高考数学模拟复习试卷试题模拟卷1332
2024年高考数学模拟试题与答案解析
2024年高考数学模拟试题与答案解析一、选择题1.设集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=3k,k∈Z}，则A∩B={()}A.{x|x=6k,k∈Z}B.{x|x=2k,k∈Z}C.{x|x=3k,k∈Z}D.{x|x=k,k∈Z}【答案】B解析：集合A包含所有2的倍数，集合B包含所有3的倍数。
A ∩B表示同时属于A和B的元素，即同时是2和3的倍数的数，也就是6的倍数。
所以A∩B={x|x=6k,k∈Z}，故选B。
2.若函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=2，则c的值为()A.4B.3C.2D.1【答案】A解析：函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=-b/2a，即x=2。
根据对称轴的公式，得到-(-4)/(21)=2，解得c=4。
故选A。
3.已知等差数列的前n项和为Sn=n(a1+an)/2，若S3=18，S6-S3=24，则a4的值为()A.6B.8C.10D.12【答案】B解析：根据等差数列的前n项和公式，得到S3=3(a1+a3)/2=18，即a1+a3=12。
又因为S6-S3=24，得到a4+a5+a6=24。
由等差数列的性质，a3+a6=a4+a5。
将a3+a6替换为a4+a5，得到3a4+3a5=48，即a4+a5=16。
解方程组a1+a3=12和a4+a5=16，得到a4=8。
故选B。
二、填空题4.若|x-2|≤3，则|x+1|的取值范围是______【答案】-2≤x≤5解析：由|x-2|≤3，得到-3≤x-2≤3，即-1≤x≤5。
再由|x+1|的图像可知，当-3≤x≤5时，|x+1|的取值范围是-2≤x≤5。
5.已知函数f(x)=2x²-3x+1，求f(1/2)的值。
【答案】3/4解析：将x=1/2代入函数f(x)，得到f(1/2)=2(1/2)²-3(1/2)+1=2/4-3/2+1=3/4。
三、解答题6.（1）求证：对任意正整数n，都有n²+2n+1≥n+2。
高考数学模拟试题含答案详解
高考数学模拟试题含答案详解一、选择题1. 已知函数 $ f(x) = x^2 4x + 3 $，求 $ f(2) $ 的值。
答案：将 $ x = 2 $ 代入函数 $ f(x) $，得 $ f(2) = 2^2 4\times 2 + 3 = 1 $。
2. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1 = 3$，公差为 $d = 2$，求第 $n$ 项 $a_n$ 的表达式。
答案：等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n 1)d$，代入$a_1 = 3$ 和 $d = 2$，得 $a_n = 3 + (n 1) \times 2 = 2n + 1$。
3. 已知等比数列 $\{b_n\}$ 的首项为 $b_1 = 2$，公比为 $q = 3$，求第 $n$ 项 $b_n$ 的表达式。
答案：等比数列的通项公式为 $b_n = b_1 \times q^{n1}$，代入 $b_1 = 2$ 和 $q = 3$，得 $b_n = 2 \times 3^{n1}$。
4. 已知三角形的两边长分别为 $a = 5$ 和 $b = 8$，夹角为$60^\circ$，求第三边长 $c$。
答案：利用余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 2ab \cos C$，代入 $a = 5$，$b = 8$，$C = 60^\circ$，得 $c^2 = 5^2 + 8^2 2 \times5 \times 8 \times \cos 60^\circ = 49$，所以 $c = 7$。
5. 已知函数 $ g(x) = \frac{1}{x} $，求 $ g(x) $ 的定义域。
答案：由于 $x$ 不能为 $0$，所以 $g(x)$ 的定义域为 $x \neq 0$。
二、填空题1. 已知函数 $ h(x) = \sqrt{4 x^2} $，求 $ h(x) $ 的定义域。
答案：由于根号内的值不能为负，所以 $4 x^2 \geq 0$，解得$2 \leq x \leq 2$。
2024年高考数学模拟试题含答案(一)
2024年高考数学模拟试题含答案(一)一、选择题（每题5分，共40分）1. 若函数f(x) = 2x - 1在区间（0，2）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A. a > 0B. a ≥ 1C. a ≤ 1D. a < 0【答案】C【解析】由题意知，f'(x) = 2 > 0，所以函数在区间（0，2）上是增函数。
又因为f(0) = -1，f(2) = 3，所以f(x)在区间（0，2）上的取值范围是（-1，3）。
要使得f(x)在区间（0，2）上是增函数，只需保证a ≤ 1。
2. 已知函数g(x) = x² - 2x + 1，则下列结论正确的是（）A. 函数g(x)在区间（-∞，1）上是增函数B. 函数g(x)在区间（1，+∞）上是减函数C. 函数g(x)的对称轴为x = 1D. 函数g(x)的顶点坐标为（1，0）【答案】D【解析】函数g(x) = x² - 2x + 1 = (x - 1)²，所以函数的顶点坐标为（1，0），对称轴为x = 1。
根据二次函数的性质，当x > 1时，函数g(x)递增；当x < 1时，函数g(x)递减。
3. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn =2an - 1，则数列{an}的通项公式是（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^nC. an = 2^n + 1D. an = 2^(n-1)【答案】D【解析】由Sn = 2an - 1，得an = (Sn + 1) / 2。
当n = 1时，a1 = (S1 + 1) / 2 = 1。
当n ≥ 2时，an = (Sn + 1) / 2 = (2an - 1 + 1) / 2 = 2an-1。
所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为an = 2^(n-1)。
4. 已知函数h(x) = |x - 2| - |x + 1|，则函数h(x)的图像是（）A. 两条直线B. 两条射线C. 一个三角形D. 一个抛物线【答案】B【解析】函数h(x) = |x - 2| - |x + 1|表示数轴上点x到点2的距离减去点x到点-1的距离。
2024年高考第三次模拟考试高三数学(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{}4A x x =∈<N ，{}21,B x x n n A ==-∈，P A B = ，则集合P 的子集共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个2.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分隔率，黄金分割率的值也可以用2sin18°表示，即12sin182-=,设12m =,则2tan 811tan 81=+（）A.4mB.2m C.m3.若5(4)(2)x m x --的展开式中的3x 的系数为600-,则实数m =（）A.8.B.7C.9D.104.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（）A ．518B ．625C ．925D ．895.设n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和．若20232023S =，则4202014a a +的最小值为（）A.52B.5C.9D.926.已知函数()()()sin f x x x ωω=+，若沿x 轴方向平移()f x 的图象，总能保证平移后的曲线与直线1y =在区间[]0,π上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数ω的取值范围为（）A.82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.[)2,47.已知()6116,ln ,log 71ln 510115a b c =+==-,则（）A.a b c >> B.b c a>> C.a c b >> D.c a b>>8.已知正方体1121ABCD A B C D -的棱长为2,P 为线段11C D 上的动点，则三棱锥P BCD -外接球半径的取值范围为（）A．,24⎤⎥⎣⎦B．4⎣C．1⎣D．4⎣二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．已知复数123,,z z z ,下列说法正确的有（）A.若1122z z z z =,则12||||z z =B.若22120z z +=,则120z z ==C.若1213z z z z =,则10z =或23z z =D.若1212||||z z z z -=+,则120z z =10.已知抛物线2:4C x =y 的焦点为F ,准线为l ,过F 的直线与抛物线C 交于A,B 两点，M 为线段AB 中点，,,A B M '''分别为A,B,M 在ι上的射影，且||3||AF BF =,则下列结论中正确的是A.F 的坐标为(1,0)B.||2||A B M F '''=C.,,,A A M F ''四点共圆D.直线AB 的方程为313y x =±+11.对于[]()0,1,x f x ∈满足()()()11,23x f x f x f x f ⎛⎫+-== ⎪⎝⎭，且对于1201x x ≤≤≤．恒有()()12f x f x ≤．则（）A ．10011011002i i f =⎛⎫=⎪⎝⎭∑B ．112624f f⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．118080f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1113216016f ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分．12.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布2(100,)N σ．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得σ至多为.（若2~(,)X N μσ，则{||2}0.9545)P X μσ-<=13.ABC △中，,,a b c ,分别为角,,A B C的对边，若3A π=，a b c +=+，则ABC △的面积S 的最小值为.14.函数sin cos ()e e x x f x =-在(0,2π)范围内极值点的个数为.四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分13分)己知函数()ln f x x ax =-,其中a R ∈.(I)若曲线()y f x =在1x =处的切线在两坐标轴上的截距相等,求a 的值;(II)是否存在实数a ,使得()f x 在(0,]x e ∈上的最大值是-3?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.16.(本小题满分15分)某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m （2m >且*m ∈N ）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A ，否则该组标为B ，记询问的某组被标为B 的概率为p ．（i ）试用含m 的代数式表示p ；（ii ）若一共询问了5组，用()g p 表示恰有3组被标为B 的概率，试求()g p 的最大值及此时m 的值．17.(本小题满分15分)如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，2AB AD ==，13AA =，11π3BAA BAD DAA ∠=∠=∠=，点P 满足1221333DP DA DC DD =++ ．(1)证明：O ，P ，1B 三点共线；(2)求直线1AC 与平面PAB 所成角的正弦值．18.(本小题满分17分)已知椭圆22:11612x y E +=的左右焦点分别为12,F F ,点A 在椭圆E 上,且在第一象限内,满足1|| 5.AF =(1)求12F AF ∠的平分线所在的直线l 的方程；(2)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异的两点,若存在,请找出这两点；若不存在请说明理由；(3)已知双曲线M 与椭圆E 有共同的焦点,且双曲线M 与椭圆E 相交于1234,,,P P P P ,若四边形1234P P P P 的面积最大时,求双曲线M 的标准方程.19.(本小题满分17分)已知数列{}n a ,记集合()(){}*1,,...,1,,N i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈.（1）若数列{}n a 为1,2,3,写出集合T ；（2）若2n a n =,是否存在*,N i j ∈,使得(),512S i j =？若存在,求出一组符合条件的,i j ；若不存在,说明理由；（3）若n a n =,把集合T 中的元素从小到大排列,得到的新数列为12,,...,,...m b b b ,若2024m b ≤,求m 的最大值．。
2022年高考数学模拟试卷(含答案)
高考数学模拟试卷一一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x＜2}，集合B为自然数集，则A∩B=．2．（5分）若复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则a=．3．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为．4．（5分）从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．5．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．6．（5分）三棱锥S﹣ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S﹣ABC的表面积是．7．（5分）已知F为双曲线C：2x2﹣my2=4m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为．8．（5分）与的大小关系是．（用“＞”或“＜”连接）9．（5分）为了得到y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，则φ的最小值为．10．（5分）若函数f（x）=，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为．11．（5分）已知{a n}，{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，总有=，则=．12．（5分）如图，在圆O：x2+y2=4上取一点A（﹣，1），E、F为y轴上的两点，且AE=AF，延长AE，AF分别与圆交于点MN．则直线MN的斜率为．13．（5分）如图，AB=BC=1，∠APB=90°，∠BPC=45°，则•=．14．（5分）已知正实数a、b、c满足+=1，++=1，则实数c的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量，，．（1）若，求向量、的夹角θ；（2）若，函数的最大值为，求实数λ的值．16．（14分）如图，平面ABC⊥平面DBC，AB=AC，AB⊥AC，DB=DC；DE⊥平面DBC，BC=2DE，（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：AE⊥平面ABC．17．（14分）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的三种的养殖区域．若OA=1km，，．（1）求区域Ⅱ的总面积；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元．试问当θ为多少时，年总收入最大？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是椭圆：+y2=1的左、右顶点，P（2，t）（t∈R，且t≠0）为直线x=2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和AC、AD连线交于E、F．（1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值；（2）若t=﹣1，记直线AC、AD的斜率分别为k1，k2，求证：+定值；（3）求证：四边形AFBE为平行四边形．19．（16分）已知数列{a n}，{b n}满足：对于任意的正整数n，当n≥2时，a n2+b n a n﹣12=2n+1．（1）若b n=（﹣1）n，求的值；（2）若数列{a n}的各项均为正数，且a1=2，b n=﹣1．设S n=，T n=，试比较S n与T n的大小，并说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个）21．（10分）在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2=AB•ED．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2=0在矩阵A=对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2=0，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c均为正数，且a+2b+3c=9．求证：++≥．解答题25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l的距离为d，且d=λp （λ＞0）．（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率为定值．26．（10分）在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为P n（k）．（1）求P3（1）（2）求P4（k）；（3）证明kP n（k）=n P n﹣1（k），并求出kP n（k）的值．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）（2016•南通模拟）已知集合A={x|﹣2＜x＜2}，集合B为自然数集，则A∩B= {0，1} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣2＜x＜2}，集合B为自然数集，∴A∩B={0，1}，故答案为：{0，1}2．（5分）（2016•南通模拟）若复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则a=1．【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】根据纯虚数的定义，得到实部为0，虚部不为0列出不等式和方程，解不等式组求出a的值．【解答】解：∵复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数∴解得∴a=1故答案为：13．（5分）（2016•南通模拟）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为32．【考点】频率分布直方图．【专题】计算题．【分析】由频率分布直方图分析可得“中间一个小长方形”对应的频率，再由频率与频数的关系，中间一组的频数．【解答】解：设中间一个小长方形的面积为x，其他10个小长方形的面积之和为y，则有：，解得：x=0.2，∴中间一组的频数=160×0.2=32．故填：32．4．（5分）（2016•江苏模拟）从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】根据互斥时间的概率公式计算即可．【解答】解：从5个球中任意取两个共有C52=10种，两球颜色相同的有2种，两球颜色不同的概率是1﹣=，故答案为：．5．（5分）（2016•南通模拟）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为205．【考点】顺序结构．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，n∈N，i=i+2≥100时，S=2i+3的值，∵i+2=101时，满足条件，∴输出的S值为S=2×101+3=205．故答案为：205．6．（5分）（2016•南通模拟）三棱锥S﹣ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S﹣ABC的表面积是3+．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】计算题．【分析】先求面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形的面积，再求正三角形△ABC的面积，求解即可．【解答】解：设侧棱长为a，则a=2，a=，侧面积为3××a2=3，底面积为×22=，表面积为3+．故答案为：3+．7．（5分）（2016•南通模拟）已知F为双曲线C：2x2﹣my2=4m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的标准方程，根据焦点在x轴上的双曲线的焦点到渐近线的距离为b 进行求解即可．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，双曲线的焦点在x轴，则a2=2m，b2=4，则b=2，设焦点在x轴的双曲线的方程为=1，设焦点F（c，0），双曲线的一条渐近线方程为y=x，即bx﹣ay=0则点F到C的一条渐近线的距离d==2故答案为：28．（5分）（2016•南通模拟）与的大小关系是＞．（用“＞”或“＜”连接）【考点】不等式比较大小．【专题】转化思想；数学模型法；不等式．【分析】由于=＞=＞，即可得出．【解答】解：∵==＞=＞，∴＞，故答案为：＞．9．（5分）（2016•南通模拟）为了得到y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，则φ的最小值为．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】将y=sinx化为y=cos[（x﹣π）]，再根据三角函数的图象变换知识确定平移的方向和长度即可．【解答】解：∵y=sin=cos（﹣）=cos[（x﹣π）]，∴将y=sin的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得函数图象对于的解析式为：y=cos[（x ﹣π+φ）]，又∵y=cos（﹣）=cos[（x﹣）]，∴由题意可得：（x﹣π+φ）=（x﹣）+2kπ，k∈Z，解得：φ=4kπ+，k∈Z，∵φ＞0∴当k=0时，φ的最小值为．故答案为：．10．（5分）（2016•南通模拟）若函数f（x）=，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】当x≤0时，f（x）=x+2x，单调递增，由f（﹣1）f（0）＜0，可得f（x）在（﹣1，0）有且只有一个零点；x＞0时，f（x）=ax﹣lnx有且只有一个零点，即有a=有且只有一个实根．令g（x）=，求出导数，求得单调区间，极值，即可得到a的值．【解答】解：当x≤0时，f（x）=x+2x，单调递增，f（﹣1）=﹣1+2﹣1＜0，f（0）=1＞0，由零点存在定理，可得f（x）在（﹣1，0）有且只有一个零点；则由题意可得x＞0时，f（x）=ax﹣lnx有且只有一个零点，即有a=有且只有一个实根．令g（x）=，g′（x）=，当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增．即有x=e处取得极大值，也为最大值，且为，如图g（x）的图象，当直线y=a（a＞0）与g（x）的图象只有一个交点时，则a=．故答案为：．11．（5分）（2015•淮安模拟）已知{a n}，{b n}均为等比数列，其前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，总有=，则=9．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设{a n}，{b n}的公比分别为q，q′，利用=，求出q=9，q′=3，可得=3，即可求得结论．【解答】解：设{a n}，{b n}的公比分别为q，q′，∵=，∴n=1时，a1=b1．n=2时，．n=3时，．∴2q﹣5q′=3，7q′2+7q′﹣q2﹣q+6=0，解得：q=9，q′=3，∴．故答案为：9．12．（5分）（2016•南通模拟）如图，在圆O：x2+y2=4上取一点A（﹣，1），E、F为y 轴上的两点，且AE=AF，延长AE，AF分别与圆交于点MN．则直线MN的斜率为﹣．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】不适一般性，取特殊点，即可得出结论．【解答】解：由题意，取M（0，2），AM的斜率为，∵AE=AF，∴AN的斜率为﹣，过原点，∴N（（，﹣1），∴直线MN的斜率为=﹣．故答案为：﹣．13．（5分）（2016•南通模拟）如图，AB=BC=1，∠APB=90°，∠BPC=45°，则•=﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】综合题；转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】取PC中点D，连结BD，设BD=x．利用三角形中位线定理与含有45°角的直角三角形的性质，算出∠BDC=135°，CD=PD=x．在△BCD中利用余弦定理，结合题中数据建立关于x的方程，解出x，从而得出PA，PC．最后利用数量积的公式加以计算，可得则•的值【解答】解：取PC中点D，连结BD．设BD=x，∵BD是△PAC的中位线，∴BD∥PA且BD=PA．∵∠APB=90°，∴△PBD中，∠PBD=∠APB=90°，∵∠BPD=45°，BD=x，∴PD=x，CD=PD=x，△BDC中，∠BDC=∠APC=90°+450°=130°，BC=1，由余弦定理，得BC2=BD2+CD2﹣2BD•CDcos∠BDC=1，即x2+2x2﹣2x•xcos135°=1，解之得x=，即BD=，∴PA=2BD=，PC=2×=，∴•=||•||cosAPC=××（﹣）=﹣，故答案为：﹣14．（5分）（2016•南通模拟）已知正实数a、b、c满足+=1，++=1，则实数c 的取值范围是（1，] ．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由于+=1，++=1，可得，化为．由于正实数a、b满足+=1，利用基本不等式的性质可得ab≥4，据此可得c的取值范围．【解答】解：∵++=1，∴，化为．∵正实数a、b满足+=1，∴，化为ab≥4．则c==1+，ab﹣1≥3，则1＜c≤．故答案为：（1，]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2011•宝山区二模）已知向量，，．（1）若，求向量、的夹角θ；（2）若，函数的最大值为，求实数λ的值．【考点】数量积表示两个向量的夹角；数量积的坐标表达式；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）当时，求出向量、，利用数量积的坐标运算求出向量•，从而求出向量、的夹角θ；（2）向量，，代入函数，利用三角函数的诱导公式进行化简，转化为三角函数在定区间上的最值，即可求得结果．【解答】解：（1）当时，，所以，因而；（2），，因为，所以，当λ＞0时，，即，当λ＜0时，，即，所以．16．（14分）（2016•南通模拟）如图，平面ABC⊥平面DBC，AB=AC，AB⊥AC，DB=DC；DE⊥平面DBC，BC=2DE，（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：AE⊥平面ABC．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】（1）取BC中点F，连结AF，可证AF⊥BC，由平面ABC⊥平面DBC，且交线为BC，可证AF⊥平面DBC，从而AF∥DE，即可证明DE∥平面ABC．（2）连结DF，可证DF⊥平面ABC，AE∥DF，从而有AE⊥平面ABC．【解答】解：（1）取BC中点F，连结AF，因为AB=AC，所以，AF⊥BC，又因为平面ABC⊥平面DBC，且交线为BC，所以，AF⊥平面DBC，因为DE⊥平面DBC，所以，AF∥DE，而AF在平面ABC内，DE在平面ABC外，所以，DE∥平面ABC；（2）连结DF，∵DB=DC，F为BC中点，∴DF⊥BC，∵平面ABC⊥平面DBC，DF⊂平面DBC，可证DF⊥平面ABC，∵AE∥DF，∴AE⊥平面ABC．17．（14分）（2016•南通模拟）现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的三种的养殖区域．若OA=1km，，．（1）求区域Ⅱ的总面积；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元．试问当θ为多少时，年总收入最大？【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】导数的综合应用；三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求区域Ⅱ的总面积；（2）建立三角函数关系式，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可．【解答】解：（1）因为BD=AC，OB=OA，所以OD=OC．因为，DE∥OA，CF∥OB，所以DE⊥OB，CF⊥OA．又因为OE=OF，所以Rt△ODE≌Rt△OCF．所以．…（2分）所以．所以，所以，．…（6分）（2）因为，所以．所以=，…（10分）所以，令y'=0，则．…（12分）当时，y'＞0，当时，y'＜0．故当时，y有最大值．答：当θ为时，年总收入最大．…（15分）18．（16分）（2016•南通模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是椭圆：+y2=1的左、右顶点，P（2，t）（t∈R，且t≠0）为直线x=2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和AC、AD连线交于E、F．（1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值；（2）若t=﹣1，记直线AC、AD的斜率分别为k1，k2，求证：+定值；（3）求证：四边形AFBE为平行四边形．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由题意得l：y=﹣x+1，由此能求出t的值．（2）直线AC：y=k1（x+2），与联立得C：，同理得D：，由此能证明=﹣4（定值）．（3）要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O．【解答】（1）解：由题意：椭圆：+y2=1上顶点C（0，1），右焦点E（﹣，0），所以l：y=﹣x+1，令x=2，得t=1﹣．…（2分）（2）证明：直线AC：y=k1（x+2），与联立得C：，同理得D：，…（4分）由C，D，P三点共线得：k CP=k DP，得=﹣4（定值）．…（8分）（3）证明：要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O，设点P（2，t），则OP：y=x，分别与直线AC：y=k1（x+2）与AD：y=k2（x+2）联立得：x E=，x F=，下证：x E+x F=0，即+=0化简得：t（k1+k2）﹣4k1k2=0…（12分）由（2）知C：，D：，由C，D，P三点共线得：k CP=k DP，得t（k1+k2）﹣4k1k2=0，所以四边形AFBE为平行四边形．…（16分）19．（16分）（2016•南通模拟）已知数列{a n}，{b n}满足：对于任意的正整数n，当n≥2时，a n2+b n a n﹣12=2n+1．（1）若b n=（﹣1）n，求的值；（2）若数列{a n}的各项均为正数，且a1=2，b n=﹣1．设S n=，T n=，试比较S n与T n的大小，并说明理由．【考点】数列递推式；数列与函数的综合．【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）根据数列的递推关系时，即可得到a22+a12=5，a42+a32=9，a62+a52=13，…a182+a172=37，累加即可，（2）根据数列的递推关系求出a n=n+1，n∈N，再分别表示出S n与T n，分别计算它们的平方，n=1，2，3，4，5，6，当n≥6时，构造数列c n=，利用换元法和作差法得到数列{c n}为递增数列，问题得以解决．【解答】解：（1）由题意可得a22+a12=5，a42+a32=9，a62+a52=13，…a182+a172=37，将上面的式子相加得到=5+9+13+…+37=189，（2）∵a n2+b n a n﹣12=2n+1，a1=2，b n=﹣1∴a n2﹣a n﹣12=2n+1，n≥2，∴a22﹣a12=5，a32﹣a22=7，a42﹣a32=9，a n2﹣a n﹣12=2n+1，将上面的式子相加得到a n2﹣a12=，∴a n2=（n+1）2，n≥2，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n=n+1，当n=1时，也成立，∴a n=n+1，n∈N*，∴S n==2n﹣1，T n==，下面比较S n与T n的大小，取n=1，2，3，4，5，6，∴S12＜T12，S22＞T22，S32＞T32，S42＞T42，S52＞T52，S62＜T62，当n≥6时，令c n=，则=设2n=t≥64，则（n+2）（2n﹣1）2﹣（2n+1﹣1）2=8（t﹣1）2﹣（2t﹣1）2=4t2﹣12t+7＞0∴当n≥6时，数列{c n}为递增数列，∴c n≥c6=＞1，∴n≥6时，S n2＜T n2，综上所述：当n=2，3，4，5时，S n＞T n，当n=1，n≥6时，S n＜T n．20．（16分）（2016•南通模拟）已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】分类讨论；分析法；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a的方程，解得a即可；（2）由题意可得即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，求出导数，令导数大于等于0，分离参数a，由二次函数的最值，即可得到a的范围；（3）原不等式等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，求得它的导数m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的导数为x﹣，曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线斜率为k=1﹣a，由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，解得a=﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，则a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）；（3）不等式f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0．对m（x）求导数，得m′（x）=1﹣﹣==，因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得＜ln（a+1）考察式子＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞，又因为e﹣1﹣=＜0，则a＞．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个）21．（10分）（2016•南通模拟）在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O 相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2=AB•ED．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】连接BD，证明△EAD∽△DBA．即可证明AD2=AB•ED．【解答】证明：连接BD，因为直线AE与圆O相切，所以∠EAD=∠ABD．…（4分）又因为AB∥CD，所以∠BAD=∠ADE，所以△EAD∽△DBA．…（8分）从而=，所以AD2=AB•ED．…（10分）[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）（2016•南通模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2=0在矩阵A=对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2=0，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．【考点】逆变换与逆矩阵．【专题】计算题；转化思想；综合法；矩阵和变换．【分析】在直线x+y﹣2=0上取两点M（2，0），M（0，2）．在矩阵M，N对应的变换作用下分别对应于点M′，N′．推导出M′、N′的坐标，由题意，M′、N′在直线x+y﹣2=0上，列出方程组求出A=，由此能求出矩阵A的逆矩阵A﹣1．【解答】解：在直线x+y﹣2=0上取两点M（2，0），M（0，2）．M，N在矩阵M，N对应的变换作用下分别对应于点M′，N′．∵=，∴M′的坐标为（2，2b）；=，∴N′的坐标为（2a，4）．由题意，M′、N′在直线x+y﹣2=0上，∴．解得a=﹣1，b=0．∴A=，∵→→．∴A﹣1=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2015•淮安模拟）已知直线l：（t为参数）经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】选作题；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，可得F的坐标，直线l经过点（m，0），可求m的值；（Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，利用参数的几何意义，即可求|FA|•|FB|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，得，∴a=5，b=3，c=4，则点F的坐标为（4，0）．∵直线l经过点（m，0），∴m=4．…（4分）（Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：（9cos2α+25sin2α）t2+72tcosα﹣81=0．设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则|FA|•|FB|=|t1t2|=．…（8分）当sinα=0时，|FA|•|FB|取最大值9；当sinα=±1时，|FA|•|FB|取最小值．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•南通模拟）已知a，b，c均为正数，且a+2b+3c=9．求证：++≥．【考点】不等式的证明．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由a，b，c均为正数，运用柯西不等式可得（a+2b+3c）（++）≥（++）2，化简整理，结合条件即可得证．【解答】证明：由a，b，c均为正数，运用柯西不等式可得：（a+2b+3c）（++）≥（++）2=（++）2=1，由a+2b+3c=9，可得++≥，当且仅当a=3b=9c，即a=，b=，c=时，等号成立．解答题25．（10分）（2016•南京三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过M的直线与抛物线交于A，B两点．设A（x1，y1）到准线l 的距离为d，且d=λp（λ＞0）．（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率为定值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可知x1=1﹣，A点坐标为（1﹣，1），将A点坐标代入抛物线方程求得p的值，写出抛物线的标准方程；（2）直线AB过M（﹣，0），设直线AB的方程为y=k（x+），代入抛物线方程y2=2px，消去y，整理得，解出x1、x2，将d=x1+，代入d=λp，得，+λ=，可知，，将x1、x2代入，即可解得，可证直线AB的斜率为定值．【解答】解：（1）由条件知，x1=1﹣，则A点坐标为（1﹣，1），代入抛物线方程得p=1，∴抛物线方程为y2=2x，（2）证明：设B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x+），将直线AB的方程代入y2=2px，消去y得：，解得：x1=，x2=．∵d=λp，∴，+λ=，，∴p=x2﹣x1=，∴，∴直线AB的斜率为定值．26．（10分）（2015•淮安模拟）在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为P n（k）．（1）求P3（1）（2）求P4（k）；（3）证明kP n（k）=n P n﹣1（k），并求出kP n（k）的值．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，即可得出；（2）类比（1）即可得出；（3）：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有种；其余n﹣k个元素重新排列，并且使其余n﹣k个元素都要改变位置，则，可得，利用，即可得出．【解答】（1）解：∵数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，∴P3（1）=3；（2）解：=；（3）证明：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有种；其余n﹣k个元素重新排列，并且使其余n﹣k个元素都要改变位置，则有，故，又∵，∴．令，则a n=na n﹣1，且a1=1．于是a2a3a4…a n﹣1a n=2a1×3a2×4a3×…×na n﹣1，左右同除以a2a3a4…a n﹣1，得a n=2×3×4×…×n=n!∴．高考数学模拟试卷二第Ⅰ卷（必做题，共160分）??一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1． 已知{}2A x x =＜，{}1B x x =＞ ，则A B = ▲ ．2． 已知复数z 满足(1i)2i z -=+，则复数z 的实部为 ▲ ． 3． 函数5()log (9)f x x =+ 的单调增区间是 ▲ ．4． 将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的的概率是 ▲ ．5． 执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为13，则输入的x 的值是 ▲ ．6． 一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm2）分别为：9.4，9.7，9.8，10.3，10.8，则这组样本数据的方差为 ▲ ．7． 已知函数()sin()(030)f x x ωϕωϕ=+<<<<π，．若4x π=-为函数()f x 的一个零点，3x π=为函数()f x 图象的一条对称轴，则ω的值为 ▲ ． 8． 已知1==a b ，且()()22+⋅-=-a b a b ，则a 与b 的夹角为 ▲ ．9． 已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ．10．已知关于x 的一元二次不等式2 >0ax bx c ++的解集为()1 5-，，其中a b c ，，为常数．则不等式2 0cx bx a ++≤的解集为 ▲ ．11．已知正数x ，y 满足121x y +=，则22log log x y +的最小值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22280x y x ++-=，直线l ：(1) ()y k x k =-∈R 过定点A ，且交圆C 于点B ，D ，过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ，则三角形AEC 的周长为 ▲ ． 13．设集合{}*2n A x x n ==∈N ，，集合{}*n B x x b n ==∈N ， 满足A B =∅，且*A B =N ．若对任意的*n ∈N ，1n n b b +<，则2017b 为 ▲ ．14．定义：{}max a b ，表示a ，b 中的较大者．设函数{}()max 11f x x x =-+，，2()g x x k =+，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．（第5题）（第17题）二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．（本小题满分14分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知cos cos 02C C +=．（1）求C 的值．（2）若c =1，三角形ABC ，求a ，b 的值．16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABC —DEF 中，若AB//DE ，BC//EF ． （1）求证：平面ABC//平面DEF ；（2）已知CAB ∠是二面角C-AD-E 的平面角． 求证：平面ABC ⊥平面DABE ． 17．（本小题满分14分）如图，长方形ABCD 表示一张6⨯12（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板．木板上一瑕疵（记为点P ）到外边框AB ，AD 的距离分别为1分米，2分米． 现欲经过点P 锯掉一块三角形废料MAN ，其中M N ，分别在AB ，AD 上．设AM ，AN 的 长分别为m 分米，n 分米．（1）为使剩下木板MBCDN 的面积最大，试确 定m ，n 的值；（2）求剩下木板MBCDN 的外边框长度（MB ， BC CD DN ，，的长度之和）的最大值．18．（本小题满分16分）AFED CB（第16题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：2221x y a +=（a ＞1）.（1）若椭圆C 的焦距为2，求a 的值；（2）求直线1y kx =+被椭圆C 截得的线段长（用a ，k 表示）；（3）若以A （0，1）为圆心的圆与椭圆C 总有4个公共点，求椭圆C 的离心率e 的 取值范围. 19．（本小题满分16分）已知函数32()2()f x x ax bx c a b c =+++∈R ，，． （1）若函数()f x 为奇函数，且图象过点(12)-，，求()f x 的解析式； （2）若1x =和2x =是函数()f x 的两个极值点． ①求a ，b 的值；②求函数()f x 在区间[03]，上的零点个数．20．（本小题满分16分）设等差数列{}n a 与等比数列{}n b 共有m *( )m ∈N 个对应项相等． （1）若110a b =>，11110a b =>，试比较66a b ，的大小； （2）若34n a n =-，()12n nb -=--，求m 的值．（3）若等比数列{}n b 的公比0q >，且1q ≠，求证：3m ≠．【参考结论】若R 上可导函数()f x 满足()()f a f b =（a b <），则()a b ξ∃∈，，()0f ξ'=．（第18题）（第21-A 题）第II 卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.A ，（选修4-1；几何证明选讲） 如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC BD =，BA 的延长线交CD 的延长线于点E ．求证：AE 是四边形ABCDB ．（选修4-2：矩阵与变换） 已知矩阵1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，11201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB 的逆矩阵．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，求圆24sin 50ρρθ--=截直线π()3θρ=∈R所得线段长．D．（选修4-5：不等式选讲）求证：5． 【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．在平面直角坐标系xOy 中，设点2(2)A a a ，，2(2)B b b ，，(12)C ，均在抛物线 22(0)y px p =>上，且90BCA ∠=︒． （1）求p 的值； （2）试用a 表示b ；（3）求直线5x =与直线AB 交点的纵坐标．23． (1)2n n +（2n n ∈*N ≥，）个不同数随机排成如下的一个三角形：k M ()1 k n k ∈*N ≤≤，是从上往下数第k 行中的最大数，n p 为12n M M M <<⋅⋅⋅<的概率． （1）求2p 的值；＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ……………………＊ ＊ … ＊ ＊（2）猜想n p 的表达式，并证明．参考答案一、填空题 1．()12，．A B =()12，．2．12． (2)(1)2i 13.1i (1)(1)2i i i z i i ++++===--+，则复数z 的实部为 12．3．（-9，+∞）．函数5()log (9)f x x =+的单调增区间（-9，+∞）.4． 536．点数之和是6包括(15)(24)(33)(42)(15)，，，，，，，，，共5种情况，则所 求概率是536．5． 8．若613x =，则1326x =>，不符；若513x +=，则82x =>．6． 0. 244．这组数据的平均数为10，方差为222221(109.4)(109.7)(109.8)(1010.3)(1010.8)0.245⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦. 7． 76．函数()f x 的周期4(3T π=⨯)43π7π+=，又Τω2π=，所以ω的值为76. 8． π．依题意，2220+⋅-=a a b b ，又1==a b ，故1⋅=a b ，则a 与b 的夹角为π．9． 113．()()()()11tan tan 25tan tan 111tan tan 125αββααββαββ--+=-+===⎡⎤⎣⎦---⨯-113． 10． 115⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．因为不等式2 >0ax bx c ++的解集为()1 5-，，所以(1)(5)>0a x x +-，且0a <，即245>0ax ax a --，则45b a c a =-=-，，则2 0cx bx a ++≤即为254 0ax ax a --+≤，从而254 1 0x x +-≤，故解集为115⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． 11．3．由121x y +=得，02y x y =>-，则()222222222log log log log log 22y y x y xy y y -++===--()224log 24log 832y y ⎡⎤=-++=⎢⎥-⎣⎦≥．12． 5．易得圆C ：22(1)9x y -+=，定点A (10)-，，EA ED =，则3EC EA EC ED +=+=，从而三角形AEC 的周长为5．13． 2027．易得数列{}n b ：1，3，5，6，7，9，10，11，12，13，14，15，17，…，则1137++++…12121k k k ++-=--，当10k =，12120372017k k +--=>，2037201720-=，从而第2017项为1121202027--=． 14．()()5114-∞-，，．{}()max 11f x x x =-+， 2()()g x x k k =+∈R 恰有4个零点，当54k =时，()f x 与()g x 相切．如图，()514，，．二、解答题15． （1）因为cos cos 02C C +=，所以22cos cos 1022C C +-=， 解得cos 12C =-或1cos 22C =， 又0C π＜＜ ，故22C π0＜＜， 从而23C π=，即23C π=． （2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得，221a b ab ++=， ①由三角形ABC 的面积1sin 2ab C =得， 13ab =， ② 由①②得，a b =． 16． （1）因为AB//DE ，又AB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以AB//平面DEF ， 同理BC//平面DEF ， 又因为ABBC C =，OAB BC ⊂，平面ABC ，所以平面ABC//平面DEF. （2）因为CAB ∠是二面角C-AD-E 的平面角，所以CA AD BA AD ⊥⊥，， 又因为CA AB A =， AB ，CA ⊂平面ABC ，所以DA ⊥平面ABC ，又DA ⊂平面DABE ，所以平面ABC ⊥平面DABE. 17． （1）过点P 分别作AB ，AD 的垂线，垂足分别为E ，F ， 则△PNF 与△MPE 相似，从而PF NFEM PE =，所以2121n m -=-， 即211m n +=． 欲使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料MAN 的面积 12S mn=最小．由211m n =+≥得，8mn ≥ （当且仅当21m n =，即4m =，2n =时， “=”成立），此时min 4S =（平方分米）． （2）欲使剩下木板的外边框长度最大，即要m n +最小．由（1）知，()()212333n m m n m n m n m n +=++=++=≥，（当且仅当2n mm n =即2m =，1n =时，“=”成立），答：此时剩下木板的外边框长度的最大值为33-分米． 18． （1）由椭圆C ：2221x y a +=（a ＞1）知，焦距为2=，解得a =因为a ＞1，所以a .（第17题）。
2024高考数学模拟试卷附答案
2024高考数学模拟试卷附答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 已知函数f(x) = x² - 2x + 1，则函数f(x)的对称轴方程是（）A. x = 1B. x = -1C. x = 0D. x = 22. 已知函数f(x) = |x - 2| - |x + 1|，则f(x)在区间（-∞，0）上是（）A. 递增函数B. 递减函数C. 先递增后递减的函数D. 先递减后递增的函数3. 若函数f(x) = (x - 1)² + k在区间（1，+∞）上是减函数，则实数k的取值范围是（）A. k ≤ 0B. k ≤ 1D. k ≥ 14. 已知a = 3 + √5，b = 3 - √5，则a² - b²的值为（）A. 4B. 6C. 8D. 105. 若函数f(x) = x² + bx + c在x = 1处取得极小值，且f(0) = 4，则b的值为（）A. -2B. 2C. -4D. 46. 已知函数f(x) = x³ - 3x² + 3x - 1，则f(x)的极值点是（）A. x = 0B. x = 1D. x = 37. 已知函数f(x) = x² + 2x + 3，则函数f(x)的图像与x轴的交点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 无法确定8. 若函数f(x) = x² + k在区间（0，1）上是减函数，则实数k的取值范围是（）A. k ≤ 0B. k ≤ 1C. k ≥ 0D. k ≥ 1二、填空题（每题5分，共30分）9. 若a = √3，b = √2，则a² - b²的值为__________。
10. 若函数f(x) = x² - 2x + 1的图像与x轴相切，则切点坐标为__________。
11. 若函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|的最小值为3，则实数x的取值范围是__________。
备战2024年高考数学模拟卷(新高考Ⅰ卷专用)含解析
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷专用）黄金卷（答案在最后）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要A．51 62 a b+C．51 63 a b+【答案】CA ．242B ．24【答案】B【详解】如图所示，在正四棱锥P ABCD -连接OP ，则底面边长32AB =，对角线又5BP =，故高224OP BP BO =-=故该正四棱锥体积为()21323V =⨯⨯故选：B5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果可以表示为两个素数的和身外没有其他因数的自然数）中，随机选取两个不同的数，其和等于将APQ △翻折后，PQ A Q '⊥，PQ BQ ⊥，又平面平面A PQ ' 平面BCPQ PQ =，A Q '⊂平面A PQ '，BQ ⊂平面BCPQ ，于是A Q '⊥平面显然A P '，BP 的中点D ，E 分别为A PQ ' ，四边形BCPQ 则DO ⊥平面A PQ '，EO ⊥平面BCPQ ，因此//DO BQ 取PQ 的中点F ，连接,DF FE 则有////EF BQ DO ，DF 四边形EFDO 为矩形，设A Q x '=且023x <<，DO 设球O 的半径R ，有22223324A P R DO x x '⎛⎫=+=-+⎪⎝⎭当23x =时，()22R =，所以球O 表面积的最小值为故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
A ．正方体11ABCD A B C -B ．两条异面直线1D C 和C ．直线BC 与平面ABC D ．点D 到面1ACD 的距离为【答案】BC【分析】根据正方体和内切球的几何结构特征，可判定的角的大小即为直线1D C 和进而求得直线BC 与平面ABC 判定D 错误.【详解】对于A 中，正方体所以内切球的半径12R =，所以对于B 中，如图所示，连接因为11//AB C D 且11AB C D =所以异面直线1D C 和1BC 所成的角的大小即为直线又因为112AC AD D C ===对于C 中，如图所示，连接B 因为AB ⊥平面11BB C C ，1B C 又因为1AB BC B =I ，AB ⊂所以1B C ⊥平面11ABC D ，所以直线所以C 正确；对于D 中，如图所示，设点D 所以111πsin 23ACD S AC AD =⨯⨯V 又因为12ACD S AD CD =⨯⨯=V 即111133ACD ACD S h S DD ⨯⨯=⨯⨯ 故选：BC.10．已知函数321()3f x x x =-A ．()f x 为奇函数C ．()f x 在[1,)-+∞上单调递增【答案】BC【分析】根据奇函数的定义判断12．已知函数()f x 及其导函数f 则（）A ．(1)(4)f f -=B ．g ⎛- ⎝【答案】ABD【分析】由题意分析得到()f x 关于直线【详解】因为3(2)2f x -为偶函数，所以所以()f x 关于直线32x =对称，令因为33()()22f x f x -=+，所以f '所以()()21g x g x +=--，因为所以()()21g x g x -=--，即(g 则()g x 的一个周期为2.因为(f x 所以33022g f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ '⎪⎝⎭⎝⎭，所以g 因为()()1g x g x +=-，所以(2g 设()()h x f x c =+（c 为常数），定义域为3322h x f x c ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又f ⎛ ⎝显然()()h x f x c =+也满足题设，即()f x 上下平移均满足题设，显然()0f 的值不确定，故C 错误.故选：ABD第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年全国高考数学模拟试卷(附答案)
2023年全国高考数学模拟试卷一、单选题1．设全集U={1 2 3 4 5 6 7 8} 集合S={1 3 5} T={3 6} 则∁U （S∁T ）等于（ ） A ．∁B ．{2 4 7 8}C ．{1 3 5 6}D ．{2 4 6 8}2．在四边形ABCD 中＝ ＋则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形3．已知复数 z =(2+i)(a +2i 3) 在复平面对应的点在第四象限 则实数 a 的取值范围是（ ） A ．(−∞,−1)B ．(4,+∞)C ．(−1,4)D ．[-1,4]4．在直三棱柱 ABC −A ′B ′C ′ 中 侧棱长为2 底面是边长为2的正三角形 则异面直线 AB ′ 与BC ′ 所成角的余弦值为（ ） A ．12B ．√33C ．14D ．√555．一个袋子中有5个大小相同的球 其中有3个黑球与2个红球 如果从中任取两个球 则恰好取到两个同色球的概率是（ ） A ．15B ．310C ．25D ．126．已知 f(x)=√3sin2020x +cos2020x 的最大值为A 若存在实数 x 1 x 2 使得对任意的实数x 总有 f(x 1)≤f(x)≤f(x 2) 成立 则 A|x 1−x 2| 的最小值为（ ）A ．π2020B ．π1010C ．π505D ．π40407．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数 其最小正周期为3 且x∁（-320）时 f(x)=log 2(-3x+1)则f(2011）=（ ） A ．4B ．2C ．-2D ．log 278．已知函数f(x)={1−x ，0≤x ≤1lnx ，x >1 若f(a)=f(b) 且a ≠b 则bf(a)+af(b)的最大值为（ ） A ．0 B ．(3−ln2)⋅ln2 C ．1D ．e二、多选题9．下列命题中正确的命题的是（）A．已知随机变量服从二项分布B(n，p)若E(x)=30D(x)=20则p=23；B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后方差恒不变；C．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)若P(ξ>1)=p则P(−1<ξ≤0)=12−P；D．某人在10次射击中击中目标的次数为X X~B(10，0.8)则当x=8时概率最大．10．已知抛物线C：x2=4y的焦点为F准线为l P是抛物线C上第一象限的点|PF|=5直线PF 与抛物线C的另一个交点为Q 则下列选项正确的是（）A．点P的坐标为（4 4）B．|QF|=54C．S△OPQ=103D．过点M(x0，−1)作抛物线C的两条切线MA，MB其中A，B为切点则直线AB的方程为：x0x−2y+2=011．已知函数f(x)=e x g(x)=ln x2+12的图象与直线y=m分别交于A、B两点则（）A．|AB|的最小值为2+ln2B．∃m使得曲线f(x)在A处的切线平行于曲线g(x)在B处的切线C．函数f(x)−g(x)+m至少存在一个零点D．∃m使得曲线f(x)在点A处的切线也是曲线g(x)的切线12．已知正n边形的边长为a 内切圆的半径为r 外接圆的半径为R 则（）A．当n=4时R=√2a B．当n=6时r=√32aC．R=a2sinπ2n D．R+r=a2tanπ2n三、填空题13．某学校有教师300人男学生1500人女学生1200人现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为150人的样本进行某项调查则应抽取的女学生人数为．14．在（2x2﹣√x）6的展开式中含x7的项的系数是．15．函数f(x)=|2x−1|−2lnx的最小值为.16．定义max{a,b}={a,a≥bb,a<b已知函数f(x)=max{(12)x,12x−34}则f(x)最小值为不等式f(x)<2的解集为.四、解答题17．记S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>06S n=a n2+3a n−4.（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=a n2+a n+12a n a n+1求数列{b n}的前n项和T n.18．已知数列{a n}的前n项和为S n a1=2n(a n+1−2a n)=4a n−a n+1.（1）证明：{a nn+1}为等比数列；（2）求S n.19．记△ABC的内角A B C的对边分别为a b c﹐已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．（1）若A=2B求C；（2）证明：2a2=b2+c2.20．受突如其来的新冠疫情的影响全国各地学校都推迟2020年的春季开学某学校“停课不停学” 利用云课平台提供免费线上课程该学校为了解学生对线上课程的满意程度随机抽取了100名学生对该线上课程评分、其频率分布直方图如图.（1）求图中a的值；（2）求评分的中位数；（3）以频率当作概率若采用分层抽样的方法从样本评分在[60,70)和[90,100]内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果再从中选取2人进行跟踪分析求这2人中至少一人评分在[60,70)内的概率.21．已知椭圆与双曲线x 22−y2=1有相同的焦点坐标且点(√3,12)在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）设A、B分别是椭圆的左、右顶点动点M满足MB⊥AB垂足为B连接AM交椭圆于点P（异于A）则是否存在定点T使得以线段MP为直径的圆恒过直线BP与MT的交点Q若存在求出点T的坐标；若不存在请说明理由.22．已知函数f(x)=e x(x−2),g(x)=x−lnx.（1）求函数y=f(x)+g(x)的最小值；（2）设函数ℎ(x)=f(x)−ag(x)(a≠0)讨论函数ℎ(x)的零点个数.答案解析部分1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】B,C,D 10．【答案】A,B,D 11．【答案】A,B,D 12．【答案】B,D 13．【答案】60 14．【答案】240 15．【答案】116．【答案】14；(−1,112)17．【答案】（1）解：当 n =1 时 6S 1=a 12+3a 1−4 所以 a 1=4 或 −1 （不合 舍去）. 因为 6S n =a n 2+3a n −4① 所以当 n ⩾2 时 6S n−1=a n−12+3a n−1−4② 由①－②得 6a n =a n 2+3a n −a n−12−3a n−1所以 (a n +a n−1)(a n −a n−1−3)=0 . 又 a n >0 所以 a n −a n−1=3 .因此 {a n } 是首项为4 公差为3的等差数列. 故 a n =4+3(n −1)=3n +1 .（2）解：由（1）得 b n =(3n+1)2+(3n+4)2(3n+1)(3n+4)=2+33n+1−33n+4所以 T n =2+34−37+2+37−310+⋯+2+33n+1−33n+4=2n +(34−37+37−310+⋯+33n +1−33n +4)=2n +9n4(3n +4)18．【答案】（1）证明：∵n(a n+1−2a n )=4a n −a n+1∴na n+1−2na n =4a n −a n+1 即(n +1)a n+1=2⋅a n (n +2)∴a n+1n+2=2⋅a nn+1 故{a nn+1}为等比数列. （2）解：由（1）知 a nn+1=1×2n−1⇒a n =(n +1)⋅2n−1 S n =2×20+3×2+4×22⋅⋅⋅+(n +1)⋅2n−1 2S n =2×21+3×22+4×23⋅⋅⋅+(n +1)⋅2n∴−S n =2+2+22+⋯+2n−1−(n +1)⋅2n=2+2−2n−1×21−2−(n +1)⋅2n=−n ⋅2n∴S n =n ⋅2n19．【答案】（1）解：∵sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A)且 A =2B∴sinCsinB =sinBsin(C −A) ∵sinB ＞0∴sinC =sin(C −A)∴C=C-A （舍）或C+（C-A ）=π 即：2C-A=π又∵A+B+C=π A=2B ∴C= 5π8（2）证明：由 sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A) 可得sinC(sinAcosB −cosAsinB)=sinB(sinCcosA −cosCsinA) 再由正弦定理可得 accosB −bccosA =bccosA −abcosC 然后根据余弦定理可知12(a 2+c 2−b 2)−12(b 2+c 2−a 2)=12(b 2+c 2−a 2)−12(a 2+b 2−c 2) 化简得： 2a 2=b 2+c 2 故原等式成立．20．【答案】（1）解：由题意 (0.005+0.010+0.030+a +0.015)×10=1所以 a =0.040 ；（2）解：由频率分布直方图可得评分的中位数在 [80,90) 内 设评分的中位数为x则 (0.005+0.010+0.030)×10+0.040×(x −80)=0.5 解得 x =81.25 所以评分的中位数为81.25；（3）解：由题知评分在 [60,70) 和 [90,100] 内的频率分别为0.1和0.15 则抽取的5人中 评分在 [60,70) 内的为2人 评分在 [90,100] 的有3人记评分在 [90,100] 内的3位学生为a b c 评分在 [60,70) 内的2位学生为D E 则从5人中任选2人的所有可能结果为：(a,b) (a,c) (a,D) (a,E) (b,c) (b,D) (b,E) (c,D) (c,E) (D,E) 共10种；其中 这2人中至少一人评分在 [60,70) 内可能结果为：(a,D) (a,E) (b,D) (b,E) (c,D) (c,E) (D,E) 共7种；所以这2人中至少一人评分在 [60,70) 的概率 P =710.21．【答案】（1）解：因为双曲线 x 22−y 2=1 的焦点坐标为 (±√3,0)所以设所求的椭圆的方程为 x 2a 2+y 2b2=1 （ a >b >0 ）则 {a 2=b 2+33a 2+14b 2=1 解得 a 2=4,b 2=1 所以椭圆的标准方程是 x 24+y 2=1（2）解：设直线AP 的方程是 y =k(x +2) （ k ≠0 ）将其与 x 24+y 2=1 联立 消去y 得 (4k 2+1)x 2+16k 2x +16k 2−4=0 设 P(x 1,y 1)则 −2⋅x 1=16k 2−44k 2+1所以 x 1=2−8k 24k 2+1,y 1=4k 4k 2+1 所以 P(2−8k 24k 2+1,4k4k 2+1) 易知 M(2,4k)设存在点 T(x 0,y 0) 使得以MP 为直径的圆恒过直线BP 、MT 的交点Q ⇔MT ⊥BP ⇔4k−y 02−x 0⋅4k−16k2=−1 对于任意 k ≠0 成立 即 4k(1−x 0)+y 0=0 对于任意 k ≠0 成立 x 0=1,y 0=0 所以存在 T(1,0) 符合题意.22．【答案】（1）解：令 φ(x)=f(x)+g(x)φ′(x)=e x(x−1)+(1−1x)=(x−1)(e x+1x)令φ′(x)=0,x=1φ′(x)>0,x>1,φ′(x)<0,0<x<1所以φ(x)的单调递增区间是(1,+∞)单调递减区间是(0,1)所以x=1时φ(x)取得极小值也是最小值所以φ(x)min=φ(1)=1−e（2）解：g′(x)=1−1x=x−1x令g′(x)=0,x=1g′(x)<0,0<x<1,g′(x)>0,x>1 g(x)的递减区间是(0,1)递增区间是(1,+∞)所以g(x)的极小值为g(1)也是最小值g(x)≥g(1)=1>0.所以ℎ(x)=0⇔a=e x(x−2)x−lnx=s(x)因为s′(x)=e x(x−1)(x−lnx−1+2x)(x−lnx)2令k(x)=x−lnx−1+2x⇒k′(x)=(x+1)(x−2)x2令k′(x)=0,x=2k′(x)<0,0<x<2,k′(x)>0,x>2k(x)的递减区间是(0,2)递增区间是(2,+∞)所以k(x)的极小值为k(2)也是最小值所以k(x)≥k(2)=2−ln2>0所以s(x)的递减区间是(0,1)递增区间是(1,+∞)又因为x→0+,s(x)→0,x→+∞,s(x)→+∞且s(1)=−e 所以当a<−e时ℎ(x)有0个零点；当a=−e或a>0时ℎ(x)有1个零点；当−e<a<0时ℎ(x)有2个零点.。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。
2023_年普通高等学校招生全国统一考试模拟考试新高考Ⅱ卷数学试卷
２０２３年普通高等学校招生全国统一考试模拟考试新高考Ⅱ卷数学试卷李昌成(新疆乌鲁木齐市第八中学ꎬ新疆乌鲁木齐８３０００２)中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１３－００９１－０５收稿日期:２０２３－０２－０５作者简介:李昌成(１９７７－)ꎬ男ꎬ四川省资阳人ꎬ本科ꎬ中学正高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀一㊁单选题:本题共８小题ꎬ共４０分.在每小题列出的选项中ꎬ选出符合题目的一项.１.设ｉ是虚数单位ꎬ则复数２ｉ１－ｉ在复平面内所对应的点位于(㊀㊀).Ａ.第一象限㊀㊀㊀Ｂ.第二象限Ｃ.第三象限Ｄ.第四象限２.已知Ｕ＝ＲꎬＡ＝{ｘ｜ｘ<０}ꎬＢ＝{－２ꎬ－１ꎬ０ꎬ１}ꎬ则(∁ＵＡ)ɘＢ＝(㊀㊀).Ａ.１{}㊀Ｂ.{－２ꎬ－１}㊀Ｃ.０ꎬ１{}㊀Ｄ.Ø３.已知抛物线ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)的准线与圆(ｘ－３)２＋ｙ２＝１６相切ꎬ则ｐ的值为(㊀㊀).Ａ.１２㊀㊀Ｂ.１㊀㊀Ｃ.２㊀㊀Ｄ.４４.阻尼器是一种以提供运动的阻力ꎬ从而达到减振效果的专业工程装置.深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置ꎬ是亚洲最大的阻尼器ꎬ被称为 镇楼神器 .由物理学知识可知ꎬ某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动ꎬ其离开平衡位置的位移ｓ(ｃｍ)和时间ｔ(ｓ)的函数关系式为ｓ＝２ｓｉｎ(ωｘ＋φ)ꎬ其中ω>０ꎬ若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为ｓ０(－２<ｓ０<２)的时间分别为ｔ１ꎬｔ２ꎬｔ３ꎬ且ｔ３－ｔ１＝２ꎬ则ω＝(㊀㊀).Ａ.π２㊀㊀Ｂ.π㊀㊀Ｃ.３π２㊀㊀Ｄ.２π５.已知圆台的上下底面圆的半径分别为１与２ꎬ高为３ꎬ则圆台的侧面积为(㊀㊀).Ａ.７３π㊀㊀Ｂ.３３π㊀㊀Ｃ.６π㊀㊀Ｄ.１１π６.某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗ꎬ并在５００名志愿者身上进行了人体注射实验ꎬ发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答.若这些志愿者的某免疫反应蛋白Ｍ的数值Ｘ(单位:ｍｇ/Ｌ)近似服从正态分布Ｎ１５ꎬσ２()ꎬ且Ｘ在区间１０ꎬ２０()内的人数占总人数的１９/２５ꎬ则这些志愿者中免疫反应蛋白Ｍ的数值Ｘ不低于２０的人数大约为(㊀㊀).Ａ.３０㊀㊀Ｂ.６０㊀㊀Ｃ.７０㊀㊀Ｄ.１４０７.已知５５<８４ꎬ１３４<８５ꎬ设ａ＝ｌｏｇ５３ꎬｂ＝ｌｏｇ８５ꎬｃ＝ｌｏｇ１３８ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ａ<ｂ<ｃ㊀㊀㊀㊀Ｂ.ｂ<ａ<ｃＣ.ｂ<ｃ<ａＤ.ｃ<ａ<ｂ８.设函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬｆ(ｘ＋１)为奇函数ꎬｆ(ｘ＋２)为偶函数ꎬ当ｘɪ[１ꎬ２]时ꎬｆ(ｘ)＝ａｘ２＋ｂ.若ｆ(０)＋ｆ(３)＝６ꎬ则ｆ(９２)＝(㊀㊀).Ａ.－９４㊀㊀Ｂ.－３２㊀㊀Ｃ.７４㊀㊀Ｄ.５２二㊁多选题:本题共４小题ꎬ共２０分ꎬ每小题有多项符合题目要求.９.若数据ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｍ的平均数为ｘꎬ方差为ｓ２ｘꎬ数据ｙ１ꎬｙ２ꎬ ꎬｙｎ的平均数为ｙꎬ方差为ｓ２ｙꎬ下列说法中一定正确的有(㊀㊀).Ａ.这ｍ＋ｎ个数据的平均数为ｍｘ＋ｎｙｍ＋ｎＢ.若这ｍ＋ｎ个数据的平均数为ωꎬ则这ｍ＋ｎ个数据的方差为ｓ２＝ｍ[ｓ２ｘ＋(ｘ－ω)２]＋ｎ[ｓ２ｙ＋(ｙ－ω)２]ｍ＋ｎＣ.若ｍ＝ｎꎬｙｉ＝ａｘｉ＋ｂ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)ꎬ则ｙ＝ａｘ＋ｂＤ.若ｍ＝ｎꎬｙｉ＝ａｘｉ＋ｂ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)ꎬ则ｓ２ｙ＝ａ２ｓ２ｘ＋ｂ１０.如图１ꎬ在长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬＡＢ＝３ꎬＡＤ＝ＡＡ１＝１ꎬ点Ｐ为线段Ａ１Ｃ上的动点ꎬ则下列说法正确的是(㊀㊀).图１Ａ.当Ａ１Ｃ＝３Ａ１Ｐ时ꎬＤ１Ｐʊ平面ＢＤＣ１Ｂ.当Ａ１Ｃ＝３Ａ１Ｐ时ꎬＡꎬＰꎬＣ１三点共线Ｃ.当Ａ１Ｃ＝５Ａ１Ｐ时ꎬＡ１Ｃʅ平面Ｄ１ＡＰＤ.当Ａ１Ｃ＝５Ａ１Ｐ时ꎬøＤ１ＰＡ取得最大值１１.已知圆Ｍ:(ｘ－１－ｃｏｓθ)２＋(ｙ－２－ｓｉｎθ)２＝１ꎬ直线ｌ:ｋｘ－ｙ－ｋ＋２＝０ꎬ下列四个选项ꎬ其中正确的是(㊀㊀).Ａ.对任意实数ｋ与θꎬ直线ｌ和圆Ｍ有公共点Ｂ.存在实数ｋ与θꎬ直线ｌ和圆Ｍ相离Ｃ.对任意实数ｋꎬ必存在实数θꎬ使得直线ｌ与圆Ｍ相切Ｄ.对任意实数θꎬ必存在实数ｋꎬ使得直线ｌ与圆Ｍ相切１２.设１－２ｘ()ｎ＝ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋ａ３ｘ３＋ ＋ａｎｘｎꎬｘɪＲꎬｎɪＮ∗ꎬ则下列结论中正确的是(㊀㊀).Ａ.－ａ１２＋ａ２２２－ａ３２３＋ ＋－１()ｎａｎ２ｎ＝２ｎ－１Ｂ.当ｎȡ３时ꎬ２ａ２＋６ａ３＋ ＋ｎｎ－１()ａｎ＝４ｎｎ－１()Ｃ.若ａ８>ａ７ꎬａ８>ａ９ꎬ则ｎ＝１２Ｄ.当ｘ＝－１２０００ꎬｎ＝２０２２时ꎬ１－２ｘ()ｎ>１０９１５三㊁填空题:本题共４小题ꎬ共２０分.１３.已知双曲线Ｃ的焦点在坐标轴上ꎬ中心为坐标原点ꎬ其渐近线方程为ｙ＝ʃ２ｘꎬ则该双曲线Ｃ的离心率为.１４.әＡＢＣ中ꎬＡＢ＝２ꎬøＡＣＢ＝π４ꎬＯ是әＡＢＣ外接圆的圆心ꎬ则ＯＣң ＡＢң＋ＣＡң ＣＢң的最大值为.１５.写出一个定义在Ｒ上且值域为(－１ꎬ１)的奇函数ｆ(ｘ)＝.１６.设函数ｆ(ｘ)＝ｅｘｘ＋ａ(ｘ－１)＋ｂ(ａꎬｂɪＲ)在区间１ꎬ３[]上总存在零点ꎬ则ａ２＋ｂ２的最小值为.四㊁解答题:本题共６小题ꎬ共７０分.解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.１７.(本小题１０分)已知正项等比数列ａｎ{}满足ａ３＝９ꎬａ４－ａ２＝２４.(１)求数列ａｎ{}的通项公式ａｎꎻ(２)设ｂｎ＝ｎ ａｎꎬ求数列ｂｎ{}的前ｎ项的和Ｓｎ.１８.(本小题１２分)在әＡＢＣ中ꎬ内角ＡꎬＢꎬＣ的对边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ且ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ＝２ｃｃｏｓＣ.(１)求Ｃꎻ(２)若әＡＢＣ的面积为１０３ꎬＤ为ＡＣ的中点ꎬ求ＢＤ的最小值.１９.(本小题１２分)如图２ꎬ已知四棱锥Ｐ－ＡＢ￣ＣＤꎬ底面ＡＢＣＤ为菱形ꎬＰＡʅ平面ＡＢＣＤꎬøＡＢＣ＝６０ʎꎬＥꎬＦ分别是ＢＣꎬＰＣ的中点.(１)证明:ＡＥʅＰＤꎻ(２)若Ｈ为ＰＤ上的动点ꎬＥＨ与平面ＰＡＤ所成最大角的正切值为６/２ꎬ求二面角Ｅ－ＡＦ－Ｃ的余弦值.图２２０.(本小题１２分)已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)ꎬａ＝３ｂꎬ点(１ꎬ２２３)在椭圆Ｃ上.(１)求椭圆Ｃ的方程ꎻ(２)若过点Ｑ(１ꎬ０)且不与ｙ轴垂直的直线ｌ与椭圆Ｃ交于ＭꎬＮ两点ꎬＴ(３ꎬ０)ꎬ证明ＴＭꎬＴＮ斜率之积为定值.２１.(本小题１２分)现有一批疫苗试剂ꎬ拟进入动物试验阶段ꎬ将１０００只动物平均分成１００组ꎬ任选一组进行试验.第一轮注射ꎬ对该组的每只动物都注射一次ꎬ若检验出该组中有９只或１０只动物产生抗体ꎬ说明疫苗有效ꎬ试验终止ꎻ否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射ꎬ再次检验.如果被二次注射的动物都产生抗体ꎬ说明疫苗有效ꎬ否则需要改进疫苗.设每只动物是否产生抗体相互独立ꎬ两次注射疫苗互不影响ꎬ且产生抗体的概率均为ｐ(０<ｐ<１).(１)求该组试验只需第一轮注射的概率(用含ｐ的多项式表示)ꎻ(２)记该组动物需要注射次数Ｘ的数学期望为Ｅ(Ｘ)ꎬ求证:１０<Ｅ(Ｘ)<１０(２－ｐ).２２.(本小题１２分)已知ｆ(ｘ)＝(ｘ－１)ｅｘ＋１２ａｘ２＋１ꎬａɪＲ.(１)讨论函数ｆ(ｘ)的单调性ꎻ(２)若函数ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－(ｘ－１)ｅｘ－１＋ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ在(０ꎬπ２]上有１个零点ꎬ求实数ａ的取值范围.参考答案１.Ｂ㊀２.Ｃ㊀３.Ｃ㊀４.Ｂ㊀５.Ｃ㊀６.Ｂ㊀７.Ａ㊀８.Ｄ９.ＡＢＣ㊀１０.ＡＣＤ㊀１１.ＡＣ㊀１２.ＡＣＤ１３.５或５２㊀１４.３㊀１５.ｅｘ－１ｅｘ＋１㊀１６.ｅ４８１７.(１)设数列ａｎ{}的公比为ｑꎬ由ａ４－ａ２＝２４ꎬ得９ｑ－９ｑ＝２４.即３ｑ２－８ｑ－３＝０.解得ｑ＝３或ｑ＝－１３.又因为ａｎ>０ꎬ则ｑ>０.所以ｑ＝３.所以ａｎ＝９ˑ３ｎ－３＝３ｎ－１.(２)因为ａｎ＝３ｎ－１ꎬ所以ｂｎ＝ｎ ａｎ＝ｎˑ３ｎ－１.所以Ｓｎ＝１ˑ３０＋２ˑ３１＋３ˑ３２＋ ＋ｎˑ３ｎ－１ꎬ３Ｓｎ＝１ˑ３１＋２ˑ３２＋ ＋ｎ－１()３ｎ－１＋ｎˑ３ｎ.所以－２Ｓｎ＝１＋３１＋３２＋ ＋３ｎ－１－ｎ ３ｎ＝(１－２ｎ) ３ｎ－１２.所以Ｓｎ＝(２ｎ－１) ３ｎ＋１４.１８.(１)在әＡＢＣ中ꎬａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ＝２ｃｃｏｓＣꎬ所以由正弦定理可得ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢｃｏｓＡ＝２ｓｉｎＣｃｏｓＣ.所以ｓｉｎ(Ａ＋Ｂ)＝２ｓｉｎＣｃｏｓＣ.所以ｓｉｎＣ＝２ｓｉｎＣｃｏｓＣ.因为ｓｉｎＣʂ０ꎬ所以ｃｏｓＣ＝１２.所以由三角形内角的范围可得角Ｃ＝π３.２()由题意知ＳәＡＢＣ＝１２ａｂｓｉｎＣ＝１２ａｂ ３２＝１０３.所以ａｂ＝４０.在әＢＣＤ中ꎬ由余弦定理ꎬ得｜ＢＤ｜２＝ａ２＋ｂ２４－ａｂｃｏｓＣ＝ａ２＋ｂ２４－１２ａｂȡ２ａｂ２－１２ａｂ＝１２ａｂ＝２０ꎬ当且仅当ａ＝１２ｂ且ａｂ＝４０ꎬ即ａ＝２５ꎬｂ＝４５时取等号.所以ＢＤ的最小值为２５.１９.１()由四边形ＡＢＣＤ为菱形ꎬøＡＢＣ＝６０ʎꎬ可得әＡＢＣ为正三角形.图３因为Ｅ为ＢＣ的中点ꎬ所以ＡＥʅＢＣ.又ＢＣʊＡＤꎬ因此ＡＥʅＡＤ.因为ＰＡʅ平面ＡＢＣＤꎬＡＥ⊂平面ＡＢＣＤꎬ所以ＰＡʅＡＥ.而ＰＡ⊂平面ＰＡＤꎬＡＤ⊂平面ＰＡＤ且ＰＡɘＡＤ＝Ａꎬ所以ＡＥʅ平面ＰＡＤ.又ＰＤ⊂平面ＰＡＤꎬ所以ＡＥʅＰＤ.２()如图３ꎬ设ＡＢ＝２ꎬＨ为ＰＤ上任意一点ꎬ连接ＡＨꎬＥＨꎬ由１()知ＡＥʅ平面ＰＡＤ.所以øＥＨＡ为ＥＨ与平面ＰＡＤ所成的角.在ＲｔәＥＡＨ中ꎬＡＥ＝３ꎬ所以当ＡＨ最短时ꎬøＥＨＡ最大ꎬ即当ＡＨʅＰＤ时ꎬøＥＨＡ最大.因为ｔａｎøＥＨＡ＝６２ꎬ所以ＡＥＡＨ＝３ＡＨ＝６２.因此ＡＨ＝２.又ＡＤ＝２ꎬ所以øＡＤＨ＝４５ʎ.所以ＰＡ＝２.因为ＰＡʅ平面ＡＢＣＤꎬＰＡ⊂平面ＰＡＣꎬ所以平面ＰＡＣʅ平面ＡＢＣＤ.过点Ｅ作ＥＯʅＡＣ于点Ｏꎬ则ＥＯʅ平面ＰＡＣ.过点Ｏ作ＯＳʅＡＦ于点Ｓꎬ连接ＥＳꎬ则øＥＳＯ为二面角Ｅ－ＡＦ－Ｃ的平面角.在ＲｔәＡＯＥ中ꎬＥＯ＝ＡＥ ｓｉｎ３０ʎ＝３２ꎬＡＯ＝ＡＥ ｃｏｓ３０ʎ＝３２ꎬ又点Ｆ是ＰＣ的中点ꎬ在ＲｔәＡＳＯ中ꎬＳＯ＝ＡＯ ｓｉｎ４５ʎ＝３２４ꎬ又ＳＥ＝ＥＯ２＋ＳＯ２＝３４＋９８＝３０４ꎬ在ＲｔәＥＳＯ中ꎬｃｏｓøＥＳＯ＝３２/４３０/４＝１５５ꎬ即所求二面角的余弦值为１５５.２０.１()由点(１ꎬ２２３)在椭圆Ｃ上ꎬ可得１ａ２＋８９ｂ２＝１.又ａ＝３ｂꎬ解得ａ＝３ꎬｂ＝１.所以椭圆Ｃ的方程为ｘ２９＋ｙ２＝１.２()过点Ｑ(１ꎬ０)且不与ｙ轴垂直的直线ｌ的方程设为ｘ＝ｍｙ＋１ꎬ与椭圆方程ｘ２＋９ｙ２＝９联立ꎬ消去ｘ可得(９＋ｍ２)ｙ２＋２ｍｙ－８＝０.设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则ｙ１＋ｙ２＝－２ｍ９＋ｍ２ꎬｙ１ｙ２＝－８９＋ｍ２.则ｋＴＭ ｋＴＮ＝ｙ１ｘ１－３ｙ２ｘ２－３＝ｙ１ｙ２(ｍｙ１－２)(ｍｙ２－２)＝ｙ１ｙ２ｍ２ｙ１ｙ２＋４－２ｍ(ｙ１＋ｙ２)＝－２９.则ＴＭꎬＴＮ斜率之积为定值－２９.２１.１()平均每组１０００１００＝１０人ꎬ设第一次注射有Ｙ只动物产生抗体ꎬ则ＹʐＢ(１０ꎬｐ).所以Ｐ(Ｙ＝９)＋Ｐ(Ｙ＝１０)＝ｐ１０＋１０ｐ９(１－ｐ)＝１０ｐ９－９ｐ１０.所以该组试验只需第一轮注射的概率为１０ｐ９－９ｐ１０.２()由１()得Ｐ(Ｘ＝１０)＝１０ｐ９－９ｐ１０.又Ｐ(Ｘ＝１０＋ｋ)＝Ｃ１０－ｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋꎬｋ＝２ꎬ３ꎬ ꎬ１０ꎬ所以Ｅ(Ｘ)＝１０Ｐ(Ｘ＝１０)＋ð１０ｋ＝２(１０＋ｋ)Ｐ(Ｘ＝１０＋ｋ)＝１０ｐ１０＋１０ｐ９(１－ｐ)[]＋ð１０ｋ＝２(１０＋ｋ)Ｃ１０－ｋ１０ (１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ＝１０ð１０ｋ＝０Ｃ１０－ｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ＋ð１０ｋ＝０ｋＣ１０－ｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ－Ｃ９１０(１－ｐ)ｐ９.设ξʐＢ(１０ꎬ１－ｐ)ꎬ则Ｅ(ξ)＝ð１０ｋ＝０ｋＣｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ＝１０(１－ｐ).又ð１０ｋ＝０Ｃ１０－ｋ１０(１－ｐ)ｋｐ１０－ｋ＝(１－ｐ＋ｐ)１０ꎬ所以Ｅ(Ｘ)＝１０(１－ｐ＋ｐ)１０＋１０(１－ｐ)－１０(１－ｐ)ｐ９＝１０＋１０(１－ｐ)－１０(１－ｐ)ｐ９＝２０－１０ｐ－１０ｐ９＋１０ｐ１０＝１０＋１０(１－ｐ)(１－ｐ９).因为０<ｐ<１ꎬ所以Ｅ(Ｘ)>１０.又Ｅ(Ｘ)＝１０＋１０１－ｐ()１－ｐ９()＝２０－１０ｐ－１０ｐ９＋１０ｐ１０＝１０２－ｐ()－１０ｐ９１－ｐ()ꎬ因为０<ｐ<１ꎬ所以Ｅ(Ｘ)<１０２－ｐ().所以１０<Ｅ(Ｘ)<１０(２－ｐ).２２.１()函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬ求导ꎬ得ｆᶄ(ｘ)＝ｘｅｘ＋ａｘ＝ｘｅｘ＋ａ().当ａȡ０时ꎬ当ｘ<０时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ当ｘ>０时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ则ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)上单调递减ꎬ在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增.当ａ<０时ꎬ令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ得ｘ１＝０ꎬｘ２＝ｌｎ(－ａ).若ｌｎ(－ａ)＝０ꎬ即ａ＝－１时ꎬｆᶄ(ｘ)ȡ０ꎬ则有ｆ(ｘ)在Ｒ上单调递增ꎻ若ｌｎ(－ａ)<０ꎬ即－１<ａ<０时ꎬ当ｘ<ｌｎ(－ａ)或ｘ>０时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ当ｌｎ(－ａ)<ｘ<０时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ则有ｆ(ｘ)在(－ɕꎬｌｎ(－ａ))ꎬ(０ꎬ＋ɕ)上都单调递增ꎬ在(ｌｎ(－ａ)ꎬ０)上单调递减ꎻ若ｌｎ(－ａ)>０ꎬ即ａ<－１时ꎬ当ｘ<０或ｘ>ｌｎ(－ａ)时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ当０<ｘ<ｌｎ(－ａ)时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ则有ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)ꎬ(ｌｎ(－ａ)ꎬ＋ɕ)上都单调递增ꎬ在(０ꎬｌｎ(－ａ))上单调递减.所以ꎬ当ａȡ０时ꎬｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)上单调递减ꎬ在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎻ当－１<ａ<０时ꎬｆ(ｘ)在(－ɕꎬｌｎ(－ａ))ꎬ(０ꎬ＋ɕ)上都单调递增ꎬ在(ｌｎ(－ａ)ꎬ０)上单调递减ꎻ当ａ＝－１时ꎬｆ(ｘ)在Ｒ上单调递增ꎻ当ａ<－１时ꎬｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)ꎬ(ｌｎ(－ａ)ꎬ＋ɕ)上都单调递增ꎬ在(０ꎬｌｎ(－ａ))上单调递减.２()依题意ꎬｇ(ｘ)＝１２ａｘ２＋ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘꎬｘɪ(０ꎬπ２]ꎬｇᶄ(ｘ)＝ｘ(ａ－ｓｉｎｘ)ꎬ当ｘɪ(０ꎬπ２]时ꎬ０<ｓｉｎｘɤ１ꎬ当ａȡ１时ꎬａ－ｓｉｎｘȡ０ꎬｇᶄ(ｘ)ȡ０ꎬ则函数ｇ(ｘ)在(０ꎬπ２]上单调递增ꎬ有ｇ(ｘ)>ｇ(０)＝０ꎬ无零点ꎻ当ａɤ０时ꎬａ－ｓｉｎｘɤ０ꎬｇᶄ(ｘ)<０ꎬ函数ｇ(ｘ)在(０ꎬπ２]上单调递减ꎬｇ(ｘ)<ｇ(０)＝０ꎬ无零点ꎻ当０<ａ<１时ꎬ∃ｘ０ɪ(０ꎬπ２)ꎬ使得ｓｉｎｘ０＝ａꎬ而ｓｉｎｘ在(０ꎬπ２)上单调递增ꎬ当０<ｘ<ｘ０时ꎬｇᶄ(ｘ)>０ꎬ当ｘ０<ｘ<π２时ꎬｇᶄ(ｘ)<０ꎬ因此ꎬｇ(ｘ)在０ꎬｘ０()上单调递增ꎬ在(ｘ０ꎬπ２)上单调递减.又ｇ(０)＝０ꎬｇπ２æèçöø÷＝ａπ２８－１ꎬ若ｇ(π２)>０ꎬ即８π２<ａ<１时ꎬ无零点ꎻ若ｇ(π２)ɤ０ꎬ即０<ａɤ８π２时ꎬｇ(ｘ)有一个零点.综上可知ꎬ当０<ａɤ８π２时ꎬｇ(ｘ)在(０ꎬπ２]有１个零点ꎬ所以实数ａ的取值范围０<ａɤ８π２.[责任编辑:李㊀璟]。
2024年河北高考数学模拟试卷及答案
2024年河北高考数学模拟试卷及答案（一）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知抛物线C ：212y x = ，则C 的准线方程为 A ． 18x =B ．1-8x =C ．18y =D ．1-8y = 2．已知复数121z i=+ ，复数22z i =，则21z z -=A ．1BC ．．10 3．已知命题:(0,)ln xp x e x ∀∈+∞>，，则 A ．p 是假命题，:(-)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，0，B ．p 是假命题， :(0+)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，，C ．p 是真命题，:(-)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，0，D ．p 是真命题，:(0+)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，，4．已知圆台1O O 上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为 A ．8πB ．16πC ．26πD ．32π5．下列不等式成立的是A.66log 0.5log 0.7>B. 0.50.60.6log 0.5>C.65log 0.6log 0.5>D. 0.60.50.60.6>6.某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表：由上表制作成如图所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线1l 的方程为11ˆˆˆy b x a =+，其相关系数为1r ；经过残差分析，点（167，90）对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线2l 的方程为22ˆˆˆy b x a =+，相关系数为2r .则下列选项正确的是 A ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <>< B ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <<> C ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r ><> D ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r >>< 7．函数()y f x =的导数()y f x '=仍是x 的函数，通常把导函数()y f x '=的导数叫做函数的二阶导数，记作()y f x ''=，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数一般地，n-1阶导数的导数叫做 n 阶导数，函数()y f x =的n 阶导数记为()n y fx =（），例如xy e =的n 阶导数()()n xx ee =．若()cos 2xf x xe x =+，则()500f =（）A ．49492+B ．49C ．50D ．50502-8．已知函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如下，12y =与其交于A ，B 两点. 若3AB π=，则ω=A ．1B ．2C ．3D ．4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
全国高考数学模拟试卷(4套)
全国高考数学模拟试卷(4套)一、选择题（共30题，每题2分，共60分）1. 已知函数 $ f(x) = x^2 4x + 3 $，则下列哪个选项是正确的？A. $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处取得最小值B. $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处取得最大值C. $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处取得极值D. $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处无极值2. 若 $ \log_2 8 = x $，则 $ x $ 的值为多少？A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知等差数列 $ \{a_n\} $，若 $ a_1 = 3 $，$ a_3 = 9 $，则 $ a_5 $ 的值为多少？A. 12B. 15C. 18D. 214. 若 $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $，则下列哪个选项是正确的？A. $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 必须同时为正B. $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 必须同时为负C. $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 一正一负D. $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 可以同时为零5. 若 $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $，则下列哪个选项是正确的？A. $ a + c = b + d $B. $ ad = bc $C. $ a c = b d $D. $ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} $6. 已知 $ a $、$ b $、$ c $ 是等边三角形的三边长，则下列哪个选项是正确的？A. $ a^2 + b^2 = c^2 $B. $ a^2 + c^2 = b^2 $C. $ b^2 + c^2 = a^2 $D. $ a = b = c $7. 若 $ \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1 $，则下列哪个选项是正确的？A. 该方程表示椭圆B. 该方程表示双曲线C. 该方程表示抛物线D. 该方程表示圆8. 已知 $ \sqrt{3} $ 是方程 $ x^2 2x + 1 = 0 $ 的根，则该方程的另一根为多少？A. $ 1 \sqrt{3} $B. $ 1 + \sqrt{3} $C. $ 2 \sqrt{3} $D. $ 2 + \sqrt{3} $9. 若 $ a $、$ b $、$ c $ 是三角形的三边长，且 $ a^2 +b^2 = c^2 $，则下列哪个选项是正确的？A. 该三角形是等腰三角形B. 该三角形是等边三角形C. 该三角形是直角三角形D. 该三角形是钝角三角形10. 若 $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z} $，则下列哪个选项是正确的？A. $ x + y = z $B. $ xy = z $C. $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = z $D. $ x + y + z = 0 $二、填空题（共10题，每题2分，共20分）11. 已知 $ f(x) = 2x + 1 $，若 $ f(3) = 7 $，则 $ f(1)$ 的值为______。
2024届高三数学仿真模拟卷(天津卷)(全解全析)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（天津卷）第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，2，本卷共9小题，每小题5分，共45分参考公式：•如果事件A 、B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B ．•如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．•球的体积公式313V R π=，其中R 表示球的半径．•圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高。
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2120A x x x =--<，(){}2R log 51B x x =∈-<，则()A B =R I ð（）A ．{}34x x -<≤B ．{}34x x -≤<C ．{}4x x ≥D ．{}45x x ≤<【答案】D【解析】由2120x x --<，得34x -<<，所以{}34A x x =-<<；由()2log 51x -<，得052x <-<，解得35x <<，所以{}35B x x =<<.所以{R 3A x x =≤-ð或}4x ≥，所以(){}R 45A B x x ⋂=≤<ð.故选：D ．2．已知等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，则“0d >”是“81092S S S +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为8109810991091092220S S S S S S a a a a a d +>⇔+-=+-=-=>，所以“0d >”是“81092S S S +>”的充要条件.故选：C.3．华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．sin ()3xf x =B ．cos ()3xf x =C ．sin 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．cos 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数图象可知，()y f x =的图象不关y 轴对称,而()()cos cos ()33x xf x f x --===，()()cos cos 11()33x xf x f x -⎛⎫⎛⎫-=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即这两个函数均关于y 轴对称，则排除选项B 、D ；由指数函数的性质可知3xy =为单调递增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减函数，由sin y x =的图象可知存在一个极小的值00x >，使得sin y x =在区间()00,x 上单调递增，由复合函数的单调性可知，sin ()3xf x =在区间()00,x 上单调递增，sin 1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()00,x 上单调递减，由图象可知sin ()3x f x =符合题意，故选：A .4．已知0.10.52log 3,log 3,2a b c -===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b<c<a【答案】A【解析】由题意得0.5log y x =在(0,)+∞上单调递减，2log y x =在(0,)+∞上单调递增，2x y =在R 上单调递增，故0.10.50.0522102121log 3log ,log 3log ,02a b c -=<<==<=>==，故a c b <<，故选：A5．下列说法错误的是（）A ．若随机变量ξ、η满足21ηξ=-且()3D ξ=，则()12D η=B ．样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为62C ．若事件A 、B 相互独立，则()(|)P A B P A =D ．若A 、B 两组成对数据的相关系数分别为0.95A r =、0.98B r =-，则A 组数据的相关性更强【答案】D【解析】对于A ：因为21ηξ=-且()3D ξ=，所以()()()221212D D D ηξξ=-=⨯=，故A 正确；对于B ：因为1045% 4.5⨯=，所以第45百分位数为从小到大排列的第5个数，即为62，故B 正确；对于C ：若事件A 、B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，所以()()()()()()(|)P AB P A P B P A B P A P B P B ===，故C 正确；对于D ：若A 、B 两组成对数据的相关系数分别为0.95A r =、0.98B r =-，因为B A r r >，所以B 组数据的相关性更强，故D 错误.故选：D6的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为1的鸡蛋（视为球）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为（）A ．322+B ．32C ．322+D ．322+【答案】D【解析】由题得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1．由于鸡蛋（球）的半径为12=，而垂直折起的4个小直角三角形的高为12，故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为1312222++=+．故选：D ．7．已知函数()()ππ2sin 222f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，将函数()f x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数()g x 的图像，则下列说法正确的是（）A ．()f x 在区间ππ36⎛⎫- ⎪⎝⎭，上的值域是(]12-，B ．()2sin2g x x=-C ．函数()g x 在π5π1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增D ．函数()g x 在区间[]ππ-，内有3个零点【答案】C【解析】 函数()f x 的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，π2π2sin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ππ,Z 3k k ϕ∴+=∈，即2ππ,Z 3k k ϕ=-+∈，又ππ22ϕ-<<，π3ϕ∴=，则()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．当ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2π2,333x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，πsin 2,13x ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，()(2f x⎤∴∈⎦，故A 错误；将函数()f x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，故B 错误；令2223πππππ,22k x k k -+≤-≤+∈Z ，得π5πππ,1212k x k k -+≤≤+∈Z ，当0k =时，π51212πx -≤≤，∴函数()g x 在π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；令π2π,3x k k -=∈Z ，得ππ62k x =+，k ∈Z ，∴函数()g x 在区间[]π,π-内的零点有5π6x =-，ππ2π,,363x x x =-==，共4个，故D 错误．故选：C.8．记双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）虚轴的两个端点分别为M ，N ，点A ，B 在双曲线C 上，点E在x 轴上，若M ，N 分别为线段EA ，EB 的中点，且60AEB ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（）ABC．3D【答案】C【解析】由题意得，M ，N 关于x 轴对称，则,A B 也关于x 轴对称且4AB b =，不妨设点A 在双曲线C 的右支上且在第一象限，其纵坐标为2b ，又因为260AEB AEO ∠=∠=︒，所以30AEO ∠=︒，所以4AE BE b ==，则ABE 为等边三角形，故),2Ab ，代入22221x y a b-=中，得2253b a =，则双曲线C的离心率c e a ===C 正确.故选:C.9．已知函数()()()eln 010xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，若关于x 的方程()()210f x af x a -+⎣⎦-⎤=⎡有8个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（）A．()1,1-B．)1,1C．()2,1D．()1,2+【答案】C【解析】令()eln xh x x =，则()()2e 1ln x h x x-'=，令()0h x '=，解得e x =，故当0e x <<时，()()0,h x h x '>单调递增，当e x >时，()()0,h x h x '<单调递减，所以()()max e 1h x h ==，且当1x >时，()0h x >，当01x <<时，()0h x <，结合绝对值函数的图象可画出函数()f x的大致图象，如图所示：令()t f x =，则方程()()210f x af x a ⎡⎤-+-=⎣⎦，即方程()210t at a -+-=*，()22Δ4144a a a a =--=+-，①当Δ0<时，()*式无实数根，直线y t =和()f x 的图象无交点，原方程无实数根；②当Δ0=时，()*式有两个相等的实数根，直线y t =和()f x 的图象最多有4个交点，因此要使()()210f x af x a ⎡⎤-+-=⎣⎦有8个不相等的实数根，则()*式有两个不相等的实数根，不妨设为12,t t ，且12t t <，则1201t t <<<.则22Δ440012101110a a a a a a ⎧=+->⎪⎪<<⎪⎨⎪->⎪-⨯+->⎪⎩，解得21a <<.故选：C.第II 卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷1233
高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义． 【重点知识梳理】 1．向量的有关概念名称 定义备注向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量 长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a|a|平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量 长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定 义 法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a. (2)结合律： (a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c)减法 求a 与b 的相反向量 －b 的和的a －b ＝a ＋(－b)运算叫做a与b的差数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa．【高频考点突破】考点一平面向量的有关概念【例1】给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④【答案】A【规律方法】(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a|的关系：a|a|是与a 同方向的单位向量．【变式探究】给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为() A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C考点二 平面向量的线性运算【例2】 (1)在△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a·b ＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD →＝() A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35b D.45a －45b(2)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与B D 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．【答案】(1)D(2)2规律方法 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．【变式探究】 (1)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝()A ．a －12b B.12a －b C ．a ＋12b D.12a ＋b(2)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则()A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0【答案】(1)D(2)A考点三 共线向量定理的应用【例3】设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b)．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．【规律方法】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．【变式探究】 (1)已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋mj ，AD →＝ni ＋j.若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应该满足的条件是()A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝－1C ．mn ＝1D ．mn ＝－1(2)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m 的值为________．【答案】(1)C(2)3考点五 方程思想在平面向量的线性运算中的应用数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．【例4】如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b.试用a 和b 表示向量OM →.【真题感悟】1.【高考安徽，文15】ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB2=→，b a AC+=→2，则下列结论中正确的是.（写出所有正确结论得序号）①a为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤→⊥+BC b a )4( 。
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷1332
高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 【重点知识梳理】 1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：an ＋1－an ＝d(n ∈N*，d 为常数)，或an －an －1＝d (n≥2，d 为常数)． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d ，则其通项公式为an ＝a1＋(n －1)d ． 通项公式的推广：an ＝am ＋(n －m)d(m ，n ∈N*)． (2)等差数列的前n 项和公式 Sn ＝n （a1＋an ）2＝na1＋n （n －1）2d(其中n ∈N*，a1为首项，d 为公差，an 为第n 项)． 3．等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2．(2)若{an}为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则am ＋an ＝ap ＋aq(m ，n ，p ，q ∈N*)．(3)若{an}是等差数列，公差为d ，则ak ，ak ＋m ，ak ＋2m ，…(k ，m ∈N*)是公差为m d 的等差数列． (4)数列Sm ，S2m －Sm ，S3m －S2m ，…也是等差数列． (5)S2n －1＝(2n －1)an.(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2； 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 4．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 Sn ＝d 2n2＋⎝⎛⎭⎫a1－d 2n.数列{an}是等差数列⇔Sn ＝An2＋Bn(A ，B 为常数)． 5．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．【高频考点突破】考点一等差数列的性质及基本量的求解【例1】 (1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝()A．－6 B．－4 C．－2 D．2【答案】A(2)(·浙江卷)已知等差数列{an}的公差d＞0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.①求d及Sn；②求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.规律方法(1)一般地，运用等差数列性质，可以化繁为简、优化解题过程．但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，只有当序号之和相等、项数相同时才成立．(2)在求解等差数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．【变式探究】(1)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于()A．0 B．37 C．100 D．－37(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A ．13B ．12C ．11D ．10(3)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________．【答案】(1)C(2)A(3)60考点二 等差数列的判定与证明【例2】若数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足an ＋2SnSn －1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1Sn 成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．规律方法证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明an－an－1＝d(n≥2，d为常数)；二是等差中项法，证明2an＋1＝an＋an＋2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．【变式探究】已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝Snn＋c，是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．考点三等差数列前n项和的最值问题【例3】等差数列{an}的首项a1＞0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时，Sn有最大值？规律方法求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和Sn＝A n2＋Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值．【变式探究】(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是()A．5 B．6 C．7 D．8(2)设数列{an}是公差d ＜0的等差数列，Sn 为前n 项和，若S6＝5a1＋10d ，则Sn 取最大值时，n 的值为()A ．5B ．6C ．5或6D ．11(3)已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和Sn 的最大值为________．【答案】(1)B(2)C(3)110 【真题感悟】【高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（）（A ）172（B ）192（C ）10（D ）12 【答案】B【高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为，则该数列的首项为________ 【答案】5【高考福建，文16】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________．【答案】9【高考浙江，文10】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a =，d =．【答案】2,13-1．（·安徽卷）数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.【答案】12．（·北京卷）若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n ＝________时，{an}的前n 项和最大．【答案】83．（·福建卷）等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 【答案】C4．（·湖北卷）已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式．(2)记Sn 为数列{an}的前n 项和，是否存在正整数n ，使得Sn>60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．5．（·湖南卷）已知数列{an}满足a1＝1，|an ＋1－an|＝pn ，n ∈N*. (1)若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a2n －1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．6．（·辽宁卷）设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则() A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0【答案】C7．（·全国卷）等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.8．（·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ.(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．9．（·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－14nanan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.10．（·陕西卷）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．11．（·天津卷）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn 为其前n 项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．【答案】－1212．（·重庆卷）设a1＝1，an ＋1＝a2n －2an ＋2＋b(n ∈N*)． (1)若b ＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a2n<c<a2n ＋1对所有n ∈N*成立？证明你的结论．13．（·新课标全国卷Ⅰ] 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为()图1－3A．16＋8π B．8＋8πC．16＋16π D．8＋16π【答案】A14．（·新课标全国卷Ⅰ] 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C15．（·广东卷）在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．【答案】2016．（·北京卷）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2，…的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：dn＝－d(n＝1，2，3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；(3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1，2，3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.17．（·全国卷）等差数列{a n}前n 项和为Sn.已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．18．（·山东卷）设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S4＝4S2，a2n ＝2an ＋1. (1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n 项和为Tn ，且Tn ＋an ＋12n ＝λ(λ为常数)，令cn ＝b2n(n ∈N*)，求数列{cn}的前n 项和Rn.19．（·四川卷） 在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n 项和．20．（·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的前n 项和为Sn ，已知S10＝0，S15＝25，则nSn 的最小值为________．【答案】－4921．（·重庆卷）已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn 为其前n 项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________．【答案】64【押题专练】1．记Sn 为等差数列{an}的前n 项和，若S33－S22＝1，则其公差d ＝()A.12 B ．2 C ．3D ．4【答案】B2．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn 为其前n 项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝() A ．2B ．－2C.12D ．－12【答案】D3．已知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为 () A ．24B ．39C ．104D ．52【答案】D4．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，公差d≠0，若S11＝132，a3＋ak ＝24，则正整数k 的值为 () A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】A5．已知数列{an}满足an ＋1＝an －57，且a1＝5，设{an}的前n 项和为Sn ，则使得Sn 取得最大值的序号n 的值为() A ．7B ．8C ．7或8D ．8或9【答案】C6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为 ()A.53B.103C.56D.116【答案】A7．设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，(n ＋1)Sn ＜nSn ＋1(n ∈N*)．若a8a7＜－1，则 () A ．Sn 的最大值是S8 B ．Sn 的最小值是S8 C ．Sn 的最大值是S7D ．Sn 的最小值是S7【答案】D8．在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________．【答案】999．设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________．【答案】－110．已知等差数列{an}中，S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________．【答案】4511．设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1<0，S2 015＝0. (1)求Sn 的最小值及此时n 的值； (2)求n 的取值集合，使an≥Sn.12．已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为Sn ，且Sk ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{bn}的通项bn ＝Snn ，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n 项和Tn.高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.了解平面向量基本定理及其意义．2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【热点题型】题型一 平面向量基本定理的应用例1 (1)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ等于( )A.15B.25C.35D.45(2)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案 (1)D (2)311解析 (1)因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →， 所以AB →＝85AN →－45AM →， 所以λ＋μ＝45. (2)设BP →＝kBN →，k ∈R. 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k(AN →－AB →)＝AB →＋k(14AC →－AB →)＝(1－k)AB →＋k 4AC →， 且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211， 解得k ＝811，m ＝311. 【提分秘籍】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【举一反三】已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( ) A.23B.43 C ．－3D ．0题型二平面向量的坐标运算例2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ， (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ， ∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)．∴MN →＝(9，－18)． 【提分秘籍】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．【举一反三】(1)已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1) C ．(－1,0) D ．(－1,2)(2)已知A(7,1)、B(1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.题型三向量共线的坐标表示例3 (1)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m)，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.(2)(·陕西)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cosθ)，b ＝(cosθ，1)，若a ∥b ，则tanθ＝________.【提分秘籍】(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ∥b 的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a ∥b(b≠0)，则a ＝λb.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．【举一反三】(1)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D 的坐标为________．(2)△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若p ＝(a ＋c ，b)，q ＝(b －a ，c －a)，且p ∥q ，则角C ＝________.答案 (1)(2,4) (2)60°解析 (1)∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，∴DC →＝2AB →. 设点D 的坐标为(x ，y)，则DC →＝(4,2)－(x ，y)＝(4－x,2－y)， AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． (2)因为p ∥q ，则(a ＋c)(c －a)－b(b －a)＝0， 所以a2＋b2－c2＝ab ， 所以a2＋b2－c22ab ＝12， 结合余弦定理知， cosC ＝12，又0°<C<180°， 所以C ＝60°. 【高考风向标】1.【高考新课标1，文2】已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) （A ）(7,4)--（B ）(7,4)（C ）(1,4)-（D ）(1,4) 【答案】A【解析】∵AB OB OA =-=（3,1），∴BC =AC AB -=(7,4)，故选A.1．（·重庆卷） 已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b)⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92 B ．0 C ．3 D.152 【答案】C【解析】∵2a －3b ＝2(k ，3)－3(1，4)＝(2k －3，－6)，又(2a －3b)⊥c ，∴(2k －3)×2＋(－6)＝0，解得k ＝3.2．（·福建卷） 在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B ．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2) C ．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D ．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3) 【答案】B【解析】由向量共线定理，选项A ，C ，D 中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B 中的向量组不共线，可以作为基底，故选B.3．（·山东卷） 已知向量a ＝(m ，cos 2x)，b ＝(sin 2x ，n)，函数f(x)＝a·b ，且y ＝f(x)的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g(x)的图像，若y ＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g(x)的单调递增区间．【解析】(1)由题意知，f(x)＝＝msin 2x ＋ncos 2x.因为y ＝f(x)的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2， 所以⎩⎨⎧3＝msin π6＋ncos π6，－2＝msin 4π3＋ncos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f(x)＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.由题意知，g(x)＝f(x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)． 由题意知，x20＋1＝1，所以x0＝0， 即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)． 将其代入y ＝g(x)得，sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π6＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此，g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x.由2kπ－π≤2x≤2kπ，k ∈Z 得kπ－π2≤x≤kπ，k ∈Z ， 所以函数y ＝g(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤kπ－π2，kπ，k ∈Z.4．（·陕西卷） 设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________． 【答案】12【解析】因为向量a ∥b ，所以sin 2θ－cos θ·cos θ＝0，又cos θ≠0，所以2sin θ＝cos θ，故tan θ＝12. 5．（·陕西卷） 在直角坐标系xOy 中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x ，y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R)，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y)＝(m ＋2n ，2m ＋n)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B(2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1. 6．（·安徽卷） 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P|OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 3 【答案】D【解析】由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，可得点A ，B 在圆x2＋y2＝4上且∠AOB ＝60°，在平面直角坐标系中，设A(2，0)，B(1，3)，设P(x ，y)，则(x ，y)＝λ(2，0)＋μ(1，3)，由此得x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得μ＝y 3，λ＝12x －12 3y ，由于|λ|＋|μ|≤1， 所以12x －12 3y ＋13y≤1，即|3x －y|＋|2y|≤2 3.①⎩⎨⎧3x －y≥0，y≥0，3x ＋y≤2 3或②⎩⎨⎧3x －y≥0，y<0，3x －3y≤2 3或 ③⎩⎨⎧3x －y<0，y≥0，－3x ＋3y≤23或④⎩⎨⎧3x －y<0，y<0，－3x －y≤2 3.上述四个不等式组在平面直角坐标系中表示的区域如图阴影部分所示，所以所求区域的面积是4 3.7．（·湖南卷） 已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b|＝1，则|c|的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．1，2＋2 【答案】A【解析】由题可知a·b ＝0，则a ⊥b ，又|a|＝|b|＝1，且|c －a －b|＝1，不妨令c ＝(x ，y)，a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则(x －1)2＋(y －1)2＝1，又|c|＝x2＋y2，故根据几何关系可知|c|max ＝12＋12＋1＝1＋2，|c|min ＝12＋12－1＝2－1，故选A.8．（·北京卷） 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________．图1－3 【答案】4【解析】以向量a 和b 的交点为原点，水平方向和竖直方向分别为x 轴和y 轴建立直角坐标系，则a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.9．（·辽宁卷） 已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35【答案】A【解析】∵AB →＝(3，－4)，∴与AB →方向相同的单位向量为AB →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45，故选A. 10．（·天津卷） 在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．【答案】1211．（·新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________．【答案】2【解析】如图，建立直角坐标系，则AE →＝(1，2)，BD →＝(－2，2)，AE →·BD →＝2.12．（·重庆卷） 如图1－9所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外，若PQ ⊥P′Q ，求圆Q 的标准方程．图1－9【解析】(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a2＋22b2＝1，从而e2＋4b2＝1. 由e ＝22得b2＝41－e2＝8，从而a2＝b21－e2＝16.故该椭圆的标准方程为x216＋y28＝1.13．（·重庆卷） 在平面上，AB1→⊥AB2→，|OB1|＝|OB2→|＝1，AP →＝AB1→＋AB2→.若|OP →|＜12，则|OA →|的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，72 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，2 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2【答案】D【高考押题】1．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45D.⎝⎛⎭⎫－45，35 答案 A解析 A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与A B →同方向的单位向量为A B →|A B →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45.2．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21) 答案 B解析 BC →＝3PC →＝3(2PQ →－PA →) ＝6PQ →－3PA →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb)∥c ，则λ等于( ) A.14B.12C ．1D ．2 答案 B解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)， 且(a ＋λb)∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12，故选B.4．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B5.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14 答案 A解析 由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x＝23，y ＝13.6．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b) (ab≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________． 答案 12解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)， 依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0， 即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12.7．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案 k≠18．已知A(－3,0)，B(0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________．答案 1解析 由题意知OA →＝(－3,0)，OB →＝(0，3)， 则OC →＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°知，以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°， ∴tan150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，∴λ＝1.9．已知A(1,1)、B(3，－1)、C(a ，b)． (1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)． ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥AC →， ∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2. (2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－3， ∴点C 的坐标为(5，－3)．10．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第三象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形，若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。
1. 《2024年高考数学模拟试题及答案》
1. 《2024年高考数学模拟试题及答案》一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1、已知集合 A ＝｛x ｜－2 ＜ x ＜ 3}，B ＝｛x ｜ x² 5x ＋ 4 ＜0}，则A ∩ B ＝（）A ｛x ｜ 1 ＜ x ＜ 3}B ｛x ｜－2 ＜ x ＜ 1}C ｛x ｜ 1 ＜ x ＜ 4}D ｛x ｜－2 ＜ x ＜ 4}2、复数 z ＝（1 ＋ i)（2 i)在复平面内对应的点位于（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3、已知向量 a ＝（1, 2)，b ＝（m, －1)，若 a ⊥ b，则 m ＝（）A －2B 2C －1/2D 1/24、某中学高一年级有学生 1000 人，高二年级有学生 800 人，高三年级有学生 600 人，现采用分层抽样的方法从该校抽取一个容量为 n的样本，若从高二年级抽取了 80 人，则 n 的值为（）A 200B 240C 280D 3205、函数 f(x) ＝ log₂(x² 4x ＋ 3)的单调递增区间是（）A （∞， 1)B （∞， 2)C （2, ＋∞）D （3, ＋∞）6、若直线 l₁：ax ＋ 2y ＋ 6 ＝ 0 与直线 l₂：x ＋（a 1)y ＋ a² 1＝ 0 平行，则 a ＝（）A －1B 2C －1 或 2D 17、已知等差数列{aₙ}的前 n 项和为 Sₙ，若 a₁＝ 2，S₃＝ S₅，则公差 d ＝（）A －2B 0C 2D 48、已知圆 C：（x 1)²＋（y 2)²＝ 4 与直线 l：x y ＋ 1 ＝ 0 相交于 A，B 两点，则弦长|AB| ＝（）A 2√2B 2√3C 4D 69、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（正视图和侧视图是等腰三角形，底边为 4，高为 4；俯视图是边长为 4 的正方形）A 32B 64C 128/3D 256/310、设函数 f(x) ＝sin(ωx ＋φ)（ω ＞ 0，｜φ| ＜π/2）的最小正周期为π，且f(π/8) ＝√2/2，则（）A f(x)在(0, π/2)上单调递减B f(x)在(π/8, 3π/8)上单调递增C f(x)在(0, π/2)上单调递增D f(x)在(π/8, 3π/8)上单调递减11、已知函数 f(x) ＝ x³ 3x，若过点 M(2, t)可作曲线 y ＝ f(x)的三条切线，则实数 t 的取值范围是（）A （－6, －2)B （－4, －2)C （－6, 2)D （0, 2)12、已知双曲线 C：x²/a² y²/b²＝ 1（a ＞ 0，b ＞ 0）的左、右焦点分别为 F₁，F₂，过 F₂作双曲线 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 H，若|F₂H| ＝ 2a，则双曲线 C 的离心率为（）A √5B 2C √3D √2二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13、已知函数 f(x) ＝ 2sin(2x ＋π/6)，则 f(x)的最小正周期为_____14、若 x，y 满足约束条件 x ＋y ≥ 1，x y ≥ －1，2x y ≤ 2，则 z＝ x ＋ 2y 的最大值为_____15、已知抛物线 y²＝ 2px（p ＞ 0）的焦点为 F，点 A(4, 2)在抛物线上，且|AF| ＝ 5，则 p ＝＿____16、已知数列{aₙ}满足 a₁＝ 1，aₙ₊₁＝ 2aₙ ＋ 1，则 a₅＝＿____三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17、（10 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a ＝ 3，b ＝ 5，c ＝ 7、（1）求角 C 的大小；（2）求△ABC 的面积18、（12 分）已知数列{aₙ}是等差数列，a₁＝ 1，a₃＋ a₅＝14、（1）求数列{aₙ}的通项公式；（2）设数列{bₙ}满足 bₙ ＝ aₙ × 2ⁿ，求数列{bₙ}的前 n 项和 Sₙ19、（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，PA ⊥底面 ABCD，PA ＝ AB ＝ 2，AD ＝ 4，∠BAD ＝ 60°（1）证明：BD ⊥平面 PAC；（2）求二面角 P BD A 的余弦值20、（12 分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨，B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B原料 3 吨。
高三数学高考模拟试题及答案
高三数学高考模拟试题及答案第一部分选择题1. 已知函数 $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$，则 $f(x)$ 的极限为（）A. $\dfrac{1}{2}$B. $-2$C. $+\infty$D. $-\infty$2. 如图，对数函数 $y=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$ 的图像经过两点 $P(4,3)$，$Q(8,y)$。
则 $y=$（）A. 3B. 5C. 6D. 73. 在 $\triangle ABC$ 中，$AB=3$，$BC=\dfrac{5}{2}$，$\angle C=90^\circ$，$D$ 为 $BC$ 的中点，$E$ 为 $AC$ 上一点，$BE$ 延长线交 $AD$ 于点 $F$。
则 $EF=$（）A. $\dfrac{5}{3}$B. $\dfrac{25}{24}$C. $\dfrac{7}{4}$D. $\dfrac{17}{8}$4. 已知函数 $f(x)=\dfrac{2\sin x+\cos x}{\sin x-2\cos x}$，则$f\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=$（）A. $1+f(x)$B. $1-f(x)$C. $f(x)-1$D. $-1-f(x)$5. 已知 $x>2$，$\log_2{(2x-3)}+\log_2{(x+1)}=4$，则 $x=$（）A. 3B. 5C. 7D. 9答案：1. D2. B3. B4. A5. C第二部分简答题1. 证明 $x+y\geqslant 2\sqrt{xy}$ 为二次函数 $y=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2-\dfrac{y^2}{4}$ 的非负性。
2. 已知 $a^2+b^2=1$，求 $\dfrac{5a+12b}{13}$ 的最大值。
3. 在动态规划中，解决问题的一般步骤是什么？4. 概率统计中，什么是贝叶斯公式？其应用场景有哪些？5. 对于某个事件的先验概率为 $p(A)$，我们观测到了该事件发生，且得到了一个新的条件概率，那么它的后验概率为什么？答案：1. 将二次函数化为顶点式 $y=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2-\dfrac{y^2}{4}$，则$y\geqslant 0$。
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷19322
高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．【热点题型】题型一函数零点的判断与求解【例1】 (1)设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间()A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1，3} B．{－3，－1，1，3}C．{2－7，1，3} D．{－2－7，1，3}解析(1)∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋1＞0，∴函数f(x)在R上单调递增，对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1＜0，f(0)＝－3＜0，f(－1)f(0)＞0，A不正确；同理可验证B，D不正确，对于C项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－3＜0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2＞0，f(1)f(2)＜0.故f(x)的零点位于区间(1，2)．(2)当x≥0时，f(x)＝x2－3x，令g(x)＝x2－3x－x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1.当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)，∴－f(x)＝x2＋3x，∴f(x)＝－x2－3x.令g(x)＝－x2－3x－x＋3＝0，得x3＝－2－7，x4＝－2＋7＞0(舍)，∴函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合是{－2－7，1，3}，故选D.答案(1)C(2)D【提分秘籍】(1)确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反．(2)根据函数的零点与相应方程根的关系可知，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程f(x)＝g(x)的根，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即方程f(x)＝g(x)的根．【举一反三】已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x≤1，1＋log2x ，x ＞1，则函数f(x)的零点为()A.12，0 B ．－2，0 C.12 D ．0解析 当x≤1时，由f(x)＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x ＞1时，由f(x)＝1＋log2x ＝0，解得x ＝12，又因为x ＞1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.答案 D题型二根据函数零点的存在情况，求参数的值【例2】已知函数f(x)＝－x2＋2ex ＋m －1，g(x)＝x ＋e2x (x ＞0)． (1)若y ＝g(x)－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根． 解 (1)法一 ∵g(x)＝x ＋e2x ≥2e2＝2e ，图1等号成立的条件是x ＝e ，故g(x)的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m≥2e ，则y ＝g(x)－m 就有零点． 法二 作出g(x)＝x ＋e2x (x ＞0)的大致图象如图1. 可知若使y ＝g(x)－m 有零点，则只需m≥2e. (2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，即y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象有两个不同的交点，图2在同一坐标系中，作出g(x)＝x ＋e2x (x ＞0)与f(x)＝－x2＋2ex ＋m －1的大致图象如图2. ∵f(x)＝－x2＋2ex ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e2.∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e2.故当m －1＋e2＞2e ，即m ＞－e2＋2e ＋1时，y ＝g(x)与y ＝f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e2＋2e ＋1，＋∞)． 【提分秘籍】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．【举一反三】(1)函数f(x)＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是() A ．(1，3) B ．(1，2) C ．(0，3) D ．(0，2)(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|，x ＜2，3x －1，x≥2，若方程f(x)－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是()A ．(1，3)B ．(0，3)C ．(0，2)D ．(0，1)答案 (1)C(2)D题型三与二次函数有关的零点问题【例3】是否存在这样的实数a ，使函数f(x)＝x2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．(2)当f(3)＝0时，a ＝－15， 此时f(x)＝x2－135x －65. 令f(x)＝0，即x2－135x －65＝0， 解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1，3]上有两个实数根， 不合题意，故a≠－15.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－15∪(1，＋∞)．【提分秘籍】解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．【举一反三】已知f(x)＝x2＋(a2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围． 解 法一 设方程x2＋(a2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x1，x2(x1＜x2)，则(x1－1)(x2－1)＜0， ∴x1x2－(x1＋x2)＋1＜0， 由根与系数的关系， 得(a －2)＋(a2－1)＋1＜0，即a2＋a －2＜0，∴－2＜a ＜1.法二 函数图象大致如图，则有f(1)＜0，即1＋(a2－1)＋a －2＜0，∴－2＜a ＜1. 故实数a 的取值范围是(－2，1)． 【高考风向标】【高考安徽，文14】在平面直角坐标系xOy 中，若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点，则a 的值为.【答案】12-【解析】在同一直角坐标系内，作出12--==a x y a y 与的大致图像，如下图：由题意，可知2112-=⇒-=a a 【高考湖北，文13】函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.【答案】2.【解析】函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数等价于方程2π2sin sin()02x x x +-=的根的个数，即函数π()2sin sin()2sinxcosx sin 2x 2g x x x =+==与2h(x)x =的图像交点个数.于是，分别画出其函数图像如下图所示，由图可知，函数()g x 与h(x)的图像有2个交点.【高考湖南，文14】若函数()|22|xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____. 【答案】02b <<【解析】由函数()|22|xf x b =--有两个零点，可得|22|xb -=有两个不等的根，从而可得函数|22|x y =-函数y b =的图象有两个交点，结合函数的图象可得，02b <<，故答案为：02b <<.【高考山东，文10】设函数3,1()2,1xx b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若5(())46f f =，则b = ( ) （A ）1 （B ）78 （C ）34 (D)12【答案】D【解析】由题意，555()3,662f b b =⨯-=-由5(())46f f =得，51253()42b b b ⎧-<⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩或5251224bb -⎧-≥⎪⎨⎪=⎩，解得12b =，故选D. （·北京卷）已知函数f(x)＝6x －log2x ，在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是()A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞) 【答案】C【解析】方法一：对于函数f(x)＝6x －log2x ，因为f(2)＝2>0，f(4)＝－0.5<0，根据零点的存在性定理知选C.方法二：在同一坐标系中作出函数h(x)＝6x 与g(x)＝log2x 的大致图像，如图所示，可得f(x)的零点所在的区间为(2，4)．（·浙江卷）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋c ，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则() A ．c≤3 B ．3＜c≤6 C ．6＜c≤9 D ．c ＞9 【答案】C【解析】由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－7＋3a －b ＝0，19－5a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11， 则f(x)＝x3＋6x2＋11x ＋c ，而0<f(－1)≤3，故0<－6＋c≤3，∴6<c≤9，故选C.（·重庆卷）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]，且g(x)＝f(x)－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是()A.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23【答案】A（·福建卷）函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2，x≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．【答案】2【解析】当x≤0时，f(x)＝x2－2， 令x2－2＝0，得x ＝2(舍)或x ＝－2， 即在区间(－∞，0)上，函数只有一个零点． 当x>0时，f(x)＝2x －6＋ln x ， 令2x －6＋ln x ＝0，得ln x ＝6－2x.作出函数y ＝ln x 与y ＝6－2x 在区间(0，＋∞)上的图像，则两函数图像只有一个交点，即函数f(x)＝2x －6＋ln x(x>0)只有一个零点． 综上可知，函数f(x)的零点的个数是2.（·湖北卷）已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x ，则函数g(x)＝f(x)－x ＋3的零点的集合为()A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3} 【答案】D【解析】设x<0，则－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x . 求函数g(x)＝f(x)－x ＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x 的解．当x≥0时，x2－3x ＝－3＋x ，解得x1＝3，x2＝1； 当x<0时，－x2－3x ＝－3＋x ，解得x3＝－2－7.故选D.（·江苏卷）已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f(x)＝⎪⎪⎪⎪x2－2x ＋12.若函数y ＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【答案】.⎝⎛⎭⎫0，12（·江西卷）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a·2x ，x≥0，2－x ，x<0(a ∈R)．若f[f(－1)]＝1，则a ＝() A.14 B.12 C ．1 D ．2 【答案】A【解析】因为f(－1)＝21＝2，f(2)＝a·22＝4a ＝1，所以a ＝14.（·浙江卷）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2x ＋2，x≤0，－x2，x ＞0.若f(f(a))＝2，则a ＝________.【答案】2【解析】令t ＝f(a)，若f(t)＝2，则t2＋2t ＋2＝2 满足条件，此时t ＝0或t ＝－2，所以f(a)＝0或f(a)＝－2，只有－a2＝－2满足条件，故a ＝ 2.（·全国卷）函数f(x)＝ax3＋3x 2＋3x(a≠0)． (1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1，2)是增函数，求a 的取值范围．【解析】解：(1)f′(x)＝3ax2＋6x ＋3，f′(x)＝0的判别式Δ＝36(1－a)．(i)若a≥1，则f′(x)≥0，且f′(x)＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1时成立．故此时f(x)在R 上是增函数． (ii)由于a≠0，故当a ＜1时，f′(x)＝0有两个根； x1＝－1＋1－a a ，x2＝－1－1－a a. 若0＜a ＜1，则当x ∈(－∞，x2)或x ∈(x1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)分别在(－∞，x2)，(x1，＋∞)是增函数；当x ∈(x2，x1)时，f′(x)<0，故f(x)在(x2，x1)是减函数．若a ＜0，则当x ∈(－∞，x1)或(x2，＋∞)时，f′(x)＜0，故f(x)分别在(－∞，x1)，(x2，＋∞)是减函数； 当x ∈(x1，x2)时f′(x)＞0，故f(x)在(x1，x2)是增函数．(2)当a ＞0，x ＞0时，f′(x)＝3ax2＋6x ＋3＞0，故当a ＞0时，f(x)在区间(1，2)是增函数． 当a ＜0时，f(x)在区间(1，2)是增函数当且仅当f′(1)≥0且f′(2)≥0，解得－54≤a ＜0.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－54，0∪(0，＋∞)． （·天津卷）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x2＋5x ＋4|，x≤0，2|x －2|，x ＞0.若函数y ＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．【答案】(1，2)【解析】在同一坐标系内分别作出y ＝f(x)与y ＝a|x|的图像，如图所示，当y ＝a|x|与y ＝f(x)的图像相切时，联立⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＝－x2－5x －4，a>0，整理得x2＋(5－a)x ＋4＝0，则Δ＝(5－a)2－4×1×4＝0，解得a ＝1或a ＝9(舍去)，∴当y ＝a|x|与y ＝f(x)的图像有四个交点时，有1<a<2.【高考押题】1．函数f(x)＝2x ＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是 () A ．0B ．1C ．2D ．3解析 因为函数y ＝2x ，y ＝x3在R 上均为增函数，故函数f(x)＝2x ＋x3－2在R 上为增函数，又f(0)＜0，f(2)＞0，故函数f(x)＝2x ＋x 3－2在区间(0，2)内只有一个零点，故选B.答案 B2．函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象交点的横坐标所在区间为() A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析 函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象交点的横坐标，即为函数f(x)＝ln(x ＋1)－1x 的零点，∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝ln 2－1＜0，f(2)＝ln 3－12＞0，∴f(x)的零点所在区间为(1，2)．答案 B3．若a ＜b ＜c ，则函数f(x)＝(x －a)(x －b)＋(x －b)(x －c)＋(x －c)(x －a)的两个零点分别位于区间 () A ．(a ，b)和(b ，c)内B ．(－∞，a)和(a ，b)内C ．(b ，c)和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a)和(c ，＋∞)内解析 依题意，注意到f(a)＝(a －b)(a －c)＞0，f(b)＝(b －c)·(b －a)＜0，f(c)＝(c －b)(c －a)＞0，因此由零点的存在性定理知函数f(x)的零点位于区间(a ，b)和(b ，c)内，故选A.答案 A4．若函数f(x)＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是 ()A.⎝⎛⎭⎫15，＋∞ B ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞C.⎝⎛⎭⎫－1，15D ．(－∞，－1)解析 当a ＝0时，f(x)＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a≠0；函数f(x)＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内是单调函数，所以f(－1)·f(1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15.答案 B5．已知函数f(x)＝x ＋2x ，g(x)＝x ＋ln x ，h(x)＝x －x －1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()A ．x2＜x1＜x3B ．x1＜x2＜x3C ．x1＜x3＜x2D ．x3＜x2＜x1解析 依据零点的意义，转化为函数y ＝x 分别和y ＝－2x ，y ＝－ln x ，y ＝x ＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图，易得x1＜0＜x2＜1＜x3.答案 B6．函数f (x)＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是________．解析 函数f(x)＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数，即为函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1图象的交点个数． 在同一坐标系内分别作出函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1的图象，如图，由图可知函数f(x)＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是2. 答案 27．函数f(x)＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N)内，则n ＝________．8．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，－x2－2x ，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析 画出f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，－x2－2x ，x≤0的图象，如图．由函数g(x)＝f(x)－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0，1)． 答案 (0，1)9．若关于x 的方程22x ＋2xa ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围． 解 法一 (换元法)设t ＝2x(t>0)，则原方程可变为t2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根． 令f(t)＝t2＋at ＋a ＋1.法二 (分离变量法)由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，设t ＝2x(t>0)，则a ＝－t2＋1t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎡⎦⎤（t ＋1）＋2t ＋1，其中t ＋1>1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a≤2－2 2.综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]．10．已知关于x 的二次方程x2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围．解 由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，如图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧ f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m<－12，m ∈R ，m<－12，m>－56.即－56<m<－12. 故m的取值范围是⎝⎛⎭⎫－56，－12.高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；2.能运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行关系的简单命题．【重点知识梳理】1．直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥b a∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b 2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α考点一有关线面、面面平行的命题真假判断【例1】 (1)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是() A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β(2)设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是()A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β【变式探究】 (1)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是() A．b⊂α B．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α(2)给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()A．3 B．2 C．1 D．0考点二直线与平面平行的判定与性质【例2】如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.【变式探究】如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′－MNC的体积．考点三平面与平面平行的判定与性质【例3】如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．【变式探究】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 考点四 平行关系中的探索性问题【例4】 (·四川卷)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC ⊥BC ，证明：直线BC ⊥平面ACC1A1；(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A1MC ？请证明你的结论．【变式探究】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD ＝DC ＝4，AD ＝2，E 为PC 的中点．(1)求三棱锥A －PDE 的体积；(2)AC 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由． 【真题感悟】1.【高考浙江，文4】设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m2.【高考浙江，文18】（本题满分15分）如图，在三棱锥111ABCA B C 中，11ABC 90AB AC 2,AA 4,A ∠====，在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.（1）证明：11D A BC A 平面；（2）求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.1．（·安徽卷）如图1-5，四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，A1A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC ，且AD ＝2BC.过A1，C ，D 三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q.图1-5(1)证明：Q 为BB1的中点；(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；(3)若AA1＝4，CD ＝2，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角的大小． 2．（·北京卷）如图1-3，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点．在五棱锥P - ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H.(1)求证：AB ∥FG ；(2)若PA ⊥底面ABCDE ，且PA ＝AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长．3．（·湖北卷）如图1-4，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．图1-44．（·新课标全国卷Ⅱ）如图1-3，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD 的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E-ACD的体积．图1-35．（·山东卷）如图1-3所示，在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．(1)求证：C1M∥平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝3，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．【押题专练】1．若直线ɑ平行于平面α，则下列结论错误的是()A．ɑ平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与ɑ平行C．直线ɑ上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与ɑ成90°角2．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是 ()A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面3．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β4．已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是 () A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若α∥β，m∥n，m∥α，则n∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β5.在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是 ()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°6．设a，b是两条直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是 ()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α7．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()A．①③ B．②③ C．①④ D．②④8．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．10．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．11．如图，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1(请填上你认为正确的一个条件)．12．如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.13．一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC的中点)．(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求多面体A－CDEF的体积．14．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，AE＝AF＝4，现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置，使得A′C＝2 6.(1)求五棱锥A′－BCDFE的体积；(2)在线段A′C上是否存在一点M，使得BM∥平面A′EF？若存在，求A′M；若不存在，请说明理由．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515-B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。
高考理科数学试题及答案1332
高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 【重点知识梳理】 1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：an ＋1－an ＝d(n ∈N*，d 为常数)，或an －an －1＝d (n≥2，d 为常数)． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d ，则其通项公式为an ＝a1＋(n －1)d ． 通项公式的推广：an ＝am ＋(n －m)d(m ，n ∈N*)． (2)等差数列的前n 项和公式 Sn ＝n （a1＋an ）2＝na1＋n （n －1）2d(其中n ∈N*，a1为首项，d 为公差，an 为第n 项)． 3．等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2．(2)若{an}为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则am ＋an ＝ap ＋aq(m ，n ，p ，q ∈N*)．(3)若{an}是等差数列，公差为d ，则ak ，ak ＋m ，ak ＋2m ，…(k ，m ∈N*)是公差为m d 的等差数列． (4)数列Sm ，S2m －Sm ，S3m －S2m ，…也是等差数列． (5)S2n －1＝(2n －1)an.(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2； 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 4．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 Sn ＝d 2n2＋⎝⎛⎭⎫a1－d 2n.数列{an}是等差数列⇔Sn ＝An2＋Bn(A ，B 为常数)． 5．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．【高频考点突破】考点一等差数列的性质及基本量的求解【例1】 (1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝()A．－6 B．－4 C．－2 D．2【答案】A(2)(·浙江卷)已知等差数列{an}的公差d＞0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.①求d及Sn；②求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.规律方法(1)一般地，运用等差数列性质，可以化繁为简、优化解题过程．但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，只有当序号之和相等、项数相同时才成立．(2)在求解等差数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．【变式探究】(1)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于()A．0 B．37 C．100 D．－37(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A ．13B ．12C ．11D ．10(3)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________．【答案】(1)C(2)A(3)60考点二 等差数列的判定与证明【例2】若数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足an ＋2SnSn －1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1Sn 成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．规律方法证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明an－an－1＝d(n≥2，d为常数)；二是等差中项法，证明2an＋1＝an＋an＋2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．【变式探究】已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝Snn＋c，是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．考点三等差数列前n项和的最值问题【例3】等差数列{an}的首项a1＞0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时，Sn有最大值？规律方法求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和Sn＝A n2＋Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值．【变式探究】(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是()A．5 B．6 C．7 D．8(2)设数列{an}是公差d ＜0的等差数列，Sn 为前n 项和，若S6＝5a1＋10d ，则Sn 取最大值时，n 的值为()A ．5B ．6C ．5或6D ．11(3)已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和Sn 的最大值为________．【答案】(1)B(2)C(3)110 【真题感悟】【高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（）（A ）172（B ）192（C ）10（D ）12 【答案】B【高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为，则该数列的首项为________ 【答案】5【高考福建，文16】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________．【答案】9【高考浙江，文10】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a =，d =．【答案】2,13-1．（·安徽卷）数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.【答案】12．（·北京卷）若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n ＝________时，{an}的前n 项和最大．【答案】83．（·福建卷）等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 【答案】C4．（·湖北卷）已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式．(2)记Sn 为数列{an}的前n 项和，是否存在正整数n ，使得Sn>60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．5．（·湖南卷）已知数列{an}满足a1＝1，|an ＋1－an|＝pn ，n ∈N*. (1)若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a2n －1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．6．（·辽宁卷）设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则() A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0【答案】C7．（·全国卷）等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.8．（·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ.(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．9．（·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－14nanan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.10．（·陕西卷）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．11．（·天津卷）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn 为其前n 项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．【答案】－1212．（·重庆卷）设a1＝1，an ＋1＝a2n －2an ＋2＋b(n ∈N*)． (1)若b ＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a2n<c<a2n ＋1对所有n ∈N*成立？证明你的结论．13．（·新课标全国卷Ⅰ] 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为()图1－3A．16＋8π B．8＋8πC．16＋16π D．8＋16π【答案】A14．（·新课标全国卷Ⅰ] 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C15．（·广东卷）在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．【答案】2016．（·北京卷）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2，…的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：dn＝－d(n＝1，2，3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；(3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1，2，3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.17．（·全国卷）等差数列{a n}前n 项和为Sn.已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．18．（·山东卷）设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S4＝4S2，a2n ＝2an ＋1. (1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n 项和为Tn ，且Tn ＋an ＋12n ＝λ(λ为常数)，令cn ＝b2n(n ∈N*)，求数列{cn}的前n 项和Rn.19．（·四川卷） 在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n 项和．20．（·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的前n 项和为Sn ，已知S10＝0，S15＝25，则nSn 的最小值为________．【答案】－4921．（·重庆卷）已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn 为其前n 项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________．【答案】64【押题专练】1．记Sn 为等差数列{an}的前n 项和，若S33－S22＝1，则其公差d ＝()A.12 B ．2 C ．3D ．4【答案】B2．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn 为其前n 项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝() A ．2B ．－2C.12D ．－12【答案】D3．已知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为 () A ．24B ．39C ．104D ．52【答案】D4．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，公差d≠0，若S11＝132，a3＋ak ＝24，则正整数k 的值为 () A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】A5．已知数列{an}满足an ＋1＝an －57，且a1＝5，设{an}的前n 项和为Sn ，则使得Sn 取得最大值的序号n 的值为() A ．7B ．8C ．7或8D ．8或9【答案】C6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为 ()A.53B.103C.56D.116【答案】A7．设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，(n ＋1)Sn ＜nSn ＋1(n ∈N*)．若a8a7＜－1，则 () A ．Sn 的最大值是S8 B ．Sn 的最小值是S8 C ．Sn 的最大值是S7D ．Sn 的最小值是S7【答案】D8．在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________．【答案】999．设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________．【答案】－110．已知等差数列{an}中，S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________．【答案】4511．设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1<0，S2 015＝0. (1)求Sn 的最小值及此时n 的值； (2)求n 的取值集合，使an≥Sn.12．已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为Sn ，且Sk ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{bn}的通项bn ＝Snn ，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n 项和Tn.高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 【热点题型】题型一 正、余弦定理的简单运用【例1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. (1)若a ＝23，b ＝6，A ＝45°，则c ＝________． (2)若(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac ，则B ＝________．解析 (1)法一 在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝bsin A a ＝6×2223＝12，因为b ＜a ，所以B ＜A ，所以B ＝30°，C ＝180°－A －B ＝105°，sin C ＝sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝6＋24. 故c ＝asin C sin A ＝23×6＋2422＝3＋3.【提分秘籍】(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．【举一反三】(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c2＝2a2＋2b2＋ab ，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形(2)在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________．题型二正、余弦定理的综合运用【例2】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．解 (1)在△ABC 中，由题意知，sin A ＝1－cos2A ＝33， 因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cosA ＝63.由正弦定理，得b ＝asin Bsin A ＝3×6333＝3 2.(2)由B ＝A ＋π2，得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B)． 所以sin C ＝sin[π－(A ＋B)]＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝33×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋63×63＝13.因此△ABC 的面积S ＝12absin C ＝12×3×32×13 ＝322. 【提分秘籍】有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．【举一反三】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8. (1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin Acos2B 2＋sin Bcos2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值． 解 (1)由题意可知c ＝8－(a ＋b)＝72.由余弦定理得cos C ＝a2＋b2－c22ab＝22＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫7222×2×52＝－15.(2)由sin Acos2B 2＋sin Bcos2A2＝2sin C 可得： sin A·1＋cos B 2＋sin B·1＋cos A 2＝2sinC ，化简得sin A ＋sin Acos B ＋sin B ＋sin Bcos A ＝4sin C. 因为sin Acos B ＋cos Asin B ＝sin(A ＋B)＝sin C ， 所以sin A ＋sin B ＝3sin C. 由正弦定理可知a ＋b ＝3c. 又因为a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6. 由于S ＝12absin C ＝92sin C ，所以ab ＝9， 从而a2－6a ＋9＝0， 解得a ＝3，b ＝3.题型三正、余弦定理在实际问题中的应用【例3】如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449)．【提分秘籍】解三角形应用题的两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．【举一反三】如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.解析 在Rt △ABC 中，∠CAB ＝45°，BC ＝100 m ，所以AC ＝1002(m)．在△AMC 中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，从而∠AMC ＝45°，由正弦定理，得AC sin 45°＝AMsin 60°，因此AM ＝1003(m)．在Rt △MNA 中，AM ＝100 3 m ，∠MAN ＝60°，由MN AM ＝sin 60°，得MN ＝1003×32＝150(m)． 答案 150 【高考风向标】【高考湖北，文15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =_________m.【答案】1006.【解析】在ABC ∆中，030CAB ∠=，000753045ACB ∠=-=，根据正弦定理知，sin sin BC ABBAC ACB=∠∠， 即1sin 2sin 22AB BC BAC ACB =⨯∠==∠3tan 30021006CD BC DBC =⨯∠==，故应填 6.AB C D.【高考湖南，文17】（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =. （I ）证明：sin cos B A =； (II) 若3sin sin cos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C . 【答案】（I ）略；(II)30,120,30.A B C ===【解析】（Ⅰ）由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA bB ==，所以sin cos B A =。