DVD在线租赁问题

B题：DVD在线租赁第十三组执笔人：侯慧慧B 题：DVD 在线租赁摘要在线租赁是信息时代发展的必然趋势。

在租赁过程中，网络经营者主要关注的预测、购买和分配。

针对问题一，利用需求预测得到观看DVD 的人数服从二项分布，并计算出多种可靠度下购买DVD 的数量 (见文中表2、表3)。

问题二中，使会员的满意度和达到最大，由此可以得到目标函数为：1000100111max ,271000ij ij i j a c === ⨯∑∑（其中ij a 表示第i 个会员是否分配到了第j 种DVD ，ij c 表示第i 个会员得到第j 种DVD 的满意度）。

建立一个线性规划模型，得到问题二的分配方案，并计算出前30位会员的分配结果（见文中表4）。

而对于问题三，。

假设每种DVD 的购买数量和其会员总偏爱程度成正比，于是对于某个需购买DVD 总数，可以按照偏爱程度的比例确定每种DVD 需要购买的数量，目标函数为：100010011max ij ij i j Z C x ===⋅∑∑（其中ij C 表示修正偏爱指数矩阵，ij x 是01-变量，表示是否把第i 种DVD 分配给第j 个会员）。

然后按照0—1规划模型进行第一次分配。

接着用数值模拟的方法随机取60％的会员一个月租赁两次 DVD ，并把归还后的DVD 用0—1规划模型进行第二次分配，最终计算得到会员相应的满意度，从而给出了网站准备的DVD 总数和会员在一个月的满意度之间的关系，并建议网站准备2300张左右的DVD ，使得会员一个月的满意度达到0.8左右。

；问题四是设计出一种DVD 的需求预测、购买和分配的数学模型使得网站能够持续发展，即满意度尽可能大，同时利润也尽可能大，模型如下：()()()()()()()11101m n ij ij t t t t i j Max f x p m t a b k λλλ==⎛⎫=⋅+-⋅-⋅<< ⎪⎝⎭∑∑（其中，ij p 表示第i 个会员对j 种DVD 选择与否；ij a 表示会员i 对j 种DVD 的偏爱度；a 表示会员月会费；b 表示每一张DVD 的价格；m 表示会员人数；n 表示DVD数量）。

最后，本文还对模型进行了恰当的评价。

关键字： 简单随机抽样 0-1规划 数值模拟一、问题的重述这是一个在线DVD租赁问题。

顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD 租赁服务。

会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。

会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。

网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。

每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。

会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。

考虑以下问题：1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。

此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。

假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2）题中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。

3）假设题中表2DVD的现有数量全部为0。

如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？4）作为网站的经营管理人员，在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出问题，并尝试建立相应的数学模型进行解答。

二、基本假设与符号说明2.1基本假设(1)假设问卷调查所得数据符合统计规律；(2)假设邮寄时问可以忽略不计；(3)假设不同会员对某种 D VD的偏好指数是相互独立的。

同一会员对不同种DVD的偏好指数也是相互独立的；(4)以一个月为一个周期，考虑在一个周期内DVD的租赁情况；(5)一个周期结束，所租赁出的DVD全部归还网站，不影响下一个周期的租赁；(6)会员只有在将第一次租赁的三张DVD还回网站之后，才能进行第二次租赁；(7)每个会员同一种DVD只租赁一次；(8)DVD在租赁过程中无损坏；(9)网站不会将DVD租借给对此满意度为0 的会员；(10)容许会员得到的DVD数量少于3张；(11)假设每种DVD需要购买的数量和该DVD的对应的非负修正偏爱指数的总和成正比；2.2符号说明n网站第j种DVD的购买量jj p 会员租赁第j 种DVD 的概率ij ζ 第i 个会员是否租赁第j 种DVDij a 第i 个会员是否分配到了第j 种DVD ij b 第i 个会员对第j 种DVD 的偏爱程度 ij c 第i 个会员得到第j 种DVD 的满意度i C 表示第i 种DVD 对应的非负修正偏爱指数的总和 i D 表示顾客对第i 种DVD 的偏爱程度三、模型的建立3.1问题一设随机变量1DVD 1,2,,100,0000DVDij i j i i j ζ⎧==⎨⎩表示第个会员租赁第张其中表示第个会员不租赁第张.显然随机变量ij ζ服从两点分布，即{1}ij j P p ζ==，{0}1ij j P p ζ==-其中j p 的取值见表1.根据网站问卷调查的这些统计数据，可以得到网站会员租赁这些DVD 的概率（频率是概率的近似值）。

设随机变量100,0001j ij i ηζ==∑，1,2,,j =5，即j η表示100,000个会员中租赁第j 张DVD 的总数，由于ij ζ（1,2,,100,000i =）之间相对独立，也就是会员之间是否租赁该张DVD 是相互独立的，由二项分布与二点分布之间的联系，即二项分布随机变量是n 个独立同分布的二点分布随机变量之和，可知j η服从二项分布，即：100,000100,000{}C ()(1),1,2,,5kk k j j j P k p p j η-==⋅⋅-=同时可以得到：()100,000,1,2,,5j j E p j η==()100,000(1),1,2,,5j j j D p p j η=⋅-=3.2问题二设1,2,ij a ⎧=⎨ ⎩表示第i 个会员分到了第j 种DVD，表示第i 个会员没有分到第j 种DVD 则对会员的分配矩阵为： 1,11,21,1002,12,22,1001000,11000,21000,100A=a a a a a a a a a ⎤⎡⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦由题目中的表2，可以得到会员对DVD 的偏爱程度矩阵为：1,11,21,1002,12,22,1001000,11000,21000,100B=b b b b b b b b b ⎤⎡⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中ij b 表示第i 个会员对第j 种DVD 的偏爱程度。

由于ij b 越大，表示偏爱程度越小，同时会员得到该DVD 的满意度越小。

因此我们定义第i 个会员得到第j 种DVD 的满意度为 ij c ，即11,00,0ij ij ij ij b b c b - ≠⎧⎪=⎨ =⎪⎩则会员的满意度矩阵为：1,11,21,1002,12,22,1001000,11000,21000,100C=c c c c c c c c c ⎤⎡⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦由此得到，第i 个会员对分配方案A 的满意度为： 1001ij ij j a c =∑当第i 个会员得到其偏爱程度为1、2和3的三张DVD 时，他是最满意的，其满意度为：109827,++=由此可以得到第i 个会员的标准化满意度为：10011,1,2,,100027ij ij j a c i = =∑为了使会员获得最大的满意度，只要使他们的满意度和达到最大，由此可以得到目标函数为：1000100111max ,271000ij ij i j a c === ⨯∑∑ 在分配的过程中，每种DVD 分配给会员的总数不超过网站现有的张数，即：10001,1,2,,100ijj i an j =≤ =∑其中j n 表示第j 种DVD 的现有张数。

在一次分配中，每个会员最多获得3张DVD ，则：100103ij j a i =≤≤ , =1,2,,1000∑综上所述，可以得到该问题的模型为：1000100111max ,271000ij ij i j a c === ⨯∑∑ 100011001,1,2,,100..030,1,2,,100ij j i ij j ij a n j s t a i a i j ==⎧≤ =⎪⎪⎪≤≤ , =1,2,,1000⎨⎪⎪ =1,2,,1000 =⎪⎩∑∑取或1, 3.3问题三3.3.1 DVD 的购买统计每个会员想看的DVD 数量的表格如下员分别想看9、1O 、8、1O 、1O 张DVD 。

但会员每次租赁只获得3张DVD ，每个月租赁次数不得超过2次。

可假定只要会员得到他想看的其中一张DVD 就认为会员得到了他想看的DVD ，于是，使得在一个月内95％的会员看到他想看的DVD 是容易办到的，关键是如何使得会员达到最大的满意度。

一般情况下，网站购买的DVD 越多(网站的满意度越小)，会员的满意度也就越大。

于是问题的关键就是寻找网站购买的DVD 的总数与会员满意度的关系。

注意到会员的在线订单用数字1到1O 表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD 当前不在会员的在线订单中。

于是在每个会员都获得3张DVD 的前提下，假定用会员对获得的DVD 的总偏爱程度来定义会员的满意度。

若把在线订单中的0改成1-，其他数字如果是C ，则用11C -代替，把如此更改过后的数字称为修正偏爱指数，而把原来订单的数字称为原偏爱指数.修改后的表格如下:的大小来描述。

对于每种DVD ，越多人想看并且修正偏爱指数越高的DVD 应该准备得越多，可假设每种DVD 需要购买的数量和该DVD 的对应的非负修正偏爱指数的总和成正比。

即：i iN kC =()1i N 表示第i ()1,2,3,,100i =种DVD 购买数量i C 表示第i 种DVD 对应的非负修正偏爱指数的总和W 表示100种DVD 对应的非负修正偏爱指数的总和的总和1001i i W C ==∑1051061 =i D 表示顾客对第i 种DVD 的偏爱程度记为ii C D W=于是，对于某个需购买的DVD 总数，可以按照偏爱程度的比例确定每种DVD 需要购买的数量.其中，每种DVD 的非负修正偏爱指数和顾客对各种DVD 的偏爱程度的数据见下面的表6：确定了购买方案之后，可以用01-规划模型进行第一次分配。