高中数学球面距离的计算

球面距离的计算

在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段劣弧的长叫做球面上这两点间的球面距离（也叫球面上的短程线或测地线）。

如下图，球的半径为R ，球面上有任意两点()11,βαA 、()22,βαB ，其中1α、2α分别为A 、B 两点的经度数，1β、2β分别为A 、B 两点的纬度数，过A 、B 两点的大圆劣弧所对的圆心角为θ，试证明A 、B 间的球面距离为：

()]sin sin cos cos arccos[cos

212121ββββααθ+-==R R AB ⌒

（角均为弧度）

证明：如上图，⊙1O 与⊙2O 分别为过A 、B 的纬度圈，过A 、C 的大圆，过B 、D 的大圆分别为A 、B 的经度圈，且经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作⊥AE 面BC O 2，垂足E 位于

C O 2上，连结EB 、AB ，则

()2

212

212OO OO O O AE -==()2

21sin sin ββR R -=()2

212sin sin ββ-=R

在BE O 2∆中，由余弦定理，得：()21222

22

22

cos 2αα-⋅-+=B O E O B O E O BE

()

21212221cos 2αα-⋅-+=B O A O B O A O ()()()21212

22

1cos cos cos 2cos cos ααββββ-⋅⋅-+=R R R R

()]cos cos cos 2cos [cos 212122122ααββββ--+=R

()]cos cos cos 2sin sin 22[2121212222ααββββ---=+=R BE AE AB ()]cos cos cos sin sin 1[22121212ααββββ---=R

又由余弦定理，得，()θθcos 12cos 22

2

2

2

2

-=-+=R R R R AB ，比较上述两式，化简整理

得：()212121sin sin cos cos cos cos ββββααθ+-=（角均为弧度） 所以()]sin sin cos cos arccos[cos 212121ββββααθ+-=（角均为弧度） 所以A 、B 间的球面距离为：

()]sin sin cos cos arccos[cos

212121ββββααθ+-==R R AB ⌒

（角均为弧度） 从上面的推导过程可以看出，求解A 、B 两点的球面距离，关键是要求出圆心角AOB ∠的大小，

而要求AOB ∠，往往要先求弦AB 的长，再利用余弦定理求出AOB ∠。所以求两点的球面距离，常常要先求这两点的弦长距离。

应用球面距离公式的说明：

（1）要注意经度和纬度的正负性：一般规定东经为正，西经为负；北纬为正，南纬为负；使用两点的球面距离公式时，要将经度和纬度的正负号代入公式计算。

（2）两点的经度差)(21αα-的计算规则是：①当两点同为东经或同为西经时，

2121αααα-=-；②当两点一为东经1α，一为西经2α时，)(212121παααααα≤+-=-或者)(-2212121πααααπαα≥+-=-。

（3）当两点的经度相同时，即21αα=时，A 、B 间的球面距离为：

))

(arccos(cos )sin sin cos arccos(cos 212121ββββββθ-=+==R R R AB ⌒

（角均为弧度） （4）当两点的纬度相同时，即βββ==21时，A 、B 间的球面距离为：

()]sin cos arccos[cos

2221ββααθ+-==R R AB ⌒

（角均为弧度） 例 1.已知A 、B 两地都位于北纬

60，又分别位于东经

153和西经

117，设地球半径为R ，求A 、B 的球面距离。

例2.已知直线l ⊥平面α，O 为垂足，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AD =5，AB =6， AA 1=8，A ∈l ，B 1∈α，则OC 1的最大值为_______________

变式训练：

1.在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为_____________

2.已知球面上有A 、B 、C 三点，BC =2√3，AB =AC =2，若球的表面积为20π，则球心到平面ABC 的距离为_____________

3.（2006湖南）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图1，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是_____________

4.（2006四川）已知球O 的半径是1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是

4π，B 、C 两点的球面距离是3

π

，则二面角B -OA -C 的大小是____________ 5.（2006陕西）水平桌面α上放有4个半径均为2R 的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成

正方形).在这4个球的上面放1个半径为R 的小球，它和下面4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是________________

6.（2007江西）四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且2CD =，AB =

在外接球面上两点A B ，间的球面距离是___________

7.（2007四川）设球O 的半径是1，A 、B 、C 是球面上三点，已知A 到B 、C 两点的球面距离都是

2π，且二面角B OA C --的大小是3

π

，则从A 点沿球面经B 、C 两点再回到A 点的最短距离是_________________