二次函数的四种表达式求法推导
九年级数学下册2.3.2确定二次函数的表达式课件1新版北师大版
【例题】
【例2】已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1，4），（2，7）三 点，求这个函数的表达式.
解析： 设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，
由条件得：
a-b+c=10， a+b+c=4， 解方程组得： 4a+2b+c=7，
a=2, b=-3, c=5
因此，所求二次函数的表达式是
y=2x2-3x+5.
∴所求抛物线的表达式为
C
O
B
x
y
1 2 2 x x 1. 3 3
【议一议】
一个二次函数的图像经过A（0，-1），B（1， 2），C（2，1）三点，你能确定这个二次函 数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行 交流.
【议一议】
解析（一）设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c, 根据题意，得
3.（潼南·中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形， 点C的坐标为（4,0），∠AOC= 60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发， 沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC 的两边分别交于点M,N（点M在点N的上方），若△OMN 的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4）,则 能大致反映S与t的函数关系的图象是(
ห้องสมุดไป่ตู้
1．（衢州·中考）下列四个函数图象中，当x＞0时，
y随x的增大而增大的是(
)
C
2.（莆田·中考）某同学用描点法画y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，列出
如下表格:
x y 0 3 1 0 2 2 3 0 4 3
经检查，发现只有一处数据计算错误，请你写出这个二次函数的表达 式 . y=x24x+3
二次函数求解公式
二次函数求解公式二次函数是一种常见的二次方程，其定义为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
二次函数也被称为二次多项式函数。
求解二次函数的一般方法有图像法、配方法和根的关系。
其中，图像法可以帮助我们直观地理解二次函数的性质，配方法和根的关系则能帮助我们求解二次函数的交点、极值点等。
一、图像法使用图像法求解二次函数的步骤如下：1.绘制二次函数的图像：可以通过画出二次函数的图像来直观地了解函数的性质，比如判断开口方向、极值点等。
2.确定顶点坐标：顶点是二次函数的最高点或最低点，通过观察图像，我们可以找到顶点的坐标。
顶点坐标可以表示函数的极值点。
3.确定对称轴：对称轴是二次函数的图像关于y轴的对称轴线，通过观察图像，我们可以找到对称轴的方程。
4.确定交点坐标：交点是二次函数与x轴的交点，通过观察图像，我们可以找到交点的坐标。
交点坐标可以表示函数的根。
二、配方法使用配方法求解二次函数的步骤如下：1. 对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，如果a ≠ 0，则可以通过配方法将其写成形如y = a(x + p)^2 + q的标准形式，其中p和q为待确定的常数。
2.使用配方法将二次函数展开：将二次函数展开后，与原函数进行比较，可以确定标准形式中的p和q的值。
3.根据标准形式求解顶点坐标：由于标准形式中(x+p)^2≥0，所以a(x+p)^2+q的最小值为q，当x=-p时取到。
4.根据标准形式求解根：当a>0时，a(x+p)^2+q=0的解为x=-p；当a<0时，方程无解。
三、根的关系根的关系是二次函数的一个重要性质，可以帮助我们求解二次函数的交点坐标。
根的关系有以下两种情况：1. 二次函数有两个不相等的实根：对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，如果b^2 - 4ac > 0，则可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)求解实根。
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是一种常见的函数形式，其解析式可以通过四种方法求得。
下面将详细介绍这四种方法。
方法一：配方法求解二次函数解析式配方法是一种常用的求解二次函数解析式的方法。
对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以通过配方法将其转化为$(px+q)^2$形式，然后利用完全平方公式求解。
1. 将二次项与常数项系数乘以2，即将原函数表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$；2. 将中间项$\frac{b}{a}x$除以2，并在括号外面加上一个平方项和一个负号，即表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；3. 将括号内部的三项利用完全平方公式进行转化，即表示为$f(x) = a((x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；4. 化简后得到$f(x) = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$。
其中，$(x+\frac{b}{2a})^2$是一个完全平方项，可以展开得到$x^2 + bx + \frac{b^2}{4a^2}$。
所以上述表达式可以进一步简化为：$f(x) = ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$这就是二次函数的配方法解析式。
方法二：因式分解法求解二次函数解析式对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以使用因式分解法对其解析式进行求解。
1.如果二次函数可以因式分解为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式，其中$x_1$和$x_2$是函数的根，则此二次函数的解析式形式为$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$；2.将一般形式的二次函数进行因式分解，即将二次项系数a与常数项c进行合适的分解，得到$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。
用待定系数法求二次函数表达式的三种形式
例题1 已知抛物线过点（1，0）（3，-2）（5，0）， 求该抛物线所对应函数的表达式。
例题2 抛物线对称轴为直线x=-1，最高点的纵坐标为4， 且与x 轴两交点之间的距离是6，求次二次函x1 数的解 析式。
巩固练习
• 1.已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3， 0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
待定系数法求二次函数表达式常见 的三种形式 ：
一般式 • 1.
：y=ax²+bx+c （a，b，c为常数，且a≠0）
• 2.顶点式：y=a（x+h）²+k
(a 0)顶点坐标（ h, k)
• 3.交点式： y a(x x1)(x x2 )
一、一般式 y ax2 bx c(a )
已知二次函数 y ax2 bx c 图象过某三
14.已知二次函数y=x²+2（n+3）x+16的顶点在坐标 轴上，求该二次函数表达式。
15.已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为P（2,-1）， 图象与x轴交于A，B两点。若△PAB的x1 面积为6， 求该抛物线所对应函数的解析式。
•谢谢
14
பைடு நூலகம்
• 3.二次函数y=ax²+bx+c，x=6时，y=0;x=4时， y有最大值为8，求此函数的解析式。
• 4.若二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最大值是 2，图象经过点（-2,4）且顶点在直线y=-2x上， 试求ab+c的值
三、交点式 y a(x x1)(x x2 )
已知二次函数图象与x轴两交点坐标分别为 (x1,0),(x2,0) 通常选用交点式，再根据其他即可解出a值，从而求
二次函数的像与根与系数的推导
二次函数的像与根与系数的推导二次函数是数学中的一种重要函数形式，它具有形如f(x) = ax^2 + bx + c的表达式，其中a、b、c为实数且a不为0。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口的方向取决于a的正负。
在本文中，我们将讨论二次函数的像、根和系数之间的关系，并进行相关推导。
一、二次函数的像二次函数的像又称为值域，表示函数在定义域内所有可能的函数值所组成的集合。
要确定二次函数的像，我们需要关注其开口方向以及其他相关的函数特性。
1. 当二次函数的系数a大于0时，即抛物线开口朝上，其像为所有大于等于最低点的y值。
此时，像为实数集(-∞, y_min]。
2. 当二次函数的系数a小于0时，即抛物线开口朝下，其像为所有小于等于最高点的y值。
此时，像为实数集[y_max, +∞)。
需要注意的是，开口方向和a的正负有关，当a为正时开口朝上，a 为负时开口朝下。
二、二次函数的根二次函数的根表示函数在x轴上与x轴相交的点或者称之为零点。
求解二次函数的根可以使用解一元二次方程的方法。
对于一般的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，可以利用求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a 来计算其根。
1. 当判别式Δ = b^2 - 4ac大于0时，方程有两个不同的实根，此时二次函数与x轴有两个交点。
2. 当判别式Δ = b^2 - 4ac等于0时，方程有且仅有一个实根，此时二次函数与x轴有一个切点。
3. 当判别式Δ = b^2 - 4ac小于0时，方程没有实根，此时二次函数与x轴没有交点。
需要注意的是，根的个数和判别式Δ的值有关。
根据根的个数和大小，可以进一步讨论二次函数的图像与方程的相关特性。
三、系数对二次函数的影响与推导系数a、b、c对于二次函数的图像和方程的性质都有重要的影响。
1. 系数a的影响：系数a决定了二次函数的开口方向。
当a大于0时，函数开口朝上；当a小于0时，函数开口朝下。
求二次函数解析式几种常用方法
求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。
现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。
一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。
二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。
例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。
若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。
二次函数解析式的几种求法
二次函数解析式的几种求法一次函数是形如y=ax+b的函数，其中a和b为常数，且a≠0。
而二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a，b和c为常数，且a≠0。
解析式是用来表示函数关系的公式，可以将二次函数的解析式分为以下几种求法：1.根据已知的顶点和过顶点的直线方程求解。
二次函数的标准形式是y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点的坐标。
如果已知顶点的坐标和过该顶点的一条直线的方程，可以将方程代入二次函数的标准形式，确定a的值。
这样就可以得到二次函数的解析式。
2.根据已知的两个点求解。
如果已知二次函数过两个点，可以利用这两个点的坐标，构建并解方程组。
假设已知点的坐标分别是(x1,y1)和(x2,y2)，代入二次函数的标准形式得到两个方程，然后解方程组求解出a，b和c。
这样就可以得到二次函数的解析式。
3.根据已知的轴对称性质求解。
二次函数的图像一般是一个开口向上或向下的抛物线。
如果已知抛物线的轴对称轴和顶点的坐标，可以利用这些信息确定二次函数的解析式。
根据轴对称性质，可得到二次函数的解析式。
4.根据已知的根求解。
二次函数的解析式与其根的关系密切，如果已知二次函数的根，可以根据根的性质得到二次函数的解析式。
设二次函数的根为x1和x2，则根据因式定理，二次函数可表示为y=a(x-x1)(x-x2)的形式。
将已知的根代入该式，可以得到二次函数的解析式。
5. 根据已知的导数求解。
二次函数的导数是一次函数，可以根据已知的导数求解二次函数的解析式。
设二次函数的导数为y'=2ax+b，将一次函数的表达式与二次函数的标准形式进行比较，可以得到a和b的值。
然后，代入二次函数的标准形式，可以得到二次函数的解析式。
以上是求解二次函数解析式的几种方法，每种方法都有其适用的情况和优劣势。
具体选择哪种方法需要根据具体的题目和已知条件来决定。
二次函数求解公式
二次函数求解公式二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。
它的图像是一个平滑的弧线，被称为抛物线。
在数学中，求解二次函数通常是指找到它的根，也就是使得f(x) = 0的x值。
这些x值也被称为方程的解。
要解二次函数，我们可以使用以下公式，通常被称为二次方程的求解公式或根的公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a这个公式根据二次函数的系数a、b、c的值计算出方程的两个实数根。
首先，我们来看一下公式中的各个部分的含义：-√表示平方根运算符；-±表示两个解。
它实际上对应于加号和减号，在公式中，我们计算两个解，一个是在加号情况下，另一个是在减号情况下；- b² - 4ac 被称为判别式，它用于判断二次方程有几个实根。
如果判别式大于零，那么方程有两个不同的实根；如果判别式等于零，那么方程有一个实根；如果判别式小于零，那么方程没有实根；-2a是一个常数因子，用于将方程的右侧除以a。
接下来，我们将通过一些例子来演示如何使用这个公式来解二次函数方程。
例子一：解方程f(x)=x^2-5x+6=0根据上述公式，我们可以计算出：a=1，b=-5，c=6将这些值带入公式，我们可以得到：x=(-(-5)±√((-5)^2-4×1×6))/(2×1)=(5±√(25-24))/2=(5±√1)/2这给出了两个解：x=(5+1)/2=6/2=3x=(5-1)/2=4/2=2所以方程的解是x=3和x=2例子二：解方程f(x)=2x^2+5x-3=0根据上述公式，我们可以计算出：a=2，b=5，c=-3将这些值带入公式，我们可以得到：x=(-(5)±√((5)^2-4×2×(-3)))/(2×2)=(-5±√(25+24))/4=(-5±√49)/4这给出了两个解：x=(-5+7)/4=2/4=0.5x=(-5-7)/4=-12/4=-3所以方程的解是x=0.5和x=-3在一些特殊情况下，二次函数可能只有一个实根或没有实根。
二次函数必过一个定点的求法
二次函数必过一个定点的求法
二次函数：
1、定义：二次函数是一类特殊的函数，其函数表达式为：
y=ax^2+bx+c(a≠0)。
2、特性：
（1）二次函数的图像是一个抛物线,有一个顶点和两个渐近线。
（2）当a>0时,该函数抛物线是一个开口朝上的抛物线；当a<0时，该函数抛物线是一个开口朝下的抛物线。
（3）二次函数的方程在数学上具有唯一解。
（4）二次函数的顶点可以通过两个坐标点来求出，公式为：x=-
b/2a ,y=4ac-b^2/4a。
3、应用：
（1）在物理中，二次函数的定义可以用于计算物体的加速度，描述物体在X方向上的位移与时间；
（2）在经济学中，二次函数可以用来研究产使供求关系；
（3）在工程学中，二次函数可以用来求解静力学问题，描述不同物体在不同受力条件下的运动状态；
（4）在博弈论中，二次函数可以用来研究游戏的收益情况。
4、求法：
（1）根据二次函数定义y=ax^2+bx+c，首先求出a、b、c的值；（2）根据顶点的求法，计算出顶点的坐标；
（3）根据渐近线的方程，确定抛物线的渐近线解析式。
求二次函数解析式的几种方法
求二次函数解析式的几种方法二次函数是数学中重要的函数之一，其一般形式为f(x) = ax^2 +bx + c，其中a，b，c为常数，a≠0。
求二次函数解析式的方法有很多，下面将详细介绍其中几种常用的方法。
1.直接法：直接利用已知的函数图像上的点进行求解。
设过点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)的二次函数解析式为f(x)，将点坐标代入方程，即得到3个方程组成的线性方程组，解得a，b，c的值，进而得到二次函数解析式。
2.配方法：如果二次函数的系数a不为1，可利用配方法将其化为标准形式f(x)=a(x-h)^2+k。
配方法的步骤如下：1) 将二次函数右侧展开，得到f(x) = a(x^2 - 2hx + h^2) + k；2) 合并同类项，得到f(x) = ax^2 - 2ahx + ah^2 + k；3) 将二次项与一次项拆开，得到f(x) = ax^2 - 2ahx + ah^2 + k；4) 将二次项与一次项的平方项合并，得到f(x) = a(x - h)^2 +(ah^2 + k)；5) 由于平方项的系数为a，根据二次函数的性质，可以确定顶点坐标为(h, ah^2 + k)；6)最后，根据顶点坐标和a的值，可以求得二次函数解析式。
3.试探法：当二次函数的系数a为1时，可以利用试探法求解。
试探法的步骤如下：1)根据二次函数的特性，确定顶点坐标为(h,k)，其中h为抛物线的对称轴的横坐标，k为抛物线的顶点纵坐标；2)将顶点坐标代入二次函数的解析式，得到f(x)=(x-h)^2+k；3)根据顶点坐标求得的解析式，绘制函数图像，判断是否与已知的函数图像相同。
4.求导法：对于给定二次函数的函数表达式，可以通过求导的方法来求解。
求导法的步骤如下：1) 对二次函数f(x)求导，得到f'(x) = 2ax + b；2)由于二次函数的导数为一次函数，即直线，因此可以根据已知的函数的导数与原函数的关系来确定函数的解析式；3)通过观察导数的图像，可以得到解析式的系数a和b的值。
专题训练(二)确定二次函数的表达式常见的五种方法.docx
专题训练（二）确定二次函数的表达式常见的五种方法＞方法一利用一般式求二次函数表达式1•已知抛物线过点A（2，0），B（—l，0），与y轴交于点C，且OC=2.则这条抛物线的表达式为（）A• y = x2—x—2B• y = —X2+X+2C - y=x? —x—2 或y= —x?+x + 2D• y=—x'—x—2 或y=x? + x+22•若二次函数y = x?+bx+c的图象经过点（一4，0），（2，6），则这个二次函数的表达式为 _____________ •3•—个二次函数，当自变量x= —1时，函数值y = 2；当x=0时，y= —1；当x=l时，y=—2.那么这个二次函数的表达式为______________ .4• [2016-安庆外国语学校月考]如图2-ZT-1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax? + bx+c 经过A（-2，-4）＞ 0（0，0），B（2，0）三点.⑴求抛物线y=ax?+bx+c的表达式；（2）若M是该抛物线对称轴上的一点，求AM + OM的最小值.o V/\图2-ZT-1＞方法二利用顶点式求二次函数表达式5•已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=l时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y=—2x?相同，则这个二次函数的表达式是（）A• y=—2x2—x+3 B. y=—2x2+4C・y= —2x?+4x + 8 D. y=-2x2+4x+66•已知y是x的二次函数，根据表中的自变量x与函数y的部分对应值，可判断此函数表达式为（）A.y = xB. y=—x237.某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为㊁米的喷水管喷水的最大高度为4米，此时喷水的水平距离为+米，在如图2-ZT-2所示的坐标系屮，这支喷泉喷水轨迹的函数表达式是____________ .图2-ZT-28•已知抛物线y]=ax2+bx+c的顶点坐标是（1，4），它与直线y2=x+l的一个交点的横坐标为2.（1）求抛物线的函数表达式；（2）在如图2-ZT-3所示的平面直角坐标系中画出抛物线yj=ax2+bx+c及直线y2 = x + 1，并根据图象，直接写出使得yi^y2成立的x的取值范闱.图2-ZT-3＞方法三利用交点式求二次函数表达式259•若抛物线的最高点的纵坐标是手，且过点（一1，0），（4，0），则该抛物线的表达式为（）A• y=—X2+3X+4B. y=—X2—3X+4C • y = x‘一3x—4 D. y=x? —3x+410•抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标为（一1，0），（3，0），其形状及开口方向与抛物线y=—2/相同，则抛物线的函数表达式为（）A• y=—2x‘一x + 3 B. y=—2x2+4x + 5C - y=—2X2+4X +8D. y = —2X2+4X+611・[2016揪阳实验中学期中]已知抛物线与x 轴交于A （1 ‘ 0），B （-4 ‘ 0）两点‘与y 轴交于点C ，且AB = BC ，求此抛物线对应的函数表达式.＞方法四利用平移式求二次函数表达式12 • [2017-绍兴]矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为（2，1）. 一张透明 纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A 重合，此时抛物线的函数表达 式为y=x?，再次平移透明纸，使这个点与点C 重合，则该抛物线的函数表达式变为（）A - y=x 2 + 8x+ 14 B. y=x 2 —8x+14C • y=x 2+4x + 3 D. y=x 2—4x+313. [2017-盐城]如图2-ZT-4，将函数y =鬆一2）2+1的图象沿y 轴向上平移得到一 条新函数的图象，其中点A （1，m ），B （4，n ）平移后的对应点分别为点Z ，B'.若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图彖的函数表达式是（）A • y=*（x —2）2—2 B. y=|（x-2）2 + 7图 2-ZT-414 •如果将抛物线y = 2x 2+bx+c 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到了 抛物线 y=2x?—4x+3.⑴试确定b ，c 的值；⑵求出抛物线y=2x?+bx+c 的顶点坐标和对称轴.＞方法五 利用对称轴求二次函数表达式15 •如图2-ZT-5 »已知抛物线y = — x?+bx+c 的对称轴为直线x= 1，且与x 轴的一c . y=|(x —2)2—5个交点坐标为(3 ‘ 0)，那么它对应的函数表达式是__________y：X=1/f v/ 01图2-ZT-516.如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图2-ZT-6，二次函数y, = x2+2x+2与y2=x2-2x+2是“关于y轴对称二次函数”.(1)直接写出两条“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点.(2)二次函数y=2(x+2)?+l的“关于y轴对称二次函数”表达式为________________ ；二次函数y = a(x—hF+k的“关于y轴对称二次函数”表达式为 _____________ ;(3)平面直角坐标系屮，记“关于y轴对称二次函数”的图彖与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC=6，顺次连接点A，B，O，C，得到一个面积为24的菱形‘教师详解详析1 •［解析］C 由题意可知点C 的坐标是（0 ' 2）或（0 ‘ 一2）.设抛物线的表达式为r4a+2b+c=0 ‘r a= — \+bx+c.由抛物线经过点(2，0)，(—1，0)，(0，2)，得v a-b+c=0， 解得＜ b=l ， .c=2，lc=2，物线的表达式是j=-?+x+2.同理，由抛物线经过点（2，0），（—1，0），（0，— 2）求得该抛物线的表达式为y=x 2-x~2.故这条抛物线的表达式为），=—d+x+2或y=F —x —2.2 •［答案］y=?+3x-4(16一4Z?+c=0， (b=3，［解析］将点(—4、0)、(2 ‘ 6)代入y=,+bx+c 、得］ 解得］l4+2b+c=6， lc=—4，・・・这个二次函数的表达式为y=/ + 3兀一4.3 • y=x~2x — 14a —2b+c=—4，4a+2b+c=0， c=0，r 1a=~2 '解这个方程组，得＜b=},、c=0，所以抛物线的表达式为 尸~y+x.(2)由 y= —|x 2+x= —|(x —1)2+| »平分线段 OB 、：・OM=BM » :.AM+OM=AM+BM.连接4B 交直线x=\于点则此时AM+OM 的值最小.过点A 作AN 丄x 轴于点N ， 在RtAABTV 中，AB=y ］AN 2+BN 2=^/42+42=4 ^2，因此 AM+OM 的最小值为 4 迈.5 • D6 •［解析］D J 函数图象过点（0，为和（2，弓），・・・函数图象的对称轴为直线x=\，故该 函数图彖的顶点坐标为（1，2）.设函数表达式为.尸吩一1F+2.把（一1，— 1）代入，得4a+2 =—1，解得d=—扌，・•・此函数表达式为y=— |（x —1）2+2.7 •［答案］J =-10（X -|）2+4I 解析］设喷泉喷水轨迹的函数表达式为y=a （x —护+4.将点（0，为代入，得| +4，解得a=-l0，故喷泉喷水轨迹的函数表达式为y= —10（x —护+4.8・解：（I ）；•抛物线与直线y 2=x+\的一个交点的横坐标为2，・••交点的纵坐标为2+1{则抛可得抛物线的对称轴为直线x=\，并冃.对称轴垂直=3即此交点的坐标为(2，3). 设抛物线的表达式为yi=tz(x—1)2+4. 把(2 » 3)代入，得3=d(2—1)'+4，解得a= — 1，抛物线的表达式为yi = —(X— l)2+4=—x24-Zr+3.(2)令yi=0，即一d+2兀+3=0，解得%i=3 »x2= —1，二抛物线与兀轴的交点坐标为(3，0)和(一1，0).在平面直角坐标系中画出抛物线与直线，如图所示：根据图象、iij知使得yi$y2成立的x的取值氾圉为一1W X W2.1 39 •［解析］A由抛物线的轴对称性可知该抛物线的对称轴为直线1 +4)=^，故该抛物线的顶点坐标为(号，乎).设该抛物线的表达式为尸心+l)(x—4).将(扌，手)代入，得晋=dg+l)(号一4)解得a= —1，故该抛物线的表达式为y=—(兀+1)(尢一4)=—,+3x+4.注意: 本题也可运用顶点式求抛物线的表达式.10•［解析］D设所求的函数表达式为X!)(x—%2)-因为抛物线y=ax2 + bx+c与兀轴的两个交点坐标为(一1，0)，(3,0)，所以y=a(x~3)(x+l).又因为其形状及开口方向与抛物线y=—2x1相同» 所以y= — 2(兀一3)(x+l)，即y=—2x2+4x+6.11•解：由4(1，0)，B(_4，0)可知AB=5，OB=4.又・：BC=AB，・・・BC=5.在RtABCO 中，寸52_42=3，・••点C的坐标为(0，3)或(0，-3).设抛物线对应的函数表达式为y=a(x— 1)(兀+4).将点(0 ' 3)代入‘得3=a(0-1)(0+4) >3将点(0，一3)代入，得一3=a(0-l)(0+4)，解得°=才3 3该抛物线对应的函数表达式为y=—^(x—l)(x+4)或)，=才(兀一l)(x+4)，即y= _討_条+3或『=条2+条_3.12 •［解析］A 根据题意可知点C的坐标为(一2，—1)，故一个点由点4平移至点C，向左平移了4个单位，向下平移了2个单位.又・・•该点在点A时，抛物线的函数表达式为丿= x2，・••该点在点C时，抛物线的函数表达式为y=（兀+4）2—2=/+8兀+14.O x13•［解析］D 如图，连接AB »B r，过点4作AC丄交BE的延长线于点C，则AC=3.由于平移前后的抛物线形状相同，根据割补的思想可知阴彫部分的面积等于平行四边形ABBA的面积，:・BB‘・AC=3BB,=9，:・BB‘ =AA f=3 ‘故平移后的抛物线的表达式14•解：（1）・・了=2?一4兀+3 = 2（”一2兀+1 — 1） + 3 = 2（.丫一1）2+1，・・・将其向上平移2个单位，再向右平移3个单位可得原抛物线，即y=2（x-4）2+3，.•・），=2,—16兀+35，.*./?= —16，c=35.（2）由y=2（x~4）2+3得顶点坐标为（4，3），对称轴为直线兀=4.15・［答案］y=-?+2x+3c b［解析「・•抛物线y=—/+加+c的对称轴为直线x=l，•逬=1，解得b=2，又・・•与x轴的一个交点坐标为（3，0），・・・0=—9 + 6+c，解得c=3，故函数表达式为）=一"+2兀+3.16•解：（1）（答案不唯一）顶点关于y轴对称，对称轴关于y轴对称.c °（2）y=2（x—2）~ + 1 y=a（x+/?）~+k（3）若点A在y轴的正半轴上，如图所示：顺次连接点A，B，O，C得到一个而积为24的菱形，由BC=6，得OA = S，则点4的坐标为（0，8），点B的坐标为（一3，4）.设一个抛物线的表达式为少=°（兀+3尸+4.4将点A的坐标代入，得9d+4=8，解得a=g.4 4二次函数少=刖兀+3F+4的“关于y轴对称二次函数”的表达式为〉=彳（兀一3）2+4.根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，则“关于），轴对称二次函数”的表达式还4 c 4 o可以为y= _§（兀+3）2_4，y=—^（x—3）^-4.综上所述，“关于y轴对称二次函数”的表达式为)=£(X+3)2+4，),=詁一3尸+4或y4 4 o=一姿+3) —4，＞=一尹一3)2—4.。
二次函数解析式(二次函数已知两点求解析式)
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九数学《二次函数的四种解析式求法》中考必考！
二次函数的知识点难度更大，二次函数出现在大结局的频率更高。
掌握二次函数的图像和性质是非常重要的.
二次函数的四个解析表达式方法的推导
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函数内容的学习一直是很多同学的一个难点，甚至有同学错过了理想的学校，因为没有学好函数内容，中考得不到高分。
初中数学一般要学三种函数：线性函数(包括比例函数)、反比例函数、二次函数。
二次函数作为初中数学中最重要的内容之一，在中考时一直受到数学命题老师的青睐。
任何与函数有关的数学问题都需要先找出分辨率函数，然后结合函数的图像和性质来求解。
因此，能熟练地找到二次函数的解析公式，是成功解决二次函数相关问题的重要保证。
今天我们简单说一下如何求二次函数的解析表达式。
初中数学教材中，二次函数的解析表达式一般有以下三种基本形式：
1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。
2、顶点式：y=a(x－m)2+k(a≠0)，其中顶点坐标为(m,k)，对称轴为直线x=m。
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二次函数全部公式
二次函数全部公式1. 二次函数的定义二次函数是指形如f(x)=ax2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a eq0。
其中，x是自变量，f(x)是因变量。
a是二次项系数，决定抛物线的开口方向和开口程度；b是一次项的系数，决定抛物线在x轴方向的平移；c是常数项，决定抛物线在y轴方向的平移。
2. 二次函数图像二次函数的图像是抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点可以通过公式 $(-\\frac{b}{2a}, f(-\\frac{b}{2a}))$ 找到，其中 $x = -\\frac{b}{2a}$ 是对称轴的方程，$f(-\\frac{b}{2a})$ 是抛物线在对称轴上的纵坐标。
3. 二次函数基本公式3.1. 零点公式零点公式用于求解二次函数的零点，即方程ax2+bx+c=0的解。
根据二次方程求根公式，二次函数的零点公式为：$$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$如果b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数解；如果b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数解；如果b2−4ac<0，则方程没有实数解。
3.2. 对称轴公式对称轴公式用于确定二次函数的对称轴方程。
二次函数的对称轴方程是 $x = -\\frac{b}{2a}$。
它表示抛物线关于直线 $x = -\\frac{b}{2a}$ 对称。
3.3. 顶点坐标公式顶点坐标公式用于确定二次函数的顶点坐标。
设二次函数的顶点坐标为(ℎ,k)，其中ℎ是对称轴的横坐标，k是抛物线在对称轴上的纵坐标。
根据对称轴公式，可知 $h = -\\frac{b}{2a}$。
将ℎ代入二次函数的定义中，可知k=f(ℎ)=aℎ2+bℎ+c。
因此，顶点坐标公式为 $(h, k) = (-\\frac{b}{2a}, ah^2 + bh + c)$。
3.4. 判别式公式判别式公式用于判断二次函数的图像与x轴的交点个数和位置。
二次函数的函数表达式
二次函数的函数表达式二次函数是一种常见的函数类型，其函数表达式可以表示为：y =ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，且a ≠ 0。
二次函数的函数表达式中，x为自变量，y为因变量。
其中a决定了二次项的系数，决定了函数的开口方向，若a>0，则二次函数开口向上，若a<0，则二次函数开口向下。
b决定了一次项的系数，决定了函数在x轴方向上的平移。
c决定了常数项，决定了函数在y轴方向上的平移。
当a>0时，二次函数的图像在x轴的某一点处有最小值，我们将其称为“顶点”。
顶点的x坐标可以通过公式 x = -b / (2a) 求得，顶点的y坐标可以通过将x的值代入函数表达式中计算得到。
当a<0时，函数图像在x轴的某一点处有最大值，也是一个顶点。
除了顶点，二次函数的图像还具有一条对称轴，对称轴的方程可以通过公式 x = -b / (2a) 求得。
对称轴将二次函数图像分为两个对称的部分。
二次函数的图像还可以通过首先计算x的取值范围，然后逐个计算对应的y值，最终得到一系列的坐标点，再连接这些坐标点即可得到函数图像。
对于开口向上的二次函数，当a>0时，其图像在对称轴上部分的y值都大于对称轴下部分的y值；对于开口向下的二次函数，当a<0时，其图像在对称轴上部分的y值都小于对称轴下部分的y值。
对于给定的二次函数表达式，我们可以通过上述方法来绘制其函数图像，从而更好地理解函数的特性。
另外，二次函数还有许多应用，比如在物理学中可以用来描述物体的抛体运动，在经济学中可以用来建立成本函数等。
在实际问题中，我们也可以根据已知条件来确定二次函数的函数表达式。
比如，如果已知二次函数过某一点，并且给出了该点的坐标，那么可以通过将该点的坐标代入函数表达式中，然后解方程组求解出a、b和c的值。
总结起来，二次函数的函数表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a决定了开口方向，b和c决定了函数的平移，而顶点和对称轴则可以通过相应的公式来求得。
华师版九年级下册数学精品教学课件 第26章二次函数 求二次函数的表达式
想一想 确定二次函数的这三点应满足什么条件？
这三点不能在同一条直线上（其中两点的连线 可垂直于 y 轴，但不可以垂直于 x 轴）.
一般式法二次函数的表达式
合作探究 问题1 （1）二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 中有几个待
定系数？需要抛物线上的几个点的坐标才能求出系数？
2 ∴ b＝6. ∴ c＝4b－19＝5. ∴ 该抛物线的表达式为 y＝x2＋6x＋5.
(2) 若与 x 轴平行的直线和抛物线交于 C，D 两点，点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8，求△BCD 的面积． 解：∵ CD∥x 轴，∴ 点 C 与点 D 关于 x＝－3 对称. ∵ 点 C 在对称轴左侧，且CD＝8， ∴ 点 C 的横坐标为－7. ∴ 点 C 的纵坐标为 (－7)2＋6×(－7)＋5＝12. 易得点 B 的坐标为 (0，5)， ∴ △BCD 中 CD 边上的高为12－5＝7. ∴ △BCD 的面积为 1 ×8×7＝28.
∴可设其表达式为 y = a(x + 3)(x + 1).
代入点 (0，-3)，得 a(0 + 3)(0 + 1) = -3，解得 a = -1.
∴ 所求表达式为 y = -(x + 3)(x + 1)，即 y = -x2 - 4x - 3.
归纳总结 交点法求二次函数表达式的方法
这种已知抛物线与 x 轴的交点坐标，求表达式的方 法叫做交点法. 其一般步骤是： ① 设其表达式是 y = a(x - x1)(x - x2) (其中 x1，x2 分别 是两交点的横坐标)； ② 将抛物线经过的第三点的坐标代入表达式，得到关 于 a 的一元一次方程； ③ 解方程得出 a 值； ④ 写出表达式，并化为一般式.
二次函数表达式的三种形式
二次函数表达式的三种形式
二次函数的三种形式：1、一般式：y=ax²+bx+c(a≠0，a 、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。
2、顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0，a、h、k为常数)。
3、交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，x1、x2为常数)。
扩展资料：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
1、当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；2、当a与b异号时（即ab抛物线与x轴交点个数：1、Δ= b²-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
2、Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
3、Δ= b²-4ac用待定系数法求二次函数的解析式：1、当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0)。
2、当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)。
3、当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。
二次函数的四种表达式求法推导
二次函数的四种表达式求法推导整理于夜（1）若是二次函数的图像通过已知三点，则设表达式为c bx ax y ++=2，把已知三点坐标代入其中构造三元一次方程组求a 、b 、c 。
（2）二次函数极点式：若是二次函数的极点坐标为（h ，k ），则二次函数的表达式为： k h x a y +-=2)( 推导如下：a b ac a b x a a b ac a b x a a c ab a b x a ac a b a b x a b x a ac x a b x a cbx ax y 44)2(]44)2[(]4)2[(])2()2([)(2222222222222-++=-++=+-+=+-++=++=++= 则ab ac k a b h 44,22-=-=极点式的变形：设二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像交x 轴于点A ),(1o x 和B )0,(2x ，则a b x x -=+21 ，ac x x =•21 点A 、B 的距离为d ， a ac b a ac b a c a b x x x x x x x x d 444)(4)()(22222122121212-=-=--=•-+=-=-= 22222222222222241)2(]41)2[(]44)2[(]4)2[(])2()2([)(ad a b x a d a b x a a ac b a b x a a c a b a b x a a c a b a b x a b x a a c x a b x a c bx ax y -+=-+=--+=+-+=+-++=++=++= 已知二次函数与x 轴两个交点间的距离d ，则设二次函数的表达式为：)]()[(00d x x x x y +--=（3）二次函数两根式：若是二次函数的图像与x 轴交于点)0,()0,.(21x x 和，则二次函数的表达式为：))((21x x x x a y --= 推导如下：设二次函数的图像交x )0(2≠++=a c bx ax y 于点),(1o x 和)0,(2x ， 则21,x x 和是一元二次方程)0(02≠=++a c x ax 的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系得：a b x x -=+21 ，ac x x =•21 因此， ))((])([)(212121222x x x x a x x x x x a ac x a b x a cbx ax y --=•++-=++=++=（4）二次函数对称点式：若是二次函数的图像过点),(),(21m x m x 和（它们关于抛物线对称轴221x x x +=对称），则能够取得二次函数的表达式对称点式：)0())((21≠+--=a m x x x x y ，推导如下： 方式1 二次函数的图像过点),(),(21m x m x 和，那么21x x 和是x 的一元二次方程 m c bx ax =++2（即02=-+m c bx ax ）的两根，则有 ))((212x x x x a m c bx ax --=-++ ∴))((212m x x x x a c bx ax +--=++即 m x x x x a y +--=))((21方式2 二次函数c bx ax y ++=2的图像通过点),(),(21m x m x 和，则有 ⎩⎨⎧++=++=cbx ax m c bx ax m 121222 解得{)(2121x x a b m x ax c +-=+= 代入c bx ax y ++=2 中，得m x x x x a m x x x x x a mx ax x x a ax y +--=+++-=+++-=))((])([)(212121221221。
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二次函数的四种表达式求法推导
整理于 2018.4.18 夜
(1)如果二次函数的图像经过已知三点，则设表达式为 y = ax 2 + bx + c ，把已知三点坐标代入其中构造 三元一次方程组求 a 、b 、c 。
(2)二次函数顶点式：如果二次函数的顶点坐标为(h ，k )，则二次函数的表达式为： y = a ( x - h )2 + k 推导如下：
y = ax 2 + bx + c
= a (x 2 + b x + c ) aa
= a [x 2 + b x + ( b )2 - ( b )2 + c ] a 2a 2 a a
b 2 4a
c - b 2
= a ( x + ) +
2a 4a 顶点式的变形：
设二次函数y =ax 2 + bx + c (a 0)的图像交 x 轴于点 A (x 1,o ) 和 B (x 2,0)，则 x 1 +x 2 =-b ，
1 2 1 2 a c
x 1 • x 2 = a
点 A 、B 的距离为 d ，
=a (x + 2a ) -4ad
已知二次函数与x 轴两个交点间的距离d ，则设二次函数的表达式为：y =(x -x 0)[x -(x 0 +d )]
a [(x +
b )2
- b 2 + 2a 4a 2 c
] a
=a [(x + 2a ) + 4ac - b 2
4a 2
4ac - b 2
4a
d = x 2-x 1 = (x 2 - x 1)
= (x 1 + x 2)2 -4x 1 •x 2 = (-b )2 -4c aa y = ax 2 + bx + c
= a (x 2 + b x + c )
aa b 2 - 4ac a 2 b 2 - 4ac = a [x 2 + b x + (
b )2 -( b )2
+ c ] a 2 a 2 a
a = a [(x +
b )2
- b 2 + c
] 2a 4a 2 a
b 2 b 2 - 4ac
=a [(x + )2 - 2 ] 2a 4a 2
= a [(x + b )2
- 1 d 2
]
2a 4 2a
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3)二次函数两根式：如果二次函数的图像与 x 轴交于点(x 1,.0)和(x 2,0)，则二次函数的表达式为： y = a (x - x )(x - x ) 推导如下：
设二次函数的图像交 x y = ax 2 +bx +c (a 0)于点(x 1,o ) 和(x 2,0)， 则 x ,1和x 2 是一元二次方程
bc ax 2 +x +c =0(a 0)的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系得：x 1 + x 2 = -b ，x 1 •x 2 = c
1 2 a 1 2 a 所以，
y = ax 2 + bx + c
= a (x 2
+ b x + c ) aa
= a [x 2 -(x + x )+ x •x ] = a ( x - x )(x - x )
4)二次函数对称点式：
如果二次函数的图像过点(x 1,m )和(x 2,m )(它们关于抛物线对称轴x = 函数的表达式对称点式： y =(x -x )(x -x )+m (a 0) ，推导如下： 方法 1 二次函数的图像过点(x 1,m )和(x 2,m )，那么x 1和x 2是 x 的一元二次方程 ax 2 +bx +c = m (即ax 2bx + c - m = 0)的两根，则有 ax 2 +bx +c -m = a (x -x )(x -x ) ∴ ax 2 + bx + c = a (x - x )(x - x + m )
即 y = a ( x - x )(x - x ) + m
方法 2 二次函数 y = ax 2 +bx +c 的图像经过点(x 1,m )和(x 2,m )，则有
b =-a (x 1+x 2)
c = ax 1x 2 + m
代入 y = ax 2 +bx +c 中，得 y = ax 2 - a ( x + x ) + ax x +m = a [x 2 -(x + x )+ x x ]+m = a ( x - x )(x - x ) + m 对称)，则可以得到二次 m =ax 12 +bx 1 +c
m =ax 22 +bx 2 + c。