初高中衔接教材数学
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第一讲 数与式1、 绝对值(1)绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩(2)绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. (3)两个数的差的绝对值的几何意义:b a -表示在数轴上,数a 和数b 之间的距离. 2、绝对值不等式的解法 (1)含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>,去掉绝对值后,保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。
②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后,保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。
③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。
(2)利用零点分段法解含多绝对值不等式:①找到使多个绝对值等于零的点.②分区间讨论,去掉绝对值而解不等式.一般地n 个零点把数轴分为n +1 段进行讨论. ③将分段求得解集,再求它们的并集. 例1. 求不等式354x -<的解集 例2.求不等式215x +>的解集 例3.求不等式32x x ->+的解集 例4.求不等式|x +2|+|x -1|>3的解集. 例5.解不等式|x -1|+|2-x |>3-x .例6.已知关于x 的不等式|x -5|+|x -3|<a 有解,求a 的取值范围. 练习解下列含有绝对值的不等式: (1)13x x -+->4+x (2)|x +1|<|x -2|(3)|x -1|+|2x +1|<4 (4)327x -< (5)578x +> 3、因式分解 乘法公式(1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=- (2)完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+ (3)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ (4)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-(5)三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ (6)两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ (7)两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法.1.十字相乘法 例1 分解因式:(1)x 2-3x +2; (2)2672x x ++(3)22()x a b xy aby -++; (4)1xy x y -+-.2.提取公因式法例2.分解因式:(1)()()b a b a -+-552(2)32933x x x +++3.公式法例3.分解因式: (1)164+-a (2)()()2223y x y x --+4.分组分解法例4.(1)x y xy x 332-+- (2)222456x xy y x y +--+-5.关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解.若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ,则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式:(1)221x x +-; (2)2244x xy y +-.练习(1)256x x -- (2)()21x a x a -++ (3)21118x x -+(4)24129m m -+ (5)2576x x +- (6)22126x xy y +-(7)()()3211262+---p q q p (8)22365ab b a a +- (9)()22244+--x x (10)1224+-x x (11)by ax b a y x 222222++-+-(12)91264422++-+-b a b ab a (13)x 2-2x -1(14) 31a +; (15)424139x x -+;(16)22222b c ab ac bc ++++; (17)2235294x xy y x y +-++-第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1)根的判别式对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),有:(1) 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根x 1,2=2b a-;(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根x 1=x 2=-2b a; (3)当Δ<0时,方程没有实数根. (2)根与系数的关系(韦达定理)如果ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根分别是x 1,x 2,那么x 1+x 2=b a -,x 1·x 2=ca.这一关系也被称为韦达定理.2、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,。
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数学目录阅读材料:1)高中数学与初中数学的联系2)如何学好高中数学3)熟知高中数学特点是高一数学学习关键4)高中数学学习方法和特点5)怎样培养好对学习的良好的习惯?第一课: 绝对值第二课: 乘法公式第三课: 二次根式(1)第四课: 二次根式(2)第五课: 分式第六课: 分解因式(1)第七课: 分解因式(2)第八课:根的判别式第九课:根与系数的关系(韦达定理)(1)第十课:根与系数的关系(韦达定理)(2)第十一课:二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质第十二课:二次函数的三种表示方式第十三课:二次函数的简单应用第十四课:分段函数第十五课: 二元二次方程组解法第十六课: 一元二次不等式解法(1)第十七课: 一元二次不等式解法(2)第十八课:国际数学大师陈省身第十九课: 中华民族是一个具有灿烂文化和悠久历史的民族第二十课: 方差在实际生活中的应用第二十一课: 平行线分线段成比例定理第二十二课:相似形第二十三课:三角形的四心第二十四课:几种特殊的三角形第二十五课:圆第二十六课:点的轨迹1.高中数学与初中数学的联系同学们,首先祝贺你们进入高中数学殿堂继续学习。
在经历了三年的初中数学学习后,大家对数学有了一定的了解,对数学思维有了一定的雏形,在对问题的分析方法和解决能力上得到了一定的训练。
这也是我们继续高中数学学习的基础。
良好的开端是成功的一半,高中数学课即将开始与初中知识有联系,但比初中数学知识系统。
高一数学中我们将学习函数,函数是高中数学的重点,它在高中数学中是起着提纲的作用,它融汇在整个高中数学知识中,其中有数学中重要的数学思想方法;如:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想等,它也是高考的重点,近年来,高考压轴题都以函数题为考察方法的。
高考题中与函数思想方法有关的习题占整个试题的60%以上。
1、有良好的学习兴趣两千多年前孔子说过:“知之者不如好之者,好之者不如乐之者。
”意思说,干一件事,知道它,了解它不如爱好它,爱好它不如乐在其中。
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初高中数学衔接教材1.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:(1)平方差公式2 2 (a b)(a b) a b ;(2)完全平方公式 2 2 2(a b) a 2 a b .b我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:(1)立方和公式 2 2 3 3(a b) (a a b b ) a ;b(2)立方差公式 2 2 3 3(a b) (a a b b ) a ;b(3)三数和平方公式2 2 2 2 (a b c ) a b c 2 ( a b b c ;)a c(4)两数和立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3 a b 3 a b ;b(5)两数差立方公式3 3 2 2 (a b) a 3 a b 3 a b .b 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明.例 1 计算:2 2 (x 1)(x 1)(x x 1)(x x 1).解法一: 原式= 2 2 2 2(x 1) (x 1) x = 2 4 2 (x 1)(x x 1)= 6 1 x .解法二: 原式=2 2 (x 1)(x x 1)(x 1)(x x1)= 3 3 (x 1)(x1)= 6 1x .例 2 已知 a b c 4,ab bc ac 4,求2 2 2 a b c 的值.解:2 2 2 ( )22( ) 8a b c a b c ab bc ac .练 习1.填空:(1)1 1 1 12 2a b ( b a) ( ); 9 4 2 3(2)(4 m 22 ) 16m 4m ( ) ;(3 )2 2 2 2 (a 2b c) a 4b c ( ) . 2.选择题:(1)若2 1x mx k 是一个完全平方式,则k 等于()2(A )2m (B)142m (C)132m (D)1162m(2)不论 a,b 为何实数, 2 2 2 4 8a b a b 的值()(A )总是正数(B)总是负数(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数2.因式分解因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法.1.十字相乘法例1 分解因式:2 2(1)x -3x+2;(2)x +4x-12;2 ( ) 2(3)x a b xy aby ;(4)xy 1 x y .2解:(1)如图1.1-1,将二次项 x 分解成图中的两个x 的积,再将常数项 2 分解成-1初中升高中数学教材变化分析2与-2 的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3x,就是x -3x+2 中的一次项,所以,有2-3x+2=(x-1)(x-2).xx 1-1 1 -2 x -ay-1x -2 x1 -2 6 -by1图 1.1-1 图 1.1-3 图1.1-4图 1.1-2说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1.1-1 中的两个x 用 1 来表示(如图1.1-2 所示).(2)由图 1.1-3,得2x +4x-12=(x-2)( x+6).(3)由图 1.1-4,得2 ( ) 2x a b xy aby =(x ay)( x by)x -1(4)xy 1 x y =xy+(x-y)-1=(x-1) (y+ 1) (如图 1.1-5 所示).课堂练习一、填空题:y图 1.1-511、把下列各式分解因式:2 x(1) 5 6x __________________________________________________ 。
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第一讲数与式1、绝对值(1)绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪−<⎩(2)绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. (3)两个数的差的绝对值的几何意义:b a −表示在数轴上,数a 和数b 之间的距离. 2、绝对值不等式的解法 (1)含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>,去掉绝对值后,保留其等价性的不等式是()a f x a −<<。
②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后,保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><−或。
③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。
(2)利用零点分段法解含多绝对值不等式:①找到使多个绝对值等于零的点.②分区间讨论,去掉绝对值而解不等式.一般地n 个零点把数轴分为n +1段进行讨论. ③将分段求得解集,再求它们的并集. 例1.求不等式354x −<的解集例2.求不等式215x +>的解集例3.求不等式32x x −>+的解集例4.求不等式|x +2|+|x -1|>3的解集.例5.解不等式|x -1|+|2-x |>3-x .例6.已知关于x 的不等式|x -5|+|x -3|<a 有解,求a 的取值范围. 练习解下列含有绝对值的不等式: (1)13x x −+−>4+x (2)|x +1|<|x -2| (3)|x -1|+|2x +1|<4 (4)327x −< (5)578x +>3、因式分解 乘法公式(1)平方差公式22()()a b a b a b +−=− (2)完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+ (3)立方和公式2233()()a b a ab b a b +−+=+ (4)立方差公式2233()()a b a ab b a b −++=−(5)三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ (6)两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++(7)两数差立方公式33223()33a b a a b ab b −=−+−因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法.1.十字相乘法 例1分解因式:(1)x 2-3x +2;(2)2672x x ++(3)22()x a b xy aby −++;(4)1xy x y −+−.2.提取公因式法例2.分解因式: (1)()()b a b a −+−552(2)32933x x x +++3.公式法例3.分解因式: (1)164+−a (2)()()2223y x y x −−+4.分组分解法例4.(1)x y xy x 332−+−(2)222456x xy y x y +−−+− 5.关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解.若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ,则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x −−.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式: (1)221x x +−;(2)2244x xy y +−.练习(1)256x x −−(2)()21x a x a −++(3)21118x x −+(4)24129m m −+(5)2576x x +−(6)22126x xy y +−(7)()()3211262+−−−p q q p (8)22365ab b a a +−(9)()22244+−−x x (10)1224+−x x (11)by ax b a y x 222222++−+−(12)91264422++−+−b a b ab a (13)x 2-2x -1(14)31a +;(15)424139x x −+;(16)22222b c ab ac bc ++++; (17)2235294x xy y x y +−++−第二讲一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1)根的判别式对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),有:(1) 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根x 1,2(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根x 1=x 2=-2b a; (3)当Δ<0时,方程没有实数根. (2)根与系数的关系(韦达定理)如果ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根分别是x 1,x 2,那么x 1+x 2=b a −,x 1·x 2=ca.这一关系也被称为韦达定理.2、二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2bx a =−,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭,。
新教材 初升高数学衔接讲义【最新】
第一章集合与常用逻辑用语第1节集合的概念一、集合的有关概念:1、集合的概念(1)集合:一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合,简称集。
通俗理解为:某些指定的对象集在一起就形成一个集合(简称集)(2)元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素2、元素对于集合的关系(1)集合通常用大写的拉丁字母表示,如A 、B 、C 、P 、Q ……(2)元素通常用小写的拉丁字母表示,如a 、b 、c 、p 、q ……(3)属于:如果a 是集合A 的元素,就说a 属于A ,记作Aa ∈(4)不属于:如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A ,记作A a ∉3、集合中元素的特性(1)确定性:按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里,或者不在,不能模棱两可(2)互异性:集合中的元素没有重复(3)无序性:集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出)4、特定集合及其记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN *(或N +)ZQR1N;1.5N;2Z ;二、集合的表示方法1、列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合例:(1)、由方程012=-x 的所有解组成的集合,可以表示为(2)、方程组⎩⎨⎧=-=+2-0y x y x 的解的集合,可以表示为(3)、所有正奇数组成的集合:2、描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.格式:{x ∈A|P (x )}即{研究对象|具有的性质}其中x 表示该集合的代表元素,()p x 表示该集合中所有的元素具有性质。
例:(1)大于1的数组成的集合可以表示为:(2)小于3的自然数组成的集合可以表示为:(3)直线y=2x-1的点组成的集合可以表示为:(4)所有直角三角形的集合可以表示为:(5)函数2-x y =的自变量的所有取值组成的集合可以表示为:(6)函数2-x y =的因变量的所有取值组成的集合可以表示为:(7)奇数集我们可以记为.注:(1)在不致混淆的情况下,可以省去竖线及左边部分如:{直角三角形};{大于104的实数}(2)错误表示法:{全体直角三角形};{大于104的所有实数};{大于104的实数集}3、图示法:①数轴表示,例如,不等式73x -<的解集为{|10}x R x ∈<,可以表示为②坐标平面表示法(用点和图形来表示)③用韦恩图(Venn 图)表示:用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。
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目录第一章数与式1.1数与式的运算1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4绝对值乘法公式二次根式分式1.2分解因式第二章二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系2.2 二次函数2.2.1二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质2.2.2二次函数的三种表达方式2.2.3二次函数的应用2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组的解法第三章相似形、三角形、圆3.1相似形3.1.1平行线分线段成比例定理3.1.2相似三角形形的性质与判定3.2三角形3.2.1三角形的五心3.2.2解三角形:钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3圆3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系:圆幕定理3.3.2点的轨迹3.3.3四点共圆的性质与判定3.3.4直线和圆的方程(选学)1.1数与式的运算1.1.1 .绝对值绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即a, a 0,|a| 0, a 0,a, a 0.绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义:|a b表示在数轴上,数a和数b之间的距离.例1解不等式:|x 1 x 3 >4.解法一:由x 1 0 ,得x 1 ;由x 3 0,得x 3 ;①若x 1,不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得X V0,又x v 1 ,二x v 0;②若1 x 2,不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即1> 4,二不存在满足条件的x;③若x 3,不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得x>4.又x>3二x>4.综上所述,原不等式的解为x V0, 或x>4.解法二:如图1. 1- 1, x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|RA|,即|RA| = |x- 1|; |x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|,即|PB|= |x- 3|.所以,不等式x 1 x 3 >4的几何意义即为|RA| + |PB|> 4.由|AB|= 2,可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.x V0,或x>4.P 丄CL A 丄BLDL---- x0134x V|x-3||x- 1|图1. 1-12.2练 1. 2.3. 习 填空: (1) 若 x (2) 如果|a b 选择题: 下 )(A )(C )化简: 5,贝y x= 5,且a _若x 则b =4,贝y x= _____ ;若 1 c 2,则 C =若a 若a|x — 5|—|2X — 13| (x >5). 1.1.2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1) 平方差公式 (a b)(a b) a 2 b 2 ; (2) 完全平方公式 (a b)2 a 2 2ab b 2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:b , b ,则 a b (B) (D) 若a b ,贝S a 若a b ,则a解法 :原式= (x 2 1) (x 21)2 x 2 = (x 2 1)(x4 2x1)= 6x 1 .解法 *■.原式=(x 1)(x 2 x 2 1)(x 1)(x x 1)=(x 3 1)(x 3 1)= 6 x 1 .例2 已知a b c 4 , ab bc ac 4,求 a 2 b 2 c 2 的值解: 2 a .2 2b c (a b c)2 2(ab bc ac) 8 . 练 习1. 填空: (1) 1 2 a 1.2 b ( 4 b ;a)( );9 4 2 3(2) (4 m)2 16m 24m ( );(3 ) (a 2b c)2 a 2 4b 2 c 2 ( ). 1). 选择题:有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算:(x 1)(x 1)( x 2x 1)(x 2 x (1 )x 2 Imx k平方式,(1) 立方和公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a .3 b ; (2) 立方差公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a 3b ;(3) 三数和平方公式 (a b c)2 a 2 b 2 2 c 2(ab bc(4) 两数和立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3;(5) 两数差立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b3ab 2 b 3 .ac);对上面列出的五个公式,(A) m2(B) - m2(C) - m2(D)丄m24 3 16((2 ) 不论a , b为何实数,a2 b2 2a 4b 8 的值((A )总是正数(B )总是负数(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数1.1.3.二次根式一般地,形如,a(a 0)的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a「a?—b 2b , . a^b2等是无理式,而.2x2彳x 1 , x2、2x y , ■■ a2等是有理式.1.分母(子)有理化把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化,需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为—有理化因式,例如J2与.2 , 3'、a 与,-. 3 .6 与方.6 , 2-. 3 3',2 与 2.3 3-2,等等. 一般地,ax与x , a、、x b. y与a、、x b y , a、、x b与a、、x b互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运用公式. ab(a 0,b 0);而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行运算;二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2 .二次根式-a2的意义a, a 0, aa, a 0.例1将下歹J式子化为最简一次根式:(1) 両; (2) VOb(a0);(3) J4x6y(x 0).解:(1) ^A2b2顶;(2) Ja2b a 7b aVb(a 0);(3) 』4x6y 2 x^/y 2X3TT(X0).例2计算:暑(3 73).解法- -.73 (33 V3初中升高中数学教材变化分析解法二:解:=-3 (3 . 3)(3 . 3)(3、、3)=3^3 39 3=3(、、3 1)6=.3 12.3 (3、、3)=—3 V3试比较下列各组数的大小: (1) ..12 '.诃禾口、、仃110 ;(1) V J2.1112 11111 1011 -101= 丽3^3 1)_ 1 = _______________ = .3 1(.3 1)C 3 1)J 2)_ 6^ _ 、石)(.12 ;11)和 2.2— 6 . .12 ,11(、石 *10)(、11 ”10) 、石;10又. .12、一 11 5^ ,10 ,••• .,12 ,11 v .11.(2).. 2运—庇 2屁苗212-46)(242+46)又 4>2 2, _• ° •号 6 + 4 > . 6 + 2 习 2,• 一2 v 2、、2—•、6..6 4化简:C.3 , 2)2004 ( -.. 3 . 2) 2005解:(、、3 , 2)2004 ( .3、、2严=,2)2004 ( -.3 ,2)2004 (-. 3= C3、、2 C3 =12004(4 2、2+ 6 ,3 11 .12 11 ' __ 1 ___ 11 '一 10 '2,2+「6’.2 ) 2004 (「3.2)5化简:2) = .3、、2 .(1) .9 4*5 ;(2)x 2解: (1)原式(2)原式={(x *).(5)2 2 2 -5 221 x••• 06 已知xx 1 ,-丄3 2 、3 2 ,y1 22(0 x 1).x7(2 V5)2 2 71 x ,所以,原式=-x密茫,求3x 2 5xy 3y 2的值.、3 <2解:「X y :3 : ;〕2 (―2)2do , 32 3 2Xy.3, 2 , 3 . 2 1,2 2 2 2…3X 5xy 3y 3(X y) 11xy 3 1011 289 .练 习1.1.4 .分式1.分式的意义 形如A 的式子,若B 中含有字母,且B 0,则称A 为分式.当MHO 时,分BB式A 具有下列性质:BA A MA A MB B M 'B B M *上述性质被称为分式的基本性质. 2.繁分式a像_^ , m n p 这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式. c d _2m_n P例1若空匕 A —,求常数A,B 的值.X (X 2) X X 21. 填空:1 (1)(2) (3) (4) 13若.、(5 x)(x 3)2 (X 3)、、亍,则X 的取值范围是4.24 6,54 3 .96 2. 150 若X 巨,则、厂 ''厂22. 选择题:.立3. 4.(B )1U ,求 a a 1比较大小:2— 3 _______ ; 5— 4 (填b 的值. (C )N”.(D )0X 2解:~A B• ____ _x x 2.A B 5,2A 4,(1)试证: A(x 2) Bx (A B)x 2A 5x 4 x(x 2) 解得 x(x 2) x(x 2) 2,B 1.2. 3.4.(1) (2) (2)(3) 证明:1 n 12 3证明:对任意大于 计算: 1 n(n 1) 1 1 2(其中n 是正整数);1 9 10 '的正整数n ,有二 —2 3 3 41n(n 1)解:由 1 2(3)证明:..1 1• -------n n 1. 1n(n 1)(1)可知丄L2 31 12 3 3 41 n(n 1), (其中n 是正整数)成立.n n(n 1) 1 n 1 (n 1)19 10 1 1 1 -)( )1 2 2 31 1 1 1— _ (― 一)(— n(n 1) 2 3 31又n 》2且n 是正整数,二.11, 1 1 • • LV2 3 3 4 n(n 1)2且 e >1, 2c 2 — 5ac + 2a 2_0, 解:在2c 2— 5ac + 2a 2_0两边同除以a 2,得2呂—5e + 2_ 0,• (2e — 1)(e — 2)_ 0,1• e _ 2 V 1,舍去; •- e _ 2.或 e = 2. 一定为正数,求e 的值.丄 10910_丄_ 2习填空题: 选择题: 若) (A)对任意的正整数 2x yx正数x,y 满足 x 2 n ,1n(n 2)(丄n(B)2xy ,求 54x yx的值.y(C ) 4(D)计算丄- 99 100习题1. 1 A 组1.解不等式:(1) (3) 2 .已知x y 1 , x 1 3;(2) x 3x 27 ;x 1 x 1 6 .3xy 的值. 求 x 3 y 3 3. 填空:(1) (2) (3)(2 .3)18(2若,(T 1 .2a)21,(1 a)22 , 1__ ?则a 的取值范围是1 4「51.填空:(1) a2.1.(2)若 x 2xy 2y 2已知:x 1 2,y3a 2 2 3a 5ab 2b2小0,则—xy yx y _x . y ab 2 _________________22 _ __ ---------y」y _的值.x yC 组选择题: ((A ) a b(B ) a b(C ) a b 0 (D ) b a 0( 2)计算a :等于( )(A) < ~(B ) ■- a (C )-(D ) 、、a2.解方程2(x 2丄)13(x -)1 0 .x x3.计算:-——-1 L 1.132 43 59 114.试证:对任意的正整数 n ,有1L -1 1 —<-.b 2 一 ab 、、b a若 则)a () n(n 1)(n2) 2 3 41 2 3 1.2因式分解因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解 法,另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法例1分解因式: (1) x 2-3x + 2;(2) x 2 + 4x —(3) x 2 (a b )xy aby 2 ; (4) xy 1 x y .解:(1)如图1. 1- 1,将二次项x 2分解成图中的两个x 的积,再将常数项 2分解成一1与一2的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为一 3x ,就是 x 2-3x + 2中的一次项,所以,有x 2- 3x + 2 = (x - 1)(x - 2).说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1. 1- 1中的两个x 用1来表示(如图1. 1-2所示).(2) 由图1. 1-3,得x 2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6).(3) 由图1. 1-4,得2 2x (a b)xy aby = (x ay)(x by) x―1(4) xy 1 x y = xy + (x - y) — 1y ”1=(x - 1) (y+1)(如图 1. 1-5 所示).图 1. 1-5课堂练习一、填空题:1、把下列各式分解因式: (1) 2 x 5x 6 。
初高中数学衔接教材(共28页)
创作编号:BG7531400019813488897SX创作者:别如克*初高中数学衔接教材目录引入乘法公式第一讲因式分解1.1 提取公因式1.2. 公式法(平方差,完全平方,立方和,立方差)1.3分组分解法1.4十字相乘法(重、难点)1.5关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解.第二讲函数与方程2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2 根与系数的关系(韦达定理)2.2 二次函数2.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用第三讲三角形的“四心”乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:(1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=-; (2)完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+. 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:(1)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+; (2)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-;(3)三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++; (4)两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++; (5)两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-. 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例1 计算:22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++.解法一:原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++ =61x -.解法二:原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +-=61x -.例2 已知4a b c ++=,4ab bc ac ++=,求222a b c ++的值. 解: 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=.创作编号:BG7531400019813488897SX 创作者: 别如克*练 习1.填空:(1)221111()9423a b b a -=+( ); (2)(4m + 22)164(m m =++ );(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ ).2.选择题: (1)若212x mx k ++是一个完全平方式,则k 等于 ( )(A )2m (B )214m (C )213m (D )2116m (2)不论a ,b 为何实数,22248a b a b +--+的值( )(A )总是正数 (B )总是负数(C )可以是零 (D )可以是正数也可以是负数第一讲 因式分解因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法.1.十字相乘法例1 分解因式:(1)x 2-3x +2; (2)x 2+4x -12; (3)22()x a b xy aby -++; (4)1xy x y -+-.解:(1)如图1.1-1,将二次项x 2分解成图中的两个x 的积,再将常数项2分解成-1与-2的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3x ,就是x 2-3x +2中的一次项,所以,有x 2-3x +2=(x -1)(x -2).说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1.1-1中的两个x 用1来表示(如图1.1-2所示).(2)由图1.1-3,得-1 -2 x x 图1.1-1 -1 -2 1 1 图1.1-2 -2 6 1 1 图1.1-3 -ay -by x x 图1.1-4x 2+4x -12=(x -2)(x +6). (3)由图1.1-4,得22()x a b xy aby -++=()()x ay x by -- (4)1xy x y -+-=xy +(x -y )-1=(x -1) (y+1) (如图1.1-5所示).课堂练习一、填空题:1、把下列各式分解因式:创作编号:BG7531400019813488897SX 创作者: 别如克*(1)=-+652x x __________________________________________________。
初高中数学衔接教材(第二课时)因式分解 立方和(差)公式
初高中数学衔接教材第二课时课前练习:解下列不等式:(1)21x -< (2)213x +> (3)13x x -+->4.1.1乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:(1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=-;(2)完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:(1)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+;(2)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-;(3)三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++;(4)两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++;(5)两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-例题解析:例1 计算:(1)22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++.(2)42(2)(2)(416)a a a a +-++例2 已知4a b c ++=,4ab bc ac ++=,求222a b c ++的值.例3.已知3321,013xx x x +=+-求的值.针对训练:1.填空,使之符号立方和或立方差公式:(1)(x-3)( )=x 3-27; (2)(2x+3)( )=8x 3+27;(3)(x 2+2)( )=x 6+8; (4)(3a-2)( )=27a 3-82.填空,使之符号立言和或立方差公式:(1)( )(a 2+2ab+4b 2)=__________; (2)( )(9a 2-6ab+4b 2)=__________;(3) ( )(41 -xy+4y 2)=__________; (4)( )(m 4+4m 2+16)=__________ 3.计算:(1)(y+3)(y 2-3y+9); (2)(c+5)(25-5c+c 2);(3)(2x-5)(4x 2+25+10x) (4)(2a+b)(4a 2-4ab+b 2)(5)(6)3.已知x 2+y 2=6,xy=2,求x 6+y 6的值.1.2 分解因式1.分组分解法例1 分解因式:(1)32933x x x +++; (2)12422+--a b a(3)ay bx by ax +-- (4)x x x x -+-235 (5)14424---a a a2.立方差公式例2.分解因式:(1)66b a - (2)3232)(b m b a m -+3.十字相乘法例3.分解因式:(1)226y xy x -- (2)12)(8)(222++-+x x x x(3)25122--x x (4)2675x x -+针对训练:(1)232)2(a x a -- (2)8a 3-b 3; (3)6466y x -(4)4)4)(2(2-++-x x x (5))(22a a x x --+ (6)y x xy -+-1\\(7)2265aax x +- (8)22352x xy y +- (9)m m x m x +++-22)12(。
初升高数学衔接教材(完整)
第一讲 数与式1、 绝对值(1)绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩(2)绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. (3)两个数的差的绝对值的几何意义:b a -表示在数轴上,数a 和数b 之间的距离.2、绝对值不等式的解法 (1)含有绝对值的不等式①()(0)f x a a <>,去掉绝对值后,保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。
②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后,保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。
③22()()()()f x g x f x g x >⇔>。
(2)利用零点分段法解含多绝对值不等式:①找到使多个绝对值等于零的点.②分区间讨论,去掉绝对值而解不等式.一般地n 个零点把数轴分为n +1 段进行讨论. ③将分段求得解集,再求它们的并集. 例1. 求不等式354x -<的解集例2.求不等式215x +>的解集例3.求不等式32x x ->+的解集例4.求不等式|x +2|+|x -1|>3的解集.例5.解不等式|x -1|+|2-x |>3-x .例6.已知关于x 的不等式|x -5|+|x -3|<a 有解,求a 的取值围. 练习解下列含有绝对值的不等式:(1)13x x -+->4+x(2)|x +1|<|x -2| (3)|x -1|+|2x +1|<4 (4)327x -<(5)578x +>3、因式分解 乘法公式(1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=- (2)完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+ (3)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ (4)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-(5)三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ (6)两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ (7)两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法.1.十字相乘法 例1 分解因式:(3)22()x a b xy aby -++; (4)1xy x y -+-.2.提取公因式法例2.分解因式:(1)()()b a b a -+-552(2)32933x x x +++3.公式法例3.分解因式: (1)164+-a (2)()()2223y x y x --+4.分组分解法例4.(1)x y xy x 332-+- (2)222456x xy y x y +--+- 5.关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解.若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ,则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式:练习(1)256x x -- (2)()21x a x a -++ (3)21118x x -+(4)24129m m -+ (5)2576x x +- (6)22126x xy y +-(7)()()3211262+---p q q p (8)22365ab b a a +- (9)()22244+--x x(10)1224+-x x (11)by ax b a y x 222222++-+-(12)91264422++-+-b a b ab a (13)x 2-2x -1(14) 31a +; (15)424139x x -+;(16)22222b c ab ac bc ++++; (17)2235294x xy y x y +-++-第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1)根的判别式对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),有:(1) 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根x 1,2=2b a-;(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根x 1=x 2=-2b a; (3)当Δ<0时,方程没有实数根.(2)根与系数的关系(韦达定理)如果ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根分别是x 1,x 2,那么x 1+x 2=b a -,x 1·x 2=ca.这一关系也被称为韦达定理.2、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,。
最新初高中数学衔接教材[新课标人教A版](学生版)(适用黑龙江)名师优秀教案
初高中数学衔接教材【学生版】{新课标人教A版}典型试题举一反三理解记忆成功衔接第一部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点第二部分分章节讲解第一部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点1 绝对值:⑴在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
⑵正数的绝对值是他本身,负数的绝对值是他的相反数,0的绝对值是0,即⑶两个负数比较大小,绝对值大的反而小⑷两个绝对值不等式:;或2 乘法公式:⑴平方差公式:⑵立方差公式:⑶立方和公式:⑷完全平方公式:,⑸完全立方公式:3 分解因式:⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法:①提公因式法,②运用公式法,③分组分解法,④十字相乘法。
4 一元一次方程:⑴在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1,这样的方程叫一元一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤:去分母,移项,合并同类项,未知数系数化为1。
⑶关于方程解的讨论①当时,方程有唯一解;②当,时,方程无解③当,时,方程有无数解;此时任一实数都是方程的解。
5 二元一次方程组:(1)两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
(2)适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解。
(3)二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解。
(4)解二元一次方程组的方法:①代入消元法,②加减消元法。
6 不等式与不等式组(1)不等式:①用符不等号(>、≠、<)连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式,不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数,不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向相反。
(2)不等式的解集:①能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
(3)一元一次不等式:左右两边都是整式,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
初高中数学衔接课(高一)PPT课件图文(2024)
02
展示正弦函数、余弦函数、正切函数的图像,分析三角函数的
周期性、奇偶性、单调性等性质。
三角恒等变换
03
介绍三角恒等式,如和差化积、积化和差等公式,以及它们在
三角函数计算中的应用。
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数列与数学归纳法
2024/1/29
数列的概念及表示方法
阐述数列的定义、数列的通项公式及递推公式等基础知识 。
等差数列与等比数列
详细讲解等差数列和等比数列的定义、性质及求和公式。
数学归纳法及其应用
介绍数学归纳法的原理及步骤,通过实例演示数学归纳法 在证明数列问题中的应用。
14
04
初高中数学衔接关键点分析
2024/1/29
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思维方式转变
从具象到抽象
初中数学以具象思维为主,而高 中数学则更强调抽象思维,需要 学生逐渐适应并培养抽象思维能
力。
从静态到动态
初中数学问题多为静态的,而高 中数学则涉及更多动态变化的问 题,需要学生理解并掌握变量之
间的关系。
从单一到多元
初中数学知识点相对单一,而高 中数学知识点更加多元化,需要 学生建立多元化的知识体系和思
维方式。
2024/1/29
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学习方法调整
2024/1/29
课前预习与课后复习
高中数学内容相对复杂,需要学生做好课前预习和课后复习,加 深对知识点的理解和记忆。
教材内容
涵盖初中数学与高中数学衔接部 分的核心知识点,包括函数、方 程、不等式、数列、概率统计等
。
2024/1/29
教材结构
按照知识模块进行划分,每个模块 包含知识点讲解、例题分析、练习 题等内容,便于学生理解和掌握。
辅助资源
初升高数学衔接教材 第01章 第04节 充分条件与必要条件(解析版)
第一章第四节充分条件与必要条件一、电子版教材二、教材解读知识点一 充分条件、必要条件的判断1.若p ⇒q ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件。
2.若p ⇒q ,但qp ,则称p 是q 的充分不必要条件. 3.若q ⇒p ,但pq ,则称p 是q 的必要不充分条件. 4.若p q ,且q p ,则称p 是q 的既不充分也不必要条件.【例题1】(2020·广东省增城中学高二期中)已知:2p x >,:1q x >,则p 是q 的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】设命题p :2x >对应的集合为{|2}A x x =>,命题q :1x >对应的集合为{|1}B x x =>,因为A B,所以命题p 是命题q 的充分不必要条件.【例题2】(2020·全国高一)“3m ≤”是“2m ≤”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】“2m ≤”⇒“3m ≤”,反之不成立,因此“3m ≤”是“2m ≤”的必要不充分条件.【例题3】(2020·天津一中高二期末)设x ∈R ,则“12x <<”是“|2|1x -<”的( ) A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】21121,13x x x -<∴-<-<<<,又1,2⇒()1,3,所以“12x <<”是“21x -<”的充分不必要条件,选A.【例题4】(2020·全国高一)“1x >且2y >”是“3x y +>”的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当1x >且2y >时,3x y +>成立,反过来,当3x y +>时,例:4,0x y ==,不能推出1x >且2y >.所以“1x >且2y >”是“3x y +>”的充分不必要条件.知识点二 充分条件、必要条件、充要条件的应用1.记集合A ={x |p (x )},B ={x |q (x )},若p 是q 的充分不必要条件,则A B ,若p 是q 的必要不充分条件,则B A .2.记集合M ={x |p (x )},N ={x |q (x )},若M ⊆N ,则p 是q 的充分条件,若N ⊆M ,则p 是q 的必要条件,若M =N ,则p 是q 的充要条件.【例题5】(2019·辛集市第二中学高二期中)若“满足:20x p +<”是“满足:220x x -->”的充分条件,求实数p 的取值范围.【解析】由20x p +<,得2p x <-,令2p A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭, 由220x x -->,解得2x >或1x <-,令{}21B x x x =><-或,由题意知A B ⊆时,即12p -≤-,即2p ≥, ∴实数p 的取值范围是[)2,+∞.【例题6】(2020·四川省雅安中学高二月考(文))若关于x 的不等式()22210x a x a a -+++≤的解集为A ,不等式322x-≥的解集为B . (1)求集合A ;(2)已知B 是A 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.【解析】(1)原不等式可化为:()()10x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦,解得1a x a ≤≤+,所以集合{}|1A x a x a =≤≤+;(2)不等式322x-≥可化为:321222x x x --=≥--0,等价于()()212020x x x --≥⎧⎪⎨-≠⎪⎩,解得122x ≤<, 所以集合1|22B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭, 因为B 是A 的必要不充分条件,所以A B , 故1212a a ⎧≥⎪⎨⎪+<⎩,解得112a ≤<.知识点三 充要条件的证明1.一般地,如果既有p ⇒q ,又有q ⇒p ,就记作p ⇔q .此时,我们说,p 是q 的充分必要条件,简称充要条件.概括地 说,如果p ⇔q ,那么p 与q 互为充要条件.【例题7】(2020·全国高一)已知0ab ≠,求证:1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++-=-.【解析】(1)证明必要性:因为1a b +=,所以10a b +-=.所以()()()33222222a b ab a b a b a ab b a ab b ++--=+-+--+ ()()221a b a ab b =+--+ 0=.(2)证明充分性:因为33220a b ab a b ++--=,即()()2210a b a ab b +--+=,又0ab ≠,所以0a ≠且0b ≠. 因为22223024b a ab b a b ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭, 所以10a b +-=,即1a b +=.综上可得当0ab ≠时,1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++--=.【例题8】(2020·上海高一课时练习)求证:一元二次方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.【解析】 (1)必要性:因为方程20ax bx c ++=有一正根和一负根,所以240b ac ∆=->为12120(,c x x x x a=<方程的两根),所以ac <0. (2)充分性:由ac <0可推得Δ=b 2-4ac >0及x 1x 2=<0(x 1,x 2为方程的两根).所以方程ax 2+bx +c =0有两个相异实根,且两根异号,即方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根. 综上所述,一元二次方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.【例题9】(2020·全国高一课时练习)证明:如图,梯形ABCD 为等腰梯形的充要条件是AC BD =.【解析】证明:(1)充分性.在等腰梯形ABCD 中,AB DC =,ABC DCB ∠=∠,又∵BC CB =,∴BAC CDB ≅,∴AC BD =.(2)必要性.如图,过点D 作//DE AC ,交BC 的延长线于点E .∵//AD BE ,//DE AC ,∴四边形ACED 是平行四边形.∴DE AC =.∵AC BD =,∴BD DE =,∴1E ∠=∠.又∵//AC DE ,∴2E ∠=∠,∴12∠=∠.在ABC 和DCB 中,,21,,AC DB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC DCB ≅.∴AB DC =.∴梯形ABCD 为等腰梯形.由(1)(2)可得,梯形ABCD 为等腰梯形的充要条件是AC BD =.三、素养聚焦1.“220a b +>”是“0ab ≠”的( ).A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件 【答案】B【解析】当0a =,0b ≠时,满足220a b +>,但0ab =,所以“220a b +>”是“0ab ≠”的非充分条件;反之,当0ab ≠时,0a ≠且0b ≠,所以20a >且20b >,所以220a b +>,所以“220a b +>”是“0ab ≠”的必要条件.2.设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由2()0a b a -<一定可得出a b <;但反过来,由a b <不一定得出2()0a b a -<,如0a =,故选A.3.“1x >-”是“20x +>”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】202(1,)x x +>∴>--+∞ (2,)-+∞所以“1x >-”是“20x +>”的充分不必要条件4.3x >是3x >的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件【答案】B【解析】33x x >⇒>或3x <-. 即3x >,x <-3或3x >;反之33x x >⇒>. 所以3x >是3x >的必要非充分条件.5.下列各组命题中,满足α是β的充要条件的是( ) A . :||ab ab α=,:0ab β≥0B .:α数a 能被6整除,:β数a 能被3整除C .:a b α<,:1a bβ< D .若a ,b R ∈,22:0a b α+≠,:,a b β都不为0 【答案】A 【解析】对于选项A,因为:||ab ab α=等价于,a b 同号或至少一个为0,等价于:0ab β≥0,所以αβ⇔,则A 正确;对于选项B,:β数a 能被3整除,当9a =,αβ⊂,即α是β的不必要条件,故B 错误;对于选项C,当4,2a b =-=-时,21a b=>,故βα⊂,α是β的不充分条件,故C 错误; 对于选项D,若a ,b R ∈,22:0a b α+≠,当0,1a b ==时,βα⊂,α是β的不充分条件,故D 错误.6.“3x y +≠”是“1x ≠或2y ≠”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件【答案】A【解析】命题若“3x y +≠”,则“1x ≠或2y ≠”的等价命题是:若“1x =且2y =”,则“3x y +=”,当“1x =且2y =”成立时,显然3x y +=成立,当3x y +=时,不一定能推出1x =且2y =,例如2,1x y ==,满足3x y +=,但1x =且2y =不成立,因此“1x =且2y =”是“3x y +=”的充分不必要条件,所以“3x y +≠”是“1x ≠或2y ≠”的充分不必要条件.7.设x ∈R ,则“220x x -<”是“12x -<”的( )A .充分不必要条件B .充要条件C .必要不充分条件D .既不充分又不必要条件【答案】A【解析】解不等式220x x -<得;{|02}A x x =<<, 解不等式12x -<得:{|13}B x x =-<<,因为A 是B 的真子集,所以“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件.8.设R x ∈,则“20x -≥”是“11x -≤”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥,即2x ≤, 11x -≤,即111x -≤-≤,02x ≤≤,因为集合[]0,2是集合(],2-∞的真子集,所以“20x -≥”是“11x -≤”的必要不充分条件.9.0x y ⋅≠是指( )A .0x ≠且0y ≠B .0x ≠或0y ≠C .x ,y 中至少有一个不为零D .0x y ≠≠【答案】A【解析】0x y ⋅≠时0x ≠且0y ≠,0x ≠且0y ≠时0x y ⋅≠0x ≠或0y ≠时x y ⋅可以为零;x ,y 中至少有一个不为零时x y ⋅可以为零;0x y ⋅≠时x y ,可以相等;10.对于集合A ,B ,“A B ≠”是“A B A B ≠⋂⊂⋃”的( ) A .充要条件B .必要非充分条件C .充分非必要条件D .既非充分又非必要条件【答案】A【解析】因为A B A A B ⋂⊆⊆⋃, 所以“A B ≠”能推出“A B A B ≠⋂⊂⋃”,故充分; “A B A B ≠⋂⊂⋃” 能推出“A B ≠”,故必要; 所以“A B ≠”是“A B A B ≠⋂⊂⋃”的充要条件11.若:p “01b <<”,:q “21b <”,则p 是q 的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为2111b b <⇔-<<,所以p 是q 的充分不必要条件.12.“1x >”是“21x >”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为由1x >⇒21x >,由21x >推不出1x >,有可能1x <-,所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件,故本题选A.13.设x ∈R ,则“3x >”是“21x ≥”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当3x >时,291x >>,取2x =,则241x =>,当23<,故“3x > ”是“21x > ”的充分不必要条件,故选A.14.“”是“”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要 【答案】B 【解析】, 因此是的必要不充分条件.15.若“01x <<”是“()()20x a x a ⎡⎤--+≤⎣⎦”的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是( ) A .[]1,0-B .()1,0-C .(][),01,-∞⋃+∞D .(][),10,-∞-⋃+∞【答案】A【解析】记{}{}|01,|2A x x B x a x a =<<=≤≤+,因为p 是q 的充分而不必要条件,所以A ⊂B ,所以0,{21a a ≤+≥,解得10a -≤≤.故选A.16.()():220p x x -+>;:01q x ≤≤.则p 成立是q 成立的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】∵()()220x x -+>,∴22x -<<,又[0,1]⊂(-2,2),∴p 成立是q 成立的必要不充分条件,17.设a R ∈,则“2a =-”关于x 的方程“20x x a ++=有实数根”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当2a =-时,1490a ∆=-=> ,此时20x x a ++=有实数根;当20x x a ++=有实数根时,140a ∆=-≥,即14a ≤.18.设a R ∈,则“2a >”是“24a >”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若2a >,则必有24a >,故是充分的,若24a >,则2a >或2a <-,故不必要.因此应是充分不必要条件.19.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的值恒为正值的充要条件是( )A .240b ac ->B .240b ac -C .20,40a b ac >-<D .20,40a b ac -<【答案】C【解析】二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的值恒为正值,则函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象开口向上,且与x 轴没有交点,即20,40a b ac >-<.20.若集合{}23,A a =,{}2,4B =,则“2a =”是“{}4A B ⋂=”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵“2a =”{}3,4A ⇒=,又{}2,4B =,⇒ “{}4A B ⋂=”;但当2a =-时仍然有{}4A B ⋂=,故“{}4A B ⋂=”不能推出 “2a =”.∴“2a =”是“⇒”的充分不必要条件.21.若p 是r 的充分非必要条件,q 是s 的必要非充分条件,且r 是s 的充分非必要条件,则p 是q 的( )条件A .充分非必要B .必要非充分C .充要D .既非充分又非必要【答案】A【解析】因为p 是r 的充分非必要条件,q 是s 的必要非充分条件,且r 是s 的充分非必要条件, 即p r ⇒,r 不能推导p ;r s ⇒,s 不能推导r ;s q ⇒,q 不能推导s ;所以p q ⇒, q 不能推出p ,即p 是q 的充分非必要;22.设集合{}{}|03,|02,""""M x x N x x a M a N =<≤=<≤∈∈那么是的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为N ⊆M.所以“a ∈M”是“a ∈N”的必要而不充分条件.故选B .23.“,x y 中至少有一个小于零”是“0x y +<”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当,x y 中至少有一个小于零时,比如2,5x y =-=,此时30x y +=>,0x y +<不成立;反过来一定成立,假设结论不成立,则,x y 都不小于0,那么0x y +≥,与已知0x y +<矛盾,那么假设不成立,即,x y 中至少有一个小于零成立,所以“,x y 中至少有一个小于零”是“0x y +<”的必要不充分条件.24.“2320x x -+>”是“1x <或4x >”的( ).A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为2320x x -+>,所以1x <或2x >,所以“2320x x -+>”是“1x <或4x >”的必要不充分条件.25.设:p “函数()225f x x mx m =-+在(],2-∞-上单调递减”, :q “0x ∀>,33823x m x +≥-”,则p 是q 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】因为函数()225f x x mx m =-+在(],2-∞-上单调递减,所以24m -≥--,即8m ≥-.因为0x ∀>时,33828x x +≥=, 所以“0x ∀>,33823x m x +≥-”等价于38m -≤,即5m ≥-, 因为集合[)[)5,8,-+∞-+∞,所以p 是q 的必要不充分条件.26.设x ∈R ,则“x >1”是“2x >1”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由1x >可得21x >成立,反之不成立,所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件27.设x ∈R ,则“|x -2|<1”是“x 2+x -2>0”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由“|x ﹣2|<1”得1<x <3,由x 2+x ﹣2>0得x >1或x <﹣2,即“|x ﹣2|<1”是“x 2+x ﹣2>0”的充分不必要条件,28.命题“[]1,2x ∀∈,220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是() A .1a ≤B .2a ≤C .3a ≤D .4a ≤【答案】A【解析】若“[]1,2x ∀∈,220x a -≥”为真命题,可得[]22,1,2x a x ≥∈恒成立 只需2min (2)2a x ≤=, 所以1a ≤时,[]1,2x ∀∈,220x a -≥”为真命题,“[]1,2x ∀∈,220x a -≥”为真命题时推出2a ≤,故1a ≤是命题“[]1,2x ∀∈,220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件, 选A.29.(多选题)对任意实数a ,b ,c ,下列命题中正确的是( )A .“a b =”是“ac bc =”的充要条件B .“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件C .“a b >”是“22a b >”的充分条件D .“5a <”是“3a <”的必要条件E.“a b >”是“22ac bc >”的必要条件【答案】BDE【解析】A 中“a b =”⇒“ac bc =”为真命题,但当c =0时,“ac bc =”⇒“a b =”为假命题, 故“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件,故A 为假命题;B 中“a +5是无理数”⇒“a 是无理数”为真命题,“a 是无理数”⇒“a +5是无理数”也为真命题, 故“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件,故B 为真命题;C 中“a b >” ⇒ “22a b >” 为假命题,“22a b >” ⇒“a b >”也为假命题,故“a b >”是“22a b >”的即不充分也不必要条件,故C 为假命题;D 中{|3}a a <是{|5}a a <的真子集,故“5a <”是“3a <”的必要条件,故D 为真命题.E 中当c =0时,“a b >” ⇒ “22ac bc >”为假命题,“22ac bc >” ⇒ “a b >”为真命题,故“a b >”是“22ac bc >”的必要条件,故E 为真命题;30.(多选题)下列说法中正确的是( )A .“AB B =”是“B =∅”的必要不充分条件B .“3x =”的必要不充分条件是“2230x x --=”C .“m 是实数”的充分不必要条件是“m 是有理数”D .“1x =”是“1x =”的充分条件【答案】ABC【解析】由A B B =得B A ⊆,所以“B =∅”可推出“A B B =”,反之不成立,A 选项正确; 解方程2230x x --=,得1x =-或3x =,所以,“3x =”的必要不充分条件是“2230x x --=”,B 选项正确;“m 是有理数”可以推出“m 是实数”,反之不一定成立,C 选项正确; 解方程1x =,得1x =±,则“1x =”是“1x =”必要条件,D 选项错误.31.(多选题)下面命题正确的是( )A .“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B .命题“任意x ∈R ,则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ,则210x x ++≥”.C .设,x y R ∈,则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件D .设,a b ∈R ,则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件【答案】ABD【解析】对于A ,1110a a a -<⇔>()10a a ⇔->0a ⇔<或1a >,则“1a >”是“11a <”的充分不必要条件,故A 对;对于B ,全称命题的否定是特称命题,“任意x ∈R ,则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ,则210x x ++≥”,故B 对;对于C ,“2x ≥且2y ≥” ⇒ “224x y +≥”, “2x ≥且2y ≥” 是 “224x y +≥”的充分条件,故C 错;对于D ,00ab a ≠⇔≠,且0b ≠,则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件,故D 对; 32.(多选题)对任意实数a ,b ,c ,给出下列命题:①“a b =”是“ac bc =”的充要条件;②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件;③“4a <”是“3a <”的必要条件;④“a b >”是“22a b >”的充分条件.其中真命题是( ).A .①B .②C .③D .④【答案】BC【解析】①由“a b =”可得ac bc =,但当ac bc =时,不能得到a b =,故“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件,故①错误;②因为5是有理数,所以当5a +是无理数时,a 必为无理数,反之也成立,故②正确;③当4a <时,不能推出3a <;当3a <时,有4a <成立,故“4a <”是“3a <”的必要不充分条件,故③正确.④取1a =,2b =-,此时22a b <,故④错误;。
初升高数学衔接教材(完整)
第一讲数与式1、绝对值(1)绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即a, a 0,|a|0, a 0,a, a 0.(2)绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离.(3)两个数的差的绝对值的几何意义: a b 表示在数轴上,数a和数b之间的距离.2、绝对值不等式的解法(1)含有绝对值的不等式① f (x) a(a 0), 去掉绝对值后,保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。
② f (x) a(a 0) , 去掉绝对值后,保留其等价性的不等式是 f (x) a或f (x) a 。
③ 2 2f (x) g(x) f (x)g (x)。
(2)利用零点分段法解含多绝对值不等式:①找到使多个绝对值等于零的点.②分区间讨论,去掉绝对值而解不等式.一般地n 个零点把数轴分为n+1 段进行讨论.③将分段求得解集,再求它们的并集.例1. 求不等式3x 5 4的解集例2. 求不等式2x 1 5的解集例3. 求不等式x 3 x 2 的解集例4. 求不等式| x+2| +| x-1| >3 的解集.1例5. 解不等式| x-1| +|2 -x| >3-x.例6. 已知关于x 的不等式| x-5| +| x-3| <a 有解,求 a 的取值范围.练习解下列含有绝对值的不等式:(1)x 1 x 3 >4+x(2)| x+1|<| x-2|(3)| x-1|+|2 x+1|<4(4)3x 2 7(5) 5x 7 83、因式分解乘法公式(1)平方差公式 2 2(a b)( a b) a b(2)完全平方公式 2 2 2(a b) a 2ab b(3)立方和公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b(4)立方差公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b(5)三数和平方公式 2 2 2 2(a b c) a b c 2(ab bc ac)(6)两数和立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b2(7)两数差立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法.1.十字相乘法例1 分解因式:2(1)x -3x+2;(2)26x 7x 2(3) 2 ( ) 2x a b xy aby ;(4)xy 1 x y .2.提取公因式法例2. 分解因式:2 (2)x3 9 3x2 3x (1)ab 5 a 5 b3.公式法例3. 分解因式:(1)a4 16 (2) 23x 2y x y2 4.分组分解法2例4. (1)x xy 3y 3x (2)2 22x xy y 4x 5y 65.关于x 的二次三项式ax2+bx+c( a≠0) 的因式分解.若关于x 的方程 2 0( 0)ax bx c a 的两个实数根是x1 、x2 ,则二次三项式2 ( 0)ax bx c a 就可分解为a(x x )(x x ).1 2例5. 把下列关于x 的二次多项式分解因式:(1) 2 2 1x x ;(2)2 4 4 2 x xy y .3练习 (1) 25 6xx (2) 21 x ax a(3) 2 11 18xx (4)24m 12m 9(5)25 7x 6x(6) 2212xxy 6y2q p ( 7) 6 2p q 1123( 8 )35a 2b 6ab2a( 9 )24 2 4 xx2(10) x 42x 2 1 (11) x 2 y 2 a 2 b 2 2ax 2by(12) a 24ab 4b 2 6a 12b 9(13) x 2-2x -1(14) 31a;(15)4 24x 13x 9 ;(16)2 22 2 2b cab ac bc ;(17)2 23x 5xy 2y x 9y 4第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1) 根的判别式2对于一元二次方程 ax +bx +c =0(a ≠0),有:(1) 当Δ>0 时,方程有两个不相等的实数根x 1,2=,2=24 bbac 2a;(2)当 Δ=0 时,方程有两个相等的实数根 x 1=x 2=- b 2a;(3)当 Δ<0 时,方程没有实数根. (2) 根与系数的关系(韦达定理)2如果 ax +bx +c =0(a ≠0)的两根分别是 x 1,x 2,那么 x 1+x 2=b a ,x 1· x 2=c a.这一关系也被称为韦达 定理.2、二次函数2y ax bx c 的性质1. 当 a 0 时,抛物线开口向上,对称轴为xb 2a,顶点坐标为 2b4ac b , 。
初高中数学衔接教材 §2.1 一元二次方程(含答案)
初高中数学衔接教材 2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式{情境设置:可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法,如求方程的根: (1)0322=-+x x ;(2)0122=++x x ;(3)0322=++x x 。
} 用配方法可把一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)变为2224()24b b ac x a a -+=①a ≠0,∴4a 2>0。
于是(1)当b 2-4ac >0时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根x 1,2=2b a-±;(2)当b 2-4ac =0时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根x 1=x 2=-2b a;(3)当b 2-4ac <0时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根。
由此可知,一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的情况可以由b 2-4ac 来判定,我们把b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示。
综上所述,对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),有(1)当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根,x 1,2(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根,x 1=x 2=-2ba; (3)当Δ<0时,方程没有实数根。
例1 判定下列关于x 的方程的根的情况(其中a 为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根。
(1)x 2-3x +3=0;(2)x 2-ax -1=0;(3) x 2-ax +(a -1)=0;(4)x 2-2x +a =0。
解:(1)∵Δ=32-4×1×3=-3<0,∴方程没有实数根。
(2)该方程的根的判别式Δ=a 2-4×1×(-1)=a 2+4>0,所以方程一定有两个不等的实数根12a x +=,22a x -=(3)由于该方程的根的判别式为Δ=a 2-4×1×(a -1)=a 2-4a +4=(a -2)2,所以,①当a =2时,Δ=0,所以方程有两个相等的实数根x 1=x 2=1; ②当a ≠2时,Δ>0, 所以方程有两个不相等的实数根x 1=1,x 2=a -1。
初高中数学衔接教材
初高中数学衔接教材前言二次函数、二次方程、二次不等式在高中数学中占有重要地位,是高中数学学习的基础,在高中学习中一直是“重头戏”,高中函数、三角、解析几何的许多内容都与二次函数、二次方程、二次不等式有关.高中数学中有许多重要的基础性知识应用广泛,如一元二次方程根的分布、一元三次方程与不等式、高次不等式、含参数的不等式解法、“打勾函数”、恒成立问题、存在性问题、分式函数的值域等,这些知识在初高中教材中又是不常见的,几乎没有,本书在这些方面作一些补充和尝试.本书可以作为初高中衔接的教材,也是高一新生的入门教材,在高一阶段也可作为校本教材使用.目 录第一章 一元二次方程 (1)1.1一元二次方程的判别式及其作用 ...............................................................1 1.2一元二次方程根的求解 ...........................................................................1 1.3 韦达定理及其应用 .................................................................................6 1.4一元三次方程根的求解 (8)第二章 二次函数 (12)2.1二次函数常见的三种表达形式 ………………………………………………………12 2.2 二次函数在特定区间内的值域(最值) …………………………………………………17 2.3函数m x a y -=(m a ,为常数,且0≠a )的图象和性质 …………………………21 2.4函数n x b m x a y -+-=(n m b a ,,,为常数,且0≠ab )的图象和性质 ……24 2.5 “耐克函数”a a x a x y ,0(>+=为常数)与a a xax y ,0(<+=为常数)的图象和性质 26第三章 一元二次不等式 (29)3.1一元二次不等式02>++c bx ax 或02<++c bx ax (其中0≠a )的解法 (29)3.2 含参数的一元二次不等式的解法 ……………………………………………………35 3.3 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的研究 (39)第四章 高次不等式的解法 (47)第五章 简单分式函数的值域求法 (51)5.1 函数dcx bax y ++=(其中)0≠ac 的值域 (51)5.2 函数e dx cbx ax y +++=2(其中)0≠ad 的值域 (53)5.3 函数e dx cx b ax y +++=2(其中)0≠ac 与fex dx cbx ax y ++++=22(其中)0≠ad 的值域 55第六章 恒成立问题与存在性问题 (58)6.1恒成立问题与存在性问题两个常见结论 ......................................................58 6.2 二次函数的恒成立问题 (60)第一章 一元二次方程一元二次方程是高中数学学习的基础,在高中数学中占有十分重要的位置.一元二次方程根的求解、韦达定理、判别式、根的范围的分析等都是高中数学学习的基础.1.1一元二次方程的判别式及其作用对一般地,一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ,判别式ac b 42-=∆. 当0>∆时,方程有两个不等实根,当0=∆时,方程有两个相等实根, 当0<∆时,方程没有实数根.1.2一元二次方程根的求解一元二次方程根的求解常用三种办法:十字相乘法(因式分解),配方法,公式法. 1.2.1 十字相乘法(因式分解) 因式分解(分解因式),把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式.因式分解法就是通过因式分解将一元二次方程化成0))((=++d cx b ax 的形式(注意方程右边一定是0)从而得出a b x -=或cdx -=.十字相乘法(因式分解)是解一元二次方程最常用的方法,应用最为广泛,一定要掌握,并多加练习, 但只适用于左边易分解而右边是零的一元二次方程 .例1.2.1解下列一元二次方程 :(1) 06722=++x x ;(2) 022=--x x . 解:(1) 应用十字相乘法. 把22x 拆成x 2和x , 把6拆成2和3 x 2 3 (也可以拆成1和6 , 2和3 的位置也可变化, 具体取哪一种,要看 x 2 十字相乘能否凑成一次项的系数), 如右图,然后再将x 2和2相乘得x 4, 将x 和3相乘得到x 3,最后将x 4和x 3加起来,看是不是等于式子中的一次项x 7,如果是,就OK 了.0)2)(32(=++x x , 从而得它的两个根为21-=x ,232-=x .(2) 应用十字相乘法化为0)1)(2(=+-x x ,得它的两个根为21=x ,12-=x .1.2.2配方法 先把方程化为形如c b a c b ax ,,()(2=+为常数,0≠a )的方程,再用直接开平方法得方程的解.配方法是解一元二次方程公式法的基础,没有配方法就没有公式法.例1.2.2 解一元二次方程:0262=--x x .解:由0262=--x x ,得11)3(2=-x ,得113±=x .1.2.3 公式法 公式法是解一元二次方程的通法,较配方法简单.当十字相乘法(因式分解)较困难时,是解一元二次方程最常用的方法.对一般地,一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ,判别式ac b 42-=∆.当0>∆时,方程有两个不等实根,aacb b x 242-±-=;当0=∆时,方程有两个相等实根,ab x 2-=; 当0<∆时,方程没有实数根.例1.2.3 解一元二次方程:0242=--x x . 解:,2,4,1-=-==c b a 024)2(14)4(2>=-⨯⨯--=∆,方程有两个不等实根:622244±=±=x .课后作业1.2分别解下列一元二次方程.1.(1)01322=++y y ;(2)01092=--x x ; (3)031032=++x x .2.(1) 0262=--x x ; (2) 01562=-+x x ; (3)061352=-+x x .3.(1)02452=--x x ; (2) 081032=-+x x ;(3)01272=++x x .4.(1)0622=--x x ; (2) 0862=-+x x ;(3)022=++x x .5.(1)0152=+-x x ; (2) 0632=--x x ;(3)02722=++x x .6..; ;0432)3(0523)2(023)1(222=--=++-=+-x x x x x x7..; ;0162)3(0126)2(02073)1(222=+-=--=-+x x x x x x8.(1) 06122=--x x ; (2) 0671122=--x x ; (3) 06122=+-x x .9.已知m 是实常数,解下列一元二次方程:(1) 0222=-+m mx x ; (2) 05161222=+-m xm x .1.3 韦达定理及其应用对一般地,一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ,当判别式042≥-=∆ac b 时,方程有两个实根21,x x ,则有ac x x a b x x =⋅-=+2121,.例 1.3.1 已知21,x x 是方程 07232=--x x 的两根,求: 2221)1(x x +;221)()2(x x -;21)3(x x -.解:由韦达定理37,322121-=⋅=+x x x x .则(1) 946)37(2942)(212212221=-⨯-=-+=+x x x x x x . (2) 221)(x x -988)37(4944)(21221=-⨯-=-+=x x x x .(3) 2232)(22121=-=-x x x x .例1.3.2 已知21,x x 是下列各方程的两实根, 分别求221)(x x -:)31(333)2(022)1(2222222±≠=--=++-k b kx x k x k x k )(;)( .解:(1) 由韦达定理1,)2(2212221=⋅+=+x x kk x x .则 221)(x x -4242221221)1(164)2(44)(k k k k x x x x +=-+=-+=.(2) 0)327(18)31(222=+-+-b kx x k ,由韦达定理13327,13182221221-+=⋅-=+k b x x k k x x ,则 221)(x x -222222222221221)13()39(1213)327(4)13(3244)(--+=-+--=-+=k k b b k b k k x x x x .课后作业1.31.已知21,x x 是方程 04322=-+x x 的两实根,求:2221)1(x x +;221)()2(x x -;21)3(x x -.2.已知21,x x 是方程 05232=++-x x 的两实根,求)1)(1(21--x x 的值.3.已知21,x x 是方程03)12(2=+-+x k x 的两实根,若+21x x 0)1)(1(21=--x x , 求k 的值 .4.已知方程 02=++c bx ax 的两实根为2,-3,解方程02=+-c ax bx .5.已知2,121==x x 是方程 0)1(2=+++b x ab ax 的两实根,求b a ,的值.6.已知21,x x 是方程 0542=+-m x x 的两实根,若0)2)(2(21=++x x , 求m 的值 .7.已知21,x x 是方程[]421422=-++)(k kx x 的两根, 求221)(x x -.8.已知21,x x 是方程 0722=+-x x λ的两实根,若51221<+x x x x , 求实数λ的取值范围 .9.已知21,x x 是方程 06)12(32=+-+x a x 的两不等实根,若 121<-x x , 求实数a 的取值范围 .1.4一元三次方程根的求解 1.4.1一元三次方程猜根法求解高中数学中, 一元三次方程根的求解, 主要采用先猜一个有理根 , 再进行因式分解法求解.因式分解法不是对所有的三次方程都适用,只对一些三次方程适用.对于大多数的三次方程,只有先猜出它的一个有理根,才能作因式分解.当然,因式分解的解法很简便,直接把三次方程降次.一般地, 对一个一元三次方程:0012233=+++a x a x a x a , 如果它有有理根nmx =(既约分数),其中Z n m ∈,, 且0≠n , 则m 是0a 的约数,n 是3a 的约数.例1.4.1 解一元三次方程:0563=+-x x .解:5,603==a a , 则0a 的约数有5,1±±=m , 3a 的约数有6,3,2,1±±±±=n , 若原方程有有理根,则有理根必为65,61,35,31,25,21,5,1±±±±±±±±=x , 先猜简单的1-=x 为它的根,则该一元三次方程可化为0)566)(1(2=+-+x x x ,由于方程05662=+-x x 无实根,从而得它只有一个实数根:1-=x .例1.4.2 解一元三次方程:0223=-+x x .解:对左边作因式分解,得0)22)(1(2=++-x x x , 得方程只有一个实数根:1=x . 例1.4.3 解一元三次方程:02223=+--a a a .解:先猜一个根1=a ,则化为0)2)(1(2=---a a a ,再因式分解可得三个实数根1,1,2-=a .1.4.2一元三次方程卡尔丹公式法求解(含复数根)方程03=++q px x 的三个根为(其中231iw +-=, i 为虚数单位) 332332127422742p q q p q q x +--+++-=;3322332227422742p q q w p q q w x +--⋅+++-⋅=;3323322327422742p q q w p q q w x +--⋅+++-⋅=.标准型一元三次方程023=+++d cx bx ax (其中R d c b a ∈,,,,且0≠a ),令aby x 3-=代入上式,可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程03=++q py y .【卡尔丹判别法】 当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3>0时,方程有一个实根和一对共轭虚根; 当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0时,方程有三个实根,其中有一个两重根; 当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3<0时,方程有三个不相等的实根.1.4.3一元三次方程盛金公式法求解盛金公式法求解一元三次方程,在这里不作介绍,有兴趣可上网查询.相关链接:/s5518/msgview-49671-5.html1.4.4 一元三次方程的根与系数的关系方程023=++++d cx bx ax (其中R d c b a ∈,,,,且0≠a )的三个根为1x ,2x ,3x ,则))()((32123x x x x x x a d cx bx ax ---=+++,展开即得abx x x -=++321, a c x x x x x x =++133221, ad x x x -=⋅⋅321.课后作业1.4分别解下列一元三次方程:1.(1) 04115223=+-+x x x ; (2) 01223=--x x ;2.(1) 01323=--x x ; (2)04323=+-x x .3.(1) 063223=++-x x x ; (2)062523=+--x x x .4.(1) 02323=--+x x x ; (2)027523=-+-x x x .5.(1) 03323=+--x x x ; (2)03103=--x x .6.(1) 015323=++-x x x ; (2)041919623=---x x x .7.(1) 0577223=+--x x x ; (2)06174323=+--x x x .8.(1) 01216311023=-++x x x ; (2) 03118423=+-+x x x .第二章 二次函数二次函数的三种表示方法、二次函数的图象和性质以及二次函数的简单应用是本节内容的重点.在高中数学中,经常采用区间来表示相应的实数值的集合.具体规定如下:()a ,∞-表示小于a 的实数的集合{}a x x <; ()∞+,a 表示大于a 的实数的集合{}a x x>;(]a ,∞-表示小于等于a 的实数的集合{}a x x≤;[)∞+,a 表示大于等于a 的实数的集合{}a x x ≥;()b a ,表示大于a 且小于b (其中a b >)的实数的集合{}b x a x<<;[]b a ,表示大于等于a 且小于等于b (其中a b >)的实数的集合{}b x a x ≤≤;[)b a ,表示大于等于a 且小于b (其中a b >)的实数的集合{}b x a x<≤; (]b a ,表示大于a 且小于等于b (其中a b >)的实数的集合{}b x a x≤<.2.1二次函数常见的三种表达形式2.1.1交点式:))((21x x x x a y --=,其中点)0,(,)0,(21x x 为该二次函数与x 轴的交点.在画交点式图象时采用描点法,一般应画出下列关键点: ①x 轴上的交点)0,(1x ,)0,(2x ;②y 轴上的交点),0(21x ax ;③顶点(横坐标为221x x x +=);④其它特殊点(例如1±=x 等).例2.1.1 画出下列二次函数的图象: (1))2)(1(+-=x x y ;(2))5)(2(21+-=x x y ;(3))3)(1(2++-=x x y . 解: (1) (2) (3)k h x a y +-=2)(,其中点),(k h 2.1.2顶点式:为该二次函数的顶点.要求能够熟练作出顶点式函数的图象,熟练说出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性和函数的最大(小)值.二次函数k h x a y +-=2)(的图象开口由a 的正负决定:当0>a 时,开口向上;当0<a 时,开口向下.二次函数k h x a y +-=2)(的图象开口大小由a 决定:a 越大,开口越小;a 越小,开口越大.二次函数的单调性由a 的正负和对称轴决定:当0>a 时,开口向上时,在对称轴h x =的左侧(即h x <), 当x 增大时,y 随之减小(称之为单调递减,记为↓-∞),(h );在对称轴h x =的右侧(即h x >), 当x 增大时,y 随之增大(称之为单调递增,记为↑∞+),(h );当0<a 时,开口向下时,在对称轴h x =的左侧(即h x <), 当x 增大时,y 随之减小增大(称之为单调递增,记为↑-∞),(h );在对称轴h x =的右侧(即h x >), 当x 增大时,y 随之减少(称之为单调递减,记为↓∞+),(h );例2.1.2画出下列二次函数的图象, 并分别说出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性和函数的最大(小)值:(1)2)1(2+-=x y ;(2) 1)1(2-+-=x y .解:(1)如图2.1.2(1),开口向上, 对称轴1=x , 顶点坐标)2,1(,↑∞+↓-∞),1()1,(,2m i n =y ,无最大.(2) 如图2.1.2(2),开口向下, 对称轴1-=x , 图2.1.2(1) 图2.1.2(2)顶点坐标)1,1(--,↓∞+-↑--∞),1()1,(,1max -=y ,无最小.2.1.3一般式:)0(2≠++=a c bx ax y .要研究函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象和性质,一般应熟练把它化为顶点式:k h x a y +-=2)(,写出它的对称轴a b x 2-=和顶点坐标)44,2(2ab ac a b --,转化为上面的顶点式类型.)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与系数c b a ,,的关系:a 的正负由开口方向决定,当x0>a 时开口向上, 当0<a 时开口向下;b 的大小(正负)由对称轴abx 2-=和开口(a 的正负)联合决定;c 的大小(正负)由它的图象与坐标轴y 轴的交点),0(c 的位置决定 .如图 2.1.3,当判别式042>-=∆ac b 时, )0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点;当042=-=∆ac b 时,图象与x 轴有且只有一个公共点;当042<-=∆ac b 时,图象与x 轴没有公共点.当0>a 且判别式042<-=∆ac b 时,)0(2≠++=a c bx ax y 的图象恒在x 轴的上方.当0<a 且判别式042<-=∆ac b 时, )0(2≠++=a c bx ax y 的图象恒在x 轴的下方.图2.1.3(1)0,0>∆>a 图2.1.3(2)0,0=∆>a 图2.1.3(3)0,0<∆>a图2.1.3(4)0,0>∆<a 图2.1.3(5)0,0=∆<a 图2.1.3(6)0,0<∆<a例2.1.3把下列二次函数的一般式化为顶点式:(1)172-+=x x y ;(2)2522-+-=x x y ;(3)23212+-=x x y . 解:(1)45327(2-+=x y . (2)89)45(22+--=x y . (3)25)3(212--=x y .例2.1.4分别画出下列二次函数的图象, 并说出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性和函数的最大(小)值:(1)342++=x x y ;(2) 452-+-=x x y .解:(1)1)2(2-+=x y ,开口向上, 对称轴2-=x ,顶点坐标)1,2(--, ↑∞+-↓--∞),2()2,(,1min -=y ,无最大.(2)49)25(2+--=x y ,开口向下, 对称轴25=x , 顶点坐标)49,25(,↓∞+↑-∞),25()25,(,49max =y ,无最小.例 2.1.5 已知函数a x a ax x f +-+=)()(312在[)∞+,1上单调递增, 求实数a 的取值范围.解:0=a 或⎪⎩⎪⎨⎧≤->,1213,0aa a 得a 的取值范围是10≤≤a .课后作业2.11.分别画出下列二次函数的图象: (1))2)(1(-+=x x y ;(2))2)(23(31+-=x x y ;(3))1)(12(-+-=x x y .2.画出下列二次函数的图象, 并分别说出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性和函数的最大(小)值: (1)2)2(2--=x y ;(2) 5)2(2++-=x y ;(3)1)1(32+--=x y .3.把下列二次函数的一般式化为顶点式: (1) 33322-+-=x x y ; (2) 1532+-=x x y ; (3) x x y --=243.4.求下列函数的最大(或最小)值,并写出它的对称轴方程: (1) x x y 232--=; (2) 122-+=x x y .5.分别画出下列二次函数的图象, 并说出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性和函数的最大(小)值. (1) 142--=x x y ; (2) 1522++-=x x y ; (3)1232-+=x x y .6.分别求出下列二次函数图象在x 轴、y 轴上的交点坐标,判断开口方向,写出对称轴方程、顶点坐标,求出其最大值(或最小值),并画出图象: (1) x x y 22+-= ; (2) 2432--=x x y .7.分别求出下列二次函数图象在x 轴、y 轴上的交点坐标,判断开口方向,写出对称轴方程、顶点坐标,求出其最大值(或最小值),并画出图象: (1) 12+--=x x y ; (2) 132-+-=x x y .8.求下列函数的最大(或最小)值,并写出它的对称轴方程: (1) ;122+-=ax x y (2) .()012≠-+-=a x ax y2.2 二次函数在特定区间内的值域(最值)二次函数在特定区间内的值域(最值)求解的步骤:①先画出原函数在实数集R上的图象;②再在①的基础上画出它在特定区间内的图象;③ 根据图象得出该二次函数在特定区间内的值域(最值).例2.2.1求下列二次函数在特定区间内的值域:(1))21(2≤≤-=x x y ;(2))2(32≥+-=x x y ;(3))12(122<<---=x x x y .解:(1)值域[]4,0. (2)值域]1,(--∞. (3)值域⎪⎭⎫⎢⎣⎡-9,89. 例2.2.2求二次函数)21(2)(2≤≤--=x ax x x f 的最小值.解:二次函数对称轴a x =.当1-<a 时,如图2.2.2(1),a f x f 21)1()(min +=-=; 当21≤≤-a 时,如图2.2.2(2),2min )()(a a f x f -==; 当2>a 时,如图2.2.2(3),a f x f 44)2()(min -==.图2.2.2(1) 图2.2.2(2) 图2.2.2(3) 例2.2.3求二次函数)2(4)(2+≤≤+-=a x a x x x f 的最大值. 解:二次函数对称轴2=x ,开口向下.当0<a 时,如图2.2.3(1),2max 4)2()(a a f x f -=+=;图2.2.3(1) 图2.2.3(2) 图2.2.3(3) 当20≤≤a 时,如图2.2.3(2),4)2()(max ==f x f ;当2>a 时,如图2.2.3(3),2max 4)()(a a a f x f -==.例 2.2.4 已知函数)0(3)12()(2≠--+=a x a ax x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,23上的最大值为1,求实数a 的值.解:由于二次函数的最值必在端点或对称轴处取得,先由158)2(=-=a f 得43=a ,由12343)23(=--=-a f 得310-=a , 由14)12(12)221(2=---=-aa a a a f 得223±-=a . 经经验得适合条件的43=a ,或223--=a . 课后作业2.21.分别画出下列函数的图象:(1) )1232->-=x x x y (;(2))21(22≤<-+-=x x x y ; (3))1,2(422-<>++-=x x x x y 或.(1) (2) (3) 2.分别画出下列函数的图象:(1) )0(13212≤++-=x x x y ; (2) )31(342≤<--=x x x y ; (3) )1(12->+--=x x x y .(1) (2) (3)3.求下列函数的值域:(1))11(12≤≤-++-=x x x y ; (2))421(142<≤--=x x x y ; (3))11(1622≤≤-+-=x x x y .4.若二次函数)31(3)(2≤≤-+-=x m x x x f 的最大值为2 ,求m 的值.5.若二次函数)0(152)(2m x x x x f ≤≤-+-=的最大值为817,求m 的取值范围.6.求下列函数的值域:(1)1424++-=x x y ;(2)124++=x x y .7.求函数)11(1324≤≤-+-=x x x y 的值域.8.求函数)3(42<≤-=x m x x y 的值域.9.求二次函数)21(12)(2≤≤-+-=x ax x x f 的最小值.10.求函数)20(122≤≤-+-=x ax x y 的值域.11.若函数)10(8512≤≤+++-=x a ax x y 的最大值为25,求实数a .12.若0>a ,函数)11(12≤≤-++--=x b ax x y 的最大值为0 ,最小值为-4,求实数b a , 的值.13.求函数)11(132+≤≤-+-=a x a x x y 的值域.14.已知21,x x 是方程0622=++-a ax x 的两实根, 求2221)1()1(-+-x x 的最小值.15.若函数)5(462+≤≤+-=a x a x x y 的最大值为20,求实数a 的值.16.若函数)10(2≤≤-+=x a x ax y 的最大值为817,求实数a 的值.2.3函数m x a y -=(m a ,为常数,且0≠a )的图象和性质2.3.1 函数x y =与函数x y =的图象关系.把函数x y =的图象在x 轴下方部分翻转到x 轴上方即得函数x y =的图象.2.3.2 函数x y =与函数m x y -=的图象关系.把函数x y =的图象向右(0>m )或向左()0<m 平移m 个单位即得函数m x y -=的图象.2.3.3 函数x y =与函数x a y =(0>a )的图象关系.把函数x y =的图象中的折线的倾斜度变化一下 即得函数x a y =(0>a )的图象.思考题:①函数x y =与函数x a y =(0<a )的图象关系;②函数m x y -=与函数m x a y -=的图象关系.例2.3.1 解不等式x x -≥32.解:法一 讨论法 0≥x 时,1,32≥-≥x x x ;0≤x 时,3,32-≤-≥-x x x ;综上所述,原不等式的解集是{}13≥-≤x x x 或.法二 图象法 在同一坐标系下画出函数x y 2= 与x y -=3的图象,由x x -=32得1=x ;由x x -=-32 得3-=x ;如右图,得不等式的解集是{}13≥-≤x x x 或.例2.3.2 解不等式22-≤x x .解:法一 讨论法 2≥x 时,,22-≤x x 得2-≤x 不合;20<≤x 时,,22x x -≤得32≤x ,此时,320≤≤x ;0<x 时,,22x x -≤-得2-≥x ,此时,02<≤-x ;综上所述,原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-322x x .法二 图象法 在同一坐标系下画出函数x y 2= 与2-=x y 的图象,由x x -=22得32=x ;由x x -=-22 得2-=x ;如右图,得不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-322x x . 法三 平方法 两边平方得 22)2()2(-≤x x ,0)2()2(22≤--x x ,0)23)(2(≤-+x x ,得不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-322x x .例 2.3.3 解下列不等式:(1) 5132<-≤x ; (2)235>-x . 解:(1)2135-≤-<-x 或5132<-≤x ,134-≤<-x 或633<≤x , 所以不等式的解集是)2,1[]31,34( --. (2)先化为253>-x ,253>-x 或253-<-x ,即73>x 或33<x ,所以不等式的解集是),37()1,(∞+∞- .例2.3.4 讨论函数1-=x y 与函数x a y =(a 为常数,且0≠a )图象的交点个数. 解:当0<a 时,如图2.3.3(1), 两图象交点0个;当0<a 时,如图2.3.3(1), 两图象交点0个;当10<<a 或1>a 时,如图2.3.3(2), 2.3.3(3) 两图象交点2个; 当1=a 时,如图2.3.3(4), 两图象交点1个.图2.3.3(1) 图2.3.3(2) 图2.3.3(3) 图2.3.3(4)课后作业2.31.分别画出下列函数的图象:(1) 3-=x y ; (2) 12+=x y .2.分别解下列不等式:(1) 3≥x ; (2)2<x .3.分别解下列不等式:(1) 221≤-<x ; (2)312>+x .4.分别解下列不等式:(1) 143<-x ; (2)352≥-x .5.分别解下列不等式:(1) 13+>x x ; (2)522-≥-x x .6.分别解下列不等式:(1) 123+≤-x x ; (2)x x -<+112.7.分别解下列不等式:(1) 113>+-x x ; (2)452≤-+x x .8.分别解下列不等式:(1) 212+>-x x ; (2) 113-≤+x x .9.解关于x 的不等式:a x x +>2(a 为常数).10.解关于x 的不等式:32-≥-x a x (a 为常数).11.解关于x 的不等式:a x x -<2(a 为常数,且0≠a ).2.4函数n x b m x a y -+-=(n m b a ,,,为常数,且0≠ab )的图象和性质例2.4.1 画出函数21-+-=x x y 的图象. 解:当2≥x 时,32-=x y ,当21<≤x 时,1=y ,当1<x 时,x y 23-=,如右图例2.4.2 画出函数21---=x x y 的图象. 解:当2≥x 时,1=y , 当21<≤x 时,32-=x y , 当1<x 时,1-=y ,如右图例2.4.3 画出函数212-+-=x x y 的图象. 解:当2≥x 时,43-=x y ,当21<≤x 时,x y =, 当1<x 时,x y 34-=,如右图例2.4.4 画出函数212---=x x y 的图象.解:当2≥x 时,x y =, 当21<≤x 时,43-=x y , 当1<x 时,x y -=,如右图思考题:函数n x b m x a y -+-=的图象如何画最简便?课后作业2.41.分别画出下列函数的图象:(1)21++-=x x y ; (2)3212-++=x x y .2.分别画出下列函数的图象:(1)12+--=x x y ; (2)x x y 343--=.3. 若不等式a x x ≥+-2对任意的实数x 恒成立,求实数a 的取值范围.4.若不等式a x x 232212++<+-对任意的实数x 恒成立,求实数a 的取值范围.5.若存在实数x ,使得不等式a x x >--3成立,求实数a 的取值范围.6. 分别画出下列函数的图象:(1)221-++=x x y ; (2)22+-=x x y .7.分别画出下列函数的图象:(1)13+-=x x y ; (2)x x y 22--=.8.若不等式a x x >+--214对任意的实数x 恒成立,求实数a 的取值范围.2.5 “耐克函数”a a x a x y ,0(>+=为常数)与a a xax y ,0(<+=为常数)的图象和性质 2.5.1 函数的图象与性质“耐克函数”a a xax y ,0(>+=为常数)的图象, 因它的图象像个勾形,又俗称"打图2.5(1) 图2.5(2)勾函数",也称为"双勾函数".如图2.5(1).函数a a xax y ,0(<+=为常数)在↑-∞)0,(,在↑∞+),0(,如图2.5(2).例2.5.1 求函数)0,21(2≠≤<-+=x x xx y 且的值域.解:如右图,可知函数的值域是()[)∞+-∞-,223, .例2.5.2 画函数xx y 2-=的图象. 解:由0=y 得2±=x ,函数在()↑∞+,0↑-∞)0,(,图象如右图.2.5.2 函数a a xax y ,0(<+=为常数)单调性的证明 先证明函数a a xax y ,0(<+=为常数)在()∞+,0单调递增.设021>>x x ,则212121221121))(()()(x x x x a x x x ax x a x y y --=+-+=-, 因为021>>x x ,所以021>x x ,021>-x x ;又0<a ,所以021>-a x x , 从而021>-y y ,即21y y >,由定义可知,函数a a xax y ,0(<+=为常数)在()∞+,0单调递增.思考题:你能证明函数a a xax y ,0(<+=为常数)在)0,(-∞单调递增吗?课后作业2.5分别求下列函数的值域: 1.(1) )4(9≥+=x x x y ; (2) )1(41-<+=x xx y .2.(1) )0,42(4≠≤<-+=x x x x y 且; (2) )21(13≥-<+=x x xx y 或.3.(1) )2(14>-+=x x x y ; (2) )0(34<--=x x xy .4.(1) )1(114≠-+=x x x y ; (2) 1(128<-+=x x x y ,且)21≠x5.(1) )3(234>--=x x x y ; (2) )0(314<--=x x xy .6.(1) 1522++=x x y ; (2) 2322++=x x y .7.xx y 5-=(1>x ).8.xx y -+=213(3≥x ).yx第三章 一元二次不等式3.1一元二次不等式02>++c bx ax 或02<++c bx ax (其中0≠a )的解法一元二次不等式的一般形式是02>++c bx ax 或02<++c bx ax (其中0≠a ) .解一元二次不等式,应结合对应的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象进行记忆,必须熟练掌握.3.1.1如图 3.1.1(1),若判别式042>-=∆ac b ,设对应的一元二次方程02=++c bx ax 两个实根21,x x ,其中21x x <,则当0>a 时,不等式02>++c bx ax 的解集是{}12x x x x x <>或,不等式02<++c bx ax 的解集是{}21x x x x <<;如图3.1.1(2),当判别式042=-=∆ac b ,且0>a 时,不等式02>++c bx ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠∈a b x R x x 2,且,不等式02<++c bx ax 的解集是∅;如图3.1.1(3),当判别式042<-=∆ac b ,且0>a 时,不等式02>++c bx ax 的解集是R,不等式02<++c bx ax 的解集是∅.图3.1.1(1)0>∆ 图3.1.1(2)0= 图3.1.1(3)0<∆3.1.2如图 3.1.2(1),若判别式042>-=∆ac b ,设对应的一元二次方程02=++c bx ax 两个实根21,x x ,其中21x x <,则当0<a 时,不等式02>++c bx ax 的解集是{}21x x x x <<,不等式02<++c bx ax 的解集是{}12x x x x x <>或;如图3.1.2(2),当判别式042=-=∆ac b ,且0<a 时,不等式02>++c bx ax 的解集是∅,不等式02<++cbxax的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠∈abxRxx2,且;如图3.1.2(3),当判别式042<-=∆acb,0<a时,不等式02>++cbxax等式02<++cbxax的解集是R.图3.1.2(1)0>∆图3.1.2(2)0=∆图3.1.2(3)0<∆思考题:不等式02≥++cbxax和02≤++cbxax的解集分别是什么?3.1.3一元二次不等式和一元二次方程都是一元二次函数的特殊情况.一元二次方程)0(2≠=++acbxax的根21,xx就是一元二次函数)0(2≠++=acbxaxy的图象与x轴交点的横坐标;一元二次不等式02>++cbxax的解就是一元二次函数)0(2≠++=acbxaxy的图象在x轴上方的点对应的横坐标;一元二次不等式02<++cbxax的解就是一元二次函数)0(2≠++=acbxaxy的图象在x轴下方的点对应的横坐标.一元二次不等式、一元二次方程和一元二次函数是密切联系的,应该进行联系记忆与应用.3.1.4解一元二次不等式02>++cbxax或02<++cbxax(其中0≠a) 的标准步骤是:①先求判别式acb42-=∆.当0>∆时, 求出对应的一元二次方程)0(2≠=++acbxax的两个实根21,xx;②画出二次函数的草图;③根据图像和不等式的类型得它的解集.例3.1.1 解下列一元二次不等式:(1)06722<+-x x ;(2) 0342>+-x x .解:(1) 062449>⨯⨯-=∆,对应方程06722=+-x x 的两个根为23,221==x x ,根据对应二次函数图象开口向上, 得不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<223x x . (2)对应方程0342=+-x x 的两个根为3,121==x x ,根据对应二次函数图象开口向上, 得不等式解集为{}31><x x x 或 .例3.1.2 解下列一元二次不等式:(1)07522<+-x x ;(2)0752<-+-x x ; (3)05432≤++-x x .解:(1)03172425<-=⨯⨯-=∆,根据对应二次函数图象开口向上, 得解集为∅.(2) 03)7()1(425<-=-⨯-⨯-=∆,对应二次函数图象开口向下, 得解集为R.(3)对应方程05432=++-x x 的两个根为3192±=x ,根据对应二次函数图象开口向下, 得不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+≥-≤31923192x x x 或.例3.1.3 解一元二次不等式:5432≤-<-x x . 解:法一 54)2(32≤--<-x ,9)2(12≤-<x ,得123-<-≤-x 或321≤-<x ,从而得原不等式的解集是[)(]5,31,1 -.法二 先分别求出直线3-=y ,5=y 与函数x x y 42-=的图象的交点的横坐标.由542=-x x ,得5=x 或1-=x , 由342-=-x x ,得3=x 或1=x ,如图,由图象可知原不等式的解集是[)(]5,31,1 -.例 3.1.4 若一元二次不等式02≥++c bx ax 的解集是{}41≤≤x x ,解不等式02<++c ax bx .解:根据抛物线的开口与解集的关系可知0<a ,且对应的对应的一元二次方程02=++c bx ax 的两个实根4,121==x x ,依韦达定理得⎪⎩⎪⎨⎧===-=+,4,52121a c x x a b x x ⎩⎨⎧=-=⇒,4,5a c a b 代入得0452<++-a ax ax , 即有0452<--x x ,从而得不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-154x x .课后作业3.1分别解下列一元二次不等式:1.(1)042>-x ; (2) 0232≤-x .2.(1)022>--x x ; (2) 0322≥+--x x .3.(1)0752>++x x ; (2)0432<+-x x ; (3)0162≥--x x .4.(1)0652>--x x ; (2) 0742>--x x .5.(1) 08232≤+--x x ; (2)0432≥-+-x x .6.(1)0682≤--x x ; (2) 0622≥+--x x ;7.(1) 01422>+-x x ; (2)091242>+-x x ; (3) 0962≤+-x x .8.(1)06722≥++x x ; (2) 0962≤+-x x .9.(1)0252042<+-x x ; (2) 0151482>+--x x .10.(1)01032>-+x x ; (2) 099102<-+x x .11.(1)0252≤++-x x ; (2)02322<-+-x x .12.(1)01232>+-x x ; (2)061362≤+-x x .13.(1)0362≤--x x ; (2) 0162492≥-+-x x .14.(1)02632>+-x x ; (2) 0622<-+x x .15.(1) 0532≤--x x ; (2)01692>+-x x .16.(1) 05442≥--x x ; (2) 04922>+-x x .17.(1)02322≤-+x x ; (2) 01262>--x x .18.(1)0141332≤+-x x ; (2)0313102≤++-x x .19.(1)514212<--≤x x ; (2)1332>+->x x .20.若一元二次不等式0)1(2>--+c x b x 的解集是{}31-<>x x x 或,求不等式022≥+-b x cx 的解.21.若一元二次不等式02>++c bx ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2131x x,求不等式 02<++a bx cx 的解.3.2 含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论(讨论应要求一步到位,避免讨论中又有讨论),讨论时考虑以下几个方面: ①一元二次不等式,对应的一元二方程是否有根,需要讨论方程的判别式Δ的正负或零;②一元二次不等式,对应的一元二方程有两不等实根,则需要讨论两根的大小,先考虑两根相等;③应对一元二次不等式的二次项的系数的正负进行分类讨论.例3.2.1已知a 为实常数,解下列关于x 的不等式:(1) 012>++ax x ; (2) 0)()2(222≥+-++a a x a x .解: (1) 42-=∆a , 由0=∆得2±=a . 当2±=a 时, 解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠2a x x ; 当2>a 或2-<a 时, 不等式的解集是⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+->---<242422a a x a a x x 或;当22<<-a 时, 解集是R .(2) 先用十字相乘法把不等式化为0)1)(2(≥++-a x a x ,由0)1(2>---a a得32->a . 当32->a 时,不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥--≤21a x a x x 或;当32-=a 时,不等式的解集是R ;当32-<a 时,不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--≥21a x a x x 或. 例3.2.2已知a 为实常数,解下列关于x 的不等式:0122<+-x ax . 解: a 44-=∆,由0=∆得1=a .当0>∆且0≠a 时,对应方程的两个根aax -±=112,1. 当0<a 时, 不等式的解集是⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-->-+<a a x a a x x 1111或;当0=a 时, 不等式即为021<-x ,解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21x x ; 当10<<a 时, 不等式的解集⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-->>-+a a x a a x 1111;当1≥a 时, 不等式的解集是∅.例3.2.3 当a 为何值时, 关于x 的不等式01)3()9(22<-+--x a x a 对任意实数恒成立?解:当0392=+=-a a ,即3-=a 时,适合,3=a 显然不合;当092≠-a 时, 要使关于x 的不等式01)3()9(22<-+--x a x a 对任意实数恒成立,须满足⎩⎨⎧<-++=∆<-,0)9(4)3(,09222a a a 即⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-,593,33a a 得593<<-a ; 综上所述,a 的取值范围是593<≤-a .课后作业3.2已知: a 为实常数 , 分别解下列关于x 的不等式: 1.0)1(2<++-a x a x .2.0)33()2(2>+--+a x a x .3. 03222≤-+a ax x .4. 033)12(22<+-++a a x a x .6. 01242≤+-ax x .7. 01)2(2>++-x a x .8.0222>+-a x x .9.03)16(22>-++-a x a x .10.012>--+a x ax .11.012>+--a x ax .12.0)1(22≤++-a x a ax .13.02)12(2≥++-x a ax .15.022>--a x ax .16.01422≤+++a x ax .17.0)14(4)1(2>+-+-a ax x a .18.若关于x 的不等式06)1(22>++-x a ax 对任意实数恒成立,求a 的取值范围.19. 已知不等式0622<+-k x kx (常数0≠k ).(1) 如果不等式的解集是{}2,3->-<x x x 或,求常数k 的值; (2) 如果不等式的解集是实数集R ,求常数k 的取值范围.3.3 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的研究一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的研究,一般有两种方法:一是利用韦达定理(只适用于两个根与0的关系),如类型1,2,3等;二是利用对应的二次函数c bx ax x f ++=2)(的四要素(开口, 对称轴, 判别式, 根的范围的端点值)进行研究, 如类型4,5,6,7,8,9,10,11,12等.类型1:两根均为不同正根⎝⎛>=>-=+>-=∆⇔.0,0,0421212a c x x a bx x ac b例3.3.1若关于x 的方程)0(01)21(2≠=+-+a x a ax 的两根均为正根,求a 的取值范围.解: ⎝⎛>=>-=+≥--=∆,01,012,04)21(21212a x x a a x x a a 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><>-≤+≥,,或,或0021232232a a a a a 得232+≥a .类型2:两根均为不同负根⎝⎛>=<-=+>-=∆⇔.0,0,0421212a cx x a bx x ac b例3.3.2 若关于x 的方程)0(01)21(2≠=+-+a x a ax 的两根均为负根,求a 的取值范围.解: ⎝⎛>=<-=+≥--=∆.01,012,04)21(21212a x x a a x x a a 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<-≤+≥,,,或021*******a a a a 得2320-≤<a .y类型3:两根为一正一负021<=⇔acx x .例3.3.3 若关于x 的方程)0(01)21(2≠=+-+a x a ax 的两根异号,求a 的取值范围. 解:0121<=ax x 得0<a .类型4:两根均为大于m 的不同根⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆⇔.0)(,2,042m f a m a b ac b例3.3.4已知方程0)3(42=++-a x ax )0(≠a 有两个大于1的不等实根,求实数a 的取值范围.解:⎪⎩⎪⎨⎧>+-=∆>>-=0)3(416,12,0)12()1(a a aa a af ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<<>⇒,14,20,021a a a a 或得121<<a .类型5:两根均为小于m 的不同根⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅<->-=∆⇔.0)(,2,042m f a m a b ac b例 3.3.5 若关于x 的方程)0(0)3(42≠=++-a a x ax 的两根均小于2,求a 的取值范围.解:⎪⎩⎪⎨⎧>-=⋅<≥+-=∆0)55()2(220)3(416a a f a aa a ,,⎪⎩⎪⎨⎧<><≤≤⇒,或>,或1-40110,a a a a a 得04<≤a -.类型6:两根中一根小于m ,另一根大于m 0)(<⋅⇔m f a例3.3.6若关于x 的方程)0(0)3(42≠=++-a a x ax 的两根中一根小于-2,另一根大于-2 ,求a 的取值范围.解:0)115()2(<+=-a a af ,得0511<<-a . 类型7:两根均为),(n m 内的不同根()n m <⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<><-<>-=∆⇔.,0)(0)(,2,042n af m af n a b m ac b例3.3.7已知方程015)34(22=++-x a x 的两不等根均在区间)5,2(内,求实数a 的取值范围.解:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++-=>++-=<+<>-+=∆,015)34(550)5(015)34(28)2(,54342,0120)342a f a f a a ,(得⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<<<--<->,25,817,417454330243302a a a a a ,或 得实数a 的取值范围是81743302<<-a . 类型8:两根均为),(n m 外的不同 根()n m <⎩⎨⎧<<⇔.,0)(0)(n af m af例3.3.8若关于x 的方程)0(015)34(2≠=++-a x a ax 的两根中一根小于1,另一根大于3 , 求a 的取值范围.解:⎩⎨⎧<-=<-=0)36()3(0)312()1(a a af a a af ,⎩⎨⎧<><>⇒,或,或0204a a a a 得4>a 或0<a .类型9:两根中一根在),(11n m ,另一根在),(22n m (2211n m n m <≤<) ⎩⎨⎧<<⇔.0)()(,0)()(2211n f m f n f m f例3.3.9若关于x 的方程)0(015)34(2≠=++-a x a ax 的两根中一根在(1, 2),另一根在(3, 5) , 求a 的取值范围.解:⎩⎨⎧<⋅-=<--=05)36()3()3(0)49)(312()2()1(a a f f a a f f ,⎪⎩⎪⎨⎧<><<⇒,或,02449a a a 得449<<a .类型10:两根中至少有一根大于m⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆⇔0)(,2,042m f a m a b ac b 或0)(≤⋅m f a (等式应独立验证).例3.3.10已知方程0)3(42=++-a x ax 至少有一个大于1的实根,求实数a 的取值范围.类型11:两根中至少有一根小于m⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅<->-=∆⇔0)(,2,042m f a m a b ac b 或0)(≤⋅m f a (等式应独立验证). (此类问题也可转化为函数值域问题)例3.3.11已知方程0)3(42=++-a x ax 至少有一个小于2的实根,求实数a 的取值范类型12:两根中至少有一根在),(n m 内()n m <例3.3.12已知方程0)3(42=++-a x ax 至少有一根在)5,2(内,求实数a 的取值范课后作业3.31.若关于x 的方程03)12(2=-++-a x a x 有两个不等正根,求实数a 的取值范围.2.若关于x 的方程012=++-a ax x 有两个不等负根,求实数a 的取值范围.3.若关于x 的方程014)2(2=+++-a x x a 有一正一负的两根,求实数a 的取值范围.4.已知关于x 的方程023222=---a x ax 的一根大于1,另一根小于1,求实数a的取值范围.5.已知关于x 的方程0)320(2=-+-a ax x 的两个不同根21,x x 满足2131x x <<<,求实数a 的取值范围.6.已知关于x 的方程012)2(2=-+-+a x a x 的两个不同根21,x x 满足21021<<<<x x , 求实数a 的取值范围.7.已知关于x 的方程07)25()3(2=++-+x a x a 在()1,0和()3,2各有一根,求实数a 的取值范围.。
初高中数学衔接教材[新课标人教A版]
初高中数学衔接教材{新课标人教A版}第一部分如何做好初高中衔接 1-3页第二部分现有初高中数学知识存在的“脱节” 4页第三部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 5-9页第四部分分章节讲解 10-66页第五部分衔接知识点的专题强化训练 67-100页第一部分,如何做好高、初中数学的衔接● 第一讲如何学好高中数学●初中生经过中考的奋力拼搏,刚跨入高中,都有十足的信心、旺盛的求知欲,都有把高中课程学好的愿望。
但经过一段时间,他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学,而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩,有些章节如听天书。
在做习题、课外练习时,又是磕磕碰碰、跌跌撞撞,常常感到茫然一片,不知从何下手。
相当部分学生进入数学学习的“困难期”,数学成绩出现严重的滑坡现象。
渐渐地他们认为数学神秘莫测,从而产生畏惧感,动摇了学好数学的信心,甚至失去了学习数学的兴趣。
造成这种现象的原因是多方面的,但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。
下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。
希望同学们认真吸取前人的经验教训,搞好自己的数学学习。
一高中数学与初中数学特点的变化1 数学语言在抽象程度上突变。
不少学生反映,集合、映射等概念难以理解,觉得离生活很远,似乎很“玄”。
确实,初、高中的数学语言有着显著的区别。
初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。
而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2 思维方法向理性层次跃迁。
高中数学思维方法与初中阶段大不相同。
初中阶段,很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式,如解分式方程分几步;因式分解先看什么,再看什么。
即使是思维非常灵活的平面几何问题,也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。
因此,初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。
高中数学在思维形式上产生了很大的变化,数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。
高一数学 初高中衔接教材 数与式课件
㈡分组分解法
对于四项或四项以上的多项式,如果既没 有公式可用,也没有公因式可以提取,则可以 先将多项式分组处理,这种利用分组来因式分 解的方法叫做分组分解法.
★分组分解的关键是适当分组
用分组分解法,一定要想想分组后能否 继续完成因式分解,由此合理选择分组的 方法.
㈢十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数,把某些二次 三项式ax2+bx+c分解因式的方法叫做十字 相乘法.
an bn
an1
bn1
特别地:
a1 b1
a0 b0
an xn an1xn1 a2 x2 a1x a0 0 an an1 a1 a0 0
多项式的赋值
在展开式
kx b n an xn an1xn1 a2 x2 a1x a0
令x=0,则 bn a0
即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)
(3)二次项系数a一般都把它看作是正数(如 果是负数,则应提出负号,利用恒等变形把 它转化为正数).
㈣求根公式法
要把二次三项式ax2+bx+c在实数范围内 分解因式,可先用求根公式求出相应的一元 二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1和x2,然 后分解成ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),这种因 式分解的方法叫做求根公式法.
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
乘乘法法公公式式应应用用举举例 例
一、填空题训练 二、解答题剖析
一、填空题
逆用完全平方公式
1.若 x2 y 2 2x 则2 y代 2数式0,
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《初高中数学衔接教材》序言童永奇高一新生,你们好,祝贺大家考入临潼区马额中学!进入我校,同学们必须努力学好《初高中数学衔接教材》,理由如下:一方面,由于我校是普通农村高中学校,生源质量相对较差;另一方面,由于高中数学是初中数学的延伸与拓展,初中我们学到的知识、方法在高中会经常使用。
既然学习《初高中数学衔接教材》如此重要,那么我们应该如何学习呢?提几点建议:一、“信心”是源泉。
人缺乏信心,就丧失了驱动力,终将一事无成。
二、“恒心”是保障。
人缺乏恒心,将“三天打鱼,两天晒网”。
三、“巧心”是支柱。
人无巧心,就缺乏灵气和创造力。
最后,衷心祝愿同学们在《初高中数学衔接教材》的学习中获得成功,请将那么成功的经验及时告诉我们,以便让更多的朋友分享你们成功的喜悦!临潼区马额中学高一数学校本教材童永奇结合我校学生的实际情况——基础知识较差,能力较差,没有掌握较好的学习方法,特设计适合我校高一学生使用的校本教材。
主要包括以下两个容:一是《怎样学好数学》,二是《初高中数学衔接》。
怎样学好数学?A.要学好数学,就应该了解数学本身具有的三大特点。
(一)抽象性:数学的抽象性是无条件的,它的概念一经产生和定义之后,就稳定下来并且被看作是已知的,它们与现实的比较不是数学本身,而是它的应用问题。
(二)严谨性:由于数学的严谨性,人们往往认为数学是一种“冷而严肃的美”。
罗素说:“数学,如果正确地看它,不但拥有真理,而且也是具有至高的美,正像雕刻的美,是一种冷而严肃的美,这种美不是投合我们天性的微弱的方面,这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰,它可以纯净到崇高的地步,能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。
”(三)应用的广泛性:在任何一个领域,只要能从数学的角度提出问题,数学就能给出与所提问题的精确度相符合的答案,数学的这种威力恰恰是来源于它的抽象性。
B.要学好数学,就应该重视数学思想方法的学习。
数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程,是在多次领悟、反复应用的基础上形成的,所以一道题做完后,就应该进行反思,回味解题中所使用的思想方法。
这正是一个理想的领悟机会,也是我们自己反思、归纳、总结,提炼升华的基础。
解析几何的创建者笛卡儿说得好:“走过两遍的路就是方法”。
解题时走了一遍,解题后又走了一遍,这就是两遍。
这么一来,这道题在你手里就不再是一道题,而是一种方法。
C.要学好数学,就应该学会解题时如何进行思维。
从心理学角度说,解题过程是解题者面临新问题,而自己没有现存对策时所引起寻求解决问题办法的一种心理活动,主要是思维过程对思维活动这一系列过程的反映,在信息上就是收集、存储、加工和应用;在知识体系上就是联系、转换和应用过程;在解题策略上就是方法的选择和调整过程。
D.要学好数学,就应该培养自己迎难而上、顽强拼搏的精神。
比如:数学大师——欧拉,60多岁双目失明,一场大火又吞没了他的研究成果,他毫不气馁,发誓说:“如果命运是块玩石,我就化作大铁锤,将它砸得粉碎!”此后17年,他在黑暗中摸索奋斗,又发表了400多篇论文和多部专著。
E.要学好数学,就应该学会辩证思维。
所谓辩证思维,就是用运动的和寻求联系的观点、方法来思考,用辩证法来揭示事物的本质,这种思维方法能使学习和研究问题更加深入,更加触及数学本质;它既是思维发展最活跃,最富有创造性的高级阶段,也是辩证法在中学数学中的生动体现。
因此,在解题时,应善于运用辩证思维方法分析问题,从而制定解题策略,把握解题规律。
F.要学好数学,就应该有意识地提高自己的自学能力。
有了自学能力,就能广泛猎取知识,见多识广,利于开发智力,提高逻辑思维能力、空间想象能力、推理论证能力、独创思维能力以及运用能力等。
.G要学好数学,就应该加强训练。
要真真正正地做到:勤于动手,勤于动脑,积极思考,勇于探索,大胆实践。
.H要学好数学,还应该注重多看一些有关的参考资料。
目的:加深对教材知识的理解,开阔自己的知识视野,进一步提高自己分析问题、解决问题的能力,进一步领会灵活运用各种技巧、定理、公式在解题中的重要作用。
对于一些好的解(证)法也应单独摘录出来;对于一些归纳、总结性的结论及一些常用技巧等也应摘录出来(此外,对于自己做题中所出现的一些典型错误,不但要摘录出来,而且要彻底搞清错误的根源及如何准确求解)。
这样做,对于学习数学来说,也是一种提高!最后,愿与各位同学共勉:相信自我,战胜自我,超越自我!!要踏,就请踏一路青春的风采;要走,就请走一程无怨无悔的人生!初高中数学衔接前言现有初高中数学知识存在以下“脱节”:1.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。
2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要 求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的重要容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要容,高中教材却未安排专门的讲授。
6.图像的对称、平移变换,初中只作简单介绍,而在高中讲授函数后,对其图像的上、下;左、右平移,两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。
7.含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求,只作定量研究,而高中这部分容视为重难点。
方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8.几何部分很多概念(如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理,射影定理,相交弦定理等)初中生大都没有学习,而高中都要涉及。
另外,像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。
第一讲 数与式(一)1.1 数与式的运算 1.1.1.绝对值绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义:b a -表示在数轴上,数a 和数b 之间的距离. 例1 解不等式:13x x -+->4.练 习 1.填空题:(1)若5=x ,则x =_________;若4-=x ,则x =_________.(2)如果5=+b a ,且1-=a ,则b =________;若21=-c ,则c =________. 2.选择题:下列叙述正确的是 ( )(A )若a b =,则a b = (B )若a b >,则a b > (C )若a b <,则a b < (D )若a b =,则a b =± 3.化简:|x -5|-|2x -13|(x >5).1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=-; (2)完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+. 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:(1)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+; (2)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-;(3)三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++; (4)两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++; (5)两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-. 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例1 计算:22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++.例2 已知4a b c ++=,4ab bc ac ++=,求222a b c ++的值.练 习 1.填空题:(1)221111()9423a b b a -=+( ); (2)(4m + 22)164(m m =++ );(3)2222(2)4(a b c a b c +-=+++ ).2.选择题:(1)若212x mx k ++是一个完全平方式,则k 等于 ( ) (A )2m (B )214m (C )213m (D )2116m(2)不论a ,b 为何实数,22248a b a b +--+的值 ( )(A )总是正数 (B )总是负数(C )可以是零 (D )可以是正数也可以是负数1.1.3.二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b 21x ++,22x y ++等是有理式.1.分母(子)有理化把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化,需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数,等等. 一般地,,b 与b 互为有理化因式. 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运用公式0,0)a b =≥≥;而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行运算;二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1 将下列式子化为最简二次根式:(1 (20)a ≥; (30)x <.例2 (3.例3 试比较下列各组数的大小:(1 (2.例4 化简:20042005⋅.例 5 化简:(1; (21)x <<.例 6 已知x y ==22353x xy y -+的值 . 练 习 1.填空题:(1=__ ___;(2(x =-x 的取值围是_ _ ___;(3)=__ ___;(4)若x ==______ __. 2.选择题:=成立的条件是 ( ) (A )2x ≠ (B )0x > (C )2x > (D )02x <<3.若b =,求a b +的值.4.比较大小:2-4(填“>”,或“<”).第二讲 数与式(二)1.1.4.分式1.分式的意义形如A B 的式子,若B 中含有字母,且0B ≠,则称A B 为分式.当M ≠0时,分式AB具有下列性质: A A M B B M ⨯=⨯; A A MB B M÷=÷. 上述性质被称为分式的基本性质. 2.繁分式像ab c d+,2m n pm n p +++这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.例1 若54(2)2x A Bx x x x +=+++,求常数,A B 的值.例2 (1)试证:111(1)1n n n n =-++(其中n 是正整数);(2)计算:1111223910+++⨯⨯⨯; (3)证明:对任意大于1的正整数n , 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+.例3 设c e a=,且e >1,2c 2-5ac +2a 2=0,求e 的值.练 习1.填空题:对任意的正整数n ,1(2)n n =+ (112n n -+).2.选择题:若223x y x y -=+,则xy= ( ) (A )1 (B )54 (C )45 (D )653.正数,x y 满足222x y xy -=,求x y x y-+的值.4.计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯.习题1.1 A 组1.解不等式:(1) 13x ->; (2) 327x x ++-< ; (3) 116x x -++>.2.已知1x y +=,求333x y xy ++的值. 3.填空题:(1)1819(2(2-=________;(22=,则a 的取值围是________; (3+=________.B 组1.填空题:(1)12a =,13b =,则2223352a ab a ab b -=+-____ ____; (2)若2220x xy y +-=,则22223x xy y x y ++=+__ __;2.已知:11,23x y ==的值. C 组1.选择题:(1=( )(A )a b < (B )a b > (C )0a b << (D )0b a <<(2)计算 ( )(A (B (C ) (D )2.解方程22112()3()10x x x x+-+-=.3.计算:1111132435911++++⨯⨯⨯⨯. 4.试证:对任意的正整数n ,有111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++<14.1.2 分解因式因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法.1.十字相乘法例1 分解因式:(1)x 2-3x +2; (2)x 2+4x -12; (3)22()x a b xy aby -++; (4)1xy x y -+-.2.提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式:(1)32933x x x +++; (2)222456x xy y x y +--+-.3.关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解.若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ,则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式:(1)221x x +-; (2)2244x xy y +-.练 习 1.选择题:多项式22215x xy y --的一个因式为 ( ) (A )25x y - (B )3x y - (C )3x y + (D )5x y - 2.分解因式:(1)x 2+6x +8; (2)8a 3-b 3;(3)x 2-2x -1; (4)4(1)(2)x y y y x -++-.习题1.21.分解因式:(1) 31a +; (2)424139x x -+;(3)22222b c ab ac bc ++++; (4)2235294x xy y x y +-++-.2.在实数围因式分解:(1)253x x -+ ; (2)23x --;(3)2234x xy y +-; (4)222(2)7(2)12x x x x ---+. 3.ABC ∆三边a ,b ,c 满足222a b c ab bc ca ++=++,试判定ABC ∆的形状. 4.分解因式:x 2+x -(a 2-a ).第三讲 函数与方程(一)3.1根的判别式 我们知道,对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a -+=. ① 由此可知,一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的情况可以由b 2-4ac 来判定,我们把b 2-4ac叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示.综上所述,对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),有(1) 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根:x 1,2=2b a -±;(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根:x 1=x 2=-2ba;(3)当Δ<0时,方程没有实数根.例1 判定下列关于x 的方程的根的情况(其中a 为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根.(1)x 2-3x +3=0; (2)x 2-ax -1=0;(3) x 2-ax +(a -1)=0; (4)x 2-2x +a =0.说明:在第3,4小题中,方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化,于是,在解题过程中,需要对a 的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.3.2根与系数的关系(韦达定理)若一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个实数根12b x a -+=,22b x a--=,则有1222b bx x a a-+===-;221222(4)42244b b b b ac ac c x x a a a a a-+---=⋅===. 所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:如果ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根分别是x 1,x 2,那么x 1+x 2=b a -,x 1·x 2=ca.这一关系也被称为韦达定理.特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x 2+px +q =0,若x 1,x 2是其两根,由韦达定理可知x 1+x 2=-p ,x 1·x 2=q ,即 p =-(x 1+x 2),q =x 1·x 2,所以,方程x 2+px +q =0可化为 x 2-(x 1+x 2)x +x 1·x 2=0,由于x 1,x 2是一元二次方程x 2+px +q=0的两根,所以,x 1,x 2也是一元二次方程x 2-(x 1+x 2)x +x 1·x 2=0.因此有以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x +x 1·x 2=0.例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2,求它的另一个根及k 的值.分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出k 的值,再由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项,于是可以利用两根之积求出方程的另一个根,再由两根之和求出k 的值.例3 已知关于x 的方程x 2+2(m -2)x +m 2+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m 的值.分析:本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程,从而解得m 的值.但在解题中需要特别注意的是,由于所给的方程有两个实数根,因此,其根的判别式应大于零.说明:(1)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的围,然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值,取满足条件的m 的值即可.(1)在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零.因为,韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根.例4 已知两个数的和为4,积为-12,求这两个数.分析:我们可以设出这两个数分别为x ,y ,利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解.例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2+5x -3=0的两根. (1)求| x 1-x 2|的值;(2)求221211x x +的值;(3)x 13+x 23.说明:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会遇到求这一个量的问题,为了解题简便,我们可以探讨出其一般规律:设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),则12b x a -+=,22b x a--=,∴| x 1-x 2|===. 于是有下面的结论:若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),则| x 1-x 2|=||a (其中Δ=b 2-4ac ). 今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论.例6 若关于x 的一元二次方程x 2-x +a -4=0的一根大于零、另一根小于零,数a 的取值围. 练 习 1.选择题:(1)方程2230x k -+=的根的情况是 ( ) (A )有一个实数根 (B )有两个不相等的实数根(C )有两个相等的实数根 (D )没有实数根(2)若关于x 的方程mx 2+ (2m +1)x +m =0有两个不相等的实数根,则实数m 的取值围是( ) (A )m <14 (B )m >-14 (C )m <14,且m ≠0 (D )m >-14,且m ≠0 2.填空题:(1)若方程x 2-3x -1=0的两根分别是x 1和x 2,则1211x x += . (2)方程mx 2+x -2m =0(m ≠0)的根的情况是 . (3)以-3和1为根的一元二次方程是 .3|1|0b -=,当k 取何值时,方程kx 2+ax +b =0有两个不相等的实数根?4.已知方程x 2-3x -1=0的两根为x 1和x 2,求(x 1-3)( x 2-3)的值.习题 A 组1.选择题:(1)已知关于x 的方程x 2+kx -2=0的一个根是1,则它的另一个根是( ) (A )-3 (B )3 (C )-2 (D )2 (2)下列四个说法:①方程x 2+2x -7=0的两根之和为-2,两根之积为-7;②方程x 2-2x +7=0的两根之和为-2,两根之积为7;③方程3 x 2-7=0的两根之和为0,两根之积为73-; ④方程3 x 2+2x =0的两根之和为-2,两根之积为0.其中正确说法的个数是 ( )(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个(3)关于x 的一元二次方程ax 2-5x +a 2+a =0的一个根是0,则a 的值是 ( ) (A )0 (B )1 (C )-1 (D )0,或-12.填空题:(1)方程kx 2+4x -1=0的两根之和为-2,则k = .(2)方程2x 2-x -4=0的两根为α,β,则α2+β2= .(3)已知关于x 的方程x 2-ax -3a =0的一个根是-2,则它的另一个根是 .(4)方程2x 2+2x -1=0的两根为x 1和x 2,则| x 1-x 2|= .3.试判定当m 取何值时,关于x 的一元二次方程m 2x 2-(2m +1) x +1=0有两个不相等的实数根?有两个相等的实数根?没有实数根?4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程x 2-7x -1=0各根的相反数.B 组1.选择题:若关于x 的方程x 2+(k 2-1) x +k +1=0的两根互为相反数,则k 的值为( ) (A )1,或-1 (B )1 (C )-1 (D )0 2.填空题:(1)若m ,n 是方程x 2+2005x -1=0的两个实数根,则m 2n +mn 2-mn 的值等于 .(2)如果a ,b 是方程x 2+x -1=0的两个实数根,那么代数式a 3+a 2b +ab 2+b 3的值是 .3.已知关于x 的方程x 2-kx -2=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)设方程的两根为x 1和x 2,如果2(x 1+x 2)>x 1x 2,数k 的取值围.4.一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根为x 1和x 2.求: (1)| x 1-x 2|和122x x ;(2)x 13+x 23.5.关于x 的方程x 2+4x +m =0的两根为x 1,x 2满足| x 1-x 2|=2,数m 的值.C 组若关于x 的方程x 2+x +a =0的一个大于1、零一根小于1,数a 的取值围.第四讲 函数与方程(二)4.1 二次函数y =ax 2+bx +c 的图像和性质二次函数的性质可以分别通过图直观地表示出来.在今后解决二次函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.例1 求二次函数y =-3x 2-6x +1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值),并指出当x 取何值时,y 随x 的增大而增大(或减小)?例2 把二次函数y =x 2+bx +c 的图像向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到函数y =x 2的图像,求b ,c 的值.例3 已知函数y =x 2,(-2≤x ≤a ),其中a ≥-2,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值.分析:本例中函数自变量的围是一个变化的围,需要对a 的取值进行讨论. 练 习 1.选择题:(1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是 ( )(A )y =2x 2 (B )y =2x 2-4x +2 (C )y =2x 2-1 (D )y =2x 2-4x(2)函数y =2(x -1)2+2是将函数y =2x 2( )(A )向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 (B )向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 (C )向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 (D )向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 2.填空题:(1)二次函数y =2x 2-mx +n 图象的顶点坐标为(1,-2),则m = ,n = .(2)已知二次函数y =x 2+(m -2)x -2m ,当m = 时,函数图象的顶点在y 轴上;当m = 时,函数图象的顶点在x 轴上;当m = 时,函数图象经过原点.图1图2(3)函数y=-3(x+2)2+5的图象的开口向,对称轴为,顶点坐标为;当x=时,函数取最值y=;当x时,y随着x的增大而减小.3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及y随x的变化情况.(1)y=x2-2x-3;(2)y=1+6 x-x2.4.已知函数y=-x2-2x+3,当自变量x在下列取值围时,分别求函数的最大值或最小值,并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量x的值:(1)x≤-2;(2)x≤2;(3)-2≤x≤1;(4)0≤x≤3.4.2 二次函数的三种表示方式1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);2.顶点式:y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k).3.交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标.今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题.例1 已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-1),求二次函数的解析式.分析:在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以将二次函数设成顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数a.例2 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,求此二次函数的表达式.例3 已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.练习1.选择题:(1)函数y =-x 2+x -1图象与x 轴的交点个数是 ( ) (A )0个 (B )1个 (C )2个 (D )无法确定(2)函数y =-12(x +1)2+2的顶点坐标是 ( )(A )(1,2) (B )(1,-2) (C )(-1,2) (D )(-1,-2) 2.填空题:(1)已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为y =a(a ≠0) .(2)二次函数y =-x 2+23x +1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 . 3.根据下列条件,求二次函数的解析式.(1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当x =3时,函数有最小值5,且经过点(1,11);(3)函数图象与x 轴交于两点(1-2,0)和(1+2,0),并与y 轴交于(0,-2).4.3 二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1.平移变换问题1 在把二次函数的图象进行平移时,有什么特点?依据这一特点,可以怎样来研究二次函数的图象平移?我们不难发现:在对二次函数的图象进行平移时,具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状,因此,在研究二次函数的图象平移问题时,只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可.例1 求把二次函数y =x 2-4x +3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式: (1)向右平移2个单位,向下平移1个单位;(2)向上平移3个单位,向左平移2个单位.2.对称变换在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时,具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状,因此,在研究二次函数图象的对称变换问题时,关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题.例2 求把二次函数y =2x 2-4x +1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式: (1)直线x =-1; (2)直线y =1.二、分段函数一般地,如果自变量在不同取值围时,函数由不同的解析式给出,这种函数,叫作分段函数. 例3 在国投递外埠平信,每封信不超过20g 付邮资80分,超过20g 不超过40g 付邮资160分,超过40g 不超过60g 付邮资240分,依此类推,每封x g(0<x ≤100)的信应付多少邮资(单位:分)?写出函数表达式,作出函数图象.分析:由于当自变量x 在各个不同的围时,应付邮资的数量是不同的.所以,可以用分段函数给出其对应的函数解析式.在解题时,需要注意的是,当x 在各个小围(如20<x ≤40)变化时,它所对应的函数值(邮资)并不变化(都是160分).例4 如图所示,在边长为2的正方形ABCD 的边上有一个动点P ,从点A 出发沿折线ABCD 移动一周后,回到A 点.设点A 移动的路程为x ,ΔPAC 的面积为y .(1)求函数y 的解析式;(2)画出函数y 的图像;(3)求函数y 的取值围.练 习 1.选择题:(1)把函数y =-(x -1)2+4的图象向左平移2个单位,向下平移3个单位,所得图象对应的解析式 为 ( )(A )y = (x +1)2+1 (B )y =-(x +1)2+1 (C )y =-(x -3)2+4 (D )y =-(x -3)2+1(2)把函数y =-2(x +3)2+3的图象关于直线x =-1对称后,所得图象对应的函数解析式为( )(A )y =-2 (x +1)2+3 (B )y =-2 (x -1)2+3 (C )y =2 (x +1)2-3 (D )y =-2 (x -1)2-3(3)把函数y =2(x -3)2+3的图象关于直线y =2对称后,所得图象对应的函数解析式为 ( )(A )y =-2 (x +1)2+3 (B )y =-2 (x -3)2+3 (C )y =-2 (x -3)2+1 (D )y =-2 (x -3)2-3 2.填空题:(1)已知函数2,2,24,2x x y x x ->⎧=⎨-+≤⎩则当x =4时,y = ;当x =-4时,y = .(2)把二次函数y =-2x 2+43x +1的函数图象向 平移 单位后,得到的图象所对应的解析式为y =-2x 2+7;再向 平移 个单位后,得到的图象所对应的解析式为y =-2x 2+1;再将其关于 对称后得到的图象所对应的函数解析式为y =2x 2+5.3.已知点P 是边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发,顺次经过B ,C ,D 移动一周后回到点A ,设x 表示点P 的行程,y 表示线段PA 的长,试求y 关于x 的函数.C P 图2.2-10第五讲三角形与圆(一)5.1 三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形,很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图1,在三角形ABC中,有三条边AB、BC、CA,三个角∠A,∠B,∠C,三个顶点A,B,C,在三角形中,角平分线、中线、高(如图2)是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点,这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的部,恰好是每条中线的三等分点.例1 求证:三角形的三条中线交于一点,且被该交点分成的两段长度之比为2:1.已知D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点,求证:AD、BE、CF交于一点,且都被该点分成2:1.证明:三角形的三条角平分线相交于一点,是三角形的心. 三角形的心在三角形的部,它到三角形的三边的距离相等.(如图3)例2已知ABC的三边长分别为,,BC a AC b AB c,I为ABC的心,且I在△ABC的边BC AC AB、、上的射影分别为D E F、、,求证:2b c aAE AF.证明:.例3 若三角形的心与重心为同一点,求证:这个三角形为正三角形.已知O为三角形ABC的重心和心. 求证三角形ABC为等边三角形.证明:三角形的三条高所在直线相交于一点,该点称为三角形的垂心.锐角三图1 图2图3角形的垂心一定在三角形的部,直角三角形的垂心为他的直角顶点,钝角三角形的垂心在三角形的外部(如图4).三角形的三条高交于一点.练 习1.求证:若三角形的垂心和重心重合,求证:该三角形为正三角形. 2.(1) 若三角形ABC 的面积为S ,且三边长分别为a b c 、、,则三角形的切圆的半径是___________; (2)若直角三角形的三边长分别为a b c 、、(其中c 为斜边长),则三角形的切圆的半径是___________. 并请说明理由.5.2 几种特殊的三角形等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一.因而在等腰三角形ABC 中,三角形的心I 、重心G 、垂心H 必然在一条直线上.例4 在△ABC 中,3, 2.AB AC BC ===求 (1)△ABC 的面积ABCS及AC 边上的高BE ;(2)△ABC 的切圆的半径r ;(3)△ABC 的外接圆的半径R . 解:例5 如图,在△ABC 中,AB =AC ,P 为BC 上任意一点. 求证:22APAB PB PC .证明:正三角形三条边长相等,三个角相等,且四心(心、重心、垂心、外心)图4。