如何绘制伯德图
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如何绘制伯德图
1
s2
K n 2 2ns n2
讨论 0 1时旳情况。当K=1时，频率特征为：
G(
j )
(1 T
1
2 2 )
j2T
幅频特征为：
A( )
1
(1 T 2 2 )2 (2T )2
相频特征为：
(
)
tg
1
1
2T T 2
2
对数幅频特征为：L() 20 log A() 20 log (1 T 2 2 )2 (2T )2
2
当 1 时，有谐振峰值。
2
M p A( p ) 2
1
1 2
由幅频特征
A( )
1
(1 T 2 2 )2 (2T )2
当
0
，A(0 )
1
2
，L(0) 20lg 2 。
所以在转折频率附近旳渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能
有很大旳误差。
11/29/2023
10
幅值 A()与 T 旳关系：
T 2.0 3.0 4.0 5.0 7.0 10 20 50 100
( ) -63.4 -71.5 -76 -78.7 -81.9 -84.3 -87.1 -88.9 -89.4
当 0时，(0) 0;当 1 时，( 1 ) ;当 时，() 。
T
T4
2
由图不难看出相频特征曲线在半对数坐标系中对于(0, －45°)
2
L( ) 20lg (1 T 2 2 )2 (2T )2
低频渐近线： T 1时，L() 0
高频渐近线： T 1时，L( ) 20lg (1 T 2 2 )2 (2T )2 40logT
转折频率为：o
1 T
如何绘制伯德图PPT课件
G( j ) G1 ( j )G2 ( j )Gn ( j ) G( j ) G1 ( j ) G2 ( j ) Gn ( j ) L( ) 20 lg G( j) 20 lg G1 ( j) 20 lg G2 ( j ) 20 lg Gn ( j)
G( j ) 00
（5-63） （5-64）
100 00
900 1800
10 100 1000
图5-11 放大环节的Bode图
如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G( j) 1 j 1 1 e j90 j
7
当有n个积分环节串联时，即
dB L()
G(
j
)
(
1
j
)n
其对数幅频特性为
20 lg
G(
j )
20 lg
1
பைடு நூலகம்n
40
（ 5-70 ）
0
(5-71)
0.01 0.1
40 dB / dec
1
10
n 20 lg
G( j ) n 900
（5-72） 度 （）
6
设 ' 10 ，则有
20lg ' 20lg 10 20 20lg
dB L()
可见，其对数幅频特性是一条在
60
(5-68)
ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ω 轴），且以每增加十倍频降 低20分贝的速度（-20dB/dec ） 变化的直线。
40
20dB / dec
1
L() dB
G( j ) 00
（5-63） （5-64）
100 00
900 1800
10 100 1000
图5-11 放大环节的Bode图
如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G( j) 1 j 1 1 e j90 j
7
当有n个积分环节串联时，即
dB L()
G(
j
)
(
1
j
)n
其对数幅频特性为
20 lg
G(
j )
20 lg
1
பைடு நூலகம்n
40
（ 5-70 ）
0
(5-71)
0.01 0.1
40 dB / dec
1
10
n 20 lg
G( j ) n 900
（5-72） 度 （）
6
设 ' 10 ，则有
20lg ' 20lg 10 20 20lg
dB L()
可见，其对数幅频特性是一条在
60
(5-68)
ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ω 轴），且以每增加十倍频降 低20分贝的速度（-20dB/dec ） 变化的直线。
40
20dB / dec
1
L() dB
如何绘制伯德图PPT课件
900
是一条斜率为-n×20dB/dec，且在 00
ω =1（弧度/秒）处过零分贝线（ω
0.01 0.1
1
轴）的直线。相频特性是一条与ω 900
无关，值为-n×900且与ω 轴平行的 1800 直线。两个积分环节串联的Bode图
如图5-13所示。
图5-13 两个积分环节串联的Bode图
8
（三） 惯性环节
1
L() dB
40
20
0
0.01 0.1
1
-20
-40
( )
90o
45o
0
0.01 0.1
1
-45o
-90o
10
100
10
100
2
用伯德图分析系统有如下优点： （1） 将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环
节） 的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰；
（2） 幅值用分贝数表示，可将串联环节的幅值相乘变为相 加运算，可简化计算；
一阶微分环节的对数幅频特性如图5-16所示，渐近线的转折频
率 为1，转折频率处渐近特性与精确特性的误差为
，
其误20差lg 均2为正3d分B 贝数，误差范围与惯性环节类似。
相频特性是
当 时， G( j )； arctg
（5-78）
0 G( j0) 00
12
当 1 时，G( j 1) 450 ；
成的折线称为对数幅频特性的渐近线。如图5-14所示。
9
惯性环节的相频特性为
G( j ) arctgT (5-75)
当 0时，G( j0) 00；
当 1 时，G( j 1 ) 450；
是一条斜率为-n×20dB/dec，且在 00
ω =1（弧度/秒）处过零分贝线（ω
0.01 0.1
1
轴）的直线。相频特性是一条与ω 900
无关，值为-n×900且与ω 轴平行的 1800 直线。两个积分环节串联的Bode图
如图5-13所示。
图5-13 两个积分环节串联的Bode图
8
（三） 惯性环节
1
L() dB
40
20
0
0.01 0.1
1
-20
-40
( )
90o
45o
0
0.01 0.1
1
-45o
-90o
10
100
10
100
2
用伯德图分析系统有如下优点： （1） 将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环
节） 的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰；
（2） 幅值用分贝数表示，可将串联环节的幅值相乘变为相 加运算，可简化计算；
一阶微分环节的对数幅频特性如图5-16所示，渐近线的转折频
率 为1，转折频率处渐近特性与精确特性的误差为
，
其误20差lg 均2为正3d分B 贝数，误差范围与惯性环节类似。
相频特性是
当 时， G( j )； arctg
（5-78）
0 G( j0) 00
12
当 1 时，G( j 1) 450 ；
成的折线称为对数幅频特性的渐近线。如图5-14所示。
9
惯性环节的相频特性为
G( j ) arctgT (5-75)
当 0时，G( j0) 00；
当 1 时，G( j 1 ) 450；
如何绘制伯德图.ppt
j?
??
其幅频特性为
1
G ( j? ) ? ?
对数幅频特性是
（5-65） （5-66）
1
20 lg G ( j? ) ? 20 lg ? ? 20 lg ? ?
（5-67）
当 ? ? 0 . 1 时，20 lg G ( j 0 . 1 ) ? ? 20 lg 0 . 1 ? 20 ( dB ) ； 当 ? ? 1 时，20 lg G ( j1) ? ? 20 lg 1 ? 0 ( dB ) ；
当 ? ? 10 时，20 lg G ( j10 ) ? ? 20 lg 10 ? ? 20 ( dB ) 。
6
设 ? ' ? 10 ? ，则有
? 20 lg ? ' ? ? 20 lg 10 ? ? ? 20 ? 20 lg ?
可见，其对数幅频特性是一条 在
dB L(? )
60
(5-68)
ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线
(5-73) (5-74)
? ? 20 lg 1 ? T 2? 2
当 ? ?? 1 时， 20 lg G ( j ? ) ? ? 20 lg 1 ? T 2 ? 2 ? 0 ( dB ) ，
T
当 ? ?? 1 时，20 lg G ( j ? ) ? ? 20 lg 1 ? T 2 ? 2 ? ? 20 lg T ? ( dB )
40
（ω 轴），且以每增加十倍频降
20
? 20 dB / dec
低20分贝的速度（ -20dB/dec ）
0
0.01
0.1
1
10
?
变化的直线。
? 20
积分环节的相频特性是
? G ( j ? ) ? ? 90 0
03 频率特性法——奈氏图和伯德图画法
i=1 n-ι Sv∏(TjS+1) j=1
重点 掌握
K∏(τiS+1)
m
根据伯得图确定传递函数主要是确 定增益 K ，转折频率及相应的时间常数 等参数则可从图上直接确定。
由伯德图得传递函数详解
1. v= 0
系统的伯德图： 低频渐近线为 A(ω)=K L(ω)=20lgK=x
0
x
L(ω)/dB
x
20lgK
2 1/ 0.5 2,
3 20
1 时：
L( ) 20lg K 20lg10 20(dB)
(3) 过 ＝1、L( ) 20dB 的点，画一条斜率为-20dB/dec的斜 线，以此作为低频渐近线。 (4) 因第一个转折频率ω1＝1，故低频渐近线画至ω1 ＝1为止， 经过ω1＝1后曲线的斜率应为-40dB/dec； 当曲线延伸至第二个转折频率ω2 ＝2时，斜率又恢复 为-20dB/dec ； 直至ω3 ＝20时，曲线斜率再增加-20dB/dec，变为 -40dB/dec的斜线。至此已绘出系统的开环对数幅频特性 渐近线。
30
转折频率：0.5 2 30
低频段：V=1，在ω＝1 处 20lgK=20lg40=32 , －20 dB/dec，
L(ω)
[-20] 40db [-40] 20db [-20] 0db 0.1 -20db --40db 0.5 1 2
40(0.5s 1) G (s)H(s) 1 s(2s 1)( s 1) 30
L(ω)≈20lgK-20lgωυ 低频段曲线的斜率
低频段曲线的高度 -20υdB/dec
L(1)=20lgK
伯德图画法详解
实际作图步骤：
(1) 将开环传递函数表示为典型环节的串联；
重点 掌握
K∏(τiS+1)
m
根据伯得图确定传递函数主要是确 定增益 K ，转折频率及相应的时间常数 等参数则可从图上直接确定。
由伯德图得传递函数详解
1. v= 0
系统的伯德图： 低频渐近线为 A(ω)=K L(ω)=20lgK=x
0
x
L(ω)/dB
x
20lgK
2 1/ 0.5 2,
3 20
1 时：
L( ) 20lg K 20lg10 20(dB)
(3) 过 ＝1、L( ) 20dB 的点，画一条斜率为-20dB/dec的斜 线，以此作为低频渐近线。 (4) 因第一个转折频率ω1＝1，故低频渐近线画至ω1 ＝1为止， 经过ω1＝1后曲线的斜率应为-40dB/dec； 当曲线延伸至第二个转折频率ω2 ＝2时，斜率又恢复 为-20dB/dec ； 直至ω3 ＝20时，曲线斜率再增加-20dB/dec，变为 -40dB/dec的斜线。至此已绘出系统的开环对数幅频特性 渐近线。
30
转折频率：0.5 2 30
低频段：V=1，在ω＝1 处 20lgK=20lg40=32 , －20 dB/dec，
L(ω)
[-20] 40db [-40] 20db [-20] 0db 0.1 -20db --40db 0.5 1 2
40(0.5s 1) G (s)H(s) 1 s(2s 1)( s 1) 30
L(ω)≈20lgK-20lgωυ 低频段曲线的斜率
低频段曲线的高度 -20υdB/dec
L(1)=20lgK
伯德图画法详解
实际作图步骤：
(1) 将开环传递函数表示为典型环节的串联；
如何绘制伯德图讲诉
0.7
-10
( )
渐近线
40dB / Dec-4
-8
1
1
1
1
2
0.8 1.0
5
10
(deg)0° -30°
10T 5T
2T
T
T
T
T
左图是不同阻尼系数情况下的
-60°
0.1
-90° 0.2
0.3
-120° 0.5
-150° 0.7
1
2T T 2
2
几个特征点： 0,() 0; 1 ,() ; ,() 。
T
2
相频特性曲线在半对数坐标中关于( 0, －90°)点是斜对称的。
这里要说明的是当 (0, 1 ) 时，() (0,90) ,当 ( 1 , )
20log K
() 180
K 1
K 1 log
0 K 1
对数幅频特性：
0
L() 20lg K 0
0
K 0 log 相频特性：
() K 0
180
Thursday, May 02, 2019
K 1 K 1 0 K 1
-20
0°
-45°
-90°
1
1
1
1
1
2
5 10 20
20T 10T 5T
2T T
T
T
T
T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
Thursday, May 02, 2019
5
惯性环节的Bode图
波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：
-10
( )
渐近线
40dB / Dec-4
-8
1
1
1
1
2
0.8 1.0
5
10
(deg)0° -30°
10T 5T
2T
T
T
T
T
左图是不同阻尼系数情况下的
-60°
0.1
-90° 0.2
0.3
-120° 0.5
-150° 0.7
1
2T T 2
2
几个特征点： 0,() 0; 1 ,() ; ,() 。
T
2
相频特性曲线在半对数坐标中关于( 0, －90°)点是斜对称的。
这里要说明的是当 (0, 1 ) 时，() (0,90) ,当 ( 1 , )
20log K
() 180
K 1
K 1 log
0 K 1
对数幅频特性：
0
L() 20lg K 0
0
K 0 log 相频特性：
() K 0
180
Thursday, May 02, 2019
K 1 K 1 0 K 1
-20
0°
-45°
-90°
1
1
1
1
1
2
5 10 20
20T 10T 5T
2T T
T
T
T
T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
Thursday, May 02, 2019
5
惯性环节的Bode图
波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：
开环伯德图绘制
于是有： ω = K ⇒ ω0 = K ν
ν
75
《自动控制原理》电子教案
（5）绘制中频段 首先在横坐标轴上将转折频率按从低到高的顺序标出各转折频率。然后，依次在各转折频率处改变 直线的斜率 ，改变的多少取决于转折处环节的性质，如惯性环节的斜率为 − 20dB dec ，振荡环节为
− 40dB dec ，一阶微分环节为 + 20dB dec ，二阶微分环节为 + 40dB dec 等等。 例：已知单位反馈控制系统的开环传递函数为 GK ( s) = 100( s + 2) s( s + 1)(s + 20) ，试绘制其开环
ω
2
由图可知： 解得wc=4，
小结丗对最小相位系统、幅频特性与相频特性的关系
如果幅频特性的斜率为－１对应的相角为－ｐｉ／２； 如果幅频特性的斜率为－ｋ对应的相角为－ｐｉ＊ｋ／２．
77
L(ω ) = 20 lg K − 20 ×ν × lg ω ω =1 = 20 lg K
③低频段直线（或其延长线）与零分贝线（横轴）的交点频率为 ω0 = K ，对于 I 型系统交点频
ν
1
率为 ω0 = K ，II 型系统交点频率为 ω0 =
1
K ；这是因为由低频段的幅频方程，可得到
L(ω ) = 20 lg K − 20 ×ν × lg ω = 0 ⇒ 20 lg K = 20 ×ν × lg ω = 20 lg ων
⎧ L (ω ) = −20 lg 1 + ω 2 − 20 lg lg 1 + 4ω 2 ⎧ϕ (ω ) = arctgω − arctg 2ω ⎪ 1 1 ，⎨ ⎨ 2 2 ⎩ϕ 2 (ω ) = −arctgω − arctg 2ω ⎪ L2 (ω ) = −20 lg 1 + ω − 20 lg lg 1 + 4ω ⎩
ν
75
《自动控制原理》电子教案
（5）绘制中频段 首先在横坐标轴上将转折频率按从低到高的顺序标出各转折频率。然后，依次在各转折频率处改变 直线的斜率 ，改变的多少取决于转折处环节的性质，如惯性环节的斜率为 − 20dB dec ，振荡环节为
− 40dB dec ，一阶微分环节为 + 20dB dec ，二阶微分环节为 + 40dB dec 等等。 例：已知单位反馈控制系统的开环传递函数为 GK ( s) = 100( s + 2) s( s + 1)(s + 20) ，试绘制其开环
ω
2
由图可知： 解得wc=4，
小结丗对最小相位系统、幅频特性与相频特性的关系
如果幅频特性的斜率为－１对应的相角为－ｐｉ／２； 如果幅频特性的斜率为－ｋ对应的相角为－ｐｉ＊ｋ／２．
77
L(ω ) = 20 lg K − 20 ×ν × lg ω ω =1 = 20 lg K
③低频段直线（或其延长线）与零分贝线（横轴）的交点频率为 ω0 = K ，对于 I 型系统交点频
ν
1
率为 ω0 = K ，II 型系统交点频率为 ω0 =
1
K ；这是因为由低频段的幅频方程，可得到
L(ω ) = 20 lg K − 20 ×ν × lg ω = 0 ⇒ 20 lg K = 20 ×ν × lg ω = 20 lg ων
⎧ L (ω ) = −20 lg 1 + ω 2 − 20 lg lg 1 + 4ω 2 ⎧ϕ (ω ) = arctgω − arctg 2ω ⎪ 1 1 ，⎨ ⎨ 2 2 ⎩ϕ 2 (ω ) = −arctgω − arctg 2ω ⎪ L2 (ω ) = −20 lg 1 + ω − 20 lg lg 1 + 4ω ⎩
3.1.2波特图的绘制(精)
图 1 波特图的横坐标和纵坐标
�����/��，即横轴对lg�将是等分的，如图 1 横轴对照图所示。 ����与����的对应关系如图 1 纵轴对照图所示。
由于习惯上都以频率�作为自变量，因此横轴为对数坐标，标以自变量 而波特图纵轴以等分坐标来标定����， 其单位是分贝����， 而且是20lgM���， 由图可见， 波特图是画在纵轴位等分坐标、 横轴为对数坐标的特殊Байду номын сангаас标纸上，
波特图的绘制
波特图（Bode 图）又叫伯德图。 引入对数幅频特性����，可以使串联环节的幅值相乘转化为对数幅频特性
的相加；而����或它的渐近线大多与���成线性关系，因此，若以����为纵轴， 单位长度， �将变化 10 倍[以后称这个为一个 “10 倍频程” （decade） ， 记为 dec]。 波特图的横坐标和纵坐标示意图如图 1 所示。 ���为横轴，则其图线将为直线。另一方面，若以���为横轴，则���每变化一个
特性����也画在与����完全相同的半对数坐标纸上，其横轴的取值与对数幅频 特性坐标相同，画在半对数坐标纸上的����称为对数相频特性。
这种坐标纸叫“半对数坐标纸” 。 注意： 1、对数坐标是不均匀坐标，是由疏到密周期性变化排列的，因此，不能像 等分坐标那样任意取值、任意移动，在对数坐标上的取值和移动是以“级”为单 位的。 2、对数坐标的每一级代表 10 倍频程，即每个等分的级的频率差 10 倍，若 第一个“1”处为 0.1，则以后的“1”处便分别为 1、10、100、1000 等。究 竟第一个“1”处的频率值取为多少，要视研究的系统所需要的频率段而定。在 一般的调速系统和随动系统中，第一个“1”处的频率值通常在 0.01、0.1、1 三个数值中取值。 由于对数幅频特性����是画在半对数坐标纸上的，为便于比较对照，相频
伯徳图的画法和在判稳中的应用
例：开环特征方程有两个右根，P=2，试判定闭环系统的稳定性。 解：
P=2
正负穿越数之差（N+-N-）为1
Z=P-2N=2-2=0 系统闭环稳定
例：开环特征方程无右根，P=0，试判定闭环系统的稳定性。 解：
P=0
正负穿越数之差为0
系统闭环稳定
§ 5.4 稳定裕度
♣ ♣ ♣
K值较小时，系统稳定； K值较大时，系统不稳定的； K取某个值时，Nyquist曲线通过 (-1,j0)点，系统处于临界稳定状态。
c ——Nyquist曲线与单位圆交点处(此处幅值为1）的 称为 截止频率(又称剪切频率)，记为 c 。
G( jωc ) H ( jωc ) 1
相角裕度 180 G( jc ) H ( jc ) 含义：如果系统对频率为截止频率的信 号的相角滞后再增大 度，则系统处于临界 稳定状态。稳定系统的 > 0 , 越大,系统相 对稳定性越高。
(5) 系统开环对数相频特性表达式为
( ) arctan0.5 900 arctan arctan0.05
逐点计算结果
系统开环相频特性数据
－20dB/dec
20
－20dB/dec －40dB/dec －40dB/dec
例：
L(1) 20lg 7.5 17.5
2. Bode图上的稳定判据
闭环系统稳定的充要条件是：当ω 由0变到 +∞ 时，在开环 对数幅频特性 L(ω)≥0 的频段内，相频特性φ(ω) 穿越-π线的次 数（正穿越与负穿越次数之差）为p/2，p为s平面右半部的开 环极点数。 若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即 P 0 ， 则闭环系统稳定的充要条件是：在L(ω)≥0 的频段内，相频 特性φ(ω) 在-π线上正负穿越次数代数和为零，或者不穿越 -π线 。 Nyquist图 Bode图
如何绘制伯德图
低频高频渐近线的交点为：20log K 20log K 20logT ，得：
T 1，o
1 T
，称为转折频率或交换频率。
T可uesd以ay,用Mar这ch 3两1, 2段020渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。 4
惯性环节的Bode图
10 渐近线
0
-10
20dB / Dec
-20
0°
-45°
T T T 20T 10T 5T
112 2T T T
5 10 20 TTT
一阶微分环节的波德图
惯性环节的波德图
Tuesday, March 31, 2020
17
二阶微分环节的频率特性
③ 二阶微分环节： G(s) T 2s2 2Ts 1
幅频和相频特性为：
A()
(1
T
2
2
)2
(2T
)2，
(
)
tg 1
第三节 典型环节的频率特性 之一 波德图
Tuesday, March 31, 2020
1
比例环节的bode图
二、典型环节的波德图
⒈ 比例环节：G(s) K, (K 0),G( j) K 幅频特性：A() K；相频特性：() 0
L() / dB
20log K
20log K
20log K
()
频率特性分别为：
G( j) j G( j) 1 jT G( j) 1 T 2 2 j2T
Tuesday, March 31, 2020
14
纯微分环节的波德图
① 纯微分： A( )
L( )(dB)
20
L( ) 20 log A( ) 20 log
matlab伯德函数用法
matlab伯德函数用法在MATLAB中，伯德图（Bode plot）是一种用于分析线性时不变系统频率响应的方法。
它显示了系统的幅度和相位随频率变化的特性。
要使用MATLAB绘制伯德图，您可以使用`bode`函数。
以下是使用`bode`函数绘制伯德图的基本步骤：1. 定义系统对象：首先，您需要定义一个描述系统的对象。
这通常是通过定义系统的传递函数、差分方程或状态方程来实现的。
例如，假设您有一个传递函数H(s) = 10/(s^2 + 2s + 5)，您可以将其表示为MATLAB的`tf`对象：```matlabnum = [1];den = [1 2 5];sys = tf(num, den);```2. 绘制伯德图：使用`bode`函数绘制伯德图。
例如：```matlabbode(sys);```这将绘制出系统的幅度和相位响应随频率变化的曲线。
默认情况下，`bode`函数将绘制出从0到10倍于系统最高频率的频率范围的响应。
3. 自定义频率范围：如果您想在特定的频率范围内绘制伯德图，可以使用`bode`函数的频率参数来指定频率范围。
例如，要绘制从0到1000 Hz的频率响应，可以这样做：```matlabbode(sys, 0:1000);```4. 添加标题和标签：为了使图形更易于理解，您可能希望添加标题和标签。
使用MATLAB的图形处理功能（如`title`, `xlabel`, `ylabel`等）来添加这些元素。
例如：```matlabtitle('Bode Plot of the System');xlabel('Frequency (Hz)');ylabel('Magnitude and Phase Response');```5. 显示图形：最后，使用`grid on`命令添加网格线，然后使用`drawnow`命令更新图形窗口以显示结果。
第五章 伯德图与那奎斯特图的画法
横坐标取值范围：最小转角频率左边两个十倍频程，最大转角 频率右边两个十倍频程，注意取整。所以实际范围是多少？
0.01 1000 rad s 1
9
5.2.3 绘制系统伯德图的一般步骤
80
L( ) dB
-80
②
20 0 -20 90 0 -90 -180 -270 -360
G ( j )
20dB / dec
/ rad s 1
通常每90°作为一个基本单位，其值尽可能大。
-180
3
5.2.3 绘制系统伯德图的一般步骤
幅频曲线叠加时的要点 首先：典型曲线绘制要标准、要清楚。幅频图各曲线斜率应按 参考斜率平移绘制。各转角频率相互位置取值要准确。 其次：幅频图叠加时起始段主要是比例环节和积分 ( 或微分 ) 环 节起作用，应先将它们进行叠加；叠加方法:过比例环节中ω=1
段 ( 频率趋于无穷大 ) 的位置，可用所有典型环节的相频特性求 和来判断(演草纸中完成)。
( ) G1 ( j ) G2 ( j ) Gn ( j )
0
lim ( ) ?
lim ( ) ?
6
5.2.3 绘制系统伯德图的一般步骤
22 3
1
j 1) 3 G ( j ) j ( j )2 j j ( 1)[ 1] 2 2 2 7.5(
④
100
①
rad s 1
0.01
20
1000
( )
2
0.01 1 2 3
⑤
③
④
③
100
1 ① rad s
1000
⑤
G ( j )
②
频率特性法-奈氏图和伯德图画法
基本原理
频率特性法基于控制系统的频率响应，即系统对不同频率正弦输入信号的响应 特性。通过分析系统的频率响应，可以了解系统的幅频特性和相频特性，进而 评估系统的稳定性、动态性能和稳态精度。
频率特性法在控制系统分析中应用
稳定性分析
通过频率特性法可以判断控制系 统的稳定性。例如，通过奈奎斯 特稳定判据，可以根据开环频率
性能指标
从伯德图中还可以提取出系统的性能指标，如带宽、相位裕度、幅值裕度等。这些指标对于控制系统的设计和分 析具有重要意义。
04 奈氏图和伯德图在控制系 统设计中的应用
根据性能指标要求进行参数调整
01
幅值裕度和相角裕度
通过奈氏图或伯德图可以直观地看出系统的幅值裕度和相角裕度，进而
判断系统的稳定性和性能。根据性能指标要求，可以通过调整系统参数
03 伯德图绘制方法与步骤
确定开环传递函数并转换为标准形式
写出开环传递函数
首先，需要写出控制系统的开环传递函数。这通常是一个关 于复数变量s的有理函数频率响应的 形式。这通常涉及到将传递函数转换为极坐标形式，并分离 出幅值和相位信息。
绘制幅频特性和相频特性曲线
来改变幅值裕度和相角裕度，以满足设计要求。
02
截止频率和带宽
截止频率和带宽是控制系统的重要性能指标。通过奈氏图或伯德图可以
确定系统的截止频率和带宽，进而根据性能指标要求进行参数调整，以
优化系统性能。
03
系统型别和稳态误差
控制系统设计中，通常需要考虑系统型别和稳态误差。通过奈氏图或伯
德图可以确定系统的型别和稳态误差系数，进而根据性能指标要求进行
02 奈氏图绘制方法与步骤
确定开环传递函数
写出开环传递函数
根据系统方框图或信号流图，写 出开环传递函数。
频率特性法基于控制系统的频率响应，即系统对不同频率正弦输入信号的响应 特性。通过分析系统的频率响应，可以了解系统的幅频特性和相频特性，进而 评估系统的稳定性、动态性能和稳态精度。
频率特性法在控制系统分析中应用
稳定性分析
通过频率特性法可以判断控制系 统的稳定性。例如，通过奈奎斯 特稳定判据，可以根据开环频率
性能指标
从伯德图中还可以提取出系统的性能指标，如带宽、相位裕度、幅值裕度等。这些指标对于控制系统的设计和分 析具有重要意义。
04 奈氏图和伯德图在控制系 统设计中的应用
根据性能指标要求进行参数调整
01
幅值裕度和相角裕度
通过奈氏图或伯德图可以直观地看出系统的幅值裕度和相角裕度，进而
判断系统的稳定性和性能。根据性能指标要求，可以通过调整系统参数
03 伯德图绘制方法与步骤
确定开环传递函数并转换为标准形式
写出开环传递函数
首先，需要写出控制系统的开环传递函数。这通常是一个关 于复数变量s的有理函数频率响应的 形式。这通常涉及到将传递函数转换为极坐标形式，并分离 出幅值和相位信息。
绘制幅频特性和相频特性曲线
来改变幅值裕度和相角裕度，以满足设计要求。
02
截止频率和带宽
截止频率和带宽是控制系统的重要性能指标。通过奈氏图或伯德图可以
确定系统的截止频率和带宽，进而根据性能指标要求进行参数调整，以
优化系统性能。
03
系统型别和稳态误差
控制系统设计中，通常需要考虑系统型别和稳态误差。通过奈氏图或伯
德图可以确定系统的型别和稳态误差系数，进而根据性能指标要求进行
02 奈氏图绘制方法与步骤
确定开环传递函数
写出开环传递函数
根据系统方框图或信号流图，写 出开环传递函数。
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20 lg 10 20(dB)
。
6
设 ' 10 ，则有
20 lg 20 lg 10 20 20 lg
'
(5-68)
dB L( )
可见，其对数幅频特性是一条在 ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ ω 轴），且以每增加十倍频降 低 20 分贝的速度（ -20dB/dec ） 变化的直线。 积分环节的相频特性是
对数幅频特性为
20 lg G( j ) 20 lg K
（5-61）
当K>1时，20lgK>0，位于横轴上方；
当K=1时，20lgK=0，与横轴重合；
当K<1时，20lgK<0，位于横轴下方。
4
放大环节的对数幅频特性如图5-11所示，它是一条与角频 率ω 无关且平行于横轴的直线，其纵坐 标为20lgK。
0
100
1000
（5-63）
180
0
放大环节的相频特性是
G( j ) 0
0
图5-11 放大环节的Bode图
（5-64） 如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G ( j ) 1 j j 1
1
e
j 90
2 2 2
（5-85）
相频特性是
G ( j ) arctg 2 1
2 2
dB
40
（5-86）20
0
1 1 10
0
精确特性
40dB / dec
二阶微分环节与振荡节的Bode
1
图关于ω 轴对称，如图5-21 。
渐近线的转折频率为
1
( )
10
1
渐近特性
180
变化范围是00至+1800。
0
0
，相角
90
0
17 图 二阶微分环节的Bode
图5-21
二、绘制系统频率特性伯德图的步骤
1. 将系统函数分解成典型环节乘积（即串联）的形 式； 2. 将各部分化为典型环节的标准形式； 3. 如果存在转折频率，在ω轴上标出转折频率的坐 标位置； 4. 由各串联环节的对数幅频特性叠加后得到系统开 环对数幅频特性的渐近线； 5. 画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得 到系统开环相频特性。
20 lg
1 T
2
2
0(dB) ，
20 lg
1 T
2
2
20 lg T (dB)
0
，
1
用两条直线近似描述惯性环节的对数幅频特性，即在 的低 T 1 频段时， 20 lg G( j ) 0 ，与零分贝线重合；在 的高频段 T 时， 20 lg G( j ) 20 lg T ，是一条斜率为-20（dB/dec.）的直线。
1
L( )
dB
40 20 0
-20
-40
( )
0.01
0.1
1
10
100
90o
45o
0 -45o -90o
0.01
0.1
1
10
100
2
用伯德图分析系统有如下优点： （1） 将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环
节） 的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰； （2） 幅值用分贝数表示，可将串联环节的幅值相乘变为相 加运算，可简化计算；
1 0(dB)
；
当
时，20 lg 2 2 1 20 lg (dB) ；
一阶微分环节的对数幅频特性如图 5-16 所示，渐近线的转折频 1 率 为，转折频率处渐近特性与精确特性的误差为 ， 其误差均为正分贝数，误差范围与惯性环节类似。 20 lg 2 3dB 相频特性是 当
（5-65）
其幅频特性为
G ( j ) 1
20 lg
（5-66）
（5-67） ；
对数幅频特性是
20 lg G ( j ) 20 lg 1
当 0.1 时，20 lg G( j 0.1) 20 lg 0.1 20(dB) 当 1 时，20 lg G( j1) 20 lg 1 0(dB) ； 当 10 时，20 lg G( j10)
围是0至 ；第二段折线的起点在 处，是一条斜率为-40 T T 1 （dB/dec） 的直线，对应的频率范围是 至∞。两段折线构成 T 1 振荡环节对数幅频特性的渐近线，它们的转折频率为 。对数 T 幅频特性曲线的渐近线如图5-17所示。
14
1
1
dB
L( )
1 1 1 T
低频渐近线
0
10 T
10
2
1 T
) 20 lg
5 20 lg 2 0.97(dB)
11
（四） 一阶微分环节
一阶微分环节频率特性为
G ( j ) j 1
其对数幅频特性是
20 lg G( j ) 20 lg
1
2 2
（5-77）
当
1
1
时，20 lg 2 2
两条直线在 T 处相交， 称为转折频率，由这两条直线构 T 成的折线称为对数幅频特性的渐近线。如图5-14所示。
1
1
惯性环节的相频特性为
G ( j ) arctgT (5-75)
db L( )
10
1 1 1 1 10 T
11 5T
1 T
0 20 T
2
1 T
10
1 T
20
1 T
当
G ( j ) G1 ( j )G 2 ( j ) G n ( j ) G ( j ) G1 ( j ) G 2 ( j ) G n ( j ) L( ) 20 lg G ( j ) 20 lg G1 ( j ) 20 lg G 2 ( j ) 20 lg G n ( j )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
（5-80） ； 。
当 T 时， 20 lg 当
1 T
1
(1 T ) 4 T
(1 T ) 4 T
2 2 2 2 2
0(dB)
时， 20 lg
2
40 lg T (dB)
渐近线的第一段折线与零分贝线（ω 轴）重合， 对应的频率范
20 lg 1 T
2 2
1
1
1 T
20 lg
2 3( dB )
1 1 2T
时的误差是
20 lg 1 T
2 2 11 2T
20 lg
5 2
0.97( dB)
2
1 T
时的误差是
1 T
2 2
20 lg
2
1 T
(20 lg T
当有n个积分环节串联时，即
G ( j ) 1 ( j )
n
dB
L( )
40 dB / dec
40
（ 5-70 ）
0
其对数幅频特性为
20 lg G ( j ) 20 lg n 20 lg
G( j ) n 90
0
0.01
0.1
1
10
1
n
(5-71)
（5-72）
G ( j ) 90
0
60
40
20dB / dec
20
0
0.01
0.1
1
10
20
度
（）
0
90
(5-69)
0
0
0.01
0
0.1
1
10
是一条与ω 无关，值为-900且平行 于ω 轴的直线。积分环节的对数幅 频特性和相频特性如图5-12所示。
90
180
0
图5-12 积分环节的Bode图
（3） 用渐近线表示幅频特性，使作图更为简单方便；
（4） 横轴（ω 轴）用对数分度，扩展了低频段，同时也兼顾 了中、高频段，有利于系统的分析与综合。
3
（一）放大环节（比例环节）
放大环节的频率特性为
（5-59） G( j ) K ( K为大于零的常数） 其幅频特性是
G( j ) K
（5-60）
) 90
0
；
0 当 时， G( j) 180 。
除上面三种特殊情况外，振荡环节相频特性还是阻尼比ξ 的函 数，随阻尼比ξ 变化，相频特性在转折频率 1 附近的变化速率 T 也发生变化，阻尼比ξ 越小，变化速率越大，反之愈小。但这 种变化不影响整个相频特性的大致形状。不同阻尼比ξ 的相频 特性如图 5-20 所示。
1 T
40dB / dec
20
40
高频渐近线
图5-17 振荡环节渐进线对数幅频特性
•振荡环节的相频特性是 2T G ( j ) arctg • （ 5-83 1 T ）
2 2
15
当 0 时，G( j 0) 0 ；
0
当
1 T
时， G ( j
1 T
时， G( j 0) 0 ； 0 当 1 时，G ( j 1 ) 450； T T 当 时，G( j) 900 。
0
10
20
精确特 性
渐近特 性
20dB / dec
对应的相频特性曲线如图5-14 所示。它是一条由 且以
。
6
设 ' 10 ，则有
20 lg 20 lg 10 20 20 lg
'
(5-68)
dB L( )
可见，其对数幅频特性是一条在 ω =1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ ω 轴），且以每增加十倍频降 低 20 分贝的速度（ -20dB/dec ） 变化的直线。 积分环节的相频特性是
对数幅频特性为
20 lg G( j ) 20 lg K
（5-61）
当K>1时，20lgK>0，位于横轴上方；
当K=1时，20lgK=0，与横轴重合；
当K<1时，20lgK<0，位于横轴下方。
4
放大环节的对数幅频特性如图5-11所示，它是一条与角频 率ω 无关且平行于横轴的直线，其纵坐 标为20lgK。
0
100
1000
（5-63）
180
0
放大环节的相频特性是
G( j ) 0
0
图5-11 放大环节的Bode图
（5-64） 如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
5
（二）积分环节 积分环节的频率特性是
G ( j ) 1 j j 1
1
e
j 90
2 2 2
（5-85）
相频特性是
G ( j ) arctg 2 1
2 2
dB
40
（5-86）20
0
1 1 10
0
精确特性
40dB / dec
二阶微分环节与振荡节的Bode
1
图关于ω 轴对称，如图5-21 。
渐近线的转折频率为
1
( )
10
1
渐近特性
180
变化范围是00至+1800。
0
0
，相角
90
0
17 图 二阶微分环节的Bode
图5-21
二、绘制系统频率特性伯德图的步骤
1. 将系统函数分解成典型环节乘积（即串联）的形 式； 2. 将各部分化为典型环节的标准形式； 3. 如果存在转折频率，在ω轴上标出转折频率的坐 标位置； 4. 由各串联环节的对数幅频特性叠加后得到系统开 环对数幅频特性的渐近线； 5. 画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得 到系统开环相频特性。
20 lg
1 T
2
2
0(dB) ，
20 lg
1 T
2
2
20 lg T (dB)
0
，
1
用两条直线近似描述惯性环节的对数幅频特性，即在 的低 T 1 频段时， 20 lg G( j ) 0 ，与零分贝线重合；在 的高频段 T 时， 20 lg G( j ) 20 lg T ，是一条斜率为-20（dB/dec.）的直线。
1
L( )
dB
40 20 0
-20
-40
( )
0.01
0.1
1
10
100
90o
45o
0 -45o -90o
0.01
0.1
1
10
100
2
用伯德图分析系统有如下优点： （1） 将幅频特性和相频特性分别作图，使系统（或环
节） 的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰； （2） 幅值用分贝数表示，可将串联环节的幅值相乘变为相 加运算，可简化计算；
1 0(dB)
；
当
时，20 lg 2 2 1 20 lg (dB) ；
一阶微分环节的对数幅频特性如图 5-16 所示，渐近线的转折频 1 率 为，转折频率处渐近特性与精确特性的误差为 ， 其误差均为正分贝数，误差范围与惯性环节类似。 20 lg 2 3dB 相频特性是 当
（5-65）
其幅频特性为
G ( j ) 1
20 lg
（5-66）
（5-67） ；
对数幅频特性是
20 lg G ( j ) 20 lg 1
当 0.1 时，20 lg G( j 0.1) 20 lg 0.1 20(dB) 当 1 时，20 lg G( j1) 20 lg 1 0(dB) ； 当 10 时，20 lg G( j10)
围是0至 ；第二段折线的起点在 处，是一条斜率为-40 T T 1 （dB/dec） 的直线，对应的频率范围是 至∞。两段折线构成 T 1 振荡环节对数幅频特性的渐近线，它们的转折频率为 。对数 T 幅频特性曲线的渐近线如图5-17所示。
14
1
1
dB
L( )
1 1 1 T
低频渐近线
0
10 T
10
2
1 T
) 20 lg
5 20 lg 2 0.97(dB)
11
（四） 一阶微分环节
一阶微分环节频率特性为
G ( j ) j 1
其对数幅频特性是
20 lg G( j ) 20 lg
1
2 2
（5-77）
当
1
1
时，20 lg 2 2
两条直线在 T 处相交， 称为转折频率，由这两条直线构 T 成的折线称为对数幅频特性的渐近线。如图5-14所示。
1
1
惯性环节的相频特性为
G ( j ) arctgT (5-75)
db L( )
10
1 1 1 1 10 T
11 5T
1 T
0 20 T
2
1 T
10
1 T
20
1 T
当
G ( j ) G1 ( j )G 2 ( j ) G n ( j ) G ( j ) G1 ( j ) G 2 ( j ) G n ( j ) L( ) 20 lg G ( j ) 20 lg G1 ( j ) 20 lg G 2 ( j ) 20 lg G n ( j )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
（5-80） ； 。
当 T 时， 20 lg 当
1 T
1
(1 T ) 4 T
(1 T ) 4 T
2 2 2 2 2
0(dB)
时， 20 lg
2
40 lg T (dB)
渐近线的第一段折线与零分贝线（ω 轴）重合， 对应的频率范
20 lg 1 T
2 2
1
1
1 T
20 lg
2 3( dB )
1 1 2T
时的误差是
20 lg 1 T
2 2 11 2T
20 lg
5 2
0.97( dB)
2
1 T
时的误差是
1 T
2 2
20 lg
2
1 T
(20 lg T
当有n个积分环节串联时，即
G ( j ) 1 ( j )
n
dB
L( )
40 dB / dec
40
（ 5-70 ）
0
其对数幅频特性为
20 lg G ( j ) 20 lg n 20 lg
G( j ) n 90
0
0.01
0.1
1
10
1
n
(5-71)
（5-72）
G ( j ) 90
0
60
40
20dB / dec
20
0
0.01
0.1
1
10
20
度
（）
0
90
(5-69)
0
0
0.01
0
0.1
1
10
是一条与ω 无关，值为-900且平行 于ω 轴的直线。积分环节的对数幅 频特性和相频特性如图5-12所示。
90
180
0
图5-12 积分环节的Bode图
（3） 用渐近线表示幅频特性，使作图更为简单方便；
（4） 横轴（ω 轴）用对数分度，扩展了低频段，同时也兼顾 了中、高频段，有利于系统的分析与综合。
3
（一）放大环节（比例环节）
放大环节的频率特性为
（5-59） G( j ) K ( K为大于零的常数） 其幅频特性是
G( j ) K
（5-60）
) 90
0
；
0 当 时， G( j) 180 。
除上面三种特殊情况外，振荡环节相频特性还是阻尼比ξ 的函 数，随阻尼比ξ 变化，相频特性在转折频率 1 附近的变化速率 T 也发生变化，阻尼比ξ 越小，变化速率越大，反之愈小。但这 种变化不影响整个相频特性的大致形状。不同阻尼比ξ 的相频 特性如图 5-20 所示。
1 T
40dB / dec
20
40
高频渐近线
图5-17 振荡环节渐进线对数幅频特性
•振荡环节的相频特性是 2T G ( j ) arctg • （ 5-83 1 T ）
2 2
15
当 0 时，G( j 0) 0 ；
0
当
1 T
时， G ( j
1 T
时， G( j 0) 0 ； 0 当 1 时，G ( j 1 ) 450； T T 当 时，G( j) 900 。
0
10
20
精确特 性
渐近特 性
20dB / dec
对应的相频特性曲线如图5-14 所示。它是一条由 且以