概率统计简明教程同济版
概率统计简明教程(同济)Chapter3
0.0125
课堂: P27, 5.
问题: 若已知取到的是次品, 它属于三个 厂的概率分别是多少{由果寻因}? 这就 要利用 Tomas Bayes (英国, 1763年)公式. 贝叶斯公式: 设事件A1, A2, …, An两两不相容, 事件B 满足 B = BA1 BA2 … BAn,
P( AB) P( B) 0 : P( A | B) . P( B)
乘法公式: P( A) 0 : P( AB) P( A) P( B | A).
P( B) 0 : P( AB) P( B) P( A | B). 推广? P( A1 A2 An1 ) 0(n 2) :
P( B | A1 ) 0.02, P( B | A2 ) 0.01, P( B | A3 ) 0.03
P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BA3 )
P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 ) P( A3 ) P( B | A3 )
P( AB) 2 P( B | A) P( B); P( A) 3 P( AB) 2 P( B | A) P( B). P( A) 3
无论A发生与否对B的概率没有影响, 就 称事件A与事件B(相互)独立. 直观意义: 事件A与B没有“关系”, “影 响”. 这往往可根据事件的实际意义判 断(P23).
例8(P23) Solution 待求概率的事件为A, Ai = {第i 台需工人维护}( i = 1, 2, 3). A1, A2, A3相互独立.
A A1 A2 A3 P( A) P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 A2 A3 )
同济大学概率论与数理统计第一、第二章
A B A B A A B B
•
例8 设Ai={第i个电子元件正常工作}， i=1,2,…n.用事件之间的关系表示 n个电子元件串联或并联系统正常工作这 一事件Ｂ。 • 串联系统： Ｂ＝A1∩A2∩┅∩An
1 2 3 n
• 并联系统： Ｂ＝A1∪A2∪┅∪An
• 1. 从n个元素中任取k个，有
n n 1 n 2 n k 1 n! C k k 1 2 1 k ! n k !
k n
种不同的结果； • 2. 一件事情分几个步骤完成，则互相之间用乘法， 一件事情有若干种方法来完成，则互相之间用加 法，这就是所谓的计数原理。
概率论简明教程
什么是概率？
• 例1. 盒中装有20件产品，其中有5件次品， 不放回地一件一件抽取，问：第十次取出 最后一个次品的概率是多少？
• 例2，在半圆区域0≤y≤ 2ax x 内随机地投 入一点，求该点与原点的连线与x轴的夹角 4 不超过 /的可能性。
2
• 概率的思想在日常生活中的体现
• 每次试验中一定发生的事件称为必然事件. Ω包含所有样本点，因此每次试验中必定有Ω中的 一个样本点出现，故Ω是必然事件；而另一方面Ω 是Ω的子集； • 每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件. φ中不包含任何样本点，因此是不可能事件； φ也是Ω的子集。 • 为讨论问题方便，将上述两个事件也当作随机事 件，作为两个极端情况。
例7 抛二枚均匀硬币， Ω={正正，正反，反正， 反反} 。 A={第一次出现正面} ={正正，正反}， B={第二次出现正面}={正正，反正}。 • A与B的和事件∶第一次或第二次出现正面，表 示为 A∪B={正正，正反，反正} 。 • A与B的积事件∶第一次且第二次都出现正面， 表示为 A∩B={正正} 。 • A与B的差事件A-B∶第一次正面第二次出现反面， 表示为 A-B={正反}.
概率统计简明教程-同济_第八章_统计与统计学
计 变量（或向量）。而X的分布就完全描述了总体中我
们所关心的那个数量指标的分布情况。因此我们以后
就把母体和数量指标X可能取值的的全体组成的集合
等同起来。所谓母体的分布也就是指数量指标X 的分
布。2020/8/14
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引入随机变量的概念后，可以把总体看作是一个分
布，“从总体中抽样”和“从某分布中抽样”是一个
数 理
总体及样本的分布分别是怎样的。
统
计 分析：根据研究目的，可以确定总体 X 是一个参数
为 的 0－1 分布。
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例 1 某厂生产大批某种型号的元件，从某天生产
的元件中随机抽取若干个，进行寿命试验，检查该
厂生产的元件是否合格。
概
率
论 例 2 在美国总统选举年，从所有合法选民中随机抽取
与 数
一部分，进行民意测验，评估两党候选人获胜的机会。
理
统 分析：以上两个问题的解决，都需要用到统计的方法和
计 统计学的知识。统计学的研究范围十分广泛，研究有其
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概
率 论
第二节 总体和样本
与
数
理
统
计
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6
我们今后所讨论的统计问题主要属于下面这种类型：
从一个集合中选取一部分元素，对这些元素的某些数
量指标进行测量，根据测量获得的数据来推断此集合
概 率
中全部元素的这些数量指标的分布情况。
论 在统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合
每一样品Xi与总体同分布。 ②独立性——样本中的样品取值相互不影响，即
概率统计同济课后习题答案
概率统计同济课后习题答案在学习概率统计这门课程时，课后习题往往是巩固知识、检验理解的重要环节。
同济大学出版的概率统计教材以其严谨的体系和丰富的内容备受青睐，然而，课后习题的解答有时却让同学们感到困惑。
接下来，我将为大家详细呈现一些常见课后习题的答案及解题思路。
首先，我们来看一道关于随机事件概率的题目。
题目：假设在一个袋子中装有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出3 个球，求取出的球中至少有 1 个红球的概率。
解题思路：我们可以先求出取出的 3 个球中没有红球的概率，即从3 个白球中取出 3 个球的组合数除以从 8 个球中取出 3 个球的组合数。
然后用 1 减去这个概率，就得到至少有 1 个红球的概率。
具体计算过程如下：从 8 个球中取出 3 个球的组合数为：C(8, 3) ＝ 56从 3 个白球中取出 3 个球的组合数为：C(3, 3) ＝ 1所以取出的 3 个球中没有红球的概率为：1/56则至少有 1 个红球的概率为：1 1/56 ＝ 55/56再来看一道关于随机变量分布的题目。
题目：已知随机变量 X 服从参数为λ 的泊松分布，且 P(X ＝ 1) ＝P(X ＝ 2)，求λ 的值。
解题思路：根据泊松分布的概率质量函数 P(X ＝ k) ＝（λ^k e^（λ)）／ k! ，分别代入 k ＝ 1 和 k ＝ 2 ，然后根据已知条件 P(X ＝ 1) ＝ P(X ＝ 2) 建立方程求解。
具体计算过程如下：P(X ＝ 1) ＝（λ^1 e^（λ)）／ 1! ＝λ e^（λ)P(X ＝ 2) ＝（λ^2 e^（λ)）／ 2! ＝（λ^2 e^（λ)）／ 2因为 P(X ＝ 1) ＝ P(X ＝ 2) ，所以λ e^（λ) ＝（λ^2 e^（λ)）／ 2化简得到：λ ＝ 2接下来是一道关于数学期望和方差的题目。
题目：设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) ＝ 2x，0 ＜ x ＜ 1 ，求E(X) 和 D(X) 。
概率统计简明教程(同济)Chapter
■ Remark E(X)不一定存在. ■ 所以, E(X)不存在.
■ P78: ■ P82: ■ 例4(P78)
■ 再考虑X为连续型随机变量情形:
■若
■ 绝对收敛, 则称其为X的数学期望.
■ 例6 X ~ U(a, b) E(X) = (a + b)/2.
■ Proof
Chapter 7 随机变量的数字特 征
■ 随机变量的分布完全描述了随机现象的 统计规律性.
■ 当随机变量的分布不太容易得出时,可以 只考虑少数几个随机变量的数字特征: 数学期望, 方差, 协方差和相关系数, 矩 (P85, P114).
第一节 数学期望
■ 先考虑X为离散型随机变量情形.
■ 该数据集的平均值:
■ Solution Z = X - Y.
第三节 协方差和相关系数
■ 若X与Y独立:
■ 若E(X - E(X))(Y- E(Y)) 0, 则X与Y不
独立.
■ 当X与Y不独立也可能成立.
■ 例18(P86)
■ 由此可见, E(X - E(X))(Y- E(Y))可以从某一个侧面刻画X与Y之间的 关系, 称为 X与Y的协方差, 记为cov(X, Y).
■ 例7 X ~ N( , 2) E(X) = .
■ Proof
■ 绝对收敛?
■ 例8 X ~ E( ) E(X) = 1/ .
■ Proof
■ P81: ■ P82:
■ E(X2) (前面的例子) ?
■ 例10(P82) ■ Solution
■ 数学期望的性质 ■ (均假设所涉及的随机变量的数学期望
■ (2) 频率具有稳定性:
■ 证明时要用到切比雪夫不等式.
概率统计简明教程课后习题答案(工程代数_同济大学版)
45 5 1 2 k 45 44 5 3! 99 P( A) n 50 49 48 2! 392 50 3
1 1 (2) A B x 0 x 或 1 x 2 B x x 2 4 (3) 因为 A B ，所以 AB ； 1 x 1 x 2 3 ; 2
1 1 1 3 3 (4) A B A x 0 x 或 x 2 x 0 x 或 x 1或 x 2 4. 用事件 A, B, C 4 2 4 2 2 的运算关系式表示下列事件： (1) A 出现， B, C 都不出现（记为 E1 ） ； (2) A, B 都出现， C 不出现（记为 E 2 ） ； (3) 所有三个事件都出现（记为 E3 ） ； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为 E 4 ） ； (5) 三个事件都不出现（记为 E5 ） ；
(6) E6 A B C AB C A BC A B C ；
(7) E7 ABC A B C ；(8) E8 AB AC BC . 5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设 Ai 表示事件“第 i 次 抽到废品” ， i 1,2,3 ，试用 Ai 表示下列事件： (1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品； (2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品； (4) 至少有一次抽到合格品； (2) 只有两次抽到废品。 解 (1) A1 A2 ； (2) A1 A2 A3 ； (3) A1 A2 A3 ； (4) A1 A2 A3 ； (5) A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 . 6. 接连进行三次射击，设 Ai ={ 第 i 次射击命中 } ， i 1,2,3 ， B { 三次射击恰好命中二次 } ，
(完整版)工程数学概率统计简明教程第二版同济大学数学系编课后习题答案(全)
习题一1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。
解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .3. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}4. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。
（同济大学应用数学系主编）概率统计简明教程的习题答案（可编辑）
习题一解答 1 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件 1 抛一枚硬币两次观察出现的面事件 2 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数事件一分钟内呼叫次数不超过次 3 从一批灯泡中随机抽取一只测试其寿命事件寿命在到小时之间解 1 2记为一分钟内接到的呼叫次数则 3 记为抽到的灯泡的寿命单位小时则2 袋中有个球分别编有号码1至10从中任取1球设取得球的号码是偶数取得球的号码是奇数取得球的号码小于5 问下列运算表示什么事件 1 2 3 45 6 7 解 1 是必然事件 2 是不可能事件 3 取得球的号码是24 4 取得球的号码是135678910 5 取得球的号码为奇数且不小于5 取得球的号码为579 6 取得球的号码是不小于5的偶数取得球的号码为6810 7 取得球的号码是不小于5的偶数取得球的号码为6810 3 在区间上任取一数记求下列事件的表达式 1 2 3 4 解1 2 3 因为所以 4 4 用事件的运算关系式表示下列事件1 出现都不出现记为2 都出现不出现记为3 所有三个事件都出现记为 4 三个事件中至少有一个出现记为 5 三个事件都不出现记为 6 不多于一个事件出现记为 7 不多于两个事件出现记为8 三个事件中至少有两个出现记为解 1 2 3 4 5 6 7 8 5 一批产品中有合格品和废品从中有放回地抽取三次每次取一件设表示事件第次抽到废品试用表示下列事件1 第一次第二次中至少有一次抽到废品2 只有第一次抽到废品3 三次都抽到废品 4 至少有一次抽到合格品只有两次抽到废品解 1 23 4 5 6 接连进行三次射击设第次射击命中三次射击恰好命中二次三次射击至少命中二次试用表示和解习题二解答 1．从一批由45件正品5件次品组成的产品中任取3件产品求其中恰有1件次品的概率解这是不放回抽取样本点总数记求概率的事件为则有利于的样本点数于是 2．一口袋中有5个红球及2个白球从这袋中任取一球看过它的颜色后放回袋中然后再从这袋中任取一球设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同求 1 第一次第二次都取到红球的概率 2 第一次取到红球第二次取到白球的概率 3 二次取得的球为红白各一的概率 4 第二次取到红球的概率解本题是有放回抽取模式样本点总数记 1 2 3 4 题求概率的事件分别为ⅰ有利于的样本点数故ⅱ有利于的样本点数故ⅲ有利于的样本点数故ⅳ有利于的样本点数故 3．一个口袋中装有6只球分别编上号码1至6随机地从这个口袋中取2只球试求 1 最小号码是3的概率 2 最大号码是3的概率解本题是无放回模式样本点总数ⅰ最小号码为3只能从编号为3456这四个球中取2只且有一次抽到3因而有利样本点数为所求概率为ⅱ最大号码为3只能从123号球中取且有一次取到3于是有利样本点数为所求概率为 4．一个盒子中装有6只晶体管其中有2只是不合格品现在作不放回抽样接连取2次每次取1只试求下列事件的概率 1 2只都合格 2 1只合格1只不合格 3 至少有1只合格解分别记题 1 2 3 涉及的事件为则注意到且与互斥因而由概率的可加性知 5．掷两颗骰子求下列事件的概率 1 点数之和为7 2 点数之和不超过5 3 点数之和为偶数解分别记题 1 2 3 的事件为样本点总数ⅰ含样本点 16 61 34 43 ⅱ含样本点 11 12 21 13 31 14 41 22 23 32 ⅲ含样本点 11 13 31 15 51 22 24 42 26 62 3335 53 44 46 64 55 66 一共18个样本点 6．把甲乙丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去假设每间宿舍最多可住8人试求这三名学生住不同宿舍的概率解记求概率的事件为样本点总数为而有利的样本点数为所以 7．总经理的五位秘书中有两位精通英语今偶遇其中的三位求下列事件的概率 1 事件其中恰有一位精通英语 2 事件其中恰有二位精通英语 3 事件其中有人精通英语解样本点总数为 1 2 3 因且与互斥因而 8．设一质点一定落在平面内由轴轴及直线所围成的三角形内而落在这三角形内各点处的可能性相等计算这质点落在直线的左边的概率解记求概率的事件为则为图中阴影部分而最后由几何概型的概率计算公式可得 9．见前面问答题2 3 10．已知求 1 2 3 4 5 解 1 2 3 4 5 11．设是两个事件已知试求及解注意到因而于是习题三解答 1．已知随机事件的概率随机事件的概率条件概率试求及解 2．一批零件共100个次品率为10从中不放回取三次每次取一个求第三次才取得正品的概率解 3．某人有一笔资金他投入基金的概率为058购买股票的概率为028两项投资都做的概率为019 1 已知他已投入基金再购买股票的概率是多少 2 已知他已购买股票再投入基金的概率是多少解记基金股票则 1 2 4．给定验证下面四个等式解 5．有朋自远方来他坐火车船汽车和飞机的概率分别为03020104若坐火车迟到的概率是025若坐船迟到的概率是03若坐汽车迟到的概率是01若坐飞机则不会迟到求他最后可能迟到的概率解迟到坐火车坐船坐汽车乘飞机则且按题意由全概率公式有 6．已知甲袋中有6只红球4只白球乙袋中有8只红球6只白球求下列事件的概率 1 随机取一只袋再从该袋中随机取一球该球是红球 2 合并两只袋从中随机取一球该球是红球解 1 记该球是红球取自甲袋取自乙袋已知所以 2 7．某工厂有甲乙丙三个车间生产同一产品每个车间的产量分别占全厂的253540各车间产品的次品率分别为542求该厂产品的次品率解 8．发报台分别以概率0604发出和由于通信受到干扰当发出时分别com同样当发出信号时com收到和求 1 收到信号的概率 2 当收到时发出的概率解记收到信号发出信号 1 2 9．设某工厂有三个车间生产同一螺钉各个车间的产量分别占总产量的253540各个车间成品中次品的百分比分别为542如从该厂产品中抽取一件得到的是次品求它依次是车间生产的概率解为方便计记事件为车间生产的产品事件次品因此 10．设与独立且求下列事件的概率解 11．已知独立且求解因由独立性有从而导致再由有所以最后得到 12．甲乙丙三人同时独立地向同一目标各射击一次命中率分别为131223求目标被命中的概率解记命中目标甲命中乙命中丙命中则因而 13．设六个相同的元件如下图所示那样安置在线路中设每个元件不通达的概率为求这个装置通达的概率假定各个元件通达与否是相互独立的解记通达元件通达则所以 14．假设一部机器在一天内发生故障的概率为02机器发生故障时全天。
概率统计简明教程(同济版)课件第4章
例
随机变量的实例
X 的可能取值为 [0,+)
某灯泡厂所产的一批灯泡中灯泡的寿命X。 某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数Y.
Y 的可能取值为 0，1，2，3，...,M
在[0，1]区间上随机取点，该点的坐标X.
X 的可能取值为 [0，1]上的全体实数。 随机变量根据其取值方式的不同，通常分为两 类：离散型随机变量与连续型随机变量。后面将分 别进行讲述。
x -1
1 , 6
0
1 , 2
x 2
1 3
x 3 x
x
当 x 1时， F x P X x 0. X x是不可能事件，
1 当 1 x 2 时， X x就是 X 1, F x 6 . X x就是X 1或X 2, 当 2 x 3 时，
8 9 10 C10 0.98 0.12 C10 0.99 0.1 C10 0.910
0.9298
泊松分布
Poisson distribution
定义
若随机变量 X 的分布律为:
P( X k )
k
k!
e , k 0,1,2...
其中 >0, 则称X服从参数为的泊松分布
已知 X 的分布律为
X
P
1
1 2
0
1 3
1
1 12
2
1 12
求X的分布函数，
并画出它的图形。
第二节
重点
离散型随机变量
理解离散型随机变量及分布律的概念
会用分布律或分布函数的概念和性质计 算有关事件的概率
随机变量的类型
离散型 随机变量的所有取值是有限个或可数个 非离散型 随机变量的取值不能一一列举 连续型随机变量
概率统计简明教程(同济)Chapter10
第二节 估计方法
方法1: 矩估计法(K. 方法1: 矩估计法(K. Pearson). X : X1, X2, …, Xn.
µk = E( X k ), k =1,2,3,L
1 k k k Ak = X1 + X2 +L+ Xn , k =1,2,3,L n
(
)
Clearly,
1 A = ( X1 + X2 +L+ Xn ) = X 1 n
ˆ = 1 = 1 = 1 ≈ 0.0077 λ m x 130.55 1
例6(P114) X ~ N(µ, σ2): -1.20, 0.82, 0.12, N( 0.45, -0.85, -0.30. Solution 两个参数待估计. 两个参数待估计.
µ1 = E( X ) = µ
µ2 = E( X 2 ) = D( X ) + (E( X ))2 = σ 2 + µ2
1 k k k mk = x1 + x2 +L+ xn , k =1,2,3,L n 1 m = ( x1 + x2 +L+ xn ) = x 1 n
(
)
1 k P k k X1 + X2 +L+ Xn →µk , k =1,2,3,L n
(
)
(θ1,θ2,...,θk )?
假定总体X的前k 假定总体X的前k阶矩 µ1, µ2 ,L, µk已知(?): 已知(
例2(P112) X ~ E(λ), λ(?) : X1, X2, …, Xn.
例3(P113) X ~ N(µ, σ2)(?) : X1, X2, …, Xn. N(
同济版概率统计要点
Probability & Statistics第一章 随机事件与概率 1．基本概念：Ω：样本空间ω：样本点2．随机事件之间的关系和运算包含：B A ⊂ 相等：B A = 和（并）事件：B A积（交）事件：B A （或AB ） 差事件：B A -互不相容（互斥）事件：φ=B A 对立（逆，余）事件：A A -Ω= 运算定律：①交换律：A B B A =，A B B A =②结合律：()()C B A C B A =，()()C B A C B A =③分配律：()()()C A B A C B A =，()()()C A B A C B A = ④德·摩根(De Morgan)法则：B A B A =，B A B A =3．古典型概率：nn A P A=)(（A 事件中包含A n 个样本点） 4．几何型概率：)()()(Ω=m A m A P 5．频率：nn A f An =ˆ)( 6．概率的性质：①非负性：对于任意一个事件A ，0)(≥A P ②规范性：1)(=ΩP③可列可加性：当可列无限个时间 ,,21A A 两两互不相容时，∑∞=∞==11)()(i i i i A P A P④0)(=φP ⑤)(1)(A P A P -= ⑥1)(≤A P⑦)()()(AB P B P A B P -=- ⑧)()()()(AB P B P A P A B P -+=7．条件概率：)()(ˆ)|(B P AB P B A P = 8．乘法公式：当0)(>A P 时，)|()()(A B P A P AB P =当2≥n 且0)(11>-n A A P 时，)|()|()()(111211-=n n n A A A P A A P A P A A P 9．随机事件的独立性：事件A 与B 相互独立)()()(B P A P AB P =⇔事件C B A ,,相互独立)()()(B P A P AB P =⇔且)()()(C P A P AC P =且)()()(C P B P BC P =且 10．二项概率：k n kk n n p p C k P --=)1()(，n k ,,1,0 =11．设n 个事件21,,A A 构成样本空间Ω的一个划分，B 是一个事件，当),,1(0)(n i A P i =>时： )()()()(C P B P A P ABC P =全概率公式：∑==ni i i A B P A P B P 1)|()()(贝叶斯公式：当0)(>B P 时，n i A B P A P A B P A P B A P nj jji i i ,,1,)|()()|()()|(1==∑=第二章 离散型随机变量及其分布 1．随机变量：)(ωX X =2．概率函数： ,2,1,)(===i p a X P i i3．二项分布：),(~p n B X 的概率函数为：n k p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-4．泊松定理：设)10(,0<<>=n n p np λ，对于0≥∀k ，!)1(lim k e p p C kkn n k nknn λλ⋅=---→∞5．泊松分布：)(~n P X 的概率函数为： ,2,1,0,!)(=⋅==-k k e k X P kλλ6．联合概率函数： ,2,1,}){}({ˆ),(=======j i p b Y a X P b Y a X P ij j i j i ， 7．随机变量的独立性：随机变量X 与Y 相互独立)()(),(j i j i b Y P a X P b Y a X P =====⇔ 8．条件概率函数：jij j i p p b Y a X P .)|(===iij i j p p a X b Y P .)|(===9．随机变量分布的可加性：设X 与Y 相互独立，则①当),(~),,(~p n B Y p m B X 时，),(~p n m B Y X ++ ②当)(~),(~21λλP Y P X 时，)(~21λλ++P Y X第三章 连续型随机变量及其分布 1．随机变量的分布函数：)()()(x X P x F x F X ≤==，+∞<<-∞x则)()()(a F b F b X a P -=≤< 2．分布函数的性质：①1)(0≤≤x F②当21x x <时，)()(21x F x F ≤ ③0)(lim =-∞→x F x ，1)(lim =→∞x F x④)(x F 在),(+∞-∞上每一点处至少右连续3．随机变量X 与Y 的联合分布函数：)),((),(),(xy D Y X P y Y x X P y x F ∈=≤≤= 4．联合分布函数的性质：①1),(0≤≤y x F②固定一个自变量的值时，),(y x F 作为一元函数关于另一个自变量是单调不减的 ③对任意固定一个y ，0),(lim =-∞→y x F x ；对任意固定一个x ，0),(lim =-∞→y x F y ；0),(lim =-∞→-∞→y x F y x ，0),(lim =→∞→∞y x F y x④固定一个自变量的值时，),(y x F 作为一元函数关于另一个自变量至少右连续 ⑤对任意的R y y x x ∈2121,,,：0),(),(),(),(11211222≥+--y x F y x F y x F y x F ⑥),(),(lim y Y X P y x F x ≤+∞≤=+∞→,),(),(lim b x F y x F by =+→5．连续性随机变量X 的概率密度函数)(x f ：⎰∞-=xdt t f x F )()(①0)(≥x f ②1)(=⎰+∞∞-dx x f6．连续型随机变量的性质：①)(x F 是连续函数，且当)(x f 在0x x =处连续时，)()(00x f x F =' ②对R Const c ∈=∀，0)(==c X P③对R Const b a ∈=∀,，dx x f b x a P ba ⎰=≤<)()(7．常用连续型随机变量：①均匀分布),(~b a R X ：⎪⎩⎪⎨⎧=<<- ,0 ,1)(else bx a a b x f ，⎪⎩⎪⎨⎧=≥<≤--<b x b x a a b a x a x x F,1 ,,0)(②指数分布)(~λE X ：⎩⎨⎧=>-else x e x x f ,00 ,)(λλ,⎩⎨⎧=<≥--0 ,00,1)(x x e x x F λ③正态分布),(~2σμN X ：222)(21)(σμσπ--=x ex f④标准正态分布)1,0(~N X ：2221)(x ex -=πϕ，分布函数：dt ex Φxt ⎰∞--=2221)(π性质：)(1)(x Φx Φ-=-，5.0)0(=Φ，0)(=-∞Φ，1)(=∞Φ正态概率计算公式：⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≤<σμσμa Φb Φb x a P )(标准正态分布的p 分位数：)(1p Φu p -=，p p u u --=18．二维随机变量的联合密度函数),(y x f ：dv du v u f y x F x y⎰⎰∞-∞-=),(),(① ②9．二维随机变量的边缘分布函数：),()(∞=x F x F X ，),()(y F y F Y ∞=10．二维随机变量的边缘密度函数：⎰∞∞-=dy y x f x f X ),()(，⎰∞∞-=dx y x f y f Y ),()(11．随机变量的独立性：随机变量X 与Y 相互独立)()(),(y F x F y x F Y X =⇔ 12．条件密度函数：)(),()|(|y f y x f y x f Y Y X =，)(),()|(|x f y x f x y f X X Y =①0)|(|≥y x f Y X ②1)(),()|(|==⎰⎰+∞∞-∞+∞-y f dx y x f dx y x f Y Y X13．条件分布函数：F ( ) ∫f (u )xdu ∫f(u )f ( )xdu ，F ( ) ∫f (v )y dv ∫f(v )f ( )ydv14．当X 与Y 相互独立时：F ( )(x y) (y)(x) (y) (y)f ( )，F ( )(y x) (x)(x) (y) (x)f ( )15．求 g( )的分布函数与密度函数的一般步骤： ①由 的值域 确定 的值域②对任意 ，求出F ( ) ( ) (g ( ) ) ( y ) ∫f( )d③按分布函数性质写出F ( ) ④通过求导得f ( )16．当 N( ς ) 时， c N ( c ς ) ，N ( )当X 与Y 相互独立， N ( ς )， N( ς )时： N ( ς ς )17．设 * n +， * n +， ( n)独立同分布，且 的分布函数和密度函数分别为F( )和f( )，则f U (u ) nF (u )n f(u)，f V (u ) n, −F (v )-n f(v)第四章 随机变量的数字特征1．离散型随机变量 的概率函数为 ( a ) p ， ，E ( ) ∑a p 连续性随机变量 的密度函数为f( )，E ( ) ∫ f( )+d 2．常用分布的期望：当 B(n p)时，E ( ) np当 (λ)时，E ( ) λ，E ( ) λ λ 当 R(a b)时，E ( )(a b) 当 E(λ)时，E ( )λ，E ( ) λ当 N( ς )时，E ( ) ，E ( ) ς 3．期望计算公式：①离散型随机变量 的概率函数为 ( a ) p ， ，E,g( )- ∑g(a )p 连续性随机变量 的密度函数为f( )，E,g( )- ∫g( )f( )+d②离散型随机变量( )的概率函数为 ( a b j ) p j ， j ，E,g( )- ∑∑g(a b j )p j j 连续性随机变量( )的密度函数为f( )，E,g( )- ∫∫g( )f( )+d +d 4．期望的性质： ①E (c ) c②E ( c ) E ( ) c ③E ( l ) E ( ) lE ( )④当X 与Y 相互独立时，E ( ) E ( )E( )5．方差：D ( ) E *, −E ( )- + E ( )−,E( )- ；标准差：√D ( ) 6．常用分布的方差：当 B(n p)时，D ( ) np( −p) 当 (λ)时，D ( ) λ 当 R(a b)时，D ( )(b −a) 当 E(λ)时，D ( )λ当 N( ς )时，D ( ) ς 7．方差的性质： ①D (c )②D ( c ) D ( )③D ( ± ) D ( ) D ( )± E *, −E( )-, −E( )-+ ④当X 与Y 相互独立时，D ( ± ) D ( ) D ( )8．中心化随机变量： ∗ −E ( )，其E ( ∗) ，D ( ∗) D( ) 标准化随机变量： ∗E ( )√D( )，其E ( ∗) ，D ( ∗)9．协方差：cov ( ) E *, −E( )-, −E( )-+ E ( )−E ( )E( )D ( ± ) D ( ) D ( )± cov ( )10．协方差的性质： ①cov ( ) cov ( )②cov ( c )③cov ( l ) lcov ( )④cov (∑ m=∑ j nj=) ∑∑cov( j )nj=m=11．相关系数：ρ( ) E ( ∗ ∗) cov ( )√D( )D( )12．相关系数的性质： ①ρ( ) ρ( )② ρ( )③ ρ( ) ⟺∃ c ，使 ( c ) 13．相关性：①当ρ( ) 时，X 与Y 正线性相关 ②当ρ( ) − 时，X 与Y 负线性相关 ③当ρ( ) 时，X 与Y 不相关 ④X 与Y 相互独立 X 与Y 不相关⑤若二维随机变量( )服从二维正态分布，则X 与Y 相互独立⟺X 与Y 不相关 14．X 与Y 的( l )阶原点矩：E ( k )；X 与Y 的( l )阶中心矩：E,( −E( ))k -X 与Y 的( l )阶原点矩：E ( k l )；X 与Y 的( l )阶中心矩：E,( −E( ))k ( −E( ))l -二维随机变量( )的期望向量：(E( )E( )*；( )的协方差矩阵：(D( )cov ( )cov ( )D( )*15．p 分位数：νp ，其中, ( νp )≥p( ≥νp ) −p ，ν12为中位数变异系数：δ√D( ) E( )众数：,离散型随机变量： ( a ∗)≥ ( a )，连续型随机变量：f ( ∗)≥f ( )， R ，则a ∗或 ∗为众数16．两个不等式： 3 ς准则： ( − ≥3 ς) .3%切比雪夫不等式：设E ( ) ，D ( ) ς ，对∀ε> ， ( − ≥ε) 2ε2柯西—许瓦兹不等式：对∀随机变量( )，,E ( )- E ( )E( )第五章 随机变量序列的极限1．随机变量序列 ，若∃c ∀ε>n( n −c <ε)则随机变量序列 依概率收敛于c ，记作 n→ c 2．若 n→ a ， n→ b ，且g ( )在(a b )处连续，则g ( n n )→ g (a b )3．大数定律：切比雪夫大数定律：随机变量序列 两两不相关，∃c 使D ( ) c ， ，则n ∑ n=− n ∑E( )n=n ∑ ∗n=→ 辛钦(独立同分布)大数定律：随机变量序列 独立同分布，且E( ) D( ) ς ,则̅→ 贝努利大数定律：随机变量序列 独立同分布，且 B( p) ,则 ̅→ p 4．中心极限定理：随机变量序列 独立同分布，且 N( ς ) ,则( − ≥ε) * −Φ(√nες)+当n 足够大时，则近似认为∑ n = 服从正态分布列维—林德博格(独立同分布)中心极限定理：随机变量序列 独立同分布，且E( ) D( ) ς ,则对∀ R 有：n(∑ −n n=√nς̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ) Φ( )其中Φ( )为N( )的分布函数德莫夫—拉普拉斯中心极限定理：随机变量序列 独立同分布，且 B( p),则对∀ R 有：n( ∑ −npn= √np( −p)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ )Φ( ) 5．由德莫夫—拉普拉斯中心极限定理的近似计算：若 B(n p)，则当n 较大时：(a < b ) ∑C n k p k ( −p)n k a<k≤b≈Φ(b −np √np ( −p ))−Φ(a −np √np( −p))说明：①无论不等号中是否含等号，都用此公式近似②当a 时，认为a −∞；当b n 时，认为b ∞第七章 数理统计的基本概念 1．设( n )是一个样本，定义： 样本均值：̅n∑ n= 样本方差：n −∑( −̅) n= 样本方差： √n −∑( −̅) n=样本的 阶原点矩：A kn∑ k n=样本的 阶中心矩：M kn∑( −̅)k n= 2．设( n )是取自总体 的一个样本，E ( ) ，D ( ) ς ，则①E (̅) ，D ( ̅) ςn②E ( ) ς ，D ( n )n − nς，n ≥ ③当n ⟶∞时， ̅→ ，→ ς ， n→ ς3．三个常用分布： ①χ 分布：随机变量序列 n 独立同分布，且都服从N ( )，若 ∑ n = ，则 χ(n)联合密度函数：f ∗( n ) ∏f i ( )n=∏√ πn=e x i 2( π)n e p {−∑ n=}密度函数：f ( ) {n Γ.n/ n e y ， > ， else，其中Γ(n ) ∫t n e t + 0dt性质：①当 χ (n)时，E ( ) n ，D ( ) n②可加性：设与相互独立，且 χ (m)， χ (n)，则X χ (m n)分位数：χp (n )，当 χ (n)时， . χp(n )/ p ， <p < ②t 分布：随机变量序列 n 独立同分布，且 N ( )， χ (n)，若T √n，则T t(n)密度函数：f T (t ) Γ.n /√nπΓ.n/( t n ) n+ ，t R 分位数：t p (n )，当T t(n)时， . t p (n )/ p ， <p <（当p >时，可查表得到，当p <时，利用t p (n ) −t p (n )得到t p (n )的值）③F 分布：随机变量序列 n 独立同分布，且 χ (m)， χ (n)，若F m n ，则F F(m n)密度函数：f ( ) {Γ.m n /Γ.m/Γ.n /.m n /m m . m n / m+n， >， else分位数：F p (m n )，当F F(m n)时， . F p (m n )/ p ， <p <（当p > 时，可查表得到，当p < 时，利用F p (m n )F p (n m )得到F p (m n )的值） *若T t(n)，则T F( n)*具有可加性质的分布：χ 分布、柏松分布、正态分布、二项分布X Y p p p4．设( n )是取自总体N( ς )的一个样本，则：①X̅ N (μ σ )或√ X ̅−μσN( ) ②( − )S σ S n σσ∑(X i −X ̅) ni=χ ( − ) ③X ̅与S 相互独立 ④√n̅− √n −̅− nt(n − ) 5．设(X X m )是取自总体N(μ σ)的一个样本，(Y Y n )是取自总体N(μ σ )的一个样本，则：①(X ̅−̅)−(μ −μ )√σ m σn N( )② ∑( −μ )mσm=∑( i −μ )nσ ni= ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ F(m n) ③ σσF(m − n − ) 6．设(X X m )是取自总体N(μ σ )的一个样本，(Y Y n )是取自总体N(μ σ )的一个样本，则：①(X ̅−̅)−(μ −μ ) w √ mnt (m n − )， w √ w ， wm n −[∑(X i −X ̅) mi=∑( i − ̅) ni=] ②F(m − n − ) 7．设(X X m )是取自总体X 的一个样本，当n 较大时，近似地有：①X ̅ N (μσ )或√ X ̅−μσN( ) ②√n̅− N ( )，或√n ̅− ςN( ) 8．最小次序统计量：X ( ) ≤ ≤nX i 最大次序统计量：X (n) ≤ ≤nX i第八章 参数估计1．设(X X m )是取自总体X 的一个样本，E ( ) ，D ( ) ς ，则： ①̅是未知参数 的矩估计②S n 是未知参数ς 的矩估计，S n是未知参数ς的矩估计 2．常用分布的矩估计：设(X X m )是取自总体X 的一个样本， 当 (λ)时，λ̂ ̅，λ̂ ̅ 当 R( θ)时，θ̂ ̅ 当 E(λ)时，λ̂̅当 N( ς)时， ̂̅，ς̂S n，ς̂S n3．似然函数：L(θ;n)∏f(;θ)n=设(X X m)是取自总体X的一个样本，若存在θ̂使：L(θ̂)ΘL(θ)，则θ̂为θ的极大似然估计值一般通过解方程ddθlnL(θ)得到θ的极大似然估计4．常用分布的极大似然估计：设(X X n)是取自总体X的一个样本，当 (λ)时，λ̂̅当 R(θθ)时，θ̂X( )，θ̂X(n)当 E(λ)时，λ̂̅当 N( ς)时， ̂̅，ς̂S n，ς̂S n，变异系数δ̂x S n ̅5．无偏性：若未知参数θ的估计量θ̂满足：E(θ̂)θ，则θ̂为θ的无偏估计；若未知参数θ的估计量θ̂满足：nE(θ̂)θ，则θ̂为θ的渐近无偏估计；6．设(X X n)是取自正态总体N( ς)的一个样本，①当未知但ς已知时，的矩估计和极大似然估计都是̅，̅是的无偏估计②当已知但ς未知时，ς的极大似然估计ς̂S n具有无偏性，因为E(S n)ς③当与ς均未知时，ς的矩估计和极大似然估计都分别是̅S n，则̅是的无偏估计, Sn不是ς的无偏估计，而是ς的一个渐近无偏估计7．有效性：设θ̂和θ̂∗都是未知参数θ的无偏估计，若D(θ̂∗)<D(θ̂)，则θ̂∗比θ̂有效8．相合性：若未知参数θ的估计量θ̂满足θ̂→θ，即对∀ε>，n(|θ̂−θ|>ε)则θ̂为θ的相合估计9．设θ̂是未知参数θ的无偏估计，若nD(θ̂)，则θ̂为θ的相合估计10．置信区间：设(X X n)是取自总体X的一个样本，对于未知参数θ，给定α，<α<，若∃θ θ，使得：(θθθ)≥−α则[θ θ]为θ的双侧−α置信区间，−α为置信水平(度)，θ θ为θ的双侧−α置信区间的上、下限11．求置信区间的一般步骤：①求出未知参数θ的较优点估计θ̂②以θ̂为基础，寻找一个只包含θ̂的随机变量J③记J的α分位数为a，−α分位数为b，则(aθb)−α④把aθb作等价变形，成为θθθ，则[θ θ]为双侧−α置信区间12．设(X X n)是取自总体X的一个样本，对于未知参数θ，给定α，<α<，若∃θ，使得：(θθ)≥−α则[θ ∞]为θ的单侧−α置信区间，−α为置信水平，θ为θ的单侧−α置信区间的下限（上限类似）13．一个正态总体下位置参数的置信区间（见附表Ⅰ）14．常用分布总结（见附表Ⅱ）附表Ⅰ一个正态总体下位置参数的置信区间未知参数随机变量J J的分布双侧置信区间的上、下限单侧置信区间的下限单侧置信区间的上限ς已知√X̅−μσN( )̅±uασ√̅−uας√n̅uας√nς未知√X̅−μσt(n− )̅±tα(n−)σ√̅−tα(n−)ς√n̅tα(n−)ς√nς已知∑(−μ)n=ςχ(n)∑(−)n=χα(n)，∑(−)n=χα(n)∑(−)n=χ α(n)∑(−)n=χα(n)未知∑(−μ)n=ςχ(n− )∑(−X̅)n=χα(n− )，∑(−X̅)n=χα(n−)∑(−X̅)n=χ α(n−)∑(−X̅)n=χα(n−)附表Ⅱ常用分布总结X B( p)X P(λ)X R( b)X E(λ)X N(μ σ)f()/()C n k p k( −p)n k e λλk!{b−a， a<<b， else,λe λx，>， else√ πςe(x μ)2σ2F()/ /{，<a −ab−a， a<b ，≥b ,−e λx，≥，<略E(X) pλ( b)λμD(X) p( −p)λ(b− )λσ矩估计略λ̂̅b̂̅λ̂̅ ̂̅，ς̂n 极大似然估计略λ̂̅â( )，b̂(n)λ̂̅ ̂̅，ς̂n。
概率统计简明教程多媒体参考资料第一篇概率论
n
n
U P( Ak ) P(Ak )
P( Ai Aj ) L
k 1
k 1
1i jn
(1)k1
P( Ai1 L Aik ) L (1)n1 P( A1...An )
1i1 i2 ...ik n
16
例 3（第二章例 9）据资料获悉某市居民私房拥有率为 63% ，私车拥有率为 27%，
而既无房也无车的占 30%，求任意抽查一户，恰为既有房又有车的概率. 解分别记事件 A={抽到的一户有房}，B={抽到的一户有车}，C={抽到的一户有车、 有房}
A= B1B2∪C
这可以简化复杂事件A的概率计算.
12
事件分解的要点是：正 确使用事件的运算建立各简 单事件之间的关系.
13
2.概率的概念及性质
• 概率是事件发生的可能性大小的度量. • 概率的统计定义：概率是频率的稳定值, 常
常用于概率的近似计算，是非常有用的.但 要注意，试验次数要足够多.
14
20
而构成事件A的样本点的条件必须每次 抽取来自30件次品，因此每次有30种可能
结果，因而有k＝30×30＝900种可能结 果，于是
P( A)
k n
900 10,000
＝0.09.
同理，可得
P(B)
30 100
70 100
＝0.21.
21
*例 5（第二章例 5） 占位问题 n 个球随机地落入 r 个不同盒子中
n
令
B BAi ,
i 1
则有
n
P(B) P( Ai )P(B | Ai ) . i 1
原因A1
原因A2 … …
原因An
结果B
全概率公式是已知“原因”发生概率，求“结果”发生概率.
概率统计简明教程(同济版)课件第5章
此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质， 更需要
了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此， 我们 将二者作为一个整体来进行研究，记为(X, Y),称为二维随机
变量，又称多维随机变量。
一维随机变量的定义
随机变量 设随机试验的样本空间为Ω ，如果对于每一
个样本点 ，均有唯一的实数 X ( ) 与
解
lim A B arctan x C arctan y A B C 1 x 2 2 y
lim A B arctan x C arctan y A B C arctan y 0 x 2
之对应，称 X X ( ) 的随机变量。 为样本空间Ω 上
设X是一个随机变量，称定义域为 , ，函 数值在区间 0,1 上的实值函数
F ( x) P X x
( x )
为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数。
离散型随机变量
离散型随机变量 X 的所有可能取值是 x1,x2,…,xk,…，而X 取值 xk 的概率为 pk
SG P{( X , Y } G } SD
例4.设(X,Y)服从如图区 域D上的均匀分布， (1)求(X,Y)的概率密度； (2)求P{Y<2X} ；
解:
SD 1
1 ( x, y ) D (1) f ( x, y ) others 0
1 3 1 SG 1 1 2 2 4
(x, y)
x
联合分布函数的性质 ① 0 F ( x, y ) 1
x y
y
(,)
lim F x, y
x y
最新版概率统计简明教程期末复习题(含答案)
考试的重点内容与要求考试的范围是现用教材：工程数学—《概率统计简明教程》（同济大学应用数学系主编）第一、二、三、四、六、七、八、九、十章。
以下按章次明确考试的重点与要求。
第一章随机事件1.了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念。
2.理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算。
第二章事件的概率1.了解事件频率的概念，了解概率的统计定义。
2.熟悉关于排列与组合的基本知识，掌握求排列数与组合数的公式。
3.了解概率的古典定义，会计算简单的古典概率。
4.了解概率的公理化定义，掌握概率的基本性质，并会解决比较简单的问题。
第三章条件概率与事件的独立性1.了解条件概率的概念、概率的乘法定理与全概率公式，并会解决比较简单的应用问题。
2.理解事件的独立性概念，了解伯努利（Bernoulli）概型和二项概率的计算方法。
第四章随机变量及其分布1.理解随机变量的概念，了解分布函数的概念和性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。
2.理解离散型随机变量及分布律的概念，掌握0－1分布、二项分布，了解泊松（Poisson）分布。
3.理解连续型随机变量及其概率密度的概念。
掌握正态分布，均匀分布，了解指数分布。
第六章随机变量的函数及其分布掌握求简单随机变量函数的概率分布(重点是一维随机变量的函数及其分布)。
第七章随机变量的数字特征1.理解数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算。
2.掌握二项分布、正态分布、泊松分布等的数学期望与方差。
第八、九、十章1、了解统计量定义，掌握常用统计量的计算；理解参数点估计的概念，掌握用矩估计法构造参数的估计量。
2、掌握用最大似然估计法构造参数的估计量，了解估计量的优良性评判准则。
上述列出的各章内容与要求是本次统考的重点内容和应当达到的合格要求。
当中对所列内容按教学要求的不同，分为两个层次。
属较高要求，应使考生深入领会和掌握，并能熟练应用。
其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“掌握”一词表述。
工程数学-概率统计简明教程-第二章-随机事件省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
用来刻划事件Ａ发生可能性大小，能够要求为事件 A旳概率，记为 P( A)
概率旳统计定义
对任意事件Ａ，在相同旳条件下反复进行n 次试验，事件Ａ发 生旳频率 m/n，伴随试验次 数n旳增大而稳定地在某个常数 p附近摆动,那么 称p为事件Ａ旳概率
回地）构成一组， 不同旳取法共有
Cnm
n! m!(n m)!
古典（等可能）概型
有限性
每次试验中，全部可能发生旳成果只有有限个， 即样本空间Ω是个有限集
Ω=ω1,ω2,,ωn. 等可能性
每次试验中，每一种可能成果发生旳可能性相同，
即
P( A1)
P( A2 )
P( An )
1 n
其中 Ai i, i 1,2,, n
故所求旳概率是：
PA
319! 20!
3 20
小概率事件 ——
若P(A) 0.01 , 则称A为小概率事件.
小概率原理 —— ( 即实际推断原理 ) 一次试验中小概率事件一般是不
会发生旳. 若在一次试验中居然发生了, 则可怀疑该事件并非小概率事件.
例 区长办公室某一周内曾接待过9次来
访, 这些来访都是周三或周日进行旳,是否 能够断定接待时间是有要求旳？
i 1
i 1
i 1
i n 1
n
P( Ai )
i 1
性质3 差事件旳概率
若 A B，则 P (B － A) = P(B) － P(A) 且P(A) ≤P(B)
BA
B A (B A) A (B A)
P(B) P( A (B A)) P( A) P(B A) P (B － A) = P(B) － P(A)
概率统计简明教程-同济_第八章_统计与统计学
每一样品Xi与总体同分布。 ②独立性——样本中的样品取值相互不影响，即
x1, x2,…,xn相互独立。
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样本的分布函数
设总体X的分布函数为F(x),则容量为n的样本是一
概 率
个n维随机变量，其联合分布函数为
论
F ( x)
与
n
F(x1, , xn ) F(xi ) i 1
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与与数数理理统统与与数数理理统统2012420皖西学院数理系15在有放回的条件下样本与与数数理理统统与与数数理理统统2012420皖西学院数理系16与与数数理理统统与与数数理理统统2012420皖西学院数理系17某社区计划建一所养老院服从对象为满足一定条件的65岁以上的老人
引言
数理统计是具有广泛应用的一个数学分支，它是在
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概
率 论
第二节 总体和样本
与
数
理
统
计
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我们今后所讨论的统计问题主要属于下面这种类型：
从一个集合中选取一部分元素，对这些元素的某些数
量指标进行测量，根据测量获得的数据来推断此集合
概 率
中全部元素的这些数量指标的分布情况。
论 在统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合
概 样本中所包含的个体数目称为样本容量（或子样容量）
率 论
在重复抽样中，每一个个体也是一个随机变量，因此容
与 量为n的样本可以看作是一个n维随机变量,即
数 理
(X1, X2,
, Xn).
统 计
为了使样本在尽可能大的程度上反映总体的特性，
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有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可 数量化
例如: 掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的
可规定: 用 1表示 “正面”，用 0 表示“反面”
试验结果的数量化
例 设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白 球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。
取球结果为: 两个白球;两个红球;一红一白
之对应，称 X X () 为样本空间Ω上
的随机变量。
例如: 掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反 面”来表示的
可规定: 用 1表示 “正面” ，用 0 表示“反面”
1 “正面”，2 “反面”
则
X 1 1, X 2 0
为简便起见，今后我们将事件A X () a记为X a
关于随机变量的研究，是概率论的中心内容。前 面我们所学的随机事件是从静态的观点来研究随机现 象，而随机变量则是一种动态的观点。
称 F x为随机变量X的概率分布函数，简称分
布函数。本质上是一个累积函数。
例（前）设袋中装着标有-1,2,2,2,3,3数字的六个球。从
中任取一个，用X表示取得的球号，求X的分布函数。
解
X： -1， 2， 3
P： 1 , 1 , 1
623
x -1
0
x
2x 3 x
x
当 x 1时，X x是不可能事件，F x P X x 0.
P x1 X x2 P X x2 P X x1
因此，对于一切 x ，只要算出概率 P X x，就
能算出X落在任意区间 (x1, x2 ] 的概率了，也就相当于 找到了X的概率分布。
因当 x 确定时，概率 P X x就有确定的对应
值，因而 P X x是 x 的函数。记作：
F(x) P X x ( x ,值域0,1)
➢ 某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数Y.
Y 的可能取值为 0，1，2，3，...,M
➢ 在[0，1]区间上随机取点，该点的坐标X.
X 的可能取值为 [0，1]上的全体实数。
随机变量根据其取值方式的不同，通常分为两 类：离散型随机变量与连续型随机变量。后面将分 别进行讲述。
随机事件通常都可以用X的不同取值来表示. 如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则 “出现2点”可表示为： {X=2} “出现偶数点”可表示为： {X=2} {X=4} {X=6} “出现的点数大于2小于6”可表示为：{3 X5}
设离散型随机变量 X 的所有可能取值是 x1,x2,…,xk,…，而X 取值 xk 的概率为 pk
对于有关求随机变量的问题，通常要解决两点：
1、在一道题目当中随机变量可能取些什么值？
2、随机变量取这些值以及随机变量属于数轴上
任一集合S（即 X S）或区间的概率是多少？
若解决了这两个问题（即对任 S, P X S都知
道），就说确定了随机变量X的概率分布。
例 设袋中装着标有-1,2,2,2,3,3数字的六个球。从中任
可以看出，随机事件这个概念是包容在随机变量 这个更广的概念之内。如数学中常量与变量的区分那 样，变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念。 同样，概率论能从一些孤立事件的概念发展为一个更 高的理论体系，其基础概念就是随机变量。
随机变量的实例
例
➢ 某灯泡厂所产的一批灯泡中灯泡的寿命X。
X 的可能取值为 [0,+)
第四章 随机变量及其分布
第一节 随机变量及分布函数
重点 随机变量的概念 分布函数的概念
在前面的学习中,我们用字母A、B、C...表示
事件，并视之为样本空间 的子集；
本章，将用随机变量表示事件，以便于采用高 等数学的方法描述、进而研究随机现象。
若能将样本空间数量化,即用数字来表示试验 的结果,将会带来很大的方便,更便于用数学方法 和工具来研究随机现象。 有些随机试验的结果本来就可以用数量来表示. 例如 （1） 在掷骰子试验中,结果用1,2,3,4,5,6来表示；
引进分布函数F(x)后，事件的概率都可 以用F(x)的函数值来表示。
P( X b) F (b) P( X b) 1 P( X b) 1 F (b) P(a X b) P(X b) P(X a) F (b) F (a)
已知 X 的分布律为
X 1 0 1 2
求X的分布函数，
取一个，用X表示取得的球号，求X取任一数字的概
率及
P
X
5 2
的概率。
解 X可能的取值为-1，2，3，根据古典概率计算公式:
P X 1 1 P X 2 3 1
6
62
P
X
5 2
11 62
2 3
P X 3 2 1
63
一般地，X落在某区间 (x1, x2 ]上的概率可以表示为：
x
分布函数的性质：
(1) 0 F x 1 x
(2)对于任意两点 x1, x2 ，当 x1 x2时，有 F (x1) F (x2 ) 即任一分布函数都是单调不减的。
(3) lim F(x) 0及 lim F(x) 1
x
x
(4)
lim
x x0
F ( x)F源自x0x0 即分布函数是一个右连续函数。
如果用X表示抽得的红球数，则X的取值为0，1，2。此时，
“两只红球”= “X取到值2”, 可记为 {X=2}
“一红一白”= {X=1}, “两只白球”＝{X=0}
特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了
一个对应关系
随机变量的定义
随机变量 设随机试验的样本空间为Ω，如果对于每一
个样本点 ，均有唯一的实数X () 与
当 1 x 2时，X x就是X 1,
F x 1.
6
当 2 x 3时，X x就是X 1或X 2,
F x 1 1 2.
62 3
当 x 3 时，X x为必然事件，F x 1.
0, x 1
即
1
,
1 x 2
F
x
6 2
,
2 x3
3
1, 3 x
F(x)
1
2 3
-1
1
23
1 1 1 1 并画出它的图形。
P 2 3 12 12
第二节
重点
离散型随机变量
理解离散型随机变量及分布律的概念
会用分布律或分布函数的概念和性质计 算有关事件的概率
随机变量的类型
离散型 随机变量的所有取值是有限个或可数个
非离散型 随机变量的取值不能一一列举 连续型随机变量
对于求离散型随机变量的问题，通常要解决两点： 1、在一道题目当中随机变量可能取些什么值？ 2、随机变量取这些值的概率是多少？