1.5 条件概率及全概率公式 (2)

已知事件B发生，此时试验所 有可能结果构成的集合就是B， 掷骰子
B中共有3个元素，它们的出现是等 可能的，其中只有1个在集A中， 于是P(A|B)= 1/3. 容易看到 1 1 6 P ( AB ) P(A|B)
3 3 6 P (B)
又如，10件产品中有7件正品，3件次品， 7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这 10件中任取一件，记 A={取到一等品}， B={取到正品}
三、全概率公式和贝叶斯公式 全概率公式和贝叶斯公式主要用于 计算比较复杂事件的概率, 它们实质上 是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用
加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)>0
例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装 有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3 号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从 中任意摸出一球，求取得红球的概率. 解：记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; 1 2 3 B ={取得红球} B发生总是伴随着A1，A运用加法公式得 2，A3 之一同时发生， 即 且 B= A1B+A2B+A3B， A1B、A2B、A3B两两互斥 P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
1.全概率公式:
定理1.2
设 A1,A2,…,An 是 两 两 互 斥 的 事 件 ， 且 P(Ai)>0， i =1,2,…,n, 另有一事件B, n它总是与 A1, A2, … ,An之一同时发生，即 B A i ，
i 1
则
P (B )

i1
n
P ( Ai ) P ( B ｜ Ai )

例2 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级 射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、 四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概 率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一 人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的 概率． 设 标 解： B 该小组在比赛中射中目 i 1， 2， 3 4 A 选 i 级射手参加比赛
这就是n个事件的乘法公式．
例1 在100件产品中有5件是次品，从中连续无放 回地抽取3次，问第三次才取得次品的概率。
解：设A表示“第i次取得次品”(i=1,2,3),B表示 “第三次才取到次品”，则
B A1 A 2 A 3
P
B
P P
A
95
1
A2 A3
1

2
A P A
94 99 5
解 设A表示“能活到20岁以上”， B表示 “能活到25岁以上”。 B A , AB B 则 由已知 P ( A ) 0 . 8 , P ( AB ) P ( B ) 0 . 4 。 从而所求的概率为
P (B A) P ( AB ) P ( A) 0 .4 0 .8 0 . 5。
i
由全概率公式，有
4 P B P A P B A n n n 1 2 6 9 3 0 . 85 0 . 64 0 . 45 0 . 32 20 20 20 20


0 . 5275
例3 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人 击中的概率分别为0.4、0.5、0.7 .飞 机被一人击 中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率 为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落, 求飞机被 击落的概率.
B={第一颗掷出6点}
解法1: 解法2:
P(A | B)
P(A | B)
应用定义
1 2
P ( AB ) P (B)
3 6 1 2

3 36 6 36
在B发生后的 缩减样本空间 中计算
例2 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为 0.8，活到25岁以上的概率为0.4。如果现在有一个20 岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？
(1)
(2)
Ai A j = ,
i j,
i , ห้องสมุดไป่ตู้ 1 , 2 , , n ;
B = BA 1 BA 2 BA n
A1 A 2 A n .
则称
BA1 BA2 …... BAn 为样本空间 Ω的一个划分。 …... A A1 A2 n Ω
A1 , A 2 , A n
§1.5 条件概率及全概率公式
一、条件概率 1. 条件概率的概念 在解决许多概率问题时，往往需要在 有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件B发生的条件下求事件A发生的 概率，将此概率记作P(A|B).
一般 P(A|B) ≠ P(A)
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
B={掷出偶数点}， P(A )=1/6， P(A|B)=？
这好象给了我们一个“信息”，使我们 得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.
2. 条件概率的定义 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称
P(A | B) P ( AB ) P (B)
(1)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既 在 B 中又在A中的样本点 , 即 此点必属于AB. 由于我们已经 知道B已发生, 故B变成了新的 样本空间 , 于是 有(1).
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乘法公式应用举例 （波里亚罐子模型） 乘法公式应用举例
b个白球, r个红球
一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中， 并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜 色的球. 这种手续进行四次，试求第一、 二次取到白球且第三、四次取到红球的概 率.
随机取一个球，观看颜色 后放回罐中，并且再加进c个 与所抽出的球具有相同颜色的 b个白球, r个红球 球. 解: 设Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4 Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4 于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第 一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”
P B

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例1 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.
其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占 20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为 90%,丙厂产品正品率为85%,如果从这批产品中随机 抽取一件,试计算该产品是正品的概率多大? 解 设A、B、C分别表示抽得产品是甲厂、乙厂、 丙厂生产的，D 表示抽得产品为正品， 则由已知， P A 50 %, P B 30 %, P C 20 % P D | A 95 %, P D | B 90 %, P D | C 85 %
一般地
条件概率与无条件概率 之间的大小无确定关系 若 B A
P B A P ( AB ) P ( A) P(B) P ( A) P(B)
条件概率
无条件概率
二、乘法公式 由条件概率的定义： 若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).
定理1.1若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2) 若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3) (2)和(3)式都称为乘法公式,利用 它们可计算两个事件同时发生的概率
P(A )=3/10，
3 7 3 10 7 10 P ( AB ) P (B)
P(A|B)



A={取到一等品}，B={取到正品}
P(A )=3/10， P(A|B)=3/7 本例中，计算P(A)时，依 据的前提条件是10件产品中一 等品的比例. 计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只 是加上“事件B已发生”这个新的条件.
从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得 到：
P D P D | A P A P D | B P B P D | C P C 95 100 0 . 915 50 100 90 100 30 100 85 100 20 100
多个事件的乘法公式
设 A 1， A 2， ， A n 为 n 个随机事件，且
P A1 A 2 A n 1 0
则有
P A1 A 2 A n P A1 P A 2 A1 P A 3 A1 A 2 P A n A1 A 2 A n 1
| A1 P 0 .0 4 6

A
3
| A1 A 2

100
98
例2 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取 出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加 进一个白球，直至取出黑球为止．求取了n次都 未取出黑球的概率． 解： 设 B 取了 n 次都未取出黑球
A i
第
i 次取出白球
4. 条件概率的计算 1) 用定义计算:
P(A | B) P ( AB ) P (B ) ,
P(B)>0
2)从加入条件后可用缩减样本空间法 掷骰子 例：A={掷出2点}， B={掷出偶数点}
P(A|B）=
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数
1 3
在缩减样本空间 中A所含样本点 个数
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点, 问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少 ? 解: 设A={掷出点数之和不小于10}
全概率公式的证明 由条件： 得
B

B

n 1
An
BA1
B = BA 1 BA 2 BA n
BA2
…...
BAn
A B
n n 1

A1
A2
…...
An
而且由
得 A1 B ,
A1 ,
A2 B ,
A2 ,
,
,
An
Ω 两两互不相容，
A n B 也两两互不相容；
用乘法公式容易求出 P(W1W2R3R4)
=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
b bc r rc b r b r c b r 2 c b r 3c
当 c>0 时，由于每次取出球后会增加下 一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病 模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加 再传染的概率.


An
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全概率公式的使用 我们把事件B看作某一过程的结果，
把 A1 , A2 , , A n 看作该过程的若干个原 因，
根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
即 P A n 已知
而且每一原因对结果的影响程度已知，
即 P B
即求
A n 已知

则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
i
1， 2， ， n
则 B A1 A 2 A n
P B P A A A 1 2 n


由乘法公式，我们有
P A1 P A 2 A1 P A 3 A1 A 2 P A n A1 A 2 A n 1
1 1 2 3 n n 1 2 3 4 n 1
所以由概率的可列可加性，得
P B
PA B
n n 1

再由条件
P An 0

n 1,
2,

，得
P An B P An P B An
代入公式（1），得
P B
P A B P A P B
n n n 1 n 1
B
AB A

3. 条件概率的性质(自行验证) 设B是一事件，且P(B)>0,则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1; 2. P (Ω | B) =1 ； 3.设A1,…,An互不相容，则 P[(A1+…+An )| B] = P(A1|B)+ …+P(An|B)
而且，前面对概率所证明的一些重要性质 都适用于条件概率.
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P (B)
对求和中的每一项 运用乘法公式得

i 1
3
P ( Ai ) P ( B ｜ Ai )
代入数据计算得：P(B)=8/15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
1.全概率公式:
定义1.6 设 Ω为试验 E 的样本空间， , A 2 , A n A1 为 E 的一组事件。若满足