高中数学函数模型及其应用训练题

函数模型及其应用训练题

1．(2018·福州期末)某商场销售A 型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：

/件)应为( )

A ．4

B ．5.5

C ．8.5

D ．10

解析：选C 由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－40⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1722

＋1 210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选

C.

2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为( )

A ．13立方米

B ．14立方米

C ．15立方米

D ．16立方米

解析：选C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，

由题意得y ＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

3x ，0≤x ≤10，

30＋x －，x >10，即y ＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

3x ，0≤x ≤10，

5x －20，x >10.

易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15. 3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 2

10－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为

( )

A ．240吨

B ．200吨

C ．180吨

D ．160吨

解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000

x

－30， 则 y

x

≥2

x

10

·4 000x

－30＝10，

当且仅当x 10＝4 000

x

，即x ＝200时取等号，

因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．

4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e

－kt

(k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排

放前至少还需要过滤的时间是( )

A.1

2小时 B.5

9小时

C ．5小时

D ．10小时

解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物． ∵P ＝P 0e

－kt

，

∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k

，

∴0.1＝e

－5k

，即－5k ＝ln 0.1，

∴k ＝－1

5ln 0.1.

由1%P 0＝P 0e

－kt

，即0.01＝e

－kt

，得－kt ＝ln 0.01，

∴⎝ ⎛⎭

⎪⎫15ln 0.1t ＝ln 0.01，∴t ＝10. ∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．

5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为

y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．

解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．

答案：300

6.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．

解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数

解析式得⎩

⎪⎨

⎪⎧

10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝190

9

.

答案：190

9

7．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q

10(其中a ，b 是实数)．据

统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.

(1)求出a ，b 的值；

(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？ 解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位， 故有a ＋b log 330

10＝0，即a ＋b ＝0.

当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 故a ＋b log 390

10

＝1，整理得a ＋2b ＝1.

解方程组⎩

⎪⎨

⎪⎧

a ＋

b ＝0，

a ＋2

b ＝1，得⎩

⎪⎨

⎪⎧

a ＝－1，

b ＝1.

(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q

10. 所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2， 所以－1＋log 3Q

10

≥2，

即log 3Q 10≥3，解得Q

10

≥27，即Q ≥270.

所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位． 8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向

移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．

(1)当t ＝4时，求s 的值；

(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；

(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．

解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20

当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝1

2

×4×12＝24.