人教版数学教材高中必修一《指数与指数幂的运算》教学设计

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人教版高中数学必修1第2章2.1.1 指数与指数幂的运算(1)教案

第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算（一）教学目标分析：知识目标：（1）了解根式的概念，方根的概念及二者的关系；（2）理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。

过程与方法：通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。

情感目标：通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。

重难点分析：重点：n次根式的性质和化简难点：n次根式的性质及应用互动探究：一、课堂探究：1、问题情境设疑探究一、根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%，那么，在2001 ~ 2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍？如果把我国2000年GDP 看成是1个单位，2001年为第一年，那么： 1年后（即2001年），我国的GDP 可望为2000年的(17.3%)+倍；2年后（即2002年），我国的GDP 可望为2000年的2(17.3%)+倍； 3年后（即2003年），我国的GDP 可望为2000年的___________倍； 4年后（即2004年），我国的GDP 可望为2000年的___________倍； ……设x 年后我国的GDP 为2000年的y 倍，那么*(17.3%) 1.073(,20)x x y x N x =+=∈≤即从2000年起，x 年后我国的GDP 为2000年的1.073x 倍。

想一想，正整数幂1.073x 的含义是什么？它具有哪些运算性质。

探究2、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系57301() (2)t P =（*），考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值。

《指数与指数幂的运算》教学设计【高中数学人教A版必修1(新课标)】

《指数与指数幂的运算》教学设计从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．1．掌握n次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算；2．了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化；3．理解有理数指数幂和无理数指数幂的含义及其运算性质．【教学重点】根式与分数指数幂之间的互相转化．【教学难点】根式运算与有理数指数幂的运算．引导学生复习回顾初中相关知识，做好衔接，为新知识的学习奠定基础．（一）创设情景，揭示课题1．以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性．2．由实例引入，了解指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；（1）据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7．3%．那么在2010年，我国的GDP可望为2000年的多少倍?（2）当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的系573012tp⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么当生物体死亡了１万年后，它体内碳14的含量为多少？（3）对1.07310，10000573012p⎛⎫= ⎪⎝⎭这两个数的意义如何？怎样运算？3．初中根式的概念思考1：４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？思考2：-27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？思考3：一般地，实常数a的平方根、立方根是什么概念？思考4：如果x4＝a，x5＝a，x6＝a，参照上面的说法，这里的x分别叫什么名称？思考5：推广到一般情形，a的n次方根是一个什么概念？试给出其定义．如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．思考1：-8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分别是什么数？怎样表示？思考2：设a为实常数，则关于x的方程x3=a，x5=a分别有解吗？有几个解？思考3：一般地，当n为奇数时，实数a的n次方根存在吗？有几个？思考4：设a为实常数，则关于x的方程x4=a，x6=a分别有解吗？有几个解？思考5：一般地，当n为偶数时，实数a的n次方根存在吗？有几个？思考6：,1)n N n∈>叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．那么，a的n次方根用根式怎么分类表示？当n是奇数时，a的n当n是偶数时，若a>0，则a的n次方根为若a=0，则a的n次方根为0；若a<0，则a的n次方根不存在．思考1：354分别等于什么？一般地n等于什么？思考2n 等于什么？当n a =；当n ||a =．例1．求下列各式的值（1 （2；（3（4 （5；（6 例2．化简下列各式（1（2）2 4．复习初中整数指数幂的运算性质；nn n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===⋅+)()(（二）探索新知1．指数与指数幂的运算（1）分数指数幂思考1：设a >0，分别等于什么？思考2：观察上述结论，你能总结出什么规律？思考3思考4n ma =（a >0，m ，n ∈N 且n ＞1），那么238表示一个什么数？21523,4分别表示什么根式？思考5：你认为如何规定n ma-（a >0，m ，n ∈N ，且n ＞1）的含义？思考6：怎样理解零的分数指数幂的意义？思考7：233352(2),(2),(2)---都有意义吗？当0a <时，*(,,1)n ma m n N n ∈>何时无意义？正数的分数指数幂的意义．规定：)1,,,0(*>∈>=nNnmaaa n mnm*10,,,1)mnmna a m n N na-==>∈>0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．2．有理指数幂的运算性质（1）(0,,)r s r sa a a a r s Q+⋅=>∈；（2）()(0,,)r s rsa a a r s Q=>∈；（3）()(0,0,)r r rab a b a b r Q=>>∈．引导学生解决本课开头实例问题．3．无理指数幂思考1＝1．414 21356…，那么思考2：观察上面两个图表，思考3：有理指数幂的运算性质适应于无理数指数幂吗？指出：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．思考：（教材P 63练习4）巩固练习思考：（教材P 62思考题）（三）例题讲解例3．求下列各式的值（1）2327；（2）1225-；（3）51()2-；（4）3416()81-例4．化简下列各式的值211511336622(1)(2)(6)(3)(,0)a b a b a b a b -÷-> 31884(2)()(,0)m n m n ->(3)2(4)0)a >说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用．（四）课堂练习教材对应习题．（五）课堂小结本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．（六）布置作业课本习题略．。

人教A版数学必修一指数与指数幂的运算第一课时《根式》教案

2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算第一课时根式学习目标：1.知识与技能（1）理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质；（2）能利用根式的性质对根式进行运算．2.过程与方法会求或化简根指数为正整数时的根式.3.情感、态度、价值观由章头主图，结合生活中的例子，引出学生探求数学知识的欲望，激发学生学习数学的兴趣.教学重点：利用n次根式的性质化简n次根式.教学难点：n次根式的性质及应用。

教学方法：本节课采用教师启发讲授，学生自主探究相结合的教学方法. 教学过程：（一）教学引入章头考古学家结合鱼化石碳14残留量推断鱼的死亡时间，课本P48问题1问题2，我们以前的知识解决不了.(二)导入学习问题1:什么是一个数的平方根?什么是一个数的立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?问题2:①如果2x =a,那么x 叫做a 的平方根; ②如果3x =a,那么x 叫做a 的立方根;如果4x =a,5x =a,又有什么样的结论呢? 你能否据此得到一个一般性的结论? （三）基础学习1.定义：一般地，若*),1(N n n a x n ∈>= 则x 叫做a 的n 次方根，n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数。

2.性质： ①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数记作： n a x = ②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数）记作：n a x ±=③负数没有偶次方根 ④ 0的任何次方根为0注：当a ≥0时，n a ≥0，表示算术根，所以类似416=±2的写法是错误的.小结：对于一个数的n 次方根，我们一定要先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数和偶数两种情况.（四）深入学习（1）根据n 次方根的意义()nn a =a.例如,()()()33,33,5533332-=-==. （2）利用所学n 次方根的知识,能否求出下列各式的值? ①√(-2)33;②√(-2)44;③√(3-a)2(a>0). 思考：课本P50探究，结合例题可得出：当n 是奇数时,√a n n=a; 当n 是偶数时,√a n n =|a|={a,a ≥0,-a,a<0.例如,√(-2)33=-2,√255=2;√344=3,√(-3)2=|-3|=3. 总结反思1.0的任何次方根都是‗‗‗‗‗‗.2. 当为奇数时，正数的次方根为；当为偶数时，正数的次方根为‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗4.当为奇数时，‗‗‗‗‗‗当为偶数时‗‗‗‗‗‗（五）运用规律,解决问题课本P50【例1】求下列各式的值:(1)(√-83)3; (2)√(-10)2;(3)√(3-π)44; (4)√(a -b)2(a>b).【例2】化简下列各式: n =n =n =n a n n a n(1)√816; (2)√(-2)26; (3)√-3215; (4)√x 84; (5)√a 2b 46.（六）课堂练习：练1：求值①33)8(-= -8 ； ②2)10(-= |-10| = 10 ； ③44)3(π-= |π-3| = 3-π ； ④)()(2b a b a >-=|a - b| = a - b . 练2：下列各式中，正确的是（C ）A.3622)2(-=- B. ππ-=-3)3(44 C. 2)2(33-=- D. 12)12(66-=-a a练3：化简=-+-+-3322)1()1()1(a a a 1a - )1(≥a 练4：有下列说法：①1的4次方根是1； ②因为(±3)4＝81，∴481的运算结果为±3.③当n 为大于1的奇数时，na 对任意a ∈R 都有意义； ④当n 为大于1的偶数时，n a 只有当a ≥0时才有意义．其中，正确的是 ( D )A．①③④B．②③④ C．②③D．③④练5＝－4a－1，求实数a的取值范围.[解析] ＝|4a＋1|＝－4a－1，∴4a＋1≤0，∴a≤－14. ∴a的取值范围是(－∞，－14]．七、课后作业1：《高考调研》P39题型一2：预习课本P50-P53。

人教版高中数学必修1-2.1《指数与指数幂的运算(第2课时)》教学设计

2．1．1指数与指数幂的运算(第二课时)（胡文娟）一、教学目标（一）核心素养通过指数运算符号的使用与运算法则的总结，培育学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养，为指数函数学习打下坚实基础．（二）学习目标1．理解有理数指数幂的含义及其运算性质． 2．运用有理数指数幂运算性质进行计算．（三）学习重点1．有理数指数幂的运算性质． 2．运用有理数指数幂的性质进行计算．（四）学习难点有理数指数幂的运算性质及其应用二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务（1）求下列各式的值：①0232)2017(2)8(--⋅--；②21)62581(-详解：①原式014164121)8(3232=-⋅=-⋅-=； ②原式925)53()53(2214==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--．（2）计算下列各式．①=⋅2222 ，=⋅212122 ； ②=22)2( ，=221)2( ； ③=⨯2)32( ，=⨯21)32( ；观察上面的计算结果，你能得出什么结论？结论：．详解： ①16222242222===⋅+，222221212121==⋅+；②1622)2(42222===⨯，22)2(221221==⨯；③3632)32(222=⨯=⨯，632)32(212121=⨯=⨯．结论：整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也适用．2．预习自测（1）对于0>a ，Q ,∈s r ，以下运算中正确的是（） A ．rs s r a a a =⋅B ．s r s r a a +=)(C ．r r r b a ba-=)(D ．s r s r ab b a +=)(【知识点】有理数指数幂的运算性质．【数学思想】【解题过程】s r s r a a a +=⋅，A 选项错；rs s r a a =)(，B 选项错；由有理数指数幂的运算性质得D 选项不成立．【思路点拨】正确识记并掌握有理数指数幂的运算性质．【答案】C ．（2）下列各式正确的是（） A ．y x y x 3223=B ．)0()(2<=-x x xC ．x x x =⋅52D ．35332x x x =⋅【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质．【数学思想】32x y = A (0)x x =-< B 59x == D 错．【思路点拨】根据根式与分数指数幂的互化进行判断．【答案】C ．（3）将33611xx x ⋅(0>x )化简，结果正确的是（）A ．xB ．611x C ．6xD ．1【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质．【数学思想】【解题过程】103123611312361133611===⋅=⋅--x xxx xxx x【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化关系以及有理数指数幂的运算性质进行化简．【答案】D ．（4）计算2231224-+⋅的结果是（）A ．16B ．32C ．64D ．128【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简求值．【数学思想】【解题过程】322224522322222312===⋅-++-+．【思路点拨】运用有理数指数幂的运算性质，同底数的幂相乘底数不变指数相加．【答案】B ． (二)课堂设计 1．知识回顾正整数指数幂的运算性质：*0,,r s r sa a a a r s +=>∈N （） *0,,r s rs a a a r s =>∈N （）（） *0,0,r r r ab a b a b r =>>∈N （）（）2．问题探究探究一有理数指数幂的含义及其运算性质★ ●活动① 有理数指数幂的含义前面我们学习了正数的正指数幂的意义，规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm 也规定了正数的负指数幂的意义：1*()0,,,1)m m nnaa a m n N n --==>∈>在规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．【设计意图】通过回顾已学知识归纳总结，加深学生对有理数指数幂的理解． ●活动② 有理数指数幂的运算性质回顾整数指数幂的运算性质，在规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否仍然适用呢？（学生讨论给出结论）答案是肯定的，整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r ，s ，均有下面的运算性质：0,,Q r s r sa a a a r s +=>∈（） 0,,Q r s rs a a a r s =>∈（）（） 0,0,Q r r r ab a b a b r =>>∈（）（）【设计意图】通过学生自己思考得出整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用的结论，为后面运用有理数指数幂的运算性质进行化简计算做铺垫． ●活动③ 有理数指数幂的化简求值阅读教材51页至52页，从书中的例子中，我们可以总结得出有理数指数幂的化简求值的一般步骤有：第一步找同底数幂，调换位置时注意做到不重不漏；第二步合并同类项，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，同底数的幂相除则底数不变指数相减；第三步同底数幂相加减，能合并的就合并，不能合并就按照升幂或降幂排列．【设计意图】强调学生在进行有理数指数幂的化简求值时要注意正确步骤，更容易得出正确结果．探究二运用有理数指数幂运算性质进行计算★▲ ●活动① 巩固基础，检查反馈例1 如果a >0，b >0，m ，n 都是有理数，下列各式错误的是（） A ．mn n m a a =)（ B ．n m n m a a a --=C ．n n n b a ba-⋅=)( D ．n m n m a a a +=+【知识点】有理数指数幂的运算性质．【数学思想】【解题过程】D 选项不成立．【思路点拨】正确识记并掌握有理数指数幂的运算性质．【答案】D ．同类训练对任意实数a ，下列关系式不正确的是（）． A ．a a =2132)( B ．313221)(a a = C ．513153)(a a =-- D ．515331)(a a =【知识点】有理数指数幂的运算性质．【数学思想】【解题过程】A 选项中312132)(a a =．【思路点拨】正确识记并掌握有理数指数幂的运算性质．【答案】A ．例2 若210x ＝25，则10x -等于（）A ．－51B ．51C ．501 D ．6251 【知识点】有理数指数幂的化简求值．【数学思想】【解题过程】221025(10)25105x x x =∴=∴=Q ，，或510-=x （舍去），5110110==∴-x x ．【思路点拨】利用有理数指数幂的运算法则进行化简．【答案】B ．同类训练已知31=+aa ，则2121-+a a 等于（）A ．2B ．5C ．5-D ．5±【知识点】有理数指数幂的化简求值．【数学思想】【解题过程】52122121=++=+-aa a a ）（．【思路点拨】利用有理数指数幂的运算法则进行化简．【答案】B ．●活动② 强化提升、灵活应用例3 用分数指数幂的形式表示下列各式（a >0）：（1）a a ⋅3（2）322a a ⋅ （3）3a a【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）272133a a a a a =⋅=⋅（2）38322322a a a a a =⋅=⋅（3）3221313a a a a a =⋅=⋅）（【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系．【答案】（1）27a ，（2）38a ，（3）32a ．同类训练用分数指数幂表示下列各式．（1）)0(4>a a a ；（2）)0()(542≥++⋅+n m n m n m ）（；（3）3x x )0(≥x ．【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质及其化简求值．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）272144a a a aa =⋅=- （2）32542542)()()(）（）（n m n m n m n m n m +=+⋅+=+⋅+（3）2131213)(x x x x x =⋅=【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系．【答案】（1）27a ，（2）3）（n m +，（3）21x ．例4 求值25.04245.0081)2()4(5.7])43[(+-+⨯--【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】原式5316151)3(2)4(21514144241=++-=+-+⨯-=）（【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化和有理数指数幂的运算性质进行化简求值．【答案】5．同类训练计算：5.02120)01.0()416(2)532(-⋅+--【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简．【数学思想】【解题过程】111020.52222311251(2)2(6)(0.01)1()()5424100---+⋅-=+⋅-1211111145101010=+⋅-=+-=．【思路点拨】根据有理数指数幂的运算性质直接进行计算．【答案】1．【设计意图】加强学生对有理数指数幂的运算性质的应用的掌握． ●活动③ 强化提升、灵活应用例5 化简：)00()65)(41(561312112132>>-----y x y x y x yx ，．【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】原式61313221326121311213224242455y yx y x yx y x ===---+--【思路点拨】熟练运用有理数指数幂的化简性质进行计算．【答案】6124y ．同类训练化简：)00()(3131421413223>>⋅-b a ba b a ab b a ，【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】原式b aab ba ba ab b a b a ===⋅⋅=---++-+-13123113116123313122132213123)()(【思路点拨】熟练运用有理数指数幂的化简性质进行计算．【答案】ba．例6 先化简，再求值1111111111()(244) 2.11x x x x x x x ---------+---=+-，其中【知识点】有理数指数幂的化简求值．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】原式)1)(1()442(4)442()1)(1()1()1(11111111111112121-+---=---++--=---------------x x x x x x x x x x x xxx x x x x x x x x +-=+-=-+-=-+++-=---------1111)1)(1()1()1)(1(121111211121，当2=x 时，原式31-=．【思路点拨】通过有理数指数幂的运算性质以及平方差公式和完全平方公式将原式化简，再求值即可．【答案】31-．同类训练已知8=x ，求111113131313132--++++++-x xx x x x x x 的值．【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简．【数学思想】【解题过程】∵8=x ，∴231=x ，原式101228121812418=--++++++-=．【思路点拨】根据有理数指数幂的运算性质直接带值进行计算．【答案】10．【设计意图】加强学生对有理数指数幂的运算性质的应用的掌握． 3．课堂总结知识梳理（1）一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1，且*N ∈n ．式子n a 叫做根式，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数．（2）分数指数幂是一个数的指数为分数,正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式．重难点归纳（1）运用有理数幂运算性质进行化简，求值，要掌握解题技巧，注意同底数的幂的运算法则．（2）在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的．（3）对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．（三）课后作业基础型自主突破1．=⋅2255）（）（（）． A ．5 B ．5 C ．25 D ．25 【知识点】有理数指数幂的运算性质．【数学思想】【解题过程】222222255555=⋅=⋅）（）（．【思路点拨】直接根据有理数指数幂的运算性质计算．【答案】C ．2．⋅3a 6a -等于（）A ．－a －B ．－aC ．a －D ．a【知识点】根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化．【数学思想】分类讨论思想【解题过程】⋅3a 6a -＝－⋅31)(a －61)(a －＝－21)(a －＝－a －．【思路点拨】掌握根式的化简运算以及根式与分数指数幂之间的互化关系．【答案】A ．3．以下各式的化简错误的是（） A ．11513152=-aa aB ．()643296b a b a ---=C ．y y x y x y x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--322132413141D ．ac cb a cb a 532515433121433121-=---【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简求值．【数学思想】【解题过程】由有理数指数幂的运算性质可知，A ，B ，C 均正确．【思路点拨】正确运用有理数指数幂的运算性质．【答案】D ．4．已知2-x ＋2x ＝22且x ＞1，则2x －2-x 的值为（） A ．2或－2B ．－2C ．6D ．2【知识点】有理数指数幂的化简求值．【数学思想】【解题过程】2x －2-x ＝（x ＋1-x ）（x －1-x ）＝21)(－＋x x 21)(－－x x ＝⋅222－＋＋x x =222－＋－x x ⋅222＋222－＝2．【思路点拨】运用有理数指数幂的运算性质．【答案】D ．5．若210=m，310=n，则2310nm -＝___________．【知识点】幂的运算性质，有理数指数幂的化简．【数学思想】【解题过程】2310n m -＝n m n m －＝10·101033-＝36231·2101·)10(33＝＝n m ．【思路点拨】运用幂的运算性质．【答案】362． 6．计算下列各式（1）4325)12525(÷- （2）)0(322>⋅a aa a【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质与化简求值．【数学思想】【解题过程】（1）555555525)12525(66121233243-=-=⨯-=÷--）（．（2）6532212322a aa a aa a =⋅=⋅【思路点拨】运用根式的化简法则和有理数指数幂的运算性质．【答案】（1）556-，（2）65a ．能力型师生共研7．已知23--+=b a x , 求46322--+-a x a x 的值．【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简求值．【数学思想】转化与化归思想【解题过程】4234632)(2----=+-a x a x a x ,因为23--+=b a x ，所以bb a x 1)(1423==---．【思路点拨】运用分数指数幂进行根式计算．【答案】b 1．8．化简：=⋅÷--3353225a a a a____________．【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简．【数学思想】【解题过程】673221313531653353225a aa a aaa a aaa=÷=⋅÷⋅=⋅÷-----．【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算．【答案】67a 探究型多维突破 9．化简：)21)(21)(21)(21(214181161----++++【知识点】有理数指数幂的化简求值．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】原式1612141818116121418116116121)21)(21)(21)(21(21)21)(21)(21)(21)(21(------------+++-=-++++-=11611612121161214141)21(2121)21)(21(21)21)(21)(21(----------=-+-=-++-=【思路点拨】分子分母同时乘以16121--．【答案】1161)21(21---．10．已知)00)((21>>+=b a a b b a x ，，求11222---x x x b ．【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简运算．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】因为)00)((21>>+=b a abb a x ，，所以222)(411)(411a b b a a b b a x -=-+=-，①当0>≥b a 时，)(2112abb a x -=- b a x x =-+12，b a x x x b x x x b -=-+-=---∴)1(121122222；②当b a <<0时，)(2112b a a b x -=-，a b x x =-+12，)1(121122222-+-=---x x x b x x x b aab b -=2 【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化和有理数指数幂的运算性质进行化简求值．【答案】当0>≥b a 时，b a x x x b -=---∴11222；当b a <<0时，11222---x x x b a ab b -=2．自助餐1．化简()43325⎥⎦⎤⎢⎣⎡-的结果为（）A ．5B ．5C ．5-D ．-5【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质．【数学思想】【解题过程】()55552143324332===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-）（．【思路点拨】根据根式与分数指数幂的互化以及有理数指数幂的运算性质直接进行计算．【答案】B ．2．若522=+-x x ，则=+-x x 44（） A ．29B ．27C ．25D ．23【知识点】有理数指数幂的化简求值．【数学思想】【解题过程】2344,25244222=+∴=++=+---x x x x x x ）（．【思路点拨】根据有理数指数幂的运算性质直接进行计算．【答案】D ．3．已知0>a ，则=a aa2121__________．【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质．【数学思想】【解题过程】a a a a a a a aa=⋅=⋅⋅=212121212121212121)()(．【思路点拨】当n 为偶数时，n n a ＝a ．．4．已知9,12==+xy y x ，且y x <，求21212121yx y x +-的值是_______________．【知识点】有理数指数幂的化简求值．【数学思想】【解题过程】9212)(02212121212121--=--=-<-∴<y x y x y x y x ，， 6-=，同理239212)(02212121212121=+=+=+>+y x y x y x ，，故3321212121-=+-yx y x ．【思路点拨】运用有理数指数幂的运算性质．【答案】33-． 5．已知0>x ．（1）化简⨯53xx ⨯35xx 35xx ；（2）若4=x ，求342x x ⋅的值．【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质及其化简求值．【数学思想】【解题过程】（1）⨯53xx ⨯35xx =⨯⨯=⨯⨯10151101301151101301===⋅⋅=-+---x xxx x．（2）4331493493412342)(xx xxxx x===⋅=⋅，当4=x 时，22644444343===【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化进行化简运算．【答案】（1）1；（2）．6．计算下列各式（式中字母都是正数）（1）)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷- （2）mn n m ⋅-88341)(【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的化简求值．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）a b a b a b a b a b a 4)3(12)3()6)(2(65616567656131212132=-÷-=-÷-）（（2）252521213288341)(---=⋅=⋅n m n m n m mn n m 【思路点拨】正确运用有理数指数幂的运算法则．【答案】（1）4a ；（2）2525-n m ．。

人教版数学高中必修一《指数与指数幂的运算》教学设计

2.1.1 指数与指数幂的运算（三课时）第一课时一、学习目标：1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

二、学习重难点：重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质难点：根式概念和分数指数幂概念的理解三、学习方法：学导式四、学习过程：（I ）复习回顾 m na+= (m,n ∈Z)； _____=（II ）讲授新课 1.引入：（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为mna a ÷可看作mna a -⋅,所以mnm na a a-÷=可以归入性质m n m na a a+⋅=；又因为n ba )(可看作m na a -⋅，所以n n nb ab a =)(可以归入性质()nnnab a b =⋅(n ∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。

为了学习分数指数幂，先要学习n 次根式（*N n ∈）的概念。

（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。

如：分析：若2=4，则2叫4的平方根；若2=8，2叫做8的立方根；若2=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n=a ，则2叫a 的n 次方根。

由此，可有： 2.n 次方根的定义：（板书）问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？na x =是否正确？分析过程：解：因为33=27，所以3是27的3次方根；因为5)2(-=-32，所以-2是-32的5次方根；因为632a )a (=，所以a 2是a 6的3次方根。

结论1：从而有：3273=，2325-=-，236a a =解：因为4216=，16)2(4=-，所以2和-2是16的4次方根；因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。

结论2： 4次方根均为0。

结论3：0的n 次方根是0，记作n n a ,00即=当a=0时也有意义。

人教版高中数学必修一教材《指数与指数幂的运算》教案

2.1.1 指数与指数幂的运算（二）（一）教学目标1．知识与技能（1）理解分数指数幂的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质.3．情感、态度与价值观（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂概念的理解（三）教学方法发现教学法1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.（四）教学过程1(0)n na a a -=≠;()mnm nm n mna a a a a+⋅==(),()n m mn n n na a ab a b ==什么叫实数？有理数，无理数统称实数.习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.复习引入观察以下式子，并总结出规律：a ＞0① 1051025255()aa a a ===② 884242()a a a a ===③1212343444()aa a a ===④5105102525()aa a a===小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：2323(0)a a a ==>12(0)b b b ==>5544(0)c c c ==>即：*(0,,1)m nmna a a n N n =>∈>老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义.数学中引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的.形成概念为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论．教师巡视指导．让学生经历从“特殊一备选例题例1计算（1）.)01.0(41225325.0212-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛--（1）5.1213241)91()6449()27()0001.0(---+-+；【解析】（1）原式1122141149100⎛⎫⎛⎫=+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11111.61015=+-=（2）原式=232212323414])21[(])87[()3()1.0(---+-+ =3121)31()87(31.0---+-+=73142778910=+-+.【小结】一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.例2 化简下列各式：（1）313315383327----÷÷a a a a a a ；（2）33323323134)21(248a ab a abb ba a ⨯-÷++-. 【解析】（1）原式=321233153832327----÷÷a aa aa a=323732-÷÷a a a=312213732)()(-÷÷a a a=326732326732---÷=÷÷aa aa a=613221a a =+-；（2）原式=313131313231313231224)8(a a b a a b a b b a a ⨯⋅-÷++-3131313132313132323131323131312424)42)(2(a b a a b a b b b a a b a a ⋅-⋅++++-=a a a a =⋅⋅=313131.【小结】（1）指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算. 负指数幂化为正指数幂的倒数. 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.（2）根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算. 在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解. 如8)2(])2[()2(2162166==-=-.（3）利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，但不能既有根式又有分数指数幂.。

指数与指数幂的运算教案

指数与指数幂的运算教案一、教学目标：知识与技能目标：1. 理解指数与指数幂的概念。

2. 掌握指数幂的运算性质和运算法则。

3. 能够运用指数幂的运算性质解决实际问题。

过程与方法目标：1. 通过观察、分析和归纳，培养学生发现和提出问题的能力。

2. 利用同底数幂的乘法、除法、乘方和积的乘方等运算法则，提高学生的逻辑思维能力。

情感态度与价值观目标：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心。

2. 培养学生勇于探索、合作的科学精神。

二、教学重点与难点：重点：1. 指数与指数幂的概念。

2. 指数幂的运算性质和运算法则。

难点：1. 理解指数幂的运算性质和运算法则。

2. 运用指数幂的运算性质解决实际问题。

三、教学准备：教师准备：1. 指数与指数幂的相关教学素材。

2. 教学课件或板书设计。

学生准备：1. 预习指数与指数幂的相关知识。

2. 准备好笔记本，用于记录重点知识和练习。

四、教学过程：1. 导入：教师通过引入日常生活中的实际问题，如“银行的复利计算”，引导学生思考指数与指数幂的概念。

2. 新课讲解：教师讲解指数与指数幂的概念，通过示例和图示，帮助学生理解指数幂的运算性质和运算法则。

3. 课堂练习：教师给出一些指数幂的运算题目，要求学生独立完成，并及时给予指导和反馈。

4. 应用拓展：教师提出一些实际问题，引导学生运用指数幂的运算性质解决，培养学生的应用能力。

五、课后作业：教师布置一些有关指数与指数幂的练习题目，要求学生在课后完成，巩固所学知识。

教学反思：教师在课后对自己的教学进行反思，了解学生的学习情况，针对存在的问题，调整教学方法和策略，以提高教学效果。

六、教学评估1. 课堂提问：教师通过提问了解学生对指数与指数幂概念的理解程度，以及学生对指数幂运算性质和运算法则的掌握情况。

2. 课堂练习：教师观察学生在练习过程中的表现，评估学生对指数幂运算的熟练程度。

3. 课后作业：教师批改课后作业，了解学生对课堂所学知识的掌握情况，发现问题及时给予反馈。

人教版高中数学必修1教材《指数与指数幂的运算》教案

2.1.1 指数与指数幂的运算（一）（一）教学目标1．知识与技能（1）理解n次方根与根式的概念；（2）正确运用根式运算性质化简、求值；（3）了解分类讨论思想在解题中的应用.2．过程与方法通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n次方根的概念，进而学习根式的性质.3．情感、态度与价值观（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（2）培养学生认识、接受新事物的能力.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）根式概念的理解；（2）掌握并运用根式的运算性质.2．教学难点：根式概念的理解.（三）教学方法本节概念性较强，为突破根式概念的理解这一难点，使学生易于接受，故可以从初中已经熟悉的平方根、立方根的概念入手，由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根的概念，在得出根式概念后，要引导学生注意它与n次方根的关系，并强调说明根式是n次方根的一种表示形式，加强学生对概念的理解，并引导学生主动参与了教学活动.故本节课可以采用类比发现，学生合作交流，自主探索的教学方法.（四）教学过程备选例题例1 计算下列各式的值. （1）33)(a；（2 （1n >，且n N*∈）（3）1n >，且n N *∈）【解析】（1）a a =33)(.（2）当n =3π-；当n =3π-. （3）||x y -，当x y ≥时，x y -；当x y <时，y x -. 【小结】（1）当n 为奇数时，a a nn =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a nn（2）不注意n 的奇偶性对式子nn a 值的影响，是导致错误出现的一个重要原因.故要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用.例2 求值：【分析】需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；==+--=||2|2=2(2=【小结】开方后带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值.。

人教版高中数学必修1-2.1《指数与指数幂的运算(第1课时)》教学设计

2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算（第一课时）（胡文娟）一、教学目标（一）核心素养通过指数运算符号的使用与运算法则的总结，培育学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养，为指数函数学习打下坚实基础．（二）学习目标1．理解根式的概念并掌握运用根式的性质进行化简． 2．理解分数指数幂的概念．3．掌握根式与分数指数幂之间的互化．（三）学习重点1．根式与分数指数幂概念的理解． 2．分数指数幂的运算性质．（四）学习难点根式与分数指数幂的互化．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第49页至第51页，填空：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1>n ，且*N ∈n ．式子n a 叫做根式，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数．当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．式子n a 叫做根式．这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（2）计算下列各式①364-；②44)6(1-；③)0,0(55≥≥+b a b a ）（观察上面的计算结果，你得到的结论是：（用字母表达）．详解： ①44)4()4(6433-=-⨯-⨯-=-）（； ②61)6(1)6(1)6(1)6(161)6(144444=-⨯-⨯-⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-； ③()()()()()b a b a b a b a b a b a b a +=+⋅+⋅+⋅+⋅+=+555）（结论：n 为奇数，R a a a n n ∈=，；n 为偶数，⎩⎨⎧<-≥=0,0a a a a a n n ，．2．预习自测（1）若x 表示实数，则下列说法正确的是（）A ．x 一定是根式B ．x -一定不是根式C ．56x 一定是根式D ．3x -只有当0≥x 才是根式【知识点】根式的定义．【数学思想】【解题过程】根据根式定义可得C 正确．【思路点拨】根据根式的定义直接判断．【答案】C ．（2）=-552）（（） A ．4 B ．2 C ．4- D ．2-【知识点】根式的化简．【数学思想】【解题过程】()()()()()2222222555-=-⋅-⋅-⋅-⋅-=-）（．【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算．【答案】D ．（3）将235写为根式，则正确的是（）A ．325B ．35 C ．523 D ．35【知识点】根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】32355=【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化关系．【答案】D ．（4）将536写为分数指数幂的形式，则正确的是（） A ．356 B ．536 C ．156D ．26【知识点】根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】535366=【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化关系．【答案】B ．(二)课堂设计 1．知识回顾（1）平方根一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（square root ）或二次方根．（2）立方根一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根（cube root ）或三次方根．（3）正数有两个平方根，他们互为相反数，其中正的平方根称为算术平方根；0的平方根是0；负数没有平方根．任何一个数都有唯一一个立方根，并且这个立方根的符号与原数相同． 2.问题探究探究一根式的概念与根式的化简 ●活动① 回顾理解方根与根式的概念在初中，我们学习过二次方根概念:一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（square root ）或二次方根．其中，a 叫做被开方数．当a ≥0时，a 表示a 的算术平方根．我们也学习过三次方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根（cube root ）或三次方根．提问：如果一个数的4次方等于a ，那么这时候这个数叫做什么呢？这个数叫做a 的四次方根．追问：如果一个数的n 次方等于a ，那么这时候这个数又叫做什么呢？（抢答）一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且*N ∈n ．式子n a 叫做根式，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数．【设计意图】通过回顾已学知识，从特殊到一般，让学生自己总结归纳，加深学生对根式的理解． ●活动② 根式的性质*,1)n n ∈N >表示n a 的n 次方根，等式a a n n =一定成立吗？如果不一定成立，那么n n a 等于什么？（分小组讨论）若00a ==n 为奇数时，a a n n =n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a n n也就是说，当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数；当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．追问：a a n n =)(一定成立吗？很明显，当根式有意义的情况下a a n n =)(一定成立．综上，根式的性质有：00)1(=n ，a a n n =))(2(，a a n n =)3(（n 为大于1的奇数），⎩⎨⎧<-≥==)0()0()4(a a a a a a n n （n 为大于1的偶数）．【设计意图】通过学生自主讨论探究归纳总结，得出根式的化简方法，加深印象．探究二分数指数幂的概念★ ●活动① 探究分数指数幂的概念当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)21(tP =，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值．例如：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P分别为21，2)21(，3)21(，……当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P 分别为57306000)21(，573010000)21(，5730100000)21(．问题：以上三个数的含义到底是什么呢？考古学家正式利用有理数指数幂的知识，计算出生物死亡6000年，10000年，100000年后体内碳14含量P 的值．例如，当t =6000时，600057301()0.4842p ==≈（精确到0.001），即生物死亡6000年后，其体内碳14的含量约为原来的48.4%．归纳：分数指数幂是一个数的指数为分数．【设计意图】从生活中的实际例子到数学语言，从特殊到一般，体会概念的提炼，抽象过程．探究三根式与分数指数幂的互化 ●活动① 根式与分数指数幂的互化5102552510)(a a a a ===，4123443412)(a a a a ===问题：（1）从上两个例子你能发现什么结论？结论：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成根指数被开方数的指数a 的形式（2））（0,,4532>c c b a 如何表示？3232a a =，21b b =，4545c c =规定)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm你能得出正数的负分数指数幂的根式表示形式吗？1*()0,,,1)m m nnaa a m n N n --==>∈>正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式．思考：负数的分数指数幂呢能不能用根式表示？不能，例如问题（2）中45c ，若c 为负数，则在实数范围内是不存在的． 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．【设计意图】从给出的例子让学生总结出正数的负分数指数幂，检查反馈学生对正数的分数指数幂概念的理解，加深对正数的分数指数幂的认识． ●活动② 巩固基础，检查反馈例1 化简327-的值是（）． A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．-9 【知识点】根式的化简求值．【数学思想】【解题过程】3327333-=-=-）（．【思路点拨】根据根式的运算法则直接进行计算．【答案】B ．同类训练552)()(b a b a -+-的值是（）． A ．0 B ．)(2b a - C ．0或)(2b a - D ．b a - 【知识点】根式的化简求值．【数学思想】分类讨论思想【解题过程】【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算．【答案】C ．【设计意图】检查反馈学生对根式的定义以及根式的性质的理解，进一步掌握根式的化简．例2 当x -2有意义时，化简964422+--+-x x x x 的结果为（）A ．52-x B ．12--xC ．1-D ．x 25-【知识点】根式的化简求值．【数学思想】【解题过程】x -2有意义即是说02≥-x ，则2≤x ，这442+-x x x x -=-=222）（，同理x x x x -=-=+-339622）（，所以原式1-=．【思路点拨】根据n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a n n 对根式进行化简求值．【答案】C ．同类训练若21<a ，则化简()4212-a 的结果是（） A ．12-aB ．12--aC ．a 21-D ．a 21--【知识点】根式的化简．【数学思想】【解题过程】21<a ，则012<-a ，()a a a 2112122142-=-=-）（．【思路点拨】根据n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a n n 对根式进行化简求值．【答案】C ．●活动③ 强化提升、灵活应用例3 下列互化中正确的是（）A ．)0(21≠-=-x x x ）（ B ．)0(3162<=y y yC ．)0,()(4343≠=-y x xy y x ）（ D ．331x x -=【知识点】根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】A 选项)0(21≠-=-x x x ，B 选项)0(3162<-=y y y ）（，D 选项331x x =．【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系．【答案】C ．同类训练下列等式能成立的是（）A ．7717)(m n mn＝B ．31242)2(－＝－C ．43433)(y x y x ＋＝＋D ．833)43(23=【知识点】根式的化简，根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】A 选项777)(-m n m n＝，B 选项31242)2(＝－，C 选项显然不成立．【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系．【答案】D ．例4 求下列各式的值:（1）5.03132)972()27125()027.0(-+（2）1416)31()16174()23(30----⋅+【知识点】根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】（1）原式09.0)35()35()3.0(233323=-+=（2）原式3903322==-= 【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系．【答案】（1）09.0；（2）．同类训练求下列各式的值:（1）03115.03)27102(1.0)972(π-++--（2）313125.01041027.010)833(81)87(3)0081.0(⨯-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯----【知识点】根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】（1）原式53113103+73412=+-=+=；（2）原式983)323(31310)103(10)23(1331)103(133334444-=-+⨯-=⨯-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⨯-=．【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系．【答案】（1）11312；（2）98-．【设计意图】通过计算，加强学生对根式的性质的运用以及对根式与分数指数幂的互化过程的熟练掌握． 3．课堂总结知识梳理（1）一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且*N ∈n ．式子n a 叫做根式，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数．（2）正数的分数指数幂（正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式）：)1,N ,,0(*>∈>=n n m a a a n m nm ，1*()0,,N ,1)m m nna a a m n n --==>∈>重难点归纳（1）在进行根式化简时一定注意当n 为奇数时，a a n n =，n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a nn ．（2）根式化简过程中常出现乘方与开放并存，要注意两者的顺序何时可以交换，何时不能交换，并且幂指数不能随便约分．（3）在进行根式与分数指数幂的互化时，)1,N ,,0(*>∈>=n n m a a a n m nm*0,,N ,1)mnaa m n n -=>∈>，其中m ，n 的位置切勿记反．（三）课后作业基础型自主突破1．设a n n m ,1,,>N ∈*是正实数，则下列各式中正确的有（）． ①nmnma a =；②10=a ；③nmnm aa1=-A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【知识点】根式与分数指数幂的互化，分数指数幂．【数学思想】【解题过程】由分数指数幂的概念判断．【思路点拨】弄清根式与分数指数幂之间的互化关系．【答案】A ． 2．已知432=-x则x 等于（）A ．8±B ．81± C ．443 D ．322±【知识点】根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】814143232332±=±=±==---）（x x【思路点拨】掌握根式的化简运算以及根式与分数指数幂之间的互化关系．【答案】B ．3．下列说法中正确的个数是（）①－2是16的四次方根 ②正数的n 次方根有两个 ③a 的n 次方根就是n a④a a n n =（≥a 0） A ．0B ．1C ．2D ．3【知识点】n 次方根和n 次根式的概念．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】①是正确的，由4(2)16-=可验证；②不正确，要对n 分奇偶讨论；③不正确，a 的n 次方根可能有一个值，可能有两个值，而n a 只表示一个确定的值，它叫根式；④正确，根据根式运算的依据，当n 为奇数时，n n a ＝a 是正确的，当n 为偶数时，若a ≥0，则有n n a ＝a ．综上，当a ≥0时，无论n 为何值均有n n a ＝a 成立．【思路点拨】根据方根与根式的定义直接进行判断．【答案】C ．4．若式子4321--）（x 有意义，则x 的取值范围是（） A ．R x ∈ B ．21≠x C ．21>x D ．21<x【知识点】根式与分数指数幂的互化．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】434321121）（）（x x -=--，若4321--）（x 有意义，则021>-x ，即21<x ．【思路点拨】化分数指数幂为根式，由根式内的代数式大于0求得x 的范围．【答案】D ． 5．计算下列各式：（1）44481⨯ （2）63125.132⨯⨯【知识点】根式与分数指数幂的互化，根式的化简求值．【数学思想】【解题过程】（1）62323481444444=⨯=⨯=⨯；（2）633362363322332232332125.132⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯6323332613121=⨯=⨯⨯⨯=．【思路点拨】运用根式的化简法则进行求解．【答案】（1）6；（2）6．6．化简625625++-=________．【知识点】根式的化简．【数学思想】【解题过程】32232362562522=++-=++-）（）（．【思路点拨】根号里面的部分用完全平方公式化简，再根据根式的化简得出结果．【答案】32．能力型师生共研7．a a a n n n n 2)(=+时，实数a 和正整数n 所应满足的条件．【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【数学思想】分类讨论思想【解题过程】由a a a n n n n 2)(=+，若n 为奇数，a a a a a n n n n 2)(=+=+，上式成立；若n 为偶数，则a ≥0，a a a a a n n n n 2)(=+=+，上式成立．【思路点拨】利用指数的运算法则，对n 为奇数或偶数进行讨论．【答案】n R a ，∈为正奇数或a ≥0，n 为正偶数． 8．已知*N ∈n ，化简()111112----++++++=L _____．【知识点】根式的化简运算．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】原式)21)(21(21-+-=++L1112312-+=-+++-+-=n n n【思路点拨】运用以前所学过的分母有理化将原式化简，将复杂问题简单化．【答案】11-+n ．探究型多维突破 9．已知32323232-+=+-=y x ，，求下列各式的值．（1）xy y x +；（2）22y xy x +-．【知识点】根式的化简求值．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）194347347347347)32(32)32(322222=-+++-=-+++-=+）（）（x y y x ；（2）19332323232323232322222=-++-+⋅+--+-=+-）（）（y xy x 【思路点拨】直接将已知的等式带入要求的式子中，在运用根式的性质将式子化简．【答案】（1）194；（2）193．10．若0,0>>y x 且满足y xy x 152=-，求yxy x y xy x +-++322的值．【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简求值．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】y xy x 152=-即为()()035=+-y x yx ，因为0,0>>y x ，故05=-y x ，所以y x 25=，321632525325225232222==+-++⨯=+-++yyyy y y y y yxy x y xy x ．【思路点拨】运用分数指数幂进行根式计算．【答案】3．自助餐1．式子a a 1－经过计算可得到（）A ．a －B ．aC ．－aD ．－a －【知识点】根式的化简．【数学思想】【解题过程】由原式知a ＜0，因此2a ＝｜a ｜＝－a ，故a ＝a －，于是aa 1－＝－)1(2aa －＝－a －．【思路点拨】负数的偶次方根等于其相反数．【答案】D ．2．下列说法正确的是（）． A ．64的6次方根是2 B ．664的运算结果是2±C ．1>n 且*N ∈n 时，a a n n =)(对于任意实数a 都成立D ．1>n 且*N ∈n 时，式子n n a 对于任意实数a 都有意义【知识点】方根与根式的概念，根式的化简．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】A 选项考察的是正数的偶次方根有两个，且互为相反数，B 选项的运算结果应该是2，C 选项当a 为负数则不成立．【思路点拨】根据方根与根式的概念，根式的化简进行判断．【答案】D ．3．当8＜x ＜10时，＝－＋－22)10()8(x x __________．【知识点】根式的化简．【数学思想】【解题过程】2)8(－x 8-=x 8-=x ，2)10(－x x x -=-=1010．【思路点拨】当n 为偶数时，n n a ＝a ．【答案】2．4．化简：=-+20122011)23()23(____________．【知识点】根式的化简求值．【数学思想】【解题过程】原式20112222⎡⎤=+⋅-⋅=-⎣⎦）））．【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算．【答案】32-．5．求使下列等式成立的x 的取值范围．（1）1212--=--x x x x （2）2)2()4)(2(2+-=--x x x x 【知识点】根式的化简运算．【数学思想】【解题过程】（1）12--x x 成立的条件为⎩⎨⎧>-≥-0102x x 或⎩⎨⎧<-≤-0102x x ，解得2≥x 或1<x ，而12--x x 成立的条件为⎩⎨⎧>-≥-0102x x ，解得2≥x ，所以等式成立条件为2≥x ．（2）原等式可变形为2)2()2()2(2+-=+-x x x x ，而使得a a -=2成立的条件是0≤a ，结合偶次根式的定义域即可得到⎩⎨⎧≥+≤-0202x x ，解得22≤≤-x ．【思路点拨】明确a a n n =成立的条件．【答案】（1）2≥x ；（2）22≤≤-x ．6．计算下列各式（式中字母都是正数）（1）0143231)12(3256)71(027.0-+-+-----（2）23241)32()827(0081.0+--【知识点】根式与分数指数幂的互化化简求值．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）原式[]191316449310131)4()7()103(43421313=+-+-=+-+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---（2）原式103949410394)23(10394)23()103(2323414=+-=+-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--【思路点拨】正确运用根式与分数指数幂的互化法则．【答案】（1）19；（2）103．。

高一数学必修1教材《指数与指数幂的运算》教学设计

2.1.1指数与指数幂的运算第1课时《根式》一、教学目标1、知识目标：理解n 次方根和n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算。

2、能力目标：通过对根式的学习，使学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力。

3、情感态度与价值观：通过对根式的化简，使学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想。

二、教学重点：n 次方根的概念及其取值规律教学难点：n 次方根的概念及其运算根据的研究．三、过程与方法：教学方法：启发探索式．（一）、预习自学1、指数幂的定义：a 的正整数指数幂=na （其中R a n N n ∈>∈,1,*）a 的零次幂=0a （其中a ） a 的负整数指数幂=-n a （其中a ）2、平方根与立方根的定义：（1）平方根：如果，那么叫做的平方根。

正数a的平方根有个，它们，记作，0的平方根是，负数。

（2）立方根：如果，那么叫做的立方根。

正数a 的立方根是一个，负数a 的立方根是一个，0的立方根是，实数a 的立方根记作。

3、n 次方根的概念：一般的，如果其中（）当n 是奇数时，记作当n 时偶数时记作负数 0的，记作 4、根式的概念：（1）定义：（2）性质 ⅰ） =n na )( ，ⅱ）当n 为奇数时=n n a ，n 为偶数时=n n a5、预习书P50例16、小试牛刀：化简下列各式：（1）38- （2）)(222b a b ab a <+-（3）66)2(+x （4）)1()31(2<--x xx （二）质疑、解疑1、式子n a 中a 的取值范围由什么决定?2、式子n a 的符号一定是正的吗？有什么规律？3、式子nn a )(中a 的取值范围是实数集R 吗？化简结果是什么？4、式子n n a 中a 的取值范围是实数集R 吗？化简结果一定是非负的吗？（三）实践1、根式有意义的条件：求347311aaa a ++-+-的值2、根式的化简与求值（1）计算 3048334160625.0--+π（2）如果,5-<m 化简251012)6(244++++--m m m m（3）设,33<<-x 求961222++-+-x x x x 的值（四）师生小结（五）验收：优化设计活页卷62页四、课后反思2.1.1指数与指数幂的运算第2课时《分数指数幂》一、教学目标1、知识目标：能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化。

指数与指数幂的运算(第一课时)教案

2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算(第一课时)一、教材分析：本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.1指数函数的内容. 二、学习目标：①理解n 次方根与根式的概念;②正确运用根式运算性质化简、求值; ③了解分类讨论思想在解题中的应用.三、教学重点：理解有理数指数幂的含义及其运算性质．四、教学难点：理解方根和根式的概念，掌握根式的性质，会进行简单的求n 次方根的运算.五、课时安排：2课时六、教学过程（一）、自主导学（课堂导入）1、设计问题,创设情境问题:当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题:①当生物死亡了5730,2×5730,3×5730,…年后,它体内碳14的含量P 分别为原来的多少?21，,...)21(,)21(32 ②当生物体死亡了6000年,10000年,100000年后,它体内碳14的含量P 分别为原来的多少?573010000057301000057306000)21(,)21(,)21(③由以上的实例来推断生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系式应该是什么?573021tp ⎪⎭⎫ ⎝⎛=考古学家根据上式可以知道,生物死亡t 年后,体内碳14含量P 的值.那么这些数21，,...)21(,)21(32,573010000057301000057306000)21(,)21(,)21(，573021t p ⎪⎭⎫ ⎝⎛=的意义究竟是什么呢?这正是我们将要学习的知识.2、学生探索,尝试解决问题1:什么是一个数的平方根?什么是一个数的立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?若x2=a,则x叫做a的平方根.同理,若x3=a,则x叫做a的立方根.根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数.问题2:如果x4=a,x5=a,又有什么样的结论呢?如果一个数的4次方等于a,那么这个数叫做a的4次方根;如果一个数的5次方等于a,那么这个数叫做a的5次方根.问题3:①如果x2=a,那么x叫做a的平方根;②如果x3=a,那么x叫做a的立方根;③如果x4=a,那么x叫做a的4次方根.你能否据此得到一个一般性的结论?一般地,如果x n=a,那么x叫做a的n次方根.问题4:上述结论中的n的取值有没有什么限制呢?方根的定义:一般地,如果x n=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.3、信息交流,揭示规律试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.(多媒体显示,学生完成)(1)25的平方根是±5;(2)27的立方根是3;;(3)-32的5次方根是-2;(4)16的4次方根是±2;(5)a6的立方根是a2;(6)0的7次方根是0.问题5:观察并分析以上各数的方根,你能发现什么?①以上各数的对应方根都是整数;②第(1)(4)题的答案有两个,第(2)(3)(5)(6)题的答案只有一个;③第(1)(4)题的答案中的两个根互为相反数.问题6:请仔细分析上述各题,并结合问题5中同学们发现的结论,你能否得到一个一般性的结论?一个数的奇次方根只有一个;一个数的偶次方根有两个,且互为相反数.问题7:是否任何一个数都有偶次方根?0的n次方根如何规定更合理?因为任何一个数的偶次方都是非负数,所以负数没有偶次方根;0的n次方等于0,所以0的n次方根等于0.问题8:同学们能否把所得到的结论再总结得具体一些呢?n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广,因此跟立方根和平方根的情况一样,方根也有如下性质:(1)当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.这时,a的n次.(2)当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数a的正的n次,负的n.正的n次方根与负的na>0).注:①负数没有偶次方根;②0的任何次方根都是0,记作n 0=0;③当a ≥0时,n a ≥0,所以类似416=±2的写法是错误的. 另外,我们规定:式子n a 叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 问题9:利用上面所学n 次方根的知识,能否求出下列各式的值? (1)(5)2;(2)38-;(3)416;(4)33)3(-a (a>0). (1)5;(2)-2;(3)2;(4)a-3.问题10:上面的计算涉及了哪几类问题? 主要涉及了(a)n 与n a 的问题.组织学生结合例题及其解答,进行分析讨论,归纳出以下结论: (1)(n a )n =a.例如,(3)3=27,(-2)5=-32. (2)当n 是奇数时,nn a =a ;当n 是偶数时,nna =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0(,)0(,a a a a 例如,33)2(-=-2,442=2;553=3,()883-=|-3|=3.4、类比前面的学习，给出并讲解分数指数幂的定义和运算性质分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．（1）．有理指数幂的运算性质①r a ·s r r a a +=),,0(Q s r a ∈>；②rss r a a =)(),,0(Q s r a ∈>；③srra a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>．引导学生解决本课开头实例问题让学生先看并一起分析讲解例题．（教材例2、例3、例4、例5）说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用． 4．无理指数幂结合教材实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．指出：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．（二）、合作学习让学生合作做练习，教师巡视指导然后讲解例题.【例1】求下列各式的值:(1)33)8(-;(2)2)10(-; (3)44)3(π-;(4)2)(b a -(a>b ).解：（1）33)8(-=-8；（2）2)10(-=10-=10；（3）44)3(π-=;33-=-ππ（4）2)(b a -=.b a b a -=- 例2、计算下列各式的值. （1）33)(a ；（2 （1n >，且n N *∈）（3）1n >，且n N *∈）【解析】（1）a a =33)(.（2）当n =3π-；当n =3π-.（3）||x y -，当x y ≥时，x y -；当x y <时，y x -.【小结】（1）当n 为奇数时，a a nn =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a nn（2）不注意n 的奇偶性对式子n na 值的影响，是导致错误出现的一个重要原因.故要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用.（三）、当堂检测 1.课本.321,54题、、p2、（P 56，例2）求值：①238；②1225-；③51()2-；④3416()81-.学生思考，口答，教师板演、点评． 2、解：① 223338(2)=2323224⨯===； ② 1122225(5)--=12()121555⨯--===； ③ 5151()(2)2---=1(5)232-⨯-==；④334()44162()()813-⨯-=3227()38-==3、用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）①3a 2a 分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.解：①117333222a a a a a +=⋅==②2223a a a =⋅28233aa +==；③421332()a a ====.（四）、课堂小结（教师根据学生具体的的学习接受情况提问并和学生一起做总结概括)先让学生独自回忆，然后师生共同总结．本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．以下是本节课重要知识点及需要理解的概念： 1．分数指数是根式的另一种写法. 2．无理数指数幂表示一个确定的实数.3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.1.复习课本P 48~50内容,熟悉巩固有关概念和性质;2.课本P 59习题2.1A 组第1、2、4题. 八、教学反思：。

高中数学必修1教材《指数与指数幂等运算》教学设计

2.1.1指数与指数幂的运算[学习目标] 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化.3.掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质.知识点一根式的定义1.n次方根的定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2.n次方根的性质(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a的n.(2)当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a的正的n次n.正的n次方根与负的n次方根可以合(3)0的任何次方根都是0(4)负数没有偶次方根.3.根式的定义式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.4.两个等式(1)(na)n＝a(n∈N*).(2)na n＝⎩⎨⎧a(n为奇数，且n∈N*)，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)，－a(a<0)(n为偶数，且n∈N*).知识点二分数指数幂(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：mnaa＞0，m，n∈N*，且n＞1).(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：-mna＝nma1(a＞0，m，n∈N*, 且n＞1).(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.思考(1)分数指数幂mna能否理解为mn个a相乘？(2)在分数指数幂与根式的互化公式mna＝n a m中，为什么必须规定a>0?答(1)不能.mna不可以理解为mn个a相乘，事实上，它是根式的一种新写法.(2)①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即na m＝mna＝0，无研究价值.②若a<0，mna＝n a m不一定成立，如(－2)32＝2(－2)3无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.知识点三有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；(2)(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q).知识点四无理数指数幂无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.题型一根式的运算例1求下列各式的值.(1)3(－2)3；(2)4(－3)2；(3)8(3－π)8；(4)x2－2x＋1－x2＋6x＋9，x∈(－3,3).解(1)3(－2)3＝－2.(2)4(－3)2＝432＝ 3.(3)8(3－π)8＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，当－3＜x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1＜x ＜3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ≤1，－4，1＜x ＜3.反思与感悟 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.2.开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论.跟踪训练1 化简下列各式.(1)5(－2)5；(2)4(－10)4；(3)4(a －b )4. 解 (1)5(－2)5＝－2. (2)4(－10)4＝|－10|＝10. (3)4(a －b )4＝|a －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b (a ≥b )，b －a (a ＜b ).题型二根式与分数指数幂的互化例2 将下列根式化成分数指数幂形式. (1)3a ·4a ； (2)a a a ；(3)3a 2·a 3； (4)(3a )2·ab 3. 解 (1)3a ·4a ＝a 31·a 41＝a 127. (2)原式＝a 21·a 41·a 81＝a 87. (3)原式＝a 23·a 32＝a136.(4)原式＝(a 31)2·a 21·b 32＝a 76b 32.反思与感悟在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：mna ＝na m和-m na＝nm a1＝1n a m，其中字母a 要使式子有意义.跟踪训练2 用分数指数幂表示下列各式： (1)3a ·6－a (a ＜0)；(2)3ab 2(ab )3(a ，b ＞0)；(3)23)(b ＜0)； (4)13x (5x 2)2(x ≠0).解 (1)原式＝a 31·(－a )61＝－(－a )31·(－a )61＝－(－a )21(a ＜0). (2)原式＝323232b a ab ⋅＝32725b a ＝157322()⋅a b ＝5766a b (a ，b ＞0). (3)原式＝212343⨯⨯b ＝(－b )91(b ＜0).(4)原式＝3154311⨯⋅xx ＝531x＝x35-(x ≠0).题型三分数指数幂的运算例3 (1)计算：0.06431-－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3]34-＋16－0.75＋|－0.01|21；(2)化简：3329-a a÷3a －7·3a 13(a ＞0).解 (1)原式＝(0.43)31-－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)21＝0.4－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(2)原式＝191317113()()32322323[][]⨯⨯-⨯-⨯⋅÷⋅a aaa＝937136666-+-a＝a 0＝1.反思与感悟指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 跟踪训练3 计算或化简：(1)⎝⎛⎭⎫－33823-＋(0.002)21-－10(5－2)－1＋(2－3)0；解 (1)原式＝(－1)23-⎝⎛⎭⎫33823-＋⎝⎛⎭⎫150021-－105－2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫27823-＋(500)21－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝133111513322222()[()()]----⋅⋅⋅a a a a＝1513103222()()-⋅⋅a a a＝(a －4)21＝a －2.题型四条件求值例4 已知a 21＋a21-＝3，求下列各式的值.(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)33221122----a a a a.解 (1)将a 21＋a 21-＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，即a ＋a －1＝7.(2)对(1)中的式子平方，得a 2＋a －2＋2＝49，即a 2＋a －2＝47.(3)33221122----a a a a＝1111122221122()()-----⋅⋅-a a a+a +a a a a＝a ＋a －1＋1＝8.反思与感悟 1.条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程.本题若通过1122-+a a＝3(a >0)解出a 的值代入求值则非常复杂.解决此类问题的一般步骤是：2.注意运用平方差公式、立方和公式、立方差公式对代数式进行变形，如： (1)a －b ＝(a 21)2－(b 21)2＝(a 21＋b 21)(a21－b 21).(2)a ±b ＝(a 31)3±(b 31)3＝(a 31±b 31)(a 23∓a 31b 31＋b 23). 跟踪训练4 已知a ＋a －1＝5(a >0)，求下列各式的值：(1)a 2＋a －2；(2)a 21－a21-；(3)a 3＋a －3.解 (1)方法一由a ＋a －1＝5两边平方，得a 2＋2aa －1＋a －2＝25，即a 2＋a －2＝23. 方法二 a 2＋a －2＝a 2＋2aa －1＋a －2－2aa －1＝(a ＋a －1)2－2＝25－2＝23.(2)∵(a 21－a 21-)2＝a ＋a －1－2＝5－2＝3，∴|a 21－a21-|＝3，∴a 21－a21-＝±3.(3)a 3＋a －3＝(a ＋a －1)(a 2－aa －1＋a －2) ＝(a ＋a －1)(a 2＋2aa －1＋a －2－3)＝(a ＋a －1)[(a ＋a －1)2－3]＝5×(25－3)＝110.因忽略对指数的讨论及被开方数的条件致误例5 化简：(1－a )[(a －1)－2·(－a )21]21. 错解原式＝(1－a )(a －1)－1·(－a )41＝－(－a )41.正解因为(－a )21存在，所以－a ≥0，故a －1<0，原式＝(1－a )(1－a )－1(－a )41＝(－a )41.错误原因因题中有(－a )21，所以－a ≥0，即a ≤0，则[(a －1)－2]21≠(a －1)－1，错解中忽略了这一条件.跟踪训练5 求[(1－2)2]21－(1＋2)－1－1＋213÷47的值.解原式＝2－1－(2－1)－1＋2－1＝－12.1.下列各式正确的是( ) A.(3a )3＝aB.(47)4＝－7C.(5a )5＝|a | D.6a 6＝a答案 A解析 (47)4＝7，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |. 2.(a －b )2＋5(a －b )5的值是( ) A.0B.2(a －b )C.0或2(a －b )D.a －b答案 C解析当a －b ≥0时，原式＝a －b ＋a －b ＝2(a －b )；当a －b ＜0时，原式＝b －a ＋a －b ＝0. 3.化简(1－2x )2(2x >1)的结果是( ) A.1－2x B.0 C.2x －1 D.(1－2x )2答案 C解析 ∵2x >1，∴1－2x <0. ∴(1－2x )2＝|1－2x |＝2x －1. 4.化简－x 3x 的结果是________.答案－－x5.已知10m ＝2,10n ＝3，则103m －n ＝________.答案 83解析 103m －n＝103m 10n ＝(10m )310n ＝233＝83.1.掌握两个公式：(1)(n a )n ＝a (n ∈N *)；(2)n 为奇数且n ∈N *，na n ＝a ，n 为偶数且n ∈N *，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a ＜0).2.根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.一、选择题1.下列等式一定成立的是( ) A.a 31·a 32＝aB.a31-·a 31＝0C.(a m )n＝nmaD.a m ÷a n ＝a m －n答案 D解析由指数运算的性质可知D 正确. 2.化简3a a 的结果是( )A.aB.aC.a 2D.3a 答案 B 解析3a a ＝(a ·a 21)31＝(a 32)31＝a 21＝a .3.化简(a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)的结果为( ) A.1 B.－1 C.a 2－1a 2＋1 D.a 2＋1a 2－1答案 C 解析 (a 2－2＋a －2)÷(a 2－a－2)＝(a －a －1)2÷[(a ＋a －1)(a －a－1)]＝a －a －1a ＋a －1＝aa －a －1aa ＋a －1＝a 2－1a 2＋1. 4.若(1－2x )－34有意义，则x 的取值范围是( )A.x ∈RB.x ∈R 且x ≠12C.x ＞12D.x ＜12答案 D 解析 ∵(1－2x )43-＝14(1－2x )3，∴1－2x ＞0，得x ＜12.5.化简a 3b 23ab 2(a 41b 21)4·3ba(a ，b ＞0)的结果是( )A.b aB.abC.ab D.a 2b 答案 C解析原式＝[a 3b 2(ab 2)13]12÷(a 1b 2b 13a －13)＝1121275247(3)(2)3232333333()+⨯+⨯--÷=⨯aba b ab＝a b. 6.已知x 21＋x21-＝5，则x 2＋1x的值为( )A.5B.23C.25D.27 答案 B解析 x 2＋1x ＝x ＋1x＝x ＋x －1＝(x 21＋x 21-)2－2＝52－2＝23.故选B.二、填空题 7.221-＋(－4)02＋12－1－(1－5)0·823＝________.答案 22－3 解析原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3. 8.计算：(π)0＋2－2×(214)21＝________.答案118解析原式＝1＋14×(94)21＝1＋14×32＝118.9.设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝_______，(2α)β＝_______. 答案 14 215解析利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝251.10.设2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y ＝________.答案 27解析由2x ＝8y ＋1，得2x ＝23y ＋3，所以x ＝3y ＋3.①由9y ＝3x －9，得32y ＝3x －9，所以2y ＝x －9.②由①②联立方程组，解得x ＝21，y ＝6，所以x ＋y ＝27. 三、解答题11.计算下列各式的值：(1)(0.027)31－⎝⎛⎭⎫61421＋25634＋(22)23－3－1＋π0； (2)733－3324－6319＋4333；(3)861552()--⋅a b ·5a 4÷5b 3(a ＞0，b ＞0).解(1)原式＝[(0.3)3]31－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫52221＋(44)34＋(232)23－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝96715. (2)原式＝7×331－3323×3－63⎝⎛⎭⎫132＋ 43×331＝7×331－6×331－6×323-＋331＝2×331－2×3×323-＝2×331－2×331＝0. (3)原式＝861431(()())552552⨯--⨯-⋅⋅÷a ba b＝43435555-⋅⋅÷a b a b ＝44335555-+-ab＝a 0b 0＝1.12.已知a ＝－827，b ＝1771，求a 23＋33ab ＋9b 23a 43－27a 13b ÷a313a －33b 的值. 解原式＝a 32＋3a 31·b 31＋(3b 31)2a 31(a －27b )·a 31－3b31a 31＝(a 31)3－(3b 31)3a 32(a －27b )＝a 23-＝(－827)23-＝(－23)－2＝94.13.(1)已知2x ＋2－x ＝a (常数)，求8x ＋8－x 的值；(2)已知x ＋y ＝12，xy ＝9且x ＜y ，求x 21－y 21x 21＋y 21的值. 解 (1)∵4x ＋4－x ＝(2x )2＋(2－x )2 ＝(2x ＋2－x )2－2·2x ·2－x ＝a 2－2， ∴8x ＋8－x ＝23x ＋2－3x ＝(2x )3＋(2－x )3＝(2x ＋2－x )·[(2x )2－2x ·2－x ＋(2－x )2]＝(2x ＋2－x )(4x ＋4－x －1)＝a (a 2－2－1)＝a 3－3a .(2)x 21－y 21x 21＋y 21＝(x 21－y 21)2(x 21＋y 21)(x 21－y 21)＝(x ＋y )－2(xy )21x －y.① ∵x ＋y ＝12，xy ＝9，②∴(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝122－4×9＝108.又∵x ＜y ，∴x －y ＝－6 3.③将②③代入①，得x 21－y 21x 21＋y 21＝12－2×921－63＝－33.。

人教版高中必修12.1.1指数与指数幂的运算教学设计

人教版高中必修12.1.1指数与指数幂的运算教学设计一、教学目标1.掌握指数与指数幂的概念及相关符号的含义；2.了解指数与指数幂的运算规律，能够进行基本的指数运算；3.能够解决实际问题中涉及指数的计算。

二、教学内容本次课程主要内容是指数与指数幂的运算，包括以下方面：1.指数的定义及相关符号的含义；2.指数幂的定义及相关符号的含义；3.指数与指数幂的运算规律；4.实际问题中指数的应用。

三、教学重难点1.某些指数运算中符号的应用容易混淆，需要在教学中重点强调；2.实际问题中，如何将问题抽象成指数运算式也是学生较难理解的地方。

四、教学方法1.演讲讲解法：采用通俗易懂的语言向学生介绍指数与指数幂的定义和运算规律；2.举例法：结合具体的例子，引导学生理解指数运算及其应用；3.互动答疑法：课程中适当设置答疑环节，解答学生对知识点的疑惑。

五、教学过程步骤1：引入通过展示一个生动有趣的例子，如计算珠穆朗玛峰的高度，引导学生认识到指数的概念和运用。

步骤2：概念讲解通过图示和例子讲解指数的概念，并引入指数幂的定义和符号。

步骤3：运算规律讲解指数与指数幂的运算规律，掌握指数间加、减、乘、除的运算规则，引导学生逐步掌握指数运算技巧。

步骤4：实际问题的解决结合实际例子，引导学生将问题抽象成指数运算式，并运用指数运算规律解决。

步骤5：课堂练习设计丰富的课堂练习，巩固学生对于指数的掌握和应用。

六、教学评价通过作业和课堂检测，对学生的学习成果进行评估。

评价内容主要包括基本概念的理解和掌握、运算技巧的运用及实际问题的解决能力等方面。

七、教学反思通过本次课程的教学，学生基本掌握了指数与指数幂的相关概念和运算技巧，但对于实际问题的解决还需要更多的实践。

因此，需要在后续的教学中，加强实际应用的讲解和训练，提高学生的应用能力。