高中数学球面距离的计算

球面距离的计算
在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段劣弧的长叫做球面上这两点间的球面距离（也叫球面上的短程线或测地线）。

如下图，球的半径为R ，球面上有任意两点()11,βαA 、()22,βαB ，其中1α、2α分别为A 、B 两点的经度数，1β、2β分别为A 、B 两点的纬度数，过A 、B 两点的大圆劣弧所对的圆心角为θ，试证明A 、B 间的球面距离为：
()]sin sin cos cos arccos[cos
212121ββββααθ+-==R R AB ⌒
（角均为弧度）
证明：如上图，⊙1O 与⊙2O 分别为过A 、B 的纬度圈，过A 、C 的大圆，过B 、D 的大圆分别为A 、B 的经度圈，且经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作⊥AE 面BC O 2，垂足E 位于
C O 2上，连结EB 、AB ，则
()2
212
212OO OO O O AE -==()2
21sin sin ββR R -=()2
212sin sin ββ-=R
在BE O 2∆中，由余弦定理，得：()21222
22
22
cos 2αα-⋅-+=B O E O B O E O BE
()
21212221cos 2αα-⋅-+=B O A O B O A O ()()()21212
22
1cos cos cos 2cos cos ααββββ-⋅⋅-+=R R R R
()]cos cos cos 2cos [cos 212122122ααββββ--+=R
()]cos cos cos 2sin sin 22[2121212222ααββββ---=+=R BE AE AB ()]cos cos cos sin sin 1[22121212ααββββ---=R
又由余弦定理，得，()θθcos 12cos 22
2
2
2
2
-=-+=R R R R AB ，比较上述两式，化简整理
得：()212121sin sin cos cos cos cos ββββααθ+-=（角均为弧度） 所以()]sin sin cos cos arccos[cos 212121ββββααθ+-=（角均为弧度） 所以A 、B 间的球面距离为：
()]sin sin cos cos arccos[cos
212121ββββααθ+-==R R AB ⌒
（角均为弧度） 从上面的推导过程可以看出，求解A 、B 两点的球面距离，关键是要求出圆心角AOB ∠的大小，
而要求AOB ∠，往往要先求弦AB 的长，再利用余弦定理求出AOB ∠。

所以求两点的球面距离，常常要先求这两点的弦长距离。

应用球面距离公式的说明：
（1）要注意经度和纬度的正负性：一般规定东经为正，西经为负；北纬为正，南纬为负；使用两点的球面距离公式时，要将经度和纬度的正负号代入公式计算。

（2）两点的经度差)(21αα-的计算规则是：①当两点同为东经或同为西经时，
2121αααα-=-；②当两点一为东经1α，一为西经2α时，)(212121παααααα≤+-=-或者)(-2212121πααααπαα≥+-=-。

（3）当两点的经度相同时，即21αα=时，A 、B 间的球面距离为：
))
(arccos(cos )sin sin cos arccos(cos 212121ββββββθ-=+==R R R AB ⌒
（角均为弧度） （4）当两点的纬度相同时，即βββ==21时，A 、B 间的球面距离为：
()]sin cos arccos[cos
2221ββααθ+-==R R AB ⌒
（角均为弧度） 例 1.已知A 、B 两地都位于北纬
60，又分别位于东经
153和西经
117，设地球半径为R ，求A 、B 的球面距离。

例2.已知直线l ⊥平面α，O 为垂足，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AD =5，AB =6， AA 1=8，A ∈l ，B 1∈α，则OC 1的最大值为_______________
变式训练：
1.在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为_____________
2.已知球面上有A 、B 、C 三点，BC =2√3，AB =AC =2，若球的表面积为20π，则球心到平面ABC 的距离为_____________
3.（2006湖南）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图1，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是_____________
4.（2006四川）已知球O 的半径是1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是
4π，B 、C 两点的球面距离是3
π
，则二面角B -OA -C 的大小是____________ 5.（2006陕西）水平桌面α上放有4个半径均为2R 的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成
正方形).在这4个球的上面放1个半径为R 的小球，它和下面4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是________________
6.（2007江西）四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且2CD =，AB =
在外接球面上两点A B ，间的球面距离是___________
7.（2007四川）设球O 的半径是1，A 、B 、C 是球面上三点，已知A 到B 、C 两点的球面距离都是
2π，且二面角B OA C --的大小是3
π
，则从A 点沿球面经B 、C 两点再回到A 点的最短距离是_________________
8.（2008重庆)如下图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点。

V 1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V 2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ）
A.V 1=
2
V B.V 2=
2
V
C.V 1> V 2
D.V 1< V 2
9.（2011全国）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60︒二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为__________
10.（2010全国）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为_____________
11.已知A 地位于北纬
30、东经
60，B 地位于南纬
60、西经
90，设地球半径为R ，则A 、
B 两地之间的球面距离为________________
12.用一个边长为√2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢.现将半径为1的球体放置于蛋巢上，则球体球心与蛋巢底面的距离为_____________
13.球O 为边长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的内切球，P 为球O 的球面上动点，M 为B 1C 1中点，DP ⊥BM ，则点P 的轨迹周长为_____________。