函数方程不等式之间的关系.docx
函数与方程不等式之间的关系
函数与方程不等式之间的关系
函数、方程和不等式是数学中的基本概念，它们之间存在密切的联系。
函数是描述两个变量之间关系的数学模型，通常表示为 y = f(x)，其中 x 和
y 是变量，f 是函数关系。
函数有多种类型，其中一次函数是最简单的一种，表示为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，a ≠ 0。
方程是含有未知数的等式，用来表示未知数和已知数之间的关系。
一元一次方程是最简单的一类方程，形如 ax + b = 0，其中 a 和 b 是已知数，a ≠ 0。
解这个方程可以得到未知数的值。
不等式是用不等号连结的两个解析式，表示两个量之间的大小关系。
一元一次不等式是最简单的一类不等式，形如 ax + b > 0 或 ax + b < 0，其中 a 和 b 是已知数，a ≠ 0。
解这个不等式可以得到满足不等式的值的范围。
函数、方程和不等式之间存在密切的联系。
一次函数和一元一次方程、一元一次不等式之间的关系特别重要。
对于一次函数 y = ax + b，当函数的值等于 0 时，自变量 x 的值就是一元一次方程 ax + b = 0 的解。
如果一次函数的值大于 0，则自变量 x 的值满足一元一次不等式 ax + b > 0；如果一次函数的值小于 0，则自变量 x 的值满足一元一次不等式 ax + b < 0。
因此，函数、方程和不等式是相互联系的，可以通过它们之间的关系来理解和解决数学问题。
一次函数与一次方程、一次不等式的关系.docx
《一次函数与一次方程、一次不等式》教学设计授课教师：西滨中学林珊娜班级：C二6时间:2017年3月30日课标通过具体实例体会一次函数图像上的每一个点的坐标与一次方程的解、一次不等要求式的解集之间的关系。
教学知识技能： 1、经历一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的探索过程，体目标会方程、不等式与函数之间的关系。
2、能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集。
数学思考：通过观察、探索、实践等数学活动中，建立空间观念，培养识图能力，体会数形结合、转化等数学思想。
问题解决：在探索一次函数与一次方程、一次不等式的关系过程中，获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。
情感态度：通过观察一次函数图象与X 轴的交点坐标与一元一次方程的解的联系，一次函数图象与一元一次不等式解集的联系，进一步体会数学的严谨性及数学结论的确定性。
通过主动探究，体验在探究中发现，从而获得成功的喜悦。
教材函数、方程、不等式是人们刻画现实世界的重要数学模型。
前面的学习，学生已分析经从数的角度认识一次方程和一次不等式，从形的角度认识了一次函数和数轴表示不等式的解集。
本课通过探究一次函数图像和一元一次方程、一元一次不等式之间的关系，学会利用一次函数的图象求一元一次方程的解和一次不等式的解集，这对发展学生“数形结合”思想、“转化”思想和识图能力具有重要的意义，同时也为今后二次函数与一元二次方程的关系的学习奠定基础。
教学重点：利用一次函数的图象求一次方程、一次不等式的解。
重、难点：通过一次函数图象求一元一次不等式的解集。
难点学情1、学生已经会解一次方程和一次不等式，并从形的角度认识一次函数的图象和在数分析轴上表示不等式的解集，学生具备知识基础。
2、八年级学生的思维主要停留在直观的形象思维上，要把“数”和“形”巧妙地结合，并进行灵活地转换存在一定的困难。
因此，如何创设问题，引导学生用联系的观点进行探究是本课的关键。
二次函数与一元二次方程、不等式 课件(2)
实根
没有实数根
b
(a>0)的根
x1,x2
2a
(x1<x2)
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x<x
_______1
或x>x2} {x|x≠x
_________
__________
________
1} {x|x∈R}
{x|x1
_______
______
数. （若二次项系数带参数，考虑参数等于零、不等于零）
2、解决恒成立问题，一定要搞清谁是主元，谁是参数，一
般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参
数.
[跟踪训练二]
1.
已知不等式 x 2 x a 0 的解集为 x|x 3 或 x 2 ，
则实数 a __________.
次不等式之间的联系；
2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；
3.数学运算：解一元二次不等式；
4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；
5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二
次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联
系。
自主预习，回答问题
• 阅读课本50-52页，思考并完成以下问题
• 1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.
（3） − 2 + 4 − 4 < 0
1
（4） 2 − + 4 ≤ 0
答案：（1） | < −, 或 >
（3） | ≠
（2） | ≤ −, 或 ≥
方程函数不等式之间关系
◆知识讲解1．一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax +b （a≠0，a ，b 为常数）中，函数的值等于0时自变量x 的值就是一元一次方程ax +b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－ba，0）是直线y=ax+ b 与x 轴的交点坐标，反过来也成立；直线y=ax +b 在x 轴的上方，也就是函数的值大于零，x 的值是不等式ax+ b>0（a≠0）的解；在x 轴的下方也就是函数的值小于零，x 的值是不等式ax +b<0（a≠0）的解．2．坐标轴的函数表达式函数关系式x=0的图像是y 轴，反之，y 轴可以用函数关系式x=0表示；•函数关系式y=0的图像是x 轴，反之，x 轴可以用函数关系式y=0表示．3．一次函数与二元一次方程组的关系一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系．4．两条直线的位置关系与二元一次方程组的解（1）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有唯一的解⇔直线y=k 1x+b 1不平行于直线y=k 2x+b 2⇔k 1≠k 2．（2）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩无解⇔直线y=k 1x+b 1∥直线y=k 2x+b 2 ⇔k 1=k 2，b 1≠b 2．（3）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有无数多个解⇔直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2重合⇔k 1=k 2，b 1=b 2．◆例题解析例1 （2006，长河市）我市某乡A ，B 两村盛产柑橘，A•村有柑橘200t ，•B•村有柑橘300t ．现将这些柑橘运到C ，D 两个冷藏仓库，•已知C•仓库可储存240t ，•D•仓库可储存260t ；从A 村运往C ，D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 村运往C ，D 两处的费用分别为每吨15元和18元，设从A村运往C仓库的柑橘重量为xt，A，B•两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为y A元和y B元．（1）请填写下表，并求出y B，y A与x之间的函数关系式；（2）试讨论A，B两村中，哪个村的运费较少；（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过480元．在这种情况下，•请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．【分析】（1）根据运输的吨数及运费单价可写出y，y与x之间的函数关系．（2）欲比较y A与y B的大小，应先讨论y A=y B的大小，应先讨论y A=y B或y A>y B或y A<y B 时求出x的取值范围．（3）根据已知条件求出x的取值范围．根据一次函数的性质可知在此范围内，两村运费之和是如何变化的，进而可求出相应的值．【解答】（1）y A=－5x+5000（0≤x≤200），y B=3x+4680（0≤x≤200）．（2）当y A=y B时，－5x+5000=3x+4680，x=40；当y A>y B时，－5x+5000>3x+4680，x<40；当y A<y B时，－5x+5000<3x+4680，x>40．∴当x=40时，y A=y B即两村运费相等；当0≤x<40时，y A>y B即B村运费较少；当40<x≤200时，y A<y B即A村费用较少．（3）由y B≤4830得3x+4580≤4830．∴x≤50．设两村运费之和为y，∴y=y A+y B，即：y=－2x+9680．又∵0≤x≤50时，y随x增大而减小，∴当x=50时，y有最小值，y最小值=9580（元）．答：当A村调往C仓库的柑橘重为50t，调运D仓库为150t，B村调往C仓库为190t，调往D仓库110t的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元．例2 某家庭今年3个月的煤气量和支付费用见下表：该市的煤气收费方法是：基本费+超额费+•保险费，•若每月用气量不超过最低量am3，则只付3元基本费和每户的定额保险费c元；若用气量超过acm3，则超过的部分每立方米支付b元，并知c≤5元，求a，b，c．【分析】数学能帮助我们解决许多生活中的实际问题，本题要求a，b，c的值，•不妨设每月用气量为x（m2），支付费用为y（元），再根据题意列出x，y的关系表达式，即y=3(0) 3()()c x ab x ac x a+≤≤⎧⎨+-+>⎩由此可推断出a，b，c的值．【解答】设每月用气量为xm3，支付费用为y元，根据题意得y=3(0) 3()()c x ab x ac x a+≤≤⎧⎨+-+>⎩∵c≤5，∴c+3≤8因2月份和3月份的费用均大于8，故用气量大于最低限度am3，将x=25，y=14；x=35，y=19分别代入②得143(25) 193(35)b a cb a c=+-+⎧⎨=+-+⎩④－③得：10b=5 ∴b=0.5把b=0.5代入③得a=3+2c又因1月份的用气量是否超过最低限度尚不明确，故当a<4时，将x=4•代入②得4=3+0.5[4－（3+2c）]+c，即4=3.5－c+c不成立则a≥4，此时的付款分式选①，有3+c=4∴c=1把x=1代入a=3+2c得a=5∴a=5，．b=0.5，c=1．【点评】本题要求a，b，c的值，表面看与一次函数无关，•但实际上题中不仅包含函数关系，而且是一个分段函数，求分段函数解析式的关键是分清各段的取值范围，其条件分别在各自的取值范围内使用，若有不确定的情形，须进行分类讨论．1．（2008，武汉）如图1所示，直线y=kx+b经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点，则不等式组12x<kx+b<0的解集为_______．图1 图2 图32．（2006，江苏南通）如图2，直线y=kx（k>0）与双曲线y=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于_______．3．如图3所示，L甲，L乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s与时间t的关系，观察图像并回答下列问题：（1）乙出发时，与甲相距______km；（2）走了一段路后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车为_____h；（3）乙从出发起，经过_____h与甲相遇；（4）甲行走的路程s与时间t之间的函数关系式_______；（5）如果乙自行车不出现故障，那么乙出发后经过______h与甲相遇，相遇处离乙的出发点____km．并在图中标出其相遇点．4．（2006，山西太原）如图所示的图形都是二次函数y=ax2+bx+a2－1的图像，若b>0，则a 的值等于（）A．152-B．－1 C．152--D．15．如图，一次函数y=kx+6的图像经过A，B两点，则kx+b>0的解集是（）A．x>0 B．x<2C．x>－3 D．－3<x<26．（2004，安徽省）购某种三年期国债x元，到期后可得本息和y元，已知y=kx，•则这种国债的年利率为（ ） A ．k B ．3k C ．k －1 D ．13k - 7．（2006，浙江舟山）近阶段国际石油迅速猛涨，中国也受期影响，为了降低运行成本，部分出租车进行了改装，改装后的出租车可以用液化气来代替汽油．•假设一辆出租车日平均行程为300km ．（1）使用汽油的出租车，假设每升汽油能行驶12km ，当前的汽油价格为4.6元/L ，•当行驶时间为t 天时，所耗的汽油费用为p 元，试写出p 关于t 的函数关系式；（2）使用液化气的出租车，假设每千克液化气能行驶15～16km ，•当前的液化气价格为4.95元/kg ，当行驶时间为t 天时，所耗的液化气费用为w 元，试求w 的取值范围（用t 表示）；（3）若出租车要改装为使用液化气，每辆需配置成本为8000元的设备，•根据近阶段汽油和液化气的价位，请在（1）（2）的基础上，计算出最多几天就能收回改装设备的成本？•并利用你所学的知识简单说明使用哪种燃料的出租车对城市的健康发展更有益．（用20字左右谈谈感想）．8．（2006，枣庄）已知关于x 的二次函数y=x 2－m x+222m +与y=x 2－m x －222m +，这两个二次函数的图像中的一条与x 轴交于A ，B 两个不同的点．（1）试判断哪个二次函数的图像经过A ，B 两点； （2）若点A 坐标为（－1，0），试求点B 坐标；（3）在（2）的条件下，对于经过A ，B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x•值的增大而减小？。
从函数的观点看方程及不等式
从函数的观点看方程及不等式新疆布尔津县初级中学 刘海燕关键词：函数，方程(组)，不等式（组），关系。
摘要：研究目的：加深对函数与方程（组），函数与不等式（组）的理解。
研究内容：函数与方程（组），函数与不等式(组)之间的关系。
基本结论：它们可以相互转化。
数学是研究现实世界量的关系的学科———恩格斯。
由于数学概念﹑理论和方法都源于实际,是从现实世界的材料中抽象出来的。
数学内容之间相互联系,充满运动变化和对立统一的辨证关系。
函数和方程（方程组）及不等式的这种对应关系正是这种辨证关系的真实写照。
一、函数与方程的关系。
（一）、从关系式上看：一次函数的关系式为：y=ax+b(a ≠0)，一元一次方程的一般形式为：ax+b=0(a ≠0) 从形式上可以看出，当把一次函数关系式中的因变量y 改写为整数0就可将函数式转化为方程式；反之，把一元一次方程一般式等号右边的0改写为一个变量y 就可将方程式转化为函数式。
同理，二次函数的关系式为y=ax 2+bx+c(a ≠0)，一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0(a ≠0),当把二次函数关系式中的因变量y 改写为整数0就可将函数式转化为方程式；将方程式右边的0换成一个变量y 则方程式变为函数式。
（二）、从函数的图象与方程的解来看。
一次函数的图象是一条直线，这条直线必与x 轴相交，其交点坐标为（－ab ,0）,也就是当因变量y=0时其自变量x=－ab ,这个x 的值就是方程ax+b=0(a ≠0)的解，换句话说方程ax+b=0(a ≠0)的解就是相对应函数的图象,直线y=ax+b 上无数个点中的与x 轴相交的那一点的横坐标；二次函数的图象是一条抛物线，这条抛物线与x 轴的位置关系有三种情况：当抛物线与x 轴有一个交点时，相对应的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)就有两个相等的实数根x 1=x 2=－ab 2,当抛物线与x 轴有两个交点时，相对应的方程ax 2+bx+c=0(a≠0)就有两个不相等的实数根x1=a acb b24 2-+-，x2=a acb b24 2---,当抛物线与x轴没有交点时，相对应的方程ax2+bx+c=0(a≠0)就没有实数根。
(完整版)方程与不等式的知识点梳理
方程与不等式知识点梳理1、方程与方程组一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。
解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。
解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。
一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程1）一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。
那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。
也就是该方程的解了2）一元二次方程的解法大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。
在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a3）解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c4）韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。
函数、方程、不等式之间的关系
函数、方程和不等式的关系很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。
实际上，他们之间的联系非常紧密。
如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。
★函数与方程之间的关系。
先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。
对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。
如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。
我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。
所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。
这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。
这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。
举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示： 该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2，也就是在函数 解析式23y x =-中，令0y =即可。
令0y =也 就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元 一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交 点的横坐标是相同的。
接下来推广到二次函数：例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示： 很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标 正是方程22520x x -+=的解。
如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线 的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。
在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得 很精准。
有时候只需要作出大致图像即可。
既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间 的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制 对应的函数图象呢？函数2252y x x =-+对应的方程是22520x x -+=，先求出这个方程的两个解。
很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为12和2。
函数,方程,不等式之间关系
数学补习（一）一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系1、一元一次方程、一次函数的关系由于任何一元一次方程都可以转化为 的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当 时，求 的值。
从图象上看，这相当于已知 ，确定 的值。
2、一元一次不等式与一次函数的关系 （1）一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0（a ≠0）是一次函数y=ax+b （a ≠0）•的函数值的情形．（2）直线y=ax+b 上使函数值y>0（x 轴上方的图像）的x 的取值范围是ax+b 0 的解集；使函数值y<0（x 轴下方的图像）的x 的取值范围是ax+b 0的解集．典型例题例1 如图是一个一次函数，请根据图像回答问题： （1）当x ＝0时，y ＝ ，当y ＝0时，x ＝ ； （2）写出直线对应的一次函数的表达式 ；（3）一元一次方程 12 x+2=0和一次函数 y= 12x+2 有什么联系？一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系（填写下表）1．二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程c bx ax y ++=2就是二次函数c bx ax y ++=2当函数y 的值为0时的情况． (2)二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值，即一元二次方程02=++c bx ax 的根．(3)当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根 2．一元二次不等式与二次函数的关系一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况填上表。
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
(2)一次函数y=kx+m(k≠0)的图像与x轴的交点坐标是什么?这个
交点的坐标与方程kx+m=0的根有何关系?
提示:交点坐标为 - ,0 ,其中交点的横坐标恰好为方程kx+m=0
的根.
课前篇
自主预习
一
二
三
/yyk/cdsgyy/
/yyk/tjybgcyy/
/yyk/whrayy/
/yyk/whzafcyy/
/yyk/whdhyy/
/yyk/shxknkyy/
/yyk/csygyy/
/yyk/cdsbykyy/
/yyk/szrayy/
/yyk/zbaeykyy/
/yyk/shxjgkyy/
/yyk/shjlnzyy/
1
2
C.f(x)=x +x D.f(x)=
四
)
解析:由函数零点的定义,看是否存在实数x,使f(x)=0,若存在,则f(x)
有零点,若不存在,则f(x)无零点.
1
1
由于函数 f(x)=中,对任意自变量 x 的值,均有≠0,故函数不存在零
点.
答案:D
课前篇
自主预习
一
二
三
四
知识点二、二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的
/yyk/wxybzygcyy/
/yyk/whyhyy/
/yyk/scpcyy/
/yyk/xakd/
/yyk/whbszysgcyy/
/yyk/csbjmlyfcyy/
如果f(a0)·f(x0)>0,则零点位于区间[x0,b0]中,令a1=x0,b1=b0.
函数、方程与不等式的关系
函数、方程与不等式的关系在数学中，函数、方程和不等式是常见的数学概念。
它们在数学问题的建模和解决中起着重要的作用。
本文将介绍函数、方程和不等式之间的关系，包括它们的定义、特点以及它们之间的相互转换等方面。
一、函数的定义与方程不等式的关系函数是指自变量与因变量之间的一种关系。
函数可以通过方程或不等式来表示和描述。
在代数中，函数通常由一个公式、图表或图形来表示，其中自变量和因变量的关系可以通过一个方程或不等式来表示。
方程是指一个等式，其中包含一个或多个变量，并且通过一个或多个数值来满足等式。
方程可以是一元的或多元的。
一元方程中只有一个未知量，例如：x + 2 = 5多元方程中有两个或更多的未知量，例如：2x + 3y = 7不等式是指一个不等式关系，其中包含一个或多个变量，并且不等号可以是小于、大于、小于等于或大于等于等不等关系。
不等式可以是一元的或多元的。
一元不等式的例子包括：x + 3 > 7多元不等式的例子包括：2x + 3y ≤ 10二、函数、方程与不等式之间相互转换函数、方程和不等式之间存在一定的相互转化关系。
在某些情况下，函数可以通过方程或不等式来表示，而方程和不等式也可以通过函数来表示。
1. 方程转化为函数：当给定一个方程时，我们可以根据方程中的变量和其他已知的数值，构造出一个函数。
例如，对于方程y = 2x + 3，我们可以构造一个函数f(x) = 2x + 3，其中x为自变量，y为因变量。
这样，方程就转化为了函数的表示形式。
2. 函数转化为方程：对于一个给定的函数，我们可以根据函数的定义和性质，得到相应的方程。
例如，对于函数f(x) = 2x + 3，我们可以得到方程y = 2x + 3。
这样，函数就转化为了方程的形式。
3. 方程转化为不等式：在某些情况下，一个方程可以转化为一个不等式。
例如，对于方程2x + 3 ≤ 10，我们可以得到不等式2x + 3 < 10或2x + 3 ≤ 10。
函数方程不等式之间的关系
函数、方程与不等式的关系很多学生在学习中把函数、方程与不等式瞧作三个独立的知识点。
实际上,她们之间的联系非常紧密。
如果能熟练地掌握三者之间的联系,并在做题时灵活运用,将会有事半功倍的收效。
★函数与方程之间的关系。
先瞧函数解析式:(0)y ax b a =+≠,这就是一个一次函数,图像就是一条直线。
对于这个函数而言,x 就是自变量,对应的就是图像上任意点的横坐标;y 就是因变量,也就就是函数值,对应的就是图像上任意点的纵坐标。
如果令0y =,上面的解析式也就变成了0ax b +=,也就就是一个一元一次方程了。
我们知道,一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候,令0y =(同理求一个函数图像与y 轴交点的时候,令0x =)。
所以上面的意义可以这样表达:将函数解析式中的y 变为0,那么就得到相应的方程。
这个方程的解也就就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。
这就就是函数解析式与方程之间的关系,它适用于所有的函数解析式。
举例说明如下:例如函数23y x =-的图像如右所示:该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2,也就就是在函数解析式23y x =-中,令0y =即可。
令0y =也就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元一次方程230x -=,其解与一次函数与x 轴的交点的横坐标就是相同的。
接下来推广到二次函数:例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示:很容易验证,该函数图象与x 轴的交点的横坐标正就是方程22520x x -+=的解。
如果右边的函数图象就是通过列表、描点、连线的方式作出来的,虽然比较精确,但过程十分繁琐。
在实际中,很多时候并不要求我们把函数图象作得很精准。
有时候只需要作出大致图像即可。
既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间的关系,我们可不可以通过利用方程的根来绘制对应的函数图象呢？函数2252y x x =-+对应的方程就是22520x x -+=,先求出这个方程的两个解。
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
-1-
课前篇
自主预习
一
二
三
四
知识点一、函数的零点
1.思考
(1)二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根的条件是什么?
提示:当Δ≥0,即b2-4ac≥0时,二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根.
(2)一次函数y=kx+m(k≠0)的图像与x轴的交点坐标是什么?这个
……
继续实施上述步骤,直到区间[an,bn],函数的零点总位于区间[an,bn]
上,当区间的长度bn-an不大于给定的精确度时,这个区间[an,bn]中的
任何一个数都可以作为函数y=f(x)的近似零点,计算终止.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
2.思考
用二分法能求函数f(x)=(x-3)2的零点的近似值吗?
1.思考
对于函数f(x),若满足f(a)·f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内一定有零点
吗?若f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)·f(b)<0一定成立吗?
提示:对于函数f(x),若满足f(a)·f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内不一定
有零点,如图(1)所示;若函数f(x)在区间(a,b)内有零点,则不一定有
没有零点,则函数y=f(x)的图像与x轴没有交点.
(2)二次函数的零点最多只有两个吗?所有的二次函数都有零点
吗?
提示:二次函数的零点最多只有两个,因为二次函数对应的一元
二次方程最多只有两个根.并不是所有的二次函数都有零点,这是
因为不是所有的一元二次方程都有实数根,如函数y=x2+2x+2就没
2021年新教材人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式 教学课件
B
)
3.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(
A.6
B.4 2
C.2 6
D.8
解析 ∵a＋b＝3，
＋
∴2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a b＝2 8＝4 2，
3
当且仅当 a＝b＝2时，“＝”成立.
答案 B
)
4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形
的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费
C.a2－b2<0
D.a＋b<0
解析
)
本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，
排除A，B，C，故选D.
答案 D
3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(
A.M＞N
B.M＝N
C.M＜N
D.与x有关
12 3
解析 M－N＝x ＋x＋1＝(x＋ ) ＋ ＞0.
知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建
应用基本不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求
最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的
p
结果往往是错误的，这时通常可以借助函数 y＝x＋x(p>0)的单
调性求得函数的最值.
4.求解应用题的方法与步骤：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质
2.2基本不等式 P24
2.3二次函数与一元二次方程、不等式 P53
学习目标
1.理解不等式的概念.
2.了解不等式（组）的实际背景.
3.掌握不等式的性质.
方程函数不等式三者的关系
方程函数不等式三者的关系The relationship between equations, functions, and inequalities lies at the core of mathematics. These three concepts are interconnected and play a crucial role in understanding and solving mathematical problems. In this discussion, we will explore the relationship between equations, functions, and inequalities from different perspectives.Firstly, let's examine the relationship between equations and functions. An equation is a mathematical statement that asserts the equality of two expressions. It represents a balance between two sides of an equation. On the other hand, a function is a relation between a set of inputs and a set of outputs, where each input corresponds to a unique output. Equations can be used to define functions, as they provide a way to express the relationship between inputs and outputs. For example, the equation y = 2x represents a linear function where the output (y) is twice the input (x).Functions can also be used to solve equations. By substituting the input values into the function, we can determine the corresponding output values and check if they satisfy the equation. If the output values satisfy the equation, then the input values are the solutions to the equation. Conversely, if a function is defined by an equation, we can find solutions to the equation by identifying the inputs that yield a desired output. This reciprocal relationship between equations and functions highlights their close connection.Moving on to the relationship between functions and inequalities, it is important to note that functions can also be used to represent inequalities. An inequality is a mathematical statement that compares the relative size or order of two expressions. Functions can be used to graphically represent inequalities on a coordinate plane. For example, the function y > x represents a region above the line y = x. Any point above this line satisfies the inequality. Similarly, functions can be used to solve inequalities by identifying the input values that satisfythe inequality.Inequalities can also be used to analyze functions. By studying the behavior of a function in relation to an inequality, we can determine the range of input values that yield a desired output. For example, if we have thefunction f(x) = x^2 and the inequality f(x) > 0, we can see that the function is positive for all values of x except when x is equal to zero. Thus, the inequality provides insight into the behavior of the function.In summary, equations, functions, and inequalities are interconnected concepts in mathematics. Equations can define functions, and functions can be used to solve equations. Functions can also represent inequalities, and inequalities can be used to analyze functions. Understanding the relationship between these three concepts is essential for solving mathematical problems and gaining a deeper understanding of mathematical principles.。
函数、方程、不等式的关系
函数、方程、不等式的关系作者：万里松来源：《新教育时代》2015年第18期摘要：我们学习方程、函数、不等式已经有很长时间了，我们知道函数关系是指某个变化过程中两个变量具有某种对应关系，方程是有已知量和未知量构成，不等式……。
他们之间存在区别又有联系。
方程表述实际问题中数量相等关系，不等式表述数量不等关系，函数表述数量之间相等的关系。
本文主要说明了一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式的关系关键词：函数方程不等式综合运用1.一次函数与一次方程之间的关系函数、方程、不等式的学习是贯穿我们整个初中和高中的教学的，地位尤为重要，这三个知识点也同样是中考、高考中的重头戏。
在很多同学学习这三个知识点的时候，把这三者当成相互独立的知识点来学习，这是不对的。
其实三者之间的关系特别密切，三者之间也是可以进行相互转换的，若能熟练的掌握三者之间的关系，对我们提高做题的效率是大有裨益的。
下面我们首先来看函数与方程的关系。
我们知道一次函数的一般形式为：y=ax+b（a≠0），函数的图像是一条直线。
根据我们以前学过的知识，我们知道，x是自变量，所表示的是横坐标；y叫做因变量，也可以叫做函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。
如果令y=0，上面的解析式也就变成了ax+b=0，也就是一个一元一次方程了。
我们可以从两个方面来理解这个问题：1.从函数值的角度出发：求ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的解就相当于求x为何值时，y=ax+b的值为0。
2.从函数图像上来看：求ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的解就相当于函数y=ax+b与x轴的交点。
举例说明如下：我们先来看一个简单的一元一次函数：y=x+1我们举的例子是一个典型的一次函数，图像会是一条直线，在x轴上的截距为-1，在y轴上的截距为1，与x轴的交点为（-1，0）。
则y=x+1与x轴的交点（-1，0）就是方程x+1=0的解。
下面我们再来看一个实际应用的例子：例1 一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？（要求用两种方法解题）解法一：从方程的观点来解题设再过x秒物体的速度为17m/s。
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函数、方程和不等式的关系很多学生在学习中把函数、 方程和不等式看作三个独立的知识点。
实际上， 他们之间的联系非常紧密。
如果能熟练地掌握三者之间的联系， 并在做题时灵活运用， 将会有事半功倍的收效。
★函数与方程之间的关系。
先看函数解析式：y ax b(a 0) ，这是一个一次函数， 图像是一条直线。
对于这个函数而言， x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标； y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。
如果令y 0 ，上面的解析式也就变成了ax b 0 ，也就是一个一元一次方程了。
我们知道， 一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候， 令y （同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令 x0 ）。
所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的 y 变为 0 ，那么就得到相应的方程。
这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。
这就是函数解析式与方程之间的关系， 它适用于所有的函数解析式。
举例说明如下：例如函数 y 2 x3 的图像如右所示：该函数与 x 轴的交点坐标为 ( 3,0) ，也就是在函数2解析式 y2x 3 中，令 y 0 即可。
令 y 0也就意味着将一元一次函数 y 2x 3变成了一元一次方程 2x3 0 ，其解和一次函数与 x 轴的交点的横坐标是相同的。
接下来推广到二次函数：例如函数 y2x 2 5x2 的图像如右图所示： 很容易验证，该函数图象与 x 轴的交点的横坐标正是方程 2x 25x 20 的解。
如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线 的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。
在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得 很精准。
有时候只需要作出大致图像即可。
既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制 对应的函数图象呢函数 y2x 2 5x 2 对应的方程是 2x 2 5x 2 0 ，先求出这个方程的两个解。
很容易根据十字相乘法 (2 x 1)( x 2) 0 得出该方程的两个解分别为1和 2。
这样，根据函数21解析式与方程之间的关系，也就得出了函数y 2x25x 2 与 x 轴的两个交点(,0)和2(2,0) 。
有了与横坐标两个交点的坐标，还知道了开口方向（二次项前面的系数20 ，所以开口向上），则该二次函数的大致图像就容易作出了。
以上的结论可不可以进一步推广呢先看接下来这个函数解析式y ( x 1)(x 2)( x 3) ，如果作这样一个三次函数（三次或三次以上就叫高次函数）的图像，用列表、描点、连线的方法是非常复杂的，甚至无法作出。
如果我们采用上面的思想，先求出y ( x 1)( x 2)( x3) 对应的方程( x 1)(x 2)( x 3) 0 的根，很容易得出该方程的三个根：1、 2、 -3 。
知道了三个根还不行，还必须知道开口方向，由于三次函数和二次函数不同，所以不可能通过三次项系数的正负来确定开口方向。
在实际中，我们可以发现这样的规律：如果三次项系数是正数、最右边一个交点的右边部分图像是在x 轴上面的。
如果三次项系数是负数，最右边一个交点的右边部分图像是在x 轴下面的。
那么函数y ( x 1)( x 2)( x3) 的大致图像如下：函数 y(x 1)(x 2)( x 3) 的大致图像如下：通过以上函数图象：我们可以总结出作高次函数大致图像的步骤：（1）求出高次函数所对应的方程的根，并在数轴上（不需要建立坐标系）从小到大依次表示出来。
（2）如果最高次项的系数是正数，则按照从右到左，从上到下依次穿过。
如果最高次数的系数是负数，则按照从右到左，从下到上依次穿过。
★函数与不等式之间的关系函数解析式：y ax b(a 0) 中，如果变为ax b 0（的情况类似）或ax b0（的情况类似），那么就是不等式了。
实际上，以上两个不等式分别对应一次函数y ax b(a 0)的图像在 x 轴上方和 x 下方的情况。
而不等式ax b 0 和 ax b 0 的解分别是一次函数y ax b(a 0) 的图像上方部分对应的自变量x 的范围和下方部分对应的自变量x 的范围。
例如不等式 2x 30 所对应的是一次函数y2x 3 在 x 轴上方部分的图像。
该不等式的解为 y 2x 3在 x 轴上方部分的图像3所对应的自变量x 的范围，即x。
2在二次函数中，这种不等式和函数的对应关系同样适用。
例如：y 2x25x2的图像如右图所示：不等式 2x25x 20 的解为二次函数y2x25x 2 图像上在 x 轴上方的部分，1或 x2。
同理不等式的解为：x212x25x20 的解为x2。
这也2就是二次不等式“二次项的系数大于零，后面是大于号的取两边（即小于最小根，大于最大根），后面是小于号的取中间（大于最小根，小于最大根）”的性质。
对于二次项系数小于零的不等式，可以通过在两边同时乘以-1 将二次项系数变为正数。
从上面的现象可以得出函数和不等式的关系：不等式 f (x)0 对应的是函数 f (x) 图像上在 x 轴上方的部分，不等式 f ( x) 0的解就是函数 f (x) 图像上在 x 轴上方的部分所对应的自变量 x 的取值范围。
不等式 f ( x)0 对应的是函数 f ( x) 图像上在 x 轴下方的部分，不等式 f (x)0的解就是函数 f ( x) 图像上在 x 轴下方的部分所对应的自变量x 的取值范围。
对于多次不等式，例如( x1)(x2)( x3) 0，首先在数轴上作出函数y(x 1)(x2)( x3) 的大致图像（前面已介绍），然后取图像在x 轴上方部分对应的 x 的取值范围。
所以不等式 ( x 1)(x2)( x 3)0 的解为x 3 或 2 x 1 。
同理也可以解N (N 4) 次不等式。
★ 一元二次方程和一元二次不等式的关系如果将一元二次方程ax2bx c0(a0) 中的“=”改为“＞”或“＜”，则可变为一元二次不等式。
解一元二次不等式的步骤：1、二次项为负数的，首先要在两边同时乘以-1 将二次项系数变为正数（注意不等式两边同时乘以一个负数后，不等号要变号）。
如2x25x 20 要通过两边同乘以-1 变为2 x25x 2 0 。
2、解出不等式对应的方程的两个根。
如解出方程 2x25x 20 的两根分别为2,1。
23、如果是大于号，解为：x最小根或x最大根。
如果是小于号，解为：最小根x最大根。
例如 2x25x 2 0 的解为：1x 2 。
2★ 一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系在图像上的表示在实际中，我们经常会遇到这样的方程：x2x 1 0 或这样的不等式：x2x 1 0 。
结果是都是无解。
也会遇到x2x10 ，解为全体实数。
这就说明一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式在图像上还存在着某种明显的关系。
我们分别作出函数 f ( x)ax2bx c(a0)的六种可能图像。
第一种：当 a 0,b24ac0 时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x 轴有两个交点，也就是说方程ax2bx c0 有两个不相等的实数根（设为 x1 , x2，且 x1x2）， ax2bx c 0 的解为： x1x x2，ax 2bx c 0 的解为： x x1或 x x2。
所以可以得出这样的结论：当 a0,b24ac0 时，方程 ax2bx c0 有两个不相等的实数根（设为 x1, x2，且 x1x2），ax2bx c0 的解为： x1x x2，ax2bx c 0的解为： x x1或 x x2。
第二种：当 a0,b24ac0 时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x 轴有一个交点，也就是说方程ax2bx c0有两个相等的实数根（设为 x1 , x2，且 x1 x2）， ax2bx c0 的解集为：， ax2bx c 0 的解为： x x1或 x x2即 x x1。
所以可以得出这样的结论：当a0,b24ac0 时，方程 ax2bx c0 有两个相等的实数根（设为 x1 , x2，且 x1x2）， ax 2bx c0 的解集为：， ax2bx c 0 的解为： x x1或 x x2即 x x1。
第三种：当 a0,b24ac0 时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x 轴没有交点，也就是说方程 ax 2bx c 0没有实数根，ax 2bx c 0 的解为：， ax2bx c0 的解为：R。
所以可以得出这样的结论：当 a0,b24ac0 时，方程 ax2bx c0 无实数根；ax 2bx c0的解为：， ax2bx c0 的解为：R。
第四种：当 a 0,b24ac0 时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x 轴有两个交点，也就是说方程ax2bx c0有两个不相等的实数根（设为 x1 , x2，且 x1x2）， ax2bx c0 的解为： x x1或 x x2，ax 2bx c0的解为： x1x x2。
所以可以得出这样的结论：当 a0,b24ac0 时，方程 ax2bx c0 有两个不相等的实数根（设为x1 , x2，且 x1x2）， ax2bx c 0 的解为： x x1或 x x2，ax 2bx c0的解为： x1x x2。
第五种：当 a 0,b24ac0 时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x 轴有一个交点，也就是说方程ax2bx c0 有两个相等的实数根（设为 x1, x2，且 x1 x2），ax 2bx c0的解集为： x x1或 x x2即 x x1，ax 2bx c0的解为：。
所以可以得出这样的结论：当 a0,b24ac0 时，方程 ax2bx c0 有两个相等的实数根（设为x1, x2，且 x1x2）， ax2bx c0 的解集为： x x1或 x x2即 x x1，ax 2bx c0的解为：。
第六种：当 a 0,b24ac0 时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x 轴没有交点，也就是说方程ax 2bx c0没有实数根，ax 2bx c0的解为： R ，ax2bx c0的解为：。
所以可以得出这样的结论：当 a0,b24ac0 时，方程 ax2bx c0没有实数根，ax 2bx c0的解为： R ，ax2bx c0 的解为：。
总结：值得注意的是，如果对于一元二次函数y ax2bx c( a0) 无论自变量 x 取什么值，函数值都大于零，那么这就属于上面六种情况中的第三种情况，则有a0,b24ac0 ；如果对于一元二次函数y ax2bx c(a0) 无论自变量 x 取什么值，函数值都小于零，那么这就属于上面六种情况中的第六种情况，则有：a0,b24ac0 。
▲ 例题精讲1、已知ax22x c0 的解集为x1x1，试求 a、 c 的值。
32解析：首先，如果 a0 ，则不等式ax22x c 0的解应该是“两边”，不应该是“中间”，所以必定有 a0 。