
2 3 4 h h h y( xn ) hy( xn ) y( xn ) y( xn ) y (4) ( xn ) O(h5 ) 2 6 24
y( xn )
2 3 4 h h h [ y( xn ) hy( xn ) y( xn ) y( xn ) y (4) ( xn ) O(h5 )] 2 6 24
计算方法复习
典型概念例题
零
绪论
分类 误 差 及 算 法 舍入 截断 绝对 度量 相对 有效数字 一元函数 算法 传播 n元函数
误差
一
插值与逼近
工具
差商 差分 插值基函数 存在唯一性 误差估计 插值公式 Hermite插值 分段线性 分段三次Hermite插值 三次样条插值
插值法
多项式插值
分段多项式 插值
16 B 9
10 C 9
5 5
f x x f x x
2 6
5 6
2
2
x dx 0 A C
5
128 8 12 6 6 2 x dx 7 A C 2 3 52
所以代数精确度为5次.
2
因为代数精确度为2×3=5次,是高斯型求积公式.
三
线性方程组
Gauss消去法 矩阵三角分解法 直接法 追赶法 向量和矩阵范数 矩阵条件数
三
线性方程组
迭代格式
基本概念 收敛条件 雅可比迭代
迭代法
高斯-塞德尔迭代 SOR迭代
迭代收敛速度
例3
设线性方程组
Ax b 的系数矩阵为:
2 a 1 1 1 2 1 a 1
解
(1)写出Jacobi 迭代法的迭代格式 (2)确定a的取值范围，使方程组对 应的Gauss-Seidel迭代收敛。
令 得
I BGS 0 1 3 2a 1 0 2 2
2a 1
1 1 a 2 2
四
非线性方程求根
二分法 不动点迭代法及收敛性理论
求根法 牛顿迭代法 弦截法 插值型迭代 抛物线法
例5 用一般迭代法求方程x-lnx＝2在区间(2, )内的根， 要求|xk-xk-1|/|xk|<=10-8 解 令f(x)=x-lnx-2 f(2)<0, f(4)>0,故方程在(2,4)内至少有一个根 又
所以当:
1 2
3 1 8
1 1 8
1 3 1 yn1 ( yn yn1 ) h( f n1 f n f n1 ) 2 8 8
为三阶多步公式.
1 4 (4) h y ( xn ) 局部截断误差主项为: 48
六
特 征 值 及 特 征 向 量 解 法
h(1 f ( xn1, y( xn1 )) f ( xn , y( xn )) 1 f ( xn1, y( xn1 )))
y( xn1 ) ( y( xn ) y( xn1 ))
h(1 y( xn1 ) y( xn ) 1 y( xn1 ))
1 2 a0 2 a1 3 1 1 2 a0 a1 3 5 2