高中数学 3.2函数模型及其应用教学设计 新人教A版必修1
高中数学3.2.2函数模型的应用实例第1课时教学设计新人教A版必修1-经典通用宝藏文档
函数模型的运用实例(第一课时)【教学设计】一、教学内容本课是普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社A版）数学1（必修），3.2.2 函数模型的运用实例的第一课时。
经过对例3，例4的教学让先生学习领会利用已知的函数模型解决成绩和建立确定的函数模型解决理论成绩，进而掌握建立数学模型解决理论成绩的普通步骤。
二、教学目标知识与技能目标：1.能根据图象和表格提供的有关信息和数据，发掘隐含条件，建立函数模型；2.领会分段函数模型的理论运用，规范分段函数的标准方式；3.掌握用待定系数法求解已知函数类型的函数模型；4.学会验证数学模型与理论情况能否吻合的方法及运用数学模型进行预测。
5.会利用建立的函数模型解决理论成绩，掌握求解函数运用题的普通步骤；6.培养先生浏览理解、分析成绩、数形结合、抽象概括、数据处理、数学建模等数学能力.过程与方法目标：1.经过实例分析，巩固练习,结合多媒体教学，培养先生读图的能力；2.经过实例使先生感受函数的广泛运用，领会建立函数模型解决理论成绩的普通过程；3.浸透数形结合、转化与化归等数学思想方法.情感、态度与价值观目标：1.经过切身感受数学建模的过程，让先生体验数学在理论生活中的运用，领会数学来源于生活又服务于生活，体验数学在解决理论成绩中的价值和作用，激发学习数学的兴味与动力，加强学好数学的认识。
2.培养先生的应意图识、创新认识和勇于探求、勤于考虑的精神，优化先生的理性思想和求真务虚的科学态度。
三、教材分析本课时共有2个例题，其中例3是根据图形信息建立确定的函数模型解决理论成绩；例4 是利用已知的确定的函数模型解决理论成绩，并验证求解出的数学模型与理论情况的吻合程度及用数学模型进行预测。
分别在汽车和人口成绩这两种不同运用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决理论成绩.教学重点1.根据图形信息建立函数模型解决理论成绩.2.用待定系数法求解函数模型并运用.3.将理论成绩转化为数学成绩的过程。
函数模型及其应用新人教A版必修1优秀教案资料
3.2函数模型及其应用新人教A版必修1优秀教案3.2.1几类不同增长的函数模型整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幕函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题•课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的•三维目标1•借助信息技术，禾U用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幕函数的增长差异•2•恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题•3•让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幕函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同•教学难点：应用函数模型解决简单问题•课时安排2课时教学过程第1课时几类不同增长的函数模型导入新课思路1.(事例导入)一张纸的厚度大约为0.01 cm, 一块砖的厚度大约为10 cm ,请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n=20时它们的厚度•你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n 次的厚度：f(n)=0.01 2n(cm),n 块砖的厚度:g(n)=10n(cm),f(20) ~ 105 m,g(20)=2 m. 也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解思路2.(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幕函数的图象性质，本节我们通过实例比较它们的增推进新课新知探究提出问题①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.②正方形的边长为x,面积为y,把y表示为x的函数.③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y,把y表示为x的函数.④分别用表格、图象表示上述函数.⑤指出它们属于哪种函数模型•⑥讨论它们的单调性.⑦比较它们的增长差异.⑧另外还有哪种函数模型•活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路•①总价等于单价与数量的积•②面积等于边长的平方•③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、….④列表画出函数图象•⑤引导学生回忆学过的函数模型•⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性•⑦让学生自己比较并体会•⑧另外还有与对数函数有关的函数模型•讨论结果：①y=x.②y=x2.③y=(1+5%)x,④如下表x123456y=x1234562y=x149162536xy=(1+5%) 1.05 1.01 1.16 1.22 1.28 1.34⑤它们分别属于：y=kx+b(直线型),y=ax2+bx+c(a工抛物线型)，y=ka x+b(指数型)•⑥从表格和图象得出它们都为增函数•⑦在不同区间增长速度不同，随着x的增大y=(1+5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数•⑧另外还有与对数函数有关的函数模型形如y=log a x+b,我们把它叫做对数型函数•应用示例思路1例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番•请问，你会选择哪种投资方案？活动：学生先思考或讨论，再回答•教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40(x € N*)进行描述；方案二可以用函数y=10x(x € N*)进行描述；方案三可以用函数y=0.4 *-1(x € N*)进行描述•三个模型中，第一个是常函数，后两个都是递增函数模型•要对三个方案作出选择，就要对它的增长情况图 3-2-1-4由表和图（3214）可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方 案二与方案三的函数的增长情况很不相同•可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变， 而方案三是 指数增长”其增长量”是成倍增加的，从第 7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的•从每天所得回报看，在第 1〜3天，方案一最多；在第 4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第 5〜8天方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过 2亿元.天数 回捲/元12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -一- 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 -——二10 30 60 100 150 210180 360450550660_ -0.41.22.8612.425.250.8102 204.4 409.2 818.8因此，投资1〜6天，应选择方案一；投资 7天，应选择方案一或方案二；投资 8〜10天,应选择方案二；投资 11天（含11天）以上，则应选择方案三• 针对上例可以思考下面问题：① 选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数 ② 课本把两种回报数都列表给出的意义何在？ ③ 由此得出怎样结论•答案:①选择哪种方案依据的是累积回报数•X 天 万案一万案二 万案三 y/元 增加量/元 y/元增加量/元 y/元 增加量/元1 40100.42 40 0 20 10 0.8 0.43 40 0 30 10 1.6 0.84 40 0 40 10 3.2 1.65 40 0 50 10 6.4 3.26 40 0 60 10 12.8 6.47 40 0 70 10 25.6 12.8 8 40 0 80 10 51.2 25.69 40 0 90 10 102.4 51.2 104010010204.8102.430 40 0300 10 214748364.8107374182.4再作出三个函数的图象（3-2-1-4）.t ^=0.4^2*-1 J 进行分析•我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况y4(>20mSD604020I』------- 芒 --------- 尸40②让我们体会每天回报数增长变化•③上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异.变式训练某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：全球通使用者先缴50元基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；神州行不交月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话x 分钟，两种通讯业务的费用分别为y i元和y2元，那么(1) 写出y i、y2与X之间的函数关系式；(2) 在同一直角坐标系中画出两函数的图象；(3) 求出或寻求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同；(4) 若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯业务较合算.思路分析：我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变化情况，为选择哪种通讯提供依据.(1)全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；⑵运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；(3)可利用方程组求解，也可以根据图象回答；(4)寻求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大.解：(1)y1=50 + 0.4x(x >,0)y2=0.6x(x > 0).(2) 图象如图(3-2-1-5)所示.」M元200图3-2-1-5(3) 根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250,所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯业务的收费相同.(4) 当通话费为200元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于y2所对应的自变量的值，即选取全球通更合算.另解：当y1=200 时有0.4x + 50=200, A X1=375 ；七1000 1000当『2=200 时有0.6X=200,X2= .显然375> ,3 3A选用全球通更合算.点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型例2某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润X(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log 7X+1,y=1.002 x,其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%,由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是只需在区间］10,1000 ］上，检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果图3-2-1-6观察函数的图象，在区间］10,1 000］上，模型y=0.25x,y=1.002X的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log 7X+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7X+1进行奖励时才符合公司的要求.下面通过计算确认上述判断.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0.25x，它在区间］10,1 000］上递增，而且当x=20时，y=5,因此，当x>20时，y>5,所以该模型不符合要求；对于模型y=1.002x,由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805, 806)内有一个点X。
高中数学3.2.2函数模型的应用实例教案(新人教A版必修1)河北地区专用
4）“总收入最高”的数学含义如何理解？
根据老师的引导启发，学生自主，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析.（AB）
[略解：]
设客房日租金每间提高2 元，则每天客房出租数为300－10 ，由 ＞0，且300－10 ＞0得：0＜ ＜30
设客房租金总上收入 元，则有：
比例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望.
可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.
二、结合实例，探求新知
１． 例1.某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程.
1）本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描述？
2）本例涉及到几个函数模型？
3）如何理解“更省钱？”；
4）写出具体的解答过程.
在学生自主思考，相互讨论完成本例题解答之后，老师小结：通过以上两例，数学模型是用数学语言模拟现实的一种模型，它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来，并用数学语言来表达，这一过程称为建模，是解应用题的关键。数学模型可采用各种形式，如方程（组），函数解析式，图形与网络等.
=（20+2 ）(－10 )
=－20( －10)2＋8000（0＜ ＜30）
由二次函数性质可知当 =10时， =8000.
所以当每间客房日租金提高到20＋10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元.
３． 课堂练习2要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价.
高中数学人教A版必修1教案-3.2_函数模型及其应用_教学设计_教案_1
教学准备1. 教学目标求解函数应用问题的思路和方法2. 教学重点/难点求解函数应用问题的思路和方法3. 教学用具4. 标签教学过程知识归纳1．求解函数应用问题的思路和方法2．函数建模的基本流程误区警示求解函数应用题时，关键环节是审题，审题时：一要弄清问题的实际背景，注意隐含条件；二是将文字语言恰当准确的翻译为数学语言，用数学表达式加以表示；三是弄清给出什么条件，解决什么问题，通过何种数学模型加以解决；四是严格按各种数学模型的要求进行推理运算，并对运算结果作出实际解释．3．常见函数模型的理解次函数模型。
（5）分式（“勾”）函数模型：形如的函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用“基本不等式”解决，有时通过利用导数研究其单调性来求最值。
四．典例解析题型1：正比例、反比例、一次函数型和二次函数型例1．某种商品原来定价为每件a元时，每天可售出m件，现在把定价降低x个百分点（即x％）后，售出数量增加了y个百分点，且每天的销售额是原来的k倍。
（1）设y=nx，其中n是大于1的常数，试将k写成x的函数；（2）求销售额最大时x的值（结果可用喊n的式子表示）；（3）当n＝2时，要使销售额比原来有所增加，求x的取值范围。
故当销售商一次订购 500 个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．[名师指引]求解数学应用题必须突破三关：（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义．（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题．（3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型．题型3：指数、对数型函数五．思维总结1．将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2．怎样选择数学模型分析解决实际问题数学应用问题形式多样，解法灵活。
高中数学3.2.2函数模型的应用实例教案新人教A版必修1
《函数模型的应用实例》一、教课内容分析：本节课选自人民教育第一版社 A 版的一般高中课程标准实验教科书·数学必修1中3．2．2 函数模型的应用实例（第二课时）．函数基本模型的应用是本章的要点内容之一，函数模型自己就根源于现实，并用于解决实质问题．本节课的内容是在《几类不一样增添的函数模型》和《函数模型的应用实例（一）》内容以后，关于纯数学知识的几类函数及其性质和给定的函数模型应用有了必定的学习，本节课是对以上两节内容的持续与拓展，研究没有给定函数模型或没有确立性函数模型的实质问题进行建模和应用．这节课的内容持续经过一些实例来感觉函数模型的成立和应用，逐渐领会实质问题中建立函数模型的过程，本节课的函数模型的应用实例主要包含成立确立性函数模型解决问题及选择或成立拟合函数模型解决问题．例 5 所给的问题的特色是表中数学的变化是有特定规律的，运用表中的数据规律成立数学模型，注意变化范围和查验结果的合理性，同时使用这类有规律的简单数据实例供给了建立数学模型的方法．例 6 与例 5 有所差别，表中数据的变化规律特色不是和显然，需要自己依据对数据的理解选择模型，这反应一个较为完好的成立函数模型解决问题的过程，让学生逐渐感觉和明确这一点．整节课要修业生分析数据，比较各个函数模型的好坏，选择靠近实质的函数模型，并应用函数模型解决实质问题．增强读图、读表能力；优化学生思想，提升学生研究和解决问题的能力；增强学生数学应企图识，感觉数学的适用性；锻炼学生的吃苦精神，提升学生的团队合作能力．二、教课目的：知识与技术： 1．会分析所给出数据，画出散点图．2．会利用选择或成立的函数模型．3．会运用函数模型解决实质问题．过程与方法： 1．经过对给出的数据的分析，抽象出相应确实定性函数模型，并考证函数模型的合理性．2．经过采集到的数据作出散点图，并经过察看图像判断问题所合用的函数模型，在合理选择部分数据或计算机的拟合功能得出详细的满意的函数分析式，并应用模型解决实质问题．感情、态度和价值观：1．经历成立函数模型解决实质问题的过程，意会数学源自生活，服务生活，领会数学的应用价值．2．培育学生的应企图识、创新意识和研究精神，优化学生的理性思维和求真求实的科学态度．3．提升学生研究学习新知识的兴趣, 培育学生 , 勇于研究的科学态度．三、学生学情分析：1．已掌握了一些基本初等函数的有关知识，有相应的数学基础知识贮备．2．在前面的学习中，初步领会了利用给定函数模型解决实质问题的经历，为本节课累积解决问题的经验．3．学生从文字语言向图像语言和符号语言转变较弱；应企图识和应用能力不强；抽象归纳和局部办理能力单薄．四、教课要点、难点要点：依据采集的数据作出散点图，并经过察看图像选择问题所合用的函数模型，利用演算或计算机数据成立详细的函数分析式．难点：如何合理分析数据选择函数模型和成立详细的函数分析式．五、教课策略分析：鉴于新课程标准倡议以学生为主体进行研究性学习，教师应成为学生学习的指引者、组织者和合作者的教课理念和近来发展区理论，联合本节课的教课目的，采纳以下教课方法：1．问题教课法．在例 1 的教课中，提出如何能更为直观的发现函数模型，指引学生思虑，发现选择函数模型的重要方法，即散点图图像，进而让学生有收获，有成就感．在例 2 的解决过程中，提出一系列的问题串，学会对问题的分析，直抵问题的核心．使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创建”过程，并使学生从中领会学习的兴趣．这样能够充分调换学生学习的主动性、踊跃性，使讲堂氛围更为活跃，同时培育了学生自主学习，着手研究的能力．2．分组议论法．在例 2 的教课中，碰到难以选择模型时，经过小组议论，拓展思想，增强合作，解决问题；在获取函数模型后和讲堂总结中，组织小组议论，互相沟通成就，扩大成就影响力．这样不单能够培育学生对数学知识的研究精神和团队协作精神，更能让学生体验成功的乐趣，培育其学习的主动性．3．多媒体协助教课法：在教课过程中，采纳多媒体教课工具，经过动向演示有益于惹起学生的学习兴趣，激发学生的学习热忱，增大信息的容量，使内容充分、形象、直观，提升教课效率和教课质量。
高中数学 3.2.2函数模型的应用实例教案 新人教A版必修1
高中数学 3.2.2函数模型的应用实例教案新人教A版必修1课题：§3.2.2函数模型的应用实例（一）教材分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（A版）》的第三章的3.2.2函数模型的应用实例函数模型及其应用是中学重要内容之一，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数模型的应用实质是揭示了客观世界中量的相互依存有互有制约的关系，因而函数模型的应用举例有着不可替代的重要位置，又有重要的现实意义。
本节课要求学生利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价学情分析学生在学习本节内容之前已经学习了几类不同增长的函数模型，学会了任何选择适当的函数模型分析和解决实际问题，对函数模型增长变化有了较深刻的认识。
这为建立函数模型解决实际问题提供了支持。
但学生对于从实际应用问题获取信息转化为数学问题的能力较薄弱，给建立函数模型带来了一定的难度。
因此在教学中应该给学我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度，并对给定的数学模型进行适当的分析和评价． 设计意图 教师介绍现实生活中函数应用的典型题型，提出研究内容与研究方法引出问题． 二、组织探究例1．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．1） 求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义；2） 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2019km ，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s 与时间t 的函数解析式，并作出相应的图象．012345102030405060708090v（km让学生主动参与，认真观察分析所给图象，独立思考后，讨论，教师可以作以下引导首先引导学生写出速度v关于时间t的函数解析式其次引导学生写出汽车行驶路程y关于时间t的函数关系式，并作图象再次探索：1）将图中的阴影部分隐去，得到的图象什么意义？2）图中每一个矩形的面积的意义是什么？3）汽车的行驶里程与里程表读数之间有什么关系？它们关于时间的函数图象又有何关系？设计意图学会将实际问题转化为数学问题．学会用函数模型（分段函数）刻画实际问题．培养学生的读图能力，让学生理解图象是函数对应关系的一种重要表现形式例2．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：其中t表示经过的时间，y表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）年份19501951195219531954人数551965630574825879660266年份19551956195719581959人数61456628286456365994672071）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？认真阅读题目，教师指出本例的题型是利用给定的数学模型（指数函数模型rt e yy）解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数y与r．学生独立思考后，教师作以下提问1）本例中所涉及的数量有哪些？2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？3）根据表中数据如何确定函数模型？4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应作出如何评价？５）如何根据所确定函数模型具体预测我国某个时期的人口数，实质是何种计算方法？学生根据教师引导，完成数学模型的确定，借助计算器，利用所确定的函数模型对我国的人口增长情况进行适当的预测教师在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度．设计意图通过本例让学生认识到表格也是函数对应关系的一种表现形式．培养学生得阅读能力，分析能力三、探索研究引导学生分析例题，进行总结归纳利用给定函数模型或建立确定函数解决实际问题的方法：1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；2）利用待定系数法，确定具体函数模型；3）对所确定的函数模型进行适当的评价；4）根据实际问题对模型进行适当的修正．设计意图渗透数学思想方法，培养学生读图、分析已知数据、概括、总结等诸多方面的能力。
高中数学 3.2.2函数模型的应用举例教案(2)新人教A版必修1
3.2.2（2）函数模型的应用实例（教学设计）教学目标：知识与技能：能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题．过程与方法：感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性．情感、态度、价值观：体会运用函数思想和处理现实生活和社会中的简单问题的实用价值．教学重点难点：重点运用一次函数、二次函数模型的处理实际问题．难点运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．一、新课引入：2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目．67岁的马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了可供决策部门参考的应用软件．这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真．结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要．分析报告说，就全国而论，若非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加2100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府未采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人．这项研究在充分考虑传染病的一般流行机制、非典的特殊性、我国政府所采取的一系列强有力措施的基础上，根据疾病控制中心每日发布的数据，利用统计学的方法和流行病传播机理建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测．二、师生互动，新课讲解：例1：（课本第104页例5）某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示，销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12日均销售量/桶480 440 400 360 320 280 240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？解：（课本P104）课本第104页表3-9中数据的变化是有特定规律的，教学时应注意引导学生分析问题所提供的数据特点，由数据特点抽象出函数模型．同时，应注意变量的变化范围，并以此检验结果的合理性．例2：（课本第105页例6）某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：（身高：cm；体重：kg）身高60 70 80 90 100 110体重 6.13 7.90 9.99 12.1515.0217.5身高120 130 140 150 160 170体重20.9226.8631.1138.8547.2555.051y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？探索：1） 借助计算器或计算机根据统计数据，画出它们相应的散点图；2） 观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？3） 你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系？ 4） 确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价． 5） 怎样修正确定的函数模型，使其拟合程度更好？ 课堂练习（课本P106练习 NO ：1）例3：根据市场调查商品在最近40天内的价格P （万元）与时间t 的关系，用图(1)中的一条折线表示，销售量Q 与时间t 的关系用图(2)中的线段表示（t ∈N ＋）。
高中数学必修一《函数模型及其应用》优秀教学设计
人教版数学必修①
3.2函数模型及其应用
【课时安排】第4课时
【教学对象】高一学生
【教材分析】数学建模是高中数学新课程的新增内容，但《标准》中没有对数学建模的课时和内容作具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中。
而"3.2函数模型及其应用"一节只是通过六个例子介绍一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数在解
决实际问题中的作用，为以后的数学建摸实践打基础，还未能使学生真正理解数学建模的真实全过程。
本节课通过一个较为真实的数学建模案例，以弥补教材的这一不足。
【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的二次函数与三角函数的相关性质。
【教学目标】
知识与技能
（1）初步理解数学模型、数学建模两个概念；
（2）掌握框图2——数学建模的过程。
过程与方法
（1）经历解决实际问题的全过程，初步掌握函数模型的思想与方法；
情感态度价值观
（1）体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程；
（2）感受数学的实用价值，增强应用意识；
（3）体会数学以不变应万变的魅力。
【教学重点】框图2——数学建模的过程。
【教学难点、关键】方案二中答案的探究；关键是运用合情推理。
【教学方法】引导探究、讨论交流。
【教学手段】计算机、PPT、几何画板。
高中数学函数模型的应用实例教案3 新人教A版必修1
3.2 函数模型及其应用几类不同增长的函数模型一、教学目标（1）使学生通过投资回报实例，对直线上升和指数爆炸有感性认识。
（2）通过阅读理解题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及起数学含义。
（3）体验由具体到抽象及数形结合的思维方法。
二、教学重点与难点重点：将实际问题转化为函数模型，比教常数函数、一次函数、指数函数模型的增长差异；结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸等不同函数型增长的函义。
难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题。
三、教学手段：运用计算机、实物投影仪等多媒体技术。
四、教材分析：1、背景（1）圆的周长随着圆的半径的增大而增大：L=2πR (一次函数)（2）圆的面积随着圆的半径的增大而增大：S=πR2 (二次函数)（3）某种细胞分裂时，由1个分裂成两个，两个分裂成4个……，一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是 y = 2x (指数型函数)。
2、例题例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案呢？投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优(1)比较三种方案每天回报量(2) 比较三种方案一段时间内的总回报量哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。
根据上表我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。
解：设第x 天所得回报为y 元，则 方案一：每天回报40元；y=40 (x ∈N*)方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回 报10元； y=10x (x ∈N*)方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番。
Y=0.4×2x-1(x *N )从每天的回报量来看：图112-1第1~4天，方案一最多：每5~8天，方案二最多：第9天以后，方案三最多；有人认为投资1~4天选择方案一； 5~8天选择方案二； 9天以后选择方案三。
高中数学《函数模型及其应用-3.2.2函数模型的应用实例》说课稿1 新人教A版必修1
3.2.2 函数模型的应用实例（1）从容说课我们已经学习过的函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数，它们都与现实世界有着紧密的联系和广泛的应用.应用数学知识去解决有关实际问题，是我们学习数学的重要目标之一.本节课《函数模型的应用实例》主要通过一些实例来感受这些函数的广泛应用，逐步体会解决实际问题中构建函数模型的过程.函数模型的应用实例主要包含三个方面：利用给定的函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题及建立拟合函数模型解决实际问题.例1主要根据题意列出相应的表格，通过表中数据的实际意义解决问题.例2涉及的数学模型是确定的，需要我们利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，主要意图是让学生利用函数模型（分段函数）刻画实际问题.例3中的数学模型y=y0e rt是指数函数模型，它由y0与r这两个参数决定，而y0与r的值不难得到.本题意图是让学生验证问题中的数据与所提供的数学模型，并用数学模型解释实际问题.在教学中结合教材内容注重培养学生阅读理解的能力，提高其读图、画图的能力.三维目标一、知识与技能1.能利用给定函数模型解决实际问题.2.通过给出数据进行分析，画出散点图，并能验证问题中的数据与所提供的函数模型是否相吻合.3.增强读图、画图、识图的意识，全面提高阅读理解的能力.二、过程与方法1.通过对给出的图形和数据的分析，抽象出相应的确定性函数的模型.2.根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式.三、情感态度与价值观应用数学知识解决实际问题.培养学生高尚的品德，使其树立远大的理想，并能利用所学知识为社会服务.教学重点根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式.教学难点怎样选择数学模型分析解决实际问题.教具准备多媒体课件、投影仪、计数器.教学过程一、创设情景，引入新课师：我们已经学习过的函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数，它们都与现实世界有着紧密的联系和广泛的应用.应用数学知识去解决有关实际问题，是我们学习数学的重要目标之一.本节课《函数模型的应用实例》（板书）主要通过一些实例让我们来感受这些函数的广泛应用，逐步体会解决实际问题中构建函数模型的过程.二、例题剖析【例1】某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元. 问（1）第几年后开始获利？（2）当总纯收入获利最大时，以8万元出售该鱼船，问总获利为多少？分析：首先要弄清什么是第几年后开始获利.开始获利指哪一年后，总收入大于成本与各种费用的和，就开始获利.从题目条件中可以知道，每年捕鱼收益是一个常量50万元，而各种费用是逐年增加的，并且第n年的各种费用为12+（n－1）4=4n+8，从中可以看出，从某一年开始，捕鱼收益不够支付费用，即要亏本.可以计算出10年以后如不出售该渔船将会亏本（50＜4n+8），因为这里变量都是整数且数据较小，因此仅列表就能得出相应的结论.解：列出下表（1）由表格可以得到，第3年开始获利.（2）到第10年时，总纯收入获利最大为102+8=110.（注意：最后该船是以8万元出售的）【例2】一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如下图所示.（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t的函数解析式，并作出相应的图象.师：先用投影仪投影出图一（将原图中的阴影部分隐去），分析这张图可以得到的是一个速度关于时间变化的图象，说明了速度与时间之间的什么关系？生：汽车在第1小时内以50 km/h的速度匀速行驶；汽车在第2小时内以80 km/h的速度匀速行驶；汽车在第3小时内以90 km/h的速度匀速行驶；汽车在第4小时内以75 km/h的速度匀速行驶；汽车在第5小时内以65 km/h的速度匀速行驶.师：再用投影仪投影图二，（给出一个阴影矩形的面积，通过分析，让学生理解它的意义；我们知道这个阴影部分的面积（S=速度×时间）为50，它表示的是汽车在第1小时内行驶的路程为50 km.以此我们可以得出第2、3、4、5个阴影部分的面积分别为80、90、75、65，它们分别表示的是汽车在第2、3、4、5小时内行驶的路程.因此，整个阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程之和为360 km.对于第2个问题，通过对图形的分析，可以看出：汽车在第1小时内以50 km/h的速度匀速行驶；所以其行驶的路程与时间的函数关系是s′=50t（0≤t＜1）.因此第1小时内，里程表上的读数与时间的函数关系为s=s′+2004=50t+2004（0≤t＜1）.第2小时，该汽车以80 km的速度匀速行驶.因此第2小时内，汽车行驶的路程与时间的函数关系为s′=50+80（t－1）（1≤t＜2）.第1小时内，里程表上的读数与时间的函数关系为s=s′+2054=80（t－1）+2054（1≤t＜2）.以此类推，（让学生自主完成）可以得出s =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧ 例2所涉及的数学模型是确定的，关键在于利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，让学生学会如何用函数模型来刻画实际问题.这里我们得到的是一个分段函数的模型，让学生注意分段函数的表示方法，及其定义域.学时探究：你能根据图一，作出汽车行驶路程关于时间变化的图象吗？（1）首先获得路程关于时间变化的函数解析式s =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧ （2）根据上面的函数解析式画出汽车行驶路程关于时间变化的图象，其实这个图象就是将图二向下平移了2004个单位.【例3】 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y =y 0e rt ，其中t 表示经过的时间，y 0表示t =0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率.下表是1950～1959年我国人口数据资料：50t ， 0≤t ＜1， 80（t －1）+50，1≤t ＜2， 90（t －2）+130，2≤t ＜3，75（t －3）+220，3≤t ＜4， 65（t －4）+295，4≤t ≤5.50t +2004， 0≤t ＜1， 80（t －1）+2054，1≤t ＜2， 90（t －2）+2134，2≤t ＜3，75（t －3）+2224，3≤t ＜4， 65（t －4）+2299，4≤t ≤5.（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国人口达到13亿？并根据所得结论，总结说明了什么问题.分析：这里要我们去验证问题中的数据与所提供的函数模型是否吻合，然后再利用函数模型解释实际问题，并利用模型进行预测.这里的函数模型y=y0e rt是指数型函数模型，它由y0与r两个参数决定，实际上，y0就是1950年的人数，r是指各年的人口增长率的平均值，比较容易求得.解：（1）设1950～1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55196（1+r1）=56300，可得1951年的人口增长率r1≈0.0200.同理可得，r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，r8≈0.0222，r9≈0.0184.于是，1950～1959年期间，我国人口的年平均增长率为r=（r1+r2+…+r9）÷9≈0.0221.由y0=55196可得我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t（t∈N）.（请同学们利用计数器作出函数y=55196e0.0221t（t∈N）的图象，再根据表中1950～1959年人口数据，作出散点图（如下图），并进行比较，得出相应的结论）由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.（2）师：根据所得函数模型y=55196e0.0221t（t∈N）预测我国人口大约在哪一年达到13亿，实际上是通过一个对数式55196e0.0221t=130000来确定t的近似值.请同学们利用计数器进行计算：10000（ln130000－ln55196）≈38.76.即t=221因此如果按表中的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口数就已达到13亿，由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.三、课堂练习1.已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿，而2003年世界人口还没有达到72亿，你对同样的模型得出的两个结果有何看法？2.以v0 m/s的速度竖直向上运动的物体，t s后的高度h m满足h=v0t－4.9t2，速度v m/s满足v=v0－9.8t.现以75 m/s的速度向上发射一发子弹，问子弹保持在100 m以上高度的时间是多少秒？在此过程中，子弹速度的范围是多少？答案：1.（1）由y=5e0.003t可知，当y=10时，t≈231，所以1881年世界人口是1650年的2倍.同理可得2003年世界人口是1970年的2倍.（2）由此看出，此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况.2.由题意有75t－4.9t2=100，解得t=9.425.6075⨯±.解得t1≈1.480，t2≈13.827.所以子弹保持在100 m以上的时间t=t2－t1≈12.35，在此过程中，子弹最大速度v1=v0－9.8t=75－9.8×1.48=60.498 m/s.四、课堂小结本节课我们主要通过收集数据，作出散点图，然后通过观察图象判断问题适用的函数模型，利用计数器或计算机的数据拟和功能得出具体的函数解析式，再用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程.值得注意的是用已知的函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往需要对函数模型进行修正.五、布置作业课本P126页习题3.2A组第4、6、7题.板书设计3.2.2 函数模型的应用实例（1）例1例2例3课堂小结与布置作业。
新课标人教版高中数学必修一 3.2函数模型及其应用 教学设计
3.2 函数模型及其应用[教学目标]1．利用计算工具，比拟指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．通过收集一些社会生活中普遍使用的函数模型〔指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等〕的实例，了解函数模型的广泛应用．[教学要求]对于函数增长的比拟，教科书分了三个层次：首先以实例为载体让学生切实感受不同函数模型间的增长差异，然后采用图、表两种方法比拟三个函数〔2x y =，x y 2=，x y 2log =〕的增长差异，最后将结论推广到一般的指数函数、对数函数、幂函数间的增长差异．函数根本模型的应用是本章的重点内容之一．教科书用4个例题作示范，并配备了较多的实际问题让学生进行练习．在4个例题中，分别介绍了分段函数、指数型函数、二次函数的应用．在例4和例6中还渗透了函数拟合的根本思想．本章安排的实习作业主要是让学生收集现实生活中的一些函数实例，并运用已学习的函数知识解决一些问题，感受函数的广泛应用．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的．这是因为函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题．同时，这样做还能给学生提供更多的时机从实际问题中发现或建立数学模型，并体会数学在实际问题中的应用价值．[教学重点]认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长，应用函数模型解决简单问题．将实际问题转化为数学模型．[教学难点]学生对指数函数、对数函数、幂函数等的增长速度的认识还很少，因此让学生比拟这几种函数的增长差异会有一定困难．如何选择适当的函数模型分析和解决实际问题是另一个困难．[教学时数]4课时[教学过程]第一课时几类不同增长的函数模型〔1〕新课进展一、实例分析投资回报和选择奖励模型两个实例，让学生对直线上升、指数爆炸与对数增长有一个感性的认识，初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．〔底数0 a 〕例1〔课本第95页例1〕分析与解：课本第95——96页．关键：阅读、理解、审题重点：让学生体会指数爆炸问：在例1中，涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？你能借助计算器做出函数图象，并通过图象描述一下三个方案的特点吗？由以上的分析，你认为应当如何做出选择？例2〔课本第97页例2〕本例将三个函数增长模型同时呈现给学生，主要目的是让学生感受它们增长速度的差异．教学时，除了用函数的图象直观展示这种增长差异外，还可以通过以下的表格让学生从另一个角度去认识．问：例2涉及了哪几类函数模型？本例的本质是什么？你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？通过对三个函数模型增长差异的比拟，你能写出例2的解答吗？本课小结通过师生交流进行小结：确定函数的模型——利用数据表格、函数图象讨论模型——体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．。
高中数学 3.2.3函数模型的应用实例(一)全册精品教案 新人教A版必修1
3.2.3 函数模型的应用实例（一）（一）教学目标1．知识与技能：初步掌握一次和二次函数模型的应用，会解决较简单的实际应用问题.2．过程与方法：经历运用一次和二次函数模型解决实际问题，提高学生的数学建模能力.3．情感、态度与价值观：了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.（二）教学重点、难点一次和二次函数模型的应用是本节的重点，数学建模是本节的难点.（三）教学方法本节内容主要是例题教学，因此采用学生探究解题方法，总结解题规律，教师启发诱导的方法进行教学.（四）教学过程汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.巩固练习课堂练习习题1．如果一辆汽车匀速行驶，1.5h行驶路程为90km，求这辆汽车行驶路程与时间之间的函数关系，以及汽车3h所行驶的路程.习题2．已知某食品5kg价格为40元，求该食品价格与重量之间的函数关系，并求8kg食品的价格是多少元.习题3．有300m长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面积最大？习题4．某市一种出租车标价为1.20元/km，但事实上的收费标准如下：最开始4km内不管车行驶路程多少，均收费10元(即起步费)，4km后到15km之间，每公里收费1.20元，15km后每公里再加收50%，即每公里1.80元.试写出付费总数f与打车路程x之间的函数关系.学生练习，师生点评.1．设汽车行驶的时间为t h，则汽车行驶的路程S km与时间t h之间的函数关系为S = vt.当t = 1.5时，S = 90，则v = 60.因此所求的函数关系为S=60t，当t = 3时，S = 180，所以汽车3h所行驶的路程为180km.2．设食品的重量为x kg，则食品的价格y元与重量x kg之间的函数关系式为y=8x，当x = 8时，y = 64，所以当8kg食品的价格为64元.3．设矩形菜地与墙相对的一边长为x cm，则另一组对边的长为3002x-m，从而矩形菜地的面积为：21(300)21(150)11250(0300).2S x xx x=-=--+<<当x = 150时，S max = 11250.即当矩形的长为150m，宽为75m时，菜地的面积最大.4．解：所求函数的关系式为100410 1.2(4)41523.2 1.8(15)15xy x xx x<≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪+->⎩学生动手实践、体验所学方法，从而提升解应用题的技能.归纳小结课堂小结解决应用用问题的步骤：学生总结，师生完善使学生养成归纳总结的好习惯.让学读题—列式—解答. 生初步掌握数学建模的基本过程.布置作业习题2—3B第1、3题：教材第71页“思考与讨论”.学生练习使学生巩固本节所学知识与方法.备选例题例1 某游艺场每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的关系如图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？【解析】根据题意，每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的函数关系是：（1）当0≤x≤400时，由3.75x=750，得x=200.（2）当400≤x≤600时，由1.25x + 1000 = 750，得x = –200 (舍去).综合（1）和（2），盈利额为750元时，当天售出的门票数为200张.答：当天售出的门票数为200张时盈利额为750元.例2 某个经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资A种商品金额(万元)1 2 3 4 5 6获纯利润(万元)0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40投资B种商品金额(万元)1 2 3 4 5 6获纯利润(万元)0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A、B两种商品各多少才最合算. 请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).【解析】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.y = –a (x – 4)2 + 2 (a＞0)①y = bx②把x = 1，y = 0.65代入①式，得0.65 = –a (1 – 4)2 + 2，解得a = 0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用y = – 0.15(x– 4)2 + 2表示，再把x = 4，y = 1代入②式，得b = 0.25，故前六个月所获利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y = 0.25x表示.设下月投资A种商品x万元，则投资B种商品为(12 –x)万元，可获纯利润y = – 0.15 (x– 4)2 + 2 + 0.25 (12 –x)= – 0.15x2 + 0.95x + 2.6，当0.952(0.15)x -=⨯-≈3.2时，2max4(0.15) 2.60.954(0.15)y ⨯-⨯-=⨯-≈4.1.故下月分别投资A 、B 两种商品3.2万元和8.8万元，可获最大纯利润4.1万元.【评析】幂函数模型的应用题经常以二次函数的形式出现，要注意y = x 2变换到y = a (x – m )2+ b 后发生的变化.。
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<<函数模型的应用举例>>教学设计教学目标 （1）知识目标1. 通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用；2. 初步了解对统计数据表的分析与处理. （2)情感目标1、引导学生从实际问题中发现问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。
2、让学生体会数学在实际问题中的应用价值。
教学重点建立和拟合函数模型解决实际问题。
教学难点选择拟合度高的函数模型。
教学方法启发式引导，讨论式课堂模式。
教学过程（一）导入新课一辆汽车在水平的公路上匀加速行驶，初速度为v 0,加速度为a,那么经过t 小时它的速度为多少？在这t 小时中经过的位移是多少？试写出它们函数解析式，它们分别属于那种函数模型？v=v 0+at,s=v 0t+21at 2,它们分别属于一次函数模型和二次函数模型. 归纳：不仅在物理现象中用到函数模型，在其他现实生活中也经常用到函数模型，今天我们继续讨论函数模型的应用举例. 前面我们学习了函数模型的应用，今天我们在巩固函数模型应用的基础上进一步讨论函数拟合问题.（二）推进新课 新知探究、提出问题例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如下表所示:销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?解：根据上表,销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x 元后,日均销售利润为y 元,而在此情况下的日均销售量就为 480－40(x －1)=520－40x(桶).由于x ＞0,且520－40x ＞0,即0＜x ＜13, 于是可得y=(520－40x)x －200=－40x 2+520x －200,0＜x ＜13. 易知,当x=6.5时,y 有最大值.所以,只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润. 点评：二次函数模型是现实生活中最常见数学模型.找出实际问题中涉及的函数变量→根据变量间的关系建立函数模型→利用模型解决实际问题。
变式训练某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．（1）如果增加x 台机器，每天的生产总量为y 件，请你写出y 与x 之间的关系式； （2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？解：（1）设在原来基础上增加x 台，则每台生产数量为384-4x 件，机器台数为80+x ， 由题意有y=(80+x)(384-4x).（2）整理得y=-4x 2+64x+30 720，由y=-4x 2+64x+30 720,得y=-4(x-8)2+30 976，所以增加8台机器每天生产的总量最大，最大生产总量为30 976件. 例2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表: 身高∕c m 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170体重∕k g6.137.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05（1）根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.(2)若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg 的在校男生的体重是否正常？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导： 根据表的数据画出散点图.观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线.根据这些点的分布情况，可以考虑用y=a·b x这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系. 解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图（图3-2-2-7）.根据点的分布特征，可以考虑用y=a·b x作为刻画这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 关系的函数模型.如果取其中的两组数据（70，7.90）,(160,47.25),代入y=a·b x,得⎩⎨⎧1∙=∙=.0025.47,9.770b a b a用计算器算得a≈2,b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y=2×1.02x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象（图3-2-2-8），可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.(2)将x=175代入y =2×1.02x ，得y=2×1.02175， 由计算器算得y≈63.98. 由于78÷63.98≈1.22>1.2, 所以这个男生偏胖.图3-2-2-7 图3-2-2-8变式训练九十年代，政府间气候变化专业委员会（IPCC）提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加.据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO2浓度分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位.若用一个函数模拟九十年代中每年CO2浓度增加的可比单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y=a·b x+c（其中a、b、c为常数），且又知1994年大气中的CO2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？解：(1)若以f(x)=px2+qx+r作模拟函数，则依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++6,r3q9p3,r2q4p1,rqp解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===,0,21,21rqp所以f(x)=21x2+21x.(2)若以g(x)=a·b x+c作模拟函数，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+6,cab3,cab1,cab32解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===3,23,38cba所以g(x)=38·(23)x-3.(3)利用f(x)、g(x)对1994年CO2浓度作估算，则其数值分别为：f(5)=15可比单位，g(5)=17.25可比单位，∵|f(5)－16|<|g(5)－16|,故选f(x)=21x2+21x作为模拟函数与1994年的实际数据较为接近.点评：根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据→画散点图→选择函数模型→求函数模型→检验→符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.（三）巩固训练：动手试试练1. 某同学完成一项任务共花去9个小时，他记录的完成工作量的百分数如下：时间/小时 1 2 3 4 5 6 7 8 9百分数15 30 45 60 60 70 80 90 100（1）如果用来表示h小时后完成的工作量的百分数，请问是多少？求出的解析式，并画出图象；（2）如果该同学在早晨8：00时开始工作，什么时候他未工作？练2. 有一批影碟（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售. 甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台售价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售. 某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较低？（四）拓展提升根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：①一次函数模型：②二次函数模型：③幂函数模型：④指数函数模型：（五）学习小结1. 有关统计图表的数据分析处理；2. 实际问题中建立函数模型的过程；根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据→画散点图→选择函数模型→求函数模型→检验→符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.（六）学习评价利用《导学案》进行自我评价和当堂检测（七）布置作业1、课后思考：某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1?.2万件、1.3万件、1.37万件. 由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好. 为了在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，你能解决这一问题吗？2、课本P107习题3.2B组1、2.。