同余式的欧几里得算法
欧几里得算法及其证明
欧⼏⾥得算法及其证明在数学中，辗转相除法，⼜称欧⼏⾥得算法，是求最⼤公约数的算法。
辗转相除法市⼀中递归算法，每⼀步计算的输出值就是下⼀步计算时的输⼊的值。
设k表⽰步骤数（从 0 开始计数），算法计算过程如下。
每⼀步的输⼊都是前两次计算的⾮负余数r k−1和r k−2。
因为每⼀步计算出的余数都在不断减⼩，所以，r k−1<r k−2。
在第k步中，算法计算出满⾜已下等式的商q k和余数r k：r k−2=q k r k−1+r k其中 0≤r k<r k−1。
也就是r k−2要不断减去r k−1直到⽐r k−1⼩。
为求简明，以下只说明如何求两个⾮负整数a和b的最⼤公约数（负数的情况是简单的）。
在第⼀步计算时 (k=0)，设r−2和r−1分别等于a和b，第⼆步(k=1) 时计算r−1（即b）和r0（第⼀步计算产⽣的余数）相除产⽣的商和余数，以此类推。
整个算法可以⽤如下等式表⽰：a=q0b+r0b=q1r0+r1r0=q2r1+r2r1=q3r2+r3⋯如果有a<b，算法的第⼀步实际上会把两个数字交换，因为这时a除以b所得的商会等于 0，余数r0则等于a。
然后，算法的第⼆步便是把b除以a，再计算所得之商和余数。
所以，对于k≥0 总有r k≤r k−1，即运算的每⼀步中得出的余数⼀定⼩于上⼀步计算的余数。
由于每⼀步的余数都在减⼩并且不为负数，必然存在第N步是r N等于 0 使算法终⽌，r N−1就是a和b的最⼤公约数。
其中N不可能⽆穷⼤，因为在r0和 0之间只有有限个⾃然数。
正确性的证明：辗转相除法的正确性可以分成两步来证明。
在第⼀步，证明算法的最终结果r N−1同时整除a和b。
因为它是⼀个公约数，所以必然⼩于或等于最⼤公约数g。
在第⼆步，证明g能整除r N−1。
所以g⼀定⼩于或等于r N−1。
两个不等式只在r N−1=g时同时成⽴。
具体证明如下。
证明r N−1同时整除a和b：余数r N=0，r N−1∣r N−2:r N−2=q N r N−1因为r N−1∣r N−2，所以r N−1∣r N−3：r N−3=q N−1r N−2+r N−1同理可证r N−1可以整除所有之前步骤的余数，包括a和b,即r N−1是a和b的公约数，r N−1≤g。
扩展欧几里得算法与线性同余方程的求解
扩展欧几里得算法与线性同余方程的求解扩展欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm）是欧几里得算法（Euclidean Algorithm）的一个扩展版本，它不仅用于计算两个整数的最大公约数（GCD），还能同时找到满足贝祖等式（Bézout's Identity）的整数解。
这个等式是，其中a和b是任意两个整数，x和y是待求的整数。
当我们要用这个算法来求解线性同余方程ax≡c(mod b)时，我们首先需要找到一个整数x使得axmod b=c。
这可以转化为求解ax−by=c，其中y是另一个待求的整数。
如果不能整除c，则方程ax≡c(mod b)无解。
否则，我们可以先使用扩展欧几里得算法找到x′和y′满足，然后通过调整x′来找到x，使得ax≡c(mod b)成立。
扩展欧几里得算法的基本步骤1.初始化：设x2=1,y2=0,x1=0,y1=1，并且r1=a,r2=b（其中a是被除数，b是除数）。
2.迭代过程：当r2≠0时，执行以下步骤：3.计算商（向下取整）。
4.计算余数r=r1mod r2。
5.更新x和y：x=x1−q∙x2,y=y1−q∙y2。
6.更新r1,r2,x1,x2,y1,y2为r2,r,x2,x,y2,y。
7.终止条件：当r2=0时，算法结束。
此时r1就是a和b的最大公约数，而x1和y1就是满足的整数解。
求解线性同余方程一旦你有了满足的x1和y1，你可以通过以下方式找到x：注意，这里使用了模b来确保x是一个在模b意义下的有效解。
这是因为如果，那么乘以后，等式的左边就变成了ax（其中），而等式的右边则变成了c。
然而，由于我们只关心模b的结果，因此需要对x取模b。
但是，更常见的做法是使用模的逆元来避免直接的除法运算（这在b不是质数时可能不可用）。
如果b和互质，则可以使用扩展欧几里得算法找到关于模b的逆元c′，然后计算x=x1∙c′mod b。
然而，在这个特定的情况下，由于我们已经知道能整除c，我们可以简单地通过乘以并取模b来找到解，而不需要显式地计算逆元。
同余方程的求解技巧
同余方程的求解技巧同余方程是一类重要的数学问题，它在很多领域都有应用，例如密码学、图论、代数学等。
在解决此类问题的过程中，需要掌握一些相关的求解技巧。
一、欧几里得算法欧几里得算法是解同余方程中最基本的技巧。
它的核心思想是将两个数的较大值通过辗转相除的方式，求出它们的最大公约数。
例如，将6和9进行运算，可以得到如下计算式：9 = 6 x 1 + 36 = 3 x 2 + 0因为6和9的最大公约数为3，所以可以用这种方法求解同余方程Ax ≡ B(mod M) 。
其中A、B、M是已知的整数，x是未知整数。
首先，使用欧几里得算法求出A和M的最大公约数D；如果B能被D整除，那么方程有解。
然后，将A和M分别除以D，得到A'和M'，此时Ax ≡ B(mod M)可写为：A'x ≡ B'/D(mod M'/D)。
对这个新的方程重复以上步骤，直到求出解x。
二、中国剩余定理中国剩余定理是解同余方程组的一种方法。
最初，这个定理是由中国数学家孙子所发现并应用于民事案例中。
中国剩余定理适用于一组形如x ≡ a1 (mod n1), x ≡ a2 (mod n2), …, x≡ ar (mod nr) 的同余方程。
其中a1, a2, …, ar是已知的整数，n1, n2, …,nr是互不相同的正整数。
首先，使用欧几里得算法求解n1, n2, …, nr之间的最大公约数D；如果D不整除每一个ai，则无解。
否则，设N = [n1, n2, …,nr] = n1 x n2 x … x nr，则以上同余方程的通解可以写成：x = a1k1M1 + a2k2M2 + … + arkrMr。
其中，Mi = N/ni，且Mi与ni互质；ki是未知的整数，是通过扩展的欧几里得算法计算得到的。
三、扩展欧几里得算法扩展欧几里得算法是用于求解同余方程 Ax + By = C 的一种算法。
其中，A、B、C是已知的整数，x和y是未知的整数。
欧几里得算法和贝祖等式-概述说明以及解释
欧几里得算法和贝祖等式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分应该介绍欧几里得算法和贝祖等式的背景和基本概念，以及它们在数学领域中的重要性和应用。
以下是一种可能的写作方式：在数学领域，欧几里得算法和贝祖等式是两个重要的概念，它们在解决数学问题和计算问题上具有广泛的应用。
欧几里得算法，也被称为辗转相除法，是一种用于求解最大公约数的经典算法。
贝祖等式则是描述最大公约数和最小公倍数之间关系的一组等式。
欧几里得算法最早出现在古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中，作为一个基本的算法，它在数学的各个领域都有重要的应用。
其核心思想是通过反复迭代地用较小数去除较大数，直到余数为零，而最后一个非零余数即为最大公约数。
这个算法简单高效，不仅可以用于求解最大公约数，还可以应用于模运算、寻找两个正整数的最小公倍数等各种问题。
而贝祖等式则是描述最大公约数和最小公倍数之间关系的一组等式。
其中最著名的一条等式是贝祖等式的核心内容，即对于给定的两个整数a 和b，存在整数x和y，使得ax + by = gcd(a, b)，其中gcd(a, b)表示a 和b的最大公约数。
贝祖等式不仅在数论和代数等纯数学领域中有广泛的应用，还可以解决诸如线性同余方程、如何表示整数线性组合等实际问题。
综上所述，欧几里得算法和贝祖等式作为数学领域中的两个基础概念，对于数学研究和实际问题求解具有重要的意义。
它们的应用价值不仅体现在数学理论的发展上，还能为我们解决实际问题提供有力的工具和方法。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构的目的是为了给读者提供一个清晰的大局观，让他们能够更好地理解整篇文章的组织和内容安排。
本文分为引言、正文和结论三个部分。
接下来将详细介绍每个部分的内容。
引言部分包括概述、文章结构和目的。
- 概述部分简要介绍了文章要讨论的主题，即欧几里得算法和贝祖等式。
并提出了这两个主题的重要性和应用价值。
- 文章结构部分则是对整篇文章的整体安排进行了概述。
揭开密码的神秘面纱——同余运算PartIII
揭开密码的神秘面纱——同余运算PartIII [遇见数学] 核心成员: 蘑菇长颈鹿一枚数学系的大学生，喜欢数学文化的小视频，翻译中如有问题，请多指正~密码学中的同余运算 III欧几里得算法(Euclidean algorithm)，又称辗转相除法，是求最大公约数的算法。
它最早出现在欧几里得的《几何原本》中，而在我国可以追溯至东汉出现的《九章算术》。
欧几里得算法根据明确定义的规则来执行计算过程，是最常用的最古老算法之一。
欧几里得算法我们先来回忆一个刚才我们提到的数论中的重要概念——最大公约数(Greatest Common Divisor ())，它是表示可以同时整除两个整数和的最大整数。
由于在确定逆的存在性时常常会用到 ,下面我们来探索一种算法来帮助我们快速的找到。
欧几里得算法(The Euclidean Algorithm)就为我们提供了一种快速找到两个整数之间的方法。
具体方法如下：•若，那么，同理，若，那么。
•将写成带余除法形式。
•由于，利用欧几里得算法找到即为所求。
•若仍不容易得到，则循环第三步至得出所求。
下面我们通过一个简单的例子来进一步的理解欧几里得算法。
假设我们要寻找与之间的。
令 , 由于 , 且 ,而后我们有因此，。
也可以观看下面图像演示的过程：两条线段长分别可表示和，则其中每一小分段长代表最大公约数。
如动画所示，只要辗转地从大数中减去小数，直到其中一段的长度为，此时剩下的一条线段的长度就是和的最大公因数。
欧几里得算法处理大数时非常高效，如果用除法而不是减法实现，它需要的步骤不会超过较小数的位数的五倍。
法国数学家加布里埃尔·拉梅于 1844 年证明了这点，同时这也标志着计算复杂性理论的开端。
通过上面的例子我们可以看出，欧几里得算法主要是应用了以下几个性质：•及。
•若 ,并且 ,那么这里为整数，为到之间的整数。
其中，第一个性质告诉我们当其中一个数是时怎样找，而第二个性质则告诉我们如何将数字大、计算困难的，转化为数字小，简单的来计算。
欧几里得算法与扩展欧几里得算法_C++
欧⼏⾥得算法与扩展欧⼏⾥得算法_C++注：以下讨论的数均为整数⼀、欧⼏⾥得算法（重点是证明，对后续知识有⽤） 欧⼏⾥得算法，也叫辗转相除，简称 gcd，⽤于计算两个整数的最⼤公约数 定义 gcd(a,b) 为整数 a 与 b 的最⼤公约数 引理：gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 证明： 设 r=a%b , c=gcd(a,b) 则 a=xc , b=yc , 其中x , y互质 r=a%b=a-pb=xc-pyc=(x-py)c ⽽b=yc 可知：y 与 x-py 互质 证明： 假设 y 与 x-py 不互质 设 y=nk , x-py=mk , 且 k>1 （因为互质） 将 y 带⼊可得 x-pnk=mk x=(pn+m)k 则 a=xc=(pn+m)kc , b=yc=nkc 那么此时 a 与 b 的最⼤公约数为 kc 不为 k 与原命题⽭盾，则 y 与 x-py 互质 因为 y 与 x-py 互质，所以 r 与 b 的最⼤公约数为 c 即 gcd(b,r)=c=gcd(a,b) 得证 当a%b=0时，gcd(a,b)=b 这样我们可以写成递归形式1 inline int gcd(int a,int b)2 {3return b?gcd(b,a%b):a;4 }⼆、扩展欧⼏⾥得算法 扩展欧⼏⾥得算法，简称 exgcd，⼀般⽤来求解不定⽅程，求解线性同余⽅程，求解模的逆元等 引理：存在 x , y 使得 gcd(a,b)=ax+by 证明： 当 b=0 时，gcd(a,b)=a，此时 x=1 , y=0 当 b!=0 时， 设 ax1+by1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx2+(a%b)y2 ⼜因 a%b=a-a/b*b 则 ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2 ax1+by1=bx2+ay2-a/b*by2 ax1+by1=ay2+bx2-b*a/b*y2 ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2) 解得 x1=y2 , y1=x2-a/b*y2 因为当 b=0 时存在 x , y 为最后⼀组解 ⽽每⼀组的解可根据后⼀组得到 所以第⼀组的解 x , y 必然存在 得证 根据上⾯的证明，在实现的时候采⽤递归做法 先递归进⼊下⼀层，等到到达最后⼀层即 b=0 时就返回x=1 , y=0 再根据 x=y’ , y=x’-a/b/y’ ( x’ 与 y’ 为下⼀层的 x 与 y ) 得到当层的解 不断算出当层的解并返回，最终返回⾄第⼀层，得到原解1 inline void exgcd(int a,int b)2 {3if (b)4 {5 exgcd(b,a%b);6int k=x;7 x=y;8 y=k-a/b*y;9 }10else y=(x=1)-1;11 }三、exgcd 解不定⽅程（使⽤不将a与b转为互质的⽅法） 对于 ax+by=c 的不定⽅程，设 r=gcd(a,b) 当 c%r!=0 时⽆整数解 当 c%r=0 时，将⽅程右边 *r/c 后转换为 ax+by=r 的形式 可以根据扩展欧⼏⾥得算法求得⼀组整数解 x0 , y0 ⽽这只是转换后的⽅程的解，原⽅程的⼀组解应再 *c/r 转变回去 （如 2x+4y=4 转换为 2x+4y=2 后应再将解得的 x , y 乘上2） 则原⽅程解为 x1=x0*c/r , y1=y0*c/r 通解 x=x1+b/r*t , y=y1-a/r*t ，其中 t 为整数 证明： 将 x , y 带⼊⽅程得 ax+ab/r*t+by-ab/r*t=c ax+by=c 此等式恒成⽴ 得证 这⾥ b/r 与 a/r 为最⼩的系数，所以求得的解是最多最全⾯的 证明： 为了推出证明中的 ax+by=c ，且想达到更⼩的系数，只能将 b/r 与 a/r 同除以⼀个数 s ⽽ b/r 与 a/r 互质，且 s 为整数，则 s=1 ，不影响通解 那么 b/r 与 a/r 就为最⼩的系数 得证四、exgcd 解线性同余⽅程 关于 x 的模⽅程 ax%b=c 的解 ⽅程转换为 ax+by=c 其中 y ⼀般为⾮正整数 则问题变为⽤ exgcd 解不定⽅程 解得 x1=x0*c/r 通解为 x=x1+b/r*t 设 s=b/r （已证明 b/r 为通解的最⼩间隔） 则 x 的最⼩正整数解为 (x1%s+s)%s 证明： 若 x1>0，则 (x1%s+s)%s=x1%s%s+s%s=x1%s=x1-ts (t∈N) 若 x1<0，因在 C++ ⾥ a%b=-(-a%b)<0 (a<0 , b>0) 如 -10%4=-2 则 (x1%s+s)%s=(-(-x1%s)+s)%s=(-(ts-x1)+s)%s=ts-x1 (t∈N) 即为 x1 通过加或减上若⼲个 s 后得到的最⼩正整数解 得证 亦可伪证 x1<0 的情况：设 x1=-5 , s=2 则 (x1%s+s)%s=(-5%2+2)%2=(-1+2)%2=3%2=1 即为 x1 加上 3 个 s 后的到的最⼩正整数解版权所有，转载请联系作者，违者必究。
同余方程的解法
本科毕业论文题目：同余方程的解法学生姓名：学号：专业：数学与应用数学班级:指导教师：二〇一年四月摘要：本文论述了同余方程的基本概念及同余方程的一些基本性质与解法，主要对一次同余方程的解法进行了探讨，特别是对一次同余方程的欧拉定理算法，欧几里德算法等七种解法进行了比较与分析，并介绍了同余方程组、孙子定理、素数模的同余方程，模p 的同余方程的解法。
关键词：同余同余方程孙子定理Abstract：This paper mainly discusses the basic concepts of congruence equations and congruence equation some of the basic nature of solution,and highlights the Remainder Theorem,solution of the congruence equation,mod p congruence equation solution,congruence equation of primes mode solution,etc.Key words:Congruence Congruence equation Remainder Theorem目录引言 (1)1.同余与同余方程的基本性质 (2)1.1 同余的概念与基本性质 (2)1.2同余方程的概念与性质 (3)2.一次同余方程的解法 (4)2.1 ()a=的情况 (4), m 12.2 ()=≠的情况 (7),1a m d3.同余方程组的解法 (8)3.1简单同余方程组的解法 (8)3.2 孙子定理 (9)4.高次同余方程的的解法 (11)4.1素数模的同余方程 (11)4.2模pα的同余方程 (12)总结： (17)参考文献 (18)致谢： (19)引言对于同余方程的解法国内外的数学家们均对其做出了非常全面与细致的研究。
拓展的欧几里得算法求乘法逆元
拓展的欧几里得算法求乘法逆元拓展的欧几里得算法又叫扩展欧几里得算法，是一种求解一元线性同余方程的方法，可以用来求解乘法逆元。
假设要求a在模n下的乘法逆元，即找到x满足ax ≡ 1 (mod n)。
算法步骤如下：1. 用欧几里得算法求出a和n的最大公约数gcd(a,n)以及对应的系数s和t。
2. 如果gcd(a,n)不等于1，则a在模n下没有乘法逆元。
3. 如果gcd(a,n)等于1，则ax ≡ 1 (mod n)可以转化为ax + ny = 1的形式，其中y为x的系数。
4. 用扩展的欧几里得算法求出gcd(a,n)的系数s和t，使得sa + tn = gcd(a,n)。
5. 把等式ax + ny = 1中的a用sa + tn替换，得到(sx +n'y)a + (ty) n = 1，其中n'为n的系数。
6. 取模得到(sx + n'y)a ≡ 1 (mod n)，即ax在模n下的乘法逆元为sx + n'y。
举例说明：计算16在模21下的乘法逆元。
1. 计算gcd(16,21)：21 = 1 × 16 + 5，16 = 3 × 5 + 1，gcd(16,21) = 1。
2. gcd(16,21) = 1，继续下一步。
3. 转化为16x + 21y = 1的形式，求出y的系数。
4. 用扩展的欧几里得算法求出gcd(16,21)的系数s和t，使得16s + 21t = gcd(16,21)，得到s = 11，t = -8。
5. 代入得到(11x - 8y)16 + 21y = 1，即(11x - 8y)16 ≡ 1 (mod 21)。
6. 求解得到x = 11，即16在模21下的乘法逆元为11。
注意事项：1. 模数n必须是正整数，且与a互质，否则a在模n下没有乘法逆元。
2. 扩展的欧几里得算法有多组解，根据具体问题设置取值范围。
欧几里得数据结构-概述说明以及解释
欧几里得数据结构-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在计算机科学中，数据结构是一种逻辑组织和存储数据的方式。
它旨在提高数据操作的效率和性能，并帮助我们解决各种计算问题。
欧几里得数据结构是一种常见且重要的数据结构之一，它基于欧几里得算法的原理，用于解决一系列数学问题。
欧几里得算法，也被称为辗转相除法，是古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中首次提出的一种求最大公约数的算法。
该算法基于如下定理：对于任意两个正整数a和b，它们的最大公约数等于其中较小数b与它们的差ab的最大公约数。
欧几里得算法的应用非常广泛，除了求最大公约数，还可以解决一些与整数相关的问题。
在欧几里得算法的基础上，欧几里得数据结构应运而生。
它提供了一种有效的数据结构来存储和处理与欧几里得算法相关的数据。
欧几里得数据结构通常由一棵树来表示，每个节点都保存着两个整数a和b，代表欧几里得算法中的两个数。
通过递归构建这棵树，我们可以快速地求得两个数的最大公约数。
欧几里得数据结构的应用十分广泛。
它可以用于解决一些数学问题，例如判断两个数是否互质、求解线性不定方程等。
此外，在密码学领域，欧几里得数据结构也被广泛应用于RSA加密算法、扩展欧几里得算法等。
通过合理地利用欧几里得数据结构，我们可以在计算中高效地处理大规模数据，提高算法的执行效率。
本文将详细介绍欧几里得数据结构的原理和应用。
首先，我们将介绍欧几里得算法的基本思想以及它如何被转化成数据结构。
接着，我们将深入探讨欧几里得数据结构在解决数学问题中的应用场景，并通过具体案例加以说明。
最后，我们将总结欧几里得数据结构的重要性，并展望其在未来的发展前景。
希望本文能够为读者进一步理解和应用欧几里得数据结构提供一定的参考和指导。
1.2 文章结构本文主要围绕欧几里得数据结构展开，旨在介绍欧几里得数据结构的概念、原理及其在实际应用中的重要性。
为了使读者更好地理解和掌握这一数据结构，本文分为引言、正文和结论三个部分。
同余式的简单介绍
关于a x≡b(modm)的解法1．当（a,m）≡1时：(1)若a,b<m,(a,b)=1且模数较大，可取余，将a变小，然后求出解。
eg:121x≡87(m0d257) 因为(121,257)=1,所以有一个解，x=194(mod257)(2)若a,b<m,(a,b)= 1且模数较小，用欧拉公式；eg: 7x≡5(mod10) 因为（7,10）所以有一个解。
（3）若（a,b ）=1,且a,b中至少有一个大于m，利用同余知识，将a,b化小再用（1）（2）式去解（4）若（a,b），≠约去两端的公因数；再用（1）（2）（3）式去解。
1Eg:58x≡87(mod47)2当（a,m）=d>1时:用d去除同于式，再用（a,m）=1去解<1>同余取倍法：（期刊-核心期刊和田师专科学校学报）JOURNAL OF HOTAN TEA CHERS COLLEGE 2009年第03期<2>一次同余式的初等变换解法：（山西大学学报：自然科学版）——袁虎延<3>一次同余式的逐级满足法<4>观察法解一次同余式<5>Euler定理解一次同余式<6>把同余式化为不定方程的解法<7>减少模数的方法解一次同余式<8>欧几里得法解一次同余式<9>分式法解一次同余式<10>威尔逊定理算法解一次同余式<下面仔细介绍>代数/数论/组合理论/《.黑龙江科技信息》2008年19期》摘要一次同余式解法的特点及其分析——作者：李婷只讨论（a,m ）=1时，同余式ax ≡b(modm)有以下七种解法（一）（1）观察法：在模m 的完全剩余系0,1，、、、，m-1中考虑同余式的解1.，当m 较小时，可用观察法，直接快速的得出方程的解eg 2x ≡1(mod3) 因为（2,3）=1所以有一个解，x ≡2(mod3)为其解2．当系数较大时，可用同余性质 ，将同余式系数减小，而且用带余除法定理，保证系数在一个固定范围内作为模m 的系数，进而用观察法，可快速得到方程的解。
扩展欧几里得算法的应用
扩展欧几里得算法的应用1. 引言1.1 什么是扩展欧几里得算法扩展欧几里得算法是一种用于求解一元线性同余方程的数学工具。
通常我们都知道欧几里得算法是用来计算两个数的最大公约数的，而扩展欧几里得算法则是在欧几里得算法的基础上进一步拓展，用于求解形如ax≡b(mod n)的线性同余方程。
具体来说，扩展欧几里得算法可以帮助我们找到整数x，使得ax与n的最大公约数为1，即ax ≡ 1 (mod n)。
这对于密码学领域中常见的RSA算法来说非常重要，因为RSA算法的核心就是利用模逆元素来进行加密和解密操作。
扩展欧几里得算法的原理其实并不复杂，主要是通过反复迭代欧几里得算法的过程，不断更新两个整数的系数，直到找到满足条件的解。
通过这种方法，我们可以快速而准确地求解线性同余方程，从而在数学和密码学领域中得到广泛应用。
扩展欧几里得算法是一种非常实用且强大的数学工具，可以帮助我们解决各种问题，尤其在密码学领域中具有重要意义。
1.2 扩展欧几里得算法的原理扩展欧几里得算法是一种用来求解两个整数a、b的最大公约数以及一组满足贝祖等式ax+by=gcd(a,b)的整数解x、y的算法。
其原理基于欧几里得算法的推广，在欧几里得算法的基础上引入了两个新的变量s、t，并通过迭代求解来得到最终的结果。
1. 初始化：设a=b1，b=0，s=1，t=0。
2. 迭代计算：通过连续的欧几里得算法步骤求解a、b的最大公约数，并更新a、b、s、t的值。
具体计算过程如下：- 计算商q和余数r：q=a//b，r=a%b。
- 更新a、b的值：a=b，b=r。
- 更新s、t的值：temp=s，s=t，t=temp-q*t。
3. 终止条件：当b=0时，即欧几里得算法的终止条件，此时a即为输入整数a、b的最大公约数，而s、t即为满足贝祖等式的整数解。
通过以上算法原理，扩展欧几里得算法能够高效地求解线性同余方程、计算模逆元素、解决不定方程、在密码学中应用以及计算最大公约数等问题。
欧几里得算法的应用
欧几里得算法的应用
欧几里得算法，也叫辗转相除法，是一种求最大公约数（Greates t Common Divisor,
GCD）的算法。
它的应用非常广泛，其中一些主要应用如下：
1.整数因数分解：使用欧几里得算法可以快速求出两个整
数的最大公约数，进而用最大公约数和两个整数的积除以最
大公约数来求出最小公倍数。
2.求最小公倍数：使用欧几里得算法可以快速求出两个整
数的最大公约数，然后将这两个整数相乘除以最大公约数就
可以得到最小公倍数。
3.求逆元：求逆元在模意义下就是
继续，求逆元在模意义下就是求一个数在模意义下的乘法逆元，求逆元时需要用到欧几里得算法来求出模意义下的最大公约数，以确保逆元的存在。
1.求最小表示法：求最小表示法是指求出一组同余方程的
最小非负整数解，求解这类问题时需要用到欧几里得算法来
求出最大公约数。
2.同余方程求解：求解同余方程需要用到欧几里得算法来
求出最大公约数，以
继续,
以确保同余方程有解，并且通过扩展欧几里得算法，可以使用扩展欧几里得算法来求解通解。
1.求最大公共子序列和最长公共子序列：这些问题都可以
用欧几里得算法来解决，通过求出两个序列的最长公共子序
列来解决。
2.密码学中的RSA算法：RSA算法是一种非对称加密算法
，它依赖于大质数的难以破解性和欧几里得算法来保证信息
的安全性。
3.任意模意义下的最大公约数计算.
欧几里得算法是一种非常重要的算法，应用非常广泛，在很多领域都有着重要的应用。
什么是欧几里得算法？
什么是欧几里得算法？
欧几里得算法，也称为辗转相除法，是一种用于求解两个正整数的最大公约数的算法。
它基于以下原理：对于给定的两个正整数a和b，它们的最大公约数（GCD）等于其中较小数b与a除以b的余数c的最大公约数。
下面是欧几里得算法的具体步骤：
步骤1：将给定的两个正整数a和b进行比较，确定较大数和较小数。
步骤2：用较大数除以较小数，并计算余数c。
步骤3：如果余数c等于0，则较小数b即为最大公约数。
步骤4：如果余数c不等于0，则将较小数b作为新的较大数，余数c作为新的较小数，回到步骤2。
步骤5：重复步骤2和步骤3，直到余数c等于0为止。
步骤6：最后的较小数b即为给定的两个正整数a和b的最大公约数。
通过这个算法，我们可以快速有效地找到两个正整数的最大公约数。
这是因为在每一步中，我们都将较大数除以较小数，将问题规模不断缩小，直到找到最终的最大公约数。
欧几里得算法的优点是简单易懂，计算效率高。
它在数学和计算机科学中都有广泛的应用，例如在分数的化简、计算机编程中的循环结构设计等方面都能发挥重要作用。
总结起来，欧几里得算法是一种用于求解两个正整数的最大公约数的算法，通过反复将较大数除以较小数的余数作为新的较小数，最终找到最大公约数。
它简单易懂，计算效率高，广泛应用于数学和计算机科学领域。
欧几里得算法的功能
欧几里得算法的功能欧几里得算法（Euclidean algorithm）是一种用于求解两个整数的最大公约数的算法。
它是一种古老而受欢迎的算法，其功能远不止于求最大公约数，还包括求解线性同余方程、计算倒数和取模运算等。
在本文中，我将会详细讨论欧几里得算法的功能，以及它的应用领域。
除了求解最大公约数，欧几里得算法还可以用来求解线性同余方程。
线性同余方程是形如ax ≡ b (mod m) 的方程，其中 a、b 和 m 都是整数，x 是未知数，mod 表示取模运算。
欧几里得算法可以通过求解方程ax + my = gcd(a, m) 来解决这个问题。
具体地，欧几里得算法会将问题转化为求解两个整数 a 和 m 的最大公约数，然后根据贝祖等式（Bézout's identity）得到一个特解。
由于最大公约数可以用欧几里得算法求解，因此线性同余方程也可以用该算法求解。
此外，欧几里得算法还可以用于计算倒数。
特别地，如果整数 a 和m 互质（即 gcd(a, m) = 1），那么 a 关于 m 的倒数存在，并等于a^(-1) ≡ b (mod m)，其中 b 是方程ax ≡ 1 (mod m) 的解。
欧几里得算法可以通过求解方程 ax + my = 1 来得到倒数的值。
因此，欧几里得算法不仅可以用于求解最大公约数，还可以用于计算整数的倒数。
最后，欧几里得算法还可以进行取模运算。
通过将较大的数除以较小的数并取余数，我们可以得到两个整数的模值。
例如，欧几里得算法可以直接计算出一个整数除以另一个整数的余数，而不需要先进行整除操作。
这在处理大整数时特别有用，因为求解余数比整除运算要快得多。
综上所述，欧几里得算法的功能远不止于求解最大公约数。
它还可以用于求解线性同余方程、计算整数的倒数和进行取模运算等。
欧几里得算法是一种非常实用的算法，广泛应用于数论、密码学、计算机科学和工程学等领域。
它的简单性、高效性和多功能性使得欧几里得算法成为一种重要的数学工具。
同余式的欧几里得算法
Q0 0 ， Q1 1 ， Q2 q2Q1 Q0 ，…， Qk qk Qk 1 Qk 2 ，…， Qn qnQn1 Qn2 ；
k {2,3,..., n} 。 （课本《初等数论》第三版 P 10 ）
显然其中 rn (a, b) 且 (1)
n 1
Qn a (1)n Pnb rn ，故得 s, t Z 满
sa tb (a, b) 。故由定理可得到求解二元一次不定方程 ax by c 的欧几里德算法
n 1
Qn ，由公式 sa (a, m)(%m) 易得到通解。
当然， 也可先化简同余式后再求解， 只是当 (a, b, m) 含较大素因数时无法直接化简。
一个例子
例如：解同余式1215x 560(%2755) 。 通过上述方法可得计算表
k
0
1 1215 0
2 325 2 2
3 240 3 7
（详见课本《初等数论》第三版 P27 ） 。下面导出求解一次同余式的欧几里德算法。 设同余式为 ax b(%m) ，它等价于方程二元一次不定方程 ax my b 。由上面 所述算法可以得到 s, t Z 满 sa tm (a, m) ，而它等价于 sa (a, m)(%m) 。当
4 85 1 9
81
5 70 2 25
6 15 1 34
7 10 4 161
8 5 1 195
rk
qk Qk
0
1
由于 (a, m) 5 | 560 ，因此同余式有解。 s (1) 195 195 ，故通解为
同余（十）——欧几里得辗转相除法
同余（十）——欧几里得辗转相除法往期文章同余（一）同余（二）同余（三）同余（四）—书籍书号的小秘密同余（五）——费马小定理同余（六）——斐波那契数列同余（七）——密码学中的应用同余（八）——欧拉定理同余（九）——孙子定理（中国剩余定理）整数与整除问题导读欧几里得算法又称辗转相除法。
可以用来求两个整数的最大公约数，两个多项式的最大公因式。
在之前的文章《整除问题（二）》已经使用了这个算法。
本期我们单独来研究它。
回顾从二年级学习带余数除法后，我们知道7÷2=3 (1)写成一般的形式：设m是非零整数，n是任意整数，则可以唯一确定整数q和r,使得n÷m=q……r（0≤r＜|m|）即n=m×q+r（0≤r＜|m|）其中q和r分别称为商和余数。
引理若有等式n=m×q+r①则有(n，m)=(m，r)。
证明：若p|m，p|r, 由①得，p|n。
这就是说m、r的公约数都是n、m的公约数。
反过来若p|n, p|m，则p一定整除它们的组合r =n-m×q这就是说p是m、r的公约数。
由此可见，如果n、m有一个最大公约数p，那么p也是m、r的最大公约数。
□应用找1804与328的最大公约数,1804÷328=5 (164)因此1804=5×328+164可知（1804, 328）=（328,164）继续进行上述的步骤328=2×164+0所以（328,164）=（164, 0）=164故（1804, 328）=164.下面给出一般化的算法。
辗转相除法算法设n，m是两个不全为0的整数，找出最大公因数（n, m）.分析我们可以假设,m≠0，这样通过连除我们能写出，n=q1×m+r1（0≤r1＜|m|）m=q2×r1+r2（0≤r2＜|r1|）r1=q3×r2+r3(0≤r3＜|r2|）…………只要余数不为0就继续写下去，从右边的不等式，我们可以看到一连串的余数形成一个严格递减数列m>|r1 |>|r2|> ……≥0因此最多m步，0这个余数一定出现。
欧几里得算法求同余方程
欧几里得算法求同余方程欧几里得算法是数论中一种求解最大公约数的经典算法，也可以用来求解同余方程。
在介绍欧几里得算法前，先来了解一下同余方程的概念。
同余方程是指形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a、b和m都是整数。
它的解是指满足方程的整数x。
求解同余方程的目标就是要找到x的所有可能取值。
欧几里得算法是利用最大公约数的性质来求解同余方程的一种高效的算法。
该算法的基本原理是，如果两个整数a和b，它们的最大公约数为g，那么对于任意整数x和y，它们的线性组合ax + by也是g 的倍数。
根据欧几里得算法的原理，我们可以将同余方程ax ≡ b (mod m)转化为方程ax + my = b的解的求解问题。
具体步骤如下：1.首先使用欧几里得算法求解a和m的最大公约数。
假设最大公约数为g。
2.检查b是否为g的倍数，如果不是，则该同余方程无解。
因为ax和my都是g的倍数，所以它们的和也一定是g的倍数。
3.如果b是g的倍数，那么可以将方程ax + my = b转化为求解ax' + my' = 1的解的问题。
其中x'和y'是方程的解。
4.使用扩展欧几里得算法求解ax' + my' = 1的解。
扩展欧几里得算法是欧几里得算法的一个变种，可以求解形如ax + by = gcd(a,b)的方程的解。
在求解过程中，我们可以得到x'和y'的值。
5.方程ax' + my' = 1的解可以得到，我们可以通过乘以b/g来获得同余方程ax ≡ b (mod m)的解。
最终解为x = (x' * (b / g)) mod (m / g)。
通过以上步骤，就可以求解给定同余方程的解。
需要注意的是，如果方程存在解，那么一定有无穷多个解，因为同余方程的解可以通过不断加上m/g来得到。
接下来，我们通过一个具体的例子来演示欧几里得算法求解同余方程的过程。
欧几里德(Euclid)算法
欧几里德（Euclid ）算法首先我们介绍整数的带余除法，它是整个数论的基础性定理之一。
定理1 （带余除法）设Z b a ∈,且0≠b ，那么存在一对整数q 和r ，使得r bq a +=且||0b r <≤ (1)满足以上条件的整数q 和r 是唯一确定的。
由(1)式显然有(a ,b )=(b ,r )我们知道，对于两个整数a 和b ，可以对其进行分解来计算它们的最大公因数，但对于大整数而言，目前还没有足够有效的办法进行。
实际中常用的用来计算两个数的最大公因数的算法称为欧几里德算法。
它的理论依据正是前面所述的带余除法。
欧几里德算法的数学表述如下：Z b a ∈,且0≠b ，重复应用带余除法，我们有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<+=<<+=<<+=<<+=<<+=+++----n n n n n n n n n n n n r r r r q r r r r r q r r r r r q r r r r r q b b r r b q a 1111112233231122121110,0,0,0,||0,这时，0||21>>>> r r b ，由于小于|b |的正整数只有有限个以及1整除任一整数，所以这过程不能无限制地做下去，必定会出现某个n ，要么1,|1>-n n n r r r ，要么1=n r ，此时余数01=+n r 。
我们容易得到定理2 ),(b a r n =这是因为n n n n n r r r r r r r r b b a ======---),(),(),(),(),(112211另外，由(1)式我们可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<-=<<-=<<-=<<-=---112232313121221110,0,0,||0,n n n n n n r r r q r r r r r q r r r r r q b r b r b q a r 把前面的式子依次代入到后面的除式中，相应地消去1321,,,,-n r r r r ，最后，n r 可以表示为a 和b 的整系数线性组合，这时的系数即为使ax +by =(a ,b )的系数。
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同余式的欧几里德算法
理论依据
定理1,a b Z +
∀∈，1
(1)k k k k Q a P b r --=-对{1,2,...,}k n ∀∈成立，其中k Q 、k P 、k r 满
足下述递推关系：
11a q b r =+，212b q r r =+，1323r q r r =+，…，111k k k k r q r r -++=+，…，110n n n r q r -+=+；
01P =，11P q =，2210P q P P =+，…，12k k k k P q P P --=+，…，12n n n n P q P P --=+；
00Q =，11Q =，2210Q q Q Q =+，…，12k k k k Q q Q Q --=+，…，12n n n n Q q Q Q --=+；
{2,3,...,}k n ∀∈。
（课本《初等数论》第三版10P ）
显然其中(,)n r a b =且1
(1)
(1)n n n n n Q a P b r --+-=，故得,s t Z ∈满
(,)sa tb a b +=。
故由定理可得到求解二元一次不定方程ax by c +=的欧几里德算法
（详见课本《初等数论》第三版27P ）。
下面导出求解一次同余式的欧几里德算法。
设同余式为(%)ax b m ≡，它等价于方程二元一次不定方程ax my b +=。
由上面所述算法可以得到,s t Z ∈满(,)sa tm a m +=，而它等价于(,)(%)sa a m m ≡。
当
(,)|a m b 时，同余式有解，一个特解为(%)(,)
b
x s m a m ≡
，通解为 (%)(,)(,)
b m
x s k m a m a m ≡
+，{0,1,...,(,)1}k a m ∀∈-。
计算过程
与求解二元一次不定方程不同的是，求解同余式不需要m 的系数k P 。
计算时可以借助表格：
具体计算步骤如下：
1. 由递推式21k k k k r q r r --=+作带余除法计算k r 、k q ；
2. 由递推式12k k k k Q q Q Q --=+计算k Q ；
3. 直到得到10n r +=，停止计算并得到n 、n r 、n Q ；
4. 然后令(,)n a m r =、1
(1)
n n s Q -=-，由公式(,)(%)sa a m m ≡易得到通解。
当然，也可先化简同余式后再求解，只是当(,,)a b m 含较大素因数时无法直接化简。
一个例子
例如：解同余式1215560(%2755)x ≡。
通过上述方法可得计算表
由于(,)5|560a m =，因此同余式有解。
81
(1)195195s -=-=-，故通解为
5602755
(195)200551(%2755)55
x k k ≡
-+≡+，{0,1,...,51}k ∀∈-。
东华理工大学理学院
——邓能财。