二次函数的四种表达式求法推导

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二次函数的四种表达式求法推导

整理于 2018.4.18 夜

(1)如果二次函数的图像经过已知三点，则设表达式为 y = ax 2 + bx + c ，把已知三点坐标代入其中构造 三元一次方程组求 a 、b 、c 。

(2)二次函数顶点式：如果二次函数的顶点坐标为(h ，k )，则二次函数的表达式为： y = a ( x - h )2 + k 推导如下：

y = ax 2 + bx + c

= a (x 2 + b x + c ) aa

= a [x 2 + b x + ( b )2 - ( b )2 + c ] a 2a 2 a a

b 2 4a

c - b 2

= a ( x + ) +

2a 4a 顶点式的变形：

设二次函数y =ax 2 + bx + c (a 0)的图像交 x 轴于点 A (x 1,o ) 和 B (x 2,0)，则 x 1 +x 2 =-b ，

1 2 1 2 a c

x 1 • x 2 = a

点 A 、B 的距离为 d ，

=a (x + 2a ) -4ad

已知二次函数与x 轴两个交点间的距离d ，则设二次函数的表达式为：y =(x -x 0)[x -(x 0 +d )]

a [(x +

b )2

- b 2 + 2a 4a 2 c

] a

=a [(x + 2a ) + 4ac - b 2

4a 2

4ac - b 2

4a

d = x 2-x 1 = (x 2 - x 1)

= (x 1 + x 2)2 -4x 1 •x 2 = (-b )2 -4c aa y = ax 2 + bx + c

= a (x 2 + b x + c )

aa b 2 - 4ac a 2 b 2 - 4ac = a [x 2 + b x + (

b )2 -( b )2

+ c ] a 2 a 2 a

a = a [(x +

b )2

- b 2 + c

] 2a 4a 2 a

b 2 b 2 - 4ac

=a [(x + )2 - 2 ] 2a 4a 2

= a [(x + b )2

- 1 d 2

]

2a 4 2a

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3)二次函数两根式：如果二次函数的图像与 x 轴交于点(x 1,.0)和(x 2,0)，则二次函数的表达式为： y = a (x - x )(x - x ) 推导如下：

设二次函数的图像交 x y = ax 2 +bx +c (a 0)于点(x 1,o ) 和(x 2,0)， 则 x ,1和x 2 是一元二次方程

bc ax 2 +x +c =0(a 0)的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系得：x 1 + x 2 = -b ，x 1 •x 2 = c

1 2 a 1 2 a 所以，

y = ax 2 + bx + c

= a (x 2

+ b x + c ) aa

= a [x 2 -(x + x )+ x •x ] = a ( x - x )(x - x )

4)二次函数对称点式：

如果二次函数的图像过点(x 1,m )和(x 2,m )(它们关于抛物线对称轴x = 函数的表达式对称点式： y =(x -x )(x -x )+m (a 0) ，推导如下： 方法 1 二次函数的图像过点(x 1,m )和(x 2,m )，那么x 1和x 2是 x 的一元二次方程 ax 2 +bx +c = m (即ax 2bx + c - m = 0)的两根，则有 ax 2 +bx +c -m = a (x -x )(x -x ) ∴ ax 2 + bx + c = a (x - x )(x - x + m )

即 y = a ( x - x )(x - x ) + m

方法 2 二次函数 y = ax 2 +bx +c 的图像经过点(x 1,m )和(x 2,m )，则有

b =-a (x 1+x 2)

c = ax 1x 2 + m

代入 y = ax 2 +bx +c 中，得 y = ax 2 - a ( x + x ) + ax x +m = a [x 2 -(x + x )+ x x ]+m = a ( x - x )(x - x ) + m 对称)，则可以得到二次 m =ax 12 +bx 1 +c

m =ax 22 +bx 2 + c