人教高中数学A版必修一数学建模 建立函数模型解决实际问题

5.研究过程(收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程, 以及过程中出现的难点及解决方案等) (1)收集数据 表中是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表:
身高 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 (cm) 体重 6.13 7.90 9.99 12.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05 (kg)
7.收获与体会 8.对此研究的评价(由评价小组或老师填写)
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根据表中提供的数据,要求我们用已经学过的一 种函数,使它比较近似地反映出该地区未成年男 性体重y关于身高x的函数关系,并求出这个函数 的解析式.
(2)分析:数据 根据图表我们可以知道,本题属于拟合问题.但体重y关于身高x的 函数关系,没有现成的函数模型,为此可以先画出散点图,利用图象 直观分析:这组数据的变化规律,从而帮助我们选择函数模型.根据 表中提供的数据可得如下散点图.
6.研究结果与评价 (1)通过建模我们对未成年男性的体重与身高的关系有了较为理性的 认识,未成年男性的体重与身高可以近似用我们学过的指数函数模 型y=aebx来刻画,再代入数据并结合信息技术(数学计算软件)求出参 数a,b,进而得出能拟合这一变化规律的函数模型为y=e0.695 2+0.019
7x,50≤x≤180. 其中,y代表体重(kg),x代表身高(cm). (2)该模型优缺点分析 优点:此模型运用拟合的思想,能够比较科学地反映出身高与体重之 间的关系,是衡量体重的比较合适的方法.根据我们的计算、验证且 正确率较高. 缺点:该模型忽略了衡量体重的其他因素,较为理想化,并且得出的公 式不便于实际运用,计算较复杂. 建议:影响体重的因素较多,应综合考虑.如果可能给出一些便于比较 的范围或者在运用模型的同时给出一些常用指数的对应值表则更好.
(4)检验模型 将已知数据代入上式或画出函数模型对应的图象,可以发现,这个 函数模型可以反映表中数据的变化规律.这说明可以用该模型来反 映未成年男性体重y(kg)随身高x(cm)的变化规律.
(5)求解问题 根据模型,估计身高为176 cm的未成年男子的对应体重. 将x=176代入函数模型y=e0.695 2+0.019 7x,50≤x≤180. 得y=e0.695 2+0.019 7×176,结合信息技术得y≈64.23 (kg). 因此,身高为176 cm的未成年男子的体重大约为64.23 kg.
指数函数与对数函数
数学建模 建立函数模型解决实际问题
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数学建模活动研究报告的参考形式
建立函数模型解决实际问题
年
Fra Baidu bibliotek
班
完成时间:
1.课题名称 2.课题组成员及分工 3.选题的意义 4.研究计划(包括对选题的分析,解决问题的思路等) 5.研究过程(收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程,以 及过程中出现的难点及解决方案等) 6.研究结果 7.收获与体会 8.对此研究的评价(由评价小组或老师填写)
参考答案:
1.课题名称
关于未成年男性体重(kg)与身高(cm)关系的函数建模 2.课题组成员及分工 成员:指导教师和全班同学 分工:指导教师负责选课题方向,并对所得模型进行评价 全班分成4个小组,每个小组分别独立完成课题研究 3.选题的意义 通过这一个课题使学生熟悉函数建模的一般过程,并能培养同学们 的团队协作的意识和勇于探索的精神.通过整个建模流程的参与, 也使同学们认识到了很多实际问题最终可以用函数模型来刻画,对 未成年男性的身高与体重的关系有了更深入的理解
4.研究计划(包括对选题的分析,解决问题的思路等) 关于身高与体重的话题可以说是我们身边经常聊到的,但如何用函 数来刻画这两者之间的内在的规律性就需要我们进行理性分析,为 了得到较为理想的函数模型,首先要对适宜群体进行数据采集,然 后结合散点图对数据的变化趋势进行分析,再选用我们已学过的能 拟合这一变化规律的函数模型,最后对获得的模型进行验证,并能 解决有关未成年男性身高和体重的定量分析等问题
(3)建立模型 观察散点图的分布情况,并结合已学过基本初等函数的 图象与性质特点,可选择指数函数模型.设函数关系式 为y=aebx,其中a,b满足a∈(0,+∞),b∈(0,+∞)(可通过 matlab软件进行计算),可得出a=e0.695 2,b=0.019 7.
代入函数式得y=e0.695 2+0.019 7x. 考虑到考察对象为未成年男性,因此可限定50 cm≤x≤180 cm. 因此所得函数模型为y=e0.695 2+0.019 7x(50≤x≤180).