变化率问题

例1: 已知函数f ( x) x2 x的图像上的一点
A(1， 2)及附近一点B(1 x， 2 百度文库y)，则
y
.
x
例2 求y x2在x x0附近的平均变化率.
例4：经过曲线 f ( x) x2 1上A、B两点作
割线，求割线的斜率.
(1) xA 1，xB 2 ; (2) xA 1，xB 1.5 ; (3) xA 1，xB 1.1 .
莱布尼茨(1646--1716)德国 数学家、哲学家， 和牛顿同为微积分的创始人.
3.本章我们将要学习的导数是微积分的核心概念之一. 打个比喻如果微积分是万丈高楼，那么平均变化
率就是地基. 那么我们这一节课就相当于是“地基”.
现在我们就开始“打造地基”
新课讲解
导数研究的问题
变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量 变化的快慢程度．
函数的平均变化率的定义
一般地,函数 y f (x) 中，式子 f (x2 ) f (x1) x2 x1
称为函数 y f (x) 从x1到 x2 的平均变化率。其中
令 ， x x2 x1 ， y f (x2 ) f (x1) 则
f (x2 ) f (x1) y
也就是(半径的增加量 ) 和 ( 体积的增加量 ) 的比值越来越小.
这个比值就是气球的平均膨胀率
用数值来说话
分别计算空气容量从0到1,从1到2的半径增加量和气 球的平均膨胀率
当空气容量从0增加到1时，气球半径增加了
r(1) r(0) 0.62(dm)
气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm L) 1 0
半径增加的越来越慢.
3.从数学的角度,如何描述这一现象呢?
问题二 气球膨胀率
我们知道，气球的体积v（单位：L）与半径 r（单位:dm）
之间的函数关系是
v(r) 4 r 3
3
如果将半径表示为体积的函数，那么 3 r(v) 3v 4
现象也就是：随着气球体积的增大,当气球体积 增加量相同时,相应半径的增加量越来越小.
变化率问题
武威六中 王兴年
通过阅读引言我们知道： 1.随着对函数的深入研究产生了微积分,它是数学发展史
上的一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史 上的里程碑.
2.微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨.他们都
是著名的科学家，我们应该认识一下.
牛顿（Isacc Newton,1642 - 1727) 是英国数学家、天文学家和物理学家 是世界上出类拔萃的科学家。
2.已知函数f(x)=2x，计算f(x)在区间 3,2上的平均
变化率
思考?
观察函数f(x)的图象
平均变化率
y x

f(x2 ) x2

f (x1) x1
表示什么?
y
Y=f(x)
f(x2)
直线AB的斜 率
f(x1)
O
B f(x2)-f(x1)=△y
A
x
x1 x2 x2-x1=△x
例题分析
（h(t)=-4.9t2+6.5t+10）
面两个时间段里的平均速度
0 t 0.5
1t 2
v

h(0.5) h(0) 0.5 0

4.05
m s
v h(2) 2
h(1) 1

8.2
m
s
平均速度反映物体在某时间段里速度的平均变化情况.
思考：运动员从t1到t2时间段里的平均速度的计算式？
问题一
v h(t2 ) h(t1) t2 t1
在现实生活中还有许多平均变化率的问 题如气球膨胀率，那么我们接着“夯实 地基”.
问题二 气球膨胀率
1. 我们大都吹过气球，同学回想在吹气球的过程 中，随着气球内空气容量的增加我们看到的现 象是？
2.看到的现象是： 随着气球内空气容量的增加，气球的
（1）质点运动规律为s t 2 3，则在时间
• 练习： (3，3 t)中相应的而平均速度为 .
（2）物体按s(t) 3t 2 t 4的规律作直线运动， 求在4s附近的平均变化率.
（3）过曲线y f ( x) x3上两点P(1,1)和 Q(1 x，1 y)，做曲线的割线，求出当 x 0.1时割线的斜率.
类似地，当空气容量从1增加到2时，气球的平均膨胀率 约为0.16（dm/L）
问题二 从上面的数值，可以看出，随着气球
体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小, 解决了问题.
思考？ 当空气容量从V1增加到 V2时，气球的平均膨胀
率是多少？ r(V2 ) r(V1) V2 V1
气球的平均膨胀率，反映了气球半径增加 的快慢程度.
作业
1.课本第10页第一题。
2.用今天讲的内容各小组自编1-2个 生活中的平均变化率问题（例如 平均每年增长的房价，平均每分 钟股指下跌的点数等）。
3.小组写一篇变化率在生活中的应用 短文。
4.探究
在问题一高台跳水中，计算运动员在0 t 65
这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：
49
（1）运动员在这段时间里是静止的吗？
问题一 高台跳水
这两幅图是锁定了运动员比赛的瞬间。
人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高 度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数v 关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10 提问：在物理学习中,我们常用什么描述物体的运动状态?
问 答：速度。
题
一
1.计算高台跳水运动员在下
x2 x1
x
说
明 ：
1.式子中的
x , y 值可正可负，但是 x
值不可以为0， y 值可为0.
2.计算步骤一般是先求函数值的增量再求比 值.
3.变式：
y f (x2) f (x1) f (x1 x) f (x1)
x x2 x1
x
练一练
1.甲用5年时间挣到10万元，乙用6个月时间挣到2万元， 如何比较和评价甲乙两人的经营成果？
小结
1.我们这节课讲了什么问 题
2.用了几个实例 3.得到一个什么数学定义
平均变化率问题
高台跳水
气球膨胀
4.求函数平均变化率的步 骤：
（1）求函数值的变化量 （2）求比值
y f (x2) f (x1)
y
x
函数平均 变化率定 义
y f (x2) f (x1)
x
x2 x1
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问 题？
再 谢谢大家 见