提公因式法分解因式导学案
8.5.1提取公因式分解因式
8.5.1提取公因式法分解因式导学案一、学习目标1.知识与技能:了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系;能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法将多项式分解因式.2.过程与方法:经历从分解因数到分解因式的类比过程,理解因式分解的概念;经历探索多项式各项公因式的过程,以“化归”的思想方法,进行因式分解.3.情感态度与价值观:培养学生分析、类比以及化归的思想,培养学生有条理地思考、表达的能力，体会数学知识的内在含义与价值。
二、重难点、关键1.重点：了解因式分解的意义，掌握用提公因式法把多项式分解因式。
2.难点：正确确定多项式的最大公因式。
3.关键：在确定多项式各项公因式时，应抓住各项的最大公因式来提公因式。
三、学法知道阅读教材P72----P73（3到5遍）、组内合作，探究、讨论四、自主学习：1.回顾交流：（1）()()11-+n n n （2）()()21-+a a （3）()23+a （4）99993-能被100整除吗？ 提示：如果这个式子能否被100整除，就看能不能把这个式子化成100的倍数。
以上的过程我们就称之为“因式分解”那么什么叫因式分解呢？请同学们用自己的话总结：（7）如果把整式运算看作一个变形过程，那么因式分解是整式乘法的逆过程，因此用整式乘法可以验证因式分解的结果（观察下图）例如：（1）()()11122-=-+y x xy xy （2）()()b a b a b a 32329422-+=- （3）()()()144422-+-+=-+-y y x y x y y x （4）⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++x x x x x 45452 （5）()()()22112-+=++-+b a b a b a （6）()1344124223+--=-+-a a a a a a 由()mc mb ma c b a m ++=++可得()c b a m mc mb ma ++=++分析多项式mc mb ma ++的特点：它的每一项都含有一个相同因式m 叫做各项的因式分解把这个 提到括号外面，这样mc mb ma ++就分解成两个 的积。
八年级数学因式分解提取公因式导学案
总结
反思
3.公因式的概念．
填空：①多项式2x＋6有项，每项都含有相同因式，是这个多项式的公因式.
②3x2＋x3有项，每项都含有相同因式，是这个多项式的公因式.
③ma＋mb＋mc有项，每项都含有相同因式，是这个多项式的公因式.
※多项式各项都含有的，叫做这个多项式各项的公因式.
4.提公因式法分解因式.如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以，从而将多项式化成两个的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.如：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)
=; =.
自主
学习
自学指导：
独立思考，相信聪明的你一定能出色完成下列任务！
1.试一试
（1）.你能用简便方法计算：375×2.8+375×4.9+375×2.3吗？
（2）.你能把多项式ab＋ac＋ad写成积的形式吗？请说明你的依据.
2.做一做：
多项式 中的每一项都含有一个相同的因式_______，我们称之为_________.
5.试一试：用提公因式法分解因式：
⑴3x＋6＝3() ⑵7x2－21x＝7x()
⑶8x3＋12x2－24x＝4x()⑷－8a3b2＋12ab3c－ab＝-ab()
交流
展示
1.公因式的找法：①系数:各项系数的___________；②字母:各项都含有的__________；③指数:相同字母的_______.
2.方法技巧：⑴步骤：a.确定公因式;b.把公因式提到括号外面后，用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式.
⑵若多项式首项为负时,_________.当多项式中一项与公因式相同时，提取公因式后，剩下的项为___.
《因式分解提公因式法》教案
《因式分解-提公因式法》教案第一章：教学目标1.1 知识与技能1.2 过程与方法1.3 情感态度与价值观第二章：教学内容2.1 课题引入2.2 知识讲解2.3 例题解析2.4 课堂练习第三章：教学过程3.1 课堂讲解3.2 学生自主学习3.3 课堂讨论与交流3.4 巩固练习第四章：教学策略与方法4.1 教学策略4.2 教学方法4.3 教学评价第五章：课后作业与评价5.1 课后作业布置5.2 学生作业评价5.3 学生学习反馈第六章：教学资源6.1 教学素材6.2 多媒体课件6.3 网络资源6.4 教学参考书籍第七章：教学设计与实施7.1 教学活动安排7.2 教学步骤7.3 教学时间分配7.4 教学场所与设备第八章：学生学习指导8.1 学习方法指导8.2 学习难点解析8.3 学习策略建议8.4 学习反馈与评估第九章：教学反思与改进9.1 教学效果评估9.2 教学反思9.3 教学改进措施9.4 教学持续发展第十章：教学评价与考核10.1 课堂表现评价10.2 作业与练习评价10.3 阶段测试与评价10.4 期末考试与评价重点和难点解析一、教学目标1.1 知识与技能：掌握提公因式法的基本概念和步骤。
1.2 过程与方法：通过实例分析，学会运用提公因式法进行因式分解。
1.3 情感态度与价值观：培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容2.1 课题引入：通过具体问题引入提公因式法。
2.2 知识讲解：讲解提公因式法的原理和步骤。
2.3 例题解析：分析并解决实际例题。
2.4 课堂练习：学生自主练习，巩固所学知识。
三、教学过程3.1 课堂讲解：详细讲解提公因式法的步骤和应用。
3.2 学生自主学习：学生独立完成练习题，巩固知识点。
3.3 课堂讨论与交流：学生之间分享解题心得，讨论解题方法。
3.4 巩固练习：布置课后作业，巩固所学知识。
四、教学策略与方法4.1 教学策略：采用问题驱动法和案例教学法，激发学生的学习兴趣。
《因式分解——提公因式法》教学设计
因式分解——提公因式法
教学目标：
1、知识与能力：理解因式分解的定义及它与整式乘法的关系，掌握运用提公因式法分解因式
2、数学思考：通过复习整式乘法的过程来学习因式分解。
3、问题解决：经历从整式乘法引出因式分解，从多项式中确定公因式的过程，培养学生观察、分析、归纳的学习方法。
4、体会知识之间是相互联系的，培养学习乐于思考的良好品质。
教学重难点：
重点：提公因式法分解因式
难点：公因式的确定。
学生认知水平：
本节所学内容是因式分解的第一节课，是在学习整式乘法、乘法公式之后的内容，本班学生对因式分解定义的理解不难，但对因式分解与整式乘法的关系的理解我觉得有些同学只达到表面的认识。
因式分解的关键是确定公因式，该班学生在公因式的确定上有部分同学会有问题。
在对多项式进行因式分解时，公因式之外的另一个因式也有同学会出现问题。
教学过程：。
2.2提公因式法(2)
化归、 转化 整体方法 《2.2提公因式法（2）》导学案一、教学目标知识与技能：1.掌握用提公因式法分解因式的方法；2.通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点。
过程与方法：采用化归的数学思想，在上一节课所提取的公因式是单项式的分解因式的基 础上，解决所提取的公因式是多项式的分解因式。
情感态度与价值观：通过观察，合作交流解决公因式为多项式的分解因式问题，培养学生的化归、转化能力。
二、教学重点： 含有公因式是多项式的分解因式三、教学难点： 整体思想的运用以及代数式的法号变换处理四、教学过程：（一）导入新课检查学生完成课前导读-评价单1、2，导入，公因式不仅可以是单项式，还可以是多项式。
导入语：这节课我们继续学习提公因式法分解因式。
（二）自主探索 探究新知A.基础训练问题1：把多项式(3)-x 看做一个整体，让学生感知公因式可以是多项式。
问题2：在问题1的基础上进一步解决符号问题。
教学时要引导学生正确理解()-x y 与()-y x ，2()-m n 与2()-n m 的关系。
B.能力训练问题1：解题的关键是确定公因式：（1）22()()-=-x y y x ；（2）把+mx ny 提公因式；（3）()--=-y x x y 。
问题4：提取公因式5535+x ，分解因式再解方程。
（三）课堂反思1.本节课你学习了哪些方法？2.本节课应用了转化的数学思想：公因式为多项式的分解因式问题 公因式为单项式的分解因式问题（四）布置作业《课外巩固—评价单》《2.2提公因式法（2）》课前导读—评价单班级 姓名 组别（一）学习目标：1.掌握公因式是多项式时的分解因式；2.掌握用提公因式法分解因式的方法。
（二）学习流程：1.做一做：请在下列等号右边的括号前填入“＋”或“－”，使等式成立。
（1）2-=a (2)-a （2）-=y x ()-x y（3）+=b a ()+a b （4）2()-=b a 2()-a b（5）--=m n ()+m n （6）22-+=s t （22-s t ）2.你能找出下列多项式的公因式吗？公因式是单项式还是多项式？（1）()()+++x a b y a b （2）3()()---a x y x y（3）236()12()+-+p q q p （4）2()()()+--+x y x y x y3.把下列各式分解因式：（1）()()+++x a b y a b （2）3()()---a x y x y（3）236()12()+-+p q q p （4）2()()()+--+x y x y x y（5）22()3()-+-y x x y （6）2()()---mn m n m n m由2、3题可以看出，提公因式法分解因式时，公因式不仅可以是单项式，还可以是 项式。
提公因式法分解因式教学设计
二、教学过程
教学环节
教学内容
设计意图
活动一
新课引入
请说出一个大于1的正整数，写出它
的平方减它本身的式子，你能说出这
个式子能被哪些正整数整除吗？
例:
1002-100=100×(100-1)=100×99
通过把一个数式化成
几个数的积的形式联
想到多项式能否写成
几个整式积的形式
的感受
活动七
作业布置
作业：习题14.3第1题
及时检验和巩固学习
成果
14．3．1因式分解——提公因式法
一、教学目标
教学目标：1、了解因式分解的概念和意义
2、了解分解因式与整式乘法的关系——互逆变形
3、理解提公因式法的依据，会用提公因式法分解因式
4、通过探究因式分解的概念，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心
教学重点：因式分解的概念及提公因式法分解因式
(3)3x2y－6xy＋3x
(4)－3ma3＋6ma2－12ma
归纳概括用提取公因
式的方法：
关键是系数和字母，
公因式可以是单项式，
也可以是多项式.
注意：
1、若多项式中其中一
项与公因式相同，提取
公因式后余下的是1
而不是0 .
2、分解因式的结果，
一般是单项式乘以多项
式，或者是多项式乘以
多项式.
3、分解因式要彻底，
ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)
通过观察、类比、归
纳概括的过程，
探究什么是
提公因式法
概念：
1．公因式：
多项式ma＋mb＋mc中，各项都
有一个公共的因式m，这时我们把因
提公因式法分解因式教案
提公因式法分解因式教案提公因式法是数学中十分重要的一种分解因式方法，通过提公因子的方式，将多项式分解成两个或多个可约式，从而简化数学运算。
为了帮助学生更深刻地理解和运用提公因式法，今天我们将围绕提公因式法分解因式教学，为同学们提供一个简单易懂、步骤清晰的教学方案。
一、引入引导学生回忆已学内容，复习整理代数式基本运算法则，包括开方、乘方、加减、乘除等，进一步准备开始本课程的学习。
二、引入例子通过一个简单易懂的例子，介绍与学生提公因式法的定义、基本思想以及分解因式的具体方法。
例如：①将3x+9分解因式（解法：因为3是3和x的最大公因数，所以可以将3因式提出来，得到3(x+3)）②将ax+ay分解因式（解法：因为a是a和x的最大公因数，所以可以将a因式提出来，得到a(x+y)）通过以上两道题目的讲解，同学们可以清楚地明白提公因式法的基本思想。
在实际应用中，我们可以借助提公因式法快速化简多项式，提升计算效率。
三、讲解技巧讲解完提公因式法的基本概念和实际应用之后，我们需要针对不同难度的代数式，通过不同的分解方法来帮助学生更深入地掌握提公因式法分解因式的技巧。
首先是一般的提公因数分解法，针对多项式中同时含有两个或两个以上公因数的情况。
例如：①将3x^2+6x分解因式（解法：因为3是3、x的最大公因数，2是2、x的最大公因数，所以我们可以将3x提出来，得到3x(x+2)）②将3x^2+2xy+3y^2分解因式（解法：因为3是3、x^2、y^2的最大公因数，所以我们可以将3提出来，得到3(x^2+xy+y^2)）然后是差平方分解法，针对二次多项式的分项。
例如：①将x^2-1分解因式（解法：因为x^2-1可以表示成（x+1）乘（x-1），所以x^2-1可以分解成（x+1）乘（x-1）的形式）②将x^2+2x+1分解因式（解法：因为x^2+2x+1可以表示成（x+1）的平方，所以x^2+2x+1可以分解成（x+1）乘（x+1）的形式）最后是其他分解方法，例如比例分解法、配方法等，这些方法主要用于解决较为特殊和复杂的问题。
因式分解—提公因式法
《提公因式法》导学案随州高新区淅河二中：谌伟【课堂导入】请同学们完成下列计算：56×98+56×2【知识结构】1、因式分解、公因式的的概念，因式分解与整式乘法的关系2、用提公因式法分解因式【分块引学】一、自主学习活动一：1、探究：请把下列多项式写成整式的乘积的形式x2+x= x2-1=2、因式分解的概念：把一个多项式化成了的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
活动二：因式分解与整式乘法的关系：（）x2-1 (x+1)(x-1)（）因式分解是一种变形，整式乘法是一种，他们是变形。
活动三：思考一：ma+mb+mc 这个多项式有什么特征？思考二：你能否将ma+mb+mc分解因式？归纳：一般地，如果多项式的各项有，可以把这个提出来，将多项式写成与乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.二、合作探究、交流展示：活动四：找出下列各项式中各项的公因式①ax+ay+a ②3mx-6nx2③4a2b+10ab④x4y3+x3y3⑤12x2yz-9x3y2总结：找公因式的方法活动五：把3x2–6x分解因式.变式一：把-3 x2 + 6 x 的分解因式。
变式二：把6(m+n)－3(m+n) 2分解因式.变式三：把3(a–b) (a+b)+6(b-a) 分解因式变式四：把3(m–n)3+6(n-m)2分解因式.总结：用提公因式法分解因式应注意哪些？活动六：完成课前的题目三、当堂训练把下列各式分解因式①x2+ x6 ②8m2n+2mn ③ mn(m–n)–(m–n)2④2a(y–z)+3b(z–y) ⑤234×265－234×65四、课堂小结五、拓展延伸1、20042+2004能被2005整除吗？2、把2ac+3bc+6a+9b分解因式。
【课后反思】。
1.2提公因式法(1)导学案
八年级数学2.1提公因式法（1）学案学习目标1、理解因式分解与整式乘法的区别；2、懂得寻找公因式，正确运用提公因式法分解因式重点：运用提公因式法分解因式难点：正确寻找多项式中各项的公因式教学程序(一)课前准备复习巩固1.多项式ab+bc,3x2+x,mb2+nb-b的各项都含有相同的因式分别、、2.将上面的多项式分别写成几个因式的乘积的形式为、、。
【公共特点】各式中的各项都含有一个相同的因数或因式公因式：我们把多项式各项都含有的叫做这个多项式各项的公因式。
注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式【议一议】1、确定下列各多项式中的公因式？（1）ac+bc 2)3x2+9xy 3) a2b–2a b2+ab 4) 4xy2-6xy+8x3y2、如何找多项式的公因式呢？确定公因式的方法：(1)公因式的系数是多项式各项系数的。
(2)字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
(3)相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂。
（4）多项式中的公因式可以是单项式，也可以是多项式(换元思想)。
提取公因式：.把多项式各项含有的提取出来，将多项式化成两个的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。
三：新知探究例把下列各式分解因式．（1）2x2+6x （2） 3a2-9ab （3）7x2-21x （4） 8a3b2 -12ab3c+ab（5）–24x3–12x2+28x【归纳】【练一练】（1）确定下列各多项式中的公因式？1) ac+bc 2)3x2+9xy3)a2b–2ab2+ab 4)－4xy2-6xy+8x3y想一想：提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？【找错误】把下列多项式分解因式：（1）12x2y+18xy2；（2）-x2+xy-xz；（3）2x3+6x2+2x现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：甲同学：乙同学：丙同学：解:12x2y+18xy2解:-x2+xy-xz 解:2x3+6x2+2x=3xy(4x+6y) =-x(x+y-z) =2x(x2+3x) 你认为他们的解法正确吗？试说明理由。
因式分解 提公因式法(导学案)
14.3 因式分解 1.提公因式法班级姓名一、学习目标：1.理解因式分解的概念，能区分因式分解与整式乘法。
2.掌握提公因式分解因式的步骤和方法。
3.总结提公因式法分解因式的“四绝招”。
二、新知学习问题一：什么是因式分解？因式分解与整式乘法的关系是什么？把一个________化成了几个_____的______的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.多项式整式乘积判断：下列哪些是整式乘法?哪些是因式分解?(1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)；(2) 2x(x－3y)=2x2－6xy；(3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ；(4) x2+4x+4=(x+2)2；(5) (a－3)(a+3)=a2－9；(6) m2－4=(m+2)(m－2) ；(7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r).问题二：什么是公因式？怎样用提公因式的方法进行因式分解？多项式m a+m b+m c 它的各项都有一个公共的因式____,我们把因式____叫做这个多项式的____ _。
ma+mb+mc =要把ma+mb+mc分解成两个因式______的形式,其中一个因式是各项的公因式____,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的______,像这种分解因式的方法叫做_________.变式练习：1.说出下列多项式各项的公因式：(1)4kx－8ky ；(2)5y3+20y2；(3)a2b－2ab2+ab ；(4) x(a+b)+y(a+b).2.用提公因式法因式分解(1) 3x2y+6xy2(2)12a2b3－8a3b2－16ab4(3) 4x(a+b)+6y(a+b)提公因式法因式分解第一招：_______________________ 进阶练习1：用提公因式法因式分解(1) -3x2y-6xy2(2)-12a2b3－8a3b2－16ab4提公因式法因式分解第二招：_______________________进阶练习2：用提公因式法因式分解(1)6xy2 + 3xy (2) 4a（y+z）+(z+y)提公因式法因式分解第三招：_______________________进阶练习3：用提公因式法因式分解(1) 2a(y-z)-3b(z-y) (2) 4a（m-n）+(n-m)提公因式法因式分解第四招：_______________________三、小结：提公因式法因式分解四招：四、课后作业:1.把下列各式分解因式:（1）8m2n+2mn; (2) -12xyz-9xy2-6xy (3)2x(y-z)-(z-y); (4)2p(m-n)-4q(n-m)-6(m-n)2.先分解因式,再求值:4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3.3.已知a+b=2, ab=-3, 求-2a3b-2ab3的值。
14.3.1 提公因式法(导学案)-2022-2023学年八年级上册初二数学(人教版)
14.3.1 提公因式法（导学案）•2022-2023学年八年级上册初二数学（人教版）导学目标•了解提公因式法的定义和基本步骤；•学会通过提公因式法将多项式进行因式分解；•能够应用提公因式法解决实际问题。
导学内容一、回顾因式分解的基本概念在上一节中，我们学习了因式分解的基本概念，即将一个多项式表达式表示为几个因子的乘积形式。
因式分解是解方程、求解问题以及简化计算等数学问题的重要基础。
二、提公因式法的定义提公因式法是一种将多项式进行因式分解的方法。
它的基本思想是找出多项式中可以被多个项整除的公因式，并将其提取出来，形成一个因子，而原多项式就可以表示成两个因子的乘积形式。
三、提公因式法的基本步骤1.对于给定的多项式，首先观察其中是否存在可以整除的公因式；2.找出公因式后，将其提取出来，并用括号括起来；3.将原多项式除以公因式得到一个较简单的余式；4.将提取出的公因式和余式相乘，得到原多项式的因式分解式。
四、应用提公因式法进行因式分解在应用提公因式法进行因式分解时，我们需要注意以下几个方面： - 观察多项式中是否存在可以整除的公因式，如常数因子、共同的变量因子等； - 若多项式中存在可以整除的公因式，则将其提取出来，并用括号括起来； - 对于提取出的公因式，可以使用平方差公式、差平方公式等进行进一步分解。
五、例题解析1.对以下多项式进行因式分解：2x2+6x+4。
解析：首先观察多项式各项之间是否存在公因式，发现它们都可以被2整除，因此，可以提取公因式2：2(x2+3x+2)；然后，对括号内的三项进行进一步分解，发现它们无法进行因式分解；最终，该多项式的因式分解形式为2(x2+3x+2)。
2.对以下多项式进行因式分解：3x3−9x2+6x。
解析：首先观察多项式各项之间是否存在公因式，发现它们都可以被3和x整除，因此，可以提取公因式3x：3x(x2−3x+2)；然后，对括号内的三项进行进一步分解，发现它们无法进行因式分解；最终，该多项式的因式分解形式为3x(x2−3x+2)。
[新人教版]山东省乐陵市实验中学八年级数学上册导学案：1432用提公因式法进行因式分解.doc
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14. 3. 2用提公因式法进行因式分解学习目标：1、了解因式分解的意义及其与整式乘法的区别与联系，培养学生逆向思维的能力；2、理解公因式的概念，会用提公因式法分解因式能力目标：rti学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能, 深化学生逆向思维能力和综合运用能力。
情感态度与价值观：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。
重点：因式分解的概念和提公因式法分解因式难点：因式分解与整式乘法的相互关系和寻找多项式的公因式学习过程：一、自主探索计算下列各式：1、3x(xT)二 2. m(a+b+c) =3、(m+4)(m-4)=4、(y-3)~根据上面的算式填空：1、3X2-3X=( )() 2、m2-16=( )( )3> ma+mb+mc=( )( ) 4、『-6y+9=(二、合作交流1、由m(a+b+c)得到ma+mb+mc的变形是什么运算？由ma+mb+mc得到m(a+b+c)的变形与这种运算有什么不同？你还能再举出一些类似的例子加以说明吗?与同学交流.2、分解因式与整式乘法有什么关系?三、试一试例1、把下列各式分解因式:(1) 3 a2+12a例2、把下列各式分解因式: (l)a(m-6)+b (m - 6)(2) -4 x2y~16xy+8 x2(2) 3 (a~b) +a (b~a)4. 巩固练习1、下列各式从左到右的变形，那些是因式分解？那些不是?(1)(x+y) (x-y)=x J-y2;(2)m2n-9n=n(m+3) (m~3); 2、把下列各式分解因式：⑴ x'+xy (2) a2-4a+4=a (a~4) +4;(4) x z+4x+2= (x+2) -2 (2)-4b2+2ab(2)3ax-12bx+3x (4) 6ab3-2a2b2+4a3b3、把下列各式分解因式:(3) 2 (x-y) - (x-y)2(2) 6 (m~n) 2+3 (m-n)五、小结与反思：我的收获：我的疑惑：六、当堂测试1、4x2y+x2y2各项的公因式是 _________________2、把下列各式分解因式：(1) x2y-xy2(2) -2xy-4x'y+8x y(3) 6 (m~n)3_ 12 (n~m)23、利用简便方法计算：36X 19. 99+78X 19. 99-14X 19. 9914. 3. 2用平方差公式法进行因式分解学习目标：1、 会用平方差公式法进行因式分解；2、 了解因式分解的一般步骤. 过程与方法： 1. 能说出平方差公式的特点.2. 能较熟练地应用平方差公式分解因式.3. 初步会用提公因式法与公式法分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用.4. 知道因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解.情感价值观：培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法 重点：应用平方差公式分解因式.难点：灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求. 学习过程：(1) (x + 4) (x —4)= ______ (2) (2y + 3) (2y-3)= ___5. 试一试：你能将下面的多项式分解因式吗？ (1) x 2-16- (2)4y 2-9=(3) a 2-b 2= 二、自主学习，探究新知(一) 想一想： 观察下面的公式：cP" —b — (a+b) (a —b)这个公式左边的多项式有什么特征: __________ 公式右边是 ___________ 你能用语言来描述这 个公式吗？ __________ 公式中a 、b 代表什么？ (二) 探究新知★做一做：你能将扌一25因式分解吗？你是怎样思考的？ ★议一议：下列多项式可以用平方差公式分解吗？ (1)兀2一)'2 (2) x 2 + y 2 (3) -%2 -y 2 (4)-兀？+y2(5) 64 —亍 (6) 4x~ -9y 2总结可以用平方差公式分解因式的多项式的特点。
八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》导学案：提公因式法(共2课时)
人教版八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》导学案提公因式法(1)【学习目标】1.理解公因式与提公因式法的概念；2.会确定一个多项式各项的公因式；3.会用提公因式法对有公因式为单项式的多项式进行因式分解.【知识梳理】1. 叫因式分解2.多项式ab+bc 各项都含有的相同因式是 _______,把多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的____________.定系数：系数取多项式各项系数的 （当系数是整数时）.定字母：字母取多项式各项中都含有的 .定指数：相同字母的指数取其 .3.提公因式法如果一个多项式的各项含有_______，那么就可以把这个____________提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做 ____________。
【典型例题】知识点一 找公因式的方法1.把下列各式进行因式分解：y x x 34)1(- (2)12ab ＋6b x bx ax 312)3(+- (4)6ab 3-2a 2b 2+4a 3b知识点二 用提公因式法分解因式【巩固训练】一、选择题1.观察下列各式: ①2a ＋b 和a ＋b ②5m （a －b ）和－a ＋b ③3（a ＋b ）和－a －b ④x 2－y 2和x 2+y 2 其中有公因式的是（ ）A ．①② B.②③ C ．③④ D ．①④2.（－2）10＋（－2）11等于（ ）A.－210B.－211C.210D.－23.多项式23++-n n n a a a 分解因式的结果是（ ）A.a n （1－a 3＋a 2）B.a n （－a 2n ＋a 2）C.a n （1－a 2n ＋a 2）D.a n （－a 3＋a n ）4.多项式－ab （a －b ）2＋a （b －a ）2－ac （a －b ）2分解因式时，所提取的公因式应是_____。
二、解答题:5.把下列各式进行因式分解(1)214497xyz xyz xy -+ (2)a am ax 10422-+(3)b ab a 545152++ (4)bm am b a 9362--+(5) (6)6.用简便方法计算下列各题：（1）39×37-13×34（2）29×19.99+72×19.99+13×19.99-19.99×147.已知a 2−a −1=0，求a 3−a 2−a +2019的值.8.先化简，再求值：已知串联电路的电压U ＝IR 1+IR 2+IR 3 当R 1＝12.9 R 2=18.5 R3=18.6I=2.3时，求U 的值.1142+---n n a a 200920082-2-）（）（+人教版八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》导学案提公因式法(2)【学习目标】1.对公因式是多项式的式子进行因式分解；2.2.熟练运用提公因式法进行因式分解.【知识梳理】1.添括号法则：括号前面添 ，括在括号里面的各项都 ，括号前面添 ，括在括号里面的各项都 ，即)(c b a c b a +-+=+-，)(c b a c b a -+--=+-。
4.2提公因式法导学案
主备人：卫金萍审核人：时间：备注课题：§4.2提公因式法（一）学习目标：1、了解因式分解的意义及整式乘法的区别与联系；2、理解公因式的概念，会用提公因式法分解因式。
重点：会用提公因式法把多项式因式分解；难点：找出多项式的公因式，并能正确地提公因式。
一、自主学习1、某工厂有一个圆环形的机器零件，该零件的外壁是一个半径为R的圆，内壁是一个半径为r的圆，工人师傅求得圆环的面积为π（R2－r2），他为什么这样记录呢？2、请你用自己的语言给公因式和因式分解下个定义，并举例说明。
3、、今天学习的因式分解的方法叫什么？在运用时的关键是什么？4、、你能总结一下找公因式的方法吗？二、小组合作：1、填空题：（1）a（m-6），b（m-6）的公因式是________ （2）a（b-a）=-a（）（3）（a+b）（a-b）-（b+a）=（）（a-b-1）八年级数学导学案（4）2（x-y）-(x-y)2=(x - y) ( )2、把下列各式进行因式分解（1）3a2＋12a （2）－4x2y－16xy＋8x2（3）3（a-b）+a（b-a）（4）a（m-6）+b（m-6）( 5 ) 6(m-n)2+3(m-n) （6）x（x-y）+y（y-x）三、展示反馈：1.把下面多项式中各项的公因式填在括号内：(1)7(a-2)2+14(a-2) （）(2)a2b(x-y)-ab(y-x)2（）(3)x(x-y)-y(y-x)2 ( ) (4) 5(a-1)2-10(1-a) ( )2、选择题：（1）将多项式－4ab－8a2进行因式分解，得（）A、－a(4b＋8a)B、－2a(2b＋4a)C、－4a(b－2a)D、－4a(b＋2a)(2)计算：（－3）n＋2（－3）n－1，得（）A、3n－1B、（－3）n－1C、－（－3）n－1D、（－3）n3、把下列各式因式分解：（1）x2y－xy2 (2)4ab2c＋16ab(3)－2xy－4x2y＋8x3y (4)(3a＋b)(2a－3b)－3a(3a＋b)四、能力提升：思考：3200－4×3199＋10×3198是7的倍数吗？为什么？。
12.5.1因式分解(1)导学案
3、计算： (1) 9992 999； (2) 13.8 0.125 86.2
1 8
4、已知 a b 5，ab 3，求a 2 b ab2 的值.
5、 3 2、对下列多项式进行因式分解：
(1) 21x y 35x y 7 xy ；
4 3 3 2 2
2006
4 32005 10 32004 能否被 7 整除？为什么？
１、回顾单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘运算法则. 2、计算：
概括：多项式中的_______都含有一个相同的因式，我们称之为公因 式. 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出
（一）
1、x( x 1) ________ （二） 1、x 2 x x( ) 2、ma mb mc m( 2、m(a b c) _________ 3、 (m n)(m n) _________ 4、 (m n)(m n) _________
(1) 9 x 3xy x ；
2
第（一）组 等式 从左到右是两个整式等于一个多项式的形式，这 种变形叫做整式乘法； 第二组 等式 从左到右的变形是一个多项式等于两个整式积的形 式，这种变形叫做什么呢？ 在学习分数时， 为了通分和约分， 我们常常把一个数进行因数分解. 例如：14 分解成 2×7，30 分解成 2×3×5 类似的，在整式的运算中， 为了计算的简便易行， 有时也需要将一个多项式分解成几个整式的乘积 的形式.我们用类似的命名把这种变形叫做因式分解. 定义：把一个多项式化为_____________的形式，叫做把这个多项 式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 思考：整式乘法与因式分解的关系？ 把 14 和 30 因数分解后，其中____是它们的公因数
§2.2.1 提公因式法(一)导学案
（1）怎么样确定一个多项式的公因式？确定公因式的步骤有哪些？
答：①、②
（2）提公因式要注意些什么？
答：①、②
（3）提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？
四、当堂检测：
将下列各式分解因式
1． ；2． ；
3． ；4． ；
5． ；6． ；
7． （ 是自然数）；
8． （ ， 是自然数）.
独立完成，教材的随堂练习、知识技能P48~49
五、总结升华：
1．提公因式 法分解因式的一般形式，如：ma+mb+mc=m（a+b+c）.
2．提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.
3．找公因式的一般步骤
（1 ）若各项系数是整系数，取系数的；
（2）取相同的，的指数取的；
4．特别注意级(数学)学科导学案
课题：§2.2.1提公因式法（一）主备：刘晓东备课组长审核:高宏伟教务处审核：李诚
一、展示目标：
学习重 点：能观察出多项式的公因式 ，并根据分配律把公因式提出来.
学习难点：让学生识别多 项式的公因式.
二、自主学习：
自主回顾：
1、分解因式的概念. 2、分解因式概念应注意什么？3、分解因式与整式乘法的关系
自主学习
1．公因式与提 公因式法分解因式的概念.
自主学习教材p47，然后回答以下问题：
⑴公因式：多项式的各项中都含有叫做这个多项式各项的公因式
⑵提公因式法：把多项式中的提取出来的分解因式方法叫做提公因式法.
2．独立将下列各式分解因式
（1）3ab2－3a2b;（2）2x3+2x2－6x;
（3）－12a2b+24ab2;（4）xy－x2y2－x3y3;
14.3因式分解导学案
14.3 因式分解第十一课时 14.3.1 提公因式法【学习目标】1．了解因式分解的意义，并能够理解因式分解与多项式乘法的区别与联系.2． 会用提公因式法进行因式分解. 3．提高观察能力、逆向思维能力. 【学习重点】掌握提取公因式，公式法进行因式分解.【学习难点】怎样进行多项式的因式分解，如何能将多项式分解彻底 一、学前准备1. 填空：（1）2（x ＋3）＝___________；（2）（x+1）（x －1）＝___________；（3）m （a ＋b ＋c ）＝___________. 二、探索思考.探索（一）：1、你会做下面的填空吗？（1）2x ＋6＝2（ ）； （2）x 2－1＝（ ）（ ）； （3）ma ＋mb ＋mc ＝m （ ）. 2.归纳：“学前准备”中的填空是已熟悉的 运算，而要“探索（一）”的问题，其过程正好与““学前准备”中的” ，它是把一个多项式化为 形式，这就是因式分解（也叫分解因式.） 因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法是相反方向的变形．如：(a ＋b )(a －b)a 2－b 2.即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式(整式乘法)是“积化和”，而因式分解则是“和化积”，故可以用 来检验因式分解的正确性．3、反思：①分解因式的对象是______________，结果是 的形式. ②分解后每个因式的次数要 （填“不高与”或“不低与”）于原来多项式的次数. 【练习】下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）（A ）29)3)(3(x x x -=+- （B ）))((2233n mn m n m n m ++-=- （C ）)1)(3()3)(1(+--=-+y y y y （D ）z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242探索（二）填空：①多项式62+x 有 项，每项都含有因式 ，②3x 2+x 3有 项，每项都含有因式 ， ③ma+mb+mc 有 项，每项都含有因式 ， 多项式各项都含有的 ，叫做这个多项式各项的公因式.2．提公因式法分解因式：am+bm+cm=m （a+b+c ） 可得ma ＋mb ＋mc ＝m （a ＋b ＋c ）如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以 ，从而将多项式化成 与 的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 【练习】1、请找出下列多项式中各项的公因式①3a+3b 的公因式是： ②－24m 2x+16n 2x 公因式是： ③2x(a+b)+3y(a+b)的公因式是： ④ 4ab －2a 2b 2的公因式是： 2、 用提公因式法分解因式：（1）3x +6=3( ) （2）7x 2－21x =7x ( ) （3）24x 3+12x 2－28x =4x ( ) （4）a (a +1)+2(a +1)=（a +1）( )三、典例分析【例1】把下列多项式分解因式：（1）-5a 2+25a （2）3a 2-9ab (3)-20x 2y 2-15xy 2+25y 3例题反思：确定公因式的方法：(1)对于系数(只考虑正数)，取各项系数 公因式的系数．(2)对于字母，需考虑两条，一是取各项 ；二是各相同字母的指数取 ，最后还要根据情况确定符号（即一看系数，二看字母，三看指数）． 【例2】分解因式：（1）(2a+b)(2a-3b)-3a(2a+b) （2）(1+x )(1-x )-(x -1) （3）4（x-y ）3-8x (y-x )2四、当堂反馈1．下列各式中，从等式左边到右边的变形，属因式分解的是 （填序号）①()22221y x y x -∙=- ②()()y x y x y x -+=-22 ③()()222244y x y x y x -+=- ④()2222y xy x y x ++=+ 2、把下列各式分解因式：①12a 2b +4ab = ②－3a 3b 2+15a 2b 3 = ③8m 2n +2mn = ； ④12xyz －9xy 2 = ； ⑤ a(x －y)－b(x －y) = 3．若分解因式()()n x x mx x ++=-+3152，则m 的值为 . 4．把下列各式分解因式:（1）15x 3y 2+5x 2y-20x 2y 3 （2）2a （y －z ）－3b(z －y) （3） －4a 3b 2－6a 2b+2ab5．利用因式分解计算：21×3.14+62×3.14+17×3.146. 已知a+b=5,ab=3, 求a 2b+ab 2的值.五、学习反思1、学习目标完成情况反思：2、错题原因分析：第十二课时 14.3.2 公式法——平方差公式【学习目标】1．探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想． 2．会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解． 【学习重点】应用平方差公式分解因式； 【学习难点】灵活应用平方差公式分解因式 一、学前准备1、什么叫因式分解？它与整式乘法 （填两者的关系），请举例说明： 2、计算：(y +5)(y -5)= (-x +2)(-x -2)= (3a +2b )(3a -2b )= 3、（1）4a 2=（ ）2；（2）49b 2=（ ）2；（3）0.16a 4=（ ）2；（4）121a 2b 2=（ ）2； 二、探索思考探索（一）1、你能将多项式252-y 与多项式42-x 分解因式吗？（1）本题你能用提公因式法分解因式吗？ （2）这两个多项式有什么共同的特点？（3）你能利用整式的乘法公式——平方差公式22))((ba b a b a -=-+ 来解决这个问题吗？2、下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ （1）22y x + （2）22y x - （3）22y x +- （4）22y x --3、具备什么特点的多项式都可以用平方差公式分解因式？（可从结构特征、符号来观察）探索（二）下列多项式分解因式能用平方差公式分解因式吗？若能，请尝试将它们分解因式 （1）9x 2－4 （2）22)()(m b m a --+2、用平方差公式分解因式的步骤：【练习】1、分解因式⑴x 2－1=x 2－( )2= ; ⑵-=-2291x x( )2= ; ⑶16－p 2=( )2－p 2= ; ⑷ 25－(m +2p )2 =( )2－(m +2p )2= ; 2、分解因式 (1)4x 2－9y 2 (2） m 2n 2－49m 2 （3）22)2()2(y x y x +-+三、典例分析【例1】分解因式（1）4481y x - （2） 3ab 3－3ab例题反思：四、当堂反馈1．下列多项式，能用平分差公式分解的是（ ）A ．－x 2－4y 2B ．9 x 2+4y 2C ．－x 2+4y 2D ．x 2+（－2y ）22、把下列各式分解因式：①2361b-= ② 22251b a - =③2xy x - = ④ x 5－x 3=3、分解因式：（1）a 3－16a（2）m 2n 2－49m 2（3）424255b m a m - （4）164+-a4、简便计算：22171429-五、学习反思1、学习目标完成情况反思：2、 错题原因分析：第十三课时 14.3.2 公式法（2）【学习目标】1、经历用完全平方公式法分解因式的探索过程，理解公式中字母的意 2、会用完全平方公式法对多项式进行因式分解。
2022年初中数学《直接提公因式因式分解》精品导学案
4.2 提公因式法第1课时 直接提公因式因式分解学习目标：1. 了解公因式的意义，并能准确确实定一个多项式各项的公因式；2. 掌握因式分解的概念，会用提公因式法把多项式分解因式.3．进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法 学习重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来. 学习难点：正确识别多项式的公因式. 预习作业1、一个多项式各项都含有 ____________因式，叫做这个多项式各项的___________2、公因式是各项系数的________________与各项都含有的字母的__________的积。
3、如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个__________提出来，从而将这个多项式化成两个因式的乘积形式，这种分解因式的方法叫做______________4、把首项系数变为正数。
〔1〕=--22xy y x —〔 〕〔2〕=-+-xy xy y x 1892722—〔 〕 〔3〕=++---b a b a b an n n221—〔 〕例1、确定以下各题中的公因式：〔1〕324bc a -，212ac ，38ab 〔2〕)(23n m a --，)(42m n a -〔3〕18-n my x，n m y x 14+-例2、用提公因式法分解因式 〔1〕c ab b a 323128- 〔2〕x xy x+-632〔3〕m m m2616423-+- 〔4〕11412-+-+k kk x x x例3、利用分解因式简化计算：9999449957-⨯+⨯ 例4、如果)3)(3)(9(812x x x x n-++=-，求n 的值 变式训练： 1．分解因式：〔1〕x x 2172- 〔2〕abc c ab b a +-323128〔3〕x x x 28122423+-- 〔4〕1212222-+-+n n na a a拓展训练： 1．利用分解因式计算：21)2()2(20122011⨯-+-2. 多项式m x x +-42可分解为)()2(n x x +•+，求m ，n 值 3．证明：127525-能 被120整除。
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项的.
分配率.
学习交流与问题研讨：
探索研究
议一议：下列多项式的各项是否有公因式？若有，是什
么？
⑴⑵⑶
问题：通过上述问题你能否说明如何找出一个多项式各 项的公因式.
找出公因式后，我们就可以将写成积的形式，
即：=，像这
样，把一个多项式化为几个整式积的形式，叫做把这个 多项式.
提公因式法分解因式导学案
节与课题§9.5提公因式法分解因式课时安排2课时
使用人使用日Байду номын сангаас或周次
本课时
学习目标
或学习任务1、经历逆向得出因式分解方法的过程，并 会用提公因式法分解因式.
发展学生逆向思考问题的能力和推理能力
在学习过程中获得成功的体验，建立自信心.
本课时
重点难点
或学习建议教学重点：掌握公因式的概念，会使用提公 因式法进行因式分解.
因式分解与整式乘法的关系
两者是互逆关系
例题一
把下列各式分解因式：⑴6a3b-9a2b2c⑵-23+82-12
如果多项式的项系数是负的，一般要先提出“一”号，使 括号内的首项系数变为正，在提出“一”号时，注意括号里的 各项都要变号.
例题二
想一想：如何把多项式分解因式？
如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因 式提出来.把多项式化成与另一个多项式的
他们能否写成积的形式.
练习检测与拓展延伸：
巩固练习
⑴课本P71练一练1、2、3、4.
⑵把下列各式分解因式：
①
②
③
④
⑶把下列各式分解因式：
16p-4p
2-
3-3a
4x-x2
提升训练
把下列各式分解因式：
①-
2a+b-c
310a2-5b2
433y-3z
当堂测试
探究与训练P485-8.
先分离，再提取.
注意：公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式 课后反思或经验总结：
，这种分解因式的方法叫做.
注意：找多项式各项的公因式时，⑴若系数是整数，则 取各项系数的最大公约数.⑵对于字母，一是取各项中相同 的字母，二是各项相同字母的指数取其次数最低的
先分离，再提取.
注意:公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式.
体会因式分解的意义及其与整式乘法的区别和联系，为 丰富学生的感知，再给出几个多项式引导学生观察，并说出
教学难点：正确找出公因式，正确用提公因式法把多项 式进行因式分解.
本课时
教学资
的使用电脑、投影仪.
学习过程学习要求
或学法指导教师
二次备课栏
配套K12教育资料
自学准备与知识导学：
如何计算375X2.8+375X4.9+375X2.3，你是怎样想 的？依据是什么？
类比上式，能将写成积的形式吗？在多项式中的位置有 什么特点？
本节课从数引入过渡到式，运用类比的思想得出因式分 解的方法之一：提公因式法，并通过观察以及做一做，得出 如何找公因式的方法，并把一个多项式通过提公因式法写成